SEMINAR NASIONAL II SDM TEKNOLOGI NUKLIR YOGY AKARTA, 21-22 DES EMBER 2006 ISSN 1978-0176
Daftar Isi
ANALISIS DISTRIBUSI POTENSIAL ELEKTROSTATIS PAD A ELEMEN TABUNG AKSELERATOR ELEKTROSTATIS DWI PRIYANTORO, BANGUN PRIBADI
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir - BA TAN Jl. Babarsari Kotak Pos 6101 YKBB Yogyakarta 55281 Telepon 0274-484085,489716, Faksimili 0274-489715 Abstrak ANALISIS DISTRIBUSI POTENSIAL ELEKTROSTATIS PADA ELEMEN TABUNG AKSELERATOR ELEKTROSTATIS. Tabung akselerator elektrostatis disusun dari beberapa elektroda lingkar yang berjarijari sama, dengan pusat segaris. Elektroda-elektroda tersebut dihubungkan ke sumber tegangan bertingkat, yang makin ke belakang makin rendah. Elektroda pertama dihubungkan ke sumber tegangan tinggi, dan elektroda terakhir ditanahkan. Analisis secara matematis telah dilakukan untuk mendapatkan distribusi potensial elektrostatis pada elemen elektroda tabung akselerator. Dari analisis diperoleh bahwa distribusi potensial elektrostatis pada elemen elektroda adalah konstan sebesar tegangan yang terpasang. Kata-kata kunci: analisis distribusi potensial, tabung akselerator elektrostatis
Abstract THE POTENTIAL DISTRIBUTION ANALYSIS OF ELECTROSTATIC POTENTIAL ON THE ELEMENT OF ACCELERATOR TUBE. Tube of electrostatic accelerator is formed by some elements of circular electrode elements that have same radius which compiled by line. All elements of electrode are interfaced to source of voltage by high rise. The first electrode is interface to the sourceof high voltage, and jointed last electrode to the ground. Mathematic analysis have been done to get distribution of electrostatic potential in the electrode element of accelerator tube. Of the mathematic analyse obtained that distribution of electrostatic potential at electrode element is constant equal to attached voltage. Keywords: distribution of electrostatic potential, Tube of electrostatic accelerator PENDAHULUAN Tabung Akselerator tersusun dari beberapa elektroda lingkar berjari-jari sama, dengan pusat segaris. Gambar 1. menunjukkan tabung akselerator dengan beberapa elektrode lingkar yang dihubungkan ke sumber tegangan. Elektrode pertama (paling depan) diberi tegangan tinggi VHV, elektrode kedua diberi VHJr-LW, elektrode ketiga diberi tegangan tegangan Vmr-2L1V, demikian seterusnya, dan elektrode terakhir (paling belakang) ditanahkan. Besamya penurunan tegangan L1V adalah memenuhi persamaan mL1 V = VHV dengan m
Dwi Priyantoro dkk.
365
adalah jumlah elektroda, atau dapat dinyatakan sebagai Tabell. Tabel
1. Besar tegangan yang dipasang pada elektroda tabung akselerator, VHV menyatakan tegangan elektode dan m menyatakan jumlah elektrode.
Ele
i=
ktro
1
i=2
i=3 2)LI V
i=(m-1) m
i=0
da VHV - (m-
Teg
VH
VHV -
VHV-
ang an
v
1L1V
2L1V
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir-BATAN
SEMINAR NASIONAL II SDM TEKNOLOGI NUKLIR YOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006 ISSN 1978-0176 Karena elemen tabung akselerator berdimensi silinder maka dipilih sistem koordinat silinder. Dalam sistem koordinat silinder,
~f.!::.,_iJ>-A
kdHl
(2)
1 8r8 ( r 8r8) + -;.z1 8r/l 82 + 8Z2 82 V 2 = -;.
adalah sudut dengan r adalah jari-jari tabung, azimuth, dan z adalah panjang elemen tabung. Dalam analisis ini diambil dua asumsi yaitu pertama distribusi potensial elektrostatis merupakan fungsi sudut azimuth dan yang kedua tidak merupakan fungsi sudut azimuth. Distribusi potensial secara teknis atau secara pendekatan juga dilakukan. Dari asumsi pertama, bahwa distribusi potensial dalam elemen elektroda tabung (sudut merupakan fungsi dari r Gari-jari), azimuth), dan z (panjang elemen tabung), maka distribusi potensial dapat dinyatakan sebagai Persamaan (3).
