ANALISA MODE SIMPANGAN AYUNAN BOLA BERONGGA BERISI FLUIDA MELALUI METODE SIMULASI DAN EKSPERIMEN.
Oleh, Yusack Antonio Talangas NIM : 192007029
TUGAS AKHIR Diajukan kepada Program Studi Pendidikan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Fisika
Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga 2013 1
2
3
4
MOTTO dan PERSEMBAHAN
MOTTO Mereka berkata bahwa setiap orang membutuhkan tiga hal yang akan membuat mereka berbahagia di dunia ini, yaitu; seseorang untuk dicintai, sesuatu untuk dilakukan, dan sesuatu untuk diharapkan.
PERSEMBAHAN Dipersembahkan kepada :
Allah Bapa di Surga, Tuhan Yesus Kristus juru slamatku, Bunda Maria Keluargaku tercinta, Bapak, Mama, Adik yang selalu memberikan dukungan, motivasi dan Doa untuk ku Para pembaca
5
KATA PENGANTAR
’’ Adil ka talino bacuramin ka saruga basengat ka jubata’’ Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan perlindungan-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini ditulis dan disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana pendidikan (S.Pd) Fisika di Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga. Dalam penyusunan skripsi ini, tidak terlepas dari bantuan dan dukungan berbagai pihak. Atas segala bantuan dan dukungan tersebut, pada kesempatan kali ini penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Tuhan Yesus Kristus 2. Keluargaku tercinta, Bapakku Alexander. D, Mamaku Syarifah Farida, Adikku Tirsa Marsalino, Chandra, dan ayuk kalian merupakan inspirator dan motivator terbesar bagiku untuk menyelesaikan semua ini. terima kasih atas doa dan dukungan kalian. 3. Dr.Suryasatriya Trihandaru, M.Sc.nat yang mana merupakan Pembimbing Utama dan Nur Aji Wibowo, S.Si, M.Si sebagai Pembimbing pendamping. Terimakasih sudah meluangkan waktu, tenaga dan pikiran untuk memberikan masukan, dorongan, semangat serta dengan penuh kesabaran membimbing dan menuntunku selama penelitian hingga tulisan ini selesai. 4. Dosen-dosen Fisika (Ibu Dra. Marmi Sudarmi, M.Si, Bapak Dr. Suryasatriya Trihandaru, M.Sc.nat, Bapak Nur Aji Wibowo, S.Si, M.Si, Ibu Made Rai Suci, M.Pd, Ibu Diane Noviandini, S.Pd, Bapak Adita Sutrisno, S.Si., M.Sc, Bapak Andreas Setiawan, S.Si, MT, Ibu Debora Natalia Sudjito, S.Pd, Bapak Prof. Liek Wilardjo, Bapak Dr. Ferdy S. Rondonuwu, S.Pd., M.Sc) terima kasih telah mengajar dan mendidik, memberi bekal ilmu Pengetahuan. 5. Dekan Fakultas Sains dan Matematika bapak Dr. Suryasatriya Trihandaru, M.Sc.nat beserta jajarannya. 6. Pemerintah Kabupaten Landak yang telah memberikan bantuan berupa beasiswa. 7. Mas Tri, Mas Sigit dan Pak Tafip selaku laboran Fisika UKSW. Terima kasih untuk bantuannya selama ini. 8. Pacarku tercinta terima kasih banyak atas doa, dukungan dan motivasinya. 9. Teman seperjuangan dalam suka maupun duka, pendidikan Fisika 2007 Kabupaten Landak (Angi, Lia, Putri, Ica, Kx Devi, Kx Monic, Thamrin, Deo, Carles, Dodi, Wilson, Rodi, Apri, Aloy, Supri, Ota, Agus, Brama, Aska, Marius, Suwardi, Hengki ) terima kasih atas bantuan, dukungan dan perjuangan bersama selama ini. 10. Adik-adik, kakak angkatan Fisika dan Pendidikan Fisika, terima kasih atas dukungan dan bantuannya. 11. Semua pihak yang penulis tidak sebutkan satu persatu namanya yang turut dan terlibat dalam penyusunan tulisan ini terima kasih semua. Akhirnya semoga tulisan ini bermanfaat dan menjadi berkat bagi pembaca khususnya bagi pihak-pihak yang berkepentingan. Salatiga, 2013
