ANALISIS PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENDIDIKAN MENGGUNAKAN METODE ANUITAS DAN METODE GOMPERTZ DENGAN MULTIPLE DECREAMENTS
Oleh STELLA MARYANA BELWAWIN NIM: 662008007
TUGAS AKHIR Diajukan kepada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai gelar Sarjana Sains (Matematika)
Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga 2014
i
ii
iii
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI MATEMATIKA Desember 2014 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS TUGAS AKHIR
Yang bertanda tangan dibawah ini, Nama
: Stella Maryana Belwawin
NIM
: 662008007
Program Studi
: Matematika
Fakultas
: Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana
Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir, Judul : ANALISIS PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENDIDIKAN MENGGUNAKAN METODE ANUITAS DAN METODE GOMPERTZ DENGAN MULTIPLE DECREAMENTS Yang dibimbing oleh : 1. 2.
Dr. Bambang Susanto,MS Tundjung Mahatma, S.Pd, M.Kom
Adalah benar-benar hasil karya saya. Di dalam laporan tugas akhir ini tidak terdapat keseluruhan atau sebagian tulisan atau gagasan orang lain yang saya ambil dengan cara menyalin atau meniru dalam bentuk rangkaian kalimat atau gambar serta simbol yang saya aku seolah-olah sebagai karya saya sendiri tanpa memberikan pengakuan kepada penulis atau sumber aslinya.
Salatiga, Desember 2014 Yang memberikan pernyataan
Stella Maryana Belwawin
iv
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebagai civitas akademika Universitas Kristen Satya wacana (UKSW), saya yang bertanda tangan di bawah ini : Nama NIM Program Studi Fakultas Jenis Karya
: Stella Maryana Belwawin : 662008007 : Matematika : Sains dan Matematika : Skripsi
Dengan pengembangan Ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada UKSW hak bebas royalti non-eksklusif (non-exclusive royalti free right) atas karya ilmiah saya yang berjudul : ANALISIS PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENDIDIKAN MENGGUNAKAN METODE ANUITAS DAN METODE GOMPERTZ DENGAN MULTIPLE DECREAMENTS Beserta perangkat yang ada (jika perlu). Dengan hak bebas royalti non-eksklusif ini, UKSW berhak menyimpan, mengalihmedia / mengalihformatkan, mengolah dalam bentuk pangkalan data, merawat, dan mempublikasikan tugas akhir saya, selama tetap menantumkan nama saya sebagai penulis atau pencipta. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di : Salatiga Pada tanggal : 8 Desember 2014 Yang menyatakan,
Stella Maryana Belwawin Mengetahui, Pembimbing Utama
Pembimbing Pendamping
Dr. Bambang Susanto, MS.
Tundjung Mahatma, S.Pd, M.Kom.
v
MOTTO
“ Takut akan Tuhan adalah awal pengetahuan “ (Amsal 1:7a)
“ Kuatlah dan teguhkanlah hatimu, janganlah takut dan jangan gemetar karena mereka, sebab Tuhan, Allahmu, Dialah yang berjalan menyertai engkau, Ia tidak akan membiarkan engkau dan tidak akan meninggalkan engkau” ( Ulangan 31:6)
“ Setetes Keringat ayah dan ibu, ku balas dengan keberhasilan studi “
vi
KATA PENGANTAR Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala anugerah, bimbingan dan penyertaan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir (Skripsi) sebagai prasyarat menyelesaikan Studi S1 pada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana. Dalam Skripsi ini terdiri dari 2 makalah utama yang telah dipublikasikan. Makalah yang pertama berjudul “ANALISIS PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENDIDIKAN MENGGUNAKAN METODE ANUITAS DAN METODE GOMPERTZ” telah dipublikasikan dalam Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX dengan tema " Sains dan Pembelajaran Sains yang Menarik dan Menantang” dan subtema “Kemajuan IPTEK dan Implementasi Kurikulum 2013” yang dilaksanakan pada tanggal 21 Juni 2014. Kemudian dilakukan penyusunan makalah yang kedua yang merupakan pengembangan dari makalah pertama dengan judul “ANALISIS PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENDIDIKAN MENGGUNAKAN METODE ANUITAS DAN METODE GOMPERTZ DENGAN MULTIPLE DECREAMENTS “ yang juga telah dipublikasikan dalam Seminar Nasional Matematika Tahun 2014 dengan tema “Peran Serta Cendikia Matematika dan Pendidikan Matematika dalam Akselerasi Perubahan Karakter Bangsa”, yang diselenggarakan oleh Jurusan Matematika FMIPA Universitas negeri Semarang pada tanggal 8 November 2014. Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak dapat terselesaikan dengan baik tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih atas segala doa, nasihat, bimbingan dan dorongan baik materi maupun spiritual kepada : 1. Dr. Bambang Susanto.MS selaku Ketua Program Studi Matematika, dan selaku pembimbing utama yang telah membimbing, memberikan saran, dan mengarahkan penulis sehingga laporan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. 2. Bapak Tundjung Mahatma, S.Pd, M.Kom selaku Wali Studi 2008, dan pembimbing pendamping yang dengan sabar membimbing, mengarahkan dan memberikan motivasi kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini sehingga laporan skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. 3. Dosen pengajar, Dr. Bambang Susanto.MS, Tundjung Mahatma, S.Pd, M.Kom, Dr. Adi Setiawan, M.Sc, Dra. Lilik Linawati, M.Kom, Dr. Hanna Arini Parhusip, M.Sc.nat, Didit Budi Nugroho, D.Sc, Leopoldus Ricky Sasongko, S.Si, M.Si yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama studi di FSM UKSW. 4. Laboran Matematika, Pak Edy, Staf TU FSM, Mbak Eny dan Mas Basuki yang telah banyak memberikan bantuan kepada penulis. 5. Papa dan Mama tercinta terima kasih atas semuakasih sayang, doa dan kesabaran, dorongan semangat yang selalu memotivasi penulis sampai Skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. 6. Adik-adik tersayang, adek Edwin yang sekarang juga sedang menempuh pendidikan S1 di Manado, adek Shintia dan adek Indah, terima kasih atas semua doa, dan dorongan semangat yang telah diberikan kepada ku. 7. Kekasih ku yang tercinta, Feliks Suryo Nugroho, terima kasih untuk semua cinta, doa, semangat, bantuan yang telah diberikan untukku. Terima kasih telah menjadi seseorang
vii
yang selalu hadir di saat-saat terberatku, menjadi tempatku berkeluh kesah dan bersandar saat aku butuh. 8. Seluruh keluarga besar Belwawin dan Tutkey, sanak-saudara di Ambon dan di Merauke yang tidak bisa penulis sebutkan satu-satu, terima kasih untuk segala doa, bantuan serta semangat yang sudah diberikan kepada penulis. 9. Terima kasih juga kepada Keluarga P. Alfons, Om Iphi, Tante Olvi yang telah aku anggap sebagai orang tua sendiri, yang telah memberikan dorongan, nasehat, dan doa. Kakak Vivi, Kak Ricky, Kak desty, ade Izaac, terima kasih untuk doa dan segala dorongan semangat yang telah diberikan. 10. Teman-teman Progdi Matematika Angkatan 2008 yang selalu memberikan motivasi, semangat dan bantuan sehingga akhirnya penulis bisa menyelesaikan skripsi ini dengan baik. 11. Teman-teman kost Almayra, Kak Nesty, Ida, Dini, Rila, Lisa, terima kasih untuk segala dorongan semangat dan bantuan yang sudah kalian berikan selama ini. 12. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu yang juga mendukung penulis selama penulisan skripsi ini. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa dalam penulisan skripsi ini masih terdapat banyak kekurangan yang jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan segala saran dan nasihat dari pembaca. Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak.
