A Föld mérete
A Föld mérete
napfény
Eratoszthenész, Eratoszthenész, i.e. III. század Szüénében és Alexandriában a nyári napnapforduló idején nem ugyanolyan irányban látszik a Nap! Azonos délkörön vannak.
1 /4 4
1 stádium = 600 láb (157 – 211 m között) A tevekaraván 1 napi útja: 100 stádium A tevekaraván 50 nap alatt ér Alexandriából Szüénébe:: 5000 st Szüénébe
Alexandria Szüéné
FÖLD
A Föld kerülete: (360 : 7° 7° 14 14’’) · 5000 = 250000 s tádium Kb. 45 ezer km (a 40 ezer km helyett)
2 /4 4
Hold
A Hold távolsága
3 /4 4
Nap
r
A Nap mérete
90° d 87°
Pontos érték: 89° 89 °52’
Föld
Hipparkhosz, i.e. II. század Hipparkhosz, Holdfogyatkozás: a Föld árnyékának íve A Hold átmérője kb. harmada a Földének (valójában: 0,27) Távolsága 33 földátmérő (valójában: 30,2 földátmérő)
Arisztarkhosz: a Nap látószöge 2° Arisztarkhosz: 2° A tá tá vols volsá á gb gbó ól a mé méret meghatá meghatá rozhat rozható ó
7-szer akkora, mint a Fö Föld Akkor mié mié rt a Fö Föld kering a Nap kö k örül??? Való Val ódi é rt rté é kek:
A Nap távolsága
Arisztarkhosz , i.e . III. század Arisztarkhosz, Hasonló Hasonl ósággal: r = 7,6 millió km (a 150 m illió illió km helyett)
- lá tósz szö ög: 0,5° 0,5° - mé ret: 103103-szor akkora, mint a Fö Föld
4 /4 4
Peripatetikus* dinamika
Arisztotelész (i.e. IV. szd szd.): .): az ókori fizika összefoglalása Égi mozgások: örök rend szerint (nem igényel magyarázatot) Földi mozgások: • az élőlények mozgása (tudnak mozogni) • természetes mozgás (könnyű föl, nehéz le, a megzavart rend helyreállítása) • kényszerített mozgás: a mozgáshoz mozgatóra van szükség
Peripatetikus dinamika a mozgás fenntartásához erőre van szükség
a mozgás(állapot) megváltoztatásához erőre van szükség
v ~F
∆v/ v/∆ ∆t ~ F
a mozgató az erő irányában van
a „mozgat mozgató” ó” a gyor gyor-sulá sul á s ir irá á ny nyá á ban van
F=0⇒v =0 F = á ll. ⇒ v = á ll. a mozgás folyamat
Égi fizika
Newtoni dinamika
F = 0 ⇒ v = á ll. a mozgás állapot
Ptolemaiosz (i.sz. II. szd szd.) .) • a bolygómozgás leírása a geocentrikus világkép alapján • epiciklusok 55 kristálygömb
Csillagjóslás XV.-- XVI. század: XV. egyre jelentősebb eltérések (gravitáció!) 9 /4 4
1
Kopernikusz (1473 – 1543)
Tycho Brahe (1546 – 1601)
1500 körül: az epiciklusok elvetése: „az égitestek a maguk tökéletességében csak tökéletes körpályákon mozoghatnak” Ellentét a geocentrikus világképpel 1543 (halálának éve): Az égi pályák körforgásáról heliosztatikus világkép Ellentét a megfigyelésekkel!
Brahe világképe
A távcső előtti kor utolsó nagy csillagásza. Megfigyelések Uranienborgban (ég kapuja). Parancsoló, fölényes modor, párbaj. Aranyorrot köve telt az ezüst helyett. II. Frigyes halála után Prágába ment. A szigetlakók szétve rték a műsze reket, földig rombolták az épületeke t. Sírja a Tyn Tyn-- templomban van.
