ALGEBRA I. Hlavním tématem je teorie grup. Kromě základních vlastností grup se věnujeme jejich

ALGEBRA I JAN TRLIFAJ

Tento text pokr´ yvá l´ atku prob´ıranou na pˇrednáˇsce Algebra I (NALG026) pro druh´ y roˇcn´ık bakaláˇrského studia obecné matematiky. Hlavn´ım tématem je teorie grup. Kromˇe základn´ıch vlastnost´ı grup se vˇenujeme jejich p˚ usoben´ı na mnoˇzinách a pomoc´ı nich dokazujeme dvˇe klasické strukturn´ı vˇety pro koneˇcné grupy. Druh´ ym tématem jsou okruhy a moduly. Po probrán´ı jejich základn´ıch vlastnost´ı ˇ ast prezentujeme na pˇr´ıkladˇe komutativn´ıch okruh˚ u d˚ uleˇzitou obecnou metodu lokalizace. C´ o modulech zase slouˇz´ı jako mal´ yu ´vod do kategoriáln´ıch metod v algebˇre. Text zachycuje podrobnˇe z´ akladn´ı pojmy, tvrzen´ı a jejich d˚ ukazy. Nˇekteré partie – zejména pˇr´ıklady – jsou prezentovány struˇcnˇeji, doplnˇen´ı podrobnost´ı je ponecháno ˇctenáˇri jako cviˇcen´ı. Nˇekteré poznámky pˇresahuj´ı rámec pˇrednáˇsky a slouˇz´ı k náhledu do obecnˇejˇs´ıch souvislost´ı prob´ıraného tématu.

Date: 12. ledna 2012. 1

2

Jan Trlifaj

1. Grupy a jejich reprezentace Tato kapitola je vˇenována z´ akladn´ım pojm˚ um a v´ ysledk˚ um teorie grup a u ´vodu do teorie 2 reprezentac´ı grup. Hlavn´ımi v´ ysledky jsou vˇeta o struktuˇre grup ˇrádu p , kde p je prvoˇc´ıslo (Vˇeta 1.62), a Frobenius-Stickelbergerova vˇeta o struktuˇre koneˇcn´ ych komutativn´ıch grup (Vˇeta 1.66). Poj´ıtkem v´ ykladu jsou varianty Cayleyho vˇety o vnoˇritelnosti do transformaˇcn´ıch monoid˚ u resp. symetrick´ ych grup. Nejprve zavedeme ménˇe strukturované objekty: pologrupy a monoidy. 1.1. Pologrupy a monoidy. Definice 1.1. Uspoˇrádaná dvojice G = (G, ⊙), kde G je neprázdná mnoˇzina a ⊙ je binárn´ı operace na G, se naz´ yvá grupoid. Je-li operace ⊙ asociativn´ı na G, pak se G naz´ yvá pologrupa. Mnoˇzina G je nosiˇcem grupoidu (pologrupy) G. Pokud nebude hrozit nedorozumˇen´ı, nebudeme v dalˇs´ım striktnˇe rozliˇsovat mezi grupoidem a jeho nosiˇcem, tj. budeme pˇredpokládat, ˇze G je jiˇz vybavena strukturou grupoidu zˇrejmou z daného kontextu. (Podobné zjednoduˇsen´ı provedeme pozdˇeji i pro grupy, okruhy a moduly). Pˇr´ıklad 1.2. Pˇr´ıkladem grupoidu je (Z, −) (= mnoˇzina vˇsech cel´ ych ˇc´ısel s operac´ı odeˇc´ıtán´ı). Pˇr´ıklady pologrup jsou (N, +) a (Z, +) (= mnoˇzina vˇsech pˇrirozen´ ych resp. cel´ ych ˇc´ısel s operac´ı sˇc´ıt´ an´ı). Pojem grupoidu je pˇr´ıliˇs málo strukturován na to, aby bylo moˇzné vytvoˇrit hlubˇs´ı obecnou teorii. Obvykle se proto zkoumaj´ı grupoidy s dalˇs´ımi vlastnostmi - my se zde zamˇeˇr´ıme na pologrupy a monoidy, a pak pˇredevˇs´ım na grupy. Koneˇcné grupoidy ˇcasto zadáváme pomoc´ı tabulky operace ⊙, tzv. Cayleyho tabulky. 2 uzn´ ych moˇznost´ı jak Vˇsimnˇeme si, ˇze má-li mnoˇzina G mohutnost | G |= n, máme nn r˚ 32 9 Cayleyho tabulku definovat. Uˇz pro n = 4 je to 2 ≃ 4.10 moˇznost´ı. Definice 1.3. Necht’ G = (G, ⊙) je grupoid. Prvek e ∈ G se naz´ yvá lev´ a resp. prav´ a jednotka v G pokud e ⊙ g = g resp. g ⊙ e = g pro kaˇzdé g ∈ G. Levá i pravá jednotka v G se naz´ yvá (oboustrann´ a) jednotka v G. Pokud v grupoidu G existuje aspoˇ n jedna levá jednotka e ∈ G a aspoˇ n jedna pravá jednotka f ∈ G, pak jsou vˇsechny levé i pravé jednotky totoˇzné, nebot’ e = e ⊙ f = f . Pokud v G ˇz´ adná levá jednotka neexistuje, nen´ı obecnˇe poˇcet prav´ ych jednotek v G nijak omezen: na libovolné neprázdné mnoˇzinˇe A m˚ uˇzeme definovat binárn´ı operaci ⊙ vztahem a ⊙ b = a. Pak je kaˇzd´ y prvek A pravou jednotkou, a (A, ⊙) je pologrupa. Definice 1.4. Uspoˇrádaná trojice G = (G, ⊙, e), kde (G, ⊙) je pologrupa a e je (oboustrann´ a) jednotka v G, se naz´ yvá monoid. Je-li operace ⊙ komutativn´ı, je G komutativn´ı monoid. Napˇr´ıklad (N, +, 0) a (Z, +, 0) jsou komutativn´ı monoidy. V dalˇs´ım budeme potˇrebovat ¯ ¯ komutativn´ı monoid (Nm , ⊕, 0) tvoˇren´ y vˇsemi uspoˇrádan´ ymi m-ticemi pˇrirozen´ ych ˇc´ısel se 0 = (0, . . . , 0) ∈ Nm . sˇc´ıtán´ım po sloˇzkách a s ¯ D˚ uleˇzit´ ym pˇr´ıkladem nekomutativn´ıho monoidu je tzv. transformaˇcn´ı monoid: Definice 1.5. Necht’ X je neprázdná mnoˇzina a T (X) je mnoˇzina vˇsech transformac´ı X (= zobrazen´ı z X do X). Monoid T (X) = (T (X), ◦,idX ), kde ◦ je operace skládán´ı zobrazen´ı a idX je identická transformace na X, se naz´ yvá transformaˇcn´ı monoid na X. (Konvence: zobrazen´ı budeme skládat zprava doleva, tedy (f ◦ g)(x) = f (g(x)) pro x ∈ X)

ALGEBRA I

3

Má-li mnoˇzina X n prvk˚ u, má transformaˇcn´ı monoid T (X) nn prvk˚ u. Naˇs´ım nejbliˇzˇs´ım c´ılem bude dokázat, ˇze transformaˇcn´ı monoidy jsou bohaté i po strukturn´ı stránce: kaˇzd´ y monoid je izomorfn´ı podmonoidu vhodného transformaˇcn´ıho monoidu. K tomu budeme potˇrebovat nˇekolik dalˇs´ıch z´ akladn´ıch pojm˚ u: Definice 1.6. Necht’ G = (G, ⊙) je grupoid a g ∈ G. Zobrazen´ı Lg : G → G definované vztahem Lg (h) = g ⊙ h se naz´ yvá levou translac´ı urˇcenou prvkem g. Zobrazen´ı Pg : G → G definované vztahem Pg (h) = h ⊙ g se naz´ yvá pravou translac´ı urˇcenou prvkem g. Definice 1.7. Necht’ G = (G, ⊙, e) a H = (H, ⊙′ , e′ ) jsou monoidy. Pak H je podmonoidem v G (znaˇcen´ı: H ≤ G nebo H ≤ G) pokud H ⊆ G, ⊙′ je restrikc´ı ⊙ na H a e′ = e. Nosiˇce podmonoid˚ u G jsou tedy právˇe podmnoˇziny G uzavˇrené na binárn´ı operaci ⊙ a obsahuj´ıc´ı e. Vˇsechny podmonoidy v G tvoˇr´ı ˇcásteˇcnˇe uspoˇrádanou mnoˇzinu, jej´ımˇz nejmenˇs´ım prvkem je monoid s nosiˇcem {e}, a nejvˇetˇs´ım G. Definice 1.8. Necht’ G = (G, ⊙, e) a G ′ = (G′ , ⊙′ , e′ ) jsou monoidy a ϕ : G → G′ je zobrazen´ı. Pak ϕ je monoidov´ y homomorfismus pokud ϕ(g ⊙ h) = ϕ(g) ⊙′ ϕ(h) pro kaˇzdá g, h ∈ G a ′ ϕ(e) = e . Je-li nav´ıc ϕ bijekce, naz´ yvá se ϕ monoidov´ ym izomorfismem. Monoidy G a G ′ se pak ′ naz´ yvaj´ı izomorfn´ı (oznaˇcen´ı: G ≃ G nebo G ≃ G ′ ) Je-li H ≤ G, pak inkluze H ֒→ G je zˇrejmˇe prost´ ym monoidov´ ym homomorfismem. Existence izomorfismu mezi dvˇema monoidy ˇr´ıká, ˇze tyto monoidy maj´ı tytéˇz algebraické vlastnosti, tj. jsou nerozliˇsitelné algebraick´ ymi prostˇredky. Klasifikace aˇz na izomorfismus je (obvykle velmi obt´ıˇznˇe dosaˇziteln´ ym) c´ılem ˇrady algebraick´ ych teori´ı. S kaˇzd´ ym homomorfismem je spojen pojem j´ adra a obrazu. Vˇsimnˇeme si nejprve vlastnost´ı obrazu. Shrneme je v následuj´ıc´ım lemmatu, jehoˇz d˚ ukaz plyne bezprostˇrednˇe z 1.7 a 1.8: Lemma 1.9. Necht’ G = (G, ⊙, e) a G ′ = (G′ , ⊙′ , e′ ) jsou monoidy a ϕ : G → G′ je monoidov´ y homomorfismus. Pak Im ϕ = {g′ ∈ G′ | ∃g ∈ G : ϕ(g) = g′ } je nosiˇcem podmonoidu v G ′ . Je-li ϕ prosté zobrazen´ı, je zobrazen´ı ψ : G → Im ϕ definované pomoc´ı ψ(g) = ϕ(g) pro kaˇzdé g ∈ G monoidov´ ym izomorfismem. Vˇ eta 1.10 (Cayleyho pro monoidy). Kaˇzd´ y monoid je izomorfn´ı podmonoidu vhodného transformaˇcn´ıho monoidu. D˚ ukaz. Necht’ G = (G, ⊙, e) je monoid. Poloˇzme X = G a definujme zobrazen´ı ϕ : G → T (X) vztahem ϕ(g) = Lg . Protoˇze Lg (e) = g pro kaˇzdé g ∈ G, je ϕ prosté. Z asociativity operace ⊙ plyne Lg⊙h = Lg ◦ Lh pro kaˇzdé g, h ∈ G. Protoˇze e ∈ G je jednotkov´ y prvek, je Le = idG , tedy ϕ je prost´ y monoidov´ y homomorfismus. Podle Lemmatu 1.9 je Im ϕ ≤ T (X) a G ≃ Im ϕ. Reprezentace monoidu G v d˚ ukazu 1.10 zdaleka nen´ı optimáln´ı: je-li G = T (X) jiˇz transformaˇcn´ım monoidem, je G reprezentováno jako podmonoid v T (T (X)). D˚ uleˇzitou vlastnost´ı reprezentace v d˚ ukazu Vˇety 1.10 je ale fakt, ˇze koneˇcné monoidy jsou reprezentovány jako podmonoidy koneˇcn´ ych transformaˇcn´ıch monoid˚ u. Definice 1.11. Necht’ G = (G, ⊙, e) je monoid a g ∈ G. Pak g je zleva invertibiln´ı pokud existuje h1 ∈ G tak, ˇze h1 ⊙ g = e. Pak h1 se naz´ yvá lev´ y inverzn´ı prvek ke g. Podobnˇe g je zprava invertibiln´ı pokud existuje h2 ∈ G tak, ˇze g ⊙ h2 = e, a h2 se naz´ yvá prav´ y inverzn´ı prvek ke g.

4

Jan Trlifaj

Je-li g zleva i zprava invertibiln´ı, naz´ yvá se g (oboustrannˇe) invertibiln´ı. Z asociativity operace ⊙ pak plyne, ˇze prvek h1 = h1 ⊙ e = h1 ⊙ (g ⊙ h2 ) = (h1 ⊙ g) ⊙ h2 = e ⊙ h2 = h2 je jednoznaˇcnˇe urˇcen g; budeme jej znaˇcit g−1 . Napˇr´ıklad v transformaˇcn´ım monoidu T (X) jsou zleva invertibiln´ı právˇe vˇsechna prostá zobrazen´ı X do sebe, zprava invertibiln´ı právˇe vˇsechna zobrazen´ı na, a invertibiln´ı právˇe vˇsechny bijekce X na sebe. Je-li X koneˇcná, pak tyto pojmy spl´ yvaj´ı. Podle Vˇety 1.10 tedy pojmy zleva (resp. zprava, oboustrannˇe) invertibiln´ıho prvku spl´ yvaj´ı i v kaˇzdém koneˇcném monoidu G. 1.2. Grupy. Jedn´ım z kl´ıˇcov´ ych pojm˚ u modern´ı algebry je pojem grupy. Definice 1.12. Necht’ (G, ⊙, e) je monoid na nˇemˇz existuje unárn´ı operace −1 taková, ˇze pro kaˇzdé g ∈ G je g−1 oboustrannˇe inverzn´ım prvkem ke g. Pak G = (G, ⊙,−1 , e) se naz´ yvá grupa. Je-li nav´ıc operace ⊙ komutativn´ı, pak G je komutativn´ı (= Abelova) grupa. Aditivn´ı i multiplikativn´ı grupy vˇsech cel´ ych, racionáln´ıch, reáln´ ych a komplexn´ıch ˇc´ısel, tj. (Z, +, −, 0), (Q, +, −, 0), (R, +, −, 0), (C, +, −, 0), (Q \ {0}, .,−1 , 1), (R \ {0}, .,−1 , 1) a (C \ {0}, .,−1 , 1) jsou komutativn´ı. Aditivn´ı grupa kvaternion˚ u (H, +, −, 0) je komutativn´ı, −1 , 1) nen´ ale jejich multiplikativn´ ı grupa (H \ {0}, ., ı komutativn´ ı (Kvaternionem rozum´ıme z1 z2 2 × 2-matici −¯z2 z¯1 , kde z1 , z2 jsou komplexn´ı ˇc´ısla, a z¯ znaˇc´ı ˇc´ıslo komplexnˇe sdruˇzené s ˇc´ıslem z ∈ C. Kvaterniony se sˇc´ıtaj´ı a násob´ı jako komplexn´ı matice typu 2 × 2). Základn´ım pˇr´ıkladem koneˇcné grupy je, pro kaˇzdé n > 1, aditivn´ı grupa Zn = ({0, . . . , n − 1}, +n , −n , 0n ) vˇsech zbytkov´ ych tˇr´ıd cel´ ych ˇc´ısel modulo n: operace +n je sˇc´ıtán´ı modulo n, −n je opaˇcn´ y prvek modulo n, jednotkou je 0n = 0. Tato grupa je zˇrejmˇe komutativn´ı. Základn´ım pˇr´ıkladem nekomutativn´ı grupy je symetrická grupa: Definice 1.13. Necht’ X je neprázdná mnoˇzina a S(X) je mnoˇzina vˇsech bijekc´ı X na sebe. Pak (S(X), ◦,idX ) je podmonoidem v transformaˇcn´ım monoidu T (X). Pro f ∈ S(X) oznaˇcme f −1 inverzn´ı bijekci k f . Pak S(X) = (S(X), ◦,−1 ,idX ) je grupa, tzv. symetrick´ a grupa na mnoˇzinˇe X. V pojmu grupy se setkává asociativita s moˇznost´ı dˇelen´ı a krácen´ı: Definice 1.14. Necht’ G = (G, ⊙) je grupoid. Pak G je s lev´ ym kr´ acen´ım (resp. dˇelen´ım), pokud pro kaˇzdé g ∈ G je levá translace Lg prostá (resp. na). Pravé krácen´ı resp. dˇelen´ı je definováno analogicky pomoc´ı pravé translace Pg . Je-li G s lev´ ym i prav´ ym krácen´ım a s lev´ ym i prav´ ym dˇelen´ım, pak se G naz´ yvá kvazigrupa. Kvazigrupa s jednotkov´ ym prvkem se naz´ yvá lupa. Napˇr´ıklad v pologrupˇe G = (G, ⊙) definované vztahem g ⊙ h = h pro kaˇzdé g, h ∈ G je Lg identita na G, zat´ımco Pg je konstantn´ı pro kaˇzdé g ∈ G. Tedy má-li G aspoˇ n dva prvky, je G s lev´ ym krácen´ım i dˇelen´ım, ale nen´ı s prav´ ym krácen´ım ani dˇelen´ım. Naopak, grupoid (Z, −) je kvazigrupou, ale nen´ı pologrupou. Vˇ eta 1.15. Necht’ (G, ⊙) je grupoid. Potom n´ asleduj´ıc´ı podm´ınky jsou ekvivalentn´ı: (i) (G, ⊙) je pologrupa a kvazigrupa. (ii) Na G lze definovat un´ arn´ı operaci −1 a (nul´ arn´ı operaci) e ∈ G tak, ˇze G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa.

ALGEBRA I

5

D˚ ukaz. (i) ⇒ (ii). Necht’ g ∈ G. Protoˇze (G, ⊙) je kvazigrupa, existuj´ı prvky g1 , g2 ∈ G tak, ˇze g ⊙ g1 = g = g2 ⊙ g. Dokáˇzeme, ˇze e = g1 = g2 je jednotkov´ ym prvkem grupoidu (G, ⊙). Podle pˇredpokladu existuj´ı pro libovolné h ∈ G prvky h1 , h2 ∈ G tak, ˇze g ⊙ h1 = h = h2 ⊙ g. Pak h ⊙ g1 = (h2 ⊙ g) ⊙ g1 = h2 ⊙ (g ⊙ g1 ) = h2 ⊙ g = h, a podobnˇe g2 ⊙ h = h. Tedy e = g1 = g2 je jednotkov´ ym prvkem grupoidu (G, ⊙). Protoˇze (G, ⊙) je kvazigrupa, existuj´ı pro kaˇzdé g ∈ G prvky k1 , k2 ∈ G tak, ˇze g ⊙ k1 = e = k2 ⊙ g. Z asociativity ⊙ plyne, ˇze k1 = k2 = g−1 je inverzn´ı prvek ke g. (ii) ⇒ (i). Zˇrejmˇe je (G, ⊙) pologrupou. Protoˇze Lg ◦ Lg−1 = Le = idG = Lg−1 ◦ Lg a Pg ◦ Pg−1 = Pe = idG = Pg−1 ◦ Pg pro kaˇzdé g ∈ G, je (G, ⊙) kvazigrupa. Nyn´ı budeme smˇeˇrovat k d˚ ukazu verze Cayleyho vˇety 1.10 pro grupy. K tomu potˇrebujeme rozˇs´ıˇrit pojmy podmonoidu a monoidového homomorfismu na grupy: ′

Definice 1.16. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) a H = (H, ⊙′ ,−1 , e′ ) jsou grupy. Pak H je podgrupou v G (oznaˇcen´ı: H ≤ G nebo H ≤ G; H se naz´ yvá nosiˇcem podgrupy H) pokud H ⊆ G, ⊙′ ′ resp. −1 je restrikc´ı ⊙ resp. −1 na H a e′ = e. Podgrupy G tedy odpov´ıdaj´ı podmonoid˚ um v (G, ⊙, e), jejichˇz nosiˇce jsou uzavˇrené na unárn´ı operaci −1 . Podgrupy G tvoˇr´ı ˇca´steˇcnˇe uspoˇrádanou mnoˇzinu, jej´ımˇz nejmenˇs´ım prvkem je grupa s nosiˇcem {e} a nejvˇetˇs´ım G (tzv. trivi´ aln´ı podgrupy v G). Definice 1.17. Necht’ 1 < n < ω. Pak symbolem Sn znaˇc´ıme symetrickou grupu na mnoˇzinˇe {1, . . . , n}. Nosiˇcem této grupy jsou vˇsechny permutace na {1, . . . , n} (viz. téˇz 1.13). V´ ybˇerem vˇsech sud´ ych permutac´ı dostáváme tzv. alternuj´ıc´ı grupu An , která je zˇrejmˇe podgrupou Sn . Jinou podgrupu, Fn , v Sn m˚ uˇzeme z´ıskat napˇr´ıklad tak, ˇze uvaˇzujeme pouze permutace fixuj´ıc´ı posledn´ı sloˇzku, Fn = {f ∈ Sn | f (n) = n}. ′

Definice 1.18. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) a G ′ = (G′ , ⊙′ ,−1 , e′ ) jsou grupy a ϕ : G → G′ je zobrazen´ı. Pak ϕ je grupov´ y homomorfismus pokud ϕ je monoidov´ y homomorfismus (G, ⊙, e) ′ do (G′ , ⊙′ , e′ ), a pro kaˇzdé g ∈ G je ϕ(g−1 ) = (ϕ(g))−1 . Je-li nav´ıc ϕ bijekce, naz´ yvá se grupov´ ym izomorfismem. Grupy G a G ′ se pak naz´ yvaj´ı ′ ′ izomorfn´ı (znaˇcen´ı: G ≃ G nebo G ≃ G ) Pˇr´ıklad 1.19. Je-li H ≤ G, pak vnoˇren´ı ϕ : H ֒→ G je zˇrejmˇe prost´ ym grupov´ ym homomorfismem. Zobrazen´ı f 7→ f ↾ {1, . . . , n − 1} grupy Fn z 1.17 do symetrické grupy Sn−1 je zˇrejmˇe grupov´ ym izomorfismem. Skuteˇcnost, ˇze nˇejaké zobrazen´ı ϕ : G → G′ je grupov´ ym homomorfismem lze ovˇeˇrit velmi jednoduˇse: ′

Lemma 1.20. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) a G ′ = (G′ , ⊙′ ,−1 e′ ) jsou grupy a ϕ : G → G′ je zobrazen´ı. Pak ϕ je grupov´ y homomorfismus pr´ avˇe kdyˇz ϕ(g ⊙ h) = ϕ(g) ⊙′ ϕ(h) pro kaˇzdé g, h ∈ G. D˚ ukaz. Pˇredpokládejme, ˇze ϕ(g ⊙ h) = ϕ(g) ⊙′ ϕ(h) pro kaˇzdé g, h ∈ G. Protoˇze jednotkov´ y prvek grupy je jej´ım jedin´ ym idempotentn´ım prvkem (tj. prvkem s vlastnost´ı g ⊙ g = g), je nutnˇe ϕ(e) = e′ . Podobnˇe, inverzn´ı prvek g−1 je jedin´ ym prvkem h takov´ ym, ˇze h ⊙ g = g ⊙ h ′ je jednotkov´ ym prvkem. Tedy nutnˇe ϕ(g−1 ) = (ϕ(g))−1 . Vlastnosti jádra a obrazu grupového homomorfismu shrneme v následuj´ıc´ım lemmatu, jehoˇz d˚ ukaz plyne bezprostˇrednˇe z Definic 1.16 a 1.18:

