ALJABAR MAX-PLUS
ALJABAR MAX-PLUS Sistem Produksi Pabrik Toyota
Oleh: Petrus Fendiyanto
ALJABAR MAX-PLUS
Pabrik Toyota Jepang memproduksi mesin untuk pembuatan mobil innova. Kemudian, mesin tersebut diekspor ke Pabrik Toyota di Indonesia dan Thailand untuk dilakukan perakitan sebelum produk mereka dijual ke Pasaran, dengan ketentuan sebagai berikut: Pabrik Jepang (P1 ) mengirim mesin langsung ke Pabrik Indonesia (P3 ), namun ada beberapa suku cadang yang harus dikirim ke Pabrik Thailand (P2 ) terlebih dahulu untuk dilakukan penyempurnaan sebelum akhirnya dikirimkan ke Indonesia. Diasumsikan waktu yang diperlukan Pabrik Jepang untuk menyelesaikan mesin yang akan diekspor, d1 = 3 satuan waktu. Lama pengiriman ke Pabrik Indonesia, t2 = 2 satuan waktu, sedangkan pengiriman ke Pabrik Thailand, t3 = 1 satuan waktu.
ALJABAR MAX-PLUS
Di Pabrik Thailand, proses penyelesaian mesin memerlukan 3 satuan waktu (d2 ). Proses pengiriman mesin yang telah disempurnakan dari Pabrik Thailand ke Pabrik Indonesia memerlukan 1 satuan waktu (t4 = 1) dan finishing akhir sebelum dijual ke Pasar Indonesia, diperlukan waktu 3 satuan waktu (d3 = 5). Bila proses tersebut direpresentasikan dalam gambar, seperti gambar di bawah ini:
Gambar: Sistem Produksi Pabrik Toyota
ALJABAR MAX-PLUS
Selain asumsi yang telah disebutkan sebelumnya, diasumsikan pula pada setiap pabrik, produk yang baru akan diproduksi bila produk yang sedang dikerjakan selesai. Pabrik akan mulai memproduksi produknya, mesin mobil setelah semua bahan tersedia. Kemudian didefinsikan sebagai berikut: u(k) adalah waktu dimana bahan baku dimasukkan ke sistem untuk waktu ke-(k + 1). xi (k) adalah waktu dmana Pabrik ke-(i) mulai aktif pada saat ke-k,i = 1, 2, 3. y (k) adalah waktu dimana produk selesai pada saat ke-k meninggalkan sistem/dijual di konsumen.
ALJABAR MAX-PLUS
Dari reperesentasi gambar, dapat diketahui bahwa: x1 (k + 1) = max{u(k) + 0, x1 (k) + 3} x2 (k + 1) = max{x1 (k) + 3 + 1, x2 (k) + 2} x3 (k + 1) = max{x1 (k) + 3 + 2, x2 (k) + 1 + 2, x3 (k) + 5} y (k) = x3 (k) + 3 + 0
Kemudian sistem persamaan diatas dapat disederhanakan: x1 (k + 1) = max{u(k), x1 (k) + 3} x2 (k + 1) = max{x1 (k) + 4, x2 (k) + 2} x3 (k + 1) = max{x1 (k) + 5, x2 (k) + 3, x3 (k) + 5} y (k) = x3 (k) + 3
ALJABAR MAX-PLUS
Dengan menggunakan operasi dalam aljabar max-plus ⊕ dan ⊗ diperoleh sistem persamaan sebagai berikut: x1 (k + 1) = 3 ⊗ x1 (k) ⊕ u(k) x2 (k + 1) = 4 ⊗ x1 (k) ⊕ 2 ⊗ x2 (k) x3 (k + 1) = 5 ⊗ x1 (k) ⊕ 3 ⊗ x2 (k) ⊕ 5 ⊗ x3 (k) y (k) = 3 ⊗ x3 (k)
Persamaan dibentuk ke dalam matriks aljabar max-plus, diperoleh: 3 ε ε 0 x(k + 1) = 4 2 ε ε ⊗ u(k) ⊗ x(k) ⊕ 5 3 5 ε y (k) = ε ε 3 ⊗ x(k)
ALJABAR MAX-PLUS
Dari asumsi sebelumnya, produk baru akan diproduksi ketika produk yang sedang diproduksi selesai, dengan kata lain u(k) = y (k). Maka evolusi dari keadaaan sistem diberikan oleh persamaan: x(k + 1) = A ⊗ x(k) ⊕ B ⊗ u(k) = A ⊗ x(k) ⊕ B ⊗ y (k) = A ⊗ x(k) ⊕ B ⊗ C ⊗ x(k) = A ⊗x(k) dimana A = A⊕B ⊗C Sehingga A untuk permasalahan ini 3 ε ε A = 4 2 ε ⊕ 5 3 5
adalah: 0 ε ⊗ ε
ε ε 3
ALJABAR MAX-PLUS
3 ε ε ε ε A= 4 2 ε ⊕ ε ε 5 3 5 ε ε Kemudian akan dikaji perilaku sistem nilai awal yang berbeda.
