ANALISIS MORFOLOGI SUNGAI PADA POLA DISTRIBUSI SEDIMENTASI Oleh : Kamiran Danang Bagiono Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2010
[email protected] ABSTRAK
Dalam Tugas Akhir ini model sedimentasi dikembangkan secara matematik dengan menggunakan pendekatan metode volume hingga. Model sedimentasi yang dibangun terdiri dari dua bagian, yaitu hidrodinamika aliran sungai dan morfologi sungai. Dalam hidrodinamika aliran sungai digambarkan tentang variabel-variabel yang dilibatkan pada persamaan aliran sungai, sedangkan pada morfologi sungai digambarkan tentang proses sedimentasi yang terjadi didasar saluran sebagai akibat dari perilaku aliran. Dalam implementasinya hasil output dari hidrodinamika aliran sungai yang berupa kadalaman dan kecepatan aliran menjadi input pada bagian morfologi sungai. Pada penelitian ini dibahas mengenai pola distribusi sedimen pada morfologi sungai yang sangat menikung berbentuk setengah lingkaran, menggunakan metode Meshless Local PetrovGalerkin (MLPG) dengan pendekatan Moving Least Square (MLS) sebagai fungsi shape dan fungsi pembobot spline orde-4 serta fungsi Heavyside sebagai fungsi test. Dengan variasi kedalaman awal h=0.1 sampai h=0.5 untuk kecepatan awal v yang sama v=0.1, ketinggian sedimen pada aliran lurus mengalami kenaikan rata-rata sekitar 0.001972, sedangkan untuk aliran menikung terjadi kenaikan rata-rata sekitar 0.00013. Demikian juga ketika diberikan variasi kecepatan awal v=0.1 sampai v=0.5, dengan kedalaman h yang sama h=0.3, ketinggian sedimen pada aliran lurus mengalami penurunan rata-rata sekitar 0.02156, sedangkan aliran menikung mengalami penurunan sekitar 0.01657. Dari hasil simulasi yang dilakukan, pola distribusi sedimen di sepanjang aliran dipengaruhi oleh kedalaman sungai, kecepatan sungai, serta bentuk morfologi sungai tersebut.
Kata kunci : Meshless local Petrov-Galerkin (MLPG), Moving Least Square (MLS), fungsi Heavyside.
1
PENDAHULUAN Sungai merupakan salah satu unsur penting dalam kehidupan manusia. Salah satu manfaat sungai yang cukup penting adalah untuk menampung air pada saat musim penghujan. Pendangkalan sungai akibat adanya pengendapan sedimen menyebabkan air tidak dapat tertampung atau tidak teralirkan secara maksimal sehingga dapat meyebabkan banjir. Proses terjadinya sedimentasi ini dapat dimodelkan dan disimulasikan secara matematis sehingga proses perubahan morfologi sungai akibat adanya sedimentasi. Pemodelan tersebut dapat dijadikan sebagai bahan pertimbangan dalam pengambilan suatu kebijakan, sehingga dampak yang akan ditimbulkan akibat adanya sedimentasi tersebut dapat dicegah sedini mungkin atau dikurangi. Model sedimentasi ini dibangun dengan menggunakan pendekatan metode volume hingga dan diselesaikan dengan metode Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG). Salah satu keunggulan dari metode ini adalah dalam proses diskritisasi daerah penyelesaian. Pada metode-metode numerik yang telah ada, dalam melakukan interpolasi atau penghitungan integral, dibutuhkan pias pada domain yang akan diselesaikan. Sehingga untuk domain yang diskontinu atau mempunyai batas yang bergerak merupakan permasalahan yang sulit diselesaikan. Tujuan utama dari metode ini adalah untuk menghilangkan pias, mengurangi kesulitan dalam membuat pias dengan menggunakan titik sebagai penggatinya (Atlury dan Lin, 2001).