Salatiga, Desember 2014
Penulis
viii
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ............................................................................................................ i LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................................. ii LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN............................................................................ iii LEMBAR PERNYATAAN BEBAS ROYALTI DAN PUBLIKASI................................ iv MOTTO DAN PERSEMBAHAN........................................................................................ v KATA PENGANTAR ......................................................................................................... vi DAFTAR ISI ....................................................................................................................... viii DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................................... ix ABSTRAK ........................................................................................................................... x PENDAHULUAN ............................................................................................................... xi MAKALAH I : ANALISIS PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENDIDIKAN METODE ANUITAS DAN METODE GOMPERTZ
MENGGUNAKAN
MAKALAH II: ANALISIS PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENDIDIKAN MENGGUNAKAN METODE ANUITAS DAN METODE GOMPERTZ DENGAN MULTIPLE DECREAMENTS KESIMPULAN ................................................................................................................... 38 LAMPIRAN – LAMPIRAN .............................................................................................. 39
ix
DAFTAR LAMPIRAN LAMPIRAN 1
:Data penelitian dari PT. Asuransi Bumiputera Yogyakarta yang terdiri dari Ilustrasi produk dan Rincian data Polis
LAMPIRAN 2
: Referensi rancangan program Multiple Decreaments untuk makalah 2
LAMPIRAN 3
: Hasil Rancangan Program yang diterapkan pada makalah 2
x
ABSTRAK Premi yang ditetapkan pihak asuransi adalah nilai yang harus dibayarkan setiap periodenya. Pada penelitian ini didapatkan data nilai premi asuransi pendidikan selama masa kontrak berdasarkan hasil wawancara serta ilustrasi produk yang diberikan PT Bumiputera Yogyakarta. Besarnya nilai premi dapat dihitung dengan metode Anuitas untuk mengetahui jumlah tabungan tiap periode tanpa dipengaruhi faktor-faktor perhitungan yang ditentukan pihak asuransi. Perhitungan dilanjutkan dengan metode Gompertz untuk memperhitungkan faktor-faktor yang mempengaruhi perhitungan premi dari pihak asuransi. Dengan menggunakan kedua metode ini, didapatkan persentase selisih hasil analisis perhitungan premi dengan menggunakan metode Anuitas dan metode Gompertz yang dibandingkan dengan nilai premi berdasarkan data dari PT Bumiputera Yogyakarta, yaitu sebesar 2,94%. Hasil tersebut terdapat pada makalah pertama yang sudah dipublikasikan. Penelitian dilanjutkan dengan memperhitungkan multiple decreaments, dalam hal ini. berbagai kendala pengeluaran uang pertanggungan. Perhitungan premi yang dilengkapi dengan multiple decreaments menghasilkan nilai premi yang lebih akurat, namun dengan presentase selisih nilai premi yang lebih besar yaitu 3,85%. Kata-kata kunci: Premi, Asuransi Pendidikan, Anuitas, Gompertz, multiple decreament
xi
MAKALAH I
ANALISIS PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENDIDIKAN MENGGUNAKAN METODE ANUITAS DAN METODE GOMPERTZ Stella Maryana Belwawin1, Bambang Susanto2, Tundjung Mahatma3 Fakultas Sains dan Matematika UKSW, Salatiga 1
[email protected] 2
[email protected] t.mahatma@
[email protected]
3
ABSTRAK Premi yang ditetapkan pihak asuransi adalah nilai yang harus dibayarkan setiap periodenya. Pengumpulan data dalam penelitian ini dilakukan pada PT Asuransi Bumiputera cabang Yogyakarta. Data nilai premi selama masa kontrak didapatkan berdasarkan hasil wawancara serta ilustrasi produk yang diberikan PT Bumiputera Yogyakarta. Besarnya nilai premi dapat dihitung dengan metode Anuitas untuk mengetahui jumlah tabungan tiap periode tanpa dipengaruhi faktor-faktor dari pihak asuransi. Perhitungan dilanjutkan dengan metode Gompertz untuk memperhitungkan faktor-faktor yang mempengaruhi perhitungan premi dari pihak asuransi. Terdapat 4 faktor yang dapat mempengaruhi nilai premi, yaitu usia orang tua (penanggung), jenis kelamin, jenis pekerjaan, dan usia anak. Parameter yang digunakan untuk jenis kelamin dan jenis pekerjaan, yaitu nilai bolean 0 dan 1, di mana angka 1 untuk jenis kelamin perempuan, 0 untuk jenis kelamin laki-laki. Sedangkan untuk jenis pekerjaan non-swasta adalah 0 dan untuk jenis pekerjaan swasta adalah 1. Dengan menggunakan kedua metode ini, didapatkan persentase selisih hasil analisis perhitungan premi dengan menggunakan metode Anuitas dan metode Gompertz yang dibandingkan dengan nilai premi berdasarkan data dari PT Bumiputera Yogyakarta, yaitu sebesar 2%. Angka ini menunjukkan bahwa perhitungan premi dengan metode Anuitas dan Gompertz cukup sesuai untuk menentukan nilai premi dasar pada perusahaan asuransi, sehingga dapat menjadi acuan dalam pengambilan keputusan untuk membeli produk asuransi pendidikan. Kata-kata kunci: premi, asuransi pendidikan, Anuitas, Gompertz, proteksi, tabungan
PENDAHULUAN Pembangunan sektor pendidikan mutlak dilakukan, karena secara langsung akan berpengaruh terhadap hidup dan kehidupan umat manusia. Pendidikan secara hakiki menjadi bagian yang tidak terpisah oleh berbagai kebutuhan dasar manusia. Oleh sebab itu, pendidikan merupakan hajat orang banyak dan akan menjadi barometer bagi setiap manusia. Semakin tinggi tingkat pendidikan seseorang, semakin luas dan bernas pola pikir, pola tindak, dan pola lakunya [1]. Namun, tidak bisa dipungkiri bahwa biaya pendidikan saat ini memang mahal. Biaya pendidikan yang terasa paling mahal adalah biaya pendidikan pada perguruan tinggi.Sebuah perguruan tinggi swasta di Jakarta bisa menghabiskan biaya sekitar Rp 50 juta hingga lulus. Keadaan ini memaksa kita untuk merencanakan program pendidikan anak secara matang agar bisa menyekolahkan anak hingga kejenjang perguruan tinggi. Selain tinggi, biaya pendidikan juga selalu naik setiap tahunnya. Sebagai contoh, kalau jumlah biaya kuliah saat ini adalah sebesar Rp 50 juta, dan jika dengan asumsi kenaikan biaya pendidikan sebesar 10% per tahun, maka dalam 18 tahun lagi, jumlah biaya kuliah sudah akan menjadi di atas Rp 250 juta. Hal yang sama juga terjadi pada biaya pendidikan dijenjang-jenjang yang lain, seperti di TK, SD, SMP, dan SMU. Sebagai orang tua, tentunya harus siap menghadapi biaya pendidikan yang akan sangat tinggi jumlahnya pada masa yang akan datang [2]. Ada pepatah bijak bilang sedia payung sebelum hujan. Biasanya peribahasa ini kerap ditujukan pada orang-orang yang memiliki kesadaran menyiapkan diri dengan asuransi.Sayangnya, tak sedikit yang masih menganggap asuransi bukanlah hal yang mendesak. Akibatnya, ketika seorang anak ingin melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi, orang tua belum siap. Memilih sebuah produk asuransi harus teliti dan harus sesuai tujuan, bila tujuan untuk dana pendidikan maka pilihlah produk yang benarbenar dapat memenuhi keperluan tersebut pada saat dibutuhkan. Premi asuransi atau biaya berasuransi merupakan pra-syarat adanya perjanjian asuransi,karena tanpa adanya premi tidak akan ada asuransi. Pada umumnya premi asuransi dibayar dimuka namun biasanya diberikan tenggang waktu pembayaran.
