ANALISIS EMPIRICAL ORTHOGONAL FUNCTION (EOF) BERBASIS SINGULAR VALUE DECOMPOSITION (SVD) PADA DATA CURAH HUJAN INDONESIA
ISNAWATI LUJENG LESTARI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) Berbasis Singular Value Decomposition (SVD) pada Data Curah Hujan Indonesia adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka dibagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Maret 2016 Isnawati Lujeng Lestari NIM G551130221
RINGKASAN ISNAWATI LUJENG LESTARI. Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) berbasis Singular Value Decomposition (SVD) pada Data Curah Hujan Indonesia. Dibimbing oleh SRI NURDIATI dan ARDHASENA SOPAHELUWAKAN. Curah hujan merupakan salah satu parameter atmosfer yang sulit diprediksi karena mempunyai keragaman tinggi baik secara spasial maupun temporal. Sebagai negara kepulauan, Indonesia mempunyai garis pantai yang panjang dan berpegunungan, sehingga memengaruhi arus udara, perubahan cuaca, iklim, dan hujan. Selain itu, Indonesia mempunyai variasi suhu kecil, sementara variasi curah hujan yang cukup tinggi. Data curah hujan merupakan data yang memiliki dimensi matriks yang cukup besar dan sulit untuk dianalisis. Oleh karena itu, dibutuhkan cara yang tepat untuk menganalisis data tersebut agar diperoleh informasi yang bermanfaat. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menganalisis data tersebut adalah menggunakan teknik pereduksian dimensi yang dikenal dengan Analisis Komponen Utama (AKU) atau disebut analisis Empirical Orthogonal Function (EOF). Analisis EOF merupakan suatu metode untuk menentukan pola-pola dominan pada data yang berevolusi dalam ruang dan waktu. EOF atau AKU dikatakan sebagai transformasi Hotelling yang merupakan suatu teknik untuk menyederhanakan suatu himpunan data dengan mereduksi dimensi menjadi lebih kecil dengan mempertahankan sebanyak mungkin variasi dalam himpunan data asal. Peubah baru yang merepresentasikan data dengan dimensi yang lebih kecil disebut dengan Komponen Utama, dalam penelitian ini disebut dengan mode EOF. Secara aljabar, mode EOF yang diperoleh merupakan kombinasi linear dari semua peubah asli yang memiliki varian terbesar secara berurutan dan tidak berkorelasi dengan EOF sebelumnya. Analisis EOF berbasis Singular Value Decomposition (SVD) pada penelitian ini digunakan untuk mendapatkan pola-pola dominan pada data yang berevolusi dalam ruang dan waktu. Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji metode EOF berbasis SVD untuk mereduksi data curah hujan Tropical Rainfall Measuring Mission (TRMM) 3B43. Selanjutnya akan dianalisis pola dominan dari data baik secara temporal maupun spasial, dan dihitung error norm matriks untuk melihat nilai kesalahan dari mode EOF yang diperoleh. Analisis EOF dilakukan terhadap data curah hujan TRMM 3B43 di wilayah cakupan Indonesia dalam rentang waktu bulanan selama 204 bulan. Hasil analisis menunjukkan bahwa lima nilai singular terbesar memiliki total varian sebesar 90.03%. Hal ini menunjukkan bahwa seluruh data dapat diwakili dengan lima mode EOF. Mode EOF pertama menjelaskan 30.68% dari total varian. Mode EOF kedua sampai kelima masing-masing menjelaskan 19.89%, 16.82%, 11.43% dan 11.19% dari total varian. Setiap mode EOF yang diperoleh menggambarkan pola spasial, sedangkan vektor singular menggambarkan pola temporal. Efektifitas dari lima mode EOF yang dihasilkan tersebut diuji untuk dapat menghampiri data asli. Hampiran data asli diperoleh dengan menentukan nilai kesalahan dari hasil reduksi menggunakan teknik error norm matriks. Kata kunci: curah hujan TRMM 3B43, analisis empirical orthogonal function (EOF), singular value decomposition (SVD), error norm matriks.
SUMMARY ISNAWATI LUJENG LESTARI. An Empirical Orthogonal Function (EOF) Analysis of Indonesian Rainfall Data based on Singular Value Decomposition (SVD) Analysis. Supervised by SRI NURDIATI and ARDHASENA SOPAHELUWAKAN. Rainfall is one of atmospheric parameters that are difficult to predict because it has a high diversity both spatially and temporally. Indonesia has a long coastline and mountainous that affecting air currents, weather changes, climate, and rain. Rainfall's data is data that has a dimensions matrix is large and difficult to analysis. Therefore, it takes a correct way to analyze the data in order to obtain useful information. One of it is using dimension reduction technique known as Principal Component Analysis (PCA) also called Empirical Orthogonal Function (EOF) Analysis. Empirical Orthogonal Function (EOF) Analysis was used to reduce large dimensional rainfall data. This method was used to obtain several dominant patterns which varies in time and space. PCA or EOF said as Hotelling transformation which is a technique to simplify a set of data, by reducing the dimensions become smaller for analysis by retaining as much variation in the original data set. The new variable that represents the data with smaller dimensions called Principal Component in this study is called mode EOF. In algebra, mode EOF or PC obtained is a linear combination of all the original variables that have the greatest variance in sequence and did not correlate with previous major components. In this study, the EOF decomposition was calculated using Singular Value Decomposition (SVD) approach to get the singular value and singular vectors from the matrix data. Dimensionality reduction was applied on the original matrix data by reconstructing the data matrix by using a series on increasing number of modes, where the error matrix norm was used as the norm to measure its accuracy. The EOF analysis was applied to the monthly Tropical Rainfall Measuring Mission (TRMM 3B43) Indonesian rainfall data. Analysis carried out on data Rainfall TRMM 3B43 in Indonesian produced some mode EOF seen of the cumulative percentage of the total variance of bigger than 80 percent. Analysis was produced 5 modes of EOF which could describe 90.03 percent of the total variance. This shows that most of the data can be represented with five modes EOF. The first mode EOF contribute 30.68 percent of the total variance. Mode EOF of the second to fifth respectively explaining 19.89 percent, 16.82 percent, 11.43 percent and 11.19 percent of the total variance. Each mode EOF obtained describe the spatial pattern, while the singular vectors describe temporal patterns. Effectiveness of the five EOF modes obtained was maintained to be able to approach the original data. This approximation was obtained by determining the error norm value of the reduction results using error matrix norm technique. Keywords: rainfall TRMM 3B43, analysis of empirical orthogonal function (EOF), singular value decomposition (SVD), error norm matrix
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin IPB
ANALISIS EMPIRICAL ORTHOGONAL FUNCTION (EOF) BERBASIS SINGULAR VALUE DECOMPOSITION (SVD) PADA DATA CURAH HUJAN INDONESIA
ISNAWATI LUJENG LESTARI
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr Ir Fahren Bukhari, MSc
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu wa ta’ala atas segala nikmat dan karunia-Nya. Sebesar apapun kesyukuran kita, tidak akan pernah bisa menyamai kenikmatan yang telah Allah berikan. Maha Suci Engkau dengan segala Kuasa-Mu. Atas Kuasa-Nya pula, tesis yang berjudul Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) berbasis Singular Value Decomposition (SVD) pada Data Curah Hujan Indonesia dapat penulis selesaikan. Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Magister Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Dalam proses penulisan tesis ini, penulis menyadari bahwa telah memperoleh dorongan dan bantuan dari banyak pihak. Mulai dari material, moral, spiritual, dan juga psikologis. Untuk itu, melalui kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih dan rasa hormat yang sebesar-besarnya kepada: 1. Bapak A. Somad dan Ibu Syaf Rosidah selaku orang tua penulis. 2. Ibu Dr Ir Sri Nurdiati, MSc selaku ketua komisi pembimbing. 3. Bapak Dr Ardhasena Sopaheluwakan, BSc MSc selaku anggota komisi pembimbing. 4. Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan. 5. Bapak Dr Ir Fahren Bukhari MSc selaku penguji luar komisi pembimbing. 6. Seluruh dosen dan staf pegawai tata usaha Departemen Matematika. 7. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa Pascasarjana Dalam Negeri (BPP-DN). 8. Seluruh keluarga yang selalu memberikan dorongan dan mendoakan untuk keberhasilan penulis. 9. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman angkatan tahun 2013 di program studi S2 Matematika Terapan. 10. Seluruh rekan–rekan Gugusan Mahasiswa Pascasarjana Matematika IPB (GUMAPASTIKA). 11. Sahabat-sahabat yang tak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini. Semoga segala bantuan, bimbingan, dan motivasi yang telah diberikan kepada penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah Subhanahu wa ta’ala. Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar serta wawasan kita semua.