Gambar 1. Tabung Akselerator Yang Dilengkapi Dengan HV Pada setiap penampang elektroda bermuatan (Wangsness, 1979) terdapat potensial elektrostatis, sehingga dengan menyusun sejumlah elektrode semacam ini, dapat digunakan untuk mempercepat gerakan partikel bermuatan. ltulah sebabnya akselerator yang demikian disebut akselerator elektrostatis. Dalam makalah ini dianalisis secara matematis, distribusi potensial elektrostatis pada penampang elemen elekrode tabung akselerator.
V= V(r, f/J,z)
Dengan menggabungkan Persamaan (2), dan (3) diperoleh Persamaan (4).
Analisis Distribusi Potensial Elektrostatis Distribusi potensial elektrostatis (V) yang timbul dalam elektroda berbentuk tabung, (lihat Gambar 2) memenuhi persamaan Laplace 1995; Jackson, 1999; (Arfken & Weber, Sneddon, 1956), V2V
=0
(3)
-r-8r +---+-=0 r1 8r 8 ( 8V) r2 1 82V 8r/l 82V 8Z2 Dengan memisalkan :
pemisahan
(4) variabel,
V = R(r)
(1)
(1),
dan (5)
memenuhi Persamaan (4), maka dengan memasukkan Persamaan (5) ke Persamaan (4) dapat diperoleh Persamaan (6) berikut ini,
dengan V2 adalah tanda Laplacian dan Vadalah distribusi potensial dalam tabung.
r dr dr ) C!>(¢)Z(z) d (r dR(r)
+ R(r)Z(z) r2
+ R(r)C!>(¢)
Gambar 2. Dalam sistem koordinat silinder, posisi setiap titik pada tabung dapat dinyatakan sebagai per, z). Potensial elektrostatis pada elektrode bentuk tabung memenubi persamaan Laplace (Arfken & Weber, 1995; Jackson, 1999; Sneddon, 1956).
d2Z(z) dz2
(6)
=0
Persamaan (6) dibagi dengan Persamaan (5) akan diperoleh Persamaan (7).
<1>,
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir -BA TAN
d2C!> d¢2
366
Dwi Priyantoro
dkk.
SEMINAR NASIONAL II SDM TEKNOLOGI NUKLIR YOGYAKARTA, ISSN 1978-0176
21-22 DESEMBER
1 d2R(r) -----+--R(r)
+
dr2
1
2006
dR
rR(r) dr
(7)
yang memiliki berikut.
1
d2<1>(¢)+_I_d2Z(z)=0 r2<1>(¢) d¢2 Z(z) dz2
<1>(¢)=
Persamaan (7) memiliki suku pertama dan suku kedua mengandung variabel r, suku ketiga mengandung variabel r dan variabel ¢, dan suku keempat hanya mengandung variabel z saja. Fungsi Z(z) dari Persamaan (7) dapat diselesaikan (Artken & Weber, 1995; Sneddon, 1956) dengan mengambil suku keempat sebagai suatu konstanta, misalkan sehingga suku keempat dapat ditulis sebagai Persamaan (8).
Il
d2Z(z) -k2Z(z)=0
(8)
dz2
yang merupakan persamaan diferensial order dua, yang memiliki penyelesaian :
Z(z) = C1 cosh kz + C2 sinh kz
linier
dengan Cj dan C2 maupun aj dan a2 adalah konstanta sembarang yang nilainya tergantung pada syarat batas medium. Untuk persamaan yang mengandung variabel r dan ¢, dapat dipisahkan, dengan terlebih dahulu memasukkan konstanta k! ke Persamaan (7) dan dengan menyusun kembali sehingga diperoleh Persamaan (10).