Yusack Antonio Talangas 6
ANALISA MODE SIMPANGAN AYUNAN BOLA BERONGGA BERISI FLUIDA MELALUI METODE SIMULASI DAN EKSPERIMEN Yusack Antonio Talangas, Nur Aji Wibowo, Suryasatriya Trihandaru 1 Program Studi Pendidikan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika 2 Program Studi Fisika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Abstrak Telah dilakukan penelitian gerak mode bandul sederhana yang dimodifikasi menjadi kulit bola yang setengahnya diisi oleh cairan. Gerak persamaan model ini ditentukan oleh persamaan lagrange dengan mengabaikan adanya gesekan udara. Untuk memecahkan persamaan lagrange dan simulasi gerakan dari model, MATLAB 7.0 digunakan dengan menerapkan skema Runge kutta numerik dan juga dilakukan eksperimen. Mode gerak pendulum dan permukaan air untuk variasi panjang log dan variasi radius kulit bola diperoleh. Sudut simpangan antara simpangan bandul, simpangan air, laju simpangan bandul, dan laju simpangan air berubah secara harmonik dan laju perubahan amplitudo menirun secara linear. Kata kunci : Bandul sederhana, MATLAB 7.0
I. PENDAHULUAN Osilasi merupakan gerak bolak balik suatu benda yang melewati titik setimbang pada lintasan yang sama secara periodik. Osilasi menjadi salah satu jenis gerak yang sangat penting didalam ilmu fisika. Banyak kejadian fisika di alam yang berhubungan dengan gerak ini, misalnya osilasi roda keseimbangan arloji, dawai biola yang bergetar, massa yang diikatkan pada pegas lalu disimpangkan, atom dalam molekul atau dalam kisi zat padat, molekul udara ketika ada gelombang bunyi dan sebagainya [1]. Banyak penerapan osilasi yang sudah dipelajari, salah satunya adalah model bandul sederhana. Pada penelitian ini model bandul sederhana dikembangkan dengan memodifikasi bandul menjadi bola berongga yang diisi dengan air setengah dari volume bola berongga tersebut. Bola berongga tersebut direkatkan dengan sebatang kayu bermassa yang digantungkan, kemudian disimpangkan dari posisi setimbangnya dan dilepaskan, sehingga bandul berosilasi dalam bidang vertikal karena pengaruh medan gravitasi. Untuk mensimulasikan gerak bandul tersebut digunakan bahasa pemrograman MATLAB 7.0. Digunakannya bahasa ini dikarenakan kemampuannya yang tinggi dalam komputasi teknis. Keunggulan lain dari MATLAB adalah kemampuannya dalam menggabungkan komputasi, visualisasi, dan pemrograman dalam satu kesatuan yang mudah digunakan dengan notasi matematik yang sudah dikenal [2][6]. Selanjutnya dilakukan eksperimen untuk membandingkan hasil yang didapat dari simulasi dengan hasil dari eksperimen. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperoleh persamaan gerak air maupun bola dan untuk 7
mendapatkan mode simpangan ayunan bola berongga berisi air dengan mengabaikan keberadaan gesekan udara. Implikasi dari penelitian ini diharapkan bisa bermanfaat sebagai pengaya khasanah ilmu dalam pembelajaran mekanika lanjut.
