A valószínűségszámítás alapjai Kombinatorika Permutáció (ismétlés nélkül): • n elem összes lehetséges sorrendje: Pn= n(n-1)(n-2)…2⋅1=n! n!-n faktoriális Variáció • ismétlés nélkül • n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációja -n elemből k helyre (k
n! Vn = n(n-1)(n-2)..(n-k+1)= (n − k )! k
•
ismétléssel n elem k-ad osztályú ismétléses variációja -n elemből k helyre választok elemeket - a lehetséges sorrendek száma: Vnk,i=nk
Kombináció • ismétlés nélkül • n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációja -n elemből kiválasztok k elemet (k
maga az eseménytér. H
1
Műveletek eseményekkel komplementer esemény: Az A esemény komplementere vagy ellentett eseménye a „nem A” jele:
A
Események összege: A+B vagy A ∪ B -az az esemény, mely akkor következik be, ha a kisérlet eredménye k ∈ A vagy k ∈ B lesz. Események szorzata A⋅B vagy A ∩ B az az esemény, mely akkor következik be, ha a kisérlet eredménye k ∈ A és k ∈ B lesz. Események különbsége A-B vagy A\B de k
∉ B lesz.
az az esemény, mely akkor következik be, ha a kisérlet eredménye k
fennáll, hogy:
∈A
A − B = A⋅ B
Az A esemény maga után vonja a B eseményt ha A ⊂ B az az esemény, mely akkor következik be, ha a kisérlet eredménye k ∈ A ból következik, hogy k B is teljesül.
∈
Események azonossága A=B ha az A ⊂ B és B ⊂ A egyidejűleg teljesül Műveleti tulajdonságok 11.
A+∅ = A
2. A+B=B+A
12.
A⋅∅ = ∅
3. (A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C
13. A+H=H
4. A⋅A=A
14. A⋅H=A
5. A⋅B=B⋅A
15.
A⋅ B = A + B
16.
A+ B = A+ B
1. A+A=A
6. (A⋅B)⋅C=A(B⋅C) 7. (A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C 8. (A⋅B)+C=A⋅C+B⋅C 9.
A+ A = H
10.
A⋅ A = ∅
17. A = A
2
Egymást kizáró események Legyenek A és B események ugyanannak az eseménytérnek részei. Ha A⋅B= ∅ , akkor A és B események egymást kizáró események. Legyenek A1, A2,
An események részei ugyanannak az eseménytérnek. Ha fennáll,
hogy Ai⋅Aj= ∅ minden i ≠ j re, akkor az A1, A2, An eseményeket egymást páronként kizáró eseményeknek nevezzük. Teljes eseményrendszer Legyen H egy eseménytér és Ai ⊂ H (i=1,2,..n); az Ai (i=1,2,..n) események teljes eseményrendszert alkotnak, ha: • Ai ≠ ∅ • •
Ai⋅Aj= ∅ ha i A1+A2+A3+….An=H
≠j
Legyen T az eseménytér(H) részhalmazaiból álló halmaz -jelöljük ezt a halmazt T-velun. halmazalgebrát alkot ha teljesül, hogy: • H∈ T • A ∈ T és B ∈ T ⇒ A+B ∈ T • A∈ T ⇒ A ∈ T Ha T a H összes lehetséges részhalmazaiból áll, akkor teljes halmazalgebráról beszélünk. Ha H halmaz un. eseménytér, akkor az eseményalgebra elnevezést használjuk. A valószínűség fogalma A relatív gyakoriság értelmezése: Egy kisérletet n-szer elvégezve k-szor (k≤n) következik be az A esemény. Az A esemény relatív gyakorisága: rA =
kA . n