Meskipun bukan menjadi bagian dari polis, untuk produk selain seperti produk pendidikan , biasanya akan diberikan ilustrasi sebagai gambaran perkembangan dana hingga berakhir masa kontrak. Contohnya, berapa lama masa pembayaran premi, tahapan pengambilan dana dan berapa hasil yang akan diperoleh pada akhir masa kontrak. Berdasarkan penjelasan di atas, maka analisis perhitungan premi dengan metode Anuitas dan metode Gomperzt digunakan untuk mengetahui nilai premi pada asuransi pendidikan. Kemudian hasil perhitungan premi akan dibandingkan dengan nilai premi yang ditentukan oleh pihak asuransi pendidikan PT Bumiputera Yogyakarta. BAHAN DAN METODE BAHAN Bahan pada penelitian ini adalah data ilustrasi produk asuransi pendidikan serta informasi faktor-faktor perhitungan premi asuransi, setelah dilakukan wawancara dengan petugas asuransi PT Bumiputera cabang Yogyakarta. Pihak asuransi tidak memberikan data pemegang polis selama 5 tahun dikarenakan privasi perusahaan. Perusahaan hanya memberikan ilustrasi kontrak Produk Asuransi Pendidikan Mitra Beasiswa Berencana dengan masa kontrak selama 5 – 12 tahun. Besarnya premi yang ditetapkan pada ilustrasi produk menjadi acuan perbandingan dengan hasil perhitungan premi menggunakan metode Anuitas dan metode Gompertz.Ilustrasi produk asuransi pendidikan terdapat dalam daftar lampiran jurnal. METODE Futami [3] mendefinisikan anuitas adalah suatu pembayaran dalam jumlah tertentu, yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu secara berkelanjutan. Anuitas yang pembayarannya pasti untuk periode jangka waktu tertentu dinamakan anuitas pasti atau annuity-certain. Contoh untuk anuitas pasti antara lainadalah pembayaran kredit motor, pembayaran premi asuransi pendidikan [5]. Di samping anuitas pasti, ada juga anuitas tidak pasti. Anuitas yang pembayarannya tidak pasti dinamakananuitas contingent. Tipe yang umum dari anuitas contingent ini adalah suatu anuitas dengan pembayaran dilakukan selama orang
𝑆𝑛 = 1 + 𝑖 + (1 + 𝑖)2 + ⋯ + 1 + 𝑖 𝑛−1 + (1 + 𝑖)𝑛 1+𝑖 𝑛 −1 = 1+𝑖 1+𝑖 −𝑣 1+𝑖 𝑛 −1 = 𝑑
tersebut masih hidup. Anuitas seperti itu dinamakan dengan anuitas hidup atau annuity life [5]. Pada studi ini hanya akan dibahas tentang anuitas pasti, karena asuransi pendidikan merupakan suatu simulasi anuitas pasti dengan menggunakan bunga tetap. Untuk istilah anuitas pasti, biasanya kata pasti-tidak disertakan dan hanya menuliskan kata anuitas saja. Istilah anuitas biasanya merujuk pada anuitas pasti [5]. Besar anuitas adalah besarnya angsuran ditambah dengan bunga yang diperhitungkan. 1. Anuitas setahun
dengan
pembayaran
sekali
Anuitas awal sering disebut anuitas-due atau anuitas jatuh tempo. Nilai sekarang (present value) dari anuitas awal dilambangkan dengan 𝑎𝑛 . Nilai ini adalah nilai yang dibayarkan untuk mendapatkan pembayaran sebesar 1 rupiah tiap awal periode selama n periode [6]. Nilai akumulasi atau nilai masa mendatang dari anuitas tersebut dilambangkan dengan 𝑆𝑛 . Present value dari pembayaran 1 rupiah di awal periode pada periode pertama adalah 1. Present value dari pembayaran 1 rupiah yang dilakukan pada awal periode kedua adalah v. Proses ini berlanjut sampai present value dari pembayaran 1 periode terakhir nadalah 𝑣 𝑛−1 . Nilai akumulasi total dari present value𝑎𝑛 sama dengan jumlah dari present value tiap-tiap pembayaran [4], yaitu: 𝑎𝑛 = 1 + 𝑣 + 𝑣 2 + ⋯ + 𝑣 𝑛−2 + 𝑣 𝑛−1 Dapat dilihat bahwa rumus 𝑎𝑛 merupakan bentuk dari deret geometri n-suku dengan nilai awal 1, dengan faktor v. Selanjutnya dengan menggunakan deret geometri diperoleh hasil: 𝑎𝑛 = 1 + 𝑣 + 𝑣 2 + ⋯ + 𝑣 𝑛−2 + 𝑣 𝑛−1 1 − 𝑣𝑛 1 − 𝑣𝑛 =1 = 1−𝑣 𝑖𝑣 1 − 𝑣𝑛 = 𝑑 Secara sama diturunkan rumus untuk nilai akumulasi Anuitas awal selama n periode 𝑆𝑛 :
Misalkan Anuitas awal sebesar R satuan mata uang yang dibayarkan selama n tahun dengan bunga tahunan i %( bunga tetap), nilai total anuitas n tahun kemudian dinotasikan dengan 𝑆𝑛 yaitu [7] : 𝑆𝑛 = 𝑅(1 + 𝑖)𝑛 + (1 + 𝑖)𝑛−1 + (1 + 𝑖)𝑛−2 + ⋯ + (1 + 𝑖) 𝑆𝑛 = 𝑅
(1 + 𝑖) 𝑛 − 1 𝑖
dengan keterangan: 𝑆𝑛 = R= Jumlah anuitas (pembayaran berkala) i= Tingkat suku bunga per periode n= Periode Pembayaran yang akan dilakukan (klaim meninggal) d= 2. Anuitas dengan pembayaran beberapa kali dalam setahun Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan beberapa (m) kali setahun dengan selang pembayaran setiap 1/m tahun disebut anuitas dengan pembayaram m kali. Total nilai sekarang dari anuitas akhirnya ditulis (𝑚 ) 𝑎𝑛 adalah: (𝑚 )
𝑎𝑛
=
1 1 1/𝑚 𝑣 + 𝑣 2/𝑚 + ⋯ + 𝑣 𝑛−𝑚 𝑚 + 𝑣 𝑛/𝑚
1 𝑣 1/𝑚 − 𝑣 𝑛+1/𝑚 𝑚 1 − 𝑣 1/𝑚 1 − 𝑣𝑛 1 − 𝑣𝑛 = = 𝑚 1 + 𝑖 1/𝑚 − 1 𝑖𝑚 =
tabungan yang diisi oleh pengguna progam akan menjadi nilai Sn, dimana kita akan mencari jumlah uang R yang harus ditabungkan dalam
periode n dan jumlah m kali pembayaran dalam 1 tahun yang diinginkan oleh nasabah. Sehingga dapat dirumuskan: 𝑆𝑛 = 𝑅
𝑖 (1+ ) 𝑛 𝑚 −1 𝑚
𝑖 𝑚
.
Kemudian, rumus perhitungan jumlah Anuitas dengan pembayaran beberapa kali dalam setahun dapat kita formulasikan menjadi : 𝑅 = 𝑆𝑛 ÷
𝑖 (1+ ) 𝑛 𝑚 −1 𝑚
𝑖 𝑚
.
dimana :
𝑡
𝑁 = 𝐶𝑎𝑃 . Untuk menghitung biaya faktor-faktor lainnya di bidang asuransi, kita dapat menentukannya sebagai : N = Jumlah biaya tambahan untuk nasabah. C= Jumlah premi per periode yang dikenakan kepada nasabah. a= Angka perbandingan premi minumum dan premi nasabah. P= Probability pertumbuhan (0
𝑆𝑛 = R= Jumlah Anuitas (pembayaran berkala). i= Tingkat suku bunga per periode. n= Periode pembayaran yang akan dilakukan. m= Banyaknya pembayaran yang dilakukan dalam 1 tahun. 3. Analisis dan perhitungan UP dengan Metode Anuitas dan Gomperzt Dalam menghitung Uang Pertanggungan (UP) kita menggunakan 2 metode yaitu Anuitas dan Gompertz. Anuitas untuk menghitung jumlah uang yang harus dibayarkan untuk biaya UP dan metode Gompertz untuk menghitung biaya oleh karena faktor lainnya yaitu usia penanggung, gender, jenis pekerjaan, dan lain-lain. Di dalam standar perusahaan asuransi UP akan tetap dibayarkan sampai akhir masa kontrak. Anuitas digunakan untuk menghitung jumlah uang yang harus ditabungkan untuk mendapatkan UP sebesar yang diinginkan nasabah.Premi yang harus dibayarkan akan ditambah dengan nilai yang didapat dengan metode Gompertz oleh karena faktor-faktor lainnya dari nasabah [7]. Dari metode Gompetz yang biasanya digunakan untuk menghitung pertumbuhan penduduk [8], yaitu :
t=
Angka pengaruh faktor-faktor terhadap Uang Pertanggungan.