II. METODOLOGI Ayunan matematis didalam penelitian ini dimodelkan dalam bentuk sebuah bola transparan dengan jari-jari sebesar R yang didalamnya diisi air dengan volume setengah volume bola. Massa bola dan massa air berturut-turut adalah mb dan ma Bola tersebut direkatkan pada kayu bermassa mk sepanjang l sehingga bola tidak bergerak relatif terhadap kayu saat diayunkan, seperti pada Gambar 1. y x1
(0,0)
y1
x
x2 x3
l
R y2 y3
z
Gambar 1. Model ayunan
A. Koordinat Posisi Jika pada Gambar 1 titik (0,0) merupakan titik pusat (origin), maka koordinat pusat massa dari kayu, bola, dan air dapat dinyatakan sebagai berikut l x1 sin (1) 2 Kayu 8
Bola Air
l y1 cos 2 x 2 l R sin
(3)
y 2 l R cos
(4)
x3 l R sin z sin
(5)
y3 l R cos z cos
(6)
(2)
dengan simpangan bandul dan simpangan air B. Energi Kinetik T Dan Energi Potensial U Jika bola tersebut disimpangkan dengan sudut simpangan ( ≈ 0,3 rad) yang cukup kecil, sehingga air tidak bergerak secara turbulen, dan air dapat diperlakukan sebagai benda tegar. Energi kinetik T dari sistem diberikan oleh T Tkayu Tbola Tair (7) Karena pada energi kinetik kayu Tkayu, energi kinetik bola Tbola dan energi kinetik air Tair mengalami translasi dan rotasi, maka energi kinetik sistem secara berturut-turut diberikan oleh 2
Tkayu
1 l 1 m k 2 I k 2 2 2 2
Tbola
(8)
1 1 2 mb l R 2 I b 2 2 2
(9)
1 1 2 ma l R 2 z 2 2 2l R z cos I a 2 2 2 dimana adalah laju simpangan bandul dan adalah laju simpangan air. Tair
(10)
Dengan momen inersia kayu Ik , momen inersia bola Ib dan momen inersia air Ia berturutturut sebesar 1 I k ml 2 (11) 12 2 I b mb R 2 (12) 3 2 I a ma R 2 ma z 2 (13) 5 Untuk energi potensial U dari sistem diberikan oleh U U kayu U bola U air (15) dengan Ukayu diberikan oleh
9
l U kayu mk g cos 2
(16)
U bola m2 g l R cos
(17)
U air ma g l R cos z cos
(18)
dengan Ubola diberikan oleh dengan Uair diberikan oleh dan pada persamaan (10), (13), dan (18) dipakai defenisi (Lampiran A) 3 z R 8
(14)
C. Lagrange Persamaan Lagrange L ditentukan atas dasar energi dari sistem baik energi kinetik, energi potensial maupun energi redaman, disamping gaya luar yang bekerja. Dengan menggunakan persamaan T dan U dari persamaan (7) dan (15) diperoleh Lagrangian L sebagai berikut [3][5]. L T U (19) 1 1 1 2 L mk l 2 2 mb l R 2 mb R 2 2 6 2 3 1 1 1 2 m a l R 2 z 2 2 2l R z cos m a R 2 m a z 2 2 2 2 5 1 mk gl cos mb g l R cos ma g l R cos z cos (20) 2
D. Euler-Lagrange Kemudian persamaan L disubstitusikan ke dua persamaan Euler-Lagrange sebagai berikut [4][7]. d L L 1 dt d L L 2 dt
(21) (22)
Pada ruas kanan persamaan (21) dan (22) telah diperhitungkan gaya gesekan dengan asumsi bahwa besar gaya gesekan sebanding dengan kecepatan sudut dengan arah berlawanan terhadap arah simpangan. Didalam penelitian ini, diasumsikan bahwa gesekan dengan udara sangat kecil sehingga dapat diabaikan 1=0 dan gesekan antara air dan dinding bola tidak diabaikan, sehingga 1 ≠0 Dengan menyelesaikan persamaan (21) dan (22) didapatkan hasil sebagai berikut 10
h1 h2
(24)
g1 g 2
(25)
dan Dan pada persamaan (24) dan (25) dipakai defenisi (Lampiran B).