6

Jan Trlifaj ′

Lemma 1.21. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) a G ′ = (G′ , ⊙′ ,−1 , e′ ) jsou grupy a ϕ : G → G′ je grupov´ y homomorfismus. Pak Ker ϕ = {g ∈ G | ϕ(g) = e′ } je nosiˇcem podgrupy v G a Im ϕ je nosiˇcem podgrupy v G ′ . Je-li ϕ prosté zobrazen´ı, je zobrazen´ı ψ : G → Im ϕ definované pomoc´ı ψ(g) = ϕ(g) pro kaˇzdé g ∈ G grupov´ ym izomorfismem. Vˇ eta 1.22 (Cayleyho pro grupy). Kaˇzd´ a grupa je izomorfn´ı podgrupˇe vhodné symetrické grupy. D˚ ukaz. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa. Poloˇzme X = G a definujme zobrazen´ı ϕ : G → S(X) vztahem ϕ(g) = Lg . Tato definice je korektn´ı, nebot’ (G, ⊙) je kvazigrupa. Podle 1.10 urˇcuje ϕ prost´ y monoidov´ y homomorfismus (G, ⊙, e) do T (X). Podle 1.20 je ϕ grupov´ ym homomorfismem. Podle 1.21 je Im ϕ podgrupou v S(X) izomorfn´ı s G. Reprezentaci grupy G z 1.22 pouˇzijeme v následuj´ıc´ı sekci ke konstrukci tzv. regulárn´ı reprezentace grupy G. Definice 1.23. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa, H ≤ G a g ∈ G. Mnoˇzina gH = {g ⊙ h | h ∈ H} se naz´ yvá levou rozkladovou tˇr´ıdou grupy G podle podgrupy H urˇcenou prvkem g. Zˇrejmˇe gH = Lg (H). Analogicky definujeme pravou rozkladovou tˇr´ıdu, Hg = Pg (H). Pˇr´ıklad 1.24. 1. Necht’ G = Sn a H = An . Pokud g ∈ An , pak gAn = An g = An (Obecnˇe zˇrejmˇe plat´ı, ˇze gH = H právˇe kdyˇz Hg = H právˇe kdyˇz g ∈ H). Pokud g 6∈ An , pak gAn = Sn \ An . Analogicky An g = Sn \ An . Tedy levá a pravá rozkladová tˇr´ıda libovolného prvku g ∈ Sn podle An spl´ yvaj´ı. ’ 2. Necht G = Sn a H = Fn ∼ = Sn−1 (viz 1.17). Pak pro g ∈ Sn je gFn = {f ∈ Sn | f (n) = g(n)}, zat´ımco Fn g = {f ∈ Sn | f −1 (n) = g−1 (n)}. Tyto rozkladové tˇr´ıdy obecnˇe nespl´ yvaj´ı. Obecnˇe je tedy nutné rozliˇsovat mezi lev´ ymi a prav´ ymi rozkladov´ ymi tˇr´ıdami. Jak ale uvid´ıme za chv´ıli, poˇcet lev´ ych a prav´ ych rozkladov´ ych tˇr´ıd je vˇzdy stejn´ y. Lemma 1.25. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa, g, g′ ∈ G a H ≤ G. Potom bud’ gH = g′ H nebo gH ∩ g′ H = ∅ (a gH = g′ H pr´ avˇe kdyˇz g′ −1 ⊙ g ∈ H). D˚ ukaz. Necht’ gH ∩ g′ H 6= ∅ a x ∈ gH ∩ g′ H. Pak x = g ⊙ h = g′ ⊙ h′ , a tedy g′ −1 ⊙ g ∈ H, coˇz je ekvivalentn´ı s g−1 ⊙ g′ ∈ H. Protoˇze g = g′ ⊙ g′ −1 ⊙ g, podm´ınka g′ −1 ⊙ g ∈ H implikuje gH = Lg (H) ⊆ Lg′ (H) = g′ H, a podobnˇe g′ H ⊆ gH. Naopak, gH = g′ H zˇrejmˇe implikuje g′ −1 ⊙ g ∈ H, a tedy gH ∩ g′ H 6= ∅. D˚ usledek 1.26. Ze souboru {gH | g ∈ G} vˇsech lev´ ych rozkladov´ ych tˇr´ıd G podle H lze vybrat disjunktn´ı rozklad mnoˇziny G. Tento rozklad se naz´ yv´ a lev´ y rozklad G podle H. Jeho systém reprezentant˚ u se naz´ yv´ a levá transverzála grupy G podle H. Analogicky definujeme prav´ y rozklad a pravou transverz´ alu G podle H. Vˇsimnˇeme si, ˇze vˇsechny tˇr´ıdy levého (resp. pravého) rozkladu G podle H maj´ı stejnou mohutnost, protoˇze pro kaˇzdé g ∈ G je levá translace Lg , z´ uˇzená na H, bijekc´ı H na gH (resp. pravá translace Pg , z´ uˇzená na H, je bijekc´ı H na Hg). Nav´ıc mnoˇzina H = eH = He je tˇr´ıdou levého i pravého rozkladu G podle H. Pˇr´ıklad 1.27. V pˇr´ıkladu 1.24.1 je {An , Sn \ An } lev´ y i prav´ y rozklad Sn podle An . Lemma 1.28 (o indexu). Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa, H ≤ G. Potom mohutnost libovolné levé a libovolné pravé transverz´ aly je stejn´ a. Tato mohutnost se naz´ yv´ a index H v G a znaˇc´ı se [G : H].

ALGEBRA I

7

D˚ ukaz. Necht’ L je libovolná levá transverzála G podle H. Staˇc´ı dokázat, ˇze P = {g−1 | g ∈ L} je pravou transverzálou. Disjunktnost: Necht’ g, g′ ∈ L. Pak Hg−1 ∩ Hg′ −1 = ∅. Jinak existuje x ∈ G tvaru x = h ⊙ g−1 = h′ ⊙ g′ −1 , kde h, h′ ∈ H. Pak ale x−1 = g ⊙ h−1 = g′ ⊙ h′ −1 , a tedy gH = g′ H, ve sporu s t´ım, ˇze L je levá transverzála. S Pokr´ yván´ı: Necht’ x ∈ G. Pak x−1 ∈ G, a tedy x−1 ∈ g∈L gH, a existuj´ı go ∈ L a h ∈ H S tak, ˇze x−1 = go ⊙h. Pak x = h−1 ⊙go−1 a x ∈ Hgo−1 . T´ım je dokázáno, ˇze g∈L Hg−1 = G. Vˇ eta 1.29 (Lagrange). Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa a H ≤ G. Pak |G| = |H| · [G : H].

D˚ ukaz. Necht’ L je levá transverzála G podle H. Pak G je disjunktn´ım sjednocen´ım rozkladov´ ych tˇr´ıd gH (g ∈ L). Jelikoˇz gH = Lg (H) a Lg je bijekce, je |gH| = |H| a tud´ıˇz |G| = |H| · |L| = |H| · [G : H] podle 1.28. −1 ’ Pozn´ amka 1.30. y systém jej´ıch T Necht G = (G, ⊙, , e) je grupa a (Hi | i ∈ I) je libovoln´ podgrup. Pak i∈I Hi je zˇrejmˇe podgrupou v G. T yvá podgrupa generovan´ a Necht’ X je neprázdná podmnoˇzina G. Pak hXi = H≤G H se naz´ X⊆H

X v G. Zˇrejmˇe hXi = X právˇe kdyˇz X ≤ G. Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze

hXi = {x1 ⊙ x2 ⊙ · · · ⊙ xn | n < ω, xi ∈ X ∪ X −1 (i ≤ n)}, kde X −1 = {g−1 | g ∈ X}: mnoˇzina M na pravé stranˇe rovnosti je totiˇz nosiˇcem podgrupy v G obsahuj´ıc´ı X, a kaˇzdá podgrupa H ≤ G obsahuj´ıc´ı X mus´ı jistˇe obsahovat i M . Definice 1.31. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa, pak mohutnost |G| se naz´ yvá ˇra ´dem grupy G. Pro g ∈ G se hgi naz´ yvá cyklickou grupou generovanou g a |hgi| se naz´ yvá ˇra ´dem prvku g v G; znaˇc´ıme jej o(g). Je-li G koneˇcná grupa, pak podle Lagrangeovy vˇety ˇrád libovolného jej´ıho prvku dˇel´ı ˇrád grupy G. Lagrangeova vˇeta je jednoduch´ ym, ale velmi u ´ˇcinn´ ym n´ astrojem pro zkoumán´ı struktury podgrup koneˇcn´ ych grup. Napˇr´ıklad je-li G grupou prvoˇc´ıselného ˇrádu, má podle Lagrangeovy vˇety G pouze triviáln´ı podgrupy, a G je tedy cyklická, generovaná libovoln´ ym sv´ ym prvkem g 6= e. Pozn´ amka 1.32. Z 1.30 plyne, ˇze hgi = {gz | z ∈ Z}, kde definujeme g0 = e, gn = g ⊙ · · · ⊙ g | {z } n

y (tedy |hgi| = m pro n > 0, a gn = g−1 ⊙ · · · ⊙ g−1 pro n < 0. Pokud je ˇrád prvku g koneˇcn´ {z } | −n

pro nˇejaké m < ω), potom zˇrejmˇe hgi = {gk | k ∈ {0, 1, . . . , m − 1}}, kde m je nejmenˇs´ı pˇrirozené ˇc´ıslo takové, ˇze gm = e. Vˇ eta 1.33 (Poincaré). Necht’ GT = (G, ⊙,−1 , e) je grupa, H1 , . . . , Hn jsou podgrupy v G T koneˇcného indexu. Potom pr˚ unik ni=1 Hi je podgrupa koneˇcného indexu, a plat´ı [G : ni=1 Hi ] ≤ [G : H1 ] · · · [G : Hn ]. D˚ ukaz. Tvrzen´ı staˇc´ı dokázat pro n = 2, pro n > 2 pak snadno plyne indukc´ı. Nejprve dokáˇzeme, ˇze pro libovolné g ∈ G plat´ı g(H1 ∩ H2 ) = gH1 ∩ gH2 . Inkluze ⊆ je zˇrejmá. Naopak, je-li x ∈ gH1 ∩ gH2 , pak x = g ⊙ h1 = g ⊙ h2 pro nˇejaká h1 ∈ H1 a h2 ∈ H2 . Pak ale h1 ∈ H1 ∩ H2 , a tedy x ∈ g(H1 ∩ H2 ). Nyn´ı definujme zobrazen´ı ϕ z mnoˇziny vˇsech lev´ ych rozkladov´ ych tˇr´ıd podle H1 ∩ H2 do mnoˇziny vˇsech dvojic lev´ ych rozkladov´ ych tˇr´ıd podle H1 a lev´ ych rozkladov´ ych tˇr´ıd podle H2

8

Jan Trlifaj

následovnˇe: ϕ(g(H1 ∩ H2 )) = (gH1 , gH2 ). Toto zobrazen´ı je korektnˇe definované, nebot’ pro libovolná g, g′ ∈ G taková, ˇze g(H1 ∩ H2 ) = g′ (H1 ∩ H2 ) plat´ı podle 1.25 (g′ )−1 ⊙ g ∈ H1 ∩ H2 , a tedy gH1 = g′ H1 a gH2 = g′ H2 . Protoˇze g(H1 ∩ H2 ) = gH1 ∩ gH2 , je ϕ prosté, a tedy [G : (H1 ∩ H2 )] ≤ [G : H1 ] · [G : H2 ]. Pˇr´ıklad 1.34. G = (Z, +, −, 0) je grupa cel´ ych ˇc´ısel. Pro n ∈ N definujme podgrupu Hn = h2n i = {z · 2n | z ∈T Z}. Pak zˇrejmˇe [G : Hn ] = 2n , ˇcili Hn je podgrupou koneˇcného indexu v G. Podgrupa H = n<∞ Hn = {0} má nekoneˇcn´ y index [G : H] = |Z|. Vˇetu 1.33 tedy nelze obecnˇe rozˇs´ıˇrit na nekoneˇcné pr˚ uniky. Jedn´ım ze z´ akladn´ıch zp˚ usob˚ u konstrukce nov´ ych grup je faktorizace podle podgrup. Faktorizace je zobecnˇen´ım konstrukce grupy Zn (zbytkov´ ych tˇr´ıd modulo n) z grupy Z: Zn je izomorfn´ı faktoru grupy Z podle jej´ı cyklické podgrupy Zn = {z.n | z ∈ Z}. Jak uvid´ıme dále, obecnˇe nelze faktorizovat podle kaˇzdé podgrupy, ale jenom podle podgrupy, která je normáln´ı, tj. invariantn´ı na vˇsechny vnitˇrn´ı automorfismy: Definice 1.35. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa a g ∈ G. Zobrazen´ı ( )g : G → G takové, −1 ˇze h 7→ g ⊙ h ⊙ g−1 se naz´ yvá vnitˇrn´ı automorfismus G urˇcen´ y g. Plat´ı, ˇze ( )g ◦ ( )g = −1 ( )g ◦ ( )g = idG a ( )g (h ⊙ h′ ) = ( )g (h) ⊙ ( )g (h′ ), tedy ( )g je grupov´ y izomorfismus. Prvek g −1 (h) = g ⊙ h ⊙ g se naz´ yvá konjugovan´ y v G s prvkem h pomoc´ı g. Definice 1.36. Podgrupa H ≤ G se naz´ yvá norm´ aln´ı v G pokud H je invariantn´ı na vˇsechny vnitˇrn´ı automorfismy urˇcené prvky g ∈ G, tj. pokud pro kaˇzdá h ∈ H, g ∈ G plat´ı g⊙h⊙g−1 ∈ H. Skuteˇcnost, ˇze podgrupa H je normáln´ı podgrupou v G, znaˇc´ıme H E G resp. H E G. Pˇr´ıklad 1.37. (1) Triviáln´ı podgrupy jsou zˇrejmˇe normáln´ı. (2) An E Sn , nebot’ znamen´ı permutace se zachovává vnitˇrn´ımi automorfismy. Podobnˇe kaˇzdá podgrupa H grupy G taková, ˇze [G : H] = 2 je normáln´ı – pak totiˇz {H, G \ H} je lev´ ym i prav´ ym rozkladem G podle H a normalita plyne z následuj´ıc´ıho lemmatu 1.39. (3) Fn 5 Sn pro n ≥ 3, kde Fn = {f ∈ Sn | f (n) = n}, nebot’ Fn nen´ı invariantn´ı na vnitˇrn´ı automorfismus urˇcen´ y transpozic´ı prvk˚ u 1 a n. (4) Je-li G komutativn´ı, pak zˇrejmˇe kaˇzdá podgrupa G je normáln´ı. ′

Lemma 1.38. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e), G ′ = (G′ , ⊙′ ,−1 , e′ ) jsou grupy a ϕ : G 7→ G′ je grupov´ y homomorfismus. Pak pro j´ adro homomorfismu ϕ plat´ı Ker ϕ E G. D˚ ukaz. Podle 1.21 je Ker ϕ = {g ∈ G | ϕ(g) = e′ } ≤ G. Nav´ıc pro h ∈ Ker ϕ a g ∈ G máme ϕ(g ⊙ h ⊙ g−1 ) = ϕ(g) ⊙′ ϕ(h) ⊙′ ϕ(g−1 ) = ϕ(g) ⊙′ e′ ⊙′ (ϕ(g))−1 = e′ , a tedy Ker ϕ E G. Lemma 1.39. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa a H ≤ G. Pak H E G pr´ avˇe kdyˇz lev´ y a prav´ y rozklad G podle H spl´ yvaj´ı. D˚ ukaz. Je-li H normáln´ı v G, pak pro kaˇzdé g ∈ G je gH ⊆ Hg, a tedy i g−1 H ⊆ Hg−1 , Hg ⊆ gH, a gH = Hg. Tedy levá a pravá rozkladová tˇr´ıda libovolného prvku g ∈ G podle H spl´ yvaj´ı, a totéˇz plat´ı i pro lev´ y a prav´ y rozklad G podle H. Naopak, pokud rozklady spl´ yvaj´ı a g ∈ G, pak gH = Hg, nebot’ g ∈ gH ∩Hg, a H E G. Definice 1.40. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa a H E G. Oznaˇcme G/H mnoˇzinu vˇsech ¯ −¯1 , e¯ pomoc´ı grupov´ rozkladov´ ych tˇr´ıd grupy G podle H. Na G/H definujeme operace ⊙ ych ¯ g′ H = (g ⊙ g′ )H, (gH)−¯1 = g−1 H a e¯ = eH = H. operac´ı na reprezentantech: gH ⊙

ALGEBRA I

9

¯ −¯1 , e¯) je grupa, naz´ Potom G/H = (G/H, ⊙, yvaná faktorovou grupou grupy G podle H. Vzhledem k tomu, ˇze grupové operace na G/H jsou definovány pomoc´ı grupov´ ych operac´ı v G na reprezentantech rozkladov´ ych tˇr´ıd, staˇc´ı k ovˇeˇren´ı faktu, ˇze G/H je grupa, ovˇeˇrit nezávislost na volbˇe reprezentant˚ u. K té staˇc´ı normalita H v G – napˇr. pro binárn´ı operaci máme: g1 H = g2 H a g1′ H = g2′ H implikuje (g1 ⊙ g1′ )H = g1 (g1′ H) = g1 (g2′ H) = (g1 H)g2′ = (g2 H)g2′ = g2 (g2′ H) = (g2 ⊙ g2′ )H. Pˇr´ıklad 1.41. Necht’ G = (Z, +, −, 0), H = Zn = {z · n | z ∈ Z} pro libovolné n ∈ N. Pak ¯ −, ¯ ¯ H E G a (G/H, +; 0) je izomorfn´ı grupˇe Zn vˇsech zbytkov´ ych tˇr´ıd cel´ ych ˇc´ısel modulo n. Lemma 1.42. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa a H E G. Definujme πH : G → G/H tak, ˇze g 7→ gH. Pak πH je grupov´ y homomorfismus. D´ ale Im πH = G/H a Ker πH = H. ¯ πH (g′ ) = D˚ ukaz. To, ˇze πH je grupov´ y homomorfismus, plyne podle 1.20 z identity πH (g) ⊙ ′ ′ ′ ′ ¯ g H = (g ⊙ g )H = πH (g ⊙ g ) pro kaˇzdá g, g ∈ G. Dále G/H = {gH | g ∈ G} = Im πH , gH ⊙ a Ker πH = {g ∈ G | πH (g) = H} = {g ∈ G | gH = H} = H. Definice 1.43. Homomorfismus πH z lemmatu 1.42 se naz´ yvá kanonick´ a projekce grupy G podle podgrupy H. Kaˇzdá normáln´ı podgrupa je tedy jádrem aspoˇ n jednoho homomorfismu (a naopak, jádro kaˇzdého homomorfismu z G je normáln´ı podgrupou v G podle 1.38). Následuj´ıc´ı vˇeta ukazuje d˚ uleˇzitou vlastnost kanonické projekce: ′

Vˇ eta 1.44 (o homomorfismu pro grupy). Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) a G ′ = (G′ , ⊙′ ,−1 , e′ ) jsou grupy, H E G a ϕ : G → G′ je grupov´ y homomorfismus takov´ y, ˇze H ≤ Ker ϕ. Pak existuje ′ jednoznaˇcnˇe urˇcen´ y grupov´ y homomorfismus ψ : G/H → G takov´ y, ˇze ψ ◦ πH = ϕ. D˚ ukaz. Definujme ψ : G/H → G′ tak, ˇze gH 7→ ϕ(g). Tato definice je korektn´ı, nebot’ g1 H = g2 H implikuje g2−1 ⊙ g1 ∈ H ⊆ Ker ϕ, a tedy ϕ(g2−1 ⊙ g1 ) = e′ a ϕ(g1 ) = ϕ(g2 ). ¯ g2 H) = ψ((g1 ⊙ g2 )H) = ϕ(g1 ⊙ ψ je grupov´ y homomorfismus podle 1.20, nebot’ ψ(g1 H ⊙ g2 ) = ϕ(g1 ) ⊙′ ϕ(g2 ) = ψ(g1 H) ⊙′ ψ(g2 H). Pro kaˇzdé g ∈ G nav´ıc plat´ı (ψπH )(g) = ψ(gH) = ϕ(g), tj. ψ ◦ πH = ϕ. Koneˇcnˇe, je-li η : G/H → G′ takov´ y, ˇze η ◦ πH = ϕ, pak pro kaˇzdé g ∈ G je (ηπH )(g) = η(gH) = ϕ(g), a η = ψ. Pozn´ amka 1.45. Je-li G grupa a H je jej´ı normáln´ı podgrupa, pak kanonická projekce indukuje izomorfismus mnoˇziny vˇsech podgrup K grupy G obsahuj´ıc´ıch H (ˇcásteˇcnˇe uspoˇrádané inkluz´ı) na mnoˇzinu vˇsech podgrup faktorové grupy G/H (ˇcásteˇcnˇe uspoˇrádané inkluz´ı) pomoc´ı zobrazen´ı K 7→ πH (K) = {kH | k ∈ K}. Pˇritom K E G právˇe kdyˇz πH (K) E G/H. Nyn´ı dokáˇzeme klasické vˇety o izomorfismu pocházej´ıc´ı od Emmy Noether: ′

Vˇ eta 1.46 (1. vˇeta o izomorfismu pro grupy). Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e), G ′ = (G′ , ⊙′ ,−1 , e′ ) jsou grupy a ϕ : G → G′ je grupov´ y homomorfismus. Potom G/Ker ϕ ≃ Im ϕ. D˚ ukaz. Podle 1.44 existuje grupov´ y homomorfismus ψ : G/Ker ϕ → G′ definovan´ y vztahem g(Ker ϕ) 7→ ϕ(g). Zˇrejmˇe ψ je prost´ y a Im ψ = Im ϕ, tedy zobrazen´ı ξ : G/Ker ϕ → Im ϕ definované vztahem gKer ϕ 7→ ϕ(g) je grupov´ y izomorfismus. D˚ usledek 1.47. Necht’ G je grupa. Pak G je cyklick´ a grupa pr´ avˇe kdyˇz G je izomorfn´ı grupˇe Z nebo grupˇe Zn pro nˇejaké n ≥ 1.

10

Jan Trlifaj

D˚ ukaz. Grupy Z a Zn (n ≥ 1) jsou zˇrejmˇe cyklické. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je cyklická, tj. existuje g ∈ G takové, ˇze G = hgi = {gz | z ∈ Z} (gz je definované v 1.32). Definujme ϕ : Z → G vztahem z 7→ gz . Toto zobrazen´ı je homomorfismus grupy Z na grupu G nebot’ gz1 +z2 = gz1 ⊙ gz2 . Pouˇzit´ım Vˇety 1.46 dostáváme Z/Ker ϕ ≃ Im ϕ = G. Rozliˇs´ıme dva pˇr´ıpady. (1) Ker ϕ = {0}. Pak G ≃ Z, G je nekoneˇcná grupa a kaˇzd´ y prvek G se dá právˇe jedn´ım zp˚ usobem vyjádˇrit ve tvaru gz . (2) Ker ϕ 6= {0}. Pak existuje nejmenˇs´ı n ≥ 1 takové, ˇze gn = e a Ker ϕ = Zn = {z·n | z ∈ Z} ≤ Z, takˇze G ≃ Z/Zn ≃ Zn . Tedy G je koneˇcná grupa ˇrádu | G | = o(g) = |hgi| = n. Vˇ eta 1.48 (2. vˇeta o izomorfismu pro grupy). Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa, H E G, K E G a K ≤ H. Pak (G/K)/(H/K) ≃ G/H. D˚ ukaz. Definujme zobrazen´ı ϕ : G/K → G/H vztahem gK 7→ gH. To je korektn´ı definice, nebot’ gK = g′ K implikuje g′ −1 ⊙ g ∈ K ⊆ H, a tedy gH = g′ H. Nav´ıc ϕ je grupov´ y homo¯ g′ K) = ϕ((g ⊙ g′ )K) = (g ⊙ g′ )H = gH ⊙ ¯ g′ H = ϕ(gK) ⊙ ¯ ϕ(g′ K). morfismus, nebot’ ϕ(gK ⊙ Zˇrejmˇe ϕ zobrazuje na G/H. Podle 1.38 a 1.46 máme Ker ϕ E G/K a (G/K)/Ker ϕ ≃ Im ϕ. Nicménˇe Ker ϕ = {gK | gH = H} = {gK | g ∈ H} = H/K, takˇze (G/K)/(H/K) ≃ G/H. D˚ usledek 1.49. Necht’ G je cyklick´ a grupa, H ≤ G, ϕ : G → G′ je grupov´ y homomorfismus ′ na. Pak H i G jsou cyklické grupy. D˚ ukaz. Podle 1.47 je G homomorfn´ım obrazem grupy Z, tedy také G′ je homomorfn´ım obrazem grupy Z, a proto G′ je cyklická. Je-li G ∼ = Z, je H izomorfn´ı podgrupˇe K v Z. Je-li K nenulová podgrupa v Z, pak K je generována sv´ ym nejmenˇs´ım prvkem 0 < n ∈ K, a tedy K = Zn ∼ = Z je nekoneˇcná cyklická a totéˇz plat´ı pro grupu H. Jinak K = {0}, tj. H = {e}. Je-li G ≃ Zn = Z/Zn pro nˇejaké n ≥ 1, pak podle 1.45 je H izomorfn´ı grupˇe K/Zn, kde K je podgrupa v Z obsahuj´ıc´ı Zn. Pak K = Zm, kde m je pˇrirozené ˇc´ıslo dˇel´ıc´ı n, tedy existuje pˇrirozené ˇc´ıslo p tak, ˇze n = m.p, a H ∼ = Zm/Zn ∼ = Zp (posledn´ı izomorfismus je dán pˇriˇrazen´ım m + Zn 7→ 1 + Zp). def.

