A váltakozó áramú hálózatok

A váltakozó áramú hálózatok Az egyenáramú hálózatokkal foglalkozó fejezeteinkben a vizsgált áramkörökben minden ág árama és feszültsége az idő függvényében állandó volt, vagyis sem az irányuk, sem a nagyságuk nem változott (l. az 1. fejezetben). A váltakozó áramú hálózatokban a feszültség iránya (polaritása) és a nagysága is változik az idő függvényében. Azt a feszültséget, melynek változik az iránya, váltakozó feszültségnek és a hatására kialakuló áramot váltakozó áramnak nevezzük. 1. A váltakozó áram és feszültség fogalma, jellemzői Az iparban, valamint a háztartásokban használt hálózati feszültség alakja szinuszos, tehát iránya és nagysága is ismétlődően, azaz periodikusan változik. A váltakozó áram elnevezés alatt a gyakorlatban szinuszos váltakozó áramot értünk (1. ábra). i im i(t0)

i im α/ω = T/8 t0

t (ωt)

t (ωt)

α = π/4

-im

-im T (2π) a)

T (2π) b) 1 ábra

A váltakozó mennyiség periodikus, tehát egy adott időtartam eltelte után a jelalak azonosan megismétlődik. Tehát a változó áramú körökben az áram és a feszültség értéke pillanatról pillanatra változik, ezért az idő függvényeként adható meg ( u(t), i(t) ). A változó áramnak, illetve feszültségnek egy adott időponthoz (t0) tartozó értéke a pillanatérték, melyet mindig kis betűvel jelölünk). A pillanatérték az időfüggvény t = t0-beli helyettesítési értéke: u(t0), i(t0), stb. A két egymáshoz legközelebb eső azonos fázishelyzetű pillanatérték közti tartomány a periódus, vagy teljes hullám, s az ehhez tartozó idő a periódusidő, amelyet T-vel jelöljük (1a ábra). Egy jel periodikussága azt jelenti, hogy az áram nemcsak egyszer veszi fel ugyanazt a pillanatértéket, hanem valamennyi T idő múlva periodikusan megismétlődik a jel értéke és a fázishelyzete is. Azonos fázishelyzetről akkor beszélünk, amikor nemcsak a pillanatérték, hanem abban a pillanatban változási sebessége is megegyezik. A két egymáshoz legközelebb eső azonos fázishelyzetű pillanatérték közti tartomány a periódus, vagy teljes hullám, s az ehhez tartozó idő a periódusidő. Az egy másodperc alatt létrejövő teljes hullámok száma a frekvencia, jele f. 1 1 1 f = . A frekvencia egysége: f ] =   = = Hz . [ T T  s Az Európában alkalmazott hálózati feszültség frekvenciája 50 Hz, melynek periódusideje:

1 1 = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz A szinuszos áram illetve feszültség időfüggvényével adható meg, mely legegyszerűbb alakja i (t ) = im ⋅ sin ωt , például az áramra: ahol ω az áram körfrekvenciája. T=

1 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

Az 50 Hz frekvenciájú jel körfrekvenciája:

ω = 2π ⋅ f = 2π ⋅ 50 = 314 rad/s. Az 1a ábrán megadott áramnak a t = 0 pillanatban pozitív nullátmenete van, azaz a negatív értékből a pozitívba való átmenet során értéke éppen zérus (kezdeti fázisszöge zérus). Az 1b ábrán egy α =π/4 fázisszögű szinuszos váltakozó áram látható. Ennek a függvénynek a t = 0 pillanathoz képest előbb van pozitív nullátmenete, azaz siet, és az ilyen jel fázisszöge pozitív: i (t ) = im ⋅ sin(ωt + π / 4) A legnagyobb - az abszolút értékben a legnagyobb - pillanatérték a maximális érték, melyet az időfüggvény csúcsértékének, vagy amplitúdójának nevezünk. Jele: um, im, de a nemzetközi szakirodalomban Up, Ip-vel jelölik (peak). i

i i1

siet

i1

i3

t α

(ωt)

i2

t (ωt)

α

késik b.)

a.) 2.ábra

Egy jel fázisát nem csak a t = 0-hoz viszonyíthatjuk, hanem egy másik jelhez is. A 2. ábrán megrajzolt i1 áram nulla fázisszögű. Az a ábrán látható i2 áram pozitív nullátmenete előbb következik be, tehát i2 siet az i1 áramhoz képest. Az áram siet, ha időfüggvénye a másiktól balra található. A b ábrán látható i3 áram görbéje jobbra esik az i1-hez képest, azaz később veszi fel a pozitív nullátmenetét, tehát i3 késik i1-hez képest, így i3 fázisszöge negatív. 2. Az időfüggvények összegzése, a komplex számításmód u

u

ume um2

ue(t)

αe

um1

ue(t)

ωt

ue(t) = u1(t) + u2(t) u2(t)

ωt

u1(t)

u1(t)

α2

u2(t) a)

b) 3. ábra

Ha egy áramkörben valamennyi generátor ugyanolyan frekvenciájú, tiszta szinuszos feszültséget (áramot) állít elő és a hálózat valamennyi eleme lineáris, akkor valamennyi ág árama, illetve elem feszültsége ugyanolyan frekvenciájú, tiszta szinuszos mennyiség lesz, de az egyes mennyiségek nagyságban és fázisszögben különbözhetnek. Vizsgáljuk meg, hogy két szinuszosan változó mennyiség eredőjét hogyan tudjuk meghatározni. A 3a ábrán két azonos (nulla) fázisszögű szinuszosan váltakozó feszültség eredőjét kell meghatározni. Az azonos fázishelyzet miatt az eredő feszültség is nulla fázis2 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

szögű lesz, és a maximális értékét a két maximális érték összege – ume=um1+um2 - adja meg (azonos időpillanatban lépnek fel!). A 3b ábrán az u2 feszültség késik α2 szöggel az u1-hez képest, tehát az előbbi összegzés már nem alkalmazható, mivel sem a nullátmenetek, sem a maximumok nem azonos időpillanatban lépnek fel. Az időfüggvényeket pontról pontra összegezve megrajzolhatjuk az eredő időfüggvényt, de hogyan határozhatjuk meg maximális értékének és fázisszögének pontos értékét? Ennek elvégzéséhez egy – középiskolákból már ismert – fogalom, a szinuszosan váltakozó függvények származtatásának felelevenítésére van szükség. Eszerint egy egyenletes szögsebességgel forgó szögszár (tkp. vektor) vetületei állítják elő a keresett időfüggvényt. Ha a kiindulási helyzetet, a α1 = 0 szöget vízszintesen vesszük fel (4a ábra), akkor az um1 hosszúságú forgó vektor függőleges vetületének hossza minden időpillanatban megegyezik az ugyanazon időpillanathoz tartozó u1(t) feszültség pillanatértékével. Az u2(t) időfüggvény α2 szöggel késik u1(t)-hez képest, ezért um2 forgó vektor a t=0 időpillanatban α2 szöget zár be a vízszintessel (4b ábra). Tehát a forgó síkvektor egyértelműen leképezi a szinuszos jelet! u

u

um1 t (ωt)

ω

α2

um1 t = 0

um2

ω

t (ωt)

α1 = 0 -um2

-um1

α2 u m2 t=0

b.)

a.) 4. ábra

Láttuk, hogy a szinuszos jelet egyértelműen jellemzi annak csúcsértéke, fázisszöge és frekvenciája. Nyilvánvaló, hogy már a t = 0 pillanathoz felvett vektor is megadja a jel csúcsértékét és a fázisszögét. Ez azt jelenti, hogy elegendő a szinuszos jelet egyetlen, a t = 0 pillanatbeli (álló) vektorral jellemezni, ha megadjuk a vektorhoz a szinuszos feszültség, illetve áram körfrekvenciáját. Ebből következik, hogy a két időfüggvény összegzése vektorok összegzéseként is elvégezhető. A vektor megadásakor vég+j y pontjának helyzetét kell megadni (5. ábra). Tehát az x és y tengelyekkel megadott koordináta-rendszerben az a vektort A 3 megadhatjuk végpontjának koordinátáival a jólismert A(4,3) a alakban. Másrészt a komplex számsíkon, ahol valós (+) és x képzetes (+j) tengelyeket definiálunk, megadhatjuk az a + 4 vektort komplex számként az a = (4 + j 3) alakban. A komp-j lex számok között is értelmezhetők a valós számok körében alkalmazott matematikai műveletek, így a két vektor összeg5. ábra zése egyszerű eszközökkel elvégezhető. Példaként végezzük el a két feszültség összegzését, ha u1 (t ) = 10 ⋅ sin ωt V és u 2 (t ) = 5 ⋅ sin(ωt − π / 4) V !

A 6. ábrán léptékhelyesen megrajzoltuk mindkét időfüggvényhez a forgó síkvektorokat a t=0 időpillanatra. Ezek az időfüggvények maximális (csúcs) értékével arányosak, ezért komplex csúcsértékeknek nevezzük. Írjuk fel mindkét mennyiséget komplex számként, a tengelyek irányába eső vetületeik segítségével: U m1 = 10 ⋅ [cos 0 + j sin 0] = 10 V illetve

 2   π 2  π  −j U m 2 = 5 ⋅ cos −  + j sin  −  = 5 ⋅   = (3,54 - j3,54 ) V . 2   4   2   4 3 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

Az eredő függvényhez tartozó forgó síkvektor a két vektor összege (l. az ábrán), amit a két komplex szám összeadásával komplex alakban is megkaphatunk: U me = U m1 + U m 2 = 10 + 3,54 − j 3,54 = (13,54 - j3,54) V Ez alapján már az eredő időfüggvény jellemzőit is meghatározhatjuk (l. a 3b ábrát):

u me = U me = 13,54 2 + 3,54 2 = 14 V

+j Um1

+

10 V

-4 V

illetve

Um2

Ume

-j

a fázisszög a vektornak a valós tengellyel bezárt szöge: 6. ábra −3,54 0 α e = ar ctg = 14,65 = 0,256 rad 13,54 u e (t ) = 14 ⋅ sin(ωt − 0,256) V . Tehát az eredő feszültség időfüggvénye: Ellenőrző kérdések:

1. Mit nevezünk váltakozó feszültségnek? 2. Ismertesse a szinuszosan váltakozó mennyiségek jellemzőit! 3. Hogyan ábrázolhatjuk a szinuszos jeleket? 4. Mi a kapcsolat a szinuszos jel és a hozzárendelt síkvektor között? 7. Milyen jel lesz az azonos frekvenciájú szinuszos jelek összege? 8. Hogyan összegezhetjük az azonos fázisú jeleket? 9. Hogyan összegezhetjük az eltérő fázisú jeleket? 10. Hogyan összegezhetjük a vektorokat? 3. Az R, L, C elemek jellemzői váltakozó áramú körben