E. SKEMA NUMERIK RUNGE-KUTTA Skema numerik Runge-Kutta dipakai untuk memudahkan dalam membuat bahasa program pada MATLAB 7.0, adapun skema numerik untuk persamaan (24) dan (25) adalah sebagai berikut f t , , ,,
f t , , ,, 1
2
Kemudian dibuat vektor U dengan elemen sebagai berikut: theta U 1 thetadot U 2 U phi U 3 phidot U 4 Sehingga diperoleh
d dt d dU dt f1 t , , , , F t , , , , dt d dt d f t , , ,, dt 2 Kemudian membuat program menggunakan bahasa pemrograman MATLAB 7.0 menggunakan metode Runge-kutta. yang nantinya akan dicari untuk Mode simpangan 1. Variasi panjang kayu (l = 0,18 m, l = 0,28 m, dan l = 0,38 m) dengan jari-jari bola (R) 0,18 m. 2. Variasi jari-jari bola (R = 0,18 m, R = 0,28 m, dan R = 0,38 m) dengan panjang kayu (l) 0,18 m Selanjutnya dilakukan eksperimen dengan cara memvideokan gerak ayunan bandul kemudian video tersebut diekstrak dan dicari pola grafik nya, selanjutnya grafik yang didapat akan digunakan untuk perbandingan dengan grafik hasil dari simulasi.
III. HASIL DAN ANALISA
11
0.3
0.3
0.2
0.2
(radian)
(radian)
Dengan menyelesaikan persamaan (21) dan (22), diperoleh mode ketergantungan waktu dari simpangan bandul dan laju simpangan bandul seperti ditunjukan pada Gambar 2 dan 3.
0.1 0
0.1 0
-0.1
-0.1
-0.2
-0.2
0
2
4
6
0
2
t (s)
4
6
t (s)
(a) (b) Gambar 2. Grafik t untuk (a). Variasi panjang kayu. (b). Variasi jari-jari bola.
1
1
0
0
-1
-1
0
2
4
6
0
t (s)
2
4
6
t (s)
(a) (b) Gambar 3. Grafik t untuk (a). Variasi panjang kayu. (b). Variasi jari-jari bola. Gambar 2(a) mendeskripsikan mode simpangan untuk tiga panjang kayu yang berbeda, sedangkan Gambar 2(b) mendeskripsikan mode simpangan untuk tiga ukuran bola yang berbeda. Dari Gambar 2(a-b) tersebut terlihat bahwa kayu-bola bergerak secara harmonik untuk sudut simpangan yang kecil (θ ≈ 0,3 rad).
12
Dari hasil praktikum diperoleh juga mode ketergantungan waktu dari simpangan bandul dan laju simpangan bandul . Seperti ditunjukan pada Gambar 3 dan 4. Dimana mode tersebut hampir mendekati mode yang didapat pada teori.
0
-0.2 0
1
2
0.1
(radian)
(radian)
(radian)
0.2 0.2
0 -0.1 -0.2 -0.3
3
3
4
t (s) a
5
6
-0.3 1
2
-0.2 1
2
0.2 0 -0.2 -0.4 0
3
c
0.1
(radian)
0
3
t (s)
b Gambar 4. Grafik t pada variasi panjang kayu untuk. a. l=0.18 m. b. l=0.28 m. c. l=0.38 m
(radian)
(radian)
-0.2
0
0.4
1
t (s) a
0 -0.1
t (s)
0.2
0
0.1
2
0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4
3
4
5
t (s)
6
7
t (s)
b Gambar 5. Grafik t pada variasi jari-jari bola untuk. a. l=0.055 m. b. l=0.065 m. c. l=0.075 m
c
0.3
0.3
0.25
0.25
max (radian)
max (radian)
Terdapat kekhususan dari mode gerak tersebut yaitu bahwa amplitudo simpangan cenderung menurun seiring dengan bertambahnya waktu seperti ditunjukan pada Gambar 6 Dan semakin besar panjang kayu maupun jari-jari bola diperoleh bahwa laju perubahan amplitudo menurun setiap saat.