Pozn´ amka 1.50. Necht’ H, K jsou podgrupy grupy G = (G, ⊙,−1 , e). Definujeme HK = {h ⊙ k | h ∈ H, k ∈ K}. Zˇrejmˇe HK obsahuje mnoˇziny H i K, obecnˇe ale HK nemus´ı b´ yt nosiˇcem podgrupy v G. Je tomu tak ale v následuj´ıc´ı vˇetˇe, která je základn´ım nástrojem pro zkoumán´ı ˇretˇezc˚ u podgrup v grupách (tzv. Jordan–Hölderovy teorie): Vˇ eta 1.51 (3. vˇeta o izomorfismu pro grupy). Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa, H E G a K ≤ G. Pak HK = KH je nosiˇcem nejmenˇs´ı podgrupy v G obsahuj´ıc´ı H i K, (H ∩ K) E K, a plat´ı grupov´ y izomorfismus (HK)/H ≃ K/(H ∩ K). D˚ ukaz. S Jelikoˇz H ESG, dostáváme podle 1.39, ˇze pro kaˇzdé g ∈ G je gH = Hg, a tedy HK = k∈K Hk = k∈K kH = KH. Dokáˇzeme, ˇze HK je podgrupa v G (pak je HK zˇrejmˇe nejmenˇs´ı ze vˇsech podgrup obsahuj´ıc´ıch H i K): máme e ⊙ e = e ∈ HK, a je-li (h ⊙ k) ∈ HK a (h′ ⊙ k′ ) ∈ HK, pak (h ⊙ k) ⊙ (h′ ⊙ k′ ) = h ⊙ (k ⊙ h′ ) ⊙ k′ a jelikoˇz k ⊙ h′ ∈ HK = KH, existuje h′′ ∈ H takové, ˇze

ALGEBRA I

11

k ⊙ h′ = h′′ ⊙ k, tedy (h ⊙ k) ⊙ (h′ ⊙ k′ ) = (h ⊙ h′′ ) ⊙ (k ⊙ k′ ) ∈ HK. Dále, je-li (h ⊙ k) ∈ HK, | {z } | {z } ∈H

∈K

pak (h ⊙ k)−1 ∈ HK, nebot’ (h ⊙ k)−1 = k−1 ⊙ h−1 ∈ KH = HK. Nyn´ı definujme zobrazen´ı ϕ : K → (HK)/H vztahem k 7→ kH. ϕ je grupov´ y homomor¯ k′ H = ϕ(k) ⊙ ¯ ϕ(k′ ). Jeho jádrem je fismus na HK/H nebot’ ϕ(k ⊙ k′ ) = (k ⊙ k′ )H = kH ⊙ Ker ϕ = {k ∈ K | kH = H} = {k ∈ K | k ∈ H} = K ∩ H. Tedy K ∩ H E K, a uˇzit´ım 1.46 dostáváme K/(K ∩ H) ≃ HK/H.

1.3. P˚ usoben´ı grup na mnoˇ zin´ ach. Podle Cayleyho vˇety 1.22 si lze (aˇz na izomorfismus) kaˇzdou grupu pˇredstavit jako grupu tvoˇrenou permutacemi. Tato prezentace vycház´ı z pˇriˇrazen´ı g 7→ Lg , kde Lg je levá translace urˇcená prvkem g. Je jedn´ım z pˇr´ıklad˚ u pojmu akce grupy na mnoˇzinˇe: Definice 1.52. Necht’ G je grupa a X je neprázdná mnoˇzina. Grupov´ y homomorfismus φ z grupy G do symetrické grupy S(X) naz´ yváme akc´ı (nebo p˚ usoben´ım) grupy G na mnoˇzinˇe X. Jin´ ym pˇr´ıkladem je akce grupy G na sobˇe pomoc´ı vnitˇrn´ıch automorfism˚ u: φ : G → S(G) je definováno vztahem g 7→ ( )g . Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym pˇr´ıkladem je lineárn´ı reprezentace grupy G (kde G p˚ usob´ı na vektorovém prostoru pomoc´ı jeho automorfism˚ u - viz. následuj´ıc´ı sekci). S akc´ı grupy na mnoˇzinˇe je pˇrirozenˇe spojeno nˇekolik dalˇs´ıch pojm˚ u: Definice 1.53. Necht’ G je grupa, X je neprázdná mnoˇzina a φ je akce G na X. Orbitou prvku x ∈ X vzhledem k φ rozum´ıme mnoˇzinu Ox = {(φ(g))(x) | g ∈ G} ⊆ X. Protoˇze φ je grupov´ y homomorfismus, m˚ uˇzeme na X zavést ekvivalenci ∼ vztahem x1 ∼ def

ym tˇr´ıdám ekvivalence ∼. x2 ⇐⇒ ∃ g ∈ G : x2 = φ(g)(x1 ). Orbity pak odpov´ıdaj´ı rozkladov´ Stabiliz´ atorem prvku x ∈ X vhledem k φ rozum´ıme mnoˇzinu Cx = {g ∈ G | (φ(g))(x) = x}. Protoˇze φ je grupov´ y homomorfismus, je Cx nosiˇcem podgrupy v G. V pˇr´ıpadˇe akce grupy G na sobˇe pomoc´ı lev´ ych translac´ı je orbitou libovolného prvku h ∈ G celá mnoˇzina G a jeho stabilizátorem je triviáln´ı grupa {e}. V pˇr´ıpadˇe akce grupy G na sobˇe pomoc´ı vnitˇrn´ıch automorfism˚ u je situace mnohem zaj´ımavˇejˇs´ı, orbity prvk˚ u mohou b´ yt r˚ uznˇe veliké. Tomuto pˇr´ıpadu se budeme podrobnˇeji vˇenovat dále. Nejprve ale dokáˇzeme následuj´ıc´ı obecnou vˇetu: Vˇ eta 1.54. Necht’ G je grupa, X je nepr´ azdn´ a mnoˇzina, φ je akce G na X a x ∈ X. Pak velikost orbity prvku x je rovna indexu jeho stabiliz´ atoru, tj. [G : Cx ] = |Ox |. D˚ ukaz. Definujme zobrazen´ı ϕ : ϕ : Ox → levé rozkladové tˇr´ıdy podle Cx φ(g)(x) 7→ gCx Podle 1.28 staˇc´ı dokázat, ˇze ϕ je bijekce: (1) ϕ je korektn´ı. Necht’ g, g′ ∈ G jsou taková, ˇze φ(g)(x) = φ(g′ )(x). Pak (φ(g′ −1 ) ◦ φ(g))(x) = x, odkud φ(g′ −1 ⊙ g)(x) = x, g′ −1 ⊙ g ∈ Cx , a gCx = g′ Cx . (2) ϕ je prosté. To plyne obrácen´ım pˇredchoz´ı u ´vahy: z gCx = g′ Cx naopak plyne (φ(g′ −1 )◦ ′ φ(g))(x) = x, a φ(g)(x) = φ(g )(x).

12

Jan Trlifaj

(3) ϕ je na: prob´ıhá-li g celé G, pak gCx zˇrejmˇe prob´ıhá vˇsechny levé rozkladové tˇr´ıdy G podle Cx . Jako aplikaci Vˇety 1.54 uvedeme tzv. Bursideovo lemma pro poˇcet orbit akce grupy na mnoˇzinˇe: D˚ usledek 1.55. Necht’ G je koneˇcn´ a grupa, X je nepr´ azdn´ a mnoˇzina a φ je akce G na X. Pro kaˇzdé g ∈ G oznaˇcme Fg = {x ∈ X | φ(g)(x) = x}. Pak pak poˇcet orbit akce φ na X je roven 1 X |Fg | . |G| g∈G

D˚ ukaz. ych, ˇze φ(g)(x) = x, m˚ uˇzeme vyjádˇrit dvoj´ım zp˚ usobem: P Poˇcet vˇsech dvojic (g, Px) takov´ jako g∈G |Fg | nebo jako x∈X |Cx |. Druhé vyjádˇren´ı je podle Vˇet 1.29 a 1.54 téˇz rovno P P |G| |G| x∈X [G:Cx ] = x∈X |Ox | . Tedy X 1 X 1 X 1 1 X |Fg | = = + ··· + = 1 + · · · + 1 = k, |G| |Ox | |Ox | |Ox | | {z } g∈G

x∈X

x∈R1

x∈Rk

k×

kde R1 , . . . , Rk jsou orbity akce φ na X.

Aˇz do konce této sekce se omez´ıme na akce grup na sobˇe pomoc´ı vnitˇrn´ıch automorfism˚ u, tj. φ : G → S(G) bude definováno vztahem g 7→ ()g . Zˇrejmˇe h ∈ G má v této akci jednoprvkovou orbitu právˇe kdyˇz pro kaˇzdé g ∈ G je g ⊙ h = h ⊙ g, tj. h je prvkem centra grupy G ve smyslu následuj´ıc´ı definice: Definice 1.56. Centrem grupy G rozum´ıme mnoˇzinu {h ∈ G | ∀ g ∈ G : g ⊙ h = h ⊙ g}, tj. mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u G, které komutuj´ı s kaˇzd´ ym prvkem grupy G. Centrum grupy G budeme znaˇcit Z(G). Lemma 1.57. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa. Pak Z(G) E G. −1

D˚ ukaz. Zˇrejmˇe e ∈ Z(G) a Z(G) je uzavˇrené na ⊙. Je-li g ∈ Z(G), pak g−1 ⊙h = (h−1 ⊙ g) = −1 (g ⊙ h−1 ) = h ⊙ g−1 , takˇze g−1 ∈ Z(G). Tedy Z(G) je podgrupa v G. Zb´ yvá dokázat, ˇze Z(G) je normáln´ı podgrupou v G. Necht’ g ∈ Z(G) a h ∈ G. Pak h ⊙ g ⊙ h−1 = h ⊙ h−1 ⊙ g = e ⊙ g = g, tj. h ⊙ g ⊙ h−1 ∈ Z(G), a Z(G) je invariantn´ı na vnitˇrn´ı automorfismy grupy G. Pozn´ amka 1.58. Zˇrejmˇe grupa G je komutativn´ı právˇe kdyˇz Z1 = Z(G) = G. Je-li Z(G) netriviáln´ı podgrupou v G, m˚ uˇzeme podle 1.57 vytvoˇrit faktorovou grupu G/Z(G) a urˇcit jej´ı centrum: podle 1.45 je tvaru Z2 /Z1 kde Z2 je normáln´ı podgrupa G obsahuj´ıc´ı Z1 . Je-li Z1 6= Z2 6= G, m˚ uˇzeme pokraˇcovat analogicky. Grupy, pro které existuje pˇrirozené ˇc´ıslo n > 0 takové, ˇze Zn = G se naz´ yvaj´ı nilpotentn´ı. Nejmenˇs´ı takové n se naz´ yvá stupeˇ n nilpotence grupy G a ˇrada {e} = Z0 ≤ Z1 ≤ Z2 ≤ · · · ≤ Zn = G je horn´ı centr´ aln´ı ˇrada grupy G. Komutativn´ı grupy jsou tedy právˇe grupami stupnˇe nilpotence 1. Je-li G = (G, ⊙,−1 , e) grupa, pak se jej´ı nosiˇc dá napsat jako disjunktn´ı sjednocen´ı následuj´ıc´ım S zp˚ usobem G = Z(G) ∪disj. disj. zina reprezentant˚ u alespoˇ n dvouprvkov´ ych h∈I Oh , kde I je mnoˇ orbit grupy G. Z 1.54 máme okamˇzit´ y d˚ usledek:

ALGEBRA I

D˚ usledek 1.59. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je koneˇcn´ a grupa. Pak |G| = |Z(G)|+ kde I je mnoˇzina reprezentant˚ u alespoˇ n dvouprvkov´ ych orbit grupy G.

13

P

h∈I [G

: Ch ],

Koneˇcná grupa m˚ uˇze obecnˇe m´ıt triviáln´ı centrum - to je pˇr´ıpad symetrické grupy Sn pro n ≥ 3, a téˇz kaˇzdé jednoduché koneˇcné nekomutativn´ı grupy (viz dále Pˇr´ıklad 1.70). Naopak, pro p prvoˇc´ıslo má kaˇzdá koneˇcná p-grupa netriviáln´ı centrum, a tedy je nilpotentn´ı: D˚ usledek 1.60. Necht’ p je prvoˇc´ıslo. (1) (Burnside) Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je p-grupa (tj. G je ˇra ´du |G| = pn pro nˇejaké 0 < n ∈ N). Pak |Z(G)| > 1. (2) Kaˇzd´ a koneˇcn´ a p-grupa je nilpotentn´ı. D˚ ukaz. (1) Pˇredpokládejme, ˇze |Z(G)| = 1. Z 1.57 a 1.29 plyne, ˇze pro libovolné h ∈ G, h 6= e n nh plat´ı, ˇze [G P : Ch ] | |G| = p . Pak P [G n: Ch ] = p pro nˇejaké 1 ≤ nh < n. Pak podle 1.59 n h p = 1 + h∈I [G : Ch ] = 1 + h∈I p . To je spor, protoˇze jak levá strana, tak i suma na pravé stranˇe, jsou dˇelitelné p, ale p ∤ 1. Tedy |Z(G)| > 1. (2) Plyne z (1) podle Poznámky 1.58. Definice 1.61. Souˇcinem koneˇcnˇe mnoha grup Gi = (G, ⊙i ,−1i , ei ) (1 ≤ i ≤ m) rozum´ıme grupu G1 × · · · × Gm , jej´ımˇz nosiˇcem je kartézsk´ y souˇcin nosiˇc˚ u G1 × · · · × Gm , s grupov´ ymi ′ ) = (g ⊙ g ′ , . . . , g ⊙ g ′ ), operacemi definovan´ ymi po sloˇzkách: (g1 , . . . , gm ) ⊙ (g1′ , . . . , gm m m m 1 1 1 −1 ) a e = (e , . . . , e ). (g1 , . . . , gm )−1 = (g1−1 , . . . , gm 1 m Pro kaˇzdé 1 ≤ i ≤ m je grupa Gi izomorfn´ı podgrupˇe Gi′ v G s nosiˇcem G′i tvoˇren´ ym vˇsemi ′ . Podgrupy prvky tvaru (e1 , . . . , ei−1 , gi , ei+1 , . . . , en ), kde gi ∈ Gi . Tedy také G ∼ = G1′ ×· · ·×Gm Gi′ (1 ≤ i ≤ m) spolu komutuj´ı (tj. gi′ ⊙ gj′ = gj′ ⊙ gi′ pro kaˇzdé i 6= j ≤ m, gi′ ∈ G′i a gj′ ∈ G′j ), ′ kde g ′ ∈ G′ pro a kaˇzd´ y prvek g ∈ G lze jednoznaˇcnˇe vyjádˇrit jako souˇcin g = g1′ ⊙ · · · ⊙ gm i i 1 ≤ i ≤ m. Poslednˇe zm´ınˇená vlastnost charakterizuje koneˇcné souˇciny grup: je-li G = (G, ⊙,−1 , e) grupa a Hi (1 ≤ i ≤ n) jsou jej´ı komutuj´ıc´ı podgrupy takové, ˇze kaˇzd´ y prvek g ∈ G lze jednoznaˇcnˇe vyjádˇrit jako souˇcin g = h1 ⊙ · · · ⊙ hn kde hi ∈ Hi pro kaˇzdé 1 ≤ i ≤ n, pak ϕ G∼ = H1 × · · · × Hn , kde izomorfismus ϕ je definován pˇriˇrazen´ım g 7→ (h1 , . . . , hn ). Ve speci´ aln´ım pˇr´ıpadˇe kdy p je prvoˇc´ıslo a Gi = Zp pro 1 ≤ i ≤ m je souˇcin G dokonce lineárn´ım prostorem nad tˇelesem Zp , podgrupy Gi′ (1 ≤ i ≤ m) jsou jeho nezávisl´ ymi Zp lineárn´ımi podprostory a G je souˇcinem tˇechto sv´ ych podprostor˚ u ve smyslu lineárn´ı algebry. Pˇredchoz´ı ˇretˇezec snadn´ ych u ´vah nás nyn´ı dovád´ı ke strukturn´ım v´ ysledk˚ um, které uˇz v˚ ubec nejsou zˇrejmé na prvn´ı pohled. Pro prvn´ı z nich pˇripomeˇ nme, ˇze vˇsechny grupy prvoˇc´ıselného ˇrádu jsou cyklické, a tedy komutativn´ı, viz. D˚ usledek 1.47. Vˇ eta 1.62. Necht’ G je grupa ˇra ´du p2 , kde p je prvoˇc´ıslo. Pak G je komutativn´ı, a bud’ G ≃ Zp2 nebo G ≃ Zp × Zp . D˚ ukaz. Z 1.60 v´ıme, ˇze |Z(G)| > 1. Podle Lagrangeovy vˇety 1.29 k d˚ ukazu komutativity staˇc´ı vylouˇcit moˇznost, ˇze |Z(G)| = p. Pokud ale |Z(G)| = p, je Z(G) cyklická grupa ˇrádu p, a stejnˇe tak i G/Z(G). Uvaˇzujme prvky h, z ∈ G takové, ˇze e 6= z ∈ Z(G) a h ∈ / Z(G). Pak pro kaˇzdé g ∈ G existuje m < p tak, ˇze gZ(G) = hm Z(G), a tedy pro kaˇzdé g ∈ G existuj´ı m, n < p tak, ˇze (hm )−1 ⊙ g =

14

Jan Trlifaj ′

′

z n , tj. g = z n ⊙ hm . Pro libovolná g, g′ ∈ G máme g = z n ⊙ hm , g′ = z n ⊙ hm , odkud ′ ′ ′ ′ ′ ′ g ⊙ g′ = (z n ⊙ hm ) ⊙ (z n ⊙ hm ) = z n ⊙ (hm ⊙ z n ) ⊙ hm = z n+n ⊙ hm+m . Podobnˇe ′ ′ g′ ⊙ g = z n+n ⊙ hm+m , a G je tedy komutativn´ı. To je spor s pˇredpokladem, ˇze |Z(G)| = p. Pokud G obsahuje prvek ˇrádu p2 , je G ≃ Zp2 . Pokud maj´ı vˇsechny prvky e 6= g ∈ G ˇrád p, je G lineárn´ım prostorem dimenze 2 nad tˇelesem Zp . Libovoln´ y rozklad G na souˇcin jednodimenzionáln´ıch podprostor˚ u pak indukuje izomorfismus G ≃ Zp × Zp . Pozn´ amka 1.63. Grupy G ˇrádu p3 , kde p je prvoˇc´ıslo, uˇz komutativn´ı b´ yt nemusej´ı. Pro dané p jich existuje aˇz na izomorfismus právˇe pˇet. Tˇri z nich jsou komutativn´ı: Zp3 , Zp2 × Zp a Zp × Zp × Zp , a dvˇe nekomutativn´ı: Pro p = 2 je to dihedráln´ı grupa ∆4 (se dvˇema generátory a, b, splˇ nuj´ıc´ımi definuj´ıc´ı relace a4 = 1, b2 = 1 a bab = a−1 ) a grupa kvaternion˚ u Q8 (se dvˇema generátory a, b, splˇ nuj´ıc´ımi definuj´ıc´ı relace a4 = 1, b2 = a2 a b−1 ab = a−1 ). Grupa Q8 je izomorfn´ı podgrupˇe multiplikativn´ı grupy tˇelesa kvaternion˚ u H sestávaj´ıc´ı z matic ±1, ±i, ±j, ±k (viz dále Pˇr´ıklad 2.5(4)). 2 Pro p > 2 je to grupa se dvˇema generátory a, b, splˇ nuj´ıc´ımi definuj´ıc´ı relace ap = 1, bp = 1 a b−1 ab = a1+p , a grupa se tˇremi generátory a, b, c, splˇ nuj´ıc´ımi definuj´ıc´ı relace p p p −1 −1 −1 −1 −1 −1 a = b = c = 1, a b ab = c a a c ac = b c bc = 1. Podobnˇe obecnˇe nejsou komutativn´ı ani grupy ˇrádu p.q kde p 6= q jsou prvoˇc´ısla - nejjednoduˇs´ım pˇr´ıkladem je grupa S3 . Následuj´ıc´ı vˇeta o struktuˇre koneˇcn´ ych komutativn´ıch grup je známa uˇz od roku 1878, kdy ji publikovali Frobenius a Stickelberger. Jej´ı d˚ ukaz rozdˇel´ıme do dvou ˇcást´ı: prvn´ı umoˇzn´ı rozklad grupy na souˇcin tzv. p–primárn´ıch komponent, druhá dá u ´pln´ y popis tˇechto komponent. Lemma 1.64. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je koneˇcn´ a komutativn´ı grupa ˇra ´du n = pk11 . . . pkmm kde pi jsou prvoˇc´ısla a ki > 0 pro kaˇzdé 1 ≤ i ≤ m. Pro 1 ≤ i ≤ m poloˇzme Gi = {g ∈ G | ∃l ≥ 0 : o(g) = pli }. Pak Gi je nosiˇcem podgrupy v G (tzv. pi –primárn´ı komponenty grupy G) a existuje grupov´ y izomorfismus G ∼ = G1 × · · · × Gm . D˚ ukaz. To, ˇze Gi ≤ G je zˇrejmé z definice ˇrádu prvku v grupˇe 1.31. Protoˇze G je komutativn´ı, zb´ yvá podle 1.61 jen dokázat, ˇze kaˇzd´ y prvek g ∈ G lze jednoznaˇcnˇe vyjádˇrit ve tvaru g = g1 ⊙ · · · ⊙ gm kde gi ∈ Gi pro 1 ≤ i ≤ m. Existence: Podle 1.29 máme o(g) = pl11 . . . plmm kde li ≤ ki pro 1 ≤ i ≤ m. Poloˇzme li−1 li+1 qi = pl11 . . . pi−1 . Protoˇze ˇc´ısla qi (1 ≤ i ≤ m) jsou nesoudˇelná, existuj´ı celá ˇc´ısla pi+1 . . . plmmP zi (1 ≤ i ≤ m) taková, ˇze 1≤i≤m zi qi = 1. Poloˇzme gi = gzi qi . Zˇrejmˇe gqi ∈ Gi , takˇze také