R(r)
dr2
r
+e
n2,
Dwi Priyantoro dkk.
sehingga
n¢
(12a)
atau: (12b) dengan C3 dan C4 maupun a3 dan a4 adalah konstanta sembarang yang ditentukan dengan syarat batas medium elemen tabung akselerator. Untuk Persamaan (10) yang mengandung variabel r dapat diselesaikan dengan memasukkan konstanta Il dan _n2, selanjutnya dengan menata kembali sehingga diperoleh Persamaan (13):
d2R(r) +.!. dR(r) + (e _ n2)R(r) = 0 (13) dr r dr r2
dengan C5 dan C6 adalah suatu konstanta sembarang yang nilainya tergantung syarat batas, sedangkan In(kr) dan Nn(kr) berturutturut adalah :
In(kr) =
NnCkr) (10)
r2 =0
yang mana suku pertama dan kedua hanya merupakan fungsi r, dan suku ketiga hanya merupakan fungsi ¢ saja. Fungsi tJJ( ¢) dari Persamaan (10) dapat diselesaikan (Arfken & Weber, 1995; Sneddon, 1956) dengan mengambil suku ketiga sebagai suatu konstanta, dimisalkan Persamaan (11).
cos n¢ + c4 sin
(12)
f s=O
s! (-1)' (n+s)! (kr2
(15a) J+2S
dR
R(r) dr
+_I_d2<1>(¢) <1>(¢) d¢2
c3
Persamaan
Persamaan (13) merupakan persamaan diferensial Bessel yang mempunyai penyelesaian (Arfken & Weber, 1995; Sneddon, 1956) sebagai berikut :
(9a)
atau:
r2 d2R(r) -----+----
penyelesaian
dapat
diperoleh
= (cosmr)Jn(kr)-J
sinmr
(15b)
Fungsi In(kr) dikenal sebagai fungsi Bessel jenis pertama dengan orde n dan Nn(kr) adalah fungsi Bessel jenis kedua dengan orde n. Dari analisis tersebut maka Persamaan (3) dapat dinyatakan berikut.
sebagai
V(r,¢,z) = [c1 coshkz
Persamaan
(16)
+ c2 sinhkz]
x [c3 cosn¢ + c4 sinn¢] x [CSJn (kr)
367
n(kr)
+ c6Nn (kr)]
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir-BATAN
SEMINAR NASIONAL II SDM TEKNOLOGI NUKLIR YOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006 ISSN 1978-0176 atau:
V(r,¢,z)
= [al
x [a3
+ a4
ein¢
x [CSJn
(kr)
ekz
dengan n = 0, yang mempunyai penyelesaian (Arfken & Web err, 1995; Sneddon, 1956) seperti Persamaan (23).