lainnya
Dalam menghitung tdigunakan rumus linear sederhana karena terdapat 4 faktor yang dapat mempengaruhi nilai premi yaitu usia orang tua (penanggung), gender, jenis pekerjaan, dan usia anak. Parameter yang digunakan untuk gender dan jenis pekerjaanyaitu nilai bolean 0 dan 1, dimana angka 1 untuk jenis kelamin perempuan, 0 untuk jenis kelamin laki-laki. Sedangkan untuk jenis pekerjaan non-swasta=0 dan untuk jenis pekerjaan swasta=1. Keempat faktor ini mempunyai tingkat pengaruh yang sama, sehingga nilai t dapat dihitung dengan rumus: 𝑡 = 0,25𝐴 + 0,25𝐵 + 0,25𝐶 + 0,25𝐷 dimana: A= Usia orang tua. B= Gender. C= Jenis Pekerjaan. D= Usia anak. HASIL DAN DISKUSI Berikut ini adalah analisis perhitungan dengan Metode Anuitas untuk menghitung jumlah tabungan yang harus ditabungkan berdasarkan Ilustrasi produk dari data PT. Bumiputera Yogyakarta: Diketahui seorang nasabah ingin mempunyai uang sejumlah 100 juta untuk biaya pendidikan anaknya dalam kurun waktu 12 tahun (klaim
meninggal pada usia 45 tahun), dia ingin menabung secara triwulan. Maka dengan tingkat suku bunga yang ditentukan oleh pihak asuransi, dalam hal ini telah ditentukan bahwa tingkat suku bunganya adalah 10%, maka dapat dihitung jumlah tabungan yang harus ditabungkan dengan: 𝑅 = 100.000.000 ÷
(1 +
0,1 12 4) 0,1 4
4
−1
𝑅 = 1.100.594 Jadi dengan tingkat suku bunga 10%, nasabah harus mulai menabung sebesar Rp.1.100.594 tiap triwulannya. Nasabah yang ingin mempunyai tabungan sebesar 100 juta dalam waktu 12 tahun ternyata adalah seorang laki-laki berumur 39 tahun yang bekerja sebagai seorang wiraswasta. Anaknya berusia 6 tahun pada saat pendaftaran polis asuransi pendidikan. Si Nasabah menginginkan Uang Pertanggungan sebesar 200 juta apabila meninggal secara tiba-tiba. Dengan data demikian, maka biaya asuransi atau preminya dapatdihitung:
minimum dari premi nasabah, maka harus dihitung premi minum terlebih dahulu. Cara menghitung premi untuk UP minimum (sebesar 20 juta) menggunakan perhitungan Present value dan Anuitas sebagai berikut: 20.000.000 𝑃= 1 + 0,1 45 𝑃 = 2.225.932 0,1 (1 + 4 ) 6 4 − 1 𝑅 = 2.225.932 ÷ 0,1 4 𝑅 = 30.767 yang akan menambah nilai Anuitas di atas harus dihitung dengan rumus Gompertz: 𝑡 = 0,25 𝑥 39 + 0,25 𝑥 1 + 0,25 𝑥 1 + 0,25 𝑥 6 = 11,75 11,75 𝑁 = 80.103 0,1 0,5 𝑁 = 80.159 Jadi, premi yang harus dibayarkan nasabah yang ingin mendapatkan tabungan sebesar 100 juta dalam kurun waktu 12 tahun yaitu sebesar: 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖 𝑡𝑟𝑖𝑤𝑢𝑙𝑎𝑛 = 𝑅 + 𝑅 𝑘𝑙𝑎𝑖𝑚 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎𝑙 +𝑁
Diketahui asumsi nasabah tersebut akan meninggal pada usia 45 tahun. Akan dicari nilai sekarang (present value) Uang Pertanggungan 200 juta pada saat nasabah mengambil uangnya yang 100 juta di usia 45 tahun, dengan rumus nilai sekarang : 𝑃=
200.000.000 1 + 0,05 6
𝑃 = 22.259.324. Setelah itu, akan dihitung anuitas yang harus dibayarkan untuk mendapatkan Rp.200.000.000 dalam waktu 6 tahun dengan perhitungan: 0,1 (1 + 4 )(6)(4) − 1 𝑅 = 200.000.000 ÷ 0,1 4 𝑅 = 2.764.416. Karena di dalam rumus perhitungan dengan metode Gompertz terdapat perbandingan premi
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖 𝑡𝑟𝑖𝑤𝑢𝑙𝑎𝑛 = 1.100.594 + 2.764.416 + 80.159 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖 𝑡𝑟𝑖𝑤𝑢𝑙𝑎𝑛 = 3. 945.169 𝑆𝑒𝑙𝑖𝑠𝑖ℎ 𝑃𝑒𝑟ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖 = 3.945.169 − 3.832.400 = 112.769 Dari hasil perhtungan premi diatas, ditentukan presentase selisih antara perhitungan premi data dengan hasil perhitungan premi menggunakan metode Anuitas dan metode Gompertz. Presentase selisih = = 2%.
112. .769 𝑥 100% 3.945.169
KESIMPULAN Berdasarkan hasil perhitungan dengan metode Anuitas untuk menentukan jumlah tabungan, serta dilanjutkan dengan metode Gompertz untuk memperhitungkan faktor-faktor yang mempengaruhi perhitungan premi asuransi pendidikan didapatkan hasil perhitungan premi yang mendekati nilai premi yang ditetapkan pihak Asuransi. Persentase selisih hasil analisis perhitungan premi dengan menggunakan metode Anuitas dan metode Gompertz yang dibandingkan dengan nilai premi berdasarkan data sebesar 2%. Angka ini menunjukkan bahwa perhitungan premi dengan metode Anuitas dan Gompertz cukup sesuai untuk menentukan nilai premi dasar pada perusahaan asuransi, sehingga dapat menjadi acuan dalam pengambilan keputusan untuk membeli produk asuransi pendidikan.
DAFTAR PUSTAKA [1] Isjoni. (2008). a. Memajukan Bangsa dengan Pendidikan; b. Guru Sebagai Motifator Perubahan. Yogyakarta: Pustaka Pelajar. [2] Safir Senduk. (2000). Seri Perencanaan keluarga: Mengelola keuangan Keluarga. Jakarta: Elex media Komputindo. [3] Futami, T. 1993. Matematika Asuransi Jiwa Bagian I. Tokyo: Incorporated Foundation Oriental Life Insurance Cultural Development Center. [4] Herry, “Perancangan Program Aplikasi Perhitungan Premi Asuransi Jiwa Dengan Pendekatan Metode Gompertz”, Skripsi UBINUS, 2006 http://thesis.binus.ac.id/Asli/Bab1/2010-100485-MTIF%20Bab%201.pdf [5] Irma, “Modul Matematika Finansial 1”, 2011, UGM,
http://sangpejuanghebat.files.wordpress.com/201 1/11/3-1-annuitas-akhir-dan-awal1.pdf, http://sangpejuanghebat.wordpress.com/category /matematika-finansial-1/ [6] Margareta, Lifara, 2010, “Analisis Anuitas Pada Penentuan Premi Asuransi Jiwa”, Malang, http://lib.uinmalang.ac.id/files/thesis/fullchapter/ 06510055.pdf [7] Ricky Susanto, “Analisis Dan Perancangan Program Aplikasi Perhitungan Premi Asuransi Menggunakan Metode Anuitas Dan Gompertz”. 2010. http://thesis.binus.ac.id/Asli/Cover/20101-00485-MTIF%20Cover.pdf [8] Valensia Huang dan Farah Kristiani, “Analisis Kesesuaian Hukum Mortalita Gompertz dan Mahekam Terhadap Tabel Mortalita Amerika Serikat dan Indonesia”, Prosiding Seminar Nasinal Matematika Universitas Katolik Parahyangan, vol 2, 2012
MAKALAH II
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PANITIA SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2014 Sekretariat : GedungD7Lt.1GunungpatiSemarang50229Telp. (024)8508032,website:matematika.unnes.ac.id/semnas;email:h
[email protected]
No Hal
:012/Pan.SemNas.Mat/X/201 : Pemberitahuan
Bapak/IbuStella Maryana Yth. Belwawin di Fakultas Sains danMatematikaUKSW Dengan hormat,AtasnamapanitiaSeminarNasionalMatematikaTahun2014dengantema“PeranSertaCendi kiaMatematikadanPendidikanMatematikadalamAkselerasiPerubahanKarakterBangsa”,ka mimenginformasikanbahwaabstrakBapak/Ibudengan judul:“ANALISISPERHITUNGANPREMIASURANSIPENDIDIKANMENGGUNAKANM ETODEANUITASDAN METODEGOMPERTZDENGAN MULTIPLEDECREAMENTS”dinyatakanditerimauntuk dipresentasikandalam kegiatanseminar tersebut.Berkenaandenganhaltersebut,kamimengundangBapak/Ibuuntukmempresentasikanmakala
hdalamsidangparalel.Untukmakalahlengkapmohonuntukdikirimkankealamatemail:himatikasemna
[email protected] 3 November 2014. AtaspartisipasiBapak/Ibudalamseminar ini, kami sampaikanterima kasih. Semarang, 24 Oktober 2014Hormatkami, Ketua PanitiaSemnas Matematika2014
Dr.Rochmad, M.Si NIP 19571116198711001
ANALISIS PERHITUNGAN PREMI ASURANSI PENDIDIKAN MENGGUNAKAN METODE ANUITAS DAN METODE GOMPERTZ DENGAN MULTIPLE DECREAMENTS Stella Maryana Belwawin1, Bambang Susanto2, Tundjung Mahatma3 Fakultas Sains dan Matematika UKSW,Jalan Diponegoro 52-60,Salatiga,
[email protected], Fakultas Sains dan Matematika UKSW,Jalan Diponegoro 52-60,Salatiga,
[email protected] Fakultas Sains dan Matematika UKSW,Jalan Diponegoro 52-60,Salatiga, 3t.mahatma@
[email protected]
ABSTRAK Premi yang ditetapkan pihak asuransi adalah nilai yang harus dibayarkan setiap periodenya. Data nilai premi selama masa kontrak didapatkan berdasarkan hasil wawancara serta ilustrasi produk yang diberikan PT Bumiputera Yogyakarta. Besarnya nilai premi dapat dihitung dengan metode Anuitas untuk mengetahui jumlah tabungan tiap periode tanpa dipengaruhi faktor-faktor perhitungan yang ditentukan pihak asuransi. dilanjutkan dengan metode Gompertz untuk memperhitungkan faktor-faktor yang Perhitungan mempengaruhi perhitungan premi dari pihak asuransi. Dengan menggunakan kedua metode ini, didapatkan persentase selisih hasil analisis perhitungan premi dengan menggunakan metode Anuitas dan metode Gompertz yang dibandingkan dengan nilai premi berdasarkan data dari PT Bumiputera Yogyakarta, yaitu sebesar 2,94%. Hasil tersebut terdapat pada jurnal pertama yang sudah dipublikasikan. Penelitian dilanjutkan dengan memperhitungkan multiple decreaments yang memuat berbagai kendala pengeluaran uang pertanggungan. Perhitungan premi yang dilengkapi dengan multiple decreaments menghasilkan nilai premi yang lebih akurat, namun dengan presentase selisih nilai premi yang lebih besar yaitu 3,85%.
