ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING SKRIPSI. SRI KEUMALAWATI (Operasi Riset)

ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING

SKRIPSI

SRI KEUMALAWATI 050803046 (Operasi Riset)

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010.

ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING

SKRIPSI Diajukan untuk memenuhi syarat mendapat gelar Sarjana Sains

SRI KEUMALAWATI 050803046 (Operasi Riset)

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009


ii

PERSETUJUAN

JuduL

Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas

: ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING. : SKRIPSI : SRI KEUMALAWATI : 050803046 : SARJANA (SI) MATEMATIKA : MATEMATIKA :MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, Desember 2009

Komisi Pembimbing

:

Pembimbing 2

Drs. Bambang Irawan, M.Sc. NIP: 194704211976031001

Pembimbing 1

Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP: 194612251974031001

Diketahui/Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP: 194601091988031004


iii

PERNYATAAN

ANALISIS

PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

Desember 2009

Sri Keumalawati NIM: 050803046


iv

PENGHARGAAN

Bismillahirrahmanirrahim Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT Yang Maha Esa dan Kuasa atas segala-galanya, dengan limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan Skripsi ini merupakan salah satu syarat yang harus dipenuhi dan diselesaikan oleh seluruh mahasiswa fakultas FMIPA Departemen matematika. Pada skripsi ini penulis mengambil judul skripsi tentang Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan dalam menentukan Solusi Goal Programming. Demikian, penulis juga menyadari keterlibatan berbagai pihak yang telah membantu demi terselesaikannya skripsi ini. Oleh karena itu terima kasih penulis ucapkan kepada: 1. Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku dosen dan pembimbing I yang telah memberikan banyak bimbingan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan tugas akhir ini. 2. Bapak Drs. Bambang Irawan, M.Sc selaku dosen dan pembimbing II atas bantuan dan penjelasan yang diberikan demi selesainya skripsi ini. 3. Bapak Drs. H. Haluddin Panjaitan dan ibu Dra. Elly Rosmaini, M.si selaku komisi penguji atas masukan dan saran yang telah diberikan demi perbaikan skripsi ini. 4. Bapak Dr. Saib Suwilo M.Sc dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.si selaku ketua dan sekretaris departemen matematika FMIPA USU 5. Bapak Prof. Dr. Eddy Marlyanto M.Sc selaku Dekan FMIPA USU 6. Ayahanda Marzuki Ibr, dan Ibunda Zulkhairani, yang sangat saya kasihi dan sayangi atas doa dan dukungan moril maupun materil yang diberikan selama ini. 7. Adek-adek tersayang: D’Raudhah, D’Fahmi, D.Arif Fardillah, D’Lisa (sepupu), D’Hasya(sepupu), D’Tasya, D’Intan, dan D’Dira(sepupu) yang selalu memberikan motivasi dan semangat dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 8. Ayahanda Husaini/M’da, Y’Bit/Mbit, Y’nas/B’Aini, C’li/C’Nu, y’lut dan kel tercint serta semua ahli famili yang saya sayangi, yang selalu memberikan nasehat serta motivasi serta bantuannya. 9. Yang Special Aa Feri yang selama ini memberi support dan motivasi yang tidak bosan sehingga saya lebih semangat dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 10. Rekan-rekan kuliah: D’Eel, D’Eci, Novita, Wulan, Febri dan stambuk 2005 seperjuangan yang tidak terlupakan dukungan dan bantuannya 11. Adek-adek kost: D’Ririn, D’Irma, D’Sari dan D’Sandra Rizal tercinta yang telah memberikan motivasi dan bantuannya. 12. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.


v

Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik dalam teori maupun penulisannya. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dari pembaca demi perbaikan bagi penulis, semoga segala kebaikan dalam bentuk bantuan yang telah diberikan mendapat balasan dari Yang Maha Kuasa. Akhir kata, kiranya skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak pembaca.

Hormat saya, Penulis


vi

ABSTRAK

Tujuan dari tulisaan ini adalah untuk menanggani masalah efisiensi pada masalah Goal Programming. Hal ini adalah membuktikan bahwa ketika banyak masalah Multiple Objective Programming berusaha untuk mengoptimalkan secara simultan untuk memperoleh satu himpunan yang tidak dapat membandingkan pertentangan dan tujuan dibawah beberapa kendala, Karena tujuan umumnya bertentangan. Solusi diperoleh melalui model Goal Programmingyang merupakan kompromi terbaik yang dapat dibuat di antara tujuan, solusi ini dapat memenuhi syarat sebagai solusi yang memuaskan (mendekati target).


vii

ABSTRACT

The aim of this paper is to deal with the problem of efficiency in the Goal Programming (GP) model. Indeed, it’s proved that when the Multiple Objective Programming (MOP) problem seeks to optimize simultaneonsly a set of incommensurable and conflicting objectives under some constraint, since the objectives are generally conflicting the solution, obtained through the Goal Programming model present the best compromise that can be made between these objectives this solution can qualified as the most satisfactory solution.


viii

DAFTAR ISI Halaman Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi Daftar tabel Daftar Gambar

ii iii iv vi vii viii ix x

BAB 1 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tinjauan Pustaka 1.4 Tujuan Penelitian 1.5 Konstribusi penelitian 1.6 Metodologi Penelitian

1 3 3 5 5 5

BAB II Landasan Teori 2.1 Goal Programming 2.2 Formulasi dan Model Goal Programming 2.3 Metode untuk menyelesaikan Goal Programming 2.4 Aplikasi Goal programming 2.5 Pareto Optimality 2.6 Konsep Solusi Pareto Optimal 2.7 Preferensi Pengambilan keputusan

10 11 14 14 20 23 24

BAB III Pembahasan 3.1 Analisis Pareto Optimal dengan Pembobotan dalam menentukan Solusi Goal programming. 3.2 Masalah Perencanaan Usahatani pada dua jenis tanaman (pear dan peach)

25 26

BAB IV Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 4.2 Saran

40 41

Daftar pustaka

42


ix

DAFTAR TABEL

Tabel

Halaman

2.1 Data perencanaan usahatani 2.2 Tabel simpleks maksimasi 3.1 Tabel simpleks maksimum Z1 3.2 Tabel titik ekstrim Z1 3.3 Tabel minimize Z2 3.4 Tabel titik ekstrim Z2 3.5 Tabel matriks pay-off 3.6 Tabel penafsiran variabel efisien dengan titik ekstrim 3.7 Tabel simpleks efektif


14 16 30 32 33 34 35 36 38

x

DAFTAR GAMBAR

Gambar

Halaman

3.1 Bagan pengambilan keputusan 3.2 Grafik maksimum Z1 3.3 Grafik minimize Z2


29 32 34

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Analisis Pareto optimal adalah salah satu teknik analisis dari kelompok teknik operasi riset yang memakai model matematika dalam menentukan solusi optimal untuk suatu solusi mungkin di mana suatu peningkatan di (dalam) nilai sekurangkurangnya satu fungsi tujuan lainnya, ukuran hanya dapat dicapai dengan penurunan nilai sedikitnya satu ukuran lain dari setiap fungsi tujuan tanpa dalam waktu yang bersamaan. Salah satu prinsip yang paling terkenal di dunia manajemen, termasuk Quality Management adalah Prinsip Pareto.

Semua masalah dalam dunia nyata erat kaitannya dengan pengambilan keputusan dalam menghadapi masalah tujuan ganda atau istilah lain adalah masalah Multiple Objective Programming. Dalam menangani permasalahan Multiple Objective Programming, orang harus berhati-hati menerapkan prinsip optimalitas. Prinsip optimalitas untuk menyelesaikan permasalahan dengan satu tujuan (single objective problem) tidaklah serta-merta dapat diterapkan di sini, apalagi mempertimbangkan kemungkinan adanya satu tujuan dengan tujuan lainnya adalah saling bertentangan (Conflicting).

Model matematis untuk mencari suatu solusi terbaik dari hasil gabungan fungsi-fungsi tujuan yang memenuhi kendala tertentu sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan melalui argumentasi logis untuk mereduksikan sebagian kemungkinan-kemungkinan keputusan yang banyak jumlahnya itu, untuk memperoleh solusi fisibel yang dapat diterima [4].


2

Pareto Optimality adalah sebuah konsep populer dalam menangani permasalahan ini di antara tujuan-tujuan tersebut. Sesuai namanya, konsep ini dikemukakan oleh Vilfredo (1906). Teori ini dapat digunakan untuk menangani optimalitas dari permasalahan Multiple Objective Programming.

Model Programming dapat dianggap sebagai kasus khusus di mana diperoleh solusi terbaik dengan meminimumkan total jumlah dan bobot nilai deviasi. Fungsi tujuan Goal Programming minimum jumlah variabel deviasi yang terkait dengan berbagai tujuan, sebagai berikut: p

Min Z =

i

i

i 1

Dengan: fi x x

i

i

gi ;

Xi ; i

Keterangan

dan i

i

,

i

0 untuk i

1, 2 ,..., p

: Deviasi positif dan deviasi negatif antara tingkat pencapaian

fi x

dan tingkat aspirasi gi dan X diperoleh solusi fisibel[3].

