A
π
története
Bécsi Ilona Szakdolgozat
Matematikai elemz® szakirány
Témavezet®:
Besenyei Ádám, egyetemi tanársegéd
Alkalmazott Analízis Tanszék és Számításmatematikai Tanszék
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Természettudományi Kar
2010
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés
3
π
5
2. A
története
2.1.
Egyiptom
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.
Arkhimédész . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3.
Közel-Kelet, Iszlám országok . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.4.
Európa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.5.
Napjainkban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
néhány el®állítása
21
3.1.
Leibniz-sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2.
Viète-féle végtelen szorzat
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3.
Euler-sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.4.
Wallis-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
irracionalitása
31
3. A
4. A
π
π
5. Összefoglalás
33
2
1. fejezet
Bevezetés
Napjainkban rengeteg kör alakú tárgy vesz körül bennünket. Bizonyára már mindenkiben felmerült a kérdés, hogy vajon mennyi is annak a bizonyos körnek a kerülete, illetve területe. Honnan jött, hogy a moljunk? Mennyi a
π
π
értékével szá-
pontos értéke? Ezek a kérdések nemcsak egy matema-
tikust foglalkoztatnak, hanem akár egy hétköznapi embert is, hiszen a mindennapi életben rendszeresen találkozunk kör alakú tárgyakkal, mint például a tányér és a pohár, az utcán a közlekedési jelz®táblák egyrésze és még lehetne sorolni. Nemrégiben napvilágra kerültek a gravitáció elméletével kapcsolatban új felfedezések, melyben a
π is érintett. Felbukkan az elhalálozási statiszti-
kákból ismert Gauss-féle normáleloszlásban, és természetesen a matematikában a terület, kerület, illetve térfogatszámításoknál is. Középiskolai matematika tanulmányainkból a jól ismert képlet a kör kerületére és területére:
K = 2rπ = dπ, és
T = r2 π, ahol
π
a kör kerülete és átmér®je közötti arányt fejezi ki. A görög
π
bet¶ a
perimeter (kerület) szót rövidíti. Ludolph-féle számnak is nevezik, ugyanis Ludolph van Ceulen volt az, aki minél több tizedesjegyét próbálta meghatározni. A németek a
π -t még ma is Ludolph-féle számnak nevezik. A 18. században 3
Euler ezt az értéket p-vel vagy c-vel jelölte. William Jones angol matematikus használta el®ször a görög
π
bet¶t A matematika új bemutatkozása
cím¶ könyvében. Ezt követ®en mindenhol
π -vel
jelölik ezt a számot, amelyet
Jones valószín¶leg az angol periphery (kerület) szóból származtatott. Értéke ötven tizedesjegyig:
3, 14159265358979323846264338327950288419716939937510. Be fogjuk látni, hogy a
π
irracionális szám, tizedestört alakja végtelen és
periodikusan nem ismétl®dik. Mára közel 2,7 billió (2, 7
· 1012 )
jegyét számí-
tották ki modern számítástechnikai módszerekkel, de a számjegyek között hasonlóságot nem fedeztek fel. A dolgozat betekintést nyújt a
π rejtelmeibe, mind történelmi, mind pedig
matematikai szempontból. A következ® fejezetben a
π
történetét az ókortól
egészen napjainkig végigtekintjük, Európától Amerikáig. Majd megismerkedhetünk olyan híres matematikusok formuláival, mint Euler, Leibniz, Wallis, Viète, amelyek segítségével meg tudjuk határozni a tizedesjegyig. Végül belátjuk a
π
irracionalitását.