Bogor, Maret 2016 Isnawati Lujeng Lestari
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
ii
DAFTAR GAMBAR
ii
DAFTAR LAMPIRAN
iii
1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian
1 1 2 2 2
2 TINJAUAN PUSTAKA Ruang Vektor Matriks Matriks Data Nilai Singular Ortogonalitas Norm dan Error Singular Value Decomposition (SVD) Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) Aproksimasi matriks Rank rendah
3 3 4 5 5 5 6 7 7 8
3 METODE 3.1 Metode Penelitian 3.2 Data Penelitian 3.3 Langkah Penelitian 3.3.1 Alat Uji 3.3.2 Ekstraksi data TRMM 3B43 3.3.3 Reduksi data TRMM 3B43 menggunakan EOF berbasis SVD
8 8 9 9 9 10 10
4 HASIL DAN PEMBAHASAN Eksplorasi Data TRMM 3B43 Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) Rekonstruksi data hasil reduksi
12 12 13 20
5 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran
21 21 21
DAFTAR PUSTAKA
21
LAMPIRAN
23
RIWAYAT HIDUP
29
DAFTAR TABEL 1 Nilai singular dan persentase kumulatif analisis EOF 2 Nilai komponen utama hasil analisis EOF 3 Nilai Error Norm untuk masing-masing mode EOF
14 14 19
DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Skema ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43 Skema analisis EOF menggunakan SVD Skema langkah-langkah penelitian Peta penyebaran data curah hujan Januari 2014 secara seluruh dunia atau global 500LU – 500 LS dan 1800BB – 1800BT Peta penyebaran data curah hujan Januari 2014 pembesaran dari kotak kecil untuk wilayah Indonesia 600LU – 110 LS dan 950 BT – 1410 BT Pola spasial mode EOF1 Pola spasial mode EOF2 Pola spasial mode EOF3 Pola spasial mode EOF4 Pola spasial mode EOF5 Deret waktu atau pola temporal koefisien vektor singular mode EOF1 sampai mode EOF5 Grafik respon perubahan mode EOF terhadap nilai kesalahan Hasil rekonstruksi data curah hujan TRMM 3B43 Januari 2013
10 10 11 12 13 15 16 16 17 17 18 20 20
DAFTAR LAMPIRAN 1 2 3 4 5 6
Algoritme ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43 Algoritme reduksi data menggunakan EOF berbasis SVD Plot pola spasial Plot pola temporal Algoritme error norm matrix Nilai error norm relatif
23 23 24 26 27 27
1 PENDAHULUAN Latar Belakang Curah hujan merupakan salah satu parameter atmosfer yang sulit diprediksi karena mempunyai keragaman tinggi baik secara spasial maupun temporal. Demikian halnya dengan curah hujan di wilayah maritim tropis seperti Indonesia. Sebagai negara kepulauan, Indonesia mempunyai garis pantai yang panjang dan berpegunungan, sehingga memengaruhi arus udara, perubahan cuaca, iklim, dan hujan. Selain itu, Indonesia mempunyai variasi suhu kecil, sementara variasi curah hujan yang tinggi. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode analisis untuk menentukan pola–pola yang dominan dan memprediksi curah hujan di Indonesia dengan menggunakan data yang tersedia. Data curah hujan merupakan data yang memiliki dimensi matriks yang cukup besar dan sulit untuk dianalisis. Oleh karena itu, dibutuhkan cara yang tepat untuk menganalisis data tersebut agar diperoleh informasi yang bermanfaat. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan suatu permasalahan yang berkaitan dengan dimensi data matriks yang cukup besar. Salah satunya adalah dengan mereduksi dimensi matriks data tersebut. Teknik pereduksian dimensi itu dikenal dengan Analisis Komponen Utama (AKU) atau disebut analisis Empirical Orthogonal Function (EOF). Analisis EOF merupakan suatu metode untuk menentukan pola-pola dominan pada data yang berevolusi dalam ruang dan waktu. AKU atau EOF dikatakan sebagai transformasi Hotelling yang merupakan sebuah teknik untuk menyederhanakan suatu himpunan data. Himpunan data tersebut direduksi menjadi lebih kecil dengan mempertahankan sebanyak mungkin variasi dalam himpunan data asal. Peubah baru yang merepresentasikan data dengan dimensi yang lebih kecil disebut dengan Komponen Utama dalam penelitian ini disebut sebagai mode EOF. Secara aljabar, mode EOF yang diperoleh merupakan kombinasi linear dari semua peubah asli yang memiliki varian terbesar secara berurutan dan tidak berkorelasi dengan komponen utama sebelumnya. Analisis EOF diperkenalkan pertama kalinya dalam artikel Lorenz tahun 1956. Lorenz menganalisis Suhu Permukaan Laut (SPL) di wilayah Amerika Serikat dan Kanada bagian Utara. Hasil dari penelitiannya adalah sebanyak 91% keragaman SPL mampu dijelaskan oleh 8 komponen utama. Perkembangan metode EOF dilanjutkan oleh Kutzbach (1967) menggunakan tiga peubah iklim dalam analisis EOF, yaitu SPL, suhu permukaan, dan curah hujan di wilayah Amerika Utara. Selanjutnya penelitian yang dilakukan oleh Lyons (1982) dengan menggunakan EOF untuk analisis curah hujan di Hawai dan diperoleh mode EOF1 hingga mode EOF3 yang dipengaruhi oleh angin pasat, angin tenggara, dan hujan konvektif pada pola tahunannya. Aldrian dan Susanto (2003) melakukan penelitian untuk daerah Indonesia dengan menggunakan metode Double Correlation dan teknik EOF pada data ratarata bulanan tahun 1961-1992. Penelitian tersebut dihasilkan tiga tipe iklim untuk seluruh wilayah Indonesia seperti yang dikenal saat ini, yaitu tipe monsunal, ekuatorial, dan lokal. Penelitian lainnya dengan metode EOF dilakukan oleh
2 Nayagam, et al (2009) menganalisis curah hujan Northeast Monsoon (NEM) dengan menggunakan analisis Wavelet. Oleh karena itu, pada penelitian ini diberikan data curah hujan bulanan Tropical Rainfall Measuring Mission (TRMM) 3B43 untuk wilayah cakupan Indonesia. Analisis dilakukan menggunakan metode EOF berbasis Singular Value Decomposition (SVD) untuk mereduksi data tersebut. Selanjutnya akan dianalisis pola spasial dan pola temporal dari hasil reduksi data, dan dihitung error norm matriks untuk melihat efektifitas dari mode EOF yang diperoleh. Perumusan Masalah Untuk memudahkan langkah-langkah penelitian dan metode penelitian, maka dibuat rumusan penelitian sebagai berikut: 1. Bagaimana metode EOF berbasis SVD digunakan untuk mereduksi data curah hujan TRMM 3B43 sehingga diperoleh beberapa mode EOF atau KU. 2. Bagaimana analisis pola dominan dari data curah hujan TRMM secara temporal dan spasial. 3. Bagaimana efektivitas data hasil reduksi mampu menghampiri data asli dengan melihat nilai kesalahan dari hasil reduksi data.