3 3 ε ε = 4 2 ε 5 3 dinamik tersebut
3 ε 5 dengan
ALJABAR MAX-PLUS
Dengan cara yang sama diperoleh:
ALJABAR MAX-PLUS
Maka:
ALJABAR MAX-PLUS
Dengan cara yang sama, diperoleh nilai x(3) hingga x(9) sebagai berikut:
Dan nilai y sebagai berikut: y = 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48
ALJABAR MAX-PLUS
Jika nilai-nilai tersebut dibentuk ke dalam suatu matriks, akan menghasilkan: 0 3 8 13 18 23 28 33 38 43 X = 0 4 7 12 17 22 27 32 37 42 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Dari matriks X terlihat bahwa x(3) = 5 ⊗ x(2) yang mengakibatkan nilai p = 3, c = 5, dan q = 2. Kemudian dihitung λ dengan persamaan: c p−q 5 = 3−2 5 = =5 1
λ=
ALJABAR MAX-PLUS
Dan dihitung juga vektor karakteristiknya, yang diberikan oleh persamaan: v=
p−q M
λ⊗(p−q−i) ⊗ x (q + i − 1)
i=1
=
=
3−2 M i=1 1 M i=1 ⊕0
λ⊗(3−2−i) ⊗ x (2 + i − 1) λ⊗(1−i) ⊗ x (i + 1)
= 5 ⊕ x(2) 8 =7 10
ALJABAR MAX-PLUS
Kemudian memberikan input x(0) yang baru dengan dicoba 8 x(0) = 7 10 Memberikan hasil 8 13 18 23 28 33 38 43 48 53 X = 7 12 17 22 27 32 37 42 47 52 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 dan y = 13 18 23 28 33 38 43 48 53 58
ALJABAR MAX-PLUS
3 Dicoba lagi dengan memberikan input x(0) = 2 5 Menghasilkan nilai X dan y sebagai berikut: 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48 X = 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 dan y = 8 13 18 23 28 33 38 43 48 53
ALJABAR MAX-PLUS
1 Selanjutnya diuji dengan memasukkan input x(0) = 0 3 Diperoleh nilai X dan y seperti berikut ini: 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 X = 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48 y = 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51
ALJABAR MAX-PLUS
2 Dicoba untuk input x(0) = 1 4 Hasilnya: 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 X = 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 4 9 14 19 24 29 34 39 44 49 y = 7 12 17 22 27 32 37 42 47 52
ALJABAR MAX-PLUS
2 x(0) = 1 merupakan keadaan yang baik untuk mengawali saat 4 keadaan sistem aktif, yaitu waktu dimana semua pabrik di Jepang, Thailand, maupun Indonesia mulai berproduksi. Sebab dengan kondisi ini, akan diperoleh suatu jadwal dari setiap pabrik, yakni setiap pabrik akan bekerja secara teratur dengan periode sama dengan 5.