0.2 0.15 0.1
2
4
t (s)
6
0.2 0.15 0.1
8
13
2
4
t (s)
6
8
(a) (b) Gambar 6. Grafik max t untuk (a). Variasi jari-jari bola. (b). Variasi panjang kayu. Gambar 7 mendeskripsikan keterkaitan periode terhadap waktu. Gambar 7(ab) menunjukkan bahwa periode dari ketiga nilai panjang kayu dan jari-jari bola berubah setiap saat dengan tingkat perubahan maksimum 2.55%. 1
0.99
0.98
T (s)
T (s)
0.99
0.97
0.98 0.97
0.96 1
2
3
4
5
6
0.96 1
7
2
3
4
5
6
7
Osilasi ke-n
Osilasi ke-n
(a) (b) Gambar 7. Grafik T Osilasi ke-n untuk (a). Variasi jari-jari bola. (b). Variasi panjang kayu. Didalam gerak ayunan ini besarnya kecepatan simpangan maksimum dari kayu menurun seiring dengan bertambahnya waktu dan laju perubahan kecepatan maksimum ini juga sangat dipengaruhi oleh panjang kayu dan jari-jari bola seperti yang terlihat pada Gambar 8 untuk batang kayu yang semakin panjang dan diameter bola yang semakin besar, perubahan kecepatan tetap sama. 1.6
1.5
1.4 1.2
1
1 0.8
0.5 2
4
6
1
8
2
3
4
t (s)
t (s)
(a)
(b) 14
5
6
7
Gambar 8. Grafik max t untuk (a). Variasi jari-jari bola. (b). Variasi panjang kayu.
0.2
0.1
0.1
ϕ (radian)
0.2
0
0
-0.1
-0.1
-0.2
-0.2
0
2
4
6
0
2
t (s)
4
6
t (s)
1
1
(radian)
(a) (b) Gamabr 9. Grafik t untuk (a). Variasi panjang kayu. (b). Variasi jari-jari bola.
(radian)
ϕ (radian)
Hal lain yang menarik untuk diteliti dari sistem ini adalah bagaimana gerakan permukaan air yang berada didalam kulit bola berubah terhadap waktu. Pola gerakan tersebut diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (21) dan (22) sehingga didapat mode ketergantungan waktu dari simpangan air dan laju simpangan air seperti ditunjukkan pada Gambar 9 dan 10
0
0
-1 0
-1 2
4
6
0
2
4
6
t (s)
t (s)
(a) (b) Gambar 10. Grafik t untuk (a). Variasi panjang kayu. (b). Variasi jari-jari bola. Dari hasil praktikum didapat mode ketergantungan waktu dari simpangan air dan laju simpangan air seperti ditunjukkan pada Gambar 11 dan 12. 15
0.5
0
-0.5 0
1
2
0.5
(radian)
(radian)
(radian)
0.5
0
-0.5 3
3
4
t (s)
5
0
-0.5
0
6
1
2
3
t (s)
t (s) a b c Gambar 11. Grafik t pada variasi panjang kayu untuk. a. l=0.18 m. b. l=0.28 m. c. l=0.38 m 0.5
0
-0.5 0
1
2
0.5
(radian)
(radian)
(radian)
0.5
0
-0.5 0
3
1
t (s)
2
0
-0.5
3
4
5
6
7
t (s)
t (s) a b c Gambar 12. Grafik t pada variasi jari-jari bola untuk. a. R=0.055 m. b. R=0.065 m. c. R=0.075 m
0.2
0.2
max (radian)
max (radian)
Gambar 9(a) menunjukan mode simpangan untuk tiga bola yang berbeda jari-jarinya, sedangkan Gambar 9(b) menunjukan mode simpangan untuk tiga kayu yang berbeda panjangnya. Dari Gambar 9(a-b) tersebut terlihat bahwa air bergerak secara harmonik. Kekhususan yang terdapat dari mode gerak tersebut adalah bahwa amplitudo simpangan mengalami peningkatan diwaktu pertama dan setelah itu turun setiap saat seiring dengan bertambahnya waktu seperti pada Gambar 13 dengan semakin besar panjang kayu dan diameter bola diperoleh bahwa laju perubahan amplitudo meningkat secara linear.