Tujuan Penelitian Berdasarkan permasalahan di atas maka tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah: 1. Mengkaji metode EOF berbasis SVD untuk mereduksi data curah hujan TRMM 3B43. 2. Menganalisis pola dominan dari data curah hujan TRMM secara temporal dan spasial. 3. Menghitung error norm matriks untuk melihat nilai kesalahan hasil reduksi menghampiri data asli. Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini adalah untuk mengidentifikasi karakteristik curah hujan di wilayah Indonesia, sebagai komponen yang penting dalam memprediksi curah hujan di masa mendatang.
3
2 TINJAUAN PUSTAKA Ruang Vektor Definisi 2.1 (Ruang Vektor) Misalkan V adalah himpunan dengan pendefinisian operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar. Setiap pasangan elemen dan di dalam V terdapat suatu elemen yang tunggal juga berada di dalam V serta setiap elemen di dalam V dan setiap skalar terdapat yang tunggal juga berada di dalam V. Himpunan V dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar ini dinamakan ruang vektor jika memenuhi aksioma berikut. 1. . ) ( ) 2. ( . 3. sehingga . ( ) 4. terdapat ( ) sehingga . ) dan skalar . 5. ( ) 6. ( dengan skalar dan skalar . 7. ( ) dengan skalar dan skalar . 8. . Elemen dalam V adalah vektor sedangkan symbol 0 menyatakan vektor nol. (Leon 2014) Definisi 2.2 (Kombinasi Linear) Misalkan adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor dan adalah skalar. Jumlah vektor-vektor yang berbentuk disebut kombinasi linear dari . (Leon 2014) Definisi 2.3 (Bebas Linear) Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika mengakibatkan semua skalar-skalar harus sama dengan nol. (Leon 2014) Definisi 2.4 (Bergantung Linear) Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bergantung linear jika terdapat skalar-skalar yang tidak semuanya nol sehingga . (Leon 2014) Definisi 2.5 (Basis) Vektor-vektor membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan hanya jika (i) bebas linear (ii) Merentang V . (Leon 2014)
4 Definisi 2.6 (Dimensi) Misalkan V adalah ruang vektor. Jika V memiliki basis yang terdiri atas n vektor, maka V dikatakan memiliki dimensi n . (Leon 2014) Matriks Definisi 2.7 (Matriks) Matriks adalah himpunan skalar yang disusun menurut baris dan kolom. ( ). Di notasikan Definisi 2.8 (Matriks Identitas) Matriks identitas adalah matriks
( {
) yang berukuran
, dengan
. (Leon 2014)
Definisi 2.9 (Rank Matriks) Rank dari matriks dinotasikan matriks .
( ) adalah dimensi dari ruang baris (Leon 2014)
Definisi 2.10 (Transpos dari Suatu Matriks) Transpos dari suatu matriks yang berukuran matriks yang berukuran yang didefinisikan oleh untuk setiap dan . Transpos dari dinotasikan oleh . (Leon 2014) Definisi 2.11 (Invers dari Suatu Matriks) Suatu matriks yang berukuran dikatakan taksingular jika terdapat matriks Y sehingga . Matriks B dikatakan invers multiplikatif dari matriks . Invers multiplikatif dari matriks taksingular secara sederhana disebut juga sebagai invers dari matriks dan dinotasikan dengan . (Leon 2014) Definisi 2.12 (Determinan Matriks)
Matriks A aij berorde n n. Determinan dari A didefinisikan sebagai skalar: (1) det A p a1 p1 a2 p2 ....anpn , p
dengan penjumlahan diambil dari n! permutasi p p1 , p2 , ..., pn . Setiap notasi
a1 p1 a2 p2 ....anpn di persamaan (1) berisi tepat satu entri dari setiap baris dan setiap
kolom dari A. Determinan dari A dapat dinotasikan sebagai det A atau A. Determinan dari matriks nonpersegi tidak dapat didefinisikan.
(Meyer 2000) Definisi 2.13 (Matriks Singular dan Nonsingular) Matriks A berukuran n n merupakan matriks singular jika dan hanya jika det A 0. Matriks A nonsingular jika dan hanya jika det A 0.
5 (Meyer 2000) Definisi 2.14 (Matriks Diagonal) Matriks diagonal adalah matriks berukuran diagonal utama ialah nol. Matriks diagonal berukuran [
dengan
yang semua unsur selain dapat ditulis sebagai ]
disebut unsur diagonal utama. (Anton & Rorres 2005) Matriks Data
Data Iklim biasanya berupa data grid dalam bentuk matriks yang memiliki level tiga dimensi dengan dua dimensi spasial dan satu dimensi waktu dalam bidang F. Koordinat horizontal tersusun dari dua dimensi spasial yaitu untuk garis dan garis bujur menghasilkan lintang jumlah dari titik grid koordinat vertikal disusun berdasarkan waktu dan untuk bidang F dapat dituliskan: ( ) dengan dan Secara umum untuk dimensi tiga membutuhkan penyimpanan yang cukup banyak dan sulit untuk dianalisis. Oleh karena itu, dapat ditransformasikan menjadi dimensi dua misalnya matriks data berukuran nXp. Grid data set yang terdiri atas ruang dan waktu X(n,p) mewakili nilai dari bidang X pada ruang n dan waktu p. Nilai dari bidang pada titik grid nj dan waktu diskret pi dinotasikan xij untuk dan sehingga bidang yang diamati direpresentasikan dalam data matriks sebagai berikut : [
]
(A.Hannachi 2009) Nilai Singular Misalkan matriks dengan. Nilai–nilai singular dari dari nilai eigen positif dati matriks atau .
adalah akar (Leon 2014)
Ortogonalitas Definisi 2.15 (Hasil Kali Skalar) Misalkan dengan maka hasil kali skalar dari adalah
dan
(Leon 2014)
6 Definisi 2.16 (Matriks Ortogonal) Matriks persegi A dikatakan ortogonal jika transposnya sama dengan inversnya A1 AT atau ekuivalen jika AAT AT A I . (Anton & Rorres 2005) Definisi 2.17 (Ortogonal) Vektor–vektor dan
disebut ortogonal jika
. (Leon 2014)
Norm dan Error Definisi 2.18 (Vektor Norm ) Fungsi f : R n R disebut norm vektor (vector norm) di R n jika memenuhi ketiga aksioma berikut: 1) f x 0, x Rn , 2) f x y f x f y , x, y R n . 3) f x f x,
( f ( x) 0, jika x 0 ).