+aZ e-kz]
e-in¢]
+ c6Nn (kr)]
dengan C7 dan Cs adalah suatu konstanta sembarang yang nilainya tergantung pada syarat batas, sedangkan Jo(kr) adalah fungsi Bessel jenis pertama orde 0 dan No(kr) adalah fungsi Bessel jenis kedua orde 0, yang berturut-turut adalah sebagai berikut :
Dari asumsi kedua, bahwa distribusi potensial dalam elemen tabung merupakan fungsi dari r (jari-jari) dan z (panjang elemen tabung), maka distribusi potensial dapat dinyatakan sebagai, V= V(r,z)
(17)
Dengan menggabungkan Persamaan (2), dan (17) diperoleh Persamaan (18):
-r-ar r1 ar a ( aVJ Dengan memisalkan :
v = R(r)
+--=0 azz
(24b)
(18)
azv
pemisahan
(24a)
(1),
Dari analisis di atas maka penyelesaian dari Persamaan (18) dapat dinyatakan sebagai Persamaan (25) :
dan
variabel,
Z(z)
(19)
V(r,z) = [cI coshkz + Cz sinhkz]
memenuhi Persamaan (18), maka dengan memasukkan Persamaan (19) ke Persamaan (18) dapat diperoleh Persamaan (20) berikut ini,
(20)
yang apabila dibagi dengan Persamaan akan diperoleh Persamaan (21) :
_1 cf~r)~ dl(r)~ cfZ(z)=0 ~r) dl r H.r) dr Z(z) dl
atau:
V(r,z) = [al
dr + R(r) d2Z(z) dl =0 Z(z) [ cfdlR(r) +~r d1(r)]
(25a)
x [c7JO (kr) + cgNO (kr)]
x
[c7JO
(kr)
ekz
+ az
e-kz]
+ cgNO (kr)]
(19) PEMBAHASAN Distribusi potensial dari elemen elektroda tabung akselerator dapat ditentukan dari Persamaan (16) maupun (25) dengan mempertimbangkan syarat batas yang berlaku. Dalam pembahasan ini kedua hal terse but akan ditelaah semua. Penentuan distribusi potensial secara teknis atau secara pendekatan juga akan dilakukan.
(21)
Pada Persamaan (21), suku pertama dan suku kedua hanya mengandung variabel r, sedang suku ketiga hanya memuat variabel z saja. Suku ketiga Persamaan (21) tetap dapat dipenuhi apabila suku tersebut merupakan suatu konstanta, misal k! yang sama seperti Persamaan (8) dengan penyelesaian seperti Persamaan (9). Selanjutnya Persamaan (21) dapat ditulis sebagai Persamaan (22) :
Pembahasan 1. Dari Persamaan (16) Fungsi Bessel In(kr), dengan n > 0 dan r mendekati nol, akan bemilai nol, atau dapat dituliskan sebagai : (26)
_1_dzR(r) +_I_dJ(r) + R(r) d? r R(r) dr Bessel
lC
=0
(22)
yang merupakan persamaan diferensial yang identik dengan Persamaan (13)
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir-BATAN
Hal ini tidak diizinkan, karena potensial pada sumbu tabung bemilai tertentu yang tidak sama dengan nol, atau : V(r)IHO
368
*
0
(27)
Dwi Priyantoro dkk.
SEMINAR NASIONAL II SDM TEKNOLOGI NUKLIR YOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006 ISSN 1978-0176 Oleh karena itu maka fungsi In(kr) hanya berlaku untuk n = 0 di mana pada r-+ 0 fungsi Jo(kr) bemilai satu, atau dapat ditulis sebagai :
Gambar 4.Fungsi Besseljenis kedua atau fungsi Neumann, Nn(kr) yang bemilai minus tak berhingga pada r menuju nol, Nn(kr)lr->o= - ro (Kreyszig, 1983)
(28) Gambar 3. menunjukkan fungsi Bessel In(kr) dengan n = 0 dan 1(Kreyszig, 1983). Semua fungsi Bessel In(kr) dengan n :t= 0 bemilai no! untuk r=0. Satu-satunya fungsi Bessel yang berharga tidak no! pada r=O adalah Jo (kr), yang bernilai satu. 1.4
r