1 0 /44
Tycho Brahe asszisztense A bolygómozgás törvényei Brahe nagyon pontos mérései alapján A marspálya alakjának meghatározása (8’ eltérés)
„Lactantius szent ugyan, aki tagadta a Föld gömb alakját. Ágoston is szent, aki a gömb alakot elfogadta ugyan, de tagadta, hogy az ellentétes oldalon is élnek emberek. A mai officium is szent, amely elfogadja a Föld kicsinységét, de mozgását tagadja. De még szentebb számomra az igazság, amikor az egyháztanítók iránti tiszteletem ellenére bebizonyítom, hogy a Föld gömbölyű, az ellentétes oldalán is laknak, jelentéktelenül kicsiny, és mozog is az égitestek között.” (Astronomi a Nov a) 1 4 /44
Kepler 1. törvénye
1609: Astronomia Nova (1. és 2. törvény) 1619: Harmonices mundi (3. törvény) Működő heliocentrikus világkép! Egyenértékű a ptolemaioszi rendszerrel! Döntés: dinamika
1 2 /44
Kepler a természettudományról
Grazban tanít matematikát 1596: Myste rium Cosmographium 1600: Tycho Brahe meghívja Prágába 1601: meghal Brahe , Keple r lesz a királyi csillagász (II. Rudolf ⇒ Bécs) Pe r az örökségé rt A Keple rr- törvények felismerése 1612: a luthe ránusokat elüldözik Prágából Fe lesége, 2 fia meghal a harmincéves háborúban Linzben újra megnősül, 2 nyomorék lánya születik (hamarosan meghalnak)
Kepler törvényei
Johannes Kepler
„A szemünk kel l átott dol gok lét ezésétől el jussunk létezésük és mozgásuk o kaihoz.”
1 3 /44
A Föld a világegyetem középpontja, nyugalomban van A Föld körül kering a Hold és a Nap A bolygók a Nap körül keringenek Geoheliosztatikus világkép „Az ég nem egy szilárd gömb – mint sokan vélték.”
1 1 /44
Kepler (1571 – 1630)
Kepler 2. törvénye A Napot a bolygóval összekötő vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol. - napközelben nagyobb v - naptávolban kisebb v
A bolygók olyan ellipszispályán keringenek a Nap körül, melynek egyik fókuszpontjában a Nap áll.
F1
1 5 /44
vm ~ 1/r 1/r
F2
⇒
vm·r = álland llandó ó
A sebessé sebesség a naptá naptávols volsá ágt gtó ól fü f ügg!!! (A Nap mó módos dosíítja???) 1 6 /44
1 7 /44
1 8 /44
2
J
Kepler 3. törvénye
Newton (1642 – 1727)
Galilei (1564 – 1642) 5 CsE
A naptávolságok köbe arányos a keringési idők négyzetével. a3 ~ T 2 ⇒