P

gi ∈ Gi , a plat´ı g1 ⊙ · · · ⊙ gm = g 1≤i≤m zi qi = g. Jednoznaˇcnost zˇrejmˇe staˇc´ı dokázat jen pro g = e. Necht’ e = g1 ⊙g2 ⊙· · · ⊙gm je netriviáln´ı vyjádˇren´ı s minimáln´ım poˇctem, r, index˚ u 1 ≤ i ≤ m takov´ ych, ˇze gi 6= ei . Zˇrejmˇe r ≥ 2. l ’ Necht napˇr´ıklad g1 6= e1 , tj. o(g) = p1 > 1. Bylo-li i 6= 1 takové, ˇze ei 6= gi ∈ Gi , pak také pl

pl

pl

gi 1 6= ei , a tedy vyjádˇren´ı e = e1 ⊙ g2 1 ⊙ · · · ⊙ gm1 je netriviáln´ım vyjádˇren´ım e, ve kterém je poˇcet index˚ u 1 ≤ i ≤ m takov´ ych, ˇze gi 6= ei , roven r − 1, ve sporu s minimalitou r. Lemma 1.65. Necht’ p je prvoˇc´ıslo, m > 0 a G = (G, ⊙,−1 , e) je komutativn´ı grupa, jej´ıˇz kaˇzd´ y prvek m´ a ˇra ´d pl pro nˇejaké l ≤ m. Necht’ g ∈ G je maxim´ aln´ıho ˇra ´du. Potom existuje podgrupa H v G takov´ a, ˇze G ∼ hgi × H. = D˚ ukaz. M˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze o(g) = pm . Podle Zornova lemmatu existuje podgrupa H ≤ G taková, ˇze H ∩ hgi = {e} a H je maximáln´ı s touto vlastnost´ı, tj. H ′ ∩ hgi = 6 {e} pro

ALGEBRA I

15

kaˇzdou podgrupu H ( H ′ ≤ G. Zb´ yvá dokázat, ˇze nejmenˇs´ı podgrupa G obsahuj´ıc´ı g i H je G, tj. hgi H = G. (Pak lze kaˇzd´ y prvek g′ ∈ G jednoznaˇcnˇe rozloˇzit na souˇcin g′ = gn ⊙ h pro nˇejaké pˇrirozené n a h ∈ H, a tedy G ∼ = hgi × H podle 1.61.) Pˇredpokládejme, ˇze existuje g1 ∈ G \ hgi H. Protoˇze ˇrád g1 je mocninou p, m˚ uˇzeme téˇz pˇredpokládat, ˇze (g1 )p = gn ⊙ h pro nˇejaké n pˇrirozené a h ∈ H (jinak nahrad´ıme g1 prvkem k k g1p kde k je nejvˇetˇs´ı takové, ˇze g1p ∈ / hgi H). Pˇritom n > 0, jinak by volba H ′ = hg1 i H dala H ( H ′ a H ′ ∩ hgi = {e}, ve sporu s maximalitou H (pokud by totiˇz g1k ⊙ h = gr kde p nedˇel´ı k, pak by existovala cel´ a ˇc´ısla a, b taková, ˇze a.k + b.p = 1, a g1a.k ⊙ ha = ga.r , odkud g1 = g1a.k+b.p ∈ hgi H). m−1 m−1 m−1 m−1 m . = e = hp , a protoˇze H ∩ hgi = {e}, také (gn )p ⊙ hp Dále e = (g1 )p = (gn )p Ale o(g) = pm , takˇze n = pn1 pro nˇejaké pˇrirozené ˇc´ıslo n1 > 0. Oznaˇcme g2 = g−n1 ⊙ g1 . Pak (g2 )p = g−n ⊙ gn ⊙ h = h ∈ H, ale g2 ∈ / hgi H protoˇze g1 ∈ / hgi H. Poloˇzme H ′ = hg2 i H. Pak opˇet H ( H ′ a H ′ ∩ hgi = {e}, ve sporu s maximalitou podgrupy H. T´ım je dokáz´ ano, ˇze G = hgi H. Vˇ eta 1.66 (Frobenius-Stickelberger). Kaˇzd´ a koneˇcn´ a komutativn´ı grupa G = 6 {e} je souˇcinem koneˇcnˇe mnoha cyklick´ ych grup, z nichˇz kaˇzd´ a m´ a ˇra ´d, kter´ y je mocninou nˇejakého prvoˇc´ısla. D˚ ukaz. Podle 1.64 je G izomorfn´ı souˇcinu sv´ ych primárn´ıch komponent: G ∼ = G1 × · · · × Gm . M˚ uˇzeme tedy pˇredpokládat, ˇze G = G1 je rovna své p–primárn´ı komponentˇe. Podle 1.65 máme G∼ = C ×G ′ , kde C je cyklická podgrupa v G maximáln´ıho ˇrádu, pm , kde m > 0. Pokud G ′ 6= {e}, pouˇzit´ı 1.65 pro G ′ dává G ′ ∼ = C ′ × G ′′ , kde C ′ je cyklická podgrupa v G ′ maximáln´ıho ˇrádu, ′ pm , kde 0 < m′ ≤ m. Protoˇze G je koneˇcná a ˇrády grup G, G ′ , G ′′ , . . . tvoˇr´ı ostˇre klesaj´ıc´ı posloupnost, dává tento postup po koneˇcném poˇctu krok˚ u poˇzadovan´ y rozklad grupy G na souˇcin cyklick´ ych grup. Pozn´ amka 1.67. Z 1.47 a 1.66 plyne, ˇze pro kaˇzdou netriviáln´ı koneˇcnou komutativn´ı grupu G existuje izomorfismus (∗) G ∼ = Zpn1 1 × · · · × Zpnk k

kde k > 0, pi jsou (ne nutnˇe r˚ uzná) prvoˇc´ısla a 0 < ni (ne nutnˇe r˚ uzná) pˇrirozená ˇc´ısla pro 1 ≤ i ≤ k. Z Krull-Schmidtovy vˇety pak plyne, ˇze kaˇzdé vyjádˇren´ı grupy G jako souˇcinu cyklick´ ych grup ˇrád˚ u mocnin prvoˇc´ısel má právˇe k ˇclen˚ u, a nav´ıc existuje bijekce mnoˇziny vˇsech ˇclen˚ u tohoto vyjadˇren´ı na mnoˇzinu vˇsech ˇclen˚ u vyjadˇren´ı (∗) taková, ˇze odpov´ıdaj´ıc´ı si ˇcleny jsou izomorfn´ımi grupami. Lemma 1.65 jsme zformulovali pro obecnˇe nekoneˇcné komutativn´ı grupy, jejichˇz vˇsechny prvky maj´ı ˇrád tvaru pl (l ≤ m). Analogii Frobenius–Stickelbergerovy vˇety lze totiˇz dokázat i pro nekoneˇcné komutativn´ı grupy, které jsou omezené (tj. vˇsechny jejich prvky maj´ı ˇrád ≤ n pro pevnˇe dané pˇrirozené ˇc´ıslo n, nebo-li jsou to Zn –moduly ve smyslu §2.3). I v tomto pˇr´ıpadˇe jsou vˇsechny rozklady G jednoznaˇcnˇe urˇcené podobnˇe jako v pˇredchoz´ım paragrafu, jde tu ovˇsem o rozklady na nekoneˇcné kosouˇciny ve smyslu Pˇr´ıkladu 2.70.

1.4. Maticov´ e grupy a line´ arn´ı reprezentace grup. D˚ uleˇzitou ˇcást´ı teorie grup je zkoumán´ı lineárn´ıch akc´ı grup na vektorov´ ych prostorech koneˇcné dimenze. Toto zkoumán´ı pˇrirozenˇe spojuje abstraktn´ı algebru s linearn´ı algebrou a geometri´ı. Protoˇze kaˇzd´ y vektorov´ y prostor koneˇcné dimenze n nad tˇelesem K je izomorfn´ı aritmetickému prostoru K n vˇsech n-tic prvk˚ u tˇelesa K, lze toto zkoumán´ı redukovat na lineárn´ı akce grup na prostoru K n ,

16

Jan Trlifaj

tj. na grupové homomorfismy grup do obecné lineárn´ı grupy GL(n, K) ve smyslu následuj´ıc´ı definice: Definice 1.68. Necht’ 0 < n ∈ N a K je komutativn´ı tˇeleso. Oznaˇcme GL(n, K) mnoˇzinu vˇsech regulárn´ıch ˇctvercov´ ych matic stupnˇe n nad K. Na GL(n, K) definujme strukturu grupy následuj´ıc´ım zp˚ usobem (1) e = En (jednotková matice stupnˇe n); (2) A ⊙ B = A × B, kde × znaˇc´ı násoben´ı matic; (3) A−1 = inverzn´ı matice k A. Grupu GL(n, K) naz´ yváme obecnou line´ arn´ı grupou stupnˇe n nad K. Z lineárn´ı algebry v´ıme, ˇze GL(n, K) je izomorfn´ı grupˇe vˇsech automorfism˚ u vektorového prostoru K n , a také známe pojem determinantu matice. Pro matice z GL(n, K) dostáváme zobrazen´ı det : GL(n, K) → K ∗ , A 7→ det A, kde K∗ je multiplikativn´ı grupa vˇsech nenulov´ ych ∗ prvk˚ u tˇelesa K. Zobrazen´ı det je grupov´ ym homomorfismem grupy GL(n, K) na K nebot’ det(A × B) = det A · det B. def.

Definice 1.69. Jádro homomorfismu det, Ker det = {A ∈ GL(n, K) | det A = 1} = SL(n, K) je podle 1.38 normáln´ı podgrupou v GL(n, K). Tuto grupu znaˇc´ımée SL(n, K) a naz´ yváme speci´ aln´ı line´ arn´ı grupou stupnˇe n nad K. def.

Dále definujeme P SL(n, K) = SL(n, K)/Z(SL(n, K)), kde Z(SL(n, K)) znaˇc´ı centrum grupy SL(n, K). Grupu PSL(n, K) naz´ yváme projektivn´ı speci´ aln´ı line´ arn´ı grupou stupnˇe n nad K. Grupa G = (G, ⊙,−1 , e) se naz´ yvá jednoduch´ a , pokud triviáln´ı podgrupy G a {e} jsou jej´ı jediné normáln´ı podgrupy. Pˇr´ıklad 1.70. Základn´ım pˇr´ıkladem jednoduché koneˇcné grupy je cyklická grupa Zp , kde p je prvoˇc´ıslo (viz. 1.31). Z 1.47 snadno plyne, ˇze cyklické grupy prvoˇc´ıselného ˇrádu jsou jedin´ ymi komutativn´ımi jednoduch´ ymi grupami. Dalˇs´ımi pˇr´ıklady jednoduch´ ych koneˇcn´ ych grup jsou alternuj´ıc´ı grupa An pro n ≥ 5 a projektivn´ı speci´ aln´ı lineárn´ı grupa PSL(n, K) pro K koneˇcné tˇeleso a n > 1 (s v´ yjimkou pˇr´ıpadu PSL(2, Z2 ) a PSL(2, Z3 )) - tyto dva netriviáln´ı v´ ysledky pocházej´ı od Galoise resp. Jordana a Dixona. Jednoduchost alternuj´ıc´ı grupy An pro n ≥ 5 je kl´ıˇcová pro d˚ ukaz neexistence obecného ˇreˇsen´ı rovnice patého a vyˇsˇs´ıho stupnˇe ,,v radikálech”(tj. pomoc´ı koneˇcného poˇctu bˇeˇzn´ ych algebraick´ ych operac´ı s koeficienty rovnice). V roce 1981 bylo Gorensteinem oznámeno dokonˇcen´ı klasifikace vˇsech jednoduch´ ych koneˇcn´ ych grup – kromˇe v´ yˇse zm´ınˇen´ ych existuje jeˇstˇe nˇekolik dalˇs´ıch nekoneˇcn´ ych ˇrad tˇechto grup a 26 jednotliv´ ych (tzv. sporadick´ ych) grup. Publikace u ´plného d˚ ukazu této klasifikace byla ale dokonˇcena teprve nedávno, dvˇema monografiemi Aschbachera a Smithe vydan´ ymi AMS roku 2004. Definice 1.71. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa, K je komutativn´ı tˇeleso a 1 ≤ n ∈ N. Reprezentac´ı grupy G stupnˇe n nad K rozum´ıme grupov´ y homomorfismus ϕ : G → GL(n, K). ϕ je vˇern´ a reprezentace, pokud Ker ϕ = {e}. Pˇr´ıklad 1.72. Pˇr´ıkladem reprezentace grupy GL(n, K) stupnˇe 1 nad K je grupov´ y homomor∗ fismus det : GL(n, K) → K = GL(1, K). Tato reprezentace je ale vˇerná jen pro n = 1. Je-li G podgrupou aditivn´ı grupy (K, +, −, 0) nˇejakého komutativn´ıho tˇelesa K, je pˇr´ıkladem vˇerné reprezentace grupy G stupnˇe n ≥ 2 nad K grupov´ y homomorfismus ϕ : G → GL(n, K) definovan´ y vztahem

ALGEBRA I

17



 1 0 ... 0  0 1 . . . 0   g 7→  .. ..  . . . . . g 0 ... 1

Pozn´ amka 1.73. Z lineárn´ı algebry známe pojem stopy matice: stopa matice A = (aij )n×n , A ∈ def. P GL(n, K) se znaˇc´ı tr (A) a je definována jako tr (A) = i≤n aii . Dvˇe matice A, B z GL(n, K) jsou podle 1.35 konjugované právˇe tehdy, kdyˇz existuje vnitˇrn´ı automorfismus (urˇcen´ y nˇekter´ ym prvkem z GL(n, K)), kter´ y pˇrevád´ı jednu matici na druhou. To nastává právˇe tehdy, kdyˇz existuje matice C ∈ GL(n, K) : A = C × B × C −1, neboli A ∼ B (tj. matice A je podobná matici B). Podle 1.53 orbity prvk˚ u (pˇri akci GL(n, K) na sobˇe pomoc´ı vnitˇrn´ıch automorfism˚ u) odpov´ıdaj´ı tˇr´ıdám ekvivalence ∼ (podobnosti matic = konjugovanosti v GL(n, K)). Matice s jednoprvkov´ ymi orbitami (tedy matice z centra GL(n, K)) jsou právˇe diagonáln´ı matice s 0 6= aii = ajj pro vˇsechna i, j ≤ n. (Je-li K algebraicky uzavˇrené tˇeleso, obsahuje kaˇzdá orbita právˇe jednu matici v Jordanovˇe kanonickém tvaru.) Z lineárn´ı algebry také v´P ıme,P ˇze podobnéP matice ı, P maj´ı tutéˇz stopu: protoˇze K je komutativn´ −1 plat´ı dokonce tr (A×B) = i j aij bji = j i bji aij = tr (B×A), a tedy tr (C×A×C ) = tr (A) pro kaˇzdou matici C ∈ GL(n, K). Definice 1.74. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa a ϕ : G → GL(n, K) je jej´ı reprezentace stupnˇe n nad K. Zobrazen´ı χϕ : G → K definované g 7→ tr (ϕ(g)) se naz´ yvá charakterem reprezentace ϕ. Definice 1.75. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa, ϕ : G → GL(n, K) a ϕ′ : G → GL(n, K) jsou jej´ı reprezentace stupnˇe n nad K. Pak ϕ je ekvivalentn´ı s ϕ′ pokud existuje C ∈ GL(n, K) taková, ˇze pro kaˇzdé g ∈ G je ϕ′ (g) = C × ϕ(g) × C −1 Pozn´ amka 1.76. Pˇri geometrickém pohledu, kdy m´ısto GL(n, K) uvaˇzujeme grupu A vˇsech automorfism˚ u vektorového prostoru V dimenze n nad K a ’geometrickou reprezentaci’ definujeme jako grupov´ y homomorfismus G do A, odpov´ıdaj´ı ekvivalentn´ı reprezentace r˚ uzn´ ym aritmetizac´ım (volbám K-báze ve V indukuj´ıc´ım izomorfismus GL(n, K) na A) téˇze ’geometrické reprezentace’. Lemma 1.77. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa, ϕ : G → GL(n, K) je reprezentace grupy G stupnˇe n nad K a g, g′ jsou dva konjugované prvky z G. Pak χϕ (g) = χϕ (g′ ). D˚ ukaz. Z pˇredpoklad˚ u v´ıme, ˇze existuje h ∈ G takové, ˇze g′ = h ⊙ g ⊙ h−1 . Tedy ϕ(g′ ) = −1 ϕ(h)×ϕ(g)×ϕ(h ), a matice ϕ(g) a ϕ(g′ ) jsou podobné. Z 1.73 a z toho, ˇze χϕ (g) = tr (ϕ(g)) plyne χϕ (g) = χϕ (g′ ). Pˇredchoz´ı lemma se nˇekdy struˇcnˇe formuluje vˇetou, ˇze charakter reprezentace je ,,tˇr´ıdová funkce”(,,tˇr´ıdou”se zde rozum´ı tˇr´ıda ekvivalence b´ yt konjugován). Lemma 1.78. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa, ϕ, ϕ′ jsou dvˇe ekvivalentn´ı reprezentace grupy G stupnˇe n nad K. Pak χϕ = χϕ′ . D˚ ukaz. Podle pˇredpokladu existuje C ∈ GL(n, K) takové, ˇze pro kaˇzdé g ∈ G je ϕ′ (g) = C × ϕ(g) × C −1 . Tedy pro kaˇzdé g ∈ G jsou ϕ(g) a ϕ(g′ ) podobné. Z 1.73 a 1.74 nakonec plyne, ˇze pro kaˇzdé g ∈ G je χϕ (g) = χϕ′ (g).

18

Jan Trlifaj

Pozn´ amka 1.79. Charakter reprezentace ϕ nahrazuje matici ϕ(g) jej´ı stopou, a tedy ztrác´ı mnoho informac´ı o této matici. Podle 1.78 nerozliˇs´ı ekvivalentn´ı reprezentace. V klasickém pˇr´ıpadˇe reprezentac´ı koneˇcn´ ych grup nad tˇelesem, jehoˇz charakteristika nedˇel´ı ˇrád grupy, lze vˇsak pˇrekvapivˇe 1.78 ˇc´ asteˇcnˇe obr´ atit: charakter ireducibiln´ı reprezentace urˇcuje tuto reprezentaci aˇz na ekvivalenci. To je d˚ uvodem, proˇc maj´ı charaktery reprezentac´ı v klasické teorii centráln´ı roli. Nyn´ı pouˇzijeme Cayleyho vˇetu ke konstrukci tzv. regulárn´ı reprezentace koneˇcné grupy: Vˇ eta 1.80 (Konstrukce regulárn´ı reprezentace). Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je koneˇcn´ a grupa, |G| = n, K je komutativn´ı tˇeleso. Potom existuje vˇern´ a reprezentace grupy G stupnˇe n nad K. D˚ ukaz. Z vˇety 1.22 a jej´ıho d˚ ukazu v´ıme, ˇze ϕ : ϕ : G → S(G) g 7→ Lg je prost´ y grupov´ y homomorfismus. Zvolme bijekci (oˇc´ıslován´ı) b : G → {1, . . . , n}, pak ξb : ξb : S(G) → Sn f

7→ b ◦ f ◦ b−1

je grupov´ y izomorfismus. Zvolme dále zobrazen´ı ψ : ψ : Sn → GL(n, K) p 7→ permutaˇcn´ı matice p kde permutaˇcn´ı matice p je matice A = (aij )n×n , která má na m´ıstˇe aij hodnotu 1 pokud p(j) = i, jinak aij = 0. Jelikoˇz ψ(p ◦ p′ ) = ψ(p) × ψ(p′ ) pro kaˇzdé dvˇe permutace p, p′ ∈ Sn , je ψ grupov´ y homomorfismus, jehoˇz jádrem je Ker ψ = {p | ψ(p) = En } = idSn . Tedy ψ je prost´ y grupov´ y homomorfismus a zobrazen´ı ϕb = ψ ◦ ξb ◦ ϕ je vˇernou reprezentac´ı grupy G stupnˇe n nad K. Definice 1.81. Homomorfismus ϕb : G → GL(n, K) sestrojen´ y v d˚ ukazu 1.80 se naz´ yvá regul´ arn´ı reprezentace grupy G stupnˇe n nad K. Lemma 1.82. Necht’ b, b′ : G → {1, . . . , n} jsou dvˇe bijekce z d˚ ukazu vˇety 1.80. Pak reprezentace ϕb a ϕb′ jsou ekvivalentn´ı. D˚ ukaz. Je tˇreba dokázat, ˇze existuje C ∈ GL(n, K) taková, ˇze pro kaˇzdé g ∈ G je ϕb′ (g) = C × ϕb (g) × C −1 . Z 1.80 v´ıme, ˇze ϕb (g) = ψ(b ◦ Lg ◦ b−1 ) a ϕb′ (g) = ψ(b′ ◦ Lg ◦ (b′ )−1 ). Poloˇzme C = ψ(b′ ◦ b−1 ). Pak C ∈ GL(n, K), a pro kaˇzdé g ∈ G je C × ϕb (g) × C −1 = ψ(b′ ◦ b−1 ) × ψ(b ◦ Lg ◦ b−1 ) × (ψ(b′ ◦ b−1 )) −1

= ψ(b′ ◦ b−1 ◦ b ◦ Lg ◦ b−1 ◦ b ◦ (b′ )

−1

) = ψ(b′ ◦ Lg ◦ (b′ )

−1

=

) = ϕb′ (g).

Pozn´ amka 1.83. Pˇredchoz´ı lemma v podstatˇe ˇr´ıká, ˇze nezáleˇz´ı na tom, jakou bijekci si v d˚ ukazu vˇety 1.80 zvol´ıme. Vˇzdy dostaneme, aˇz na ekvivalenci, tutéˇz regulárn´ı reprezentaci grupy G stupnˇe n nad K.