Az egyenáramú körökben fogyasztóként csak az ellenállásokat vettük figyelembe, mert időben állandó egyenáram esetén a tekercsben nem indukálódik feszültség, illetve a kondenzátoron nem folyik áram, ha az már feltöltődött. Ez azt jelenti, hogyha van tekercs az egyenáramú körben, azt rövidzárral, és ha van kondenzátor, azt szakadással kell figyelembe venni. Tehát az egyenáramú hálózatban a fogyasztókat elegendő volt csak ellenállással helyettesíteni. A váltakozó áramú hálózatok ideálisnak tekintett (és egyben lineáris) hálózati elemei az ellenállás (jele: R), a tekercs (jele: L) és a kondenzátor (jele: C). A váltakozó áramú körökben a fogyasztók áramköri viselkedése mindig meghatározható úgy, ha az adott fogyasztót R, L, C elemekkel helyettesítjük. 3.1. Az ohmos fogyasztó vizsgálata

Az ohmos ellenálláson átfolyó áram és a sarkain lévő feszültség között minden pillau = R ⋅i natban az Ohm-törvény jelenti a kapcsolatot: Tehát az azonos időpillanathoz (t0) tartozó feszültség és áram pillanatértékek hányadosa állandó, és az ellenállás értékével egyenlő. Mivel valamennyi pillanatban igaz az Ohmtörvény, ezért igaz az időfüggvényekre is. Ha az áram időfüggvénye: i(t) = im⋅sin ωt, akkor az ellenálláson a feszültség: u(t) = R⋅im⋅sin ωt = uRm⋅sin ωt. Az áram és a feszültség alakja tehát azonos, és fáziseltérés sincs közöttük (7. ábra). Az ábrából kitűnik, hogy ellenállás esetén az áram és a feszültség csúcsértéke ugyanazon időpillanatban lép fel, ezért felírható, mint azonos idejű pillanatértékekre az Ohm-törvény: 4 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

u Rm = R. im Az ábrán megadtuk az ellenállás áramának és feszültségének vektorát, melyek (mivel azonos fázisúak) mindig párhuzamosak egymással. Ha egy ellenálláson áram folyik keresztül, akkor melegszik az. - az áram időbeli változásától függetlenül. Az egyenáramú hálózatokban úgy számoltuk az ellenállás teljesítményét, hogy az áramát és a feszültségét összeszoroztuk. Váltakozó feszültség esetén, mivel az áram és a feszültség folyamatosan változik, csak azok azonos pillanatértékeit szorozhatjuk össze, ami az adott pillanat teljesítményét adja. Ennek időbeli alakulását leíró függvény a teljesítmény időfüggvénye: u , i, p p(t)

u,i UR

IR

i(t)

t

P

i(t) 0

t

T

u(t)

u(t)

7. ábra

8.ábra

p (t ) = u R (t ) ⋅ i (t ) = R ⋅ im2 ⋅ sin 2 ωt ami mindig pozitív, mert 0 és uRm·im között periodikusan változó kétszeres frekvenciájú jel. Nyilván az ellenállás csak fogyaszt, bármilyen is a feszültség alakja, mert a teljesítmény mindig pozitív. Míg sima egyenáram esetén az ellenállás teljesítménye állandó, itt változó nag-ságú, de mindig pozitív, akár ellenkező irányú áram esetén is. A 8. ábrán jól látható, hogy a teljesítmény időfüggvénye is periodikus, de periódusideje az áram illetve a feszültség periódusidejének a fele, tehát a teljesítmény időfüggvénye kétszeres frekvenciájú jel. 1 − cos 2ϖt 2 - figyelembe vételével A jólismert trigonometrikus azonosság - sin ωt = 2 megállapíthatjuk, hogy az ellenállás teljesítmény-időfüggvénye egy középérték (P) körül változik kétszeres frekvenciával. Ez a középérték a teljesítmény egy periódusra vett átlaga, amit hatásos teljesítménynek nevezünk és P-vel jelölünk: 2 R ⋅ im u ⋅i P= = Rm m . 2 2 Ahhoz, hogy az ellenállás teljesítményét váltakozó áramú körben is ugyanúgy számolhassuk, mint az egyenáramú hálózatokban, bevezetjük az effektív érték fogalmát. A váltakozó áram effektív értéke azt az egyenáramot jelenti, amely egy ellenálláson egy periódusidő alatt a váltakozó áram által termelt hővel azonos mennyiségű hőt termel. 2 R ⋅ im Egyenáramon az ellenállás teljesítménye: P = R ⋅ I , váltakozó áramon: P = . 2 Az effektív érték definíciója értelmében a két teljesítmény azonos: 2

i 2 2 I= m R ⋅ im 2 im 2 R⋅I = , amiből: I = , tehát: 2 2 azaz a szinuszos váltakozó áram effektív értéke a csúcsérték 2 -ed része. 2


BMF-KVK-VEI

A továbbiakban a váltakozó áram és feszültség effektív értékét, mint a leggyakrabban használt jellemzőt, index nélküli nagybetűvel jelöljük. A vektoros ábrázoláskor is a jel effektív értékének megfelelő hosszúságú vektorokat fogunk rajzolni, melyeket nagybetűvel, index nélkül, de felülhúzással jelölünk (pl. U ). Az azonos idejű pillanatértékekre, így ellenállás esetén a csúcsértékekre is, felírható az Ohmu U⋅ 2 U . törvény: ahonnan: R = Rm = R= im I⋅ 2 I u ⋅i u i Az ellenálláson fellépő hatásos teljesítmény: P = Rm m = Rm ⋅ m = U ⋅ I 2 2 2 Az U = I ⋅ R figyelembe vételével:

P= R⋅I2 =

U2 R

Tehát az ellenálláson fellépő hatásos teljesítmény megegyezik az ellenállás sarkain mért szinuszos feszültség effektív értékének és a rajta átfolyó szinuszos áram effektív értékének szorzatával. Az összefüggés alakilag teljesen megegyezik az egyenáramú körök teljesítményeinek számításánál használt képletekkel. 3.2. Az induktív fogyasztó vizsgálata

A korábbi tanulmányainkból már ismerjük, hogy a tekercs kapcsain fellépő indukált feszültség nagysága arányos a tekercsben folyó áram változásának sebességével:

ui (t ) = L ⋅

di . dt

u,i

u(t) ahol az L arányossági tényezőt az UL ω i(t) elrendezés önindukció együtthatót jának neveztük. Ha az L induktivitás árama T/4 • iL(t) = im⋅sin ω·t IL alakú (9. ábra), akkor a szinuszos áram hatására indukálódó feszültség időfüggvénye - ennek meredekség9. ábra függvénye - cos ω·t jellegű. Tehát a tekercs kapcsain fellépő feszültség is ugyanolyan frekvenciájú szinuszos jel, csak negyed periódusnyit, azaz 900-ot siet az áramhoz képest. Másképp: váltakozó áramkörben a tekercs árama 900 -kal késik a feszültségéhez képest. A 9. ábrán megrajzoltuk a tekercs áram- és feszültségvektorát is. A feszültségvektor derékszöget zár be az áramvektorral úgy, hogy a feszültségvektor siet. Mivel a fáziseltérést az áramhoz viszonyítjuk, és a tekercs feszültsége siet, ami pozitív fázisszöget jelent, az induktív fogyasztó fázisszöge pozitív és +900. Már ismerjük az indukált feszültség alakját, kérdés az amplitúdója. Ha nagyobb az áram frekvenciája, akkor nagyobb az áram változási sebessége is. Mivel a szinusz argumentumának változása az ω körfrekvenciával arányos, az indukált feszültség csúcsértéke egyenesen arányos a körfrekvenciával is: u Lm = ω ⋅ L ⋅ im ,

Ha osztjuk az egyenlet mindkét oldalát 2 -vel, a fenti összefüggést felírhatjuk a tekercs áramának és feszültségének effektív értékeivel is: U = L ⋅ω ⋅ I 6 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

Ha képezzük az U/I hányadost, az adott frekvencián egy állandó értéket kapunk:

XL =ω ⋅ L

Az L ⋅ ω kifejezés neve induktív reaktancia, jele: XL.

U =ω ⋅L. I

Tehát szinuszos gerjesztésű áramkörben a tekercsre is felírhatjuk az Ohm-törvényt a reaktancia bevezetésével. A reaktanciát nevezik a tekercs látszólagos ellenállásának is, mivel mérték-egysége: 1 H/s = 1 V/A = 1 ohm, megegyezik az ohmos ellenállás mértékegységével. Ez a reaktancia önmagában csak az effektív értékek viszonyát adja meg, a fázishelyzetről nem ad felvilágosítást. Mivel a fázisszög a fogyasztó jellemzője, az induktív fogyasztó két adattal írható le, a reaktancia nagyságával és fázisszögével, mely +900. +j A már ismert komplex számításmód segítségével ez a két jellemző egyszerűen megadható (10. ábra). Ha az áram vektora a valós tengelybe esik, akkor a tekercs feszültségének vektora UL=jωL·I éppen a képzetes tengelybe eső, így a két komplex effektív érték arányára felírhatjuk: UL jω ⋅ L ⋅ I + I = = jωL = jX L . I I Ez a mennyiség már nem csak a két mennyiség arányát, -j hanem a 900-os fáziseltérést is tartalmazza, tehát helyesen írja le 10. ábra a tekercs viselkedését váltakozó áramú körökben. Vigyázat! A tekercset reaktanciájával és fázisszögével kizárólag szinuszos áramkörökben jellemezhetjük, csak ott hasonló az áram és feszültség alakja! Az induktív fogyasztó áramának és feszültségének szorzataként az induktív fogyasztó teljesítményének időfüggvényét felírhatjuk: u , i, p p (t ) = u L (t ) ⋅ i (t ) = u m ⋅ im ⋅ cos ωt ⋅ sin ωt p(t) A jólismert trigonometriai azonosság felhasználásával: Q i(t) u ⋅i p (t ) = m m ⋅ sin 2ωt = U ⋅ I ⋅ sin 2ωt ) t 2 A 11 ábrán megrajzoltuk az induktív T T fogyasztó áramának és feszültségének, 4 valamint ezek szorzataként teljesítményének időfüggvényét. A 0< t < T/4 időtartományuL(t) ban az áram és feszültség azonos irányú, a teljesítmény pozitív, vagyis a tekercs ener11.ábra giát vesz fel a hálózatból. Ekkor nő a tekercs árama, azaz nő a mágneses energiája. Tehát a hálózat által befektetett munka a tekercs által létrehozott mágneses térben mágneses energiaként halmozódik fel. Legnagyobb a mágneses energia értéke a t = T/4 pillanatban (ekkor a legnagyobb a tekercs árama): 1 2 Wmax = ⋅ L ⋅ imax 2 A következő negyed periódusnyi időben az áram csökken, ezért az indukált feszültség negatív, tehát az áram és a feszültség ellentétes irányú. Ezért a kettő szorzata, tehát a pillanatnyi teljesítmény negatív, ami termelt teljesítményt jelent. Ekkor csökken az induktivitás árama és vele együtt a mágneses energiája is (a mágneses tér leépül!), azaz visszaadja az energiát a hálózatnak. Ez a hálózat és a tekercs közti energialengés periodikusan ismétlődik, az induktivitás pillanatnyi teljesítménye kétszeres frekvenciával változik. Mivel a felvett és a visszaadott energia megegyezik, a lengés a nulla átlagérték körül történik, tehát a hatásos teljesítménye