Di antara solusi Pareto Optimal itulah harus ditentukan solusi yang dianggap “terbaik” (preferred solution) sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan.

Konsep Optimum menurut formulasi tujuan tunggal yang menekankan pada ketunggalan solusi, secara format dapat dinyatakan sebagai berikut: “Setiap alternatif x* X adalah optimal hanya dan bila hanya untuk alternatif yang lainnya x

X berlaku hubungan

f x*

f x . Untuk suatu himpunan

variabel keputusan X dari fungsi f, akan selalu terdapat sekurang-kurangnya satu optimum x*[5].


3

1.2 Perumusan Masalah

Pendekatan parametrik adalah salah satu metoda untuk mendapatkan himpunan solusi Pareto Optimal. Formulasi persoalan tujuan ganda adalah sebagai berikut: Maks, f x

f 1 x i ,..., x k ,..., f n x 1 ,..., x k

Subject to: x 1 ,..., x k

Td

Dengan cara mentransformasikan terlebih dahulu persoalan program tujuan ganda menjadi format program tujuan tunggal adalah: n

Maks, f x i ,..., x k : w 1 ,..., w k

w p f p x 1 ,..., x k p 1

Subject to: x 1 ,..., x k

Td

Keterangan:: wp

:

Bobot yang diberikan terhadap fungsi tujuan p. Dengan cara

memberikan bobot yang berbeda-beda

0

wp

1

akan diperoleh

solusi Pareto Optimal pada daerah fisibel T0. Solusi yang dihasilkan akan berbentuk solusi Pareto Optimal juga disebut “solusi kompromi terbaik” yaitu solusi yang akan dinyatakan melalui pemberian nilai bobot w.

Pada program Goal Programming tidak mengenal solusi optimal yang mempunyai solusi ketunggalan dengan diperoleh solusi Pareto Optimal, akan diidentifikasikan suatu solusi optimal di antara sekian solusi fisibel yang menghasilkan nilai tertinggi dalam fungsi tujuan.

1.3 Tinjauan Pustaka

Andaikan suatu masalah Goal Programming. Nilai vektor fungsi tujuan f

f 1 ,..., f k

terdiri dari k nilai real fungsi tujuan f i : R n

R

adalah optimisasi

secara simultan. Variabel keputusan x termasuk daerah fisibel S

R

n

. Vektor


4

tujuan z

f x

adalah berada di ruang tujuan Rk, asumsikan yang diberikan

adalah bertentangan, bahwa semua tidak dapat diperoleh optimal sama dengan vektor keputusan x. Berdasarkan asumsi semua bagian fungsi tujuan adalah minimum. Karena masalah Goal Programming diperoleh bentuk. Minimum.

f 1 x ,..., f k x

Subject to: x

S

Minimum dari nilai vektor fungsi tujuan f dinyatakan sebagai Pareto Optimal. Sebuah vektor keputusan x * S merupakan solusi Pareto Optimal tidak ada vektor keputusan x S yang lain, dengan demikian f i x dan f j x

fi x *

for i =1,2,…,k

untuk terendah satu j. Rasio solusi terakhir dari pengambilan

fj x*

keputusan adalah solusi Pareto Optimal[2].

Model matematis tujuan majemuk, yang cirinya yang tidak mengenal solusi tunggal menyebabkan solusi yang dihasilkan berbentuk alternatif-alternatif Pareto Optimal yang kemudian perlu direduksi oleh pengambil keputusan, sebelum memperoleh solusi yang terbaik di antara alternatif-alternatif tersebut. Solusi Pareto Optimal yang dikembangkan dengan penggunaan parametrik yang diusulkan oleh Geoffrion dengan formulasi berikut ini. Min.

f1 x

1

f2 x

Subject to: b

f3 x

a

X

Td

X g X

0

Keterangan: f1 x , f 2 x dan f 3 x

: tiga fungsi tujuan yang dipilih dengan vektor keputusan x R n

Td

: daerah fisibel variabel keputusan g(x) fungsi kendala vektor G : R k

R

m

: parameter yang berubah di antara ( 0 a,b

1)

: batas atas dan bawah koefisien.


5

Dalam penentuan solusi terbaik di antara himpunan solusi Pareto Optimal tersebut dapat diperoleh melalui tradeoffs di antara fungsi-fungsi tujuan yang tidak dapat memberikan solusi yang paling memuaskan yang mungkin dicapai[11].

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan tulisan ini adalah dengan menggunakan bobot-bobot berinterval (parametric programming) mula-mula sejumlah titik-titik efisien (solusi noninferior atau Pareto Optimal) akan dikembangkan. Dengan ditetapkannya parameter itu, semua titik-titik ekstrim di sekitar permukaan efisien dari daerah fisibel dapat diperoleh.

Setelah solusi-solusi efisien di daerah fisibel diketahui, tahap berikutnya adalah memilih kesekian banyak titik-titik efisien tersebut suatu solusi “terbaik”.

1.5 Kontribusi Penelitian

Selain untuk tambahan literatur dan pengetahuan pembaca yang sedang mempelajari Goal Programming, semoga penelitian ini bermanfaat bagi pembaca dan peneliti lain yang ingin meneliti masalah yang menggunakan konsep yang sama dan secara umum dapat memberi kontribusi pada pengguna Pareto Optimal dengan pembobotan dalam menentukan solusi optimal yang mungkin dicapai pengambilan keputusan.

1.6 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan dalam bentuk studi literatur dalam berbagai buku teks dan jurnal. Usulan langkah-langkah untuk Pareto Optimal dalam menentukan solusi Goal Programming dengan model pembobotan adalah sebagai berikut:


6

p

Min.

Z

wi

i

wi

i

gi

i

i 1

Subject to: fi x

i

X

x

i

dan

untuk i

1, 2 ,..., p

n

R ; i

0

untuk i

1, 2 ,..., p ;

Keterangan: wi , wi

: vektor pembobotan yang diberikan terhadap deviasi positif dan deviasi negatif dari tujuan i.

Catatan (disimpan): Asumsikan X adalah compact dan fi (for i=1,2,…,p) kontinu dari X, formulasi tersebut mempunyai solusi. Tidak ada jaminan bahwa solusi ini adalah Pareto Optimal.

Pada penentuan Pareto Optimal secara umum, banyak tipe dari masalah Goal Programming di mana himpunan variabel keputusan adalah compact dan fungsi tujuan adalah kontinu. Akan diperoleh solusi optimal dan mendominasi nanti[5].

Teorema: Andaikan X adalah compact dan fungsi fi (for i=1,2,…,p) adalah kontinu p

Min x X

fi x i 1

Untuk: X

xx

X , dan f i x

fi x ,i

1, 2 ,..., p

adalah Pareto Optimal, Jika tidak

bukan solusi Pareto Optimal.

Bukti: Dengan kontribusi x

X , Karena X adalah compact dan fungsi fi (for i=1,2,…,p)

adalah kontinu, X adalah compact. Akibatnya, Program (2) setidaknya memiliki satu solusi. Untuk menunjukkan bahwa ada solusi dari program (2) adalah solusi Pareto Optimal dengan membiarkan x0 menjadi solusi untuk program (2). Prosedur untuk mencari solusi Pareto Optimal yang mendominasi ini.


7

Prosedur: Asumsikan bahwa teorema di atas diperoleh solusi Pareto Optimal. Langkah 1: Pandang program (1) jika x menjadi solusi dari program ini. Langkah 2: Pandang program (2) jika x 0 p

-Jika

X menjadi solusi dari program ini.

p

fi x

fi x

i 1

0

, maka x adalah solusi program (2). Ini berarti bahwa

i 1

Pareto Optimal. p

-Jika

p

fi x

0

i 1

, yaitu x adalah bukan solusi program (2). Dengan

fi x i 1

alternatif-alternatif x 0

X , akan diperoleh f i x

fi x

for i

1, 2 ,..., p dan

0

ada j yang seperti itu f j x 0 dan mendominasi

0

f j x . Oleh karena itu x adalah Pareto Optimal

x . Pengambilan keputusan dapat mengambil sebagai

keputusan yang optimal[3].

Metodologi

Goal

Programming

dengan

metode

Interactive

Linear

Programming yang mempunyai struktur dari matematika rancangan sebagai berikut: a. Formulasi persoalan Goal Programming. b. Pendekatan pembobotan (parametric) sebagai pembangkit solusi Pareto Optimal. c. Mencari batas-batas optimisasi dengan tabel matriks pay-off. d. Menentukan

solusi

“terbaik”

atau

solusi

“optimal”

dengan

menggunakan kurva tradeoffs dan faktor penalti .