Kata-kata kunci: Premi, Asuransi,Pendidikan, Anuitas, Gompertz, Proteksi, Multiple Decreaments
PENDAHULUAN Pembangunan sektor pendidikan mutlak dilakukan, karena secara langsung akan berpengaruh terhadap hidup dan kehidupan umat manusia. Pendidikan secara hakiki menjadi bagian yang tidak terpisah oleh berbagai kebutuhan dasar manusia. Oleh sebab itu, pendidikan merupakan hajat orang banyak dan akan menjadi barometer bagi setiap manusia. Semakin tinggi tingkat pendidikan seseorang, semakin luas dan bernas pola pikir, pola tindak, dan pola lakunya [4]. Namun, tidak bisa dipungkiri bahwa biaya pendidikan saat ini memang mahal. Biaya pendidikan yang terasa paling mahal adalah biaya pendidikan pada Perguruan Tinggi. Keadaan ini memaksa kita untuk merencanakan program pendidikan anak secara matang. Selain tinggi biaya pendidikan juga selalu naik setiap tahunnya. Sebagai contoh kalau jumlah biaya kuliah saat ini adalah sebesar Rp 50 juta, dan jika dengan asumsi kenaikan biaya pendidikan sebesar 10% per tahun, maka dalam 18 tahun lagi, jumlah biaya kuliah sudah akan menjadi di atas Rp 250 juta. Hal yang sama juga terjadi pada biaya pendidikan dijenjang-jenjang yang lain, seperti di TK, SD, SMP, dan SMU. Sebagai orang tua, tentunya harus siap menghadapi biaya pendidikan yang akan sangat tinggi jumlahnya pada masa yang akan datang [7]. Ada pepatah bijak bilang sedia payung sebelum hujan. Biasanya peribahasa ini kerap ditujukan pada orang-orang yang memiliki kesadaran menyiapkan diri dengan asuransi. Sayangnya tak sedikit yang masih menganggap asuransi bukanlah hal yang mendesak. Akibatnya ketika seorang anak ingin melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi orang tua belum siap. Memilih sebuah produk asuransi harus teliti dan harus sesuai tujuan. Bila tujuan untuk dana pendidikan maka pilihlah produk yang benar-benar dapat memenuhi keperluan tersebut pada saat dibutuhkan. Premi asuransi atau biaya berasuransi merupakan pra-syarat adanya perjanjian asuransi, karena tanpa adanya premi tidak akan ada asuransi. Pada umumnya premi asuransi dibayar dimuka namun biasanya diberikan tenggang waktu pembayaran.
Meskipun bukan menjadi bagian dari polis, untuk produk selain seperti produk pendidikan biasanya akan diberikan ilustrasi sebagai gambaran perkembangan dana hingga berakhir masa kontrak. Contohnya berapa lama masa pembayaran premi, tahapan pengambilan dana dan berapa hasil yang akan diperoleh pada akhir masa kontrak. Berdasarkan penjelasan di atas maka analisis perhitungan premi dengan metode Anuitas dan metode Gompertz akan digunakan untuk mengetahui nilai premi pada asuransi pendidikan. Kemudian hasil perhitungan premi akan. dibandingkan dengan nilai premi yang ditentukan oleh pihak asuransi. Berbagai kendala dalam pengeluaran Uang Pertanggungan juga akan diperhitungan dengan menggunakan perhitungan Multiple Decreaments[8]. BAHAN DAN METODE BAHAN Bahan pada penelitian ini adalah data ilustrasi produk asuransi pendidikan serta informasi faktor-faktor perhitungan premi asuransi, setelah dilakukan wawancara dengan petugas asuransi PT Bumiputera cabang Yogyakarta. Pihak asuransi tidak memberikan data pemegang polis selama 5 tahun dikarenakan privasi perusahaan.Perusahaan hanya memberikan ilustrasi kontrak Produk Asuransi Pendidikan Mitra Beasiswa Berencana dengan masa kontrak selama 5 –12 tahun.Besarnya premi yang ditetapkan pada ilustrasi produk menjadi acuan perbandingan dengan hasil perhitungan premi menggunakan metode Anuitas dan metode Gompertz. Penggunaan Multiple Decreaments pada perhitungan nilai premi digunakan untuk memperoleh nilai yang lebih akurat, karena terdapat beberapa kendala pengambilan Uang Pertanggungan[8].
METODE Takashi Futami 1993, mendefinisikan anuitas adalah suatu pembayaran dalam jumlah tertentu, yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu secara berkelanjutan.Anuitas yang pembayarannya pasti untuk periode jangka waktu tertentu dinamakan anuitas pasti atau annuity-certain. Contoh untuk anuitas pasti antara lainadalah pembayaran kredit motor, pembayaran premi asuransi pendidikan[3]. Disamping anuitas pasti, ada juga anuitas tidak pasti.Anuitas yang pembayarannya tidak pasti dinamakan anuitas contingent.Tipe yang umum dari anuitas contingent ini adalah suatu anuitas dengan pembayaran dilakukan selama orang tersebut masih hidup. Anuitas seperti itu dinamakan dengan anuitas hidup atau annuity life [3]. Pada skripsi ini hanya akan dibahas tentang anuitas pasti, karena asuransi pendidikan merupakan suatu simulasi anuitas pasti dengan menggunakan bunga tetap. Untuk istilah anuitas pasti, biasanya kata pasti-nya tidak disertakan dan hanya menuliskan kata anuitas saja.Istilah anuitas biasanya merujuk pada anuitas pasti [9]. Besar anuitas adalah besarnya angsuran ditambah dengan bunga yang diperhitungkan. 1. Anuitas dengan pembayaran sekali setahun Anuitas awal sering disebut anuitas-due atau anuitas jatuh tempo.Nilai sekarang (present value) dari anuitas awal dilambangkan dengan 𝑎𝑛 . Nilai ini adalah nilai yang dibayarkan untuk mendapatkan pembayaran sebesar 1 rupiah tiap awal periode selama n periode [12]. Nilai akumulasi atau nilai masa mendatang dari anuitas tersebut dilambangkan dengan 𝑆𝑛 . Present value dari pembayaran 1 rupiah di awal periode pada periode pertama adalah 1. Present value dari pembayaran 1 rupiah yang dilakukan pada awal periode kedua adalah v. Proses ini berlanjut sampai present value dari pembayaran 1 periode terakhir nadalah 𝑣 𝑛−1 . Nilai akumulasi total dari present value 𝑎𝑛 sama dengan jumlahan dari present value tiap-tiap pembayaran [10] yaitu: 𝑎𝑛 = 1 + 𝑣 + 𝑣 2 + ⋯ + 𝑣 𝑛−2 + 𝑣 𝑛 −1 Dapat dilihat bahwa rumus 𝑎𝑛 merupakan bentuk dari deret geometri n-suku dengan nilai awal 1, dengan faktor v. Selanjutnya dengan menggunakan deret geometri diperoleh hasil: 𝑎𝑛 = 1 + 𝑣 + 𝑣 2 + ⋯ + 𝑣 𝑛−2 + 𝑣 𝑛 −1 1 − 𝑣𝑛 1 − 𝑣𝑛 =1 = 1−𝑣 𝑖𝑣 1 − 𝑣𝑛 = 𝑑 Secara sama diturunkan rumus untuk nilai akumulasi Anuitas awal selama nperiode 𝑆𝑛 : 𝑆𝑛 = 1 + 𝑖 + (1 + 𝑖)2 + ⋯ + 1 + 𝑖 𝑛−1 + (1 + 𝑖)𝑛 1+𝑖 𝑛 −1 = 1+𝑖 1+𝑖 −1 1+𝑖 𝑛 −1 = 𝑑 Misalkan Anuitas awal sebesar R satuan mata uang yang dibayarkan selama n tahun dengan bunga tahunan i %( bunga tetap), nilai total anuitas n tahun kemudian dinotasikan dengan 𝑆𝑛 yaitu [14] : 𝑆𝑛 = 𝑅(1 + 𝑖)𝑛 + (1 + 𝑖)𝑛−1 + (1 + 𝑖)𝑛−2 + ⋯ + (1 + 𝑖)
(1 + 𝑖) 𝑛 − 1 𝑆𝑛 = 𝑅 𝑖 dengan keterangan: Sn= R= Jumlah anuitas (pembayaran berkala) i= Tingkat suku bunga per periode n= Periode Pembayaran yang akan dilakukan (klaim meninggal) d= 2.