R, x R n . (Golub & Loan 1996)
Definisi 2.19 (Norm Matriks) Fungsi f : R n p R disebut norm matriks (matrix norm) jika untuk setiap A, B R n p dan R memenuhi ketiga aksioma berikut: 4) f A 0 dan f A 0 A 0. 5) f A B f A f B . 6)
f A f A .
Dalam hal ini, untuk memudahkan penulisan, norm matriks A ditulis A sehingga A f A .
(Golub & Loan 1996)
Definisi 2.20 (Error Absolut dan Relatif ) Misalkan xˆ R n merupakan aproksimasi untuk x R n . Diberikan norm vektor maka dapat dibentuk formula error absolut di xˆ yaitu:
eabs x xˆ . Jika x 0, maka formula error relatif di xˆ yaitu: x xˆ erel . x (Golub & Loan 1996) Definisi 2.21 (Norm Frobenius) Untuk sebarang matriks X berukuran n x p, norm Frobenius (Frobenius Norm) dari matriks X didefinisikan sebagai ‖ ‖
∑|
|
(
) (Meyer 2000)
7
Singular Value Decomposition (SVD) Misalkan X sebarang matriks berukuran n x p dengan Rank(X) = r. Singular Value Decomposition (SVD) atau dekomposisi nilai singular dari X adalah faktorisasi dalam bentuk: ( )
dengan
dan
[
] merupakan matriks ortogonal.
Matriks U berukuran n x n, V berukuran p x p, dan
[
] adalah matriks
( ) dan berukuran n x p dengan . Diman merupakan nilai singular dari matriks , dan masing–masing merupakan vektor singular kiri dan vektor singular kanan dari matriks . Oleh karena itu, dapat dituliskan [
]
( )
(Nicholson 2001). Teorema 2.1 ( ) Diberikan X sebarang matriks berukuran dengan ciri dan nilai singular . Jika didefinisikan dan seperti uraian di atas, maka dan matriks ortogonal dan dapat didekomposisikan sebagai Bukti dapat dilihat pada Leon (2014). Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) Analisis EOF bertujuan untuk mentransformasikan p peubah asal yang saling berkorelasi menjadi k buah komponen ortogonal (tidak berkorelasi). Misalkan matriks berukuran n x p yang mengandung dataset dengan n banyaknya peubah atau variabel dan p waktu. SVD dari X dengan Rank(X) = r adalah faktorisasi seperti pada persamaan (2) sehingga diperoleh ∑
( )
( )
Matriks V dari persamaan (3) adalah matriks EOF atau koefisien vektor dan adalah matriks skor EOF atau komponen utama. Skor komponen utama dapat dituliskan ( ) Varian dari i komponen utama adalah ∑
( )
dengan merupakan nilai singular dari matriks X. Dalam prakteknya, k mode EOF1 atau komponen utama pertama dengan menjelaskan proporsi varian terbesar. Mode EOF2 merupakan kombinasi linear dari seluruh variabel yang diamati yang bersifat ortogonal terhadap mode EOF1 dan memiliki varian terbesar kedua dan seterusnya. Oleh karena itu, mode EOF ke-k memiliki varian maksimum ke-k dan tidak berkorelasi dengan mode EOF sebelumnya. Analisis
8 EOF digunakan untuk mencari (n x k) matriks skor komponen dari n objek pengamatan dan p waktu. (A. Hannachi 2009) Aproksimasi Matriks Rank Rendah Misalkan X matriks berukuran dengan rank(X) = r dan SVD dari X lebih kecil dinyatakan sebagai persamaan (4). Jika nilai singular dibandingkan dengan maka dengan ‘membuang’ sebanyak term pada (4) akan memberikan aproksimasi untuk X dan memiliki rank yang lebih kecil daripada r. Teorema aproksimasi dengan rank rendah (low rank approximation) pertama kali dinyatakan dan dibuktikan oleh Eckart C, Young G (1936). Pada beberapa jurnal teorema ini disebut dengan Eckart-Young Theorem. dengan Teorema tersebut menyebutkan bahwa jika matriks ( ) . dapat dibagi menjadi beberapa bagian ∑
( )
Persamaan (6) berkorespondensi dengan r pertama mode EOF atau KU. Jika hanya m pertama mode EOF yang dipertahankan, maka : ̃
∑
Yang memberikan aproksimasi ke aproksimasi yang meminimumkan ‖
̃‖
( ) .
̃ memberikan m rank terbaik pada
∑ ∑(
̂)
( )
3 METODE Langkah–langkah yang digunakan untuk membahas permasalahan yang diambil dalam penelitian ini akan dibahas pada bab ini. Di bagian ini disebutkan metode yang digunakan untuk melakukan pereduksian data. 3.1 Metode Penelitian Penelitian ini menggunakan studi literatur kemudian mengimplementasikan metode EOF berbasis SVD untuk reduksi matriks data ke dalam program komputer menggunakan software Matlab. Reduksi dilakukan terhadap data curah hujan TRMM 3B43 wilayah cakupan Indonesia. Metode EOF berbasis SVD ini bertujuan untuk menentukan pola–pola dominan pada data curah baik secara spasial maupun temporal. Selain itu, untuk melihat nilai kesalahan dari reduksi data yang diperoleh dihitung menggunakan teknik error norm matriks.
9 3.2 Data Penelitian Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data curah hujan Tropical Rainfall Measuring Mission (TRMM) 3B43. Data ini merupakan data global bulanan selama memiliki resolusi spasial dan resolusi temporal bulanan. Data TRMM 3B43 ini disponsori oleh NASA (National Aeronautics and Space Administration) dan JAXA (Japan Aerospace Exploration Agency) dan telah menumpulkan data dari November 1997 sampai saat ini. Data ini berupa data digital compressed dengan format Hierarchical Data Format (HDF) dan dapat diunduh dari website ftp://disc2.nascom.nasa.gov/data/s4pa/TRMM_L3/. Reduksi data TRMM 3B43 dalam penelitian ini dilakukan sesuai dengan domain wilayah Indonesia 60LU–110LS dan 950BT–1410 BT sehingga setiap satu bulan terdapat matriks data berukuran dengan jumlah pixel sebanyak 13505. Adapun rentang waktu yang akan diteliti yaitu selama 204 bulan berawal dari bulan Januari 1998 sampai Desember 2014. 3.3 Langkah Penelitian Langkah–langkah dalam penelitian ini terdiri atas tiga tahap, tahap pertama adalah menyiapkan alat uji coba berupa program yang disusun menggunakan bahasa pemrograman Matlab. Tahap kedua adalah ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43 yang dibentuk dalam suatu matriks data. Adapun tahap ketiga dilakukan analisis data curah hujan menggunakan metode EOF berbasis SVD. Pada tahap ini akan dihitung nilai error norm matriks dari hasil reduksi data.
1.
2.
3.
4.
5.