Definisi: X* adalah solusi non-inferior atau Pareto Optimal untuk persoalan Min f(x) d.p X f

Td x

: jika dan hanya jika tidak terdapat keadaan X f

x*

, dan f p x

fp x*

Td

, di mana

untuk beberapa fungsi tujuan p=1,2,…,n.


8

Teorema 1: Lihat persamaan Min.

f1 x

1

(1)

f2 x

Subject to:

I.

b

f3 x

a

X

Td

X g X

0

adalah selalu tidak akan pernah bertambah (monotonically non-

f1

increase) untuk ( 0

1) dan

f2

adalah selalu tidak akan pernah

berkurang (monotonically non-decrease) untuk ( 0 II. Setiap solusi X

1) .

dari persamaan (1) adalah Pareto Optimal untuk

0 ,1

.

III. Solusi Pareto Optimal bukanlah solusi yang tunggal dan karenanya merupakan suatu himpunan alternatif solusi-solusi yang banyak jumlahnya itu.

Teorema 2: I. Min. f 1

dan Maks. f 2

sebagaimana persamaan (1) adalah selalu

tidak akan pernah berkurang (monotonically non-decrease) untuk harga di 1) .

antara ( 0

II. Setiap solusi X (0

dari persamaan (1) adalah Pareto Optimal untuk

1) .

Lema 1: Teorema (2) di atas mengandung arti bahwa setiap solusi Pareto Optimal persamaan ini adalah alternatif dari solusi “terbaik” (preferred solution) dengan batas-batas harga yang terletak di antara ( 0

1) , dan dapat dinyatakan secara visual dalam bentuk

kurva tradeoffs.

Definisi: Solusi optimum adalah solusi terbaik dari hasil gabungan fungsi-fungsi tujuan yang memenuhi kendala tertentu, sesuai dengan preferensi pengambil keputusan melalui proses perimbalan (tradeoffs) di antara fungsi-fungsi tujuan yang tidak dalam keadaan sepadan.


9

Berdasarkan dari kriterianya tidak akan diperoleh solusi yang optimal yang tunggal dan di sinilah peranan pengambilan keputusan menjadi penting artinya. Karena itu perlu terlebih dahulu melakukan tradeoffs (penilaian tolak angsur) di antara tujuan-tujuan, sasaran-sasaran yang akan dioptimisasikan itu dengan demikian cirinya yang tidak mengenal ukuran tunggal, menyebabkan solusi yang dihasilkan berbentuk alternatif-alternatif yang kemudian perlu dievaluasikan oleh pengambil keputusan, sebelum memperoleh solusi terbaik di antara alternatif-alternatif tersebut.

Dengan menerapkan dasar-dasar teoritis yang telah dibahas dapat disusun oleh algoritma Interaktif optimisasi multiobjective dengan langkah-langkah berikut: Langkah 1: Buatlah formulasi model optimisasi multiobjectif dalam bentuk Linear Programming. Langkah 2: Buatlah tabel matriks pay-off untuk tiga fungsi tujuan f1,,f2, dan f3. Langkah 3: Carilah dari tabel matriks pay-off tersebut batas-batas atas (upper) dan bawah (lower) fungsi-fungsi tujuan f1,,f2, dan f3. Langkah 4: Bagilah rentangan f3 menjadi tiga kendala pembatas untuk masingmasing. Langkah 5: Buatlah kurva tradeoffs antara f1 dengan (0

,f 2

mengubah nilai

1) secara parametrik, dan f3 diperlakukan sebagai tiga rentangan

kendala pembatas.

Min.

f1 x

1

f2 x

Subject to: b

f3 x

a

X

Td

X g X

0

.

Langkah 6: Dengan menerapkan konsep penalti

dapat menentukan solusi “terbaik”

di antara solusi Pareto Optimal yang terlihat secara grafik pada kurva tradeoffs masing-masing tiga rentang kendala.


BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas beberapa pengertian dari Pareto Optimal pada Goal Programming yang akan digunakan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini, akan membahas masalah pembobotan dalam menentukan solusi Optimal pada Goal Programming. Beberapa konsep dan metoda analisis Pareto Optimal dengan pembobotan dalam menentukan solusi Goal Programming akan dipergunakan pada bab pembahasan.

Goal Programming

Program tujuan ganda yang dalam bahasa Inggris disebut Multiple Objective Programming atau Goal Programming adalah salah satu teknik analisis dari kelompok teknik operasi riset yang memakai model matematika yang merupakan modifikasi khusus dari program linear.

Goal Programming pertama kali diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper pada tahun 1961. Jadi boleh dikatakan sebagai suatu teknik analisis dalam kelompok operasi riset yang umurnya masih muda dibandingkan dengan teknik-teknik analisis yag lain. Akan tetapi dewasa ini penerapan teknik analisis ini sudah menyusup hampir keseluruh bidang pembangunan dan disiplin ilmu, seperti: bidang perencanaan sumber daya alam, bidang perencanaan akademis, perencanaan keuangan, dan lain-lain.

Adapun tujuan dari analisis Goal Programming adalah untuk meminimumkan jarak antara dan deviasi terhadap tujuan, target atau sasaran yang telah ditetapkan


11

dengan usaha yang dapat ditempuh untuk mendapatkan target atau tujuan tersebut secara memuaskan atau memenuhi target (paling tidak mendekati target) sesuai dengan syarat ikatan yang ada, yang membatasinya berupa sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala tujuan, dan sebagainya[6].

Formulasi dan Model Goal Programming

Metodelogi Goal Programming adalah bergerak dalam masalah-masalah yang tujuannya unidimensional (tujuan tunggal) ataupun Multidimensional (tujuan ganda, dan lebih dari dua). Formulasi Goal Programming hampir sama dengan formulasi Linear Programming. Tahap pertama, ditetapkan peubah-peubah pengambilan keputusan, selanjutnya spesifikasi yang dihadapi dan yang ingin di analisis, menurut prioritasnya (mana prioritas pertama, kedua, dan seterusnya). Urutan prioritas ini dapat disusun dalam skala kardinal maupun ordinal. Asumsi-asumsi yang berlaku Goal Programming adalah peubah-peubah deviasional yang terdiri dari peubah deviasi positif dan deviasi negatif.

Model umum dari Goal Programming (tanpa faktor prioritas di dalam strukturnya) adalah sebagai berikut. m

Min.

Z

Wi

i

i

i 1 m

=

Wi

Wi

i

i

i 1

Subject to; n

a ij X

j

i

bi

i

i 1

untuk i

1, 2 ,..., m tujuan

n

g kj X

j

atau

Ck

j 1

untuk i kendala

1, 2 ,..., p

fungsi ; j 1 , 2 ,..., n


12

X j, i

,

i

i

,

i

0

0

Keterangan: i

,

: jumlah unit deviasi positif dan deviasi negatif terhadap tujuan

i

(bi) : timbangan atau penalty (ordinal atau kardinal) yang diberikan

W i ,W i

terhadap suatu unit deviasi negatif atau deviasi positif terhadap tujuan (bi) aij

: koefisien teknologi fungsi kendala tujuan, yaitu yang berhubungan dengan tujuan peubah pengambilan keputusan (Xj).

Xj

: peubah pengambilan keputusan

bi

: tujuan atau target yang ingin dicapai

gkj

: koefisien fungsi kendala biasa.

Ck

: jumlah sumber daya k yang tersedia

Catatan: bahwa jika tidak dapat mencapai deviasi positif dan deviasi negatif dari tujuan atau target yang ditetapkan secara sekaligus atau simultan, maka salah satu dari peubah deviasional atau ke dua-duanya akan menjadi nol seperti yang ditunjukkan berikut ini:

li

Z i , jika l i

Zi

i

o,

jika l i

Zi

0,

jika l i

Zi

dan

i

Zi

l i , jika l i

Zi

Keterangan: li = target Zi = tujuan


13

Keadaan di mana koefisien teknologi aij yang berhubungan dengan fungsi kendala tujuan, dan gkj yang berhubungan dengan fungsi kendala sumber daya harus ditetapkan secara eksplisit. Hal ini berarti bahwa tradeoffs di antara fungsi tujuan tidak perlu dikuantifikasikan. tetapi satu tujuan dengan tujuan lainnya saling bertentangan. Dengan demikian harus ditetapkan terlebih dahulu mana di antara berbagai tujuan tersebut yang diutamakan dan diprioritaskan

Faktor prioritas dapat ditentukan mana tujuan yang lebih penting sebagai prioritas ke-1, dan tujuan yang kurang penting ditentukan sebagai prioritas ke-2, dan seterusnya. Pembagian prioritas tersebut adalah pengutamaan (preemptive). Jadi harus di susun dalam suatu urutan (rangking) menurut prioritasnya, sehingga dapat dinyatakan faktor prioritas sebagai Pi (untuk i=1,2,…,m). Faktor-faktor prioritas tersebut memiliki hubungan sebagai berikut: Pi >>>P2 >>>P3>>>Pi+1 Untuk: >>> = ”jauh lebih tinggi daripada” Dengan demikian, model umum yang memiliki struktur timbangan pengutamaan (preemptive weights) dengan urutan ordinal. m

Min.