+

+

-

-


BMF-KVK-VEI

zérus (vagyis az induktivitás összességében nem fogyaszt). Ezért azt mondjuk, hogy a tekercs meddő fogyasztó. Ha az induktivitás áramának és feszültségének effektív értékét összeszorozzuk, a lengő teljesítmény csúcsértékét kapjuk meg. A zérus átlagértékű teljesítményt a csúcsértékével jellemezzük. Ez a meddő teljesítmény, melyet Q-val jelölünk: U2 Q =U ⋅I = I2 ⋅ XL = XL

A meddő teljesítmény egységét - bár ez is V ⋅ A - a hatásos teljesítmény egységétől megkülönböztetve var-ral jelöljük és vár-nak mondjuk. A meddő teljesítmény nagyságát, azaz a lengés amplitúdóját azért kell ismerni, mert az energialengés árama a hálózatot terheli. Jellegzetesen meddő teljesítményt is igénylő fogyasztók a villamos gépek (pl. transzformátorok, aszinkron motorok), ahol a meddő teljesítmény segítségével a gép a működéséhez szükséges mágneses teret hozza létre. 3.3. A kapacitív fogyasztó vizsgálata

A kondenzátor két, szigetelőanyaggal elválasztott fém elektród, amely töltések tárolására alkalmas. A felhalmozott töltés a rákapcsolt feszültséggel arányos: q = C ⋅ u, ahol a C a kondenzátor kapacitása, amely azt mutatja meg, hogy egységnyi feszültség rákapcsolásakor mekkora töltés halmozódik fel a kondenzátor fegyverzetein. Ha időben változik a kondenzátor töltése, akkor változni fog a feszültsége is: dq du dq =C⋅ , i= amiből figyelembe vételével: dt dt dt du (t ) i (t ) = C ⋅ . dt u,i uC(t) i(t) T 4

IC

90° t T

UC

a)

b) 12. ábra

Változzon a kondenzátor árama most is időben i(t) = im⋅sin ωt szerint (12a ábrán szaggatott görbe)! Hogyan fog alakulni a kondenzátor feszültsége, azaz melyik jelnek lesz a meredeksége sin ωt-vel arányos? Mint tudjuk a szinuszfüggvény meredeksége a nullátmenetkor a legnagyobb, és a szélsőértékeknél nulla. Ennek megfelelően, akkor folyik a körben maximális áram, ha a feszültségnek nullátmenete van, és abban a pillanatban lesz nulla az áramerősség értéke, amikor a feszültség a csúcsértékét veszi fel (12a ábra). Ha a kapacitás feszültsége szinuszos, akkor az árama is ugyanolyan frekvenciájú szinuszos jel lesz. Az elmondottak alapján már könnyen kitalálhatjuk, hogy a –cosωt = sin(ωt-π/2) jellegű függvény meredeksége arányos sin ωt-vel. Tehát a kondenzátor kapcsain fellépő feszültség is ugyanolyan frekvenciájú szinuszos jel, csak negyed periódusnyit, azaz 900-ot késik az 8 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

áramhoz képest. Másképp: váltakozó áramkörben a kondenzátor árama 900-kal siet a feszültségéhez képest. A 12a ábrán együtt ábrázoltuk a kapacitás áram- és feszültség időfüggvényét úgy, hogy az áramot vettük fel nulla fázishelyzetűnek. Mivel a fáziseltérést az áramhoz viszonyítjuk, és a kondenzátor feszültsége késik az áramához képest, ami negatív fázisszöget jelent, a kapacitív fogyasztó fázisszöge negatív és -900. Ennek megfelelően rajzoltuk meg a kapacitás áramának és feszültségének vektorát, tehát az ω forgásirányával megegyező irányban 900-kal visszaforgatva rajzoltuk meg a feszültségvektort az áramvektorhoz képest (12b ábra). Ha nagyobb a frekvencia, akkor nagyobb lesz a kondenzátor feszültségének változási sebessége is. Ha a kondenzátor feszültsége gyorsan változik, vele együtt gyorsan változik a töltése is, és ehhez nagyobb áramerősség szükséges, tehát az áram csúcsértéke egyenesen arányos a körfrekvenciával is: im = ω ⋅ C ⋅ u m . Ha képezzük a kondenzátor kapcsain megjelenő feszültség és a rajta átfolyó áram effektív értékének a hányadosát, akkor az adott frekvencián egy állandó értéket kapunk: um U 1 = = = XC im I ω ⋅C

ahol, XC a kapacitás reaktanciája (látszólagos ellenállása). A kapacitív reaktancia mértékegysége: 1 s/F = 1 V/A = 1 ohm. A reaktancia nagysága a kapacitásnak csak az egyik jellemzője, a másik jellemző a kapacitás fázisszöge. Mivel a fáziseltérést az áramhoz viszonyítjuk, és a kondenzátor feszültsége késik (l. az ábrát), ami negatív fázisszöget jelent, a kapacitív fogyasztó fázisszöge negatív és -900. A már ismert komplex számításmód segítségével ez a két +j jellemző egyszerűen megadható (13. ábra). Ha az áram vektora a valós tengelybe esik, akkor a kondenzátor feszültségének vekI + tora éppen a negatív képzetes tengelybe eső, így a két komplex effektív érték arányára felírhatjuk: U C − jX C ⋅ I 1 UC= -jXC·I = = − jX C = − j . I I ωC Ez a mennyiség már nem csak a két mennyiség arányát, -j hanem a 900-os fáziseltérést is tartalmazza, tehát helyesen írja le a kondenzátor viselkedését váltakozó áramú körökben. 13. ábra

A kapacitív fogyasztó áramának és feszültségének szorzataként a kapacitív fogyasztó teljesítményének időfüggvényét felírhatjuk: u ⋅i p (t ) = u C (t ) ⋅ i (t ) = −u m ⋅ im ⋅ cos ωt ⋅ sin ωt = − m m ⋅ sin 2ωt = −U ⋅ I ⋅ sin 2ωt 2 A 14 ábrán megrajzoltuk a kapacitív fogyasztó áramának és feszültségének, valamint ezek szorzataként teljesítményének időfüggvényét. A kondenzátor is energiatároló elem, hiszen periodikusan feltöltődik a rákapcsolt feszültség maximális értékére, majd kisül. A kondenzátorban tárolt energia maximális, ha a kondenzátor feszültsége maximális: 1 Wmax = ⋅ C ⋅ u c2 max 2 A 0< t < T/4 időtartományban csökken a kondenzátor feszültsége (kisül), akkor az árama és feszültsége ellentétes irányú, tehát a teljesítménye negatív, a kondenzátor az addig 9 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

felhalmozott energiáját visszaadja a hálózatnak (termelő). Az ezt követő negyed periódusban a kondenzátor ellentétes irányban feltöltődik a feszültség maximumára. A folyamat során a feszültség és áram iránya azonos (a teljesítmény pozitív),tehát úgy viselkedik mint egy fogyasztó (energiát vesz fel a hálózatból). A görbe alatti területek azonosak, tehát a felvett energia megegyezik az előző negyed periódusban leadottal. A kondenzátor egy periódusra vett teljesítményének átlaga nulla, azaz a kondenzátor hatásos teljesítménye is zérus. Ezért azt u , i, p mondjuk, hogy a kondenzátor meddő fogyasztó, - ugyanúgy, mint a tekercs Q csak energia tárolására képes. Ezért a i(t) kondenzátort is a meddő teljesítményével jellemezzük, mely a pillanatnyi teljesítt mény időfüggvényének maximális értéke. T T Megállapodás szerint a kondenzátor 4 meddő teljesítménye negatív: u (t)

+

+

QC = −U ⋅ I = − I 2 ⋅ X C = −

-

2

U XC

p(t)

-

C

14. ábra Ez a kifejezés megegyezik alakilag a tekercs vizsgálata során kapott kifejezéssel, csak az előjele negatív. Tehát itt is ugyanolyan energialengés alakul ki mint a tekercsnél, csak ahhoz képest ellenütemben. Erre a későbbiekben (fázisjavítás) még visszatérünk.

Ellenőrző kérdések:

1. Milyen kapcsolat van az ohmos fogyasztó árama és feszültsége között? 2. Hogyan alakul időben az ohmos fogyasztó által felvett teljesítmény? 3. Mi a hatásos teljesítmény? 4. Mit nevezünk a váltakozó áram effektív értékének? 5. Milyen kapcsolat van a szinuszosan váltakozó mennyiségek csúcsértéke és effektív értéke között? 6. Hogyan írható fel az Ohm törvény az ellenállás esetén? 7. Hogyan határozhatjuk meg az ohmos fogyasztó hatásos teljesítményét? 8. Milyen kapcsolat van a tekercs árama és feszültsége között? 9. Mit értünk a fogyasztó fázisszöge alatt, és mekkora az értéke induktivitás esetén? 10. Mi az induktív reaktancia, és hogyan határozhatjuk meg? 11. Hogyan változik az induktív fogyasztó teljesítménye az idő függvényében? 12. Mi a meddő teljesítmény, és hogyan határozhatjuk meg tekercs esetén? 13. Milyen kapcsolat van a kondenzátor árama és feszültsége között? 14. Mit értünk a fogyasztó fázisszöge alatt kondenzátor esetén? 15. Mi a kapacitív reaktancia, és hogyan határozhatjuk meg? 16. Hogyan változik a kapacitív fogyasztó teljesítménye az idő függvényében? 17. Hogyan határozhatjuk meg a kondenzátor meddő teljesítményét? 4. Összetett váltakozó áramú körök számítása

A Kirchhoff-törvények, a csomóponti és a huroktörvény, a hálózatok számításának legáltalánosabb törvényei, melyekből – mint az 1.fejezetben már láttuk - további hálózatszámítási módszerek vezethetők le. A bennük megfogalmazott állítások minden időpillanatban igazak, függetlenül az áram és feszültség hullámalakjától. A pillanatértékek összes10 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

sége a jel időfüggvénye, tehát Kirchhoff csomóponti és huroktörvénye az időfüggvényekre felírva is érvényes. A korábbiakban már láttuk, hogy az időfüggvények összegzése általában igen nehézkes, s ezt egyszerűsítendő vezettük be a vektoros ábrázolást. Tehát az időfüggvények helyett az azokat leképező vektorokat összegezzük, akár grafikusan (léptékhelyes ábrát rajzolunk), akár numerikusan (komplex számokkal). A váltakozó áramú körökben a Kirchhofftörvények és a hálózatszámítási módszerek, tételek ugyanúgy érvényesek mint az egyenáramú körökben, de csak a vektoros (fázishelyes) alakokra. Az eddigiek során azt láttuk, hogy a váltakozó áramú hálózatokban az ideális R, L, C elemek mindegyikére alkalmazható az Ohm-törvény: U U U = R, = XL, = XC . I I I Az ellenállás, az induktív reaktancia és a kapacitív reaktancia közös elnevezése: impedancia. Jelölése: Z, mértékegysége az ohm. Ha a fogyasztót nem egy, hanem több ideális elem képezi a váltakozó áramú körben, akkor is képezhetjük a fogyasztón átfolyó áram és a kapcsain megjelenő feszültség hányadosát, amely a fogyasztó impedanciájával egyenlő:

U =Z I Az Ohm-törvény fenti alakja csak az impedancia nagyságát adja meg. Az impedancia a nagyságával és a szögével jellemezhető, amelyet a komplex alakok adnak meg: Az eddigiek során megismert ideális elemek impedanciái: Z = R,

Z = − jX C

Z =jX L

illetve az Ohm-törvény:

U =Z I

Az impedancia reciprokát admittanciának hívjuk, a jele: Y, mértékegysége a siemens. Az ideális elemek admittanciái: 1 1 1 1 YR = = G , YC = = jω ⋅ C . , YL = = R − jX C jX L jω ⋅ L 4.1. A soros R-L kapcsolás

Vizsgáljuk meg a 15a ábrán látható soros R-L tag váltakozó áramú viselkedését! I

UL U

∼

U

L UL

UR

•

R

ϕ

UR I

a)

b) 15 ábra

Ehhez rajzoltuk meg a kapcsolás vektorábráját (b ábra). A két elem közös áramából indulunk ki. Az ohmos ellenállás feszültsége az árammal fázisban van, a tekercs feszültsége pedig siet 900-ot az áramhoz képest. A két feszültség vektoriális összege a generátor feszült11 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

ségét adja meg. A vektorábrából nyilvánvaló, hogy a feszültségek derékszögű háromszöget alkotnak, tehát a vektorok hosszai (ami egyenlő az effektív értékükkel) közti összefüggés a Pythagoras-tétellel felírható:

U R2 + U L2 = U 2 . Az ábrából látható, hogy a tekercs miatt az áram most is késik az eredő feszültséghez képest, de a szög kisebb 900-nál, mert ellenállás is van a körben. A ϕ szög értékét a derékszögű háromszögből meghatározhatjuk: sin ϕ =

UL U

tgϕ =

illetve

UL UR

ahol: 0 < ϕ < 900

Irjuk fel a feszültségeket a közös áram segítségével, azaz alkalmazzuk az egyes elemekre az Ohm-törvényt! U R = I ⋅ R és UL = I ⋅ XL A Pythagoras-tételbe behelyettesítve: I 2 ⋅ R 2 + I 2 ⋅ X L2 = U 2 Emeljük ki bal oldalon az I2-et, és vonjunk gyököt az egyenlet mindkét oldalából: U I ⋅ R 2 + X L2 = U , majd képezzük az U/I hányadost: = R 2 + X L2 . I Tehát a soros R-L tag impedanciája: Z = R 2. + X L2

(

)

Nyilvánvaló, hogy az impedancia nagyságának a négyzetét képezve: Z 2 = R 2 + X L2 , ugyancsak egy Pythagoras-tétel adódik. Tehát az R, az XL és a Z hosszúságú oldalakkal derékszögű háromszög szerkeszthető. U = I·Z

Z

UL= I·jXL

jXL •

ϕ

UR= I·R

ϕ

I

R b)

a) 16 ábra

A 16a ábrán ismételten megrajzoltuk a feszültségvektorok háromszögét. Írjuk fel a feszültségvektorokat az áram segítségével. Mivel mindhárom feszültséget ugyanazzal az I árammal szoroztuk, ezért az I árammal történő osztás után is hasonló derékszögű háromszöget kapunk, amit impedancia-diagramnak nevezünk (3.16b ábra). Azt is mondhatjuk, hogy a megfelelő feszültségvektorok hossza az impedancia-háromszög megfelelő oldalának az áramszorosa. A feszültségvektorokat összegezve:

U = U R + U L = I ⋅ R + I ⋅ jX L = I ⋅ ( R + jX L ) = I ⋅ Z Az impedancia is vektormennyiség, tehát nemcsak nagysága: Z = Z = R 2 + X L2 , X ωL tg ϕ = L = . hanem szöge is van: R R Az áram és a feszültség közti szög egyenlő az impedancia szögével, a fázisszöggel (l. az ábrákon fentebb). A ϕ szög az impedancia fázisszöge, amit az impedancia jellemzőiből közvetlenül számolhatunk:


BMF-KVK-VEI

cos ϕ =

R = Z

R

illetve

2

R + X L2

sin ϕ =

XL = Z

XL 2

R +

X L2

.

Ezek segítségével a fogyasztó teljesítményei közvetlenül számolhatók. A számítás során felhasználjuk, hogy a kapocsfeszültség nagysága U=I·Z alapján számolható. A hatásos teljesítmény:

P = I 2 ⋅ R = I 2 ⋅ Z ⋅ cos ϕ = I ⋅ I ⋅ Z ⋅ cos ϕ = U ⋅ I ⋅ cos ϕ

A meddő teljesítmény:

Q = I 2 ⋅ X L = I 2 ⋅ Z ⋅ sin ϕ = I ⋅ I ⋅ Z ⋅ sin ϕ = U ⋅ I ⋅ sin ϕ

Egyenáramú körökben a fogyasztó teljesítményét a fogyasztó feszültségének és áramának szorzata adja. Az így képzett szorzatnak a váltakozó áramú körben nincs fizikai tartalma, bár teljesítményt jelent, de nem valóságosat, ezért látszólagos teljesítménynek nevezzük. Tehát a feszültség és áram effektív értékének szorzata a látszólagos teljesítmény. Jele: S, egysége: VA.

S =U ⋅I

Foglaljuk össze a váltakozó áramú fogyasztó teljesítményeit: P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ [W] Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ [var] S =U ⋅I [VA]

hatásos teljesítmény meddő teljesítmény látszólagos teljesítmény

Ezek alapján a látszólagos teljesítménnyel kifejezhetjük a hatásos és a meddő teljesítményt is: P = S ⋅ cos ϕ

Q = S ⋅ sin ϕ

A három teljesítmény közötti kapcsolat a sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 azonosság figyelembe vételével: P2 + Q2 = S 2 Mivel az impedancia hatásos teljesítményét az áram és a feszültség effektív értékén kívül a kettő közötti fázisszög határozza meg, a cosϕ-t teljesítménytényezőnek nevezzük. A teljesítmények definíciójából:

cos ϕ =

P S

Váltakozó áramon a valóságos (veszteséges) légmagos tekercs soros R-L taggal helyettesíthető, ahol R a tekercshuzal ohmos ellenállása, és L a tekercs önindukció tényezője. Az ellenálláson hatásos teljesítmény keletkezik, ami a valóságos tekercs vesztesége. Azt, hogy a valóságos tekercs mennyire veszteséges a jósági tényezővel fejezzük ki, amelynek a jele: Q, és egy mértékegység nélküli szám, ugyanis a tekercs meddő teljesítményének és az ellenálláson keletkező hatásos teljesítménynek a hányadosa: QL I 2 ⋅ X L ω ⋅ L ω⋅L Q= Q= = = , tehát . 2 R PR R I ⋅R Tehát a jósági tényező a valóságos tekercs frekvenciától függő jellemzője, amely a soros helyettesítő elemekkel is kifejezhető. Nyilván minden tekercs jósági tényezője nagyobb lesz a frekvencia növekedésével. A jósági tényezőt felírhatjuk a teljesítmények általános összefüggéseivel is: Q U ⋅ I ⋅ sin ϕ sin ϕ Q= L = = = tgϕ . PR U ⋅ I ⋅ cos ϕ cos ϕ


BMF-KVK-VEI

Ebben a formában a jósági tényező azt mutatja meg, hogy a valóságos tekercs feszültsége és az árama közti fázisszögnek mekkora a tangense. Kapcsoljuk sorba egy légmagos tekercset (R = 6 Ω, XL = 8 Ω) egy R1 = 10 Ω-os ellenállással (17a ábra), és kapcsoljunk az elrendezésre 24 V effektív értékű 1 kHz-es váltakozó feszültséget! Mekkora feszültség mérhető a valóságos tekercs kapcsain? UR1

UR

UL U

R1

R

I

UT UL

L UT

UR

UR1

I

U a.)

b.) 17. ábra

A 17b ábrán feltüntettük a kapcsolás vektorábráját, amiből jól látható, hogy az ellenállás és a tekercs feszültsége nem azonos fázisú, tehát csak fázishelyesen (vektorosan) összegezhetők. Ennek alapján az eredő impedancia és a kör árama: U 24 V Z e = R1 + R + jX L = 10 + 6 + j8 = (16 + j8) Ω és I = = = (1,2 − j 0,6) A . Z e (16 + j8) Ω A tekercs feszültsége a tekercs impedanciájával arányos: U T = I ⋅ Z T = (1,2 − j 0,6) ⋅ (6 + j8) = 7,2 − j 3,6 + j 9,6 + 4,8 = (12 + j 6) V . Tehát a tekercs kapcsain mérhető feszültség nagysága: U T = U T = 12 2 + 6 2 = 13,4 V . A feladat természetesen megoldható komplex számok használata nélkül is: Az áramkör eredő impedanciájának a nagysága: Z=

Így a kör árama:

I=

(R1 + R )2 + X L2

=

(10 + 6)2 + 8 2

= 17,9 Ω .

U 24 V = = 1,34 A . Z 17,9 Ω

Tehát a tekercs feszültségének komponensei: U R = I ⋅ R = 1,34 A ⋅ 6 Ω = 8,05 V U L = I ⋅ X L = 1,34 A ⋅ 8 Ω = 10,7 V . A tekercs kapcsain mérhető feszültség nagysága: U T = U R2 + U L2 = 8,05 2 + 10,7 2 = 13,4 V . Az ellenállás kapcsain mérhető feszültség: U R = I ⋅ R = 1,34 A ⋅ 10 Ω = 13,4 V Nyilvánvaló, hogy U R + U L = 13,4 V + 13,4 V > 24 V , hiszen a háromszög két oldalának összege mindig nagyobb mint a harmadik oldal! (l. a 3.17b ábrát!) 4.2. A párhuzamos R-L kapcsolás

A párhuzamos R-L tagot a 18a ábrán, a vektorábráját a 18b ábrán rajzoltuk meg. A vektorábra rajzolását a közös feszültségből kezdtük. Az ellenállás árama ezzel azonos fázisú, tehát vektora párhuzamos a feszültségvektorral, míg az ideális tekercs árama 900-kal késik, tehát vektora merőleges az előbbiekre. Az ábrából látható, hogy az ellenállás és az ideális tekercs áramvektora 900-os szöget zár be, azaz az eredő áram: 14 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

I=

ahol G =

U2

I R2 + I L2 =

1 1 , YL = , R XL

tehát

R

2

+

U2 X L2

= U ⋅ G 2 + YL2 = U ⋅ Y ,

Y 2 = G 2 + YL2 . IR

I U

∼

•

IR

R

IL

L

ϕ

U

IL I

a)

b) 18. ábra

Tehát ellenállás és ideális tekercs párhuzamos kapcsolásakor az áramok adódnak össze négyzetesen. Az áram nem az impedanciával, hanem annak a reciprokával, az admittanciával arányos, ezért az admittanciák adódnak össze négyzetesen. 1 1 Az eredő impedancia nagysága: Z= = , 2 2 Y G +Y L

fázisszögének nagysága a 18b ábra vektorábrája alapján: U I R tg ϕ = L = ωL = kifejezéssel számolható. U ωL IR R A fázisszög most is pozitív, mivel az áram most is késik a feszültséghez képest. A komplex írásmód alkalmazásával az áramvektorokat összegezve: I = IR + IL =