Anuitas dengan pembayaran beberapa kali dalam setahun Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan beberapa (m) kali setahun dengan selang pembayaran setiap 1/m tahun disebut anuitas dengan pembayaram m kali. Total nilai (𝑚 ) sekarang dari anuitas akhirnya ditulis 𝑎𝑛 adalah: (𝑚 )
𝑎𝑛
=
1 1 1/𝑚 𝑣 + 𝑣 2/𝑚 + ⋯ + 𝑣 𝑛 −𝑚 + 𝑣 𝑛 /𝑚 𝑚 1 𝑣 1/𝑚 − 𝑣 𝑛+1/𝑚 = 𝑚 1 − 𝑣 1/𝑚 1 − 𝑣𝑛 1 − 𝑣𝑛 = = 𝑚 1 + 𝑖 1/𝑚 − 1 𝑖𝑚
tabungan yang diisi oleh pengguna progam akan menjadi nilai Sn, dimana kita akan mencari jumlah uang R yang harus ditabungkan dalam periode n dan jumlah m kali pembayaran dalam 1 tahun yang diinginkan oleh nasabah. Sehingga dapat dirumuskan: 𝑖 (1 + 𝑚) 𝑛 𝑚 − 1 𝑆𝑛 = 𝑅 𝑖 𝑚 Kemudian, rumus perhitungan jumlah Anuitas dengan pembayaran beberapa kali dalam setahun dapat kita formulasikan menjadi : 𝑖 (1 + 𝑚) 𝑛 𝑚 − 1 𝑅 = 𝑆𝑛 ÷ 𝑖 𝑚 dimana : Sn= R= Jumlah Anuitas (pembayaran berkala). i= Tingkat suku bunga per periode. n= Periode pembayaran yang akan dilakukan. m= Banyaknya pembayaran yang dilakukan dalam 1 tahun. 3.
Analisis dan perhitungan UP dengan Metode Anuitas dan Gomperzt Dalam menghitung Uang Pertanggungan (UP) kita menggunakan 2 metode yaitu Anuitas dan Gompertz. Anuitas untuk menghitung jumlah uang yang harus dibayarkan untuk biaya UP dan metode Gompertz untuk menghitung biaya oleh karena faktor lainnya yaitu usia penanggung, gender, jenis pekerjaan, dan lain–lain. Di dalam standart perusahaan asuransi, Uang Pertanggungan akan tetap dibayarkan sampai akhir masa kontrak. Anuitasdigunakan untuk menghitung jumlah uang yang harus ditabungkan untuk mendapatkan UP sebesar yang diinginkan nasabah.Premi yang harus dibayarkan akan ditambah dengan nilai yang didapat dengan metode Gompertz oleh karena faktor-faktor
lainnya dari nasabah [14]. Dari metode Gompetz yang biasanya digunakan untuk menghitung pertumbuhan penduduk [1], yaitu : 𝑁 = 𝐶𝑎𝑃
𝑡
Untuk menghitung biaya faktor-faktor lainnya di bidang asuransi, kita dapat menentukannya sebagai : N = Jumlah biaya tambahan untuk nasabah. C= Jumlah premi per periode yang dikenakan kepada nasabah. a= Angka perbandingan premi minumum dan premi nasabah. P= Probability pertumbuhan (0
(𝑡)
𝑣 𝑡 𝑡 𝑃𝑥 𝑑𝑡
𝑎= 0
Misalkanpremidibayarsebagaikontinyuntahun anuitashidupsementaraditingkatPper tahun. Makanilai sekarangaktuariadaripremiadalah𝑃𝑎𝑥:𝑛 | dan, 𝑎𝑥:𝑛| diberikan oleh rumus: 𝑛
(𝑡)
𝑣 𝑡 𝑡 𝑃𝑥 𝑑𝑡
𝑎𝑥:𝑛 | = 0
Jikapremidibayarsebagaidiskritseluruh hidupanuitasjatuh tempo padatingkat pertahun, makanilai sekarangactuarialdaripremiadalah𝑃𝑎𝑥 , dan𝑎diberikan olehsebuah rumus :
∞ (𝑡)
𝑣 𝑘 𝑘𝑃𝑥
𝑎𝑥 = 𝑘=0
Misalkanbahwapremiyangdibayarkansebagaidiskritn-tahun anuitashidupsementarakarenapada tingkatPper tahun. sekarangaktuariadaripremiadalah 𝑎𝑥:𝑛 | , dan 𝑎𝑥:𝑛 |diberikan oleh:
Makanilai
𝑛 −1 (𝑡)
𝑣 𝑘 𝑘𝑃𝑥
𝑎𝑥:𝑛 | = 𝑘=0
Dengan demikian, sekali kita memiliki pengetahuan tentang fungsi survival tp (τ) x, kita dapat mengetahui nilai sekarang aktuaria dari premi untuk berbagai model pembayaran premi, seperti premium terus menerus dan premium diskrit. Dengan prinsip kesetaraan,premi kemudian diperoleh sebagai[8]: 𝑷𝒓𝒆𝒎𝒊 =
𝐍𝐢𝐥𝐚𝐢𝐦𝐚𝐧𝐟𝐚𝐚𝐭𝐚𝐤𝐭𝐮𝐚𝐫𝐢𝐚𝐬𝐞𝐤𝐚𝐫𝐚𝐧𝐠 𝐍𝐢𝐥𝐚𝐢 𝐀𝐤𝐭𝐮𝐚𝐫𝐢𝐚 𝐬𝐞𝐤𝐚𝐫𝐚𝐧𝐠 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐚𝐧𝐮𝐢𝐭𝐚𝐬 𝐩𝐫𝐞𝐦𝐢
HASIL DAN DISKUSI 1. Perhitungan Premi dengan Metode Anuitas dan Gomperzt Berikut ini adalah analisis perhitungan dengan Metode Anuitas untuk menghitung jumlah tabungan yang harus ditabungkan berdasarkan Ilustrasi produk dari data: Diketahui seorang nasabah ingin mempunyai uang sejumlah 100 juta untuk biaya pendidikan anaknya dalam kurun waktu 12 tahun(klaim meninggal pada usia 45 tahun), dia ingin menabung secara triwulan. Maka dengan tingkat suku bunga yang ditentukan oleh pihak asuransi, dalam hal ini telah ditentukan bahwa tingkat suku bunganya adalah 10%, maka dapat dihitung jumlah tabungan yang harus ditabungkan dengan: 0,1 (1 + 4 )12 4 − 1 𝑅 = 100.000.000 ÷ 0,1 4 𝑅 = 1.100.594 Jadi dengan tingkat suku bunga 10%, nasabah harus mulai menabung sebesar 1.100.594 rupiah tiap triwulannya. Nasabah yang ingin mempunyai tabungan sebesar 100 juta dalam waktu 12 tahun ternyata adalah seorang laki-laki berumur 39 tahun yang bekerja sebagai seorang wiraswasta. Anaknya berusia 6 tahun pada saat pendaftaran polis asuransi pendidikan.Si Nasabah menginginkan Uang Pertanggungan sebesar 200 juta apabila meninggal secara tiba-tiba. Dengan data demikian, maka biaya asuransi atau preminya dapatdihitung: Diketahui asumsi si nasabah akan meninggal pada usia 45 tahun. Akan dicari nilai sekarang (present value) Uang Pertanggungan 200 juta pada saat nasabah mengambil uangnya yang 100 juta di usia 45 tahun, dengan rumus nilai sekarang : 200.000.000 𝑃= 1 + 0,05 6 𝑃 = 22.259.324 Setelah itu, akan dihitung anuitas yang harus dibayarkan untuk mendapatkan Rp. 200.000.000 dalam waktu 6 tahun dengan perhitungan: 0,1 (1 + 4 )(6)(4) − 1 𝑅 = 200.000.000 ÷ 0,1 4
𝑅 = 2.764.416 Karena didalam rumus perhitungan metode Gompertz terdapat perbandingan premi minimum dan premi nasabah, maka kita harus menghitung premi minum terlebih dahulu. Cara menghitung premi untuk UP minimum sebesar 20 juta menggunakan perhitungan Present value dan Anuitas sebagai berikut: 20.000.000 𝑃= 1 + 0,1 45 𝑃 = 2.225.932 0,1 (1 + 4 ) 6 4 − 1 𝑅 = 2.225.932 ÷ 0,1 4 𝑅 = 30.767 Berikutnya harus dihitung biaya tambahan yang akan menambah biaya anuitas diatas dengan rumus Gompertz yaitu : 𝑡 = 0,25 𝑥 39 + 0,25 𝑥 1 + 0,25 𝑥 1 + 0,25 𝑥 6 = 11,75 11,75 𝑁 = 80.103 0,1 0,5 𝑁 = 80.159 Jadi, Premi yang harus dibayarkan nasabah yang ingin mendapatkan tabungan sebesar 100 juta dalam kurun waktu 12 tahun yaitu sebesar: 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑡𝑟𝑖𝑤𝑢𝑙𝑎𝑛 = 𝑅 + 𝑅 𝑘𝑙𝑎𝑖𝑚𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎𝑙 + 𝑁 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑡𝑟𝑖𝑤𝑢𝑙𝑎𝑛 = 1.100.594 + 2.764.416 + 80.159 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑡𝑟𝑖𝑤𝑢𝑙𝑎𝑛 = 3. 945.169 𝑆𝑒𝑙𝑖𝑠𝑖ℎ𝑃𝑒𝑟ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖 = 3.945.169 − 3.832.400 = 112. .769 Dari hasil perhtungan premi diatas, akan ditentukan presentase selisih antara perhitungan premi dari data dengan hasil perhitungan premi menggunakan metode Anuitas dan metode Gompertz. 112.769 𝑥 100% 3.945.169 = 2%
