ALJABAR LINEAR PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN SISTEM DINAMIK DALAM MODEL MATEMATIKA EPIDEMIOLOGI
ii
NURSANTI ANGGRIANI
ALJABAR LINEAR PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN SISTEM DINAMIK DALAM MODEL MATEMATIKA EPIDEMIOLOGI
~
~-!:}
Unpad Press iii
~·
TIM PENGARAH Ganjar Kumia, Mahfud Arifin, Engkus Kuswamo, Sulaiman Rahman Nidar Penulis Nursanti Anggriani Judul Aljabar Linear Persamaan Diferensial Dan Sistem Dinamik Dalam Model Matematika Epidemiologi Editor Wilson Nadeak Tata Letak
Trisatya ~
UNP AD PRESS
Copyright© 2012 ISBN 9786-602-9238-01-3 iv
PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan hidayah-Nya sehingga penulisan dan penyusunan buku Aljabar Linear, Persamaan Diferensial dan Sistem Dinamik dalam Model Matematika Epidemiologi ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Epidemiologi adalah ilmu yang mempelajari penyebaran suatu penyakit dalam ruang dan waktu dengan tujuan untuk menentukan dan mengendalikan faktor - faktor yang berperan dalam terjadinya penyebaran tersebut. Matematika Epidemiologi merupakan bagian dari matematika terapan yang mempelajari epidemiologi dengan menggunakan matematika sebagai alat bantu. Masalah - masalah biologi atau penyakit diterjemahkan dalam bentuk asumsi ke dalam model matematika. Model yang telah diperoleh kemudian dianalisis dan hasilnya diinterpretasikan batik ke aspek biologinya. Buku ini menyajikan teori tentang Aljabar Linear, Persamaan Diferensial serta Sistem Dinamik dan aplikasinya pada model - model Matematika Epidemiologi. Diuraikan pula suatu nilai parameter ambang yang disebut Basic Reproduction Ratio yang berperan dalam penentuan kriteria endemik dalam suatu populasi. Buku ini diharapkan.. dapat bennanfaat bagi para matematikawan, mahasiswa, atau siapa saja yang berminat pada bidang Matematika Epidemiologi. v
Penul isan buku ini merupakan bagian dari program penelitian Hibah Doktor 2011. Oleh karena itu, dalam buku ini penulis menyajikan sebagian dari topik yang berkaitan dengan penelitian dalam disertasi penulis. Terlaksananya penulisan buku ini tak lepas dari jasa para promotor di Program Pascasarjana
Universitas Padjadjaran yaitu yang terhonnat Prof. Dr. Asep K Supriatna, Prof. Dr. Edy Soewono dan Prof. Dr. Rustam E Siregar, atas semua bimbingan yang telah beliau berikan, penulis mengucapkan terima kasih. Disamping itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Depdiknas sebagai penyelenggara program Hibah penelitian untuk mahasiswa program Doktor tahun 2011, serta kepada pimpinan Program Pascasarjana Universitas Padjadjaran yang telah memberi kesernpatan kepada penulis. Penulis menyadari bahwa buku ini masih jauh dari sempuma. Oleh karena itu, bila ada kritik, saran dan masukan yang ingin pembaca sampaikan, penulis akan menerimanya dengan tangan terbuka dan rasa terima kasih.
Bandung, 2012 Penulis
vi
DAFTAR ISi
PEN GANT AR - v DAFTAR ISi - vii BABI APAKAH EPIDEMIOLOGI ITU? -1 Epidemiologi - 1 Model·- 6 Model Matematika - 8 Matematika Epidemiologi - 12 BAB II ALJABAR LINIER - 17 Matriks - 17 Persamaan Karakteristik, Vektor Eigen dan Nilai Eigen - 29 Matriks Jacobian - 33 BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL - 35 -; Persamaan Diferensial - 35 Sistem Persamaan Diferensial - 43 Metode Numerik - 44
vii
BAB IV SISTEM DINAMIK - 55 Sistem Dinamik - 55
Si stem Autonomous dan Kestabi Ian - 60 Jenis-jenis Kestabilan Berdasarkan Nilai Eigen - 65 Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz - 68 BABV BASIC REPRODUCTION RATIO - 73 Definisi - 73 Metoda Pencarian BRR - 7 4 BAB VI
MODEL MATEMATII(A EPIDEMIOLOGI -83 Model SI - 84 Model SIR - 88 Model SEIR - 97 Model Transmisi Dengue satu jenis virus dengan imunitas permanen - I 04 Model transmisi Dengue satu jenis virus Tanpa imunitas pennanen - 124 DAFTARPUSTAKA - 145 GLOSARI - I 49 INDEKS - 151 TENTANG PENULIS - 154 viii
I
APAKAH EPIDEMIOLOGI ITU?
Epidemiologi EPIDEMIOLOGI
merupakan
salah satu bagian dari
Pengetahuan Ilmu Kesehatan Masyarakat (Public Health) yang menekankan perhatiannya terhadap keberadaan penyakit dan masalah kesehatan penyakit masyarakat
lainnya dalam masyarakat.
Keberadaan
itu didekati oleh epidemiologi
secara
kuantitatif. Apakah epidemiologi itu? Apa arti epidemiologi dan bagaimana cara mendefinisikannya? Arti epidemiologi secara bahasa adalah epi yaitu pada atau menimpa, kemudian demo