1 1 U U U + ⋅ =U ⋅( + )= . R jX L R jX L Z

Ebből az impedancia nagysága: Z =

1 1 1 + R jX L

=

R ⋅ jX L 1 = = R ⊗ jX L R + jX L R + jX L R ⋅ jX L

Tehát a párhuzamosan kapcsolt fogyasztók eredő impedanciája ugyanúgy számolható mint a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredője (l. az 1. fejezetben), de csak a komplex alakokkal. Figyelem! Párhuzamos kapcsolás esetén nem rajzolhatunk impedancia-háromszöget, mivel az impedanciák nem adhatók össze! Határozzuk meg a párhuzamosan kapcsolt 200 Ω-os ellenállás és a 100 mH-s ideális (veszteségmentes) tekercs eredő impedanciájának nagyságát és fázisszögét az ω = 103 rad/s körfrekvencián! A tekercs reaktanciája a megadott körfrekvencián: X L = 10 3 ⋅ 100 ⋅ 10 −3 = 100 Ω . 15 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

Az egyes elemek admittanciája: 1 1 G= = = 5 mS R 200 Ω

YL =

illetve

1 1 = = 10 mS . X L 100 Ω

Az eredő impedancia nagysága: 1 1 1 Z= = kΩ = kΩ = 89,4 Ω , 2 2 2 2 11 , 18 G + YL 5 + 10 A fázisszögének nagysága: R 200 tg ϕ = = = 2 amiből ϕ = ar ctg 2 = 63,4 o = 1,1 rad . ωL 100 Az eredő impedanciát úgy is meghatározhatjuk, hogy a megadott körfrekvenciájú, tetszőleges nagyságú feszültséget kapcsolunk az R-L tagra, és meghatározzuk az eredő áramot, majd képezzük a feszültség és áram hányadosát! Legyen a feszültség effektív értéke 100 V! 2

2

 100   100  2 2 I = I R2 + I L2 =   +  A = 0,5 + 1 A = 1,25 A = 1,118 A . 200 100     U 100 V = 89,4 Ω . A feszültség és az áram ismeretében az impedancia: Z = = I 1,118 A Az impedancia fázisszöge megegyezik az eredő áram és a feszültség által bezárt szöggel, tehát a 18b ábra vektorábrája alapján: I 1A tg ϕ = L = = 2 amiből ϕ = ar ctg 2 = 63,4 o = 1,1 rad .. I R 0,5 A

Ekkor:


1. Milyen alakokra érvényesek a Kirchhoff törvények váltakozó áramú körökben? 2. Milyen értékekre írhatók fel a hálózatszámítási tételek összefüggések? Mi az impedancia, és mi a mértékegysége? 3. Milyen adatokkal jellemezhető az impedancia? 4. Mi az admittancia, és mi a mértékegysége? 5. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-L kapcsolás impedanciájának nagyságát és fázisszögét? 6. Hogyan határozható meg egy fogyasztó hatásos teljesítménye? 7. Hogyan határozható meg egy fogyasztó meddő teljesítménye? 8. Mit értünk látszólagos teljesítmény alatt? 9. Milyen kapcsolat van a váltakozó áramú teljesítmények között? 10. Mit értünk teljesítménytényező alatt, és hogyan határozhatjuk meg? 11. Mit értünk egy tekercs jósági tényezője alatt? 12. Hogyan határozható meg egy tekercs jósági tényezője? 13.Hogyan függ a jósági tényező értéke a frekvenciától? 14. Hogyan határozható meg a párhuzamos R-L kapcsolás eredő árama? 15. Hogyan határozható meg a párhuzamos R-L kapcsolás eredő impedanciája?


BMF-KVK-VEI

4.3. A soros R-C kapcsolás

A 19a ábrán a soros R-C kapcsolás, a 19b ábrán annak vektorábrája látható. Mivel az ellenállás és a kondenzátor feszültségének vektora derékszöget zár be, összegzésüket a Pythagoras-tétellel végezhetjük: I

I •

U

∼

C

UC

R

UR

ϕ

UR

UC

U

a)

b) 19. ábra

(

)

U 2 = U R2 + U C2 = I 2 ⋅ R2 + I 2 ⋅ X C2 = I 2 ⋅ R2 + X C2 . Vonjunk gyököt az egyenlet mindkét oldalából, majd képezzük az U/I hányadost! U =I⋅

(R 2 + X C2 ) ,

ahonnan U = I ⋅ Z alapján az impedancia:

Z=

R 2 + X C2

Vegyük észre, hogy a soros R-C tag impedanciájának nagyságára a soros R-L tagnál kapotthoz hasonló kifejezés adódott. Ennek értelmében a 20a ábrán ismételten megrajzoltuk a feszültségvektorok háromszögét, és a feszültségvektorokat felírtuk az áram segítségével. R

I •

UC=-jXC·I

ϕ

ϕ

UR=R·I

-jXC

U=Z·I

Z

a)

b) 20.ábra

Mivel mindhárom feszültséget ugyanazzal az I árammal szoroztuk, ezért az I árammal történő osztás után is hasonló derékszögű háromszöget kaptunk, amit impedancia-diagramnak neveztünk (20b ábra). Az impedancia-diagram alapján a fázisszög: X I ⋅ XC U tgϕ = − C = − =− C , és: -900 < ϕ <.0 R I ⋅R UR A fázisszög negatív, mivel most az áramhoz képest késik az eredő feszültség. A feszültségvektorokat összegezve: U = U R + U C = I ⋅ R + I ⋅ (− jX C ) = I ⋅ ( R − jX C ) = I ⋅ Z Az impedancia is vektormennyiség:

Z = R − jX C

tehát nemcsak nagysága: Z = Z = R 2 + X C2 , hanem szöge is van: tg ϕ =

− XC 1 =− . R ωCR


BMF-KVK-VEI

4.4. A párhuzamos R-C kapcsolás

A 21a ábrán a párhuzamos R-C kapcsolás, a 21b ábrán annak vektorábrája látható. Mivel az ellenállás és a kondenzátor áramának vektora derékszöget zár be, összegzésüket a Pythagoras-tétellel végezhetjük: I=

I R2 + I C2 =

U2 R2

+

U2 X C2

=U⋅

1 R2

+

1 X C2

= U ⋅Y .

I U

∼

I

IC IR

R

IC C •

a)

IR

ϕ

U

b) 21.ábra

Tehát ellenállás és ideális kondenzátor párhuzamos kapcsolásakor is az áramok adódnak össze négyzetesen. Mivel az áram nem az impedanciával, hanem annak a reciprokával, az admittanciával arányos, az admittanciák adódnak össze négyzetesen. 1 U 1 Az eredő impedancia nagysága: Z= = = . I Y G2 + Y 2 C

Az impedancia fázisszögének nagysága a 21b ábra vektorábrája alapján: U I X R tg ϕ = C = C = = ωCR kifejezéssel számolható. U IR XC R A fázisszög most is negatív, mivel az áram most is siet a feszültséghez képest. A komplex írásmód alkalmazásával az áramvektorokat összegezve: I = I R + IC =

1 1 U U U + ⋅ =U ⋅( + )= . R − jX C R − jX C Z

Ebből az impedancia nagysága: Z =

1

=

R ⋅ (− jX C ) 1 = = R ⊗ (− jX C ) R − jX C R − jX C R ⋅ (− jX C )

1 1 + R − jX C Tehát a párhuzamosan kapcsolt fogyasztók eredő impedanciája ugyanúgy számolható mint a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredője (l. az 1. fejezetben), de csak a komplex alakokkal. Figyelem! Párhuzamos kapcsolás esetén most sem rajzolhatunk impedancia-háromszöget, mivel az impedanciák most sem adhatók össze! Egy párhuzamosan kapcsolt R-C tagra 230 V effektív értékű, 50 Hz frekvenciájú váltakozó feszültséget kapcsolunk. Az áramkör eredő árama: 30 mA, az ellenállás árama: 23 mA.


BMF-KVK-VEI

Mekkora az eredő impedancia nagysága és a fázisszöge, valamint az ellenállás értéke és a kondenzátor kapacitásának értéke? A rendelkezésre álló adatok: U = 230 V, I = 30 mA, IR = 23 mA. Ezekből az impedancia és az ellenállás értéke közvetlenül számolható: U U 230 V 230 V R= Z= = = 7,67 kΩ illetve = = 10 kΩ , I R 23 mA I 30 mA A kondenzátor árama a Pythagoras-tétel felhasználásával a 21b ábra alapján: I C = I 2 − I R2 = 30 2 − 23 2 mA = 19,26 mA , U 230 V XC = Így a kondenzátor reaktanciája: = = 11,94 kΩ . I C 19,26 mA 1 1 1 A kapacitás értéke X C = alapján: C = = F = 266,7 nF ωC ω ⋅ X C 314 ⋅ 11,94 ⋅ 10 3 A fázisszöget a 21b ábra vektorábrájából határozzuk meg: I 19,26 mA tg ϕ = − C = − = −0,837 , ahonnan: 23 mA IR

ϕ = -39,94 0.

Váltakozó feszültségen a valóságos kondenzátor feszültsége 900-nál kisebb szöggel késik az áramához képest, tehát a kondenzátoron hatásos teljesítmény is fellép, ami a kondenzátor vesztesége (a szigetelőanyag melegszik). Ezt figyelembe véve a valóságos kondenzátor egy R-C taggal helyettesíthető, mely lehet akár soros, akár párhuzamos kapcsolású. A gyakorlatban általában a párhuzamos helyettesítő képet használjuk (22a ábra). IR

I U

∼

IR

RP

IC

I

IC

C

δ •

a)

ϕ

U b)

22.ábra

Itt a jósági tényező helyett annak reciprokát használjuk: P U ⋅ I ⋅ cos ϕ 1 = = tgδ , = Q U ⋅ I ⋅ sin ϕ tgϕ ahol a tgδ a kondenzátor veszteségi tényezője, és azt mutatja meg, hogy a kondenzátorban keletkező hatásos teljesítmény (veszteség) a kondenzátor meddő teljesítményének hányad része. Értéke minél kisebb, annál jobban közelít a kondenzátor az ideálishoz (veszteségmenteshez). A vektorábra (22b ábra) alapján értékét kifejezhetjük a kondenzátor jellemzőivel: U X 1 I R 1 tg δ = tg δ = R = P = C = , tehát . U R p ⋅ω ⋅ C IC Rp R p ⋅ω ⋅ C XC


BMF-KVK-VEI

Tehát párhuzamos helyettesítés esetén a veszteségi tényező értéke nagyfrekvencián csökken. A gyakorlatban használt kondenzátorok veszteségi tényezője 10-3 - 10-4 nagyságrendű, tehát párhuzamos helyettesítés esetén az ellenállás igen nagy értékű. A kondenzátorok vesztesége lényegesen kisebb, mint a tekercseké, ezért a valóságos kondenzátor gyakorlatilag ideális áramköri elemnek tekinthető. Ellenőrző kérdések:

1. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-C kapcsolás impedanciájának nagyságát? 2. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-C kapcsolás impedanciájának fázisszögét? 3. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-C kapcsolás áramának nagyságát? 4. Rajzoljuk fel a soros R-C kapcsolás vektorábráját! 5. Hogyan határozhatjuk meg a párhuzamos R-C kapcsolás eredő áramának nagyságát? 6. Hogyan határozhatjuk meg a párhuzamos R-C kapcsolás impedanciájának nagyságát? 7. Hogyan határozhatjuk meg a párhuzamos R-C kapcsolás impedanciájának fázisszögét? 8. Rajzoljuk fel a párhuzamos R-C kapcsolás vektorábráját! 9. Mit értünk a kondenzátor veszteségi tényezője alatt? 10. Hogyan határozhatjuk meg a veszteségi tényező értékét? 11. Hogyan helyettesíthető a valóságos kondenzátor? 4.5. A soros R-L-C kapcsolás

Soros R-L-C kapcsolást kapunk sorba kapcsolt valóságos tekercs és kondenzátor helyettesítő képének (kapcsolásának) felrajzolásakor (23a ábra). A kapcsolás vektorábráját a 23b ábrán rajzoltuk meg. UL

UR

UC

UC

U

UL U

∼

L

R I

UR UL - UC

C

ϕ

UR

UC

I

a)

b) 23.ábra

A vektorábra alapján a feszültségvektorok alkotta derékszögű háromszögre felírhatjuk a Pythagoras-tétel felhasználásával: 2 2 2 U 2 = U R2 + (U L − U C ) = I 2 ⋅ R 2 + ( I ⋅ X L − I ⋅ X C ) = I 2 ⋅  R 2 + ( X L − X C )  ,   ahonnan az áramkör eredő impedanciájának nagysága:

Z=

R2 + ( X L − X C ) . 2

Az impedancia fázisszöge a derékszögű háromszög alapján: U −UC I ⋅ X L − I ⋅ X C X L − X C tg ϕ = L = = . UR I ⋅R R A fázisszög pozitív, ha X L > X C , és negatív, ha X L < X C , tehát értéke +900 és –900 között 1 , tehát mindkettő frekvenciafüggő, ezért az elemek változhat. Mivel X L = ωL és X C = ωC 20 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

értékei mellett a feszültség frekvenciája határozza meg az áramkör jellegét. Erre a rezgőkörök vizsgálatakor a későbbiekben visszatérünk. 4.6. A párhuzamos R-L-C kapcsolás

A valóságban a tekercsnek mindig van ellenállása, és a kondenzátornak is van - bár kevésbé számottevő - vesztesége. Vizsgáljunk meg egy olyan párhuzamos kört, amelyben a veszteségeket az ideális rezgőkörrel párhuzamosan kapcsolt ellenállással vettük figyelembe (24a ábra). Az elrendezést veszteséges párhuzamos rezgőkörnek is nevezzük (l. később). IC

I U

∼

IR

IR

• •

R1

IL

L

IC

C

ϕ

U I

IR

IL

IC a)

b) 3.24. ábra

A vektorábra alapján az áramvektorok alkotta derékszögű háromszögre felírhatjuk a Pythagoras-tétel felhasználásával (24b ábra):

[

]

I 2 = I R2 + (I L − I C )2 = U 2 ⋅ G 2 + (U ⋅ YL − U ⋅ YC )2 = U 2 ⋅ G 2 + (YL − YC )2 , Y = G 2 + (YL − YC )2 . Az eredő impedancia fázisszöge a derékszögű háromszög alapján: I − I C U ⋅ YL − U ⋅ YC YL − YC tg ϕ = L = = . IR U ⋅G G A fázisszög pozitív, ha YL > YC azaz X L < X C , és negatív, ha YL < YC azaz X L > X C , tehát értéke most is +900 és –900 között változhat. Természetesen az energiatároló elemek reaktanciája frekvenciafüggő, ezért itt is az elemek értékei mellett a feszültség frekvenciája határozza meg az áramkör jellegét. Erre a következő pontban részletesen kitérünk.

ahonnan az áramkör eredő admittanciájának nagysága:


1. Rajzoljuk fel a soros R-L-C kör vektorábráját! 2. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-L-C kör eredő impedanciáját? 3. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-L-C kör fázisszögét? 4. Rajzoljuk fel a párhuzamos R-L-C kör vektorábráját! 5. Hogyan határozhatjuk meg a párhuzamos R-L-C kör eredő admittanciáját 6. Hogyan határozhatjuk meg a párhuzamos R-L-C kör fázisszögét?


BMF-KVK-VEI

5. Rezgőkörök

A váltakozó áramú teljesítmények vizsgálatakor láttuk, hogy a tekercs illetve a kondenzátor ellenütemben vételezi az energiát a hálózatból, tehát a tekercset és kondenzátort tartalmazó áramkörben energialengések keletkeznek. A korábbiakból már ismert, hogy a tekercs reaktanciája a frekvencia növelésekor nő, a kondenzátoré viszont csökken (3.25. ábra). Az impedanciák értéke megegyezik, ha: X L = X C . A feltételt kielégítő ún. rezonancia körfrekvencia: 1 1 . ωo ⋅ L = , ahonnan: ωo = ωo ⋅C L⋅C

X XC =

1 ωC

i

X L = ωL

ωο

ω

25. ábra

5.1. A soros L-C kapcsolás

A 26a ábrán ideális tekercset és kondenzátort kapcsoltunk sorosan váltakozó feszültségre. Először rajzoljuk meg a közös jellemzőből, az I áramból kiindulva a vektorábrát! Mivel a tekercs feszültsége 900-ot siet, és a kondenzátor feszültsége 900-ot késik az áramhoz képest, az árammal derékszöget zár be mindkét feszültség és az eredő feszültség is (26b és c ábra). Azonban a két reaktancia feszültsége ellenfázisú, tehát összegzéskor a feszültségek effektív értékeit ki kell vonnunk egymásból. I

ω > ω0

ω < ω0

UC U

∼

UL

L

•

UL •

UC

a)

C

I

UL

U

I

UC

UC

U UL

X L > XC

XL < XC

b)

c)

26.ábra

A vektorábra (b ábra) alapján, ha a tekercs reaktanciája a nagyobb: U = U L − U C = I ⋅ X L − I ⋅ X C = I ⋅ ( X L − X C ) , ahonnan: Z = X L − X C . A generátor U feszültségéhez képest az I áram 900-kal késik, tehát a kör induktív, az eredő impedancia fázisszöge +900, az L-C tag egy induktívitással helyettesíthető. Ha a kapacitás reaktanciája a nagyobb (c ábra): U = U C − U L = I ⋅ X C − I ⋅ X L = I ⋅ ( X C − X L ) , ahonnan: Z = X C − X L . A generátor U feszültségéhez képest az I áram 900-kal siet, tehát a kör kapacitív, az eredő impedancia fázisszöge -900, az L-C tagot egy kondenzátor helyettesíti. Ha a reaktanciák értéke azonos, akkor Z = X C − X L = 0 , tehát az L-C tag rövidzárral helyettesíthető! Azt mondjuk, hogy ezen a frekvencián soros rezonancia lépett fel. Az L-C kapcsolást ideális (veszteségmentes) soros rezgőkörnek nevezzük. 22 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

A soros L-C rezgőkör rezonancia-frekvenciája: 1 Z fo = 2π LC I I Az összefüggést Thomson-képletnek is nevezzük. Tehát rezonancia esetén az Z 0 impedancia nagysága zérus, az áram erőssége pedig végtelen lesz (lenne).(27. ábra) Az ωo-nál kisebb körfrekvenciákon az impedancia közel hiberbolikusan csökken, mert ω ωο XC így csökken, míg ωo-nál 27. ábra nagyobb körfrekvenciákon az impedancia közel lineárisan - XL-hez hasonlóan – növekszik. ω = 0 esetén az áramkör a kondenzátor miatt szakadt, ω → ∞ esetén pedig a tekercs miatt szakadt. Így a két szélső frekvencián az impedancia végtelen, tehát az áram zérus (l. az ábrán). Ha a tekercs veszteségeit leképező soros ellenállást is figyelembe vesszük, akkor soros R-L-C kapcsolást (veszteséges soros rezgőkör) kapunk (l. a 3.23a ábrán). Az eredő impedan2

1   cia nagysága: Z = R + ( X L − X C ) = R +  ωL −  . ωC   Az impedancia nagysága most is függ a frekvenciától, és . az ω0 rezonancia körfrekvencián lesz minimális (28. ábra): Z Z min = Z (ω = ω o ) = R . Rezonancia esetén, mivel az impe- I I dancia minimális, az áramnak maximális értéke lesz, és ekkor lesz fázisZ ban az eredő feszültséggel (3.29a ábra). ω>ωo esetén a kör induktív 2

2

2

jellegű, a fázisszög + 90 o > ϕ > 0 tartományban változik (b ábra). ω<ωo a kör induktív jellegű, a

ωο

fázisszög 0 > ϕ > −90 o tartományban változik (c ábra).

28. ábra ω > ω0

ω = ω0

UC UL

UR= U

ω < ω0

ϕ

UR

I

ϕ UC

UR

UC a)

UL

UR U

UL

I UC

ω

I b)

U UL

UR

c)

29. ábra


BMF-KVK-VEI

Soros rezonancia esetén a kialakuló áramot csak a kör ohmos ellenállása korlátozza (29a ábra), ezért az energiatároló elemek kapcsain fellépő feszültség a generátorfeszültség többszöröse is felléphet. Határozzuk meg egy soros R-L-C kör elemeinek kapcsain fellépő feszültségek értékét, ha: R = 10 Ω, L = 100 mH, C = 40 µF. A körre U = 100 V effektív értékű, ω = 500 rad/s körfrekvenciájú jelet kapcsolunk. A reaktanciák értéke: X L = ωL = 500 ⋅ 100 ⋅ 10 −3 = 50 Ω 1 1 XC = = = 50 Ω . ωC 500 ⋅ 40 ⋅ 10 − 6 Az eredő impedancia: Z = R 2 + ( X L − X C )2 = 10 2 + (50 − 50 )2 = 10 Ω .