3.3.1 Alat Uji Pada tahap ini, dilakukan langkah–langkah sebagai berikut: Identifikasi masalah Masalah pada penelitian ini adalah bagaimana metode EOF berbasis SVD dapat digunakan untuk menganalisis variabilitas curah hujan wilayah Indonesia secara spasial dan temporal, serta untuk mengetahui error norm matriks dari mode EOF yang diperoleh. Penentuan tujuan Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis variabilitas curah hujan wilayah Indonesia secara spasial dan temporal menggunakan analisis EOF dan mengetahui error norm matriks dari mode EOF. Studi literatur Studi literatur dilakukan dengan mengkaji karakteristik data TRMM 3B43 dan mengkaji metode Empirical Orthogonal Function (EOF) dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD). Pada bagian ini juga dikaji tentang error norm matriks. Penyusunan algoritme Setelah melakukan studi literatur, langkah selanjutnya adalah penyusunan algoritme untuk reduksi data dan penentuan mode EOF yang digunakan untuk analisis pola spasial dan temporal. Penyusunan program komputer Algoritme yang telah disusun kemudian diimplementasikan dalam salah satu bahasa pemograman komputer yaitu Matlab. Matlab dipilih karena fungsi– fungsi yang berkaitan dengan SVD telah tersedia dan siap digunakan. Setelah dijalankan program yang disusun diharapkan menerima input berupa matriks
10 data curah hujan wilayah cakupan Indonesia, program memberikan output berupa plot data spasial dan pola temporal. Selain program utama, disusun juga script Matlab lain yang digunakan untuk menentukan nilai norm matrix dari hasil reduksi data. 3.3.2 Ekstraksi data TRMM 3B43 Pada tahap ini akan dijelaskan cara mengekstraksi data curah hujan TRMM 3B43. Data curah hujan TRMM 3B43 merupakan data global, sehingga perlu dilakukan pemotongan data untuk menentukan variabel yang akan dianalisis. Selanjutnya data di-reshape untuk setiap bulannya dan dibentuk matriks data . Langkah ekstraksi data dapat dilihat pada flowchart di Gambar 1 berikut. Data Global TRMM 3B43
Data TRMM 3B43 Indonesia
Matriks data (X)
Reshape data urutan bulan
Gambar 1 Skema ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43 3.3.3 Reduksi data TRMM 3B43 Menggunakan EOF berbasis SVD Pada tahap ini akan diterapkan teknik EOF berbasis SVD terhadap matriks data curah hujan TRMM 3B43. Tahap reduksi dapat dilihat pada flowchart pada Gambar 2 berikut. Data Curah Hujan (X) r
n
X p USV T ui i vi k i 1
Tentukan nilai singular dan vektor singular terbesar
y U Pola Spasial
1 2 r
m
p
vp
Pola Temporal
~ p X u j j vTj j 1
Errorrel
~ X X X
Gambar 2 Skema Analisis EOF menggunakan SVD Hasil dari metode EOF berbasis SVD tersebut diberikan plot masing– masing mode EOF yang dihasilkan baik secara spasial dan temporal. Untuk
11 menentukan efektifitas hasil reduksi dari mode EOF yang dihasilkan, maka digunakan error norm matriks untuk menghitung nilai kesalahan. Dari uraian di atas, digambarkan langkah–langkah secara umum yang dilakukan dalam penelitian ini seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 3 berikut. Mulai
- Identifikasi masalah - Penentuan tujuan - Studi literatur dan pengumpulan data - Penyusunan algoritme - Penyusunan program Matlab Ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43 Reduksi data menggunakan analisis EOF berbasis SVD, dihitung persentase variansnya serta plot pola temporal dan pola spasial Hitung hampiran hasil reduksi mode EOF terhadap data asli menggunakan analisis error norm matriks Visualisasikan error norm relatif
Selesai
Gambar 3 Skema langkah-langkah penelitian
12
4. HASIL DAN PEMBAHASAN Bab ini menjelaskan tentang hasil uji coba yang telah dilakukan untuk menjawab pertanyaan yang diberikan pada perumusan masalah. Selain itu, diberikan pula algoritme ekstraksi data dan pereduksian data menggunakan metode EOF berbasis SVD. Selanjutnya dihitung nilai kesalahan dengan menggunakan error norm matriks dari mode EOF hasil reduksi. Eksplorasi data TRMM 3B43 Data yang diperoleh dari data TRMM 3B43 merupakan data global untuk seluruh dunia. Oleh karena itu, perlu dilakukan ekstrasi data atau pemotongan data pada wilayah cakupan Indonesia untuk menganalisis data yang akan digunakan dalam penelitian. Berikut ini algoritme ekstrasi data curah hujan TRMM 3B43: Algoritme 1 1. Penentuan domain wilayah Indonesia yang akan dianalisis yaitu 6 0 LU–110 LS dan 950 BT–410 BT. 2. Pemotongan data curah hujan TRMM 3b43 yang memiliki format HDF ke dalam grid berukuran 185 x 73 sehingga jumlah pixel yang diperoleh 13505 untuk setiap bulannya selama 204 bulan atau selama 17 tahun. 3. Reshaping data yang sudah dipotong untuk setiap bulannya. 4. Pengurutan data yang sudah di-reshape berdasarkan urutan waktu (t). 5. Pembentukan matriks data (X). Eksplorasi data diawali dengan menyajikan pola data yang tersedia dalam bentuk visual berdasarkan grid data global. Gambar 4 menunjukkan ilustrasi visual data TRMM 3B43 untuk seluruh dunia atau global dengan letak koordinat 500LU–500 LS dan 1800B–1800BB pada bulan Januari tahun 2014. Ukuran grid data dengan koordinat tersebut yaitu 1440 x 400 pixel.
Gambar 4 Peta penyebaran data curah hujan Januari 2014 secara seluruh dunia atau global 500LU – 500 LS dan 1800BB – 1800BT.
13
Gambar 5 Peta penyebaran data curah hujan Januari 2014 pembesaran dari kotak kecil untuk wilayah Indonesia 60 LU – 110 LS dan 950 BT – 1410 BT. Proses pemotongan data sesuai dengan domain wilayah Indonesia yaitu 60 LU–110 LS dan 950 BT–1410 BT, sehingga untuk setiap satu bulan diperoleh matriks X berukuran 185 x 73 dengan jumlah pixel sebanyak 13505. Gambar 5 menunjukkan ilustrasi visual data curah hujan TRMM 3B43 untuk wilayah Indonesia pada bulan Januari 2014. Setelah dilakukan pemotongan untuk setip bulannya kemudian masing– masing data di-reshape. Selanjutnya, diurutkan berdasarkan urutan waktu sehingga diperoleh matriks berukuran 13505 x 204. Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) Seperti yang telah dijelaskan dalam pendahuluan bahwa metode EOF merupakan suatu metode yang digunakan untuk menentukan pola-pola dominan pada data yang berevolusi pada pola spasial dan temporal. Data curah hujan yang diukur dalam suatu pengamatan biasanya memiliki dimensi matriks data yang sangat besar. Salah satu tujuan dari analisis EOF dalam penelitian ini adalah untuk mereduksi data sehingga memudahkan analisis data baik secara temporal maupun spasial. Oleh karena itu, dalam penelitian ini EOF berbasis SVD digunakan untuk memperoleh nilai singular dan vektor singular serta komponen utama atau mode EOF dari matriks data. Tahapan analisis metode EOF terhadap data curah hujan TRMM 3B43 secara khusus akan disajikan dalam algoritme di bawah ini. Algoritme 2 analisis EOF 1. Diberikan matriks data . 2. Pereduksian matriks data dengan SVD . 3. Penentuan nilai singular dari yang terbesar . 4. Penentuan skor komponen utama atau mode EOF . 5. Penentuan proporsi varian dari i komponen utama berdasarkan persamaan (6). 6. Penentuan jumlah mode EOF yang digunakan berdasarkan ukuran persentase kumulatif varian lebih dari 80%. 7. Analisis data secara spasial dan temporal.