ALGEBRA I

19

Pod´ıvejme se nakonec, jak vypadá charakter regulárn´ı reprezentace: Lemma 1.84. Necht’ G = (G, ⊙,−1 , e) je grupa a ϕb je jej´ı regul´ arn´ı reprezentace stupnˇe n nad K. Pak pro jej´ı charakter plat´ı 0, g = 6 e χϕb (g) = n, g = e D˚ ukaz. Pˇredevˇs´ım, pro libovolnou reprezentaci ϕ plat´ı ϕ(e) = En , a tedy χϕb (e) = tr (En ) = n (n zde znaˇc´ı n-krát seˇctenou jednotku tˇelesa K). Pro g 6= e jsou na hlavn´ı diagonále matice ψ(b ◦ Lg ◦ b−1 ) vesmˇes nuly: jinak by totiˇz permutace b ⊙ Lg ⊙ b−1 mˇela alespoˇ n jeden pevn´ y bod, a tedy levá translace Lg by mˇela alespoˇ n jeden pevn´ y bod. Ale Lg (h) = h implikuje g = e, spor. T´ım sp´ıˇse je stopa matice ψ(b ◦ Lg ◦ b−1 ) nulová, tj. χϕb (g) = 0. Pozn´ amka 1.85. Klasická teorie reprezentac´ı koneˇcn´ ych grup (nad tˇelesem, jehoˇz charakteristika nedˇel´ı ˇrád grupy) má tˇeˇziˇstˇe v teorii charakter˚ u. Reprezentace nad tˇelesy koneˇcné charakteristiky dˇel´ıc´ı ˇrad grupy (tzv. modulárn´ı reprezentace) vˇsak vyˇzaduj´ı jin´ y pˇr´ıstup. V pˇrednáˇsce Algebra II uvid´ıme, ˇze reprezentace grupy lze vˇzdy ekvivalentnˇe studovat jako moduly nad jej´ı grupovou algebrou. V klasickém pˇr´ıpadˇe je podle Maschkeho vˇety grupová algebra totálnˇe rozloˇzitelná, a tedy staˇc´ı popsat reprezentanty tˇr´ıd ekvivalence ireducibiln´ıch sˇc´ıtanc˚ u regulárn´ı reprezentace. Tˇech je koneˇcnˇe mnoho, a kaˇzdá reprezentace je ekvivalentn´ı direktn´ımu souˇctu jejich kopi´ı. Poˇcet tˇechto kopi´ı je pˇritom u ´pln´ ym invariantem (tj. urˇcuje kaˇzdou reprezentaci aˇz na ekvivalenci). V modulárn´ım pˇr´ıpadˇe je situace podstatnˇe sloˇzitˇejˇs´ı: grupová algebra je jen tzv. symetrickou algebrou. Teorie modulárn´ıch reprezentac´ı je tak vlastnˇe ˇcást´ı teorie modul˚ u nad symetrick´ ymi koneˇcnˇe dimenzionáln´ımi algebrami ve smyslu následuj´ıc´ı kapitoly. 2. Okruhy a moduly 2.1. Okruhy. Pojem okruhu poskytuje obecn´ y rámec pro nˇekolik kl´ıˇcov´ ych algebraick´ ych pojm˚ u: ˇc´ısla, polynomy a matice. Definice 2.1. R = (R, +, −, 0, ., 1), kde 0 6= 1 se naz´ yvá okruh (asociativn´ı, s jednotkov´ ym prvkem), pokud (1) (R, +, −, 0) je komutativn´ı grupa; (2) (R, ., 1) je monoid; (3) Operace · je distributivn´ı z obou stran k +, tedy pro vˇsechna r1 , r2 , r3 ∈ R plat´ı (r1 + r2 ).r3 = r1 .r3 + r2 .r3 r3 .(r1 + r2 ) = r3 .r1 + r3 .r2 Pro kaˇzdé r ∈ R plat´ı, ˇze r.0 + r.0 = r.(0 + 0) = r.0, a tedy r.0 = 0, a podobnˇe 0.r = 0. ˇ Casto budeme m´ısto r1 .r2 psát jen r1 r2 . Definice 2.2. Necht’ R = (R, +, −, 0, ·, 1) je okruh. Centrem okruhu R naz´ yváme mnoˇzinu {r ∈ R | ∀s ∈ R : rs = sr}. Znaˇcen´ı: Cen R. Okruh R je komutativn´ı pokud Cen R = R. D˚ uleˇzit´ ymi pˇr´ıpady okruh˚ u jsou tˇelesa, známá z lineárn´ı algebry:

20

Jan Trlifaj

Definice 2.3. Necht’ R = (R, +, −, 0, ·, 1) je okruh, pak R je tˇeleso, pokud (R \ {0}, .) je kvazigrupa (tj. (R \ {0}, .,−1 , 1) je grupa). Definice 2.4. Necht’ K je komutativn´ı tˇeleso a R = (R, +, −, 0, ., 1) je okruh. Potom R je K-algebra, pokud plat´ı (1) R je vektorov´ ym prostorem nad K, jehoˇz aditivn´ı grupou je (R, +, −, 0), a (2) pro kaˇzdá r, s ∈ R a k ∈ K plat´ı (r.s)k = r.(sk) = (rk).s (tj. zobrazen´ı (r, s) 7→ r.s je K-bilineárn´ı). Ekvivalentnˇe, K-algebra je okruh R obsahuj´ıc´ı ve svém centru kopii tˇelesa K (pˇriˇrazen´ım k 7→ 1k). Pˇr´ıklad 2.5. S aditivn´ımi a multiplikativn´ımi grupami vˇetˇsiny následuj´ıc´ıch pˇr´ıklad˚ u jsme se uˇz setkali (viz. 1.12): (1) R = (Z, +, −, 0, ., 1), okruh vˇsech cel´ ych ˇc´ısel s obvykl´ ymi operacemi. (2) R = Zn = ({0, . . . , n − 1}, +n , −n , 0n , .n , 1n ), okruh vˇsech zbytk˚ u cel´ ych ˇc´ısel modulo n s operacemi sˇc´ıt´ an´ı, násoben´ı a vzet´ı opaˇcného prvku modulo n, s nulou 0n = 0 a s jednotkou 1n = 1. . Zn je (koneˇcn´ ym) tˇelesem právˇe kdyˇz n je prvoˇc´ıslo. (Existuj´ı i jiné pˇr´ıklady koneˇcn´ ych tˇeles. Podle Wedderburnovy vˇety jsou vˇsechna koneˇcná tˇelesa komutativn´ı; jejich strukturu u ´plnˇe pop´ıˇseme v navazuj´ıc´ım textu Algebra II). (3) Pˇr´ıkladem komutativn´ıch tˇeles jsou tˇelesa vˇsech racionáln´ıch, reáln´ ych a komplexn´ıch ˇc´ısel s obvykl´ ymi operacemi, znaˇcená po ˇradˇe Q, R, C. Kaˇzdé z tˇechto tˇeles je zároveˇ n algebrou nad kaˇzd´ ym ze sv´ ych podtˇeles, napˇr. C je R-algebrou dimenze dim CR = 2. (4) Mnoˇzina vˇsech kvaternion˚ u u v H= | u, v ∈ C ⊆ M2 (C) −¯ v u ¯ s obvykl´ ymi operacemi pro matice je pˇr´ıkladem nekomutativn´ıho tˇelesa. H obsahuje kopii C jako podtˇeleso (je tvoˇrena maticemi nulov´ ymi mimo alu).01Jako hlavn´ı i0diagon´ 10 R-algebra má H dimenzi 4, R–bázi H tvoˇr´ı matice 1 = 01 , i = 0−i , j = −10 a k = 0i i0 . ˇ Ctenáˇr, oˇcekávaj´ıc´ı nyn´ı pˇr´ıklady tˇeles vyˇsˇs´ıch koneˇcn´ ych dimenz´ı nad R, bude zklamán: podle Frobeniovy vˇety jsou R, C a H aˇz na izomorfismus jedin´ ymi koneˇcnˇe dimenzionáln´ımi R-algebrami bez netriviáln´ıch dˇelitel˚ u nuly. (5) Necht’ K je komutativn´ı tˇeleso, 0 < n ∈ N, pak R = Mn (K) = (Mn (K), +, −, (0)n×n , ×, En ) je okruh vˇsech ˇctvercov´ ych matic stupnˇe n nad K. Tento okruh je zároveˇ n K-algebrou dimenze dim RK = n2 . Pro n ≥ 2 nen´ı Mn (K) komutativn´ı. (6) Necht’ K je komutativn´ı tˇeleso, 1 < n ∈ N, pak R = UTn (K) = (U Tn (K), +, −, (0)n×n , ×, En ) je okruh vˇsech horn´ıch troj´ uheln´ıkov´ ych matic stupnˇe n nad K. Zde U Tn (K) znaˇc´ı mnoˇzinu vˇsech matic z Mn (K), které jsou nulové vˇsude pod hlavn´ı diagonálou. U Tn (K) je K-algebrou dimenze dim RK = n(n + 1)/2, která nen´ı komutativn´ı. (7) Necht’ K je komutativn´ı tˇeleso. Pak R = (K[x], +, −, 0, ., 1) je okruh polynom˚ u jedné neurˇcité x nad K. Tento okruh je komutativn´ı; je K-algebrou nekoneˇcné dimenze dim RK = ω (K-báz´ı této algebry je napˇr´ıklad mnoˇzina {xn | n ∈ N0 }). Podobnˇe lze definovat okruh polynom˚ u jedné neurˇcité nad libovoln´ ym okruhem S: R = (S[x], +, −, 0, ., 1). Indukc´ı tak m˚ uˇzeme definovat okruh polynom˚ u koneˇcnˇe mnoha komutuj´ıc´ıch neurˇcit´ ych x1 , . . . , xn nad komutativn´ım tˇelesem K: R = K[x1 , . . . , xn ] = K[x1 , . . . , xn−1 ][xn ].

ALGEBRA I

21

Pozn´ amka 2.6. Okruh polynom˚ u je speciáln´ım pˇr´ıpadem obecnˇejˇs´ı konstrukce tzv. monoidového okruhu, RG, monoidu G a okruhu R (kdy R = K a G – voln´ y komutativn´ı monoid). Jin´ y speciáln´ı pˇr´ıpad, kdy G je grupa a R = K, dává d˚ uleˇzit´ y pojem grupové algebry grupy G (viz. Poznámku 1.85). Tˇemto pojm˚ um, a zejména okruh˚ um polynom˚ u nad komutativn´ımi tˇelesy, se podrobnˇeji vˇenuje pˇrednáˇska Algebra II. Nyn´ı uvedeme pˇr´ıklad K-algebry jiného typu: Pˇr´ıklad 2.7. Necht’ K je komutativn´ı tˇeleso, G je graf s koneˇcnou mnoˇzinou vrchol˚ u V a mnoˇzinou (orientovan´ ych, násobn´ ych) hran H. Symbolem hKGi znaˇc´ıme algebru cest grafu G. hKGi je vektorov´ ym prostorem nad K s báz´ı tvoˇrenou vˇsemi vrcholy (= prvky V ) a vˇsemi cestami v grafu G (= koneˇcn´ ymi posloupnostmi navazuj´ıc´ıch orientovan´ ych hran). Zˇrejmˇe hKGi má koneˇcnou dimenzi právˇe kdyˇz graf G neobsahuje orientované cykly. Multiplikativn´ı strukturu staˇc´ı definovat na bázi prostoru hKGi – jej´ı jednoznaˇcné (lineárn´ı) rozˇs´ıˇren´ı na cel´ y prostor je pak zˇrejmé. Na bázi je násoben´ı definováno následovnˇe: jsou-li c1 , c2 dvˇe cesty v grafu G, pak c1 · c2 je cesta vzniklá jejich sloˇzen´ım pokud c2 navazuje na c1 , a c1 · c2 = 0 jinak. Jsou-li v1 , v2 dva vrcholy grafu G, pak v1 · v2 = v1 pokud v1 = v2 , a v1 · v2 = 0 jinak. Je-li c cesta v G a v je vrchol G, pak v · c = c pokud v je poˇcáteˇcn´ı vrchol cesty c, a v · c = 0 jinak. Podobnˇe c · v = c pokud v je koncov´ y vrchol cesty c, a c · v = 0 jinak. Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze hKGi s právˇe definovan´ ymi operacemi tvoˇr´ı K-algebru. Pozn´ amka 2.8. Konstrukce algebry cest v 2.7 zahrnuje ˇradu znám´ ych konstrukc´ı algeber jako speci´ aln´ı pˇr´ıpady. Napˇr´ıklad K-algebra polynom˚ u K[x] je izomorfn´ı algebˇre cest grafu tvoˇreného pouze jedn´ım vrcholem a jednou orientovanou hranou (smyˇckou). Podobnˇe Kalgebra U Tn (K) je izomorfn´ı algebˇre cest následuj´ıc´ıho grafu s n vrcholy a n−1 orientovan´ ymi hranami: • → • → · · · → • → •. (Je-li tˇeleso K algebraicky uzavˇrené, lze – aˇz na tzv. Moritovskou ekvivalenci – z´ıskat jako algebru cest kaˇzdou dˇediˇcnou koneˇcnˇe dimenzion´ aln´ı K-algebru; nav´ıc kaˇzdá koneˇcnˇe dimenzionáln´ı K-algebra je Moritovsky ekvivalentn´ı faktor-algebˇre nˇejaké algebry cest podle vhodného ideálu generovaného cestami délky aspoˇ n 2). Definice 2.9. Necht’ R = (R, +, −, 0, ·, 1) je okruh. Pak S = (S, +′ , −′ , 0′ , ·′ , 1′ ) je podokruhem v R, pokud (S, +′ , −′ , 0′ ) je podgrupa v (R, +, −, 0) a (S, ·′ , 1′ ) je podmonoid v (R, ·, 1). Je-li nav´ıc K komutativn´ı tˇeleso a R je K-algebra, pak S je podalgebrou v R pokud S je podokruhem a z´ aroveˇ n K-podprostorem v R. Pˇr´ıklad 2.10. (1) Je-li R = (R, +, −, 0, ·, 1) okruh, pak S = R je podokruhem v R. (2) Je-li R = (R, +, −, 0, ·, 1) okruh, pak S = {1| + ·{z · · + 1} | z ∈ Z} (viz. 1.32) je z×

podokruhem v R, tzv. prvookruhem R. Prvookruh je nejmenˇs´ım podokruhem v R; budeme ho znaˇcit PR . (3) Je-li R = (R, +, −, 0, ·, 1) okruh, pak jeho centrum Cen R je podokruhem v R. (4) K-algebra U Tn (K) je podalgebrou K-algebry Mn (K).

Definice 2.11. Necht’ R = (R, +, −, 0, ·, 1) je okruh. I ⊆ R se naz´ yvá lev´ y (resp. prav´ y) ide´ al v R pokud (I, +, −, 0) je podgrupa v (R, +, −, 0) a pro kaˇzdá r ∈ R a i ∈ I plat´ı r ·i ∈ I (resp. i · r ∈ I). Je-li I ⊆ R lev´ y i prav´ y ideál, pak se I naz´ yvá oboustrann´ y ide´ al nebo prostˇe jen ide´ al v R. (V komutativn´ıch okruz´ıch samozˇrejmˇe pojmy levého, pravého a oboustranného ideálu spl´ yvaj´ı).

22

Jan Trlifaj

Pˇr´ıklad 2.12. (1) V kaˇzdém okruhu R jsou I = {0} a I = R oboustrann´ ymi ideály, tzv. trivi´ aln´ımi ideály. (Levé, pravé) ideály v okruhu tvoˇr´ı ˇcásteˇcnˇe uspoˇrádanou mnoˇzinu (vzhledem k inkluzi), triviáln´ı ideály jsou jej´ım nejmenˇs´ım resp. nejvˇetˇs´ım prvkem. Okruh se naz´ yvá jednoduch´ y, pokud má jen triviáln´ı oboustranné ideály (srovnej s 1.70). Napˇr´ıklad okruh Mn (K) (n ≥ 1, K tˇeleso) je jednoduch´ y. Struktura vˇsech jednoduch´ ych okruh˚ u nen´ı obecnˇe známá. Je vˇsak známa struktura vˇsech jednoduch´ ych okruh˚ u bez nekoneˇcn´ ych ostˇre klesaj´ıc´ıch ˇretˇezc˚ u prav´ ych ideal˚ u: podle Wedderburnovy vˇety jsou to aˇz na izomorfismus právˇe okruhy vˇsech ˇctvercov´ ych matic nad tˇelesy. (2) Necht’ R je okruh a r ∈ R. Pak I = Rr = {s.r | s ∈ R} je lev´ y ideál, tzv. hlavn´ı lev´ y ide´ al generovan´ y r. Podobnˇe definujeme hlavn´ı prav´ y ide´ al generovan´ y r. (3) Necht’ R = Z, pak ideály spl´ yvaj´ı s podgrupami aditivn´ı grupy Z. Tedy libovoln´ y ideál je hlavn´ı, tvaru Zn pro nˇejaké n ∈ N. Okruhy, v nichˇz je kaˇzd´ y ideál hlavn´ı, naz´ yváme okruhy hlavn´ıch ide´ al˚ u – budeme se jim podrobnˇeji vˇenovat pozdˇeji. Následuj´ıc´ı vˇeta charakterizuje tˇelesa jako okruhy, které maj´ı jen triviáln´ı jednostranné ideály (a tedy komutativn´ı tˇelesa jako jednoduché komutativn´ı okruhy): Vˇ eta 2.13. Necht’ R = (R, +, −, 0, ·, 1) je okruh. Pak n´ asleduj´ıc´ı podm´ınky jsou ekvivalentn´ı (i) R je tˇeleso. (ii) R m´ a jen trivi´ aln´ı levé ide´ aly. (iii) R m´ a jen trivi´ aln´ı pravé ide´ aly. D˚ ukaz. Dokáˇzeme pouze ekvivalenci (i) ⇔ (ii), ekvivalence (i) ⇔ (iii) se dokáˇze analogicky. (i) ⇒ (ii) Necht’ I je nenulov´ y lev´ y ideál v R. Vezmˇeme 0 6= x ∈ I. Podle pˇredpokladu existuje y ∈ R takové, ˇze yx = 1. Protoˇze I je lev´ y ideál, je 1 ∈ I, a tedy pro kaˇzdé r ∈ R máme r = r.1 ∈ I odkud I = R. (ii) ⇒ (i) Necht’ 0 6= x ∈ R. Pak hlavn´ı lev´ y ideál Rx = {rx | r ∈ R} je nenulov´ y, tedy Rx = R a existuje x′ ∈ R takové, ˇze x′ .x = 1. Jin´ ymi slovy, kaˇzd´ y nenulov´ y prvek z R je zleva invertibiln´ı. Pak ale existuje (x′ )′ ∈ R takové, ˇze (x′ )′ .x′ = 1, odkud (x′ )′ = (x′ )′ .1 = ((x′ )′ .x′ ).x = x, a tedy x.x′ = 1 a kaˇzd´ y nenulov´ y prvek z R je oboustrannˇe invertibiln´ı. Tedy nenulové prvky v R tvoˇr´ı multiplikativn´ı grupu. ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ Definice 2.14. Necht’ R = (R, +, −, 0, ., 1) a R = (R , + , − , 0 , . , 1 ) jsou okruhy. Zobrazen´ı ϕ : R → R′ je okruhov´ y homomorfismus pokud ϕ je grupov´ y homomorfismus (R, +, −, 0) do ′ ′ ′ ′ (R , + , − , 0 ) a z´ aroveˇ n ϕ je monoidov´ y homomorfismus (R, ., 1) do (R′ , .′ , 1′ ). Pojem okruhov´ y izomorfismus znaˇc´ı okruhov´ y homomorfismus, kter´ y je bijekc´ı. Pozn´ amka 2.15. Podle 1.20 je ϕ okruhov´ y homomorfismus pokud pro kaˇzdá r, s ∈ R plat´ı, ˇze ϕ(r + s) = ϕ(r) +′ ϕ(s), ϕ(r.s) = ϕ(r).′ ϕ(s) a ϕ(1) = 1′ . Pˇr´ıklad 2.16. (1) Necht’ R = (R, +, −, 0, ., 1) je okruh a S = (S, +, −, 0, ., 1) je jeho podokruh. Pak vnoˇren´ı ϕ : S ֒→ R je okruhov´ y homomorfismus. (2) Necht’ R = (R, +, −, 0, ., 1) je okruh. Pak zobrazen´ı ϕ : Z → R definované z 7→ y homomorfismus, jehoˇz obrazem je prvookruh okruhu R. 1| + ·{z · · + 1} je okruhov´ z×

Oboustranné ideály hraj´ı v teorii okruh˚ u stejnou roli jako normáln´ı podgrupy v teorii grup: Lemma 2.17. Necht’ R = (R, +, −, 0, ., 1) a S = (S, +′ , −′ , 0′ , .′ , 1′ ) jsou okruhy a ϕ : R → S je okruhov´ y homomorfismus. Pak Ker ϕ = {r ∈ R | ϕ(r) = 0′ } je oboustrann´ y ide´ al v R a Im ϕ = {s ∈ S | ∃ r ∈ R : ϕ(r) = s} je podokruh v S.

ALGEBRA I

23

D˚ ukaz. Dokáˇzeme pouze tvrzen´ı o Ker ϕ: protoˇze ϕ je grupov´ y homomorfismus, je Ker ϕ podgrupa v R. Nav´ıc pro libovolné i ∈ Ker ϕ a r ∈ R máme ϕ(r.i) = ϕ(r).′ ϕ(i) = ϕ(r).′ 0′ = 0′ a podobnˇe ϕ(i.r) = 0′ , z ˇcehoˇz plyne, ˇze r.i ∈ Ker ϕ a i.r ∈ Ker ϕ. Tedy Ker ϕ je oboustrann´ y ideál v R. Definice 2.18. Necht’ R = (R, +, −, 0, ·, 1) je okruh a I je jeho oboustrann´ y ideál, I 6= R. ¯ −, ¯ ¯ Na faktorové grupˇe (R/I, +, 0) definujeme operaci ¯· a prvek ¯1 následovnˇe (r + I)¯· (s + I) = r · s + I ¯1 = 1 + I ¯ −, ¯ ¯ Potom R/I = (R/I, +, 0,¯·, ¯ 1) je okruh, kter´ y naz´ yváme faktorov´ y okruh R podle I. Zobrazen´ı πI : R → R/I definované r 7→ r + I je okruhov´ y homomorfismus na R/I, tzv. kanonick´ a projekce podle I. Plat´ı, ˇze Ker πI = I a Im πI = R/I. Vˇ eta 2.19 (o homomorfismu pro okruhy). Necht’ R = (R, +, −, 0, ., 1) a R′ = (R′ , +′ , −′ , 0′ , .′ , 1′ ) jsou okruhy, I 6= R je ide´ al v R a ϕ : R → R′ je okruhov´ y homomorfismus takov´ y, ˇze Ker ϕ ⊇ I. Potom existuje pr´ avˇe jeden okruhov´ y homomorfismus ψ : R/I → R′ takov´ y, ˇze ϕ = ψ ◦ πI . D˚ ukaz. Podle 1.44 existuje právˇe jeden grupov´ y homomorfismus aditivn´ıch grup, ψ, pro kter´ y plat´ı ϕ = ψ ◦ πI , a ψ je definováno vztahem ψ(r + I) = ϕ(r). Protoˇze ψ((r + I)¯.(s + I)) = ϕ(r).′ ϕ(s) a ψ(1 + I) = 1′ , je ψ okruhov´ ym homomorfismem podle 2.15. Podobnˇe, tj. ovˇeˇren´ım, ˇze izomorfismy aditivn´ıch grup jsou v dané situaci i okruhov´ ymi izomorfismy, se dokáˇz´ı následuj´ıc´ı dvˇe vˇety o izomorfismu pro okruhy: Vˇ eta 2.20 (1. vˇeta o izomorfismu pro okruhy). Necht’ R = (R, +, −, 0, ., 1) a R′ = (R′ , +′ , −′ , 0′ , .′ , 1′ ) jsou okruhy a ϕ : R → R′ je nenulov´ y okruhov´ y homomorfismus. Potom zobrazen´ı ψ : R/Ker ϕ → Im ϕ definované vztahem ψ(r + Ker ϕ) = ϕ(r) je okruhov´ ym izomorfismem. Pˇr´ıklad 2.21. Necht’ R = (R, +, −, 0, ·, 1) je okruh. Definujme okruhov´ y homomorfismus ϕ : z Z → R vztahem ϕ(z) = 1 (viz. 2.16 a 1.32). Podle 2.20 plat´ı, ˇze Im ϕ ≃ Z/Ker ϕ. Z 2.16 v´ıme, ˇze Im ϕ je PR , prvookruh okruhu R. Pro jádro ϕ plat´ı {0} pokud char R = 0 z Ker ϕ = {z | 1 = 0} = Zn pokud char R = n (n ≥ 2) (kde char R je nejmenˇs´ı n ∈ N takové, ˇze 1| + ·{z · · + 1} = 0; pokud takové n ∈ N neexistuje, n×

definujeme char R = 0). Pro libovoln´ y okruh R je tedy prvookruh PR izomorfn´ı s okruhem cel´ ych ˇc´ısel ,,modulo char R”, tj. s faktorov´ ym okruhem Z podle ideálu generovaného char R. Vˇ eta 2.22 (2. vˇeta o izomorfismu pro okruhy). Necht’ R = (R, +, −, 0, ., 1) je okruh a I ⊆ J ( R jsou ide´ aly v R. Potom J/I je ide´ al ve faktorovém okruhu R/I a plat´ı okruhov´ y izomorfismus (R/I)/(J/I) ≃ R/J.