U 100 = = 10 A . Z 10 Az egyes elemek kapcsain fellépő feszültségek: U R = I ⋅ R = 10 ⋅ 10 = 100 V , U L = I ⋅ X L = 10 ⋅ 50 = 500 V >> U !!! U C = I ⋅ X C = 10 ⋅ 50 = 500 V >> U !!! Tehát az energiatároló elemek kapcsain a rákapcsolt feszültség ötszöröse lépne fel! A kör árama:

I=


1. Hogyan függ a frekvenciától az energiatároló elemek reaktanciájának értéke? 2. Mi a rezonancia-körfrekvencia, és hogyan határozhatjuk meg értékét? 3. Hogyan helyettesíthetjük a soros L-C kapcsolást kisfrekvenciákon és nagyfrekvenciákon? 4. Hogyan jellemezhetjük a soros L-C kapcsolást rezonancia frekvencián? 5. Hogyan alakul a soros L-C kapcsolás impedanciája és árama a frekvencia függvényében? 6. Hogyan határozhatjuk meg a soros R-L-C kapcsolás impedanciájának értékét? 7. Rajzoljuk fel a soros R-L-C kapcsolás vektorábráját különböző körfrekvenciák esetén? 8. Hogyan alakul a soros R-L-C kapcsolás impedanciája és árama a frekvencia függvényében? 9. Mekkora feszültségek léphetnek fel az egyes elemek kapcsain rezonancia frekvencián? 5.2. A párhuzamos L-C kapcsolás

A párhuzamos L-C kör (ideális párhuzamos rezgőkör) kapcsolása a 30 ábrán látható. A rezgőkör impedanciája nyilván függ a frekvenciától. I Ha XL< XC,, akkor IL > IC (31a ábra), tehát az eredő 0 áram 90 -ot fog késni a közös feszültséghez képest. Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben az ideális párhuzamos U IC ∼ IL C L rezgőkör egyetlen ideális tekerccsel helyettesíthető. Ha pedig XL > XC, úgy IL < IC (31c ábra), tehát az eredő áram 900-ot fog sietni a közös feszültséghez képest. Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben az ideális párhuzamos 30. ábra rezgőkör egyetlen ideális kondenzátorral helyettesíthető. Ha a reaktanciák nagysága azonos, az eredő áramerősség értéke zérus, az ideális párhuzamos rezgőkör szakadással helyettesíthető (31b ábra). Tehát rezonancia esetén, bár az eredő áram zérus, a reaktanciákon folyik áram, melyek nagysága azonos, de irányuk ellentétes. Mivel irányuk ellentétes - belátható -, hogy ezek az áramok a rezgőkörön belül folynak. Másképp: a rezgőkörben folyó áram a tekercsben létrejövő mágneses és a kondenzátorban kialakuló villamos energia periodikus átalakulását közvetíti. (Ha a tekercs építi a mágneses 24 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

terét, azaz fogyaszt, a kondenzátor termel, vagyis kisül, leépül a villamos tere. Ha a kondenzátor villamos tere épül, tehát a kondenzátor fogyaszt, akkor a tekercs termel, leépíti a mágneses terét. A reaktanciák energiát tudnak tárolni, és azt egymásnak periodikusan át is tudják adni, mivel ellenütemben dolgoznak. – l. a teljesítmények időfüggvényeit a 11. és 14. ábrákon). ω < ω0

ω = ω0 IL

U

IC

IC

•

I

IL

IL

IC

U

• •

I

U

•

X L < XC

IC

ω > ω0

IL

X L = XC

a)

X L > XC

b)

c)

31. ábra

Azt a frekvenciát, ahol XL = XC, , itt is a rezgőkör rezonanciafrekvenciájának hívják, Z I és értéke: Z 1 1 és f o = ωo = . 2π ⋅ L ⋅ C L⋅C Figyeljük meg, addig míg ideális soros I rezgőkörnél rezonanciafrekvencián az impedancia zérus (27. ábra), ideális párhuzamos rezgőkörnél rezonanciafrekvencián az áramerősség zérus (32. ábra). (Ezért szoktuk ezt a rezonanciafrekvenciát antirezonancia-frekωο ω venciának nevezni. Azt mondhatjuk, hogy 32. ábra soros rezgőkörnél feszültségrezonancia van, míg párhuzamos rezgőkörnél áramrezonancia van.) Tehát rezonancia esetén (ω=ωo) az áram értéke nulla. Az ω=0 esetén az eredő impedancia nulla (a tekercs rövidzár), míg ω → ∞ esetén azért lesz ismét nulla, mert a kondenzátor lesz rövidzár. Igy a két szélső körfrekvencián az eredő impedancia zérus, tehát az áram végtelen nagy lenne (l. a 32. ábrán). A valóságban a tekercsnek mindig van ellenállása, és a kondenzátornak is van - bár kevésbé számottevő - vesztesége. Először vizsgáljunk meg egy olyan párhuzamos kört, amelyben a veszteséget az ideális rezgőkörrel párhuzamosan kapcsolt ellenállással vettük ω > ω0

ω = ω0

ω < ω0

IL IC IL

• •

U

IR ϕ

I

IR IC

X L < XC a)

IC IL

• •

IR = I

U

IL X L = XC b)

IR

IC • •

I

ϕ

U

IR X L > XC c)

33. ábra

figyelembe (25a ábra). Az elrendezést veszteséges párhuzamos rezgőkörnek is nevezzük. 25 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

Ha XL< XC,, akkor IL > IC,, és az L-C tagot egyetlen tekercs helyettesíti, tehát az eredő egy párhuzamos R-L tag lesz. Az ennek megfelelő vektorábra látható a 33a ábrán. Ha pedig XL > XC,, akkor IL < IC , és az eredő egy pár-huzamos R-C tag lesz (c ábra). Rezonancia esetén az L-C tag szakadást jelent, tehát az eredő az R ellenállás (b ábra), és ez jelenti az impedancia maximális értékét (34. ábra). Tehát rezonancia esetén (ω=ωo) az áram minimális értéke: Imin = U/R, amely fázisban van az U feszültséggel. Az ω=0 esetén az eredő impedancia nulla (a tekercs rövidzár), míg ω → ∞ esetén azért lesz ismét nulla, mert a kondenzátor lesz Z rövidzár. Igy a két szélső körfrekvencián az I Z impedancia zérus, tehát az áram végtelen nagy lenne (l. a 3.34. ábrán). A korábbiakban már láttuk, hogy a veszteséges tekercs soros R-L körrel képezhető le, míg a kondenzátor veszteségei a I gyakorlatban elhanyagolhatóak. Ezért vizsgáljunk meg egy olyan párhuzamos veszteséges rezgőkört, amelyben a veszteωο séget az induktivítással sorba kapcsolt 34. ábra ellenállással vesszük figyelembe (35a ábra). A gyakorlatban így helyettesíthetők a veszteséges párhuzamos rezgőkörök.

ω

I IC I UL

L U

∼

IL

IC

UR

• •

C

U

R IL a)

b) 35. ábra

A kapcsolás vektorábráját a b ábrán rajzoltuk meg az alábbiak szerint: A közös U kapocsfeszültségből indultunk ki, ezt rajzoltuk meg vízszintesen. A kondenzátor árama 900-kal siet a feszültséghez képest, míg az R-L ág árama késik, de 900-nál kisebb szöggel. A két áram fázishelyes eredője (a vektorok összege) adja meg az I eredő áramot. A soros R-L ág részfeszültségeit az U feszültség merőleges komponensekre történő felbontásával kapjuk meg. Ehhez Thales-kört kell emelnünk az U feszültségvektorra. A felbontást úgy kell

Z I I R

Z

0

ωο

ω 36. ábra


BMF-KVK-VEI

elvégezni, hogy az IL árammal azonos, illetve arra merőleges irányú komponenseket kapjunk. Az IL-lel azonos irányú feszültség az ellenállás feszültsége, míg az arra merőleges a tekercsé, mert a tekercsen a feszültség 900-kal siet az áramához képest. Az eredő impedancia illetve áram frekvenciafüggése az előzőhöz hasonló, de lényeges eltérés, hogy kis frekvenciákon az ellenállás szerepe jelentős (36. ábra). Egyenfeszültségre kapcsolva az eredő ellenállás értéke R, így a kör árama is véges, U/R értékű lesz. Ellenőrző kérdések:

1. Hogyan helyettesíthetjük a párhuzamos L-C kapcsolást kis- és nagyfrekvenciákon? 2. Mit értünk antirezonancia körfrekvencián? 3. Hogyan jellemezhetjük a párhuzamos L-C kapcsolást antirezonancia frekvencián? 4. Hogyan alakul a párhuzamos L-C kapcsolás impedanciája és árama a frekvencia függvényében? 5. Rajzoljuk fel a párhuzamos R-L-C kapcsolás vektorábráját különböző körfrekvenciák esetén? 6. Hogyan alakul a párhuzamos R-L-C kapcsolás impedanciája és árama a frekvencia függvényében? 7. Hogyan helyettesítjük a veszteséges párhuzamos rezgőköröket? 8. Rajzoljuk fel a veszteséges párhuzamos rezgőkör vektorábráját! 9. Hogyan alakul a veszteséges párhuzamos rezgőkör impedanciájának és áramának értéke a körfrekvencia függvényében? 6. Fázisjavítás

A váltakozó áramú körökben a fogyasztóra kapcsolt, időben szinuszosan változó feszültség hatására kialakuló áram is hasonló időbeli lefolyású lesz lineáris áramkörökben de a feszültség és az áram időfüggvényei között fáziseltérés lép fel, amit az impedancia fázisszöge (ϕ) határoz meg (l. a 4.1. pontban). Ezért a fogyasztó által felvett teljesítmény is időben periodikusan változik, amit az átlagértékével jellemeztünk: P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ , és hatásos teljesítménynek neveztünk. Az összefüggésben U a fogyasztó kapcsain fellépő feszültség, I a fogyasztó áramának effektív értéke, és ϕ a két mennyiség közötti fáziseltérés. A P P = . cosϕ-t teljesítménytényezőnek nevezzük: cos ϕ = U ⋅I S U ϕ

Táplálás

Ie IC

IF

U

Vezeték

Ie

∼

Fogyasztó

IF

a)

F

IC C

b) 37. ábra

A fogyasztók általában induktív jellegűek, azaz a hatásos teljesítmény mellett induktív meddő teljesítményt is vesznek fel. Ez sokszor szükségszerű (pl. egy villamos motornál ez hozza létre a motor működéséhez szükséges mágneses teret). A meddő teljesítmény felvétele következté27 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

ben megnő az eredő áram (lásd: S = P 2 + Q 2 = U ⋅ I ), és a hatásos teljesítmény által igényeltnél nagyobb áram (IF) terheli a hálózatot (37a ábra). Ez a fogyasztóhoz vezető vezetéken többlet veszteséget és nagyobb feszültségesést hoz létre. A fázisjavítás célja, hogy a meddő teljesítményt ott és olyan mértékben állítsuk elő, ahol és amilyen mértékben ez szükséges. Így a vezetéket kisebb árammal, lehetőleg csak a hatásos teljesítmény által igényelt árammal terheljük. A fázisjavítás szokásos megvalósítását a 37b ábra mutatja, amikor az induktív fogyasztóval kondenzátort kapcsolunk párhuzamosan. Mivel a kondenzátor ellenütemben tárol energiát a tekercshez képest, kompenzálja, mintegy megtermeli az induktív fogyasztó meddő teljesítményét. Pn = 2,4 kW; cos ϕF = 0,75. Egy fogyasztó jellemzői: Un = 230 V; Mekkora kapacitású kondenzátorral biztosítható a cos ϕe = 1 érték? A számításokat a 38a ábra alapján végezhetjük el. A fogyasztó áramának nagysága a megadott jellemzők alapján: Pn 2400 IF = Pn = U ⋅ I F ⋅ cos ϕ F , amiből = = 13,9 A . U ⋅ cos ϕ F 230 ⋅ 0,75 A fázisjavítás után az eredő áram a fogyasztó áramának wattos összetevőjével egyezik meg: I e = I Fw = I F ⋅ cos ϕ F = 13,9 ⋅ 0,75 = 10,43 A A kondenzátor árama az áramvektorok derékszögű háromszögéből:

I C = I Fm = I F ⋅ sin ϕ F = I ⋅ 1 − (cos ϕ F )2 = 13,9 ⋅ 1 − 0,75 2 = 9,2 A . A kondenzátor kapacitása: I U 9,2 I C = n = U n ⋅ ω ⋅ C , amiből C = C = F = 127,4 µF . U n ⋅ ω 230 ⋅ 314 XC ϕe

U ϕF

IFw

ϕF

U

Ie

Ie

IF IC

IC

IF IFm a)

b) 38. ábra

Mekkora kapacitású kondenzátorra van szükség, ha a fázisjavítást cos ϕe = 0,95 értékre kell elvégeznünk? Az ehhez szükséges számításokat a 38b ábra alapján végezzük el. Az ábra alapján a ϕe szögű derékszögű háromszögre felírhatjuk: I − IC tg ϕ e = Fm , amiből I C = I Fm − I Fw ⋅ tg ϕ e . I Fw tg ϕ e =

1 − (cos ϕ e )2 sin ϕ e 1 − 0,95 2 0,312 = = = = 0,328 cos ϕ e cos ϕ e 0,95 0,95 28

Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

A kondenzátor árama: I C = I Fm − I Fw ⋅ tg ϕ e = 9,2 − 10,43 ⋅ 0,328 = 5,77 A I 5,77 A kondenzátor kapacitása: C = C = F = 79,9 µF U n ⋅ ω 230 ⋅ 314 I I 10,43 Az eredő áram nagysága: cos ϕ e = Fw , amiből I e = Fw = = 10,98 A . cos ϕ e 0,95 Ie A kapott eredményeket összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy a második esetben lényegesen kisebb értékű kapacitás is elegendő, ugyanakkor az eredő áram nem lesz lényegesen nagyobb. A gyakorlatban a fázisjavítást elegendő a második feltétel szerint teljesíteni (cosϕe=0,9..0,95). Ellenőrző kérdések:

1. 2. 3. 4.

Mit értünk fázisjavítás alatt? Hogyan biztosíthatjuk a megfelelő meddő teljesítményt? Hogyan határozhatjuk meg a szükséges kapacitás értékét cosϕe=1 esetén? Hogyan határozhatjuk meg a szükséges kapacitás értékét cosϕe=0,95 esetén?

7. A háromfázisú hálózatok

Az olyan szinuszos mennyiségekből felépített váltakozó áramú rendszert, amelyben a szinuszos mennyiségek frekvenciája egyenlő, és azok egymáshoz képest fázisban el vannak tolva, többfázisú rendszernek nevezzük. A többfázisú hálózatok olyan több gerjesztést (generátort) tartalmazó hálózatok, amelyekben a generátorok feszültsége azonos frekvenciájú, de eltérő fázishelyzetű. A többfázisú feszültség-rendszer szimmetrikus, ha a feszültségek nagysága azonos, és az egymást követő feszültségek közötti fáziskülönbség is azonos. Elvben a többfázisú rendszer fázisainak száma tetszőleges lehet, de gyakorlati jelentősége csak a háromfázisú rendszernek van, ezért a továbbiakban részletesen csak ezzel foglalkozunk. Ha homogén mágneses térben állandó szögsebességgel vezető keretet forgatunk, akkor a keretben szinuszos váltakozó feszültség indukálódik. Ha három teljesen egyforma, egymástól 120°-ra elforgatott és egymáshoz képest +j rögzített keretet forgatunk, akkor azok mindegyikében azonos csúcsértékű és periódusú - de kölcsönösen 120°-os szöggel UT eltolt - feszültség keletkezik. Tehát a szimmetrikus hároma UR fázisú feszültségrendszer fázisfeszültségei közötti fáziseltérés + 120o (2π/3 rad): 2 1 a u R (t ) = U cs ⋅ sin ωt u S (t ) = U cs ⋅ sin(ωt − 120 o )

US uT (t ) = U cs ⋅ sin(ωt + 120 o ) -j A fázisfeszültségek komplex effektív értékeit az 2π j 1 3 39. ábra a =e 3 =− + j forgató egységvektorral felírva: 2 2 1 3 1 3 UR =U U S = a 2 ⋅ U = (− − j ) ⋅U U T = a ⋅ U = (− + j ) ⋅U 2 2 2 2 A három feszültség összege U R + U S + U T = (1 + a 2 + a ) ⋅ U = 0 , ami a vektorábra alapján is könnyen belátható (39. ábra).


BMF-KVK-VEI

A termelői oldalon R,S,T, a fogyasztói oldalon 1,2,3 indexeket használunk. Szimmetrikus háromfázisú rendszerről akkor beszélünk, ha mind a termelői, mind a fogyasztói oldal szimmetrikus. A Z2 US fogyasztói oldal szimmetriája azt U2 UR jelenti, hogy az egyes fázisok I2 U1 U00’ impedanciája azonos nagyságú és jellegű (fázisszögük azonos): I00’ Z00’ Z1 I1 Z1 = Z 2 = Z 3 = Z . I3 UT Csillag-csillag kapcsolású rendU3 szer (40. ábra) esetén a termelői Z3 és a fogyasztói csillagpont között nincs poteciálkülönbség, 40. ábra A Millmann-tételt felírva: U ⋅ Y + U S ⋅ Y + U T ⋅ Y (U R + U S + U T ) ⋅ Y U 00′ = R = = 0. Y + Y + Y + Y00' 3 ⋅ Y + Y00' Tehát a fogyasztói impedanciák feszültsége rendre megegyezik a generátor fázisfeszültségével. ezért a fogyasztói fázisfeszültségek: U1 = U R U2 = US U3 = UT .

U U UR I2 = S I3 = T Z1 Z2 Z3 is szimmetrikus háromfázisú rendszert alkotnak. Tehát szimmetrikus rendszer esetén a három fogyasztói fázisáram összege nulla, ezért a nullvezetőn nem folyik áram (I00’=0). Ebből következik, hogy szimmetrikus terhelésnél nullvezetőre nincs szükség, az energia továbbításához elegendő három vezető is. A fogyasztói fázisáramok:

I1 =

A gyakorlatban alkalmazott kisfeszültségű energiaelosztó hálózat fázisfeszültsége 230 V. Így a termelői fázisfeszültségek komplex effektív értéke: U R = 230 V U S = −115 − j 200 V

UT

+j U3

U2

UR

U T = −115 + j 200 V Csillag-delta kapcsolás esetén a fogyasztói U1 fázisáramok meghatározásához ismerni kell a fogyasztói US -j A fogyasztói impedanciákra jutó feszültséget. fázisfeszültség a rendszer vonalfeszültségével egyezik meg a 41. ábra háromszög kapcsolás miatt (l. a fázorábrát!). Kirchhoff huroktörvénye alapján: U R + U 1 − U S = 0 , amiből U 1 = U S − U R = (−115 + j 200)V − 230 V = −345 − j 200 V . Háromszög kapcsolású fogyasztó esetén a fogyasztói fázisfeszültség a rendszer vonali feszültségével egyezik meg (l. a 41. ábrát). Kirchhoff huroktörvénye alapján:

U1 = U S − U R = (−115 − j 200)V − 230 V = −345 − j 200 V . U 2 = U T − U S = (−115 + j 200)V − (−115 − j 200) V = j 400 V U 3 = U R − U T = 230 V - (−115 + j 200)V = 345 − j 200 V . A háromfázisú rendszerek névleges feszültsége alatt mindig a vonali feszültséget értjük. Pl. az U=3x400 V olyan szimmetrikus (kisfeszültségű) hálózatot jelent, amelynek mindhárom vonali feszültsége 400 V.


BMF-KVK-VEI

Az eredő hatásos teljesítmény egy fázis teljesítményének háromszorosa: Pe = 3 ⋅ Pf = 3 ⋅ U f ⋅ I f ⋅ cos ϕ A vonaljellemzőkkel felírva csillagkapcsolású fogyasztó esetén: U f =

UV 3

és I f = I V ,

U Pe = 3 ⋅ U f ⋅ I f ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ V ⋅ IV ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ U V ⋅ IV ⋅ cos ϕ . 3 I A háromszög kapcsolású fogyasztó esetén: U f = U V és I f = V . 3 IV Pe = 3 ⋅ U f ⋅ I f ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ U V ⋅ ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ U V ⋅ IV ⋅ cos ϕ . 3 tehát

Ez alapján a vonaljellemzők ismeretében - a fogyasztó kapcsolási módjától függetlenül közvetlenül számolhatjuk a szimmetrikus háromfázisú fogyasztó teljesítményét. Tehát a háromfázisú fogyasztó teljesítményei: Pe = 3 ⋅ U V ⋅ IV ⋅ cos ϕ Qe = 3 ⋅ U V ⋅ IV ⋅ sin ϕ ahol ϕ az impedancia fázisszöge! S e = 3 ⋅ U V ⋅ IV

A csillag illetve háromszög kapcsolású fogyasztók teljesítményének arányáról a következőket állapíthatjuk meg: Ha az ugyanolyan fázisimpedanciákból álló, szimmetrikus fogyasztót csillagból háromszögbe kapcsoljuk, akkor a fogyasztói fázisimpedanciákra a vonali feszültség jut. Ezért áramuk 3 -szor nagyobb lesz. Mivel a fogyasztó teljesítményei a rajta átfolyó áram négyzetével arányosak, ez azt jelenti, hogy a fogyasztó által felvett teljesítmény háromszor nagyobb lesz háromszög kapcsolású fogyasztó esetén. A háromfázisú rendszer aszimmetrikus, ha akár a termelői, akár a fogyasztói oldalon lép fel aszimmetria. A termelő aszimmetrikus, ha az amplitúdó- vagy a fázisszög-feltétel közül legalább az egyik nem teljesül. A fogyasztó aszimmetrikus, ha az impedanciák nagysága vagy fázisszöge különböző. Ilyenkor az egyes fázisok mennyiségei között sem írható fel általános érvényű kapcsolat. Minden jellemzőt külön-külön kell meghatározni a már ismert számítási szabályok, hálózatszámítási tételek alkalmazásával. Ellenőrző kérdések:

1. Milyen hálózatokat tekintünk többfázisú hálózatoknak? 2. Hogyan jellemezhető a szimmetrikus többfázisú feszültségrendszer? 3. Mikor tekinthető egy háromfázisú rendszer szimmetrikusnak? 4. Milyen mennyiségi kapcsolat van a szimmetrikus rendszer fázis- és vonalfeszültségei között? 5. Mit értünk csillag illetve háromszög kapcsolás alatt? 6. Milyen kapcsolat van a fázis- és vonaláramok között szimmetrikus csillag illetve háromszög kapcsolású fogyasztó esetén? 7. Hogyan határozható meg a szimmetrikus fogyasztó teljesítménye a vonaljellemzőkkel? 8. Mikor beszélhetünk aszimmetrikus háromfázisú hálózatról? 9. Hogyan számolhatunk aszimmetrikus háromfázisú hálózatokban? 31 Szekér: Villamosságtan

BMF-KVK-VEI

A váltakozó áramú hálózatok

Recommend Documents