14 8. Perhitung error norm matriks. Pada bagian ini disajikan hasil perhitungan numerik yang diperoleh dari metode EOF. Sebelum dilakukan analisis dari hasil reduksi data, terlebih dahulu ditentukan berapa jumlah komponen utama yang akan digunakan sebagai analisis selanjutnya. Terdapat banyak kriteria dalam pemilihan jumlah komponen utama yang akan diikutsertakan ke dalam analisis EOF. Akan tetapi dalam penelitian ini banyaknya komponen utama yang digunakan dilihat dari persentase varian kumulatif. Menurut Jolliffe IT (2002) komponen utama hanya diikutsertakan jika mempunyai proporsi varian kumulatif lebih dari 80%. Tabel 1 Nilai singular dan persentase kumulatif analisis EOF Persentase Varian Mode EOF Nilai Singular Individual Kumulatif 1 903.17 30.68 30.68 2 585.47 19.89 50.57 3 495.16 16.82 67.4 4 336.38 11.43 78.83 5 329.49 11.19 90.03 6 293.39 3.12 93.15 7 221.19 1.78 94.93 8 214.66 1.01 95.94 … … … … 202 27.53 0.03 99.65 203 27.42 0.03 99.82 204 26.43 0.03 100 Berdasarkan Tabel 1 dapat dilihat bahwa lima nilai singular terbesar menunjukkan persentase varian kumulatif sebesar 90.03%. Hal ini berarti bahwa seluruh matriks data X dapat diwakili dengan lima mode EOF atau KU. Oleh karena itu, analisis selanjutnya menggunakan lima mode EOF dengan varian terbesar. Tabel 2 Nilai komponen utama hasil analisis EOF Grid 1 2 3 4 5 6 10 ... 13505
EOF1 6.022 5.950 6.219 6.202 6.465 6.220 6.721 ... 10.601
EOF2 -0.715 -1.016 -1.447 -1.304 -0.940 -0.903 -1.041 ... -5.787
EOF3 -2.398 -2.173 -2.144 -2.266 -2.392 -2.818 -3.054 ... 3.628
EOF4 3.110 3.076 3.212 3.287 3.578 3.554 2.877 ... 1.883
EOF5 -3.229 -3.258 -3.362 -3.557 -3.649 -4.085 -4.666 ... 3.235
EOF6 5.087 5.165 4.843 4.535 4.559 4.279 4.316 ... 1.863
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
EOF204
0.094 0.068 0.138 0.109 0.391 0.333 -0.066 ... -0.028
15 Skor komponen utama atau mode EOF yang diperoleh merupakan skor yang menunjukkan besar kecilnya nilai atau kontribusi dari setiap komponen utama terhadap masing-masing unit pengamatan. Nilai skor komponen utama dapat bernilai positif maupun negatif. Nilai positif berarti suatu komponen utama memberi kontribusi yang besar dan berpengaruh positif terhadap unit pengamatan demikian pula sebaliknya. Dalam penelitian ini skor komponen utama diperoleh dari hasil kali nilai singular vektor kiri dengan nilai singular. Tabel 2 menunjukkan nilai dari mode EOF atau skor komponen utama yang diperoleh dari hasil reduksi data dengan menggunakan metode EOF berbasis SVD. Secara umum, vektor singular mendeskripsikan hubungan daerah-daerah yang memiliki variabilitas curah hujan yang besar. Daerah dengan curah hujan varian yang bernilai positif dapat dibedakan dengan daerah yang memiliki varian curah hujan yang bernilai negatif. Nilai positif menunjukkan curah hujan di atas rata-rata, sedangkan nilai negatif menunjukkan curah hujan di bawah rata-rata. Selanjutnya dari lima nilai singular terbesar yang diperoleh dari hasil reduksi dianalisis baik secara spasial maupun temporal. Pola spasial tersebut dapat dibentuk setelah mereshape kembali masing-masing dari mode EOF.
Gambar 6 Pola spasial mode EOF1 Pola spasial merupakan hasil visualisasi skor komponen utama dari masing–masing mode EOF. Mode EOF1 menjelaskan varian data sebesar 30.68% dari total varian. Gambar 6 menunjukkan keadaan curah hujan di wilayah Indonesia selama 204 bulan. Curah hujan pada mode ini memiliki skala yang berkisar di antara -30 sampai dengan 10. Mode EOF1 menjelaskan bahwa curah hujan yang tinggi terdapat di sebagian besar wilayah Indonesia, namun sebagian besar pulau Papua memiliki curah hujan yang cukup rendah.
16
Gambar 7 Pola spasial mode EOF2 Gambar 7 menunjukkan pola spasial untuk mode EOF2 dengan varian curah hujan sebesar 19.89%. Curah hujan yang tinggi terdapat pada bagian barat pulau Sumatra dan Jawa. Sebagian wilayah kalimantan dan Papua memiliki curah hujan yang bernilai positif. Curah hujan pada mode ini bernilai positif dan negatif dengan skala berkisar antara -15 sampai 15.
Gambar 8 Pola spasial mode EOF3 Mode EOF3 pada Gambar 8 menunjukkan curah hujan di wilayah barat Indonesia cukup tinggi atau sangat dominan, sebaliknya wilayah timur Indonesia memiliki curah hujan yang rendah. Pada mode ini nilai curah hujan berkisar di antara -15 sampai 10. Gambar 9 menunjukkan mode EOF4 yang memiliki nilai curah hujan berkisar antara -8 sampai 6. Dapat di lihat dari Gambar 10 di sebagian besar pulau–pulau besar di Indonesia memilik curah hujan yang cukup tinggi.
17
Gambar 9 Pola spasial mode EOF4 Gambar 10 menunjukkan pola spasial untuk mode EOF5. Mode ini memiliki nilai curah hujan yang berkisar diantara -8 sampai 8 dan menjelaskan sebagian besar wilayah Indonesia memiliki curah hujan yang rendah.
Gambar 10 Pola spasial mode EOF5 Total varian yang dijelaskan oleh lima komponen utama atau mode EOF tersebut lebih dari setengah keseluruhan varian, karena pada analisis EOF ini diambil keseluruhan data set dari 204 bulan. Lima mode EOF menjelaskan 90.03% dari varian curah hujan total yang merupakan nilai capaian cukup tinggi. Vektor singular menunjukkan plot data time series atau pola temporal dari analisis EOF. Gambar 11 menunjukkan variasi penampakan curah hujan tahunan selama 17 tahun dari mode EOF. Dilihat dari proporsi varian, mode EOF1 memiliki varian terbesar yaitu sebesar 30.07% dari total varian. Grafik temporal yang dihasilkan mode EOF1 pada Gambar 11a memperlihatkan siklus dengan periode tahunan yang dominan berada di setiap titik puncaknya. Hal ini diduga pengaruh fenomena musiman yang terjadi setiap tahunnya. Pada mode ini nilai
18
Gambar 11 Deret waktu atau pola temporal koefisien vektor singular mode EOF1 sampai mode EOF5 tertinggi berada pada tahun 2002, artinya pada tahun tersebut curah hujan di Indonesia banyak bervariasi dengan perubahan variannya cukup besar. Pola tahunan juga terdapat pada mode EOF2 yang terlihat pada Gambar 11b. Mode EOF3 yang terlihat pada Gambar 11c dengan proporsi varian masing–masing 19.89% dan 16.82%. Selain itu, dapat ditunjukkan pula semakin lemahnya variasi penampakan bulanan mode EOF4 pada Gambar 11d dan mode EOF 5 pada Gambar 11e. Mode-mode tersebut menggambarkan pola bulanan dengan proporsi varian 11.43% dan 11.19%.