4
π -t
néhány pontos
2. fejezet
A
π
2.1.
története
Egyiptom
A története 10000 esztend®vel korábbra nyúlik vissza, eredetér®l pontos adatokkal nem rendelkezünk, de annyi megállapítható, hogy a
π
értékre egy
id® után bizonyosan szükség lehetett, így az állandót 3-nak tekintették. Az ókori Egyiptomban is ezt az állandót használták egy ideig, azonban kés®bb rájöttek, hogy ez az arány nem pontosan 3, hanem valamivel nagyobb szám. Így felmerült a kör terület kiszámításának problémája. Elméleti geometriai gondolatmenetekkel a papiruszokban nem találkozunk. A feladatok közt szerepel egyenes vonalú síkidomok kerületének kiszámítása, hasáb, henger, gúla, és csonka gúla térfogatának meghatározása. Az i.e. 1660-ból való egyiptomi Rhind-papiruszon található egy képlet a kör területének kiszámítására, amelyet Ahmész királyi írnok írt. A tekercset 1858-ban Henry Rhind skót régiségkeresked® vásárolta meg, a papirusz Rhind halála után a British Museumba került. A hiányzó része 50 év múlva került el® a New York-i Történelmi Társulat gy¶jteményéb®l. Ebben kör területét úgy határozták meg, hogy az átmér®
8 -ét négyzetre emelték. Ez mai jelöléssel: 9
T ≈
8 d 9
5
2 .
A
π
értékére tehát az egyiptomi számításból következik, hogy
2 8 1 π≈4 = 3 + ≈ 3, 16, 9 6 ami már egész jó közelítés.
2.2.
Arkhimédész
Az ókori görögöknél i.e. 8-7. században fellendült a társadalmi élet és kultúra. Ez a korszak jelent®s szerepet játszik a tudomány fejl®désében. A matematikában ekkor jelent meg a szám önmagában. Felmerült a görögökben egy fontos kérdés, hogy miért is kell így csinálni?. A görögök munkái közül az utókor számára nem sok maradt fenn. A görög matematika geometriai jelleg¶ volt. Megjelentek az arányok, felmerült az összemérhetetlen mennyiségek fogalma is, ami irracionális arányt jelentett. Az ókori görögök felismerték, hogy a kör területe egy olyan háromszög területével egyezik meg, amelynek alapja a kör kerülete, magassága a kör sugara. Meg kell említenünk a szicíliai Szürakúzai Arkhimédész (i.e. 287-212) munkásságát, aki rokoni kapcsolatban állt az uralkodóval, így annak udvarában mindent megkapott, hogy életét zikai, matematikai kutatásainak szentelhesse. Az akkori kultúrközpontban, Alexandriában is megfordult, ahol barátokat szerzett magának. Arkhimédész kiemelked® m¶ve a Módszer nev¶ levél, melyre csak 1906ban bukkant rá Heiberg dán nyelvész Konstantinápolyban, a Jeruzsálemi Szent Sír kolostor könyvtárában. Ebben a m¶vében a szerz® matematikai felfedezéseit valamilyen mechanikai kisérlet alapján sejtette meg, és a megsejtett törvényt a matematika teljes szigorával igazolta. A gömbr®l és a hengerr®l szóló értekezésében az általa megfogalmazott axiómákra támaszkodva határozta meg az egyenes henger, az egyenes kör kúp, valamint a gömb felszínét és térfogatát. A számításaiban kétoldali közelítést használt, és megállapította, hogy az egyenl® oldalú henger, a beleírható gömb és az egyenes körkúp térfogata úgy aránylanak egymáshoz, mint
6
3:2:1. Ezt az eredményt fejezte ki a sírkövére vésett ábra is. A körmérésr®l cím¶ írásában a körbe írt szabályos sokszögek segítségével közelítette meg a kör kerületét és területét. Ebben a m¶vében egy igen szép gondolatmenet található a
π
közelít® értékének a meghatározására. Célját
egy 96 oldalú szabályos sokszög kerületének kiszámolásával érte el.
2.1. ábra.
r
sugarú
k
középponti háromszöge,
DCO,
és a kör köré rajzolt szabályos
Az 2.1. ábrán látható:
középponti háromszöge,
ABO.
sokszög egy oldalát pedig körülírt szabályos
2n
körbe írt, szabályos
n
oldalú sokszög egy
A beírt sokszög egy oldalát
An -nel
n-szög
an -nel,
egy
a körülírt
jelöljük. Az ábrán látható még a beírt és
oldalú sokszög egy részlete is. Ekkor a következ®ket
mondhatjuk:
DC = an ; A
BCF
és
BEO
AB = An ;
DE = EC = a2n ;
GF = F K = A2n .
háromszögek hasonlósága miatt
A2n An − A2n : = r : OB, 