A kísérletek számának növelésével rA értéke stabilizálódik - egyre jobban közelít egy adott értékhez - ezt az (elméleti) értéket nevezzük az A esemény valószínűségének P(A)-val jelöljük. Axiómák (Kolmogorov féle) Legyen T a H eseménytéren értelmezett eseményalgebra (vagyis T olyan halmaz, melynek elemei a H részhalmazaiból származnak és értelmezhető rá a halmazalgebra kritériumai) a P:T→R függvényt valószínűségnek nevezzük, az A helyen vett helyettesítési értékét P(A) az esemény valószínűségének nevezzük az alábbi axiómák szerint: I. A biztos esemény valószínűsége 1. P(H)=1 II. Bármely A ∈ T-re 0≤P(A)≤1 III. Bármely A1, A2,….An ∈ T esetén, ha A1, A2,….An események egymást páronként kizáró események, akkor P(A1+A2 +….+An)=P(A1)+P(A2)+….+P(An)
3
Ha az eseményteret alkotó n számú elemi események (E1, E2,…En) egyformán valószínűek, akkor a hozzájuk rendelt valószínűség: P(Ek)=
1 n
Az A=E1+E2+…Ek összetett esemény valószínűsége: P(A)= P(E1+E2+…Ek)=P(E1)+P(E2)+…P(Ek)=
k n
Példa: A esemény: egy kockával páros számot dobunk Eseménytér: H=⎨ k1, k2, k3, k4, k5, k6⎬ 6 elemű halmaz Elemi események: k1=1, k2=2, k3=3, k4=4, k5=5, k6=6 E1=⎨k1⎬;E2=⎨k2,⎬;E3=⎨k3⎬; E4=⎨k4⎬;E5=⎨k5⎬;E6=⎨k6⎬ P(E1)= P(E2)= P(E3)= P(E4)= P(E5)= P(E6)=
1 6
A=⎨k2, k4, k6⎬=E2+E4+E6
1 1 1 3 1 + = = 6 6 6 6 2
P(A)= P(E2+E4+E6)= P(E2)+ P(E4)+ P(E6)= = +
Mintavételi problémák N termékből S selejtes. n elemű mintát veszünk. Mekkora valószínűséggel lesz a mintában pontosan k db. selejtes termék? a)visszatevés nélküli b)visszatevéses mintavételnél. Mindkét mintavételnél egy minta n-es alkot egy elemi eseményt. Teljesül hogy az elemi események egyformán valószínűek és véges számúak. Az összes lehetséges kiválasztás alkotja az eseményteret, ⎛N⎞ mely az a) esetben (visszatevés nélküli)- ⎜⎜ ⎟⎟ elemi eseményből áll. Így annak a valószínű⎝n⎠ sége, hogy az n elemű mintában k db. selejtes lesz: ⎛ S ⎞⎛ N − S ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟ k ⎠⎝ n − k ⎟⎠ ⎝ Pk= ⎛N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠
4
b) Ha un. visszatevéses mintavételt alkalmazunk, akkor az elemi események száma Nn; . A k ⎛n⎞ selejtet tartalmazó n elemű minták lehetséges száma pedig: ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ S k ⋅ ( N − S ) ( n −k ) ⎝k ⎠ Igy annak a valószínűsége, hogy az egymás után kiválasztott n elemből k db. a selejtes: ⎛ n ⎞ S k ( N − S ) ( n −k ) Pk= ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ Nn ⎝k ⎠ Geometriai valószínűség Ha az eseménytér nem véges számú elemi eseményből áll, akkor analógiát keresünk valamely geometriai alakzat- szakasz, síkidom, test- és az eseménytér között, majd az elemi eseményeket ezek részhalmazaként értelmezzük. Pl. Egy tűt egy papírlapra ejtve, mi a valószínűsége, hogy egy adott négyzeten belül szúrja ki a papírt. T-nek tekintve a papírlap területét. A-nak a négyzet területét- a valószínűség P(A) = A/T lesz. Az esemény bekövetkezésének valószínűségét területarányokkal (szakasz- ill. térfogatarányokkal) tudjuk megadni. Feltételes valószínűség Adott N emberből álló sokaság. Ebből NF számú férfi és NV számú magas vérnyomásban szenvedő ember. Kérdés: Mi a valószínűsége annak, hogy az N emberből találomra kiválasztva egyet az magas vérnyomású férfi lesz? NF Annak a valószínűsége, hogy az N emberből egyet kiválasztva, az férfi lesz: P(F)= N Annak a valószínűsége, hogy az N emberből egyet kiválasztva, az magas vérnyomású lesz: NV P(V)= N