0.15
0.1 2
4
t (s) (a)
6
0.15
0.1
8
2
4
(b) 16
t (s)
6
8
Gambar 13. Grafik max t untuk (a). Variasi jari-jari bola. (b). Variasi panjang kayu.
1
0.98
0.98
T (s)
1
0.96 0.94
0.96 0.94
0.92 1
2
3
4
5
6
0.92 1
7
2
3
4
5
6
7
Osilasi ke-n
Osilasi ke-n
(a) (b) Gambar 14. Grafik T Osilasi ke-n untuk (a). Variasi jari-jari bola. (b). Variasi panjang kayu Didalam gerak ayunan ini besarnya kecepatan maksimum dari air juga meningkat disaat pertama dan selanjutnya menurun setiap saat dan laju perubahan kecepatan maksimum ini juga sangat dipengaruhi oleh panjang kayu dan jari-jari bola seperti terlihat pada Gambar 15.
1.6
1.6
1.4
1.4
(radian)
(radian)
T (s)
Gambar 14 menunjukan keterkaitan periode setiap waktunya. Gambar 14(a-b) menunjukan bahwa periode untuk perbedaan besarnya panjang kayu dan jari-jari bola berubah dengan tingkat perubahan maksimum 7,71% .
1.2
1.2 1
1
0.8
0.8 2
4
6
2
8
4
t (s)
t (s)
(a)
(b) 17
6
8
Gambar 15. Grafik max t untuk (a). Variasi jari-jari bola. (b). Variasi panjang kayu Sedangkan keterkaitan periode terhadap waktu terdeskripsikan pada Gambar 16. menunjukan bahwa periode cenderung sama untuk osilasi ke 2 dan seterusnya.
T (s)
T (s)
1
0.9
0.8 1
Osilasi ke-n 2
3
4
5
6
0.9
0.8 1
7
2
Osilasi ke-n 3 4 5
6
7
(a) (b) Figure 16. Graph T Osilasi ke-n untuk (a). Variasi jari-jari bola. (b). Variasi panjang kayu IV. KESIMPULAN
Telah dilakukan studi tentang pengembangan dari model ayunan sederhana dengan memodifikasi bandul menjadi bola berongga yang di isi air dengan volume setengah dari volume bola tersebut. Dengan menyelesaikan persamaan gerak dari model bandul tersebut dan mensimulasikan geraknya dengan menggunakan program MATLAB 7.0 serta melakukan eksperimen untuk membuktikan teori yang ada, didapat mode gerak dari bandul dan permukaan air. mode simpangan θ, , ϕ, dan bergerak secara harmonik dan laju perubahan amplitudonya menurun. Diperoleh hasil yang menarik untuk dan terdapat perubahan yang terjadi setiap saat V. DAFTAR PUSTAKA [1]. Resnick , Halliday. 1985. Fisika Jilid 1. Jakarta: Erlangga. [2]. MATLAB Bahasa Komputasi Teknis, Penerbit ANDI Yogyakarta 2000 [3]. M. Z. Rafat. 2006. Dynamics of a double pendulum with distributed mass. Tesis tidak diterbitkan. School of Physics, University of Sydney, Australia. [4]. Single and Double plane pendulum oleh: Gabriela Gonz´alez [5]. Matthew, West. 2004. Variational Integrators. California Institute of Technology, Pasadena, California. [6]. A MATLAB Tutorial. Ed Overman. Department of Mathematics, The Ohio State University 18
[7]. The Euler-Lagrange Equation: When Necessary is Not Sufficient. Shawn D. Ryan. The Pennsylvania State University
19