Dari pembahasan di atas, maka distribusi potensial pada elemen tabung akselerator dapat dituliskan sebagai berikut :
sinhkz]
V(r,¢,z) =[c} coshkz+c2
atau
V(r,¢,z) = [a}
ekz
+ a2
e-kz]
(30b)
0.6
x[a3
0.2 ·0.2
'0.6
Gambar 3. Fungsi Bessel In(kr) dengan orde n=O dan 1. Satu-satunya fungsi Bessel yang berharga tidak no! pada r=O adalah Jo (kr), yang mana bemilai Jo(kr)lr--;()=l (Kreyszig, 1983) Dari Persamaan (16), Fungsi Nn(kr) yang juga disebut fungsi Neumann, mempunyai nilai minus tak terhingga pada r menuju no!, atau dapat ditulis sebagai : (29) Oleh karena potensial V pada sumbu tabung bemilai tertentu, maka konstanta C6 harus bemilai no! atau crO. Gambar 4. (Kreyszig, 1983) menunjukkan fungsi Neumann Nn(kr) yang memperlihatkan bahwa untuk r mendekati no!, fungsi Neumann bemilai minus tak terhingga. 1.5
0.5
r k
o B
10
-0.5 -1
-1.5
Dwi Priyantoro
(30a)
x [c3 cosn¢ + c4 sin n¢][csJo (kr)]
ein¢ +a4
369
[CS
Jo(kr)]
Persamaan (30) menunjukkan distribusi potensial pada elemen tabung akselerator, yang merupakan fungsi dari arah radial r, sudut azimuth ¢, dan arah aksial z sepanjang sumbu tabung. Pembahasan 2. Dari Persamaan (25), Fungsi Bessel No(kr) akan bemilai minus tak terhingga pada r menuju no!, atau dapat ditulis: (31) sedangkan potensial V pada sumbu tabung berharga tertentu, maka konstanta C8 haruslah bemilai nol. Maka penyelesaian dari Persamaan (25) adalah sebagai berikut : V(r,z)
= [c) coshkz+c2sinhkz]
[c7 Jo(kr)]
(32a)
atau: V(r,z)=[a1
ekz +a2
e-kz]
[c7 Jo(kr)]
(32b)
Persamaan (32) menunjukkan distribusi muatan pada elemen tabung akselerator, yang merupakan fungsi dari arah radial r dan arah aksial z sepanjang sumbu tabung. Mengingat tebal dari satu elemen tabung akselerator relatif lebih kecil dari jari-jari tabung, maka pada Persamaan (32) dapat diterapkan syarat batas bahwa pada saat z mendekati tak berhingga, nilai potensial V(r, z) pada perpanjangan sumbu tabung haruslah sama dengan no!, atau dapat ditulis : V(O, z)1
dkk.
e-in¢]
z __
=0
(33)
Sekolah Tinggi Tekno!ogi Nuklir-BATAN
SEMINAR NASIONAL II SDM TEKNOLOGI NUKLIR YOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006 ISSN 1978-0176
a1 dari yang mengharuskan konstanta Persamaan (32) bernilai nol, sehingga diperoleh penyelesaian seperti pada Persamaan (34). V(r,z)
=
C
e-kz Jo(kr)
VCr)
V(r,z)lr=o
=
41f&0
b
(34)
KESIMPULAN
:
Dari pembahasan 1, 2, dan 3, dapat diperoleh 3 kesimpulan tentang distribusi potensial elektrostatis dari elemen elektroda tabung akselerator, yaitu : 1. Bila V=V(r¢,z), maka distribusi potensial pada elemen elektroda tabung akselerator secara umum adalah:
¢, z) = [c, coshkz + Cz sinhkz] x [c3 cos n¢ + c4 sin n¢][csJo(kr)] VCr,
atau: (35a) V(r,¢,z)=[a, x [ a3
(35b) 2.
dengan Q adalah muatan cincin, b adalah jarijari cincin, Eo menunjukkan permitivitas, dan VHV adalah tegangan yang dipasang pada elemen tersebut. Dengan menggabungkan Persamaan (35) dan persaman (34) maka didapat konstanta c seperti pada Persamaan (36) berikut ini.
+az
e in¢ + a4 e -in¢]
e-kz]
[Cs
J 0 (kr)]
Bila terjadi simetri pada sumbu azimuth atau V=V(r,z), maka distribusi potensial pada elemen elektroda tabung akselerator adalah:
V(r,z) 3.