A férfiak között a magas vérnyomásúak száma: NFV
N FV N Annak a valószínűsége, hogy egy kiválasztott férfi magas vérnyomású lesz: F Ennek a jelölése (az egész N számú sokaságot figyelembe véve): P(V⎪F) V esemény bekövetkezésének valószínűsége, feltéve F esemény bekövetkezését. N FV P( F ⋅ V ) N FV = N = P(V⎪F)= P( F ) NF NF N
5
Általánosan: Legyen A, B egyazon eseménytér két eseménye és P(B)>0. Ekkor az A esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűségén a P( AB) P(A⎪B)= értéket értjük. P( B ) [Az eseményteret leszűkítjük a B-hez tartozó eseményekre] Tétel: Ha A1, A2 és B egyazon eseménytér eseményei és P(B)>0, akkor P((A1+A2)⎪B)= P(A1⎪B)+P(A2⎪B)-P(A1⋅A2⎪B) A valószínűségek szorzási szabálya A és B két tetszőleges esemény, P(A)>0 és P(B)>0 Egymásra vonatkoztatott feltételes valószínűségek: P(A⎪B)=
P( A ⋅ B) P( B)
P(A⋅B)=P(A⎪B)⋅P(B)
P(B⎪A)= P ( B ⋅ A) P ( A)
P(B⋅A)= P(B⎪A)⋅P(A)
Pl: Egy áruház összes látogatója közül átlagban 25% keresi fel a műszaki osztályt. Ezek közül 64% vásárol ott valamit. Mekkora a valószínűsége, hogy egy látogató műszaki cikket vásárol? A esemény: a látogató felkeresi a műszaki osztályt. B esemény: vásárol a műszaki osztályon: P(B⎪A)=0,64
P(A)=0,25
P(A⋅B)= P(A)⋅P(B⎪A)=0,25⋅0,64=0,16 vagyis 16% a valószínűsége annak, hogy egy tetszőleges látogató műszaki cikket fog vásárolni. A szorzási szabály általánosan: P(A1⋅A2 … An)=P(A1)⋅P(A2⎪A1)⋅P(A3⎪A1⋅A2)⋅ ⋅P(A4⎪ A1⋅A2⋅A3)⋅……⋅P(An⎪ A1⋅A2⋅A3⋅… An-1)
Események függetlensége: A és B eseményt akkor tekintjük (sztochasztikusan) függetlennek , ha P(A⋅B)=P(A)⋅P(B) Ez azt jelenti, hogy P(A⎪B)=P(A) vagyis B esemény semmilyen befolyással nem bír az A esemény bekövetkezésére.
6
Valószínűségi változók Ha az eseménytér (H) elemi eseményeihez valós számokat tudunk rendelni, akkor értelmezhető a H→R valós függvény. Vagyis egy adott kísérlet véletlentől függő kimenetelét egy ξ (olv.: kszí) valós mennyiség jellemzi. Pl. • egy telefonközpontba naponként a 13-14 óra között befutó hívások száma. • hány fej lesz, ha az érmét 80-szor feldobjuk? • Hányas találatunk lesz a Lottón? • 10 munkadarab között mennyi lesz a selejtes? • Milyen hosszú lesz a találomra kihúzott hajszálunk? • Mennyi lesz jövő év március 15-én Keszthelyen a napi maximum hőmérséklet? Ezek olyan számok, melynek konkrét értéke a véletlentől függ. Az olyan mennyiségeket, melynek értéke a véletlentől függ valószínűségi változónak nevezzük. Jelölésük görög kis betű: ξ, η, μ stb. A valószínűségi változó pontos értékét nem tudjuk, de tudjuk, hogy milyen értékei lehetségesek (elméletileg vagy tapasztalat alapján) A valószínűségi változó tehát az elemi események terén értelmezett függvény. Ha a valószínűségi változó csak egymástól különálló meghatározott értékeket vehet fel, akkor diszkrét valószínűségi változóról beszélünk. (hívások száma, fejek száma, selejt száma stb.) Ha a valószínűségi változó egy megadott intervallum összes értékét felveheti, akkor folytonos valószínűségi változóról beszélünk. (hajszál hossza, a maximum hőmérséklet értéke stb.) Ha a megadott kisérlet során a ki elemi esemény következett be és a valószínűségi változó definíciója szerint ehhez az xi értéket rendeltük, akkor azt mondjuk, hogy a valószínűségi változó az xi értéket vette fel: ξ=xi A ξ=xi esemény valószínűségét a P(ξ=xi) szimbólummal jelöljük. Pl. Két kockával dobunk. Elemi események: a két kocka felső lapján lévő pontok összege. ξ értékei xi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