Presentase selisih =
2. Perhitungan Premi dengan Multiple Decreaments Diketahui seorang nasabah ingin mempunyai uang sejumlah 100 juta untuk biaya pendidikan anaknya dalam kurun waktu 12 tahun (klaim meninggal pada usia 45 tahun), dia ingin menabung secara triwulan. Maka dengan tingkat suku bunga yang ditentukan oleh pihak asuransi, dalam hal ini telah ditentukan bahwa tingkat suku bunganya adalah 10%. MisalkanA=0.0025, B=0.025, danC=1,095. Manfaatnyauntukdibayarkanpadasaat kematianditentukan sebagai100.000.000 jika kematian disebabkan karena 2 kendala, maka mengunakan Program R nilai premi dapat dihitung dengan perintah sebagai berikut [8]: a1 <- 0.0025 #A; > b <- 0.0025 # B; > a <- 1.095 # C;
> m <- b/log(a, base=exp(1)); > e <- exp(1); > del <- 0.05; > f <- a1+del; > p <- (-f/log(a, base=exp(1)))+1 # λ1; > j <- m*a^x # αx; > x <- 33; > n <- 1:12; > q1 <- e^j*gamma(p)*(j^(1-p))*(1-pgamma(1, p, j)); > q2 <- (a1/f)*(1-q1); > q<- e^j*gamma(p)*(j^(1-p))*(pgamma(a^n, p, j)-pgamma(1, p, j)); > q4 <- (1-q-e^(j-f*n-j*a^n))/f # ¯ax: ¯n|; > q3 <- 2*a1*(1-q-e^(j-f*n-j*a^n))/f; > pr1 <- 100000000*q/q4; > pr2 <- 100000000*q3/q4; > pr3 <- pr1+pr2; > d <- round(data.frame(pr1, pr2, pr3), 2); > d1 <- data.frame(n, d); > d1 # Table 1;
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tabel 1. Nilai Premi dengan Multiple Decreamnents dalam R n Pr1 Pr 2 1 3.980.306 50000 2 1.0291.313 50000 3 26.289.187 50000 4 64.510.197 50000 5 4.724.974 50000 6 11.954.696 50000 7 28.808.642 50000 8 65.457.241 50000 9 5.504.693 50000 10 13.296.334 50000 11 29.662.920 50000 12 65.481.239 50000
Pr3 4.480.306 10.791.313 26.789.187 65.010.197 5.224.974 12.454.696 29.308.642 65.957.241 6.004.693 13.796.334 30.162.920 65.981.239
Dari hasil perhtungan premi diatas, akan ditentukan presentase selisih antara perhitungan premi yang ditetapkan PT Bumiputera dengan hasil perhitungan premi menggunakan metode Multiple Decreaments. 𝑆𝑒𝑙𝑖𝑠𝑖ℎ𝑃𝑒𝑟ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖 = 3.980.306 − 3.832.400 = 147.906 147.906 Presentase selisih = 𝑥 100% 3.980.306 = 3%
KESIMPULAN Berdasarkan hasil perhitungan dengan metode Anuitas untuk menentukan jumlah tabungan, serta dilanjutkan dengan metode Gompertz untuk memperhitungkan faktor-faktor yang mempengaruhi perhitungan premi asuransi pendidikan didapatkan hasil perhitungan premi yang mendekati nilai premi yang ditetapkan pihak Asuransi Pendidikan PT.Bumiputera Yogyakarta. Persentase selisih hasil analisis perhitungan premi dengan menggunakan metode Anuitas dan metode Gompertz yang dibandingkan dengan nilai premi berdasarkan data dari PT. Bumiputera Yogyakarta adalah sebesar 2%. Sedangkan perhitungan nilai premi dengan menggunakan Multiple Decreaments mempunyai selisih yang lebih besar yaitu 3%. Angka ini diperoleh untuk menentukan nilai premi dasar pada perusahaan asuransi, sehingga dapat menjadi acuan dalam pengambilan keputusan untuk membeli produk asuransi pendidikan.
DAFTAR PUSTAKA [1] Huang.V, Kristiani.F “Analisis Kesesuaian Hukum Mortalita Gompertz dan Mahekam Terhadap Tabel Mortalita Amerika Serikat dan Indonesia”, Prosiding Seminar Nasinal Matematika Universitas Katolik Parahyangan , vol 2, 2012 [2] Bowers, N.L, Gerber H.U, dkk. 199, “Actuarial Mathematics Second Edition.Illinois’, The Society of Actuaries [3] Futami, Takashi. 1993, ”Matematika Asuransi Jiwa Bagian IncorporatedFoundation Oriental Life Insurance Cultural Development Center.
I.
Tokyo”,
[4] Isjoni.(2008), a. Memajukan Bangsa dengan Pendidikan; b. Guru Sebagai Motifator Perubahan. Yogyakarta: Pustaka Pelajar. [5] Sugiyono, 2010, Metode Penelitian Kuantitatif Kualitatif dan R&D, Bandung: Alfabeta [6] Salim, Abbas. (2000), “Asuransi dan Manajemen Risiko”, Jakarta: Raja GrafindoPersada [7] Senduk S (2000), “Seri Perencanaan keluarga: Mengelola keuangan Keluarga”, Jakarta: Elex media Komputindo [8] Deshmukh.S (Springer India 2012), Multiple Decrement Models in Insurance, DOI 10.1007/978-81-322-0659-0_2, [9]. Finance Formula,“Present Value Annuity Factor”,http://www.financeformulas.net/Present-Value-Annuity-Factor.html [10] Herry, “Perancangan program aplikasi perhitungan premi asuransi jiwa dengan pendekatan metode Gompertz”,Skripsi UBINUS 2006,http://thesis.binus.ac.id/Asli/Bab1/101-00485-MTIF%20Bab%201.pdf [11] Investopedia, “Calculating The Present And Future Value Of Annuities”, http://www.investopedia.com/articles/03/101503.asp [12] Margareta.L “Analisis Anuitas Pada Penentuan Premi Asuransi Jiwa”,http://lib.uinmalang.ac.id/files/thesis/fullchapter/06510055.pdf
[13] Panca,”Asuransi Sebagai Kebutuhan Hidup” ,Kompasiana.com,2013,http://ekonomi.kompasiana.com/moneter/2013/03/01/asuransisebagai-kebutuhan-hidup 533168.html [14] Susanto R, “Analisis Dan perancangan Program Aplikasi Perhitungan Premi Asuransi Menggunakan Metode Anuitas dan Gomperzt”,2010,http://thesis.binus.ac.id/Asli/Cover/2010-1-00485-MTIF%20Cover.pdf
DAFTAR PUSTAKA [1] Huang.V, Kristiani.F “Analisis Kesesuaian Hukum Mortalita Gompertz dan Mahekam Terhadap Tabel Mortalita Amerika Serikat dan Indonesia”, Prosiding Seminar Nasinal Matematika Universitas Katolik Parahyangan , vol 2, 2012 [2] Bowers, N.L, Gerber H.U, dkk. 199, “Actuarial Mathematics Second Edition.Illinois’, The Society of Actuaries [3] Futami, Takashi. 1993, ”Matematika Asuransi Jiwa Bagian IncorporatedFoundation Oriental Life Insurance Cultural Development Center.