Z=

( Py W i , y

Ps W i , s

i

i

)

i 1

Subject to; n

a ij X

j

i

bi

i

i 1

untuk i

1, 2 ,..., m tujuan

n

g kj X

atau

j

Ck

j 1

untuk i kendala

X j, i

,

i

i

,

i

1, 2 ,..., p

fungsi ; j 1 , 2 ,..., n

0

0

Keterangan: i

,

i

P y , Ps

: deviasi positif dan deviasi negatif dari tujuan atau target ke-i : faktor-faktor prioritas


14

W i, y

: timbangan relatif dari

i

dalam urutan rangking ke-y.

W i,s

: timbangan relatif dari

i

dalam urutan rangking ke-s[6].

Metode Untuk Menyelesaikan Goal Programming

Pada perumusan Goal programming diberikan pembobotan yang khusus pada tujuantujuan yang ingin dicapai dan pada berbagai prioritas yang diberikan dalam mencapai tujuan-tujuan tersebut. Hal ini dilakukan terhadap tujuan atau sasaran tidak mungkin tercapai karena menunjukkan tidak terdapat preferensi terhadap mana yang lebih diutamakan dan diberikan bobot yang lebih berarti daripada yang lain dan baik i

maupun

i

diberikan bobot yang lebih besar daripada nol

Aplikasi Goal Programming

Model perencanaan di bidang pertanian

Tabel 2.1: Data Perencanaan Usahatani No 1

2

3

Variabel Keputusan NPV (Rp/ha) Sumber penghasilan: Modal tahun1 Tahun 2 tahun 3 Tahun 4 Tenaga kerja tahunan Pemangkasan Panen Mesin Pengolahan (jam/ha)

Tanaman Pear (X1/ha) 6250

Tanaman Peach (X2/ha) 5000

Modal tahunan

550 200 300 325

400 175 250 200

15000 22000 29000 36000

120 400

100 450

35

35

Ketersediaan Sumberdaya Pemangkasan (jam/musim) Panen

Max. traktor (jam)

4000 2000

Tujuan Usahatani: 1. Maksimumka NPV (Net Present Value) 2. Minimimumkan pinjaman modal selama 4 tahun


1000

15

3. Minimimumkan tenaga kerja musiman untuk pemangkasan dan panen 4. Minimimumkan sewa traktor (adalah kepentingan yang saling bertentangan) Strategi dengan Linear Programming biasa: 1. NPV dimaksimumkan 2. Tujuan lain sebagai kendala sumberdaya 3. Total sumber penghasilan: Surplus tahun 1 dimasukkan sebagai tambahan tahun berikutnya.

Pendekatan program linier Maks. Z= 6250 X1 + 5000 X2 Subject to: 500X1 + 400X2

15.000

750X1 + 575X2

22.000

1050X1 + 825X2

29.000

1375X1 + 1025X2 120X1 + 180 X2 400X1

2000

450X2

2000

35X1 +35X2 X1, X2

36.000 4000

1000

0


16

Menguji optimalitas dengan metode simpleks sebagai berikut: A. Maksimasi Tabel 2.2: Tabel simpleks Maksimasi Iterasi 0 6250

5000

0

0

0

0

0

0

0

0

Basis

C

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

B

X3

0

500

400

1

0

0

0

0

0

0

0

15000

X4

0

750

575

0

1

0

0

0

0

0

0

22000

X5

0

1050

825

0

0

1

0

0

0

0

0

29000

X6

0

1375

1025

0

0

0

1

0

0

0

0

36000

sxX7

0

120

180

0

0

0

0

1

0

0

0

4000

X8

0

400

0

0

0

0

0

0

1

0

0

2000

X9

0

0

450

0

0

0

0

0

0

1

0

2000

X10

0

35

35

0

0

0

0

0

0

0

1

1000

6250

5000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Zj-Cj

Iterasi 1 6250

5000

0

0

0

0

0

0

0

0

Basis

C

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

B

X3

0

0

400

1

0

0

0

0

-1.25

0

0

12,500

X4

0

0

575

0

1

0

0

0

-1.875

0

0

18,250

X5

0

0

825

0

0

1

0

0

-2.625

0

0

23,750

X6

0

0

1025

0

0

0

1

0

-3.4375

0

0

29,125

X7

0

0

180

0

0

0

0

1

-0.3

0

0

3,400

X1

6250

1

0

0

0

0

0

0

0.0025

0

0

5

X9

0

0

450

0

0

0

0

0

0

1

0

2,000

X10

0

0

35

0

0

0

0

0

-0.0875

0

1

825

0

5000

0

0

0

0

0

-15.625

0

0

31.250

Zj-Cj


17

Iterasi 2 6250

5000

0

0

0

0

0

0

0

0

Basis

C

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

B

X3

0

0

0

1

0

0

0

0

-1.25

-0.889

0

10,722.22

X4

0

0

0

0

1

0

0

0

-1.875

-1.278

0

15,694.44

X5

0

0

0

0

0

1

0

0

-2.625

-1.833

0

20,083.33

X6

0

0

0

0

0

0

1

0

-3.4375

-2.278

0

24,569.44

X7

0

0

0

0

0

0

0

1

-0.3

-0.4

0

2,600

X1

6250

1

0

0

0

0

0

0

0.0025

0

0

5

X2

5000

0

1

0

0

0

0

0

0

0.0022

0

4.4444

X10

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.0875

-0.078

1

669.4444

0

0

0

0

0

0

0

-15.625

0

0

53472.22

Zj-Cj

Solusinya: X1 = 5 ha X2 = 4.44 ha NPV = 53.472 Tenaga kerja panen digunakan semua Sumberdaya lainnya tidak habis digunakan, ada sisa sumberdaya. Menurut Linear Programming ini optimal karena: 1. Tujuan yang diformulasikan sebagai kendala dipenuhi dulu sebelum NPV 2. Setiap solusi yang layak harus memenuhi fungsi kendala

Pendekatan tujuan tunggal dengan banyak fungsi kendala seperti ini lazimnya menghasilkan solusi yang tidak memuaskan, sehingga muncullah pendekatan Multiple Criteria atau sering disebut Goal Programming[8].

Dalam model Goal Programming, formula ketidak-samaan seperti di atas dianggap sebagai tujuan (g) dan bukan sebagai kendala Right hand side values (RHS) merupakan target yg dapat tercapai atau hanya dapat didekati. Untuk setiap fungsi tujuan diberi dua macam variabel (

i

dan

i

) untuk mengubahnya menjadi

persamaan:


18

6250X1 + 5000X2 + 500X1 + 400X2 + 750X1 + 575X2 +

1

2

2

3

1050X1 + 825X2 +

3

4

1375X1 + 1025X2 + 120X1 + 180 X2 +

1

4

5

5

6

6

= 200.000

g1

= 15.000

g2

= 22.000

g3

= 29.000

g4

= 36.000

g5

= 4000

g6

400X1 +

7

7

= 2000

g7

450X2 +

8

8

= 2000

g8

= 1000

g9

35X1 +35X2 +

9

9

Pengambil kepuntusan ingin meminimumkan NPV Simpangan negatif ( Simpangan positif ( i

0 , atau

Min Σ

i

i

0,

i

)

: Di bawah pencapaian

)

: Tujuan yang melebihi target (Over achievement)

i

i

0

i

i

Tujuan Goal Prorgamming adalah meminimumkan deviasi Mendefinisikan semua tujuan yang relevan dengan situasi perencanaan menetapkan prioritas tujuan:

Qi >>>> Qj

Prioritas tinggi dipenuhi lebih dahulu: Lexicographic order Q1 : untuk g2, g3, g4, g5 adalah Q2 : untuk g9 : Q3 : untuk g1:

2

,

3

,

4

,

5

9

1

Q4 : untuk g6, g7, g8:

6

,

7

,

8


19

Sehingga diperoleh fungsi tingkat pencapaian fi(x) sebagai berikut: Min

A=[(

2

3

4

), (

5

9

), (

1

), (

6

,

7

,

8

)]

Subject to: Q3:

6250X1 + 5000X2 +

Q1:

500X1 + 400X2 +

120X1 + 180 X2 +

3

4

1375X1 + 1025X2 +

4

5

5

6

6

= 200.000

g1

= 15.000

g2

= 22.000

g3

= 29.000

g4

= 36.000

g5

= 4000

g6

400X1 +

7

7

= 2000

g7

450X2 +

8

8

= 2000

g8

= 1000

g9

35X1 +35X2 + X i, i

Solusi optimum :

2

3

1050X1 + 825X2 +

Q2:

1

2

750X1 + 575X2 +

Q4:

1

j,

1, 2

9

9

0

j,

dan j

X1 = 19.18

1,..., 9

X2 = 9.38

Variabel deviasi: 1

= 33.250

1

=0

2

= 699

2

=0

3

= 2.221

3

=0

4

= 1.122

4

=0

7

0

7

= 5672

8

0

8

= 2211

5

6

9

5

6

9

0

Prioritas I (Q1) : g5 tercapai Prioritas II (Q2) : g9 tercapai Prioritas IV (Q4) : g6 tercapai


20

Dibandingkan dengan penyelesaian Linear Programming pada sebelumnya, sehingga diperoleh nilai NPV lebih tinggi. Sumberdaya habis dipakai masih kurang sumber daya yang digunakan dan modal masih ada sisanya.