hányféleképpen dobható P(ξ=xi)
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36
7
Ez a ξ valószínűségi változó eloszlása: 0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A fenti diagramot elméleti meggondolások alapján állítottuk elő. Nagy számú megfigyelés esetén előállíthatjuk tapasztalati úton az egyes eseményekhez tartozó relatív gyakoriságokat is. Ezek az elméleti értéktől többé-kevésbé eltérőek lesznek, de növelve a megfigyelések számát egyre jobban közelítik azt. Számos olyan feladat van, amikor a megfigyelt relatív gyakoriságokból akarunk az elméleti valószínűségre következtetni. (pl. adott nap maximum hőmérséklete) Definiálhatunk egy függvényt úgy. hogy F(x)=P(ξ<x) -vagyis a valószínűségi változó által felvehető értékekhez (x) hozzárendeljük annak a valószínűségét, hogy ξ ennél kisebb. Ezt nevezzük a valószínűségi változó eloszlásfüggvényének: Diszkrét valószínűségi változónál a valószínűségi változó által felvehető értékek véges halmazt alkotnak vagy végtelen, de megszámlálható sokaságú halmazt alkotnak, akkor összegezzük mindazon valószínűségeket, melyek az xi<x: F(x)=
∑ P(ξ < x)
xi < x
Ábrázolva a két kockával való dobás valószínűségi eloszlásfüggvényét: •
1
0,9
•
0,8
lépcsős függvényt kapunk, melynek értékkészlete [0, 1] monoton növekszik
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8
Folytonos valószínűségi változónál a valószínűségi változó által felvehető értékek összefüggő intervallumon helyezkednek el, akkor is értelmezhetjük az eloszlásfüggvényt az alábbiak szerint: F(x)=P(ξ<x) Annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó az [a,b] intervallumba esik: P(a>ξ
0,9
0,8
0,7
F(x)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-∞ a valószínűségi változó lehetséges értékei+∞
lim F ( x) =0 −∞
lim F ( x) =1 +∞
A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: Ha az F(x) eloszlásfüggvényhez létezik f(x)≥0 függvény, úgy hogy x
F(x)=
∫ f (t )dt
−∞
az f(x) függvényt a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük. [F(x)]’=f(x) Ha deriváljuk az F(x) eloszlásfüggvényt, akkor megkapjuk a sűrűségfüggvényt. Ha a sűrűségfüggvényt integráljuk, akkor megkapjuk az eloszlásfüggvényt, feltéve ha F(x) differenciálható ill. f(x) integrálható. A valószínűségi változó várható értéke és szórása A várható érték: A várható érték az átlaggal analóg fogalom. (súlyozott átlag) Legyen ξ diszkrét valószínűségi változó; amelynek lehetséges értékei {x1, x2, ….xn}, amelyeket p1, p2, ….pn valószínűséggel vesz fel. Szorozzuk meg (súlyozzuk) az adott xi értéket a hozzá tartozó pi valószínűséggel: pixi . A pixi értékek összegét a ξ valószínűségi változó várható értékének nevezzük.