I.
Tokyo”,
[4] Isjoni.(2008), a. Memajukan Bangsa dengan Pendidikan; b. Guru Sebagai Motifator Perubahan. Yogyakarta: Pustaka Pelajar. [5] Sugiyono, 2010, Metode Penelitian Kuantitatif Kualitatif dan R&D, Bandung: Alfabeta [6] Salim, Abbas. (2000), “Asuransi dan Manajemen Risiko”, Jakarta: Raja GrafindoPersada [7] Senduk S (2000), “Seri Perencanaan keluarga: Mengelola keuangan Keluarga”, Jakarta: Elex media Komputindo [8] Deshmukh.S (Springer India 2012), Multiple Decrement Models in Insurance, DOI 10.1007/978-81-322-0659-0_2, [9]. Finance Formula,“Present Value Annuity Factor”,http://www.financeformulas.net/Present-Value-Annuity-Factor.html [10] Herry, “Perancangan program aplikasi perhitungan premi asuransi jiwa dengan pendekatan metode Gompertz”,Skripsi UBINUS 2006,http://thesis.binus.ac.id/Asli/Bab1/101-00485-MTIF%20Bab%201.pdf [11] Investopedia, “Calculating The Present And Future Value Of Annuities”, http://www.investopedia.com/articles/03/101503.asp [12] Margareta.L “Analisis Anuitas Pada Penentuan Premi Asuransi Jiwa”,http://lib.uinmalang.ac.id/files/thesis/fullchapter/06510055.pdf [13] Panca,”Asuransi Sebagai Kebutuhan Hidup” ,Kompasiana.com,2013,http://ekonomi.kompasiana.com/moneter/2013/03/01/asuransisebagai-kebutuhan-hidup 533168.html [14] Susanto R, “Analisis Dan perancangan Program Aplikasi Perhitungan Premi Asuransi Menggunakan Metode Anuitas dan Gomperzt”,2010,http://thesis.binus.ac.id/Asli/Cover/2010-1-00485-MTIF%20Cover.pdf
LAMPIRAN
LAMPIRAN 1 : Data penelitian dari PT. Asuransi Bumiputera Yogyakarta yang terdiri dari Ilustrasi produk dan Rincian data Polis
LAMPIRAN 2 : REFERENSI RANCANGAN PROGRAM MULTIPLE DECREAMENTS UNTUK MAKALAH 2 Data rancangan Program dari Pustaka [8] Deshmukh.S (Springer India 2012), Multiple Decrement Models in Insurance, DOI 10.1007/978-81-322-0659-0_2, Bab II halaman 63-65
> a <- 1.095 # C; > a1 <- 0.00025 # A; > b <- 0.00025 # B; > m <- b / log(a, base= exp (1)); > e <- exp (1); > del<- 0.05; > f<- a1+del; > p<- (-f/log(a, base=exp(1)))+1 # ?1; > x<- c(30, 40,50,60); > j<- m*a^x # ax; > q1 <- e^j*gamma(p)*(j^(1-p))*(1-pgamma(1,p,j)) #first term in A_; > q2 <- (a1/f)*(1-q1) # second integral in A_; > q3 <- 1000*q1+2000*q2 #A-: > q4 <- (1-q1)/f #a_x;
> p1 <- 1000*q1/q4 # premium correponding to cause 1; > p2 <- 1000*2*q2/q4 # premium corresponding to cause 2; > p3 <- p1+p2 # premium ; > d <- round(data.frame(q3, q4, p1, p2, p3), 4); > d1<- data.frame(x, d); > d1 #table 2.1; x
q3
q4
p1 p2
p3
1 30 202.7679 16.2039 10.9135 1.6 12.5135
2 40 290.3918 14.4229 18.5340 1.6 20.1340 3 50 406.6817 12.0593 32.1234 1.6 33.7234 4 60 545.6951 9.2338 57.4973 1.6 59.0973 > > x <- 30; > n <- 1:10; > j <- m*a^x; > q1<- e^j*gamma(p)*(j^(1-p))*(1-pgamma(1, p, j)); > q2<- (a1/f)*(1-q1); > q <- e^j*gamma(p)*(j^(1-p))*(pgamma(a^n, p, j)-pgamma(1, p, j)); > q4<- (1-q-e^(j-f*n-j*a^n))/f # ¯ a > q4<- (1-q-e^(j-f*n-j*a^n))/f # ¯ ax: ¯ n | > q4<- (1-q-e^(j-f*n-j*a^n))/f # ¯ ax: ¯ n |; > p1<- 1000*q1/q4; > p2<- 1000*2*q2/q4; > p3<- p1+p2; > d<- round(data.frame(p1, p2, p3), 2); > d1<- data.frame(n, d); > d1 #table 2.2; n
p1
p2
p3
1 1 53.83 30.61 84.44 2 2 27.60 15.69 43.29 3 3 18.86 10.73 29.59 4 4 14.50 8.25 22.75 5 5 11.89 6.76 18.65 6 6 10.15 5.77 15.93 7 7 8.91 5.07 13.98
8 8 7.99 4.54 12.53 9 9 7.27 4.13 11.41 10 10 6.70 3.81 10.51
> q3 <- 2*a1*(1-q-e^(j-f*n-j*a^n))/f; > pr1 <- 1000*q/q4; > pr2 <- 1000*q3/q4; > pr3 <- pr1+pr2; > d <- round(data.frame(pr1, pr2, pr3), 2); > d1 <- data.frame(n, d); > d1 #table 2.3; n pr1 pr2 pr3 1 1 0.16 1.6 1.76 2 2 0.17 1.6 1.77 3 3 0.17 1.6 1.77 4 4 0.18 1.6 1.78 5 5 0.19 1.6 1.79 6 6 0.20 1.6 1.80 7 7 0.21 1.6 1.81 8 8 0.22 1.6 1.82 9 9 0.23 1.6 1.83 10 10 0.24 1.6 1.84
LAMPIRAN 3
: Hasil Rancangan Program yang diterapkan pada makalah 2
a1 <- 0.0025 #A; > b <- 0.0025 # B; > a <- 1.095 # C; > m <- b/log(a, base=exp(1)); > e <- exp(1); > del <- 0.05; > f <- a1+del; > p <- (-f/log(a, base=exp(1)))+1 # λ1; > j <- m*a^x # αx; > x <- 33; > n <- 1:12; > q1 <- e^j*gamma(p)*(j^(1-p))*(1-pgamma(1, p, j)); > q2 <- (a1/f)*(1-q1); > q<- e^j*gamma(p)*(j^(1-p))*(pgamma(a^n, p, j)-pgamma(1, p, j)); > q4 <- (1-q-e^(j-f*n-j*a^n))/f # ¯ax: ¯n|; > q3 <- 2*a1*(1-q-e^(j-f*n-j*a^n))/f; > pr1 <- 100000000*q/q4; > pr2 <- 100000000*q3/q4; > pr3 <- pr1+pr2; > d <- round(data.frame(pr1, pr2, pr3), 2); > d1 <- data.frame(n, d); > d1 # Table 1;
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tabel 1. Nilai Premi dengan Multiple Decreamnents dalam R n Pr1 Pr 2 1 3.980.306 50000 2 1.0291.313 50000 3 26.289.187 50000 4 64.510.197 50000 5 4.724.974 50000 6 11.954.696 50000 7 28.808.642 50000 8 65.457.241 50000 9 5.504.693 50000 10 13.296.334 50000 11 29.662.920 50000 12 65.481.239 50000
Pr3 4.480.306 10.791.313 26.789.187 65.010.197 5.224.974 12.454.696 29.308.642 65.957.241 6.004.693 13.796.334 30.162.920 65.981.239