24

Jan Trlifaj

2.2. Pod´ılov´ e okruhy a lokalizace. Závˇer této kapitoly vˇenujeme metodˇe lokalizace, jej´ıˇz r˚ uzné variace tvoˇr´ı d˚ uleˇzitou souˇc´ ast modern´ı algebry, geometrie a topologie. Zde se budeme zab´ yvat jen jej´ı z´ akladn´ı formou pro komutativn´ı okruhy: konstrukc´ı pod´ılového okruhu komutativn´ıho okruhu. Idea je jednoduchá: rozˇs´ıˇrit dan´ y okruh tak, aby v rozˇs´ıˇren´ı bylo moˇzné snáze dˇelit; pˇresnˇeji, aby bylo moˇzné invertovat prvky z pˇredem dané multiplikativn´ı podmnoˇziny okruhu. (V obecnˇejˇs´ıch variant´ ach této metody jde o invertován´ı systém˚ u matic nad okruhem R, a jeˇstˇe obecnˇeji, systém˚ u morfism˚ u mezi R-moduly ˇci komplexy R-modul˚ u.) Nejprve zavedeme potˇrebné pojmy: Definice 2.23. Necht’ R = (R, +, −, 0, ·, 1) je komutativn´ı okruh. (i) Prvek x ∈ R je nilpotentn´ı, pokud existuje n ∈ N, n < ω takové, ˇze xn = x · · x} = 0. | ·{z n×

Nejmenˇs´ı takové n ∈ N se naz´ yvá index nilpotence prvku x. (Napˇr´ıklad x = 0 má index nilpotence 1). (ii) Prvek x ∈ R je regul´ arn´ı (nebo téˇz nedˇelitel nuly), pokud pro kaˇzdé y ∈ R plat´ı, ˇze xy = 0 implikuje y = 0. (iii) Podmnoˇzina S ⊆ R je multiplikativn´ı, pokud 1 ∈ S, 0 6∈ S a s1 , s2 ∈ S implikuje s1 .s2 ∈ S pro kaˇzdá s1 , s2 ∈ S. (iv) R je obor integrity, pokud pro kaˇzdá nenulová x, y ∈ R plat´ı, ˇze x.y 6= 0 (tj. pokud S = R \ {0} je multiplikativn´ı mnoˇzina v R). Pˇr´ıklad 2.24. (1) Z = (Z, +, −, 0, ., 1) je oborem integrity. ’ (2) Necht p je prvoˇc´ıslo a n ≥ 1. Pak vˇsechny prvky hlavn´ıho ideálu Zpn .p okruhu Zpn jsou nilpotentn´ı stupnˇe ≤ n, zat´ımco vˇsechny prvky mnoˇziny Zpn \ Zpn .p jsou invertibiln´ı. (3) Necht’ R je komutativn´ı okruh. Oznaˇcme Sreg mnoˇzinu vˇsech jeho regulárn´ıch prvk˚ u. Pak Sreg je multiplikativn´ı, nebot’ 1 ∈ Sreg , 0 6∈ Sreg a pokud s1 , s2 ∈ Sreg a y.(s1 .s2 ) = 0, pak (y.s1 ).s2 = 0, odkud y.s1 = 0 a y = 0, tj. s1 .s2 ∈ Sreg . (4) Necht’ R je komutativn´ı okruh a s ∈ R nen´ı nilpotentn´ı. Pak S = {sn | n ∈ N} je multiplikativn´ı. (5) Necht’ R je komutativn´ı okruh a e ∈ R je idempotent (tj. e · e = e). Je-li e 6= 0, pak mnoˇzina S = {1, e} je multiplikativn´ı. (6) Mnoˇzina vˇsech invertibiln´ıch prvk˚ u komutativn´ıho okruhu R (znaˇcen´ı: Sinv nebo R∗ ) je multiplikativn´ı. Následuj´ıc´ı konstrukce zobecˇ nuje známou konstrukci tˇelesa Q jako tˇelesa tˇr´ıd ekvivalence zlomk˚ u nad Z: Definice 2.25 (Pod´ılov´ y okruh). Necht’ R = (R, +, −, 0, ·, 1) je komutativn´ı okruh a S ⊆ R je multiplikativn´ı. Na mnoˇzinˇe R × S zavedeme ekvivalenci ∼ následovnˇe : (r, s) ∼ (r ′ , s′ ) ⇔ ∃ x ∈ S : (rs′ − r ′ s) · x = 0 ych tˇr´ıdách Oznaˇcme (r, s) rozkladovou tˇr´ıdu prvku (r, s) ∈ R × S podle ∼. Na rozkladov´ (R × S)/∼ definujeme operace :

ALGEBRA I

25

(r, s) + (r ′ , s′ ) = (rs′ + r ′ s, ss′ ) − (r, s) = (−r, s) (r, s) · (r ′ , s′ ) = (rr ′ , ss′ ) 0 = (0, 1) 1 = (1, 1) Vˇ eta 2.26. Operace +, −, 0, ·, 1 definuj´ı na (R×S)/∼ z 2.25 strukturu okruhu, oznaˇcovaného RS −1 , a naz´ yvaného pod´ılov´ ym okruhem okruhu R podle S. −1 y homomorfismus a Zobrazen´ı ϕ : R → RS definované vztahem ϕ(r) = (r, 1) je okruhov´ pro kaˇzdé s ∈ S je ϕ(s) invertibiln´ı prvek v RS −1 . D´ ale Ker ϕ = {r ∈ R | ∃ s ∈ S : r · s = 0}, a ϕ je prosté pr´ avˇe kdyˇz S ⊆ Sreg . D˚ ukaz. To, ˇze operace z 2.25 jsou korektnˇe definované na mnoˇzinˇe (R × S)/∼ a definuj´ı na této mnoˇzinˇe strukturu okruhu, pˇrenecháme ˇctenáˇri jako snadné, byt’ zdlouhavé, cviˇcen´ı. Dokáˇzeme nyn´ı, ˇze ϕ je okruhov´ y homomorfismus. Podle 2.25 staˇc´ı ovˇeˇrit pro kaˇzdá r, r ′ ∈ R (1) ϕ(r + r ′ ) = (r + r ′ , 1) = (r, 1) + (r ′ , 1) = ϕ(r) + ϕ(r ′ ) (2) ϕ(r · r ′ ) = (r · r ′ , 1) = (r, 1) · (r ′ , 1) = ϕ(r) · ϕ(r ′ ) (3) ϕ(1) = (1, 1) = 1 Je-li s ∈ S, pak (s, 1)·(1, s) = (1, 1), a tedy ϕ(s) je invertibiln´ı v RS −1 . Dále Ker ϕ = {r ∈ R | (r, 1) = (0, 1)} = {r ∈ R | ∃ s ∈ S : r.s = 0}. Tedy Ker ϕ = {0} právˇe kdyˇz pro kaˇzdé s ∈ S a kaˇzdé nenulové r ∈ R je r.s 6= 0, tj. právˇe kdyˇz S ⊆ Sreg . Zobrazen´ı ϕ z 2.26 má následuj´ıc´ı univerzáln´ı vlastnost (srovnej s 1.44): Lemma 2.27. Necht’ R = (R, +, −, 0, ., 1) a R′ = (R′ , +′ , −′ , 0′ , .′ , 1′ ) jsou komutativn´ı okruhy, S ⊆ R je multiplikativn´ı a ψ : R → R′ je okruhov´ y homomorfismus takov´ y, ˇze ψ(s) je invertibiln´ı v R′ pro kaˇzdé s ∈ S. Pak existuje pr´ avˇe jeden okruhov´ y homomorfismus η : RS −1 → R′ splˇ nuj´ıc´ı η ◦ ϕ = ψ. ′

D˚ ukaz. Pro r ∈ R a s ∈ S definujeme η((r, s)) = ψ(r) ·′ (ψ(s))−1 . Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze η je (korektnˇe definovan´ y) okruhov´ y homomorfismus. Nav´ıc (η ⊙ ϕ)(r) = η((r, 1)) = ψ(r). Je-li η ′ : RS −1 → R′ okruhov´ y homomorfismus splˇ nuj´ıc´ı η ′ ⊙ ϕ = ψ, pak pro kaˇzdé r ∈ R ′ ′ a s ∈ S je η ((r, 1)) = ψ(r) a η ((s, 1)) = ψ(s), a tedy η ′ ((r, s)) = η ′ ((r, 1)·(1, s)) = ψ(r) ·′ ′ η ′ ((1, s)). Ale η ′ ((1, s)) ·′ ψ(s) = η ′ ((s, s)) = 1′ , takˇze η ′ ((r, s)) = ψ(r) ·′ (ψ(s))−1 a η = η ′ . Z jednoznaˇcnosti zobrazen´ı η v 2.27 plyne, ˇze ϕ je tzv. epimorfismus okruh˚ u, tj. τ = τ ′ −1 ′ ′ −1 ′ kdykoliv τ :: RS → R a τ :: RS → R jsou okruhové homomorfismy splˇ nuj´ıc´ı τ ◦ϕ = τ ′ ◦ϕ. Speciáln´ım pˇr´ıpadem konstrukce pod´ılového okruhu je konstrukce tzv. klasického pod´ılového okruhu: Definice 2.28 (Klasick´ y pod´ılov´ y okruh). Necht’ R = (R, +, −, 0, ·, 1) je komutativn´ı okruh −1 a S = Sreg . Potom RS se naz´ yvá klasick´ y pod´ılov´ y okruh a znaˇc´ı se Qcl (R). Podle 2.26 je v tomto pˇr´ıpadˇe zobrazen´ı ϕ prosté, tedy R lze pˇrirozenˇe ztotoˇznit s podokruhem v Qcl (R). Nav´ıc, protoˇze S ⊆ Sreg , je ekvivalence ∼ definována jednoduˇseji: (r, s) ∼ (r ′ , s′ ) ⇔ rs′ = r ′ s.

26

Jan Trlifaj

Pˇr´ıklad 2.29. (1) Pro R = Z je Qcl (R) ≃ Q. (2) Pro R = Zpn , kde p je prvoˇc´ıslo a 2 ≤ n ∈ N je podle 2.24.2 Sreg mnoˇzinou vˇsech invertibiln´ıch prvk˚ u v R, a tedy Qcl (R) ≃ R (nebot’ ϕ je v tomto pˇr´ıpadˇe i surjektivn´ı). Vˇ eta 2.30. Necht’ R je obor integrity. Potom Qcl (R) je komutativn´ı tˇeleso, tzv. pod´ılové tˇeleso oboru R. D˚ ukaz. Staˇc´ı ukázat, ˇze pro libovolná r ∈ R a s ∈ R \ {0} taková, ˇze (r, s) 6= (0, 1) je (r, s) invertibiln´ı v Qcl (R). Ovˇsem (r, s) 6= (0, 1) právˇe kdyˇz r 6= 0 právˇe kdyˇz r ∈ Sreg . Inverzn´ım prvkem k (r, s) v Qcl (R) je tedy zˇrejmˇe (s, r). Vˇeta 2.30 ˇr´ıká, ˇze klasick´ y pod´ılov´ y okruh oboru integrity má nejjednoduˇsˇs´ı moˇznou strukturu ideál˚ u. I v obecném pˇr´ıpadˇe docház´ı ke zjednoduˇsen´ı, nebot’ ideály, pro které I ∩ S 6= 0, se stanou triviáln´ımi: Vˇ eta 2.31. Necht’ R = (R, +, −, 0, ., 1) je komutativn´ı okruh a S ⊆ R je multiplikativn´ı. Pro kaˇzd´ y ide´ al I v R je IS −1 = {(i, s) | i ∈ I, s ∈ S} ide´ alem v pod´ılovém okruhu RS −1 . −1 Naopak, je-li J ide´ alem v pod´ılovém okruhu RS , pak jeho vzor I = ϕ−1 (J) v okruhovém homomorfismu ϕ je ide´ alem v R. Kaˇzd´ y ide´ al v pod´ılovém okruhu RS −1 je tvaru IS −1 pro nˇejak´ y ide´ al I v R. Pˇritom IS −1 = −1 RS pr´ avˇe kdyˇz I ∩ S 6= ∅. D˚ ukaz. Prvn´ı dvˇe tvrzen´ı plynou pˇr´ımo z definic. Je-li J ideálem v pod´ılovém okruhu RS −1 , pak I = ϕ−1 (J) = {r ∈ R | ϕ(r) ∈ J} = {r ∈ R | ∃s ∈ S : (r, s) ∈ J} = {r ∈ R | ∀s ∈ S : (r, s) ∈ J}, odkud plyne, ˇze IS −1 = J. Nakonec, IS −1 = RS −1 právˇe kdyˇz (1, 1) ∈ IS −1 právˇe kdyˇz I ∩ S 6= ∅. Je-li I ideál v R, pak IS −1 se naz´ yvá extenz´ı ideálu I do RS −1 . Je-li J ideálem v pod´ılovém −1 −1 okruhu RS , pak I = ϕ (J) je kontrakc´ı ideálu J do R . Z d˚ ukazu vˇety 2.31 plyne, ˇze pro kaˇzd´ y ideál J pod´ılového okruhu RS −1 je extenze jeho −1 −1 kontrakce totoˇzná s J (tj. J = ϕ (J)S ). Naopak, kontrakce extenze ideálu I v R pouze obahuje I, ale je obecnˇe vˇetˇs´ı neˇz I (napˇr. v pˇr´ıpadˇe, ˇze I 6= R, ale I ∩ S 6= ∅). Dalˇs´ım speci´ aln´ım pˇr´ıpadem konstrukce pod´ılového okruhu je lokalizace komutativn´ıho okruhu v prvoideálu. Definice 2.32. Necht’ R je komutativn´ı okruh a I je ideál v R. Potom (i) I je maxim´ aln´ı, pokud I 6= R a pokud pro kaˇzd´ y ideál J takov´ y, ˇze I ⊆ J ⊆ R plat´ı, ˇze J = I nebo J = R. (ii) I je prvoide´ al, pokud I 6= R a pro libovolná x, y ∈ R plat´ı implikace x.y ∈ I ⇒ (x ∈ I) ∨ (y ∈ I). Skuteˇcnost, ˇze ideál I je prvoideálem nebo maximáln´ım ideálem, lze snadno poznat podle faktorového okruhu R/I: Lemma 2.33. Necht’ R = (R, +, −, 0, ·, 1) je komutativn´ı okruh a I ide´ al v R takov´ y, ˇze I 6= R. Pak (i) Kanonick´ a projekce πI : R → R/I indukuje izomorfismus ˇca ´steˇcnˇe uspoˇra ´dané mnoˇziny vˇsech ide´ al˚ u v okruhu R obsahuj´ıc´ıch ide´ al I na ˇca ´steˇcnˇe uspoˇra ´danou mnoˇzinu vˇsech ide´ al˚ u faktorového okruhu R/I. (ii) I je maxim´ aln´ı pr´ avˇe kdyˇz faktorov´ y okruh R/I je tˇeleso.

ALGEBRA I

27

(iii) I je prvoide´ al pr´ avˇe kdyˇz faktorov´ y okruh R/I je obor integrity. Tedy kaˇzd´ y maxim´ aln´ı ide´ al je prvoide´ alem. D˚ ukaz. (i) Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze zobrazen´ı J 7→ J/I = {πI (j) | j ∈ J} je hledan´ ym izomorfismem (srovnej s 1.45). (ii) Podle definice maxim´ aln´ıho ideálu je ideál I v okruhu R maximáln´ı právˇe kdyˇz ˇcásteˇcnˇe uspoˇrádaná mnoˇzina vˇsech ideál˚ u v okruhu R obsahuj´ıc´ıch I je dvouprvková (= {I, R}). Podle ˇcásti (i) a podle 2.13 je tato podm´ınka ekvivalentn´ı s t´ım, ˇze R/I je tˇeleso. (iii) Implikaci x.y ∈ I ⇒ (x ∈ I) ∨ (y ∈ I) z definice prvoideálu v 2.32 lze ekvivalentnˇe napsat ve tvaru (x + I)¯.(y + I) = I ⇒ (x + I = I) ∨ (y + I = I), coˇz je pˇresnˇe podm´ınka ,,R/I je obor integrity”. Pˇr´ıklad 2.34. (1) Pokud R = K, kde K je komutativn´ı tˇeleso, pak {0} je jedin´ y maximáln´ı ideál a jedin´ y prvoideál v R. (2) Pokud R = Z, pak ideály jsou právˇe vˇsechny podgrupy Z, a tedy jsou tvaru Zn, kde n ∈ N (viz. 2.12). Dále zˇrejmˇe plat´ı, ˇze Zm ⊆ Zn právˇe kdyˇz n dˇel´ı m. Tedy Zn je maxim´ aln´ı ideál právˇe kdyˇz n je prvoˇc´ıslo. Podobnˇe Zn je prvoideál právˇe kdyˇz bud’ n je prvoˇc´ıslo nebo n = 0 (nebot’ Z/0 = Z). (3) Je-li R komutativn´ı okruh a J 6= R je ideál v R, pak existuje aspoˇ n jeden maximáln´ı ideál I v R takov´ y, ˇze J ⊆ I. To lze dokázat jednoduˇse uˇzit´ım Zornova lemmatu na mnoˇzinu A vˇsech ideál˚ u v R r˚ uzn´ ych od R a obsahuj´ıc´ıch J (ˇcásteˇcnˇe uspoˇrádanou inkluz´ı). Plat´ı totiˇz, ˇze J ∈ A a A je uzavˇrená na sjednocen´ı libovoln´ ych ˇretˇezc˚ u sv´ ych ’ prvk˚ u (nebot pro kaˇzd´ y ideál I plat´ı I = R právˇe kdyˇz 1 ∈ I), tedy A je induktivn´ı. Maximáln´ı prvky mnoˇziny A pak podle definice 2.32 spl´ yvaj´ı s maximáln´ımi ideály okruhu R obsahuj´ıc´ımi J. Ve speci´ aln´ım pˇr´ıpadˇe J = {0} tak dostáváme existenci maximáln´ıch ideál˚ u v libovolném komutativn´ım okruhu R. (4) Je-li I ideál v okruhu R, pak I je prvoideál v R právˇe kdyˇz mnoˇzina S = R \ I je multiplikativn´ı. Definice 2.35 (Lokalizace v prvoideálu). Necht’ R je komutativn´ı okruh a P je prvoideál v R. Poloˇzme S = R \ P . Potom pod´ılov´ y okruh RS −1 = R(P ) se naz´ yvá lokalizace okruhu R v prvoideálu P . Pˇr´ıklad 2.36. Necht’ R = Z. Podle 2.34 jsou I0 = {0} a Ip = Zp, kde p je prvoˇc´ıslo, vˇsechny prvoideály v Z. Máme S0 = Z \ {0} = Sreg , a tedy lokalizace Z v I0 spl´ yvá s pod´ılov´ ym tˇelesem, tj. Z(I0 ) = Q. (Analogicky, lokalizace libovolného oboru integrity R v nulovém prvoideálu spl´ yvá s pod´ılov´ ym tˇelesem Qcl (R)). Sp = Z \ Ip je mnoˇzinou vˇsech cel´ ych ˇc´ısel, která nejsou dˇelitelná prvoˇc´ıslem p, a tedy r ∼ Z(Ip ) = { s ∈ Q | p ∤ s, r, s ∈ Z} je podoborem integrity tˇelesa Q. Následuj´ıc´ı pˇr´ıklad vysvˇetluje název ,,lokalizace v prvoideálu”, kter´ y má motivaci v algebraické geometrii (pojmy a v´ ysledky uvedené v tomto pˇr´ıkladu budeme podrobnˇeji studovat aˇz v pˇrednáˇsce Algebra II): Pˇr´ıklad 2.37. Necht’ K je komutativn´ı tˇeleso. Oznaˇcme R = K[x1 , . . . , xn ] okruh polynom˚ un komutuj´ıc´ıch neurˇcit´ ych nad K (viz. 2.5.7). Mˇejme f1 , . . . , fm ∈ R. Algebraickou mnoˇzinou v K n nazveme mnoˇzinu A = {k ∈ K n | ∀ i = 1, . . . , m : fi (k) = 0} (tj. mnoˇzinu vˇsech spoleˇcn´ ych koˇren˚ u polynom˚ u f1 , . . . , fm ).

28

Jan Trlifaj

Znaˇc´ı-li I ideál v R generovan´ y f1 , . . . , fm , pak je také A = {k ∈ K n | ∀ f ∈ I : f (k) = 0}. Pˇritom I je prvoideálem právˇe kdyˇz algebraická mnoˇzina A je ireducibiln´ı, tj. nelze vyjádˇrit jako sjednocen´ı vlastn´ıch algebraick´ ych podmnoˇzin. Faktorov´ y okruh R/I = K[x1 , . . . , xn ]/I se naz´ yvá souˇradnicov´ y okruh A (je totiˇz jako okruh generován mnoˇzinou rozkladov´ ych tˇr´ıd ,,souˇradnic”{x1 + I, . . . , xn + I}). Zvolme libovolnˇe bod a ∈ A na algebraické mnoˇzinˇe A a oznaˇcme Ia = {g ∈ R | g(a) = 0} (polynomy nulové v bodˇe a). Zˇrejmˇe I ⊆ Ia , a Ia je prvoideál v R. Podle 2.22 a 2.33.3 je Ia /I prvoideálem v R/I. Oznaˇcme S = (R/I) \ (Ia /I). Pak pod´ılov´ y okruh RS −1 se naz´ yvá −1 lokalizace souˇradnicového okruhu R/I v bodˇe a (v RS jsou invertovány rozkladové tˇr´ıdy polynom˚ u nenulov´ ych ,,lokálnˇe”, v bodˇe a, algebraické mnoˇziny A). Lokalizace v prvoideálu je kl´ıˇcovou metodou klasické komutativn´ı algebry (a tedy i klasické algebraické geometrie). Korespondence mezi ideály z 2.31 funguje v tomto pˇr´ıpadˇe zvláˇst’ dobˇre pro prvoideály: Vˇ eta 2.38. Necht’ R = (R, +, −, 0, ., 1) je komutativn´ı okruh a P je prvoide´ al v R. Zobrazen´ı ℓ : I 7→ IS −1 z 2.31 definuje izomorfismus ˇca ´steˇcnˇe uspoˇra ´dané mnoˇziny vˇsech prvoide´ al˚ u okruhu R obsaˇzen´ ych v P na ˇca ´steˇcnˇe uspoˇra ´danou mnoˇzinu vˇsech prvoide´ al˚ u okruhu R(P ) . Speci´ alnˇe, R(P ) je lokáln´ı okruh (tj. R(P ) m´ a jedin´ y maxim´ aln´ı ide´ al). D˚ ukaz. Z 2.31 v´ıme, ˇze zobrazen´ı ρ : J 7→ ϕ−1 (J) zobrazuje mnoˇzinu vˇsech ideál˚ u R(P ) do mnoˇziny vˇsech ideál˚ u okruhu R a splˇ nuje ℓ ◦ ρ = id. Pˇritom je-li J prvoideál v R(P ) , je jeho vzor v okruhovém homomorfismu ϕ prvoideálem v R: je-li x.y ∈ ρ(J), pak ϕ(x)¯.ϕ(y) ∈ J, a tedy ϕ(x) ∈ J nebo ϕ(y) ∈ J, tj. x ∈ ρ(J) nebo y ∈ ρ(J); pˇritom ρ(J) 6= R, nebot’ ℓρ(J) = J 6= R(P ) . Podobnˇe, je-li I prvoideál v R obsaˇzen´ y v P , pak ℓ(I) je prvoideálem v R(P ) : je-li (r, s) · (r ′ , s′ ) = (rr ′ , ss′ ) ∈ ℓ(I), pak existuj´ı i ∈ I a t, t′ ∈ S taková, ˇze (rr ′ t − ss′ i)t′ = 0. Protoˇze ss′ t′ i ∈ I a tt′ ∈ / I, máme rr ′ ∈ I a tedy r ∈ I nebo r ′ ∈ I, tj. (r, s) ∈ ℓ(I) nebo (r ′ , s′ ) ∈ ℓ(I); pˇritom ℓ(I) 6= R(P ) , nebot’ I ∩ S = ∅ (viz. 2.31). Protoˇze zobrazen´ı ℓ a ρ zˇrejmˇe zachovávaj´ı ˇcásteˇcné uspoˇrádán´ı inkluz´ı, zb´ yvá jen dokázat, ˇze pro kaˇzd´ y prvoideál I okruhu R obsaˇzen´ y v P plat´ı ρ(ℓ(I)) = I. Protoˇze 1 ∈ S, je jistˇe I ⊆ ρ(ℓ(I)). Naopak, je-li r ∈ ρ(ℓ(I)), pak existuj´ı i ∈ I a s, s′ ∈ S taková, ˇze (rs − i)s′ = 0. Protoˇze is′ ∈ I a ss′ ∈ / I, je r ∈ I. Z pˇredchoz´ıho a z 2.33 a 2.34.(3) plyne, ˇze ℓ(P ) = P S −1 je jedin´ y maximáln´ı ideál okruhu R(P ) . Speciálnˇe, Vˇeta 2.38 umoˇzn ˇuje zkoumat prvoideály obsaˇzené v daném prvoideálu p okruhu R (zkoumán´ım prvoideál˚ u v lokáln´ım okruhu R(p) ). Naopak, prvoideály obsahuj´ıc´ı p odpov´ıdaj´ı vzájemnˇe jednoznaˇcnˇe prvoideál˚ um faktorového okruhu R/p (viz. Lemma 2.33). Na závˇer se pod´ıvejme, jak se zjednoduˇs´ı pˇri lokalizaci struktura ˇcásteˇcnˇe uspoˇrádané mnoˇziny ideál˚ u okruhu cel´ ych ˇc´ısel: Pˇr´ıklad 2.39. Necht’ R = Z, I0 = {0} a Ip = Zp, kde p je prvoˇc´ıslo. Podle 2.36 je Z(I0 ) = Q tˇeleso, tedy Z(I0 ) má jen triviáln´ı ideály (viz. 2.13). Protoˇze I0 je kromˇe Ip jedin´ y prvoideál v Z obsaˇzen´ y v Ip , má lokáln´ı obor integrity Z(Ip ) ⊆ Q jen dva prvoideály: Z(Ip ) .0 a Z(Ip ) .p. Protoˇze prvky Z nedˇelitelné p jsou invertibiln´ı v Z(Ip ) , jsou vˇsechny nenulové ideály okruhu Z(Ip ) tvaru Z(Ip ) .pn (n ∈ N). Zobrazen´ı ℓ tedy