9
formulázva: n
M(ξ)=
∑p x i =1
i i
Ha minden egyes xi-hez azonos pi tartozik, amely így szükségképpen pi=
1 , akkor a várható n
érték megegyezik az xi változók (i=1..n) számtani átlagával. Pl. egy kockával dobunk. ξ a dobott pontok értéke xi={1,2,3,4,5,6} 1 Mindegyik egyformán valószínű: pi= 6 1 1 1 1 1 1 A várható érték: M(ξ)= 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6=3,5 6 6 6 6 6 6 Ez megegyezik az x =
1+ 2 + 3+ 4 + 5 + 6 számtani átlaggal. 6
(A várható érték lehet olyan szám, amelyet a valószínűségi változó nem is vehet fel) Pl. Két kockával dobunk. Valószínűségi változó a dobott pontok összege. ξ értékei xi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
pi
1 36 2 36
2 36 6 36
3 36 12 36
4 36 20 36
5 36 30 36
6 36 42 36
5 36 40 36
4 36 36 36
3 36 30 36
2 36 22 36
1 36 12 36
pixi
11
252 =7 36 i =1 Ez is megegyezik az xi változók számtani átlagával.
Várható érték: M(ξ)= ∑ pi xi =
A várható érték akkor nem egyezik az átlaggal, ha az eloszlás nem szimmetrikus. 0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0 1
2
3
4
5
6
Ebben az esetben a számtani átlag: 3,5 A várható érték:M(ξ)= ∑ pi xi =3,0 10
Folytonos valószínűségi változó esetén is definiáljuk a várható értéket: +∞
M(ξ)=
∫ xf ( x )dx
−∞
ahol f(x) a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye Ha ez az integrál érték nem véges, akkor az adott valószínűségi változónak nincs várható értéke. A várható érték tulajdonságai: • • • •
Konstans valószínűségi változó várható értéke: M(c)=c Valószínűségi változó skalárszorosának várható értéke: M(c⋅ξ)=c⋅M(ξ) Az η= ξ+a (a skalár konstans) valószínűségi változó várható M(η)=M(ξ+a)=M(ξ)+a Valószínűségi változók összegének várható értéke: M(η+ξ)=M(η)+M(ξ)
értéke:
Szórás (szórásnégyzet) A várható érték körüli ingadozásról ad információt a szórás ill. szórásnégyzet. (A sűrűségfüggvény lapultságát méri) D2(ξ) =M{[x-M(ξ)]2}
ill. D(ξ)=+
M{[x - M(ξ ]2 }
Diszkrét esetben: Pl. Két kockával dobunk. Valószínűségi változó a dobott pontok összege. ξ értékei xi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
pi
1 36 2 36
2 36 6 36
3 36 12 36
4 36 20 36
5 36 30 36
6 36 42 36
5 36 40 36
4 36 36 36
3 36 30 36
2 36 22 36
1 36 12 36
25
16
9
4
1
1
4
9
16
25
25 36
32 36
27 36
16 36
5 36
0 0
5 36
16 36
27 36
16 36
25 36
pixi M(ξ)=7 [xi- M(ξ)]2 pi[xi- M(ξ)]2
D2(ξ)= Σ pi[xi- M(ξ)]=
D(ξ)=
210 36
D2 (ξ ) ≈2,41
11
Folytonos valószínűségi változó szórásnégyzete ill. szórása +∞
D2(ξ)=
∫ [ x − M (ξ )]
2
f ( x )dx
−∞
+∞
D(ξ) = +
∫ [ x − M (ξ )]
2
f ( x )dx
−∞