Arisztotelész: v ~ F ⇒ a testek álland llandó ó sebess sebessé éggel esnek lefelé lefelé Arisztotelé Arisztotel ész óta senki sem mé mérte meg! Galilei bevezeti a mozgá mozgások kí kísérleti vizsgá vizsg álat latá át! A test gyorsulva esik (gravitá (gravit áci ció ó!): v ~ t ⇒ v = a· t ⇒ s = vátlag·t = (0 + a·t)/2 )/2··t = a·t 2/2
(a2/a1)3 = (T (T 2/T 1)2
A Naprendszer felmérése, az ismert bolygók naptávolsága! Például Jupiter: T = 11,86 év (aJ/1 CsE)3 = (11,86 év/1 év)2 aJ = 5,2 CsE
F
1 CsE Nap
1 9 /44
A heliocentrikus világkép dinamikai bizonyítéka
A gravitációs törvény m1
Az egyenletes körmozgás dinamikai feltétele: az eredő erő a kör középközéppontja felé mutat (ellipszis esetén az egyik fókusz felé). v Ott van a Nap!!! Fcp F cp = mr ω2 = mv2/r
1. A mozgás (sebesség) megváltoztatásához kell erő! 2. Fe = m·a 3. A kö k ölcs lcsö önhat nhatá á s tö törv rvé é nye: F12 = -F21
2 0 /44
F1
A gravitációs törvény Kepler 3. törvénye 2 3 T2 r alapján: = 2 T r 1 1
2
Fcp
így:
a
4π 2 2π = mr ω 2 = mr = mr 2 T T
F1 = F2
m1r1 m2r2
4π 2 T12
4π 2 T22
2 1 /44
F2 m2
Körmozgás:
1687: Principia mathematica philosophiae naturalis (A természetfilozófia matematikai elvei): A mechanika törvényei
F1 m1 r1 T22 m1 r1 r23 m1 r22 = = = F2 m2 r2 T12 m2 r2 r13 m2 r12
így:
=
m1 r1 T22 m2 r2 T12
azaz:
F~
m r2
2 3 /44
A gravitációs állandó
A gravitációs törvény
m
M F
Gravitáció: F ~ M/ r 2 Az F = m·a miatt: F ~ m Így:
F~
mM r2
,
F=f
2 4 /44
A Föld tömege
Cavendish (1731 – 1810) A gravitációs törvény kísérleti igazolása torziós ingával f = 6,67· 6,67·10-11 Nm2/kg2 (1798)
m ⋅g = f ⋅
mM
M=
r2 2 5 /44
2 6 /44
m⋅ M r2
(
g ⋅ r 2 9,81 ⋅ 6371 ⋅ 10 3 = f 6,67 ⋅ 10 −11
)2 kg = 6 ⋅1024 kg 2 7 /44
3
m⋅ M m ⋅ r ⋅ω = f ⋅ 2 r 2
m
Fcp
2
m ⋅M 2π m ⋅ r ⋅ =f⋅ 2 r T 3
M =
2
(
3 3
6
r 2π 150⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ = f T 6, 67 ⋅ 10−11
I. kozmikus sebesség (körsebesség)
A Neptunusz felfedezése
A Nap tömege
)
XIX. szd szd.: .: az Uránusz egy darabig sietett, aztán késett a pályáján. Számítások: Adams és Leverrier (1845 (1845-- 46) Felfedezés: Galle Galle,, 1846. szept. 23.
v2 mM =f 2 r r fM v = = 7,9 km/s r 6,67 ⋅ 10-11 ⋅ 6 ⋅ 1024 6378 ⋅ 103 Fcp = m
Fcp
2
2π 30 ⋅ kg = 2 ⋅ 10 kg 365⋅ 24 ⋅ 3600
Urbai n L everr ier (1811- 1877)
Gottfri ed Galle (1812- 1910)
2 8 /44
A sebesség nem függ a tömegtől!