ALGEBRA I

29

pˇrevád´ı mnoˇzinu vˇsech (hlavn´ıch) ideál˚ u okruhu cel´ ych ˇc´ısel ˇcásteˇcnˇe uspoˇrádanou inkluz´ı n (dˇelitelnost´ı generátor˚ u) na mnoˇzinu {p | n ∈ N} ∪ {0} lineárnˇe uspoˇrádanou dˇelitelnost´ı. Pozn´ amka 2.40. Podle 2.39 jsou I0 ( Ip jediné ostˇre rostouc´ı ˇretˇezce prvoideál˚ u v Z. Podobné lze ukázat, ˇze vˇsechny ostˇre rostouc´ı ˇretˇezce prvoideál˚ u v polynomiáln´ım okruhu R = K[x1 , . . . , xn ] z 2.37 maj´ı d´ elku ≤ n (maxim´ aln´ım takov´ ym ˇretˇezcem je napˇr´ıklad ˇretˇezec prvoideál˚ u 0( P Rx1 ( · · · ( i≤n Rxi ); totéˇz plat´ı i pro souˇradnicov´ y okruh algebraické mnoˇziny A z 2.37. Maximáln´ı délka ostˇre rostouc´ıch ˇretˇezc˚ u prvoideál˚ u v komutativn´ım okruhu se naz´ yvá Krullovou dimenz´ı okruhu a je jedn´ım ze z´ akladn´ıch invariant˚ u zkouman´ ych v komutativn´ı algebˇre.

2.3. Moduly. Definice 2.41. Necht’ R = (R, +R , −R , 0R , ·R , 1R ) je okruh. Pak M = (M, +, −, 0, ·r (r ∈ R)) je prav´ y R-modul, pokud: (1) (M, +, −, 0) je komutativn´ı grupa, a pro kaˇzdé r ∈ R je ·r unárn´ı operace na M splˇ nuj´ıc´ı (2) ∀ r ∈ R ∀ m, m′ ∈ M : (m + m′ ) · r = mr + m′ r; (3) ∀ r, s ∈ R ∀ m ∈ M : m(r +R s) = mr + ms; (4) ∀ r, s ∈ R ∀ m ∈ M : m(r ·R s) = (m · r) · s; (5) ∀ m ∈ M : m · 1R = m. Pozn´ amka 2.42. Pro kaˇzdou komutativn´ı grupu (M, +, −, 0) tvoˇr´ı vsechny grupové homomorfismy f : M → M okruh endomorfism˚ u grupy M (znaˇcen´ı: End(M )): jeho jednotkov´ ym prvkem je identick´ y endomorfismus na M , a násoben´ı je v nˇem definováno jako skládán´ı zobrazen´ı následovnˇe: f ∗ g : m 7→ ((m)f )g. Identity (2)–(5) z 2.41 plat´ı právˇe tehdy kdyˇz zobrazen´ı ϕ : R → End(M ), pˇriˇrazuj´ıc´ı kaˇzdému prvku r ∈ R unárn´ı operaci − · r, je okruhov´ y homomorfismus R do End(M ). Tedy moduly nad okruhem R jsou vlastnˇe reprezentace okruhu R v okruz´ıch endomorfism˚ u komutativn´ıch grup. Analogicky definujeme pojem levého R-modulu: unárn´ı operace pˇr´ısluˇsná prvku r ∈ R je definována jako násoben´ı zleva, a plat´ı analogie identit (2)–(5) pro násoben´ı r · −. Pro zobrazen´ı ϕ′ : R → End(M ), pˇriˇrazuj´ıc´ı kaˇzdému prvku r ∈ R unárn´ı operaci r · −, pak ovˇsem plat´ı ϕ′ (r.s) = ϕ′ (s) ∗ ϕ′ (r). Pokud vˇsak na R definujeme nové násoben´ı vztahem r.′ s = s.r, bude Rop = (R, +, −, 0, .′ , 1) také okruhem, tzv. opaˇcn´ ym okruhem k okruhu R, a zobrazen´ı ϕ′ : R → End(M ) bude okruhov´ ym homomorfismem Rop do End(M ). Levé R-moduly se takto ztotoˇzn´ı s prav´ ymi op op R -moduly. (Je-li R komutativn´ı okruh, pak R = R , a nam´ısto lev´ ych resp. prav´ ych Rmodul˚ u mluv´ıme prostˇe o R-modulech). Necht’ R je K-algebrou nad komutativn´ım tˇelesem K. Pak m˚ uˇzeme na M definovat strukturu vektorového prostoru nad K vztahem mk = m · (1k). Z 2.4 ovˇsem máme (1k).r = 1.(rk) = (1.r)k = rk = r.(1k), a tedy ϕ(r) = − · r je dokonce homomorfismus K-algebry R do K-algebry vˇsech endomorfism˚ u vektorového prostoru M . Proto se nˇekdy v tomto pˇr´ıpadˇe m´ısto term´ınu modul pouˇz´ıvá term´ın line´ arn´ı reprezentace K-algebry R. Pˇr´ıklad 2.43. (1) Necht’ K je komutativn´ı tˇeleso. Pak K-moduly jsou právˇe vˇsechny vektorové prostory nad K (ne nutnˇe koneˇcné dimenze nad K).

30

Jan Trlifaj

(2) Z-moduly jsou právˇe vˇsechny komutativn´ı grupy. Operace ·z v (M, +, −, 0, ·z (z ∈ Z)) je totiˇz v tomto pˇr´ıpadˇe odvozena z operac´ı + a −, nebot’ m · z = m · · + m}. | + ·{z z×

(3) Necht’ K je komutativn´ı tˇeleso, G je graf s koneˇcnou mnoˇzinou vrchol˚ u V a mnoˇzinou (orientovan´ ych, násobn´ ych) hran H a hKGi je algebra cest grafu G definovaná v 2.7. Moduly nad hKGi lze ztotoˇznit s K-lineárn´ımi reprezentacemi grafu G v následuj´ıc´ım smyslu: K-line´ arn´ı reprezentac´ı grafu G rozum´ıme objekt, vznikl´ y nahraˇzen´ım vˇsech vrchol˚ u grafu v1 , . . . vektorov´ ymi prostory V1 , . . . nad K, a orientovan´ ych hran h1 , . . . K-lineárn´ımi zobrazen´ımi H1 , . . . , kde Hk : Vi → Vj pokud orientovaná hrana hk vede z vrcholu vi do vrcholu vj . Kaˇzd´ y prav´ y hKGi-modul M urˇcuje K-lineárn´ı reprezentaci grafu G následovnˇe: vrchol v je nahraˇzen vektorov´ ym prostorem M v (⊆ M ); orientovaná hrana h vedouc´ı z vi do vrcholu vj je nahraˇzena K-lineárn´ım zobrazen´ım H : Vi → Vj definovan´ ym vztahem m 7→ m.h (to je korektn´ı, nebot’ vi .h = h = h.vj ). (Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze K-lineárn´ı reprezentace grafu G tvoˇr´ı kategorii ve smyslu následuj´ıc´ı sekce. Zm´ınˇené ztotoˇznˇen´ı lze pak rozˇs´ıˇrit do ekvivalence kategorie vˇsech prav´ ych hKGi-modul˚ u a kategorie vˇsech K-lineárn´ıch reprezentac´ı grafu G).

Pozn´ amka 2.44. Moduly se vyskytuj´ı v celé ˇradˇe dalˇs´ıch, zdánlivˇe spolu nesouvisej´ıc´ıch, kontext˚ u. V Poznámce 1.85 jsme jiˇz zm´ınili jejich roli v teorii reprezentac´ı grup: reprezentace lze ekvivalentnˇe studovat jako moduly nad pˇr´ısluˇsnou grupovou algebrou. V geometrii a teoretické fyzice hraj´ı d˚ uleˇzitou roli Lieovy algebry. Jejich reprezentace lze ekvivalentnˇe zkoumat jako moduly nad tzv. obaluj´ıc´ımi algebrami. A v modern´ı algebraické geometrii hraj´ı moduly kl´ıˇcovou roli v Grothendieck–Serrovˇe teorii kvazikoherentn´ıch svazk˚ u na schematech. Nyn´ı struˇcnˇe zm´ın´ıme nˇekteré elementárn´ı vlastnosti modul˚ u. Následuj´ıc´ı tvrzen´ı a jejich d˚ ukazy jsou snadn´ ymi rozˇs´ıˇren´ımi pˇr´ısluˇsn´ ych vˇet v sekci 1.2 (pro komutativn´ı grupy): pˇri d˚ ukazech se jen nav´ıc ovˇeˇruje kompatibilita se vˇsemi unárn´ımi operacemi ·r (r ∈ R). Definice 2.45. Necht’ R je okruh a M = (M, +, −, 0, ·r (r ∈ R)) je prav´ y R-modul. Potom N = (N, +′ , −′ , 0′ , ·′ r (r ∈ R)) je podmodul v M, pokud N ⊆ M a +′ , −′ , 0′ , ·′ r jsou po ˇradˇe restrikce +, −, 0, ·r. To jest, pokud (N, +′ , −′ , 0′ ) je podgrupa v (M, +, −, 0) uzavˇrená na vˇsechny unárn´ı operace ·r (r ∈ R). Pro kaˇzd´ y okruh R = (R, +R , −R , 0R , ·R , 1R ) je (R, +R , −R , 0R , ·R r (r ∈ R)) prav´ ym Rmodulem, tzv. regul´ arn´ım prav´ ym R-modulem. Podmoduly regulárn´ıho pravého R-modulu (pˇresnˇeji, jejich nosiˇce) spl´ yvaj´ı s prav´ ymi ideály okruhu R. Pozn´ amka 2.46. Necht’ R je okruh. Je-li M prav´ y R-modul a N je podmodul v M, potom na faktorové grupˇe M/N lze definovat operaci · r (r ∈ R) následovnˇe: (m + N ) · r = m · r + N . Potom (M/N, +, −, 0, ·r (r ∈ R)) je prav´ y R-modul, naz´ yvan´ y faktorov´ ym modulem M podle N. Definice 2.47. Necht’ R je okruh a M = (M, +, −, 0, ·r (r ∈ R)), M′ = (M ′ , +′ , −′ , 0′ , ·′ r (r ∈ R)) jsou dva pravé R-moduly. Potom zobrazen´ı ϕ : M → M ′ je R-homomorfismus, pokud ϕ je grupov´ y homomorfismus takov´ y, ˇze ∀ m ∈ M ∀ r ∈ R : ϕ(m · r) = ϕ(m) ·′ r. Pozn´ amka 2.48. Do konce této kapitoly bude R vˇzdy znaˇcit okruh, Mod-R tˇr´ıdu vˇsech prav´ ych R-modul˚ u a HomR (M, M ′ ) mnoˇzinu vˇsech R-homomorfism˚ u z M do M ′ .

ALGEBRA I

31

Vˇ eta 2.49 (o homomorfismu pro moduly). Necht’ M, M′ ∈ Mod-R, ϕ ∈ HomR (M, M ′ ), N je podmodul v M, pro kter´ y plat´ı: N ⊆ Ker ϕ. Potom existuje pr´ avˇe jeden R-homomorfismus ψ ∈ HomR (M/N, M ′ ) takov´ y, ˇze ψ ⊙ πN = ϕ, kde πN : M → M/N je kanonick´ a projekce definov´ ana vztahem m 7→ m + N . D˚ ukaz. Definujeme ψ(m + N ) = ϕ(m) a zbytek je analogi´ı 1.44.

D˚ ukaz následuj´ıc´ıch vˇet je snadnou modifikac´ı d˚ ukaz˚ u 1.46, 1.48 a 1.51. Vˇ eta 2.50 (1. vˇeta o izomorfismu pro moduly). Necht’ M, M′ ∈ Mod-R, ϕ ∈ HomR (M, M ′ ). Pak Ker ϕ je podmodul v M, Im ϕ je podmodul v M′ a existuje R-izomorfismus: (M/Ker ϕ) ≃ Im ϕ. Vˇ eta 2.51 (2. vˇeta o izomorfismu pro moduly). Necht’ M1 , M2 , M3 ∈ Mod-R, M3 je podmodul v M2 a M2 je podmodul v M1 . Potom existuje R-izomorfismus (M1 /M3 )/(M2 /M3 ) ≃ (M1 /M2 ). Vˇ eta 2.52 (3. vˇeta o izomorfismu pro moduly). Necht’ M1 , M2 , M3 ∈ Mod-R a M1 , M2 jsou podmoduly v M3 . Potom existuje R-izomorfismus (M1 + M2 )/M1 ≃ M2 /(M1 ∩ M2 ).

2.4. Kategorie modul˚ u. Velmi u ´ˇcinn´ ym nástrojem modern´ı matematiky je teorie kategori´ı, jej´ıˇz poˇcátky jsou spojeny právˇe s teori´ı modul˚ u a homologickou algebrou. Zakladn´ı pojem této teorie, pojem kategorie, je jednoduch´ y a pˇrirozen´ y: Definice 2.53. Necht’ Ko je tˇr´ıda a pro kaˇzdé dva prvky A, B ∈ Ko je Km (A, B) mnoˇzina. Prvky mnoˇziny Km (A, B) budeme zapisovat jako ,,ˇsipky” f : A → B, pˇriˇcemˇz A nazveme doménou a B kodoménou f . Pˇredpokládejme, ˇze pro kaˇzdou trojici A, B, C ∈ Ko je dáno zobrazen´ı ◦ : Km (B, C) × Km (A, B) → Km (A, C). ˇ Sipky f : A → B a g : C → D nazveme S navazuj´ıc´ımi pokud B = C; pro nˇe g ◦ f nazveme sloˇzen´ım g a f v K. Oznaˇcme Km = A,B∈Ko Km (A, B). Trojici K = (Ko , Km , ◦) nazveme kategori´ı, pokud jsou splnˇeny následuj´ıc´ı dvˇe podm´ınky: (i) pro kaˇzdé tˇri ˇsipky h : C → D, g : B → C, f : A → B, plat´ı h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f, Ko

(ii) pro kaˇzd´ y prvek A ∈ existuje právˇe jedna ˇsipka idA ∈ Km (A, A) taková, ˇze pro kaˇzdé ˇsipky f : A → B a g : C → A plat´ı f ◦ idA = f

a

idA ◦ g = g.

Pokud K je kategorie, pak prvky tˇr´ıdy Ko naz´ yváme objekty kategorie K, prvky tˇr´ıdy Km naz´ yváme morfismy kategorie K, ”parciáln´ı zobrazen´ı” ◦ naz´ yváme skl´ ad´ an´ım morfism˚ uvK a idA identitou na objektu A. Pˇr´ıklad 2.54. Necht’ S o je tˇr´ıda vˇsech mnoˇzin, S m (A, B) je mnoˇzina vˇsech zobrazen´ı z mnoˇziny A do mnoˇziny B a ◦ je skládán´ı zobrazen´ı. Pak trojici (S o , S m , ◦) naz´ yváme kategori´ı mnoˇzin. Pˇr´ıklad 2.55. Necht’ G o je tˇr´ıda vˇsech grup, G m (G, H) je mnoˇzina vˇsech grupov´ ych homoo m morfism˚ u grupy G do grupy H a ◦ je skládán´ı zobrazen´ı. Pak trojici (G , G , ◦) naz´ yváme kategori´ı grup.

32

Jan Trlifaj

Pˇr´ıklad 2.56. Necht’ R je okruh. Necht’ MoR je tˇr´ıda vˇsech prav´ ych R-modul˚ u, Mm R (M, N ) je mnoˇzina vˇsech R-homomorfism˚ u z pravého R-modulu M do pravého R-modulu N a ◦ necht’ je skládán´ı zobrazen´ı. Pak trojici Mod-R = (MoR , Mm yváme kategori´ı prav´ ych R , ◦) naz´ R-modul˚ u. Vˇsechny v´ yˇse uvedené pˇr´ıklady jsou tzv. konkrétn´ı kategorie, tj. objekty tˇechto kategori´ı jsou mnoˇziny, morfismy jsou zobrazen´ı, ◦ je obvyklé skládán´ı zobrazen´ı, a idA je identické zobrazen´ı objektu A do sebe. V teorii kategori´ı nahl´ıˇz´ıme objekty dané kategorie jako ”body” a morfismy jako ”ˇsipky” ˇ asti dané kategorie se pak daj´ı nahl´ıˇzet jako diagramy ve smyslu mezi tˇemito ”body”. C´ následuj´ıc´ı definice: Definice 2.57. Necht’ K = (Ko , Km , ◦) je kategorie. Uspoˇrádanou dvojici D = (D o , D m ) nazveme diagramem v kategorii K, pokud D o je neprázdn´ y soubor u kategorie K, pro S objekt˚ o m m m kaˇzdá A, B ∈ D je D (A, B) podmnoˇzinou K (A, B) a D = A,B∈Do D m (A, B). Definice 2.58. (1) Necht’ D = (D o , D m ) je diagram. Pokud D m = ∅, pak se D naz´ yvá diskrétn´ı diagram v K. (2) Necht’ D = (D o , D m ) je diagram. Pokud pro kaˇzdou dvojici objekt˚ u A, B ∈ D o a kaˇzdé dvˇe cesty (= posloupnosti navazuj´ıc´ıch ˇsipek) z D m zaˇc´ınaj´ıc´ı v A a konˇc´ıc´ı v B jsou morfismy kategorie K urˇcené sloˇzen´ım ˇsipek v tˇechto posloupnostech totoˇzné, pak se D naz´ yvá komutativn´ı diagram.

Pˇr´ıklad 2.59. Základn´ımi pˇr´ıklady komutativn´ıch diagram˚ u jsou komutativn´ı troj´ uheln´ık a komutativn´ı ˇctverec: Troj´ uheln´ık f

/B @@ @@ g h @@

A@

C

je komutativn´ı pravˇe kdyˇz g ◦ f = h. ˇ Ctverec A

f

/B

g

k

C

h

/D

je komutativn´ı pravˇe kdyˇz k ◦ f = h ◦ g. Následuj´ıc´ı pojem limity diagramu v kategorii koncentruje informaci z daného diagramu do jediného objektu kategorie: Definice 2.60. Necht’ K = (Ko , Km , ◦) je kategorie a D = (D o , D m ) je diagram v K. Limita D v K je objekt L ∈ Ko a soubor morfism˚ u (πA | A ∈ D o ) kategorie K takov´ y, ˇze o m (1) ∀ A ∈ D : πA ∈ K (L, A) (2) ∀ A, B ∈ D o , ∀ f ∈ D m (A, B) : f ◦ πA = πB ′ | A ∈ D o ) kategorie K splˇ (3) Pro kaˇzdé L′ ∈ Ko a kaˇzd´ y soubor morfism˚ u (πA nuj´ıc´ı ′ ′ o podm´ınky (1) a (2) pro L a (πA | A ∈ D ) existuje právˇe jeden morfismus ϕ ∈ ′ . Km (L′ , L) takov´ y, ˇze pro kaˇzdé A ∈ D o plat´ı πA ◦ ϕ = πA

ALGEBRA I

33

Definice 2.61. Necht’ K = (Ko , Km , ◦) je kategorie a necht’ ϕ : A → B je morfismus této ˇ kategorie. Rekneme, ˇze ϕ je izomorfismus v kategorii K, pokud existuje morfismus ψ : B → A kategorie K takov´ y, ˇze ψ ◦ ϕ = idA a ϕ ◦ ψ = idB . Objekty A a B pak naz´ yváme izomorfn´ımi v kategorii K. Lemma 2.62. Necht’ K = (Ko , Km , ◦) je kategorie a D je diagram v K. Potom aˇz na izomorfismus existuje nejv´ yˇse jedna limita diagramu D v kategorii K. Pˇresnˇeji, je-li L ∈ Ko se souborem morfism˚ u (πA | A ∈ D o ) (resp. L′ ∈ Ko se souborem ′ o morfism˚ u (πA | A ∈ D )) limitou diagramu D v K, potom existuj´ı morfismy ψ : L → L′ a ′ = π ◦ ϕ a π = π ′ ◦ ψ pro ′ ϕ : L → L takové, ˇze ψ ◦ ϕ = idL′ a ϕ ◦ ψ = idL , a nav´ıc πA A A A kaˇzdé A ∈ D o . D˚ ukaz. ϕ t4 s3 q1 p0 o/ n. m- k+ j* i) h( w v6 u5 L ?P U 7 L′ ?? Z _ d i n ?? ψ ′ ΠA ?? ΠA ~

A Protoˇze splˇ nuje podm´ınky (1) a (2) Definice 2.60, existuje morfismus ϕ ∈ Km (L′ , L), ′ = π ◦ ϕ. Podobnˇ pro kter´ y plat´ı πA e existuje morfismus ψ ∈ Km (L, L′ ), pro kter´ y plat´ı A ′ ′ ′ ◦ ψ ◦ ϕ = π ◦ ϕ = π ′ . Z jednoznaˇ πA = πA ◦ ψ. Tedy πA ◦ ϕ ◦ ψ = πA ◦ ψ = πA a πA cnosti A A ′ ◦ id ′ = π ′ morfismu v podm´ınce (3) Definice 2.60 a ze vztahu πA ◦ idL = πA resp. πA L A ymi izomorfismy. dostáváme ϕ ◦ ψ = idL resp. ψ ◦ ϕ = idL′ . Tedy ϕ a ψ jsou hledan´ L′

Limita diskrétn´ıho diagramu D = (D o , ∅) se naz´ yvá souˇcinem souboru objekt˚ u D o a znaˇc´ı Q u: se A∈Do A. Souˇciny vˇzdy existuj´ı v kategori´ıch modul˚ Pˇr´ıklad 2.63. Necht’ K = Mod-R a D = (D o , ∅) je diskrétn´ı diagram v K. 4 V @ y9 | L PPVPVPVPVVVV PPP VVVVπi+1 PP VVV K | πi PPPP VVVVVV VVV* PP( }||M ··· A1 ` O Q ∃!ϕ AO 2 6 Ai 4 Ai+1 πi′ S U π2′ ′ πi+1 π1′ Y ^ e% ′ E || π1 I | | π2