Nevezetes eloszlások Binomiális eloszlás A megfigyelésünk kétféle eredményt adhat: egy A esemény bekövetkezik vagy nem következik be. n számú (egymástól független) megfigyelést végzünk. Az A esemény valószínűsége: p. A valószínűségi változó: n megfigyelésből az A esemény k szor következik be (ξ=k). (Ez a visszatevéses mintavétel tipikus esete, ahol láttuk, hogy annak a valószínűsége, hogy az egymás után kiválasztott n elemből k db. a selejtes:
⎛ n ⎞ S k ( N − S ) ( n −k ) Pk= ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ Nn ⎝k ⎠ Ez megfelel az alábbiaknak: Annak a valószínűsége, hogy az A esemény n számú megfigyelésből k-szor következik be: ⎛n⎞ P(ξ=k)= ⎜⎜ ⎟⎟ pk(1-p)n-k ⎝k ⎠ A binomiális eloszlásban az n és a p un. paraméterek Hipergeometrikus eloszlás A visszatevés nélküli mintavételnél N elem között S rendelkezett egy adott tulajdonsággal. Az S adott tulajdonságú elem kiválasztásának valószínűsége: p= . N elemből választottunk ki n N számú elemet. A valószínűségi változó: n-ből k db. felel meg valamilyen tulajdonságnak: ξ=k
12
Annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott n elemből pontosan k számú elem rendelkezik az adott tulajdonsággal: ⎛ S ⎞⎛ N − S ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟ k ⎠⎝ n − k ⎟⎠ ⎝ P(ξ=k)= ⎛N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝k⎠ A hipergeometrikus eloszlás paraméterei: N, S, n
⎛n⎞ ⎛ N − S ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ n k ⎠ ⎝ n − k ⎟⎠ ⎝ Várható értéke: M(ξ)= ∑ k ⋅ =np ⎛N ⎞ k =0 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝k⎠
Szórása: D(ξ)=
np (1 − p )
(p=
S ) N
N −n N −1
Példa: 10 üveg borból 3 kiváló minőségű. Kérdés: legalább hány üveg bort kell kiválasztani, hogy közöttük 50%-nál nagyobb eséllyel legyen legalább egy kiváló? A valószínűségi változó ξ: annak a valószínűsége, hogy az n elemű mintában k db kiváló lesz? ξ hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó. Paraméterei: N=10, S=3 és n. A P(ξ≥1)>0,5 legyen . n értékét keressük. ⎛ 3⎞ ⎛10 − 3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ n − 1 ⎟⎠ ⎝ >0,5 P(ξ≥1)= ⎛10 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠ n=1 esetén: P(≥1)=P(ξ=1)=
3 10
n=2 esetén: P(≥1)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=
kevés 21 3 + >0,5 45 45
elég
Vagyis a 10 üvegből kettőt találomra kiválasztva, már 50%-nál nagyobb valószínűséggel lesz benne kiváló.
13
Poisson eloszlás A ritka események valószínűségi eloszlása. Tekinthető a binomiális eloszlás speciális határértékének, amikor is n (a megfigyelések száma) nagyon nagy és p=P(A) nagyon kicsi.
⎛n⎞ ⎝k ⎠
P(ξ=k)= ⎜⎜ ⎟⎟ p q
Ekkor az
k
n−k
gé nagy és p viszonylag kicsi. Bevezetve az np=λ jelölést
kifejezés jól közelíthető annak határértékével, ha n elégitt: q=(1-p)
⎛n⎞ k λk − λ n−k lim⎜⎜ ⎟⎟ p (1 − p ) = e ∞ k! ⎝k ⎠ Vagyis a Poisson eloszlás eloszlásfüggvénye: P(ξ=k)=
λk k!