Pareto Optimality

Pareto Optimal merupakan penyelesaian atau proses keputusan dengan cara mengevaluasi alternatif-alternatif keputusan dari solusi Goal Programming yang banyak jumlahnya itu, untuk memilih alternatif terbaik yang dapat diterima. Karena cirinya yang tidak mengenal ketunggalan, menyebabkan solusi yang dihasilkan berbentuk alternatif-alternatif Pareto Optimal yang dikenal juga solusi non-dominance atau non-inferior.

Definisi: Solusi Non-inferior adalah suatu keadaan di mana tidak mungkin diperoleh pengurangan (pengecilan) dari setiap fungsi tujuan tanpa dalam waktu yang bersamaan mengakibatkan pertambahan (pembesaran) sekurang-kurangnya satu fungsi tujuan lainnya. Atau dapat dinyatakan: X* adalah solusi non-inferior atao Pareto Optimal untuk persoalan Min. f(x) d.p X

Td

:jika dan hanya jika tidak terdapat keadaan X

dan f p x

fp x*

Td

,di mana f x

f

x*

,

untuk beberapa fungsi tujuan p=1,2,…,n.

Dengan pendekatan parametrik mengevaluasi alternatif-alternatif solusi Pareto Optimal. Di antara solusi Pareto Optimal itulah harus ditentukan solusi yang dianggap “terbaik” (preferred solution) sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan.

Definisi: Solusi optimum adalah solusi terbaik dari hasil gabungan fungsi-fungsi tujuan yang memenuhi kendala tertentu, sesuai dengan preferensi pengambil keputusan melalui


21

proses perimbalan (tradeoffs) di antara fungsi-fungsi tujuan yang tidak dalam keadaan sepadan.

Metodologi Goal Programming dengan metode Interactive Linear Programming yang mempunyai struktur dari matematika rancangan sebagai berikut: e. Formulasi persoalan Goal Programming. f. Pendekatan pembobotan (parametric) sebagai pembangkit solusi Pareto Optimal. g. Mencari batas-batas optimisasi dengan tabel matriks pay-off. h. Menentukan

solusi

“terbaik”

atau

solusi

“optimal”

dengan

menggunakan kurva tradeoffs dan faktor penalti γ[11].

Solusi Pareto Optimal yang dikembangkan dengan penggunaan pendekatan parametrik yang diusulkan oleh Geoffrion dengan formulasi berikut ini. Min.

f1 x

1

f2 x

Subject to: b

f3 x

a

X

Td

X g X

0

Keterangan: f1 x , f 2 x dan f 3 x

: tiga fungsi tujuan yang dipilih dengan vektor keputusan x R n

Td

: daerah fisibel variabel keputusan g(x) fungsi kendala vektor G : R k

R

m

: parameter yang berubah di antara ( 0 a,b

1)

: batas atas dan bawah koefisien

Metoda Goal Programming yang diusulkan adalah berbentuk interaktif, di mana hasil akhir optimisasi merupakan alternatif-alternatif Pareto Optimal akan dianalisa secara kuantitatif antara lain adalah menyatakan dalam bentuk tabel matriks pay-off, kurva trade-off, dan cara pemilihan solusi “terbaik” (konsep faktor penalti γ), sebagai berikut:


22

1. Matriks pay-off Terlebih dahulu suatu himpunan Pareto Optimal dapat diperoleh dengan menggunakan pendekatan parametrik. Dengan memberikan salah satu fungsi tujuan bobot maksimum (misal W=0,999), maka fungsi tujuan lainnya diberi bobot minimum (misal W=0,001) untuk masing-masing fungsi tujuan f1, ,f2, dan f3 dan hitung nilai masing-masing fungsi tujuan sehingga diperoleh solusi optimal untuk setiap fungsi tujuan tersebut yaitu f 1* , f 2* , dan f 3* yang masing-masing terdiri atas 3 (tiga) nilai: f1 :

*

x

1

x1 , x 2 , x 3

f2 :

*

x

2

x1 , x 2 , x 3

*

x

3

x1 , x 2 , x 3

f3 :

1

1

1

2

2

3

3

2

3

Selanjutnya susunlah nilai dari fungsi tujuan tersebut ke dalam suatu satu tabel di mana baris-baris (rows) menyatakan nilai solusi optimal (x1,x2,x3) dan kolom-kolom (columns) menunjukkan batas-batas harga setiap fungsi tujuan ( f 1* , f 2* , f 3* ). Dengan demikian carilah nilai terbesar dan terkecil dari masing-masing kolom. Misal Mp sebagai nilai terbesar dan mp sebagai nilai terkecil. Ulangi hal tersebut di atas untuk p=1,…,3. dan nilai-nilai tersebut disebut sebagai batas atas dan batas bawah setiap fungsi tujuan itu.

2. Kurva tradeoffs Mengembangkan nilai tradeoffs antara f1 vs f2 secara pendekatan parametrik yaitu dengan mengubah-ubah bobot W1 dari 0 ,999

0 , 001 dan W2 dari 0 , 001

0 ,999 .

Pilih dari masing-masing kurva yang telah disajikan secara visual tersebut satu solusi terbaik yang sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan (untuk setiap strategi akan diperoleh 3 solusi optimal). 3. Faktor penalti γ. Dalam model ini kriteria untuk menentukan solusi terbaik itu disebut sebagai faktor penalti γ. Faktor penalti dikembangkan berdasarkan konsep perimbalan (tradeoffs) yang mampu menggambarkan seberapa jauh pengorbanan f1 vs f2. Dari sisi lain faktor penalty dapat pula berperan sebagai indikator perubahan nilai.


23

Berdasarkan dari kriterianya tidak akan diperoleh solusi yang optimal yang tunggal dan dengan menggunakan bobot-bobot berinterval (parametric programming) mula-mula sejumlah titik-titik efisien akan dievaluasikan, maka semua titik-titik ekstrim di sekitar permukaan efisien dari daerah fisibel dapat diperoleh, di sinilah peranan pengambilan keputusan menjadi penting artinya. Karena itu perlu terlebih dahulu melakukan tradeoffs (penilaian tolak angsur) di antara tujuan-tujuan, sasaransasaran yang akan dioptimisasikan itu dengan demikian cirinya yang tidak mengenal ukuran tunggal, menyebabkan solusi yang dihasilkan berbentuk alternatif-alternatif yang kemudian perlu dievaluasikan oleh pengambil keputusan, sebelum memperoleh solusi terbaik di antara alternatif-alternatif tersebut[4].

Konsep Solusi Pareto Optimal

Setelah solusi-solusi efisien (Pareto Optimal) di daerah fisibel diketahui, selanjutnya memilih dari sekian banyak titik-titik efisien tersebut suatu solusi yang “terbaik”. Pada permasalahan Goal Programming yang tidak mengenal solusi Optimal yang tunggal dan memuaskan dengan mendapatkan solusi Pareto Optimal yang disebut Nondominance atau efficiency atau non-inferior.

Interprestasi grafis dari konsep Pareto Optimal untuk persoalan optimisasi tujuan ganda yang mengandung pengertian yang bersifat “duality” dan dapat dinyatakan melalui dua konsep ruang; Minimum. f x Subject to: f ( x ) T0

T0=ruang fungsi tujuan (objective space) Minimum. f x Subject to: x Td

Td=ruang variable keputusan (decision space) Ke dua-duanya memperlihatkan suatu bentuk sebarang daerah fisibel[11].


24

2.7 Preferensi Pengambilan Keputusan

Solusi Pareto Optimal bukan merupakan solusi yang tunggal karena kenyataannya penentuan satu himpunan Pareto optimal, belum cukup untuk memperoleh solusi terbaik. Dengan demikian untuk mendapatkan solusi yang terbaik di antara himpunan solusi Pareto Optimal tersebut akan dilakukan penambahan satu kriteria yaitu melalui proses perimbalan (tradeoff) di antara fungsi-fungsi tujuan yang tidak dalam keadaan tidak sepadan. Menurut Hurbert Simon, solusi terbaik itu dapat dipandang sebagai solusi yang paling memuaskan yang mungkin dicapai pengambil keputusan, sesuai preferensinya menghadapi kendala tertentu[7].