19 Berdasarkan hasil dari analisis EOF, dapat diketahui seberapa besar analisis EOF mampu mewakili matriks data yang sebenarnya. Jika mode EOF dari hasil adalah reduksi data menggunakan SVD maka reduksi dari matriks . Karena nilai singular atau varian Ʃ disusun dengan urutan terbesar ke yang terkecil maka suku-suku yang nilai singularnya sangat kecil tidak banyak berpengaruh pada pola spasial dari matriks data . Dari sini untuk menentukan nilai error norm matriks dari matriks data , misalkan ̃ , dan . Oleh karena itu, nilai error norm matriks diperoleh dengan meminimumkan ̃‖ ̂ ) Hasil perhitungan error norm matriks dapat ∑ ∑ ( ‖ di lihat pada Tabel 3. Tabel 3. Nilai Error Norm untuk masing-masing mode EOF Mode EOF
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Error 0.6482 0.5482 0.3724 0.3648 0.3248 0.2449 0.2377 0.2082 0.2052 0.1877 0.1845 0.1765 0.1651 0.1598 0.1514
Mode EOF
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Error 0.1112 0.1486 0.1446 0.1436 0.1387 0.1348 0.1323 0.1319 0.1273 0.1236 0.1215 0.1207 0.1162 0.1126 0.1121
Mode EOF
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Error 0.1090 0.1077 0.1070 0.1055 0.1043 0.1031 0.1010 0.1003 0.0984 0.0967 0.0961 0.0948 0.0941 0.0931 0.0915
Tabel 3 menunjukkan nilai error norm matriks dari hasil perhitungan. Mode EOF1 memiliki nilai error norm matriks sebesar 0.6482 artinya jika hanya digunakan satu mode EOF maka nilai kesalahan sebesar 64.82%. Selanjutnya jika digunakan 2 mode EOF, diperoleh nilai error norm sebesar 0.5482 atau tingkat kesalahannya sebesar 54.82%, sehingga untuk 5 mode EOF tingkat kesalahannya sebesar 32.48%. Oleh karena itu, langkah ini bertujuan untuk melihat keefektifan suatu metode dalam mereduksi data curah hujan sehingga semakin kecil nilai kesalahan yang diperoleh semakin baik hampiran data reduksi yang mampu mewakili data asli. Besar kecilnya nilai error memperlihatkan representasi kedekatan antara data asli dengan data hasil reduksi. Nilai kesalahan Ilustrasi visual yang menggambarkan tingkat kesalahan tersebut ditunjukkan pada Gambar 12 dan nilai error norm relatif dapat dilihat pada Tabel 3 dan lebih lengkapnya pada lampiran 7.
21 adalah matriks skor EOF atau komponen utama. Skor komponen utama dapat dituliskan Oleh karena itu, untuk merekonstruksi kembali matriks data hasil reduksi menjadi matriks data asli dapat menggunakan persamaan ∑ ( ) . Sebagai contoh Gambar 13 menunjukkan rekonstruksi matriks data hasil reduksi menjadi matriks data asli untuk data curah hujan wilayah Indonesia pada bulan Januari 2013.
5. SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Analisis EOF terhadap data curah hujan TRMM 3B43 untuk cakupan wilayah Indonesia menghasilkan lima mode EOF. Mode EOF tersebut mampu menjelaskan 90.03% dari total varian. Mode EOF1 memiliki proporsi varian sebesar 30.68% dari total varian. Mode EOF selanjutnya secara berturut–turut 19.89%, 16.82%, 11.43% dan 11.19% dari total varian. Skor komponen utama menunjukkan pola spasial dari hasil analisis EOF sedangkan vektor singular menunjukkan plot data time series atau pola temporal dari analisis EOF. Hasil perhitungan error norm matriks menunjukkan bahwa jika hanya digunakan lima mode EOF maka nilai error norm matriks sebesar 32.48%. Oleh karena itu, semakin banyak mode EOF yang digunakan maka nilai kesalahannya akan semakin kecil. Saran Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) merupakan suatu metode untuk menentukan pola-pola dominan pada data yang berevolusi dalam ruang dan waktu serta data yang memiliki dimensi yang cukup besar. Pada penelitian selanjutnya analisis EOF dapat di lanjutkan dengan menambahkan data dari stasiun pengamatan curah hujan yang ada di Indonesia kemudian dapat di bandingkan dengan hasil data curah hujan TRMM 3B43. Selain itu dapat pula membandingkan metode EOF dengan metode matematika lainnya yang berhubungan dengan pereduksian data misalnya menggunakan Analisis komponen utama non linier atau analisis komponen utama kernel. Selanjutnya, dibandingkan nilai efektifitas atau nilai kesalahan dari masing–masing metode.
DAFTAR PUSTAKA Aldrian E. and Susanto RD. 2003. Identification of three dominant rainfall regions within Indonesia and their relationship to sea surface temperature, Int. J. Climatology, 23: 1435-1452. Eckart C, Young G. 1936. The approximation of one matrix by another of lower Rank. Psychometrika 1:211-218.
22 Hannachi A. 2009. A primer for EOF analysis of climate data: Department of Meteorology, University of Reading, Reading RG6 6BB, U.K. Jolliffe IT.2002. Principal Ccomponent Analysis. 2nd ed. New York: SpringerVerlag. Kutzbach JE. 1967. Empirical eigenvectors of sea-level pressure, suface temperature, and precipitation complexes over North America, Journal of Applied Meteorology 6:791-802. Leon SJ. 2014. Linear Algebra with Applications. 8th ed. New Jersey (USA): Prentice Hall. Lorenz EN. 1956. Empirical orthogonal function and statistical weather prediction. Scientific Report 1:1-49. Lyons SW. 1982. Empirical orthogonal function analysis of hawaiian rainfall Journal Applied Meteorology 21: 1713 – 1729. Meyer CD. 2000. Matrix Analysis & Applied Linear Algebra: Siam. Navarra A, Simoncini V. 2010. A Guide to Empirical Orthogonal Function for Climate Data Analysis: Springer. Nayagam LR, Rajesh J, H.S Ram M. 2009. Variability and teleconnectivity of northeast monsson ranifall over India. Global and Planetary Change 69:225-231 Nicholson WK. 2001. Elementary Linear Algebra. Singapore. McGraw-Hill.