MATERI DAN METODE Sedimentasi Sedimentasi terjadi karena adanya partikel-partikel padat yang ikut terbawa oleh aliran air. Mekanisme pengangkutan sedimen ini dikategorikan menjadi dua, yaitu bed load dan suspended load. Proses pergerakkan sedimen jenis bed load bergerak pada dasar sungai dengan cara menggelinding, meluncur dan melompat-lompat. Sedangkan pada suspended load terdiri dari butiran-butiran halus yang melayang-layang di dalam air. Ottevanger (2005) mengemukakan bahwa proses terjadinya terdiri dari dua bagian, yaitu hidrodinamika dan morfologi. Hidrodinamika menjelaskan tentang aliran sungai, sedangkan morfologi menjelaskan tentang proses pengangkutan sedimen. Hubungan antara kedua bagian ini adalah arah dan besanya kecepatan aliran pada hidrodinamika menjadi input pada proses pembentukan sedimen pada morfologi. Zou Liu (2001) mengusulkan tiga macam transportasi sedimen, yaitu wesh load, bed-load, dan suspended load. Wash load adalah partikel atau sedimen yang terbawa oleh air, akan tetapi partikel ini tidak mengendap pada dasar aliran, sehingga perilaku atau komposisi dari jenis angkutan ini tidak dapat diprediksi. Salah satu rumus yang popular untuk menghitung banyaknya sedimen pada transpormasi sedimen adalah rumus Mayer-Pater dan Muller (Yang, 1996).
2
Rumus Mayer-Puter&Muller (Liu, 2001):
,
, v = kecepatan aliran sungai, h = kedalaman Perubahan morfologi sungai diasumsikan hanya terjadi pada dasar sungai yang diakibatkan adanya proses gerusan dan pengendapan. Perubahan dasar ini dapat dihitung dengan menggunakan persamaan kekekalan massa untuk transportasi sedimen yaitu :
Dengan Metode Volume Hingga Banyak permasalahan di bidang mekanika fluida yang harus dianalisis dengan mengamati suatu daerah berhingga dari suatu domain yang besar. Dasar dasar yang digunakan oleh metode ini untuk dapat diterapkan adalah hukum-hukum dasar fisika, yaitu hukum kekekalan massa, momentum dan hukum pertama dan kedua termodinamika (Munson, 2003). Hukum kekekalan massa untuk suatu volume kendali:
Dengan
,
,
Sedangkan untuk hukum kekekalan momentum dapat dinyatakan dengan:
Metode Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) Tujuan utama dari metode meshless ini adalah menghindari penggunaan pias, metode ini sangat bermanfaat pada masalah dengan batas domain yang tidak koninu atau bergerak. Penelitian tentang metode MLPG dan penerapannya telah banyak dilakukan dan masih terus dikembangkan. Atluri dan Lin (2000) menerapkan metode MLPG untuk menyelesaikan masalah konveksi-divusi. Dari hasil penelitian yang dilakukan bahwa MLPG memberikan hasil yang sangat akurat pada kasus tersebut.
3
Penjelasan dari subdomain tersebut dapat dilihat dari gambar berikut:
MLS merupakan salah satu metode interpolasi yang mempunyai tingkat keakuratan yang tinggi (Atlury dan Lin, 2000). Misalkan sebuah fungsi taksiran sebaran
,
. Penaksir MLS
dari
pada domain
,
dengan titik
dapat didefinisikan sebagai :
dengan adalah basis monomial lengkap order m. sebagai contoh
untuk 2 dimensi, bentuk linier:
adalah vector yang memuat koefisien-koefisien fungsi
merupakan fungsi
fungsi dari variabel x. Matrik P dam W didefinisikan sebagai berikut: ,dan Dan
,
nilai fiktif dan bukan nilai yang sebenarnya dari fungsi uh(x)
secara umum. Dengan A dan B adalah matrik yang didefinisikan sebagai berikut :
Dengan menyelesaikan Persamaan terhadap a(x), maka diperoleh :
Pemilihan fungsi bobot w yang akan digunakan adalah bebas selama fungsi tersebut positif dan kontinu (Basuki W, 2009). Fungsi bobot yang sering digunakan adalah fungsi bobot spline. Fungsi bobot spline adalah:
Salah satu fungsi tes yang dikemukakan oleh Atlury da Shen (2002) adalah fungsi heavyside. Fungsi tes ini merupakan fungsi tes yang paling sederhana, karena menggunakan fungsi konstan. Untuk mendiskretisasi bentuk local weak seperti telah dibahas sebelumnya, persamaan aproksimasi MLS disubstitusikan ke persamaan bentuk local weak tersebut. Hasil substitusi tersebut kemudian dibentuk menjadi sistem persamaan linear berikut :
4
ANALISIS DAN PEMBAHASAN Simulasi dilakukan dengan memberikan beberapa masukan sebagai kondisi awal yang berupa kedalaman, kecepatan, dan ketinggian sedimen. Hal ini dilakukan untuk mengetahui pengaruh kecepatan, kedalaman serta bentuk morfologi sungai tersebut terhadap distribusi sedimen pada dasar sungai. Governing equation untuk aliran menikung diperoleh dengan mentranspormasi Persamaan aliran lurus ke dalam bentuk koordinat polar adalah sebagai berikut: ,
,
,
Kekekalan massa:
Kekekalan momentum:
Sedangkan untuk kondisi batas
diasumsikan sebagai berikut:
Rumus yang digunakan untuk menghitung perubahan dasar sungai akibat adanya transportasi sedimen dan untuk menghitung banyaknya transportasi sedimen adalah sebagai berikut: Kekekalan massa sedimen:
Penerapan Metode MLPG Governing equation disusun dalam bentuk matriks diperoleh sistem persamaan:
5
Dimisalkan:
Maka sistem Persamaan di atas dapat ditulis menjadi:
Untuk menyelesaikan model sedimentasi di atas didekati dengan pendekatan MLS sebagai berikut:
Dengan
adalah indeks terkecil dan
dalam sub-domain [
adalah indeks terbesar dari titik-titik diskrit yang berada
], dengan
Dengan mengimplementasikan MLS pada model sedimentasi yang ada, maka diperoleh:
Dalam bentuk matrik Persamaan dapat ditulis menjadi:
Diskretisasi Persamaan Terhadap Waktu. Persamaan di diskritisasi dengan menggunakan Deret Taylor, diperoleh:
Stabilitas Numerik Dikarenakan skema numerik untuk metode MLPG yang digunakan adalah skema eksplisit, maka perhitungan dilakukan
dengan setiap waktu tertentu (
dengan kata lain agar dapat konsisten haruslah
). Diketahui bahwa
,
. Perhitungan ini dibuat untuk setiap waktu
tertentu dengan menggunakan kriteria dibawah ini:
dimana dr(i,j) adalah jarak antara stiap titik tengah dari masing-masing subdomain.
6
Simulasi Aliran Lurus Dengan beberapa inputan sebagai kondisi awal h = 0.3, v = 0.1, zb = 0.3, T= 10,
=0.5
Kedalaman sungai sepanjang y saat waktu t=0 sampai t=T 0.3 0.2995 0.302
kedalaman(h)
0.299 0.3 0.2985 0.298
0.298
0.2975
0.296 0
0.297
2 4
25 20
6
0.2965
15 10
8
5
0 10 posisi titik(y)
waktu(t)
Gambar a. Plot kedalaman sungai. Kecepatan sungai sepanjang y saat waktu t=0 sampai t=T 0.1 0.3
kecepatan(v)
0.2 0.05 0.1 0 -0.1
0 0 2 4
25 6
15
posisi titik(y)
20
10
8
-0.05
5 10 0
waktu(t)
Gambar b. Plot kecepatan sungai. Ketinggian sedimen sepanjang y saat waktu t=0 sampai t=T
ketinggian(zb)
0.3035
0.305
0.303
0.304
0.3025
0.303 0.302 0.302 0.3015 0.301 0.301
0.3 30
0 20 5
10
0.3005 0.3
0 10 posisi titik(y)
waktu(t)
Gambar c. Plot kedalaman sungai. Dari hasil plot Gambar (a - c) terlihat bahwa pada posisi titik y tertentu terjadi perubahan yang berbeda-beda, baik perubahan kedalaman, kecepatan, maupun ketinggian sedimen setelah selang waktu T. Perubahan yang paling besar terjadi pada daerah atau titik 7-10. Kedalaman sungai mengalami penurunan kurang lebih sekitar 0.0038. Dengan kata lain terjadi kenaikan ketinggian sedimen sebesar penurunan kedalamannya dititik tersebut. Demikian juga untuk kecepatan sungai, setelah selang waktu T kecepatan sungai mengalami penurunan kurang lebih sekitar 0.05.