BAB III

PEMBAHASAN

Analisis Pareto Optimal dengan Pembobotan dalam Menentukan Solusi Goal Programming.

Dalam rangka mencari penyelesaian Goal Programming dengan menghadapi suatu persoalan yang satu tujuan dengan tujuan lain saling bertentangan (multiple and conflicting goals). Dengan demikian persoalan ini dapat diselesaikan dari fungsi tujuan yang majemuk (lebih dari dua) melalui proses reduksi dari alternatif-alternatif yang banyak jumlahnya itu, untuk memperoleh keputusan terbaik melalui preferensi pengambilan keputusan yang dapat diterima.

Permasalahan menentukan Pareto optimal pada Goal programming adalah suatu penyelesaian yang banyak dilakukan dengan pendekatan parametrik dengan diperoleh solusi yang majemuk akan dievaluasikan solusi yang banyak itu, yang akhirnya diperoleh solusi yang efisien. Solusi optimal dari masalah dasar diperlihatkan menjadi suatu cara khusus dari titik ekstrim pada solusi pareto optimal.

Perencanaan dalam konteks Goal Programming melalui tahap-tahap sebagai berikut: 1.

Pembentukan tabel matriks pay-off untuk memperoleh batas-batas tertinggi dan terendah nilai masing-masing fungsi tujuan .

2.

Membangkitkan alternatif-alternatif solusi Pareto Optimal berdasarkan pendekatan parametrik.

3.

membuat Proses perimbalan (tradeoff) di antara fungsi-fungsi tujuan, untuk memperoleh solusi yang optimum sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan[9].


26

Apabila variabel keputusan merupakan aspek sistem yang akan dikendalikan, maka parameter merupakan sesuatu yang ditetapkan dari luar dan tidak dikendalikan. Sehingga pada perolehan solusi akhir yang memenuhi semua kendala adalah solusi fisibel. Pada umumnya himpunan solusi fisibel itu tidak terhingga banyaknya, algoritma metoda simpleks mampu bekerja untuk mencapai titik optimal dengan mencari solusi hanya pada titik-titik ekstrim daerah fisibel saja.

Permasalahan Pareto Optimal dengan pembobotan dapat diformulasikan dalam bentuk Goal programming. Jika diberikan pembobotan (pendekatan parametrik) pada Goal programming akan dapat menentukan solusi optimal yang merupakan alternatifalternatif solusi Pareto optimal, dari alternatif-alternatif yang banyaknya itu, pengambil keputusan akan menentukan pilihan yang sesuai dengan preferensinya. Solusi itulah yang disebut sebagai solusi yang optimal.

Dalam menentukan atau memilih solusi optimal itu adalah menggunakan konsep faktor penalty, melalui kurva tradeoff yang diajukan untuk pengambil keputusan secara visual. Hal ini menyangkut dengan fungsi tujuan yang dinyatakan dalam bentuk tabel pay-off matrix dan kurva tradeoff. Pada tahap ini pembahasan difokuskan ke dalam proses pemilihan titik-titik optimum secara interatif dalam masalah Goal Programming.

3.2 Masalah Perencanaan Usahatani pada Dua Jenis Tanaman (pear dan peach). Pada permasalahan sebelumnya akan dilakukan pendekatan parametrik untuk mendapatkan solusi yang optimal yang sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan, untuk mendapatkan solusi yang memuaskan atau memenuhi target yang telah ditetapkan.

Misalnya: Mengevaluasikan alternatif-alternatif g2, g3, g4, dan g5, sebagai kendala yang harus dipenuhi sebagai kendala (constraint)


27

g1, g6, g7, g8, dan g9, sebagai tujuan, ada lima macam simpangan yang perlu pembobotan untuk mendapatkan solusi Pareto Optimal, Simpangan diberi pembobot sesuai dengan kepentingan relatif dari masing-masing tujuan. Target NPV = 175.600 Maks NPV sesuai dengan perubahan kendala. Variabel fungsi tujuan: mencerminkan persentase simpangan dari target, bukan simpangan absolut.

Model: Meminimumkanl penjumlahan dari target persentase deviasi Minimize: W1

1

100 %

W2

175 . 600

6

100 %

4000

W3

7

2000

100 % W 4

8

2000

W5

9

100 %

1000

Subject to: 500X1 + 400X2

15.000

750X1 + 575X2

22.000

1050X1 + 825X2

29.000

1375X1 + 1025X2

36.000

6250X1 + 5000 X2 + 120X1 + 180 X2 +

1

6

1

6

= 175.600 = 4000

400X1 +

7

7

= 2000

450X2 +

8

8

= 2000

35X1 +35X2 + X i,

j,

j,

i

1, 2

j

1 dan j

9

9

= 1000

0

6 ,..., 9

Untuk: W1, …, W5 : pembobot bagi simpangan deviasi. Pembobot ini dapat sama, atau dapat berbeda nilainya


28

Misalnya: Petani lebih mementingkan pendapatan atau penghasilannya daripada sewa tenaga kerja dan sewa traktor. Penerapannya harus dilandasi oleh logika ilmiah yang kuat dan benar. Lima situasi di mana GP tidak bagus, yaitu: 1. Solusi optimal dengan menggunakan Goal Programming identik dengan solusi optimal yang diperoleh dengan Linear Programming biasa 2. Trade-off antar goal dalam prioritas tertentu dapat dilakukan, tetapi trade-off lintas prioritas tidak dapat dilakukan 3. Kepekaan Goal Programming untuk menghasilkan situasi optimal inferior 4. Maksimisasi dari fungsi pencapaian f(x) “Achievement Function” dari Goal Programming tidak sama dengan “optimizing the utility function” dari pengambilan keputusan. 5. Prioritas terlalu banyak.

Sebagian kecil Goal Programming apabila beberapa tujuan (misalnya struktur biaya usahatani) harus diintroduksi sebagai rasio atau sebagai sebagian tujuan Minmax Goal Programming adalah minimum maksimun deviasi. Pencapaian dari semua Goal harus lebih besar dibanding dengan target yang ingin dicapai.

Min. Subject to: j

fj x

X

€ F

j

j

bj

(himpunan fisibel)


29

DM

Goal Programming

Evaluasi alternatef-alternatif

MOP

Solusi Pareto

Solusi Non-Pareto

Gambar 3.1 Bagan Pengambilan Keputusan Konsep klasik tentang optimal diganti dengan ideal efisiensi atau Non-dominansi. Masalah optimisasi simultan beberapa tujuan yang menghadapi seperangkat kendala (biasanya linear). Mencoba mengidentifikasi

variabel yang mengandung solusi

efisien (non-dominated dan Pareto Optimal). Untuk menghasilkan variabel yang efisien adalah: Eff. Z(X) = [ Z1(X), Z2(X), …………. Zq(X) ] Subject to: X € F Keterangan: Eff

: mencari solusi yang efisien

F

: Variabel fisibel

Misalnya : Petani mempunyai dua tujuan: 1. Memaksimumkan NPV investasinya dalam pengembangan kebun 2. Meminimumkan jumlah jam kerja tenaga kerja-upahan dalam panen. Kendala luas kebun minimum 10 ha


30

Modelnya adalah: Eff. Z(X) = [ Z1(X), Z2(X) ] Untuk: Z1(X) : 6250 X1 + 5000 X2 Z2(X) : - 400 X1 – 450 X2 Subject to: 500X1 + 400X2

15.000

750X1 + 575X2

22.000

1050X1 + 825X2

29.000

1375X1 + 1025X2

36.000

120X1 + 180 X2

4000

35X1 +35X2 X1 + X2 X1, X2

1000

10 0

Penyelesaian: Menguji optimisasi dengan menggunakan software QM

Tabel 3.1 Tabel simpleks Maksimun Z1 Iterasi 0 Basis X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 zj-cj