Dengan memasukkan Persamaan (36) ke Persamaan (34) maka distribusi potensial pada elemen elektroda tabung akselerator menjadi seperti Persamaan (37). (37)
= [a,
ekz
+az
e-kz]
[c7 Jo(kr)]
[c7 Jo(kr)]
Secara pendekatan, distribusi potensial pada elemen elektroda tabung akselerator adalah sebesar tegangan tinggi yang dipasang pada elemen tersebut, atau : VCr) = VHV
Untuk keperluan teknis, dapat diterapkan syarat batas bahwa potensial pada dinding elektroda adalah sebesar tegangan tinggi yang dipasang pada elektroda tersebut, atau dapat ditulis :
SARAN Untuk mendapatkan konstanta-konstanta sembarang pada kesimpulan (1) dan (2) perlu dilakukan percobaan langsung.
(38) sehingga didapatkan konstanta k bernilai dan diperoleh Persamaan (39) berikut.
ekz
V(r,z) =[c, coshkz+czsinhkz] atau:
(36)
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir-BATAN
(39)
Jadi secara teknis, distribusi potensial pada penampang elemen elektroda tabung akselerator, adalah bernilai konstan sebesar tegangan tinggi yang dipasang pada elektroda tersebut.
dengan c=a2xC7, adalah suatu konstanta sembarang. Persamaan (34) mendiskripsikan distribusi potensial elektrostatis pada satu elemen dari tabung akselerator. Pembahasan 3. Tabung akselerator elektrostatis yang tersusun atas beberapa lempengan elektroda lingkar yang sejajar dengan pusat segaris dan dengan radius yang sarna, merupakan gabungan dari potensial elektrostatis masing-masing elektroda penyusunnya. Potensial elektrostatis dalam satu elemen, (Priyantoro, D., 2004) dapat didekati oleh konduktor bentuk cincin, dengan potensial seperti pada Persamaan (35) berikut ini.
1 Q
= VHV
DAFTAR PUST AKA
nol
4.
370
ARFKEN, G. B. and WEBER, H. J., 1995, "Mathematical Methods For Physicists",
Dwi Priyantoro dkk.
SEMINAR NASIONAL II SDM TEKNOLOGI NUKLIR YOGYAKARTA, 21-22 DESEMBER 2006 ISSN 1978-0176 Fourth edition, California, USA.
Academic
Press,
Inc.
5.
HAYT W. H. Jr., 1993, "Elektromagnetika Teknologi", (alih bahasa oleh The Houw Liong, Ph.D.), Edisi keempat, Jilid 1, Penerbit Erlangga Jakarta.
6.
HAYT W. H. Jr., 1989, "Elektromagnetika Teknologi", (alih bahasa oleh The Houw Liong, Ph.D.), Edisi keempat, Jilid 2, Penerbit Erlangga Jakarta.
7.
JACKSON, J. D., 1999, "Classical Electrodynamics", Third edition, John Wiley and Sons, Inc.
8.
KREYSZIG, E., 1983, "Advanced Engineering Mathematics", Fifth edition, John Wiley and Sons, Inc.
9.
PRIYANTORO, D., 2004, "Penentuan Tegangan Optimal Akselerator Ion", Thesis, Sekolah PascasaIjana UGM, Yogyakarta.
10. SNEDDON, I. N., 1956, "Specials Functions of Mathematical Physics and Chemistry", First edition, Oliver and Boyd, Edinburgh. 11. WANGSNESS, R. K., 1979, "Electromagnetic Fields", John Wiley & Sons, Inc. TANYAJAWAB
Pertanyaan : I. Bagairnana/apa akibatnya jika distribusi potensialnya tidak sarna? (Sri Mulyono) 2. Aplikasi dari hasil penelitian ini ? (Wijiyono) Jawaban : 1. Tinjauan hanya dari segi analsis saja. 2. Secara teoritis ada percepatan juga rnedan listrik sehingga penelitian ini untuk rnenentukan V. dirnana a. E = -v V (r, <1>, z) Saran: Perlu diaplikasikan ke penelitian.
Daftar Isi Dwi Priyantoro dkk.
371
Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir-BATAN