7
Aliran menikung Dengan beberapa inputan sebagai kondisi awal h = 0.3, v = 0.1, zb = 0.3, T= 10,
=0.5
Kedalaman sungai pada sudut(teta) tertentu saat waktu t=0 sampai t=T 0.3
Kedalaman(h)
0.3 0.3
0.3
0.3
0.3
0.2999
0.2999
0.2999
0.2999
0.2998 0.2998
0.2999 30
0.2999 20
0.2999 10 10
8
6
0.2998
4 2 0 Waktu(t)
sudut(teta)
Gambar d. Plot kedalaman sungai. Kecepatan sungai pada sudut(teta) tertentu saat waktu t=0 sampai t=T 0.105
0.108
0.104
Kecepatan(v)
0.106 0.103
0.104 0.102
0.102
0.1 0.101
0.098 30 10
20
8 4 0
Waktu(t)
0.1
6
10 2 0
sudut(teta)
Gambar e. Plot kecepatan sungai. Ketinggian sedimen pada sudut(teta) tertentu saat waktu t=0 sampai t=T 0.3002 0.3001
Ketinggian(zb)
0.3002
0.3001
0.3001
0.3001 0.3001 0.3001 0.3 0.3001 0.3 0.3 0.2999
30
0.3 20 10 0
4
2
Waktu(t)
6
8
10
0.3 0.3
sudut (teta)
Gambar f. Plot ketinggian sedimen. Dari hasil plot Gambar (d – f) terlihat bahwa pada sudut (teta) tertentu terjadi perubahan yang berbeda-beda, baik perubahan kedalaman, kecepatan, maupun ketinggian sedimen setelah selang waktu T. Perubahan yang paling besar terjadi pada daerah atau titik 4-5. Kedalaman sungai mengalami penurunan kurang lebih sekitar 0.0002. Dengan kata lain terjadi kenaikan ketinggian sedimen sebesar penurunan kedalamannya di titik atau daerah tertsebut. Sementara kecepatan sungai mengalami kenaikan kurang lebih sekitar 0.0053.
8
Pengaruh Kedalaman Terhadap Ketinggian Sedimen, saat T=10,
, v=0.1
Aliran Lurus
Grafik ketinggian sedimen setelah waktu T. Aliran Menikung
Grafik ketinggian sedimen setelah waktu T Grafik di atas merupakan grafik perubahan ketinggian sedimen dari masing-masing posisi titik di dasar sungai setelah selang waktu T. Dengan variasi kedalaman awal yang diberikan ketinggian sedimen pada aliran lurus yaitu titik 6-7 mengalami penurunan, namun kenaikan ratarata yang terjadi sekitar 0,001972. Sedangkan pada aliran menikung untuk sudut (teta) tertentu terjadi penurunan ketinggian sedimen, sedangkan pada sudut (teta) yang lain mengalami kenaikan. Pada kedalaman h tertentu terjadi kenaikan ketinggian pada titik 3-4, serta penurunan pada titik 910. Dan sebaliknya terjadi penurunan ketinggian titik 3-4, kenaikan pada titik 9-10. Dengan variasi kedalaman awal yang diberikan ketinggian sedimen mengalami kenaikan rata-rata sekitar 0,00013. Pengaruh Kecepatan Terhadap Ketinggian Sedimen T=10, Aliran Lurus
Grafik ketinggian sedimen setelah waktu T.
9
, h=0.1
Dari grafik di atas terlihat bahwa pada titik-titik tertentu terjadi penurunan ketinggian sedimen. Ketika kecepatan v diperbesar penurunan rata-rata ketinggian semakin besar, dengan kata lain semakin besar kecepatan aliran maka semakin banyak pula sedimen yang dipindahkan dan sebaliknya, semakin kecil kecepatan aliran maka semakin banyak pula sedimen yang mengendap. Dengan variasi kecepatan awal yang diberikan ketinggian sedimen mengalami penurunan rata-rata sekitar 0,02156. Aliran Menikung
Grafik ketinggian sedimen setelah waktu T Grafik di atas merupakan grafik perubahan ketinggian sedimen dari masing-masing sudut (teta) di dasar sungai setelah selang waktu T. Dari grafik di atas terlihat bahwa pada titik 3-4 terjadi penurunan ketinggian sedimen, sedangkan pada titik-titik yang lain yaitu titik 9-10 mengalami kenaikan. Dengan variasi kecepatan awal yang diberikan ketinggian sedimen mengalami penurunan rata-rata sekitar 0,01657.