···

L

Do

Necht’ = (Ai | S i ∈ I). Poloˇzme L = Xi∈I Ai (kartézsk´ y souˇcin souboru mnoˇzin Ai , tj. L = {f | f : I → i∈I Ai , ∀i ∈ I : f (i) ∈ Ai }; tedy L je mnoˇzinou vˇsech posloupnost´ı f délky |I| takov´ ych, ˇze pro kaˇzdé i ∈ I je i-tá sloˇzka f prvkem Ai ). Na L definujeme strukturu pravého R-modulu ,,po sloˇzkách”. Pro f, g ∈ L a i ∈ I je tedy (f + g)(i) (−f )(i) (f · r)(i)

= = =

f (i) +Ai g(i) −Ai (f (i)) (f (i)) ·Ai r [ 0: I → Aj j∈I

j 7→ 0Aj

34

Jan Trlifaj

Systém morfism˚ u (πi | i ∈ I) definujeme následovnˇe: πi : L → Ai f 7→ f (i) πi je tedy projekce na i-tou sloˇzku. Ukáˇzeme, ˇze L se souborem morfism˚ u (πi | i ∈ I) je souˇcinem souboru D o v kategorii Mod-R. Podm´ınky (1) a (2) Definice 2.60 jsou zˇrejmˇe splnˇeny. Necht’ (viz. obrázek v´ yˇse) existuje objekt L′ ∈ Ko a soubor morfism˚ u (πi′ | i ∈ I) splˇ nuj´ıc´ı podm´ınky (1) a (2) z Definice 2.60. Pak zobrazen´ı ϕ definované vztahem ϕ : L′ → L x 7→ fx kde fx : I → i 7→

[

Ai i∈I πi′ (x)

je R-homomorfismem, nebot’ kaˇzdé πi′ (i ∈ I) je R-homomorfismus. Nav´ıc plat´ı, ˇze pro kaˇzdé i ∈ I a kaˇzdé x ∈ L′ je (πi ◦ ϕ)(x) = π(fx ) = π ′ (x), tj. pro kaˇzdé i ∈ I plat´ı πi ◦ ϕ = πi′ . Zb´ yvá dokázat jednoznaˇcnost R-homomorfismu ϕ. Necht’ ϕ′ : L′ → L je R-homomorfismus, pro kter´ y plat´ı, ˇze pro kaˇzdé i ∈ I je πi ◦ ϕ′ = πi′ . Pak pro kaˇzdé x ∈ L′ a kaˇzdé i ∈ I je (πi ◦ ϕ)(x) = πi′ (x) = (πi ◦ ϕ′ )(x). Tedy ϕ i ϕ′ zobraz´ı prvek x z L′ na tutéˇz posloupnost v L, tj. ϕ = ϕ′ . Limita následuj´ıc´ıho diagramu v kategorii K α

A

) 5B

β

se naz´ yvá ekvaliz´ ator morfism˚ u α a β v K. Ekvalizátory vˇzdy existuj´ı v kategori´ıch modul˚ u: Pˇr´ıklad 2.64. Necht’ K = Mod-R. LO ∃! ϕ

O

O

O

πA

α

/A >

) 5B

β

′ πA

L′ Poloˇzme L = {a ∈ A | α(a) = β(a)}; zˇrejmˇe L je podmodulem v A. Oznaˇcme jako πA inkluzi L ֒→ A. Pak α ◦ πA = β ◦ πA , tedy m˚ uˇzeme poloˇzit πB = α ◦ πA . ′ , π ′ splˇ Necht’ existuje prav´ y R-modul L′ a R-homomorfismy πA nuj´ıc´ı (1) a (2) z definice B ′ ′ ′ ′ , tedy Im π ′ ⊆ L. R2.60. Pro R-homomorfismus πA mus´ı platit πB = α ◦ πA = β ◦ πA A ′ (x) pro kaˇ homomorfismus ϕ v Definici 2.60 tedy m˚ uˇzeme definovat vztahem ϕ(x) = πA zdé ′ ′ ′ z ∈ L . Pokud existuje R-homomorfismus ϕ : L → L splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku (3), pak nutnˇe ϕ′ = ϕ, nebot’ πA je inkluze. Tedy R-modul L spolu s R-homomorfismy πA a πB je ekvalizátorem α a β v K. Definice 2.65. Necht’ K je kategorie. K se naz´ yvá u ´pln´ a pokud kaˇzd´ y diagram D má v K limitu.

ALGEBRA I

35

Následuj´ıc´ı vˇeta vysvˇetluje, proˇc jsme se zat´ım podrobnˇeji zab´ yvali jen konstrukc´ı souˇcin˚ u a ekvalizátor˚ u: Vˇ eta 2.66. Necht’ K je kategorie. Potom K je u ´pln´ a pr´ avˇe kdyˇz v K existuj´ı souˇciny a ekvaliz´ atory. D˚ ukaz. Implikace ⇒ je zˇrejm´ a. Naopak, sestroj´ıme limitu obecného diagramu D v K za pˇredpokladu, ˇze v K existuj´ı souˇciny a ekvalizátory. Necht’ D = (D o , D m ) je diagram v K. f

Af

/ Bf u: O u πB uu ρBf πAf fuuu u u u Q α / Q Bf A / / f ∈Dm A∈D o O

L

γ

β

Q

o cinem souboru vˇsech objekt˚ u diagramu Necht’ A∈DQ o A spolu s morfismy (πA | A ∈ D ) je souˇ ych D, zat´ımco f ∈Dm Bf spolu s morfismy (ρBf | f ∈ D m ) je souˇcinem souboru koncov´ objekt˚ u (kodomén) Bf vˇsech morfism˚ u f diagramu D. Q Q Uˇzit´ım podm´ınek (1) a (2) z Definice 2.60 pro L = f ∈Dm Bf a L′ = A∈Do A se souborem morfism˚ u (πBf | f ∈ D m ) dostáváme existenci morfismu α s vlastnost´ı ∀ f ∈ D m : ρBf ◦ α = πBf . Q Q Podobnˇe, uˇzit´ım podm´ınek (1) a (2) z Definice 2.60 pro L = f ∈Dm Bf a L′ = A∈Do A se souborem morfism˚ u (f ◦ πAf | f ∈ D m ) dostáváme existenci morfismu β s vlastnost´ı m ∀ f ∈ D : ρBf ◦ α = f ◦ πAf . Necht’ nyn´ı L a γ, α◦γ znaˇc´ı ekvalizátor morfism˚ u α a β. Dokáˇzeme, ˇze (L, πA ◦γ (A ∈ D o )) je limitou diagramu D v K. σB

L′ C O ∃! ϕ

O

O O

L

$ / Bf u: O C πBf uuu u C ρBf πAf u uu ε C! uu Q Q α / Bf A / / f ∈Dm o γ A∈D σA

/ Af O

f

β

Ovˇeˇr´ıme podm´ınky Definice 2.60: (1) Je zˇrejmé. (2) Máme dokázat, ˇze pro kaˇzd´ y morfismus f ∈ D m plat´ı: f ◦ πAf ◦ γ = πBf ◦ γ. Ale β ◦ γ = γ ◦ α, tedy f ◦ πAf ◦ γ = ρBf ◦ β ◦ γ = ρBf ◦ α ◦ γ = πBf ◦ γ. (3) Necht’ L′ a soubor morfism˚ u (σA | A ∈ D o ) splˇ nuje podm´ınky (1) a (2) zQDefinice Q 2.60. Protoˇze A∈Do A je souˇcinem souboru D o , existuje morfismus ε : L′ → A∈Do A takov´ y, ˇze ∀ A ∈ D o : πA ◦ ε = σA . Pro kaˇzdé f ∈ D m máme: ρBf ◦ (α ◦ ε) = πBf ◦ ε = σBf = f ◦ σAf = f ◦ πAf ◦ ε = ρBf ◦ (β ◦ ε). Q Z jednoznaˇcnosti morfismu v podm´ınce (3) definice souˇcinu f ∈Dm Bf plyne, ˇze α ◦ ǫ = β ◦ ǫ. Definice ekvaliz´ atoru dává morfismus ϕ : L′ → L takov´ y, ˇze γ ◦ ϕ = ε, a o tedy ∀ A ∈ D : (πA ◦ γ) ◦ ϕ = σA .

36

Jan Trlifaj

Zb´ yvá dokázat jednoznaˇcnost morfismu ϕ. Necht’ ϕ′ : L′ → L je morfismus pro kter´ y ′ ′ plat´ı: πA ◦ γ ◦ ϕ = σA . Pak πA ◦ (γ Q◦ ϕ) = σA = πA ◦ (γ ◦ ϕ ). Jednoznaˇcnost morfismu v podm´ınce (3) definice souˇcinu A∈Do A dává γ ◦ ϕ = γ ◦ ϕ′ = ε. Z jednoznaˇcnosti morfismu ϕ v definici ekvaliz´ atoru máme koneˇcnˇe ϕ = ϕ′ . Z Pˇr´ıklad˚ u 2.63 a 2.64 a Vˇety 2.66 máme okamˇzit´ y D˚ usledek 2.67. Kategorie Mod-R je u ´pln´ a. Velkou v´ yhodou kategoriáln´ıho pˇr´ıstupu k algebˇre je snadná moˇznost dualizace z´ıskan´ ych v´ ysledk˚ u pomoc´ı pojmu duáln´ı kategorie, která má oproti v´ ychoz´ı kategorii stejné ”body”, ale obrácené ”ˇsipky” a obrácené poˇrad´ı skládán´ı morfism˚ u: Definice 2.68. Necht’ K = (Ko , Km , ◦) je kategorie. Pak uspoˇrádaná trojice K∗ = (K∗ o , K∗ m , ◦∗ ) se naz´ yvá du´ aln´ı kategori´ı ke kategorii K, pokud o ∗ (1) K = Ko (2) ∀A, B ∈ Ko : K∗ m (A, B) = Km (B, A) (3) ∀f ∈ Km (A, B), ∀g ∈ Km (B, C) : f ◦∗ g = g ◦ f . Definice 2.69. Necht’ K je kategorie. (1) Kolimita diagramu D v K je definována jako limita diagramu D v K∗ . (2) Kosouˇcin souboru v K je definován jako souˇcin téhoˇz souboru v K∗ . (3) Koekvaliz´ ator α a β (α, β ∈ Km (A, B)) v K je definován jako ekvalizátor α a β v K∗ . (4) Kategorie K je ko´ upln´ a , pokud kaˇzd´ y diagram D v K má v K kolimitu. Podle Vˇety 2.66 je kategorie K ko´ uplná právˇe kdyˇz v K existuj´ı kosouˇciny a koekvalizátory. Speciálnˇe, k d˚ ukazu ko´ uplnosti kategori´ı modul˚ u Mod-R staˇc´ı pouze sestojit kolimity diskrétn´ıch diagram˚ u a koekvaliz´ atory v Mod-R. To provedeme v následuj´ıc´ıch dvou pˇr´ıkladech: Pˇr´ıklad 2.70. Necht’ K = Mod-R. Uvaˇzme diskrétn´ı diagram D = (D o , ∅). Sestroj´ıme kosouˇcin souboru D o = (Mi | i ∈ I). L jVPh V |= O PPVPVPVPVVVVV ν | PPP VVVi+1 ν1 || VV P | ν2 | νi PPPP VVVVVV VVV PP || ···

··· Ai+1 S Objekt L ∈ Mod-R definuje následovnˇe: L = {f | f : I → i∈I Mi , f (i) ∈ M Qi , a mnoˇzina {i ∈ I | f (i) 6= 0} je koneˇcná }. L je zˇrejmˇe nosiˇcem podmodulu modulu P = i∈I Mi tvoˇren´ ym vˇsemi skoro vˇsude nulov´ ymi posloupnostmi z P . Soubor morfism˚ u (νi | i ∈ I) definujeme následovnˇe: A1

A2

Ai

νi : Mi → L m 7→ fm,i kde fm,i je definováno jako fm,i : I →

[

Mj

j∈I

i 7→ m j= 6 i 7→ 0Mj

ALGEBRA I

Nyn´ı dokáˇzeme, ˇze

L

Mi se souborem (νi | i ∈ I) je kosouˇcinem souboru D o v Mod-R. L Q ⊆ i∈I Mi kXX i∈I Mi

i∈I

v:

ν1 vvv

M1

37

v vv vv

µ1

ν2

O [ Y

W

U S

M2 µ2

$ us C

E

G

I

K

Q

M

O

iSSSXSXXXXX JJ JJπi+1 SSSS XXXXXνi+1 J SSSS XXXXXX πi XXXXX JJJJ νi SSSS X X SS XXX $

···

∃! ϕ

Mi

Mi+1

···

µi µi+1

C L νi je zˇrejmˇe prvkem Km (Mi , i∈I Mi ). Necht’ C se souborem morfism˚ u (µi | i ∈ I) splˇ nuje podm´ınky (1) a (2) z definice kosouˇcinu (= souˇcinu v duáln´ı kategorii). Definujme morfismus ϕ vztahem M ϕ: Mi → C i∈I

X

7→

f

µi (πi (f ))

i∈I

P (V´ yraz i∈I µi (πi (f ))P má smysl, protoˇze πi (f ) = 0 pro skoro vˇsechna i ∈ I.) Pro kaˇzdé i ∈ I a kaˇzdé m ∈ Mi plat´ı j∈I µj (πj (νi (m))) = µi (πi (νi (m))) = µi (m). Tedy ∀ i ∈ I : ϕ ◦ νi = µi . L Zb´ yvá ukázat jednoznaˇcnost R-homomorfismu ϕ. Necht’ ϕ′ : i∈I Mi → C je takov´ y, ˇze ∀ i ∈ I : ϕ′ ◦ νi = µi . Dokáˇzeme, ˇze ϕ′ = ϕ. Necht’ i ∈ I a m ∈ Mi . Podle pˇredpokladu je ϕ′ (νi (m)) = µi (m), tedy ϕ′ a L ϕ se shoduj´ı na νi (Mi ) pro kaˇzdé i ∈ I.SProtoˇze ϕ a ϕ′ jsou R-homomorfismy a kaˇzdé x ∈ i∈I Mi je koneˇcn´ ym souˇctem prvk˚ u z i∈I νi (Mi ), je nutnˇe ′ ϕ = ϕ. Pˇr´ıklad 2.71. V tomto pˇr´ıkladˇe sestroj´ıme koekvalizátor, tj. kolimitu diagramu α

A

) 5B

β

v kategorii K = Mod-R. α

A

γ

) 5B

β γ′

/C O O ∃! ϕ O

C′ Definujme podmodul B ′ = {b ∈ B | ∃ a ∈ A : b = α(a) − β(a)} modulu B, a dále C = B/B ′ , a R-homomorfismus γ: γ: B → C b 7→ b + B ′ Pak γ ◦ β = γ ◦ α. Ukáˇzeme, ˇze C s morfismy γ ◦ α a γ je koekvalizátor α a β. Podm´ınky (1) a (2) z Definice 2.60 jsou pro diagram D v K∗ zˇrejmé. Necht’ C ′ je prav´ y R-modul a necht’ ′ m ′ ′ ′ γ ∈ K (B, C ) je takov´ y R-homomorfismus, ˇze γ ◦ β = γ ◦ α. Máme γ ′ ◦ (α − β) = 0, ˇcili ′ Ker γ ⊇ Im (α − β) = B ′ = Ker γ. Podle Vˇety 2.49 existuje právˇe jeden R-homomorfismus ϕ : C → C ′ , pro kter´ y plat´ı ϕ ◦ γ = γ ′ a d˚ ukaz je hotov. D˚ usledek 2.72. Kategorie Mod-R je ko´ upln´ a.

38

Jan Trlifaj

Pozn´ amka 2.73. Necht’ K = Mod-R a D = (D o , ∅) je diskréQ tn´ı diagram, D o = (Mi | i ∈ I). L Podle Pˇr´ıkladu 2.70 je modul Mi vˇzdy podmodulem v i∈I Mi , a pokud je D o koneˇcn´ y, i∈IQ L plat´ı dokonce rovnost: i∈I Mi = i∈I Mi .

Teorie kategori´ı se nezab´ yvá pouze jednotliv´ ymi kategoriemi, ale pˇredevˇs´ım ”morfismy” mezi kategoriemi, tzv. funktory: Definice 2.74. Necht’ K a L jsou kategorie. Dvojice F = (F o , F m ) se naz´ yvá kovariantn´ı funktor z K do L pokud F o zobrazuje Ko do Lo , a F m zobrazuje Km do Lm tak, ˇze pro kaˇzdé objekty A, B, C ∈ Ko a kaˇzdé morfismy v Km , f : A → B a g : B → C, plat´ı (1) F m (f ) ∈ Lm (F o (A), F o (B)); (2) F m (g ◦ f ) = F m (g) ◦ F m (f ); (3) F m (idA ) = idF o (A) . Pojem kontravariantn´ıho funktoru je definován analogicky: podm´ınka (3) je stejná, ale v (1) poˇzadujeme F m (f ) ∈ Lm (F o (B), F o (A)) a (2) je nahraˇzena identitou F m (g ◦ f ) = F m (f ) ◦ F m (g). Tedy kontravariantn´ı funktor z K do L je totéˇz, co kovariantn´ı funktor z K do L∗ .

Pˇr´ıklad 2.75. Kaˇzd´ y prav´ y R-modul M indukuje dva z´ akladn´ı funktory z kategorie Mod-R do kategorie vˇsech komutativn´ıch grup (= Z-modul˚ u): (1) kovariantn´ı funktor HomR (M, −) = (F o , F m ) definovan´ y vztahy F o (N ) = HomR (M, N ) m a F (f ) = HomR (M, f ), kde HomR (M, f ) : HomR (M, A) → HomR (M, B) je pro f ∈ HomR (A, B) urˇceno vztahem HomR (M, f )(g) = f ◦ g, a (2) kontravariantn´ı funktor HomR (−, M ) = (Go , Gm ) definovan´ y Go (N ) = HomR (N, M ) m a G (f ) = HomR (f, M ), kde HomR (f, M ) : HomR (B, M ) → HomR (A, M ) je pro f ∈ HomR (A, B) urˇceno vztahem HomR (f, M )(g) = g ◦ f . Pozn´ amka 2.76. Studium z´ akladn´ıch funktor˚ u a jejich derivovan´ ych funktor˚ u je centráln´ım tématem matematické discipl´ıny zvané homologická algebra. Ta se pouˇz´ıvá i v mnohem obecnˇejˇs´ıch kategori´ıch, neˇz jsou kategorie modul˚ u, tzv. abelovsk´ ych kategori´ıch.

ALGEBRA I

39

Literatura 1. T. W. Hungerford: Algebra, Graduate Texts in Mathematics 73, Springer Vlg., New York – Berlin 1980. 2. S. Mac Lane, G. Birkhoff: Algebra, 3rd ed., Chelsea, New York 1988. 3. C. Menini, F. van Oystaeyen: Abstract Algebra, M. Dekker, New York – Basel 2004. 4. S. Lang: Algebra, Revised 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics 211, Springer Vlg., New York – Berlin 2002. 5. L. Procházka a kol.: Algebra, Academia, Praha 1990. 6. E. B. Vinberg: A Course in Algebra, Graduate Studies in Mathematics 56, Amer. Math. Soc., Providence 2003.

Rejstˇr´ık K-algebra, 20

ideál, 21 extenze do pod´ılového okruhu, 26 hlavn´ı, 22 kontrakce, 26 maximáln´ı, 26 izomorfismus grupov´ y, 5, 8 monoidov´ y, 3 okruhov´ y, 22 v kategorii, 33

akce grupy na mnoˇzinˇe, 11 algebra cest grafu, 21 algebraická mnoˇzina, 27 ireducibiln´ı, 28 centrum grupy, 12 okruhu, 19 charakter regulárn´ı reprezentace, 19 reprezentace, 17

jednotka, 2 jádro homomorfismu, 3

diagram, 32 diskrétn´ı, 32 komutativn´ı, 32 doména morfismu, 31 dˇelen´ı v grupoidu, 4

kanonická projekce, 9, 23 kategorie, 31 duáln´ı, 36 grup, 31 ko´ uplná, 36 mnoˇzin, 31 modul˚ u, 32 u ´plná, 34 kodoména morfismu, 31 koekvalizátor, 36 kolimita, 36 kosouˇcin v kategorii, 36 krácen´ı v grupoidu, 4 kvazigrupa, 4

ekvalizátor, 34 faktorová grupa, 9 funktor kontravariantn´ı, 38 kovariantn´ı, 38 základn´ı, 38 grupa, 4 alternuj´ıc´ı, 5 cyklická, 7 jednoduchá, 16 komutativn´ı, 4 nilpotentn´ı, 12 obecná lineárn´ı, 16 projektivn´ı speci´ aln´ı lineárn´ı, 16 speciáln´ı lineárn´ı, 16 symetrická, 4 zbytkov´ ych tˇr´ıd modulo n, 9 grupoid, 2

lemma Burnsideovo, 12 limita diagramu, 32 lokalizace, 27 lupa, 4 modul, 29 faktorov´ y, 30 nad algebrou cest grafu, 30 regulárn´ı, 30 monoid, 2 komutativn´ı, 2 transformaˇcn´ı, 2 morfismus v kategorii, 31 multiplikativn´ı mnoˇzina, 24

homomorfismus grupov´ y, 5 modulov´ y, 30 monoidov´ y, 3 okruhov´ y, 22 horn´ı centráln´ı ˇrada, 12

objekt v kategorii, 31 obor integrity, 24 40

ˇ ÍK REJSTR

okruh, 19 cel´ ych ˇc´ısel, 20 endomorfism˚ u, 29 faktorov´ y, 23 hlavn´ıch ideál˚ u, 22 horn´ıch troj´ uheln´ıkov´ ych matic, 20 jednoduch´ y, 22 komutativn´ı, 19 lokáln´ı, 28 opaˇcn´ y, 29 pod´ılov´ y, 25 klasick´ y, 25 polynom˚ u, 20 souˇradnicov´ y, 28 zbytkov´ ych tˇr´ıd modulo n, 20 ˇctvercov´ ych matic, 20 orbita, 11 podalgebra, 21 podgrupa, 5 generovaná, 7 normáln´ı, 8 podmodul, 30 podmonoid, 3 podokruh, 21 pod´ılové tˇeleso, 26 pologrupa, 2 primárn´ı komponenta grupy, 14 prvek idempotentn´ı, 24 invertibiln´ı, 4 inverzn´ı, 3 konjugovan´ y, 8 nilpotentn´ı, 24 regulárn´ı, 24 prvoideál, 26 prvookruh, 21 reprezentace algebry, 29 ekvivalentn´ı, 17 grupy, 16 regulárn´ı, 18 vˇerná, 16 rozklad grupy podle podgrupy, 6 souˇcin grup, 13

souˇcin v kategorii, 33 stabilizátor, 11 stupeˇ n nilpotence, 12 translace, 3 transverzála, 6 tˇeleso, 20 vnitˇrn´ı automorfismus, 8 vˇeta 1. o izomorfismu, 9, 23, 31 2. o izomorfismu, 10, 23, 31 3. o izomorfismu, 10, 31 Cayleyho pro grupy, 6 pro monoidy, 3 Frobenius-Stickelbergerova, 15 Lagrangeova, 7 o homomorfismu, 9, 23, 31 Poincarého, 7 ˇrád grupy, 7 prvku v grupˇe, 7

41

42

ˇ ÍK REJSTR

´ 83, 186 75 Praha 8 Katedra algebry MFF UK, Sokolovska E-mail address: [email protected]

ALGEBRA I. Hlavním tématem je teorie grup. Kromě základních vlastností grup se věnujeme jejich

Recommend Documents