e−λ
(Ezzel sokszor könnyebb számolni, mint a binomiális eloszlás képletével.) Paramétere: λ
ahol: λ=np
Várható értéke: M(ξ)=λ Szórása:D(ξ)=
λ
Példa: Tipikusan Poisson eloszlású • Az adott tömegű radioaktív elemnél bizonyos időtartam alatt elbomló atomok száma • Egy üzletbe adott időszak alatt betérő vásárlók száma (sorbaállási probléma) • Mikroszkóp alatt adott mm2-en leszámolható baktériumok száma • Mazsolás süteményben egy levágott szeletben található mazsolák száma. Számpélda: Egy készülék meghibásodásának átlagos száma 10 000 munkaóra alatt 10. A meghibásodások eloszlása csak a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a készülék 200 működési óra alatt elromlik. Megoldás: 10 000 óra alatt 10 meghibásodás van átlagosan. Annak a valószínűsége, hogy 1 óra alatt 10 meghibásodik: =p 10000 10 n=200 óra λ=np=200⋅ =0,2 10000
14
Legyen ξ valószínűségi változó a 200 óra alatt bekövetkező meghibásodások száma:
0,2 k −0, 2 e P(ξ=k)= k! Annak a valószínűsége, hogy a készülék nem romlik el (k=0)
0,2 0 −0, 2 e = e −0, 2 P(k=0)= 0! Tehát annak a valószínűsége, hogy a 200 óra alatt legalább egyszer elromlik: 1-P(k=0)=1-e-0,2=0,18 azaz 18% Folytonos valószínűségi változók nevezetes eloszlásai Folytonos valószínűségi változónál az eloszlást az un. sűrűségfüggvény adja meg. Ennek a formulája alapján a legkülönfélébb eloszlások lehetségesek. Mindegyiknek azonban +∞
∫ f ( x )dx = 1
az a tulajdonsága, hogy
−∞
Egyenletes eloszlás: Ha egy valószínűségi változó az [a,b] intervallum valamennyi értékét azonos valószínűséggel veszi fel, akkor egyenletes eloszlású: Eloszlásfüggvénye:
Sűrűségfüggvénye:
⎧ 0 ⎪ 1 f(x)= ⎨ ⎪b − a ⎩ 0
ha
x
ha a ≤ x ≤ b ha
Várható értéke: M(ξ)=
x>b
a+b 2
⎧ 0 ⎪x −a F(x)= ⎨ − ⎪b a ⎩ 0 Szórása: D(ξ)=
ha
x
ha a ≤ x ≤ b ha
x>b
b−a 2 3
15
Normális eloszlású valószínűségi változó A valószínűségi változó eloszlása normális, ha sűrűségfüggvénye szimmetrikus haranggörbe.
Formulája: − 1 e f(x)= σ 2π
( x −m)2 2σ 2
Ennek maximuma az x=m helyen van. A
σ
A normális eloszlás tehát az m és
érték a lapultságra jellemző szám
σ
paraméterekkel jellemezhető.
Eloszlásfüggvénye:
F(x)=
1 σ 2π
x
∫e
−
(t − m)2 2σ 2
dt
−∞
Várható értéke: M(ξ)=m Szórása: D(ξ)=σ
Mivel az eloszlásfüggvény nehezen számolható ki, ezért ezt táblázatból vagy számítógéppel szokták meghatározni. Az eloszlásfüggvény visszavezethetõ a standard normális eloszlásra. Alkalmazás: Mérési hiba eloszlása, egy ,,gyártósoron'' készült alkatrészek méreteloszlása, azonos korú gyerekek magasság-eloszlása általában normális eloszlású.
Standard normális eloszlásúnak nevezzük a normális eloszlású valószínűségi változót, ha m=0 és σ=1 (Ennek az értékeit tartalmazzák a tankönyvekben található táblázatok)
16
Standard normális eloszlás
0 0,5 0,02 0,508 0,05 0,520 0,1 0,539 0,2 0,579 0,3 0,618 0,4 0,656 0,5 0,691 0,6 0,726 0,7 0,758 0,8 0,788 0,9 0,816 1 0,841 1,3 0,903 1,5 0,933 2 0,977 2,3 0,989 2,5 0,994 Összefüggések a normális és a standard normális eloszlás között
Példa a lehetséges alkalmazásra: Egy ládában az almák tömege normális eloszlású 15 dkg átlaggal és 2 dkg szórással. Hány százaléka lesz az almáknak 13 dkg-nál kisebb tömegű? Az eloszlásfüggvény azt mutatja meg, hogy mi a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó (itt az egyes almák tömege)- kisebb lesz x-nél (13 dkg). Előállítjuk a standard normális eloszlásfüggvény megfelelő argumentumát a megadott paraméterek x − m 13 − 15 alapján: m=15, σ=2 = = −1 2 σ Kikeressük az 1-hez tartozó valószínűséget a táblázatból. Ez 0,841. Ha az argumentum negatív itt (-1), akkor az ehhez tartozó valószínűség (1-p) , azaz 1-0,841=0,159. Vagyis mintegy 16 %-a lesz az almáknak 13 dkg-nál kisebb tömegű
17