C 0 0 0 0 0 0 0

X1 6250 500 750 1,050 1,375 120 35 1 1

X2 5000 400 575 825 1,025 180 35 1 1

X3 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1

X4 0 1 0 0 0 0 0 0 0

X5 0 0 1 0 0 0 0 0 0

X6 0 0 0 1 0 0 0 0 0

X7 0 0 0 0 1 0 0 0 0

X8 0 0 0 0 0 1 0 0 0

X9 0 0 0 0 0 0 1 0 0

X10 0 0 0 0 0 0 0 1 0

B 18,500 15,000 22,000 29,000 36,000 4,000 1,000 0


31

Iterasi 1 Basis C X4 0 X5 0 X6 0 X7 0 X8 0 X9 0 X1 6,250 Zj-cj

X1 6250 0 0 0 0 0 0 1 0

X2 5000 -100 -175 -225 -350 60 0 1 0

X1 6250 0 0 0 0 0 0 1 0

X2 5000 -100 -175 -225 -350 60 0 1 -1,250

X1 6250 0 0 0 0 0 0 1 0

X2 5000 27.273 15.909 42.273 -0.255 90.546 8.9091 0.7455 109,091

X3 0 500 750 1,050 1,375 120 35 -1 0

X4 0 1 0 0 0 0 0 0 0

X5 0 0 1 0 0 0 0 0 0

X6 0 0 0 1 0 0 0 0 0

X7 0 0 0 0 1 0 0 0 0

X8 0 0 0 0 0 1 0 0 0

X9 0 0 0 0 0 0 1 0 0

X10 0 -500 -750 -1,050 -1,375 -120 -35 1 1

B 10,000 14,500 18,500 22,250 2,800 650 10 62500


X3 0 500 750 1,050 1,375 120 35 -1 6250

X4 0 1 0 0 0 0 0 0 0

X5 0 0 1 0 0 0 0 0 0

X6 0 0 0 1 0 0 0 0 0

X7 0 0 0 0 1 0 0 0 0

X8 0 0 0 0 0 1 0 0 0

X9 0 0 0 0 0 0 1 0 0

X10 0 -500 -750 -1,05 -1,37 -120 -35 1 -6,250

B 10,000 14,500 18,500 22,250 2,800 650 10 62,500

X10 0 0 0 0 -1 0 0 0 0

B 1,909.09 2,363.64 1,509.09 16.1818 858.182 83.6364 26.1818 163,636


X3 0 0 0 0 1 0 0 0 0

X4 0 1 0 0 0 0 0 0 0

X5 0 0 1 0 0 0 0 0 0

X6 0 0 0 1 0 0 0 0 0

X7 0 -0.364 -0.546 -0.764 0.0007 -0.087 -0.026 0.0007 -4.546

X8 0 0 0 0 0 1 0 0 0

X9 0 0 0 0 0 0 1 0 0


32

Iterasi 4 Basis X4 X5 X6 X3 X8 X2

C 0 0 0 0 0 5,000 X1 6,250 Zj-cj

X1 6250 0 0 0 0 0 0 1 0

X2 5000 0 0 0 0 0 1 0 0

X3 0 0 0 0 1 0 0 0 0

X4 0 1 0 0 0 0 0 0 0

X5 0 0 1 0 0 0 0 0 0

X6 0 0 0 1 0 0 0 0 0

X7 0 -0.286 -0.5 -0.643 0 0.1714 -0.003 0.0029 -3.571

X8 0 0 0 0 0 1 0 0 0

X9 0 -3.1 -1.8 -4.7 0 -10 0.1 -0.1 -38

X10 0 0 0 0 -1 0 0 0 0

B 1,653.06 2,214.29 1,112.24 18.5714 8.1633 9.3878 19.1837 166.837

X2

1 37 5 X 1 + 1 0 2 5 X 2 = 3 6 0 0 0

35 X 1 + 3 5 X 2 = 1 0 0 0 D

C E

X1 + X2 > = 10

F 120X1 + 180X2 = 4000 A

B

X

Gambar 3.2 Grafik Maksimum Z1 Variabel fisibel F adalah Poligon ABCDE, dan deskripsi untuk titik ekstrim adalah sebagai berikut: Tabel 3.2 Tabel titik ekstrim Z1 Peubah keputusan X1 X2 26.18182 0 0 22.2222 0 10 10 0 19.18367 9.387755 19.04672 9.532809

Fungsi tujuan Z1 (NPV) 163.636.4 111.111.1 .50.000 62.500 166.836.7 166.666.7


33

Tabel 3.3 Tabel minimize Z2 Iterasi 0 Basis X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 cj-zj

Cj 0 0 0 0 0 0 0

400 X1 500 750 1,050 1,375 120 35 1 1

450 X2 400 575 825 1,025 180 35 1 1

0 X3 0 0 0 0 0 0 -1 -1

0 X4 1 0 0 0 0 0 0 0

0 X5 0 1 0 0 0 0 0 0

0 X6 0 0 1 0 0 0 0 0

0 X7 0 0 0 1 0 0 0 0

0 X8 0 0 0 0 1 0 0 0

0 X9 0 0 0 0 0 1 0 0

0 X10 0 0 0 0 0 0 1 0

400 X1 0 0 0 0 0 0 1 0

450 X2 -100 -175 -225 -350 60 0 1 0

0 X3 500 750 1,050 1,375 120 35 -1 0

0 X4 1 0 0 0 0 0 0 0

0 X5 0 1 0 0 0 0 0 0

0 X6 0 0 1 0 0 0 0 0

0 X7 0 0 0 1 0 0 0 0

0 X8 0 0 0 0 1 0 0 0

0 X9 0 0 0 0 0 1 0 0

0 X10 -500 -750 -1,050 -1,375 -120 -35 1 -1

B 10,000 14,500 18,500 22,250 2,800 650 10 0

400 X1 0 0 0 0 0 0 1 0

450 X2 -100 -175 -225 -350 60 0 1 -50

0 X3 500 750 1,050 1,375 120 35 -1 -400

0 X4 1 0 0 0 0 0 0 0

0 X5 0 1 0 0 0 0 0 0

0 X6 0 0 1 0 0 0 0 0

0 X7 0 0 0 1 0 0 0 0

0 X8 0 0 0 0 1 0 0 0

0 X9 0 0 0 0 0 1 0 0

0 X10 -500 -750 -1,050 -1,375 -120 -35 1 400

B 10,000 14,500 18,500 22,250 2,800 650 10 4000

B 15,000 22,000 29,000 36,000 4,000 1,000 10 10

Iterasi 1 Basis Cj X4 0 X5 0 X6 0 X7 0 X8 0 X9 0 X1 400 cj-zj

Iterasi 2 Basis Cj X4 0 X5 0 X6 0 X7 0 X8 0 X9 0 X1 400 cj-zj


34 Z2 : J a m ke rja T K

1 2. 0 0 0

C’ D’ 10.000

F B’

5000 I d ea l p o i n t E’ A’ 7 0. 0 0 0 170.000 Z1 = N P V

1 1 0. 0 0 0

A ’B ’C ’ -- --- -- --- -- -- th e ef f i ci en t s et d a l a m ru a n g tu ju a n AB C

----- --- -- -- --- th e ef f i ci en t s et d a l a m ru a n g p eu b a h

Gambar 3.3 Grafik Minimize Z2 Tabel 3.4 Tabel titik ekstrim Z2 Peubah Keputusan X1 26.18182 0 0 10 19.18367 19.04672

X2 0 22.2222 10 0 9.387755 9.532809

Fungsi Tujuan Z2 (jam kerja sewaan) 10.472.73 10.000 4.500 4.000 11.897.96 11.904.76

Variabel efisien adalah kurva transformasi yang mengukur hubungan antara dua fungsi tujuan. Slope dari garis A’B’ dan B’C’ mencerminkan trade-off (opportunity cost) di antara ke dua tujuan.

T A' B '

f A( x' )

f A( x' ' )

f B ( x')

f B ( x'')

f A (x’) dan f B (x’) merupakan dua fungsi tujuan, sehingga diperoleh trade off antara NPV dan jam kerja di sepanjang A’B’ adalah:


35

T A' B '

163 . 625

62 . 500

10 . 472

4 . 000

25 . 28 Rp / jam

Setiap jam kerja menghasilkan NPV = 25.28 Besarnya tradeoffs ini menjadi pertimbangan dalam menentukan pilihan oleh pengambilan keputusan (Decision Maker).

Matriks pay-off untuk dua tujuan:

Tabel 3.5 Matriks Pay-off NPV

Jam kerja sewaan

NPV

Jam kerja sewaan

166.750 62.500

11.893 4.000

Baris I : Maks NPV (166.750) sesuai dengan tenaga kerja-sewaan 11.893 Baris II :Tenaga kerja sewaan minimum (4000 jam) sesuai dengan NPV= 62.500

Konflik antara tujuan NPV dan tujuan sewaan tenaga kerja yaitu Maks, NPV menghasilkan tenaga kerja-sewa yang tinggi (300%) dan Min tenaga kerja sewa menghasilkan NPV rendah (50%). Elemen dalam diagonal utama matriks pay-off disebut Ideal Point (solusi dimana semua tujuan mencapai nilai optimumnya) Kalau ada konflik di antara tujuan, ideal point adalah tidak fisibel. Kebalikan dari Ideal Point adalah “Anti Ideal” atau “Nadir Point” .