KESIMPULAN Dari hasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan bahwa : a) Model sedimentasi dapat dibangun dalam dua bagian yaitu: hidrodinamika aliran sungai yang membahas tentang aliran sungai. Dan morfologi sungai yang membahas tentang masalah sedimentasi. serta dapat diselesaikan dengan menggunakan metode MLPG dengan mengubah terlebih dahulu bentuk model tersebut kedalam bentuk local weak. b) Aliran lurus: Dari hasil simulasi yang dilakukan terlihat bahwa, ketika diberikan variasi kedalaman awal yaitu h=0.1 sampai h=0.5 dengan kecepatan awal aliran v yang sama v=0.1, ketinggian sedimen pada masing-masing posisi titik mengalami penurunan rata-rata yang berbeda-beda. Untuk masing-masing kedalaman awal h yang diberikan ketinggian sedimen mengalami kenaikan
rata-rata sekitar
0.001972. Demikian juga ketika diberikan variasi
keceptan awal v=0.1 sampai v=0.5 dengan kedalaman awal h yang sama h=0.3, ketinggian sedimen mengalamai penurunan rata-rata sekitar 0.02156. c) Aliran menikung: Dari hasil simulasi yang dilakukan terlihat bahwa, ketika diberikan variasi kedalaman awal yaitu h=0.1 sampai h=0.5 dengan kecepatan awal aliran v yang sama v=0.1, ketinggian sedimen pada masing-masing posisi titik mengalami penurunan rata-rata yang
10
berbeda-beda. Untuk masing-masing kedalaman awal h yang diberikan ketinggian sedimen mengalami kenaikan rata-rata sekitar 0.00013. Demikian juga ketika diberikan variasi keceptan awal v=0.1 sampai v=0.5 dengan kedalaman awal h yang sama h=0.3, ketinggian sedimen mengalamai penurunan rata-rata sekitar 0.01657. d) Pola distribusi sedimen di sepanjang aliran dipengaruhi oleh kedalaman, kecepatan, serta bentuk morfologinya. Aliran sungai yang lurus maupun yang menikung mengalami perbedaan perubahan disetiap posisi titik, baik perubahan kedalaman, kecepatan, serta perubahan ketinggian sedimen setelah selang waktu T tertentu, namun perubahannya cukup kecil.
DAFTAR PUSTAKA Apsley, D. (2005). “Computational Fluid Dynamic”. Springer. New York. Atlury dan Lin. (2000). ”The Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) Method for Solving Incompressible Navier-Stokes Equation”. MnES vol.1.no.2,pp.42-60. Atlury dan Lin. (2001). “Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG)Method for ConvectionDiffusion Problems”. CMES, vol.1, no.2, pp.45-60, 2000. Atlury dan Shen. (2001). ”The Meshless Lokal Petrov-Galerkin Method for solving incompressible Navier-stoke equation”. CMES vol.2.no.1,pp.117-142. Atlury
dan
Shen.
(2002).
”The
Meshless
Lokal
Petrov-Galerkin
Method”.
CMES
vol.3.no.1,pp.11-51. Liu, Z. (2001). ”Sedimen Transport”. Laboratoriet for hydrolic og Havnebygning Instituet for Van manual. Munson. (2003). ”Mekanika Fluida”. Erlangga. Jakarta. Ottevanger, W. (2005). ”Diacontinues Finite Elemen Modeling of River Hydroolics and Morphology With Application”. Univercity of Twente. Sosrodarsono dan Tominaga. (1984). ”Perbaikan dan pengaturan sungai”. Pradnya Paramita. Jakarta. Sukadi, Alcrudo dan Garcia-Navaro. (1993). “Analisis jurnal model hidrodinamik dari kolam irigasi”. FPTK/JUR.PEND.TEKNIK. Widodo, Basuki. (2009). ”The Application of Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) Method on The Model of Sedimentation in A Junction of Two River”.Mathematic ITS Surabaya. Yang, C.T. (1996). ”Sediment transport, Theory and Practice”. Mc Graw Hill.New York.
11