23 Lampiran 1 Algoritme ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43 function [z] = hjn(a,b) z=zeros(13505,12*(b-a+1)); i=1; for iterTahun = a:b; tahun = iterTahun; strTahun = num2str(tahun,'%04.f'); for iterBulan = 1:12 bulan = iterBulan; strBulan = num2str(bulan,'%02.f'); kode = 01; strKode = num2str(kode,'%02.f'); namaFile = strcat('3b43.',strTahun,strBulan,strKode,'.7A.hdf'); %membaca file baca = hdfread(namaFile, '/Grid/precipitation', 'Index', {[1 1],[1 1],[1440 400]}); X = baca(1100:1284, 156:228); A = reshape(X,[],1); z(:,i)=A; i=i+1; end end
Lampiran 2 Algoritme reduksi data menggunakan EOF berbasis SVD function [PC,V,l,U,S]=AKUL(z) data = zscore(z); [U,S,V]=svds(data); r=6; l=zeros(r,3); l(:,1)=diag(S); for i=1:r l(i,2)=l(i,1)/sum(l(1:r,1))*100; l(i,3)=sum(l(1:i,1))/sum(l(1:r,1))*100; end PC=U*S; end
24 Lampiran 3 Plot pola spasial %plot Spasial EOF Mode 1 t1 = reshape(PC(:,1),185,73); xlon = 95:0.25:141; ylat = -11:0.25:7; [XLON,YLAT] = meshgrid(xlon,ylat); surf(XLON,YLAT,t1'); view([0 90]); shading flat load coast hold on plot3(long,lat,3000*ones(size(long)),'k'); axis equal tight axis([95 141 -15 10]); title('EOF Mode 1','FontWeight','bold','FontSize',12) xlabel('Longitude');ylabel('Latitude') title('Mode EOF1','FontWeight','bold','FontSize',12) xlabel('Bujur','FontWeight','bold','FontSize',12);ylabel('Lintang' ,'FontWeight','bold','FontSize',12) h = subplot(1,1,1); set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'100BT','110BT','120BT','130BT','140BT'},'Xtick',[10 0 110 120 130 140],'YTickLabel',{'10LS','5LS','0','5LU','10LU'},'Ytick',[-10 -5 0 5 10]); hold on
%plot Spasial EOF Mode 2 t2 = reshape(PC(:,2),185,73); xlon = 95:0.25:141; ylat = -11:0.25:7; [XLON,YLAT] = meshgrid(xlon,ylat); surf(XLON,YLAT,t2'); view([0 90]); shading flat load coast hold on plot3(long,lat,1000*ones(size(long)),'k'); axis equal tight axis([95 141 -15 10]); title('Mode EOF2','FontWeight','bold','FontSize',12) xlabel('Bujur');ylabel('Lintang') title('Mode EOF2','FontWeight','bold','FontSize',12) xlabel('Bujur','FontWeight','bold','FontSize',12);ylabel('Lintang' ,'FontWeight','bold','FontSize',12) h = subplot(1,1,1);
25 set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'100BT','110BT','120BT','130BT','140BT'},'Xtick',[10 0 110 120 130 140],'YTickLabel',{'10LS','5LS','0','5LU','10LU'},'Ytick',[-10 -5 0 5 10]); hold on %plot Spasial EOF Mode 3 t3 = reshape(PC(:,3),185,73); xlon = 95:0.25:141; ylat = -11:0.25:7; [XLON,YLAT] = meshgrid(xlon,ylat); surf(XLON,YLAT,t3'); view([0 90]); shading flat
load coast hold on plot3(long,lat,1000*ones(size(long)),'k'); axis equal tight axis([95 141 -15 10]); title('Mode EOF3','FontWeight','bold','FontSize',12) xlabel('Bujur','FontWeight','bold','FontSize',12);ylabel('Lintang' ,'FontWeight','bold','FontSize',12) h = subplot(1,1,1); set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'100BT','110BT','120BT','130BT','140BT'},'Xtick',[10 0 110 120 130 140],'YTickLabel',{'10LS','5LS','0','5LU','10LU'},'Ytick',[-10 -5 0 5 10]); hold on
26 Lampiran 4 Plot pola temporal figure;subplot(5,1,1) l1=l(1,2); plot(V(:,1)); title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM 3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14) h = subplot(5,1,1); set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20 05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014' },'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186 198]); hold on subplot(5,1,2) l1=l(2,2); plot(V(:,2)); title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM 3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14) k = subplot(5,1,2); set(k,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20 05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014' },'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186 198]); hold on
figure;subplot(5,1,3) l1=l(3,2); plot(V(:,3)); title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM 3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14) h = subplot(5,1,3); set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20 05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014' },'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186 198]); hold on subplot(5,1,4) l1=l(4,2); plot(V(:,4)); title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM 3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14) k = subplot(3,1,2); set(k,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20 05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014' },'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186 198]);
27 hold on subplot(5,1,5) l1=l(5,2); plot(V(:,5)); title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM 3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14) d = subplot(5,1,5); set(d,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12, 'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20 05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014' },'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186 198]); hold on
Lampiran 5 Algoritme error norm matriks function e = salah2(p, PC, V, data) for i = 1:p U1 = PC(:,1:i); P1 = V(:,1:i); xp = U1*P1'; e(1,i) =norm(data-xp)/(norm(data)); end a = 1:1:p; plot(a,e,'r-*') end
Lampiran 6 Nilai error norm relatif Mode EOF 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
Error relatif 0.1207 0.1162 0.1126 0.1121 0.1112 0.109 0.1077 0.107 0.1055 0.1043 0.1031 0.101 0.1003 0.0984 0.0967 0.0961 0.0948
Mode EOF 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
Error relatif 0.0631 0.0624 0.0618 0.0616 0.0615 0.0611 0.0604 0.06 0.0596 0.0591 0.0588 0.0586 0.0585 0.058 0.0574 0.0569 0.0565
Mode EOF 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147
Error relatif 0.0492 0.049 0.0485 0.0483 0.0479 0.0477 0.0474 0.0472 0.0466 0.0465 0.046 0.0459 0.0455 0.0454 0.0454 0.0451 0.0448
Mode EOF 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187
Error relatif 0.0387 0.0384 0.0381 0.0377 0.0372 0.0368 0.0367 0.0363 0.0361 0.0358 0.0357 0.0353 0.035 0.0348 0.0344 0.034 0.0339
28 Mode EOF 44 45 46 47 48 49 50 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
Error relatif 0.0931 0.0915 0.0911 0.0901 0.0891 0.088 0.0875 0.0698 0.0692 0.0685 0.0677 0.0674 0.0668 0.0662 0.0658 0.0655 0.0651 0.0645 0.0642 0.0639 0.0635 0.0633
Mode EOF 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
Error relatif 0.0558 0.0557 0.055 0.0547 0.0543 0.054 0.0536 0.0535 0.053 0.0527 0.0523 0.0522 0.0518 0.0514 0.0512 0.051 0.0507 0.0505 0.0503 0.05 0.0497 0.0493
Mode EOF 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
Error relatif 0.0445 0.0444 0.0442 0.0439 0.0436 0.0433 0.0431 0.0427 0.0423 0.0422 0.0421 0.0417 0.0414 0.0412 0.0409 0.0407 0.0403 0.04 0.0398 0.0397 0.0394 0.0392
Mode EOF 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
Error relatif 0.0334 0.0332 0.0327 0.0323 0.0321 0.0317 0.0312 0.031 0.0305 0.0304 0.0293 0
29
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kecamatan Sumber Jaya Lampung Barat pada tanggal 18 Februari 1991, sebagai anak pertama dari 2 bersaudara, dari pasangan A.Somad dan Syaf Rosidah. Pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Universitas Jember, lulus pada tahun 2013. Kesempatan untuk melanjutkan ke program magister pada Program Studi Matematika Terapan IPB diperoleh pada tahun 2013 dengan sponsor beasiswa pascasarjana dari Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) melalui program BPPDN. Sebuah artikel akan diterbitkan pada bulan Januari 2016 dengan judul Analisis Empirical Ortogonal Function (EOF) Berbasis Singular Value Decomposition (SVD) pada Data Curah Hujan Indonesia pada Journal of Mathematical Application (JMA). Artikel tersebut merupakan bagian dari tesis penulis.