Az űrhajós és az űrhajó ugyanakkora sebességgel mozog ⇒ Nem vá v á ltozik az egymá egymá shoz viszonyíított helyzet! viszony
3 0 /44
Geoszinkron műholdak
A keringési idő
Súlytalanság
Ke ringési idő: 24 óra
s 2π ⋅ r T= = = v v 6,28 ⋅ 6378 ⋅ 103 = 7900 = 5070s = 84 perc
m ⋅r ⋅ω2 = f
mM r2
Magasság: 42000 – 6400 km = 36000 km
2
2π mM m ⋅ r ⋅ =f 2 r T 2
2
T − 11 24 24 ⋅ 3600 r 3 =f ⋅ M ⋅ = 6,67 ⋅ 10 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ 2π 6,28
S úlytalans lytalansá ág
r = 3 7,575 ⋅ 10 22 = 4,2 ⋅10 7 m = 42000 km 3 1 /44
II. kozmikus sebesség (szökési sebesség)
3 2 /44
1
Utazás a Titánra
3 3 /44
Az űrhajó útja Kepler III. törvénye alapján:
Eöss z < 0: kötött állapot Eöss z ≥ 0: szabad állapot
3
Űrhajóval meglátogatjuk a Szaturnusz Titan nevű holdját. Legalább hány kmkm- t kell megtennünk, ha a bolygó Nap körüli keringési ideje 29,46 év? A Föld – Nap távolság: 149,6 millió km
1 2
mM ≥0 r 1 mM Eössz = 0 ⇒ mv 2 = f 2 r 2fM v= = 2 ⋅ v kör = 11,2 km/s r Eössz = Em + E p = mv 2 − f
3 4 /44
2
rSz T 2 = Sz = 29,46 1 CsE 1 év rSz = 3 29,46 2 CsE = 9,54 CsE = = 9,54 ⋅ 149,6 millió km = 1,43 ⋅ 109 km s ≥ 1,43 ⋅ 10 9 − 149 ,6 ⋅ 10 6 km = 1,28 ⋅ 10 9 km (Cassini Cassini:: 3,5· 3,5·109 km) 3 6 /44
4
Radaros távolságmé távolságmé-rőnk 49200 kmkm- t jelzett, amikor az égitest látólátószöge 6° 6°- ra növekedett. Mekkora a Titán átmérője?
A Titán átmérője
2
d
r
α
d α = 2π ⋅ r 360 ° d=
α 360 °
3
A Titán tömege
A Titán tömege
240 km magasan pályára álltunk az égitest körül. A keringési idő 165 perc volt. Mekkora a Titán tömege?
2
6
r = 5150/2 + 240 km = 2,815 · 10 m T = 165 · 60 s = 9900 s
⋅ 2π ⋅ r = 5150 km 3 7 /44
4
5
G = mg = f
−11
G = 6,67 ⋅ 10
⋅
100 ⋅ 1,35 ⋅ 1023 5150 ⋅ 10 3 2
2
kg = 136 N
(13,6 kg)
6 3
M=
(2,815 ⋅ 10 ) 6,67 ⋅ 10−11
r 3 2π f T
2
2
2π ⋅ = 1,35 ⋅ 1023 kg 9900
2
r =3
4 1 /44
7
Vissza az űrhajóhoz
Vissza a Földre
r
2
M fMT 2 2π =f 3 ⇒ r =3 T r 4π 2
T =16 nap = 16· 16·24 24··3600 s =1,38· =1,38·10 s
6
3 9 /44
mM 2π Fcp = mrω 2 = mr =f 2 T r
6
4 0 /44
(
6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 1,35 ⋅ 10 23 ⋅ 1,38 ⋅ 10 6 4π
h
)2
2
r = 7,58 ⋅ 10 7 m = 75800 km h = 75800 − 2575 km = 73225 km 4 2 /44
Mekkora sebességgel kell indítani az űrhajót, hogy visszajusson a Földre?
Mekkora sebességgel emelkedjen fel a leszálló egység?
v =
⇒ M=
Az űrhajó magassága
A szinkronszinkronpálya sugara
Milyen magasan keringjen az űrhajó, hogy mindig a leszállóhely fölött maradjon? A Titán tengelyforgási ideje 16 nap (kötött!).
mM r2
fM 2π = 3 r T
3 8 /44
Az űrhajós súlya
Le akarunk szállni a Titánra. Mekkora lesz az űrruhástól 100 kg tömegű űrhajós súlya a felszínen?
mM r2
Fcp = Fgrav ⇒ mrω 2 = f
f ⋅M 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 1,35 ⋅ 10 23 m = r s 2,575 ⋅ 10 6
v szökési = 2 ⋅ v kör
m km km v = 1870 = 1,87 = 6732 s s h
v = 2 ⋅ 1870
m m = 2645 s s
4 3 /44
5