Perbedaan antara Ideal Point dan Nadir Point, merupakan kisaran nilai dari fungsi tujuan. Ide dasar metode ini adalah: 1. Mengoptimalkan salah satu tujuan, sedangkan tujuan-tujuan lainnya dianggap “Restraints” 2. Variabel efisien diperoleh dengan pembobotan kendala dari tujuan-tujuan yang dianggap sebagai restraints

Misalnya: Problematik MOP dengan fungsi tujuan:


36

Maks,

Zk (X)

Subject to:

X € F Zj (X)

Lj

j = 1, 2, ……., k-1, ……k+1, …., q

Keterangan: Zk(X) : tujuan yang dioptimalkan Lj

: RHS, divariasi secara parametrik

Misalnya: NPV ditetapkan sebagai tujuan yang harus dioptimalkan, aplikasi metode kendala ini menghasilkan Linear Programming parametrik sbb: Maks.

6250X1 + 5000X2 (NPV)

Subject to: X

€

F

(kendala teknis)

400X1 + 450X2

L1 ( tenaga kerja /jam)

Nilai L1 beragam antara 4000 – 11.893 jam/ha. Dengan jalan pembobotan L1 untuk nilai-nilai antara 4000 – 11.893 akan diperoleh variabel efisien. Nilai L1 beragam dalam kisaran 4000 – 11.893 jam/ha.

Tabel 3.6 Penafsiran variael efisien dengan titik ekstrim X1 19.189,38 23.593,47 26.050 26.180 25.0 22.500 20.000 17.500 15.000 12.500 11.250 10.000

X2 166.750 164.788 163.713 163.625 0 140.625 125.000 109.375 93.75 78.125 70.312 62.500

Z1 11.893 11.000 10.500 10.472 156.25 9.000 8.000 7.000 6.000 5.000 4.500 4.000

Z2 11.893 11.000 10.500 10.472 10.000 9.000 8.000 7.000 6.000 5.000 4.500 4.000

RHS (L1)

10.000

Ide dasar metode ini adalah: 1. Mengkombinasikan semua tujuan menjadi satu fungsi tujuan tunggal 2. Setiap fungsi tujuan diberi pembobot , kemudian baru dijumlahkan (+) 3. Himpunan yang efisien diperoleh melalui variasi parametrik dari pembobot.


37

Misalnya : Masalah MOP dengan q-tujuan yang harus dimaksimumkan: W1Z1(X) + W2Z2(X) + ………. + WqZq(X)

Maks,

Subject to: X

€ F 0

W

Model Linear Programming parametriknya sebagai berikut: W1(6250X1 + 5000X2) + W2(-400X1 – 450X2)

Maks, Subject to:

X €

F (kendala teknis)

W1,W2

0

Dengan menetapkan : W1 + W2 = 1 dan memvariasikannya secara parametrik, maka diperoleh: Untuk: 0.4 0

W1 W2

1 0.6

Untuk: 0.1

W1

0.4

0.6

W2

0.9

Untuk: 0 0.9

W1 W2

Titik optimalnya C atau C’

0.1

Titik optimalnya B atau B’

Titik optimalnya A atau A’

1.0

W (pembobotan) sebagai preferensi pengambil keputusan terhadap masing-masing tujuan, bukan menyatakan kepentingan dari masing-masing tujuan. W merupakan parameter yang dapat divariasikan secara sistematik untuk menghasilkan himpunan efisien. Metode ini berada di antara Goal Programming. Metode ini bekerja meminimumkan deviasi. Misalnya: Maks NPV = 166.750 Tenaga kerja = 6000/jam Traktor = 1000/jam


38

Model: Eff. Z Untuk: Z1

,

,

Z1

1

, Z2

,Z2

,

,

,Z3

,

Z3

2

,

3

Subject to: 1375X1 + 1925X2 36.000 10 X1 + X2 120X1 + 180X2 4000 400X1 + 450X2 + 1 = 6000 1 35X1 + 35X2 + 2 6250X1 + 5000X2 + X 1, X 2 i

,

2 3

= 1000 3 = 166.750

0 0

i

untuk

i

1,..., 3

Penyelesaian: Dengan menggunakan software QM for Windows

Tabel 3.7: Tabel Simpleks Efektif Goal/Cnstrnt 1 Goal/Cnstrnt 2 Goal/Cnstrnt 3 Goal/Cnstrnt 4 Goal/Cnstrnt 5 Goal/Cnstrnt 6 Priority 3 Priority 2 Priority 1

X1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

X2 110 1.4 12 0.4 -14 -3750 44 -3375 -12.6 0

d- 1 0.2909 0.0007 -0.0873 0.0007 -0.0255 -4.5455 0.1164 -4.0909 -0.0229 0

Sehingga diperoleh: Solusi optimum:

d+ 1 -0.2909 -0.0007 0.0873 -0.0007 0.0255 4.5455 -0.1164 4.0909 0.0229 -1

d2 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1

d+ 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

d3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

X1= 26.1818

d+ 3 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 -1

d4 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

d+ 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

d5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

d+ 5 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0

d6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

X2=0

Variabel deviasi: 1 = 1 = 0 2

=0

2

= 16.1818

3

= 858.1819

3

=0

4

=0

4

= 4.472.728


d+ 6 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0

RHS 4472.727 26.18182 858.1818 16.18182 83.63637 3.118.636 1.789.091 2.806.769 75.27271 0

39

5

83.6363.7

5

=0

6

3.118.636

6

=0


BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan Dari pembahasan pada bab-bab sebelumnya dalam menyelesaikan masalah analisis Pareto Optimal dengan pembobotan dalam menentukan solusi Goal Programming, penulis dapat menyimpulkan bahwa:

1. Untuk i

menyelesaikan

maupun

i

masalah

Goal

Programming

dua

variabel

akan menunjukkan berapa banyak kekurangn dan kelebihan

dari target keuntungan NVP = 200.000. 2. Perumusan Goal Programming ini diperoleh solusi optimumnya adalah X1 = 19.18 dan X2 = 9.38, 3

= 0,

5

6

= 1.122,

4

9

5

= 33.250,

1

4

6

= 0,

1

= 0,

0,

7

7

2

= 699,

= 5672,

2

= 0, 0

8

,

3

=2.221,

8

= 2211,

0.

9

3. Jika nilai target yang tercapai, maka ke dua variabel deviasi bernilai 0 (nol), sehingga

5

6

9

5

6

0

9

, dan diperoleh:

Prioritas I (Q1) : g5 tercapai, prioritas II (Q2) : g9 tercapai, prioritas IV (Q4) : g6 tercapai. 4.

Solusi optimum variabel deviasi yang efisien atau alternatif Pareto Optimal diberikan bobot yang sesuai dengan kepentingan relatif dari masing-masing tujuan Solusi optimum: X1= 26.1818, X2= 0 dan 2

5

=16.1818, 83.6363.7,

= 858.1819,

3

5

= 0,

6

3

3.118.636,

= 0, 6

4

1

=

= 0,

= 0,

1

4

2

= 0,

= 4.472.728,

= 0.


41

4.2 Saran

Dari kesimpulan sebelumnya penulis dapat menyarankan sebagai berikut: 1. Sebaiknya permasalahan Goal Programming yang saling bertentangan (conflicting) dapat diselesaikan dengan pendekatan parametrik untuk mendapatkan solusi yang tunggal (solusi yang optimal). 2.

Seharusnya dalam mengevaluasi Solusi Pareto Optimal perlu diperhatikan dengan teliti titik-titik ekstrim yang efisien, karena di sinilah peranan pengambilan keputusan untuk memperoleh solusi optimal.


42

DAFTAR PUSTAKA 1. Azis, I.J. 1991. “Konsep Pareto Optimal”. of journal Prisma. edisi Januari. Jakarta: LP3ES. 2. Barichard, V.Ehrgott, M.Gandibleux, X. and T’Kindt, V,”Multi. 2008. Objective Programming”. Jerman. 3. French, S. Hartley, R. Thomas, L.C. and White, D.J. 1983.”Multi Objective Decision Making”. New York: Academic Press. 4. Handl, J. and Knowles, J. 1989. “Implicitions for Interpreting the Pareto Set and for Decision Making”. UK: University of Manchester. 5. Larbani, M. and Aounini, B. 2007.“On the Pareto Optimality in Goal Programming”. Journal of Goal Programming model. ASAC. 6. Nasendi, B.D dan Anwar. A. 1985. ”Program Linier dan Variasinya. Jakarta: Gramedia. 7. Neumann, F. Wegener, I. 2008. ” Can Single-Object ive Optimization Profit from Multi Objective Optimization”. journal of MOP. Germany: Durtmund. 8. Rardin, R, L. 1998. ”Optimization in Operations Research”. New jersey: Prentice Hall International. Inc. 9. Wagner, H.M. 1969. ”Principle of Operation Research”. Pricenton Hall. Englewood cliffs, N.J. 10. Zeleny, M. 1977. ”Multiple Criteria Decisioan Making”. Management Science, Vol.8. North Hoiland Publishing. 11. Zuhal. 1995 .”Ketenagalistrikan Indonesia”. Jakarta: Ganessa Prima.


ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING SKRIPSI. SRI KEUMALAWATI (Operasi Riset)

Recommend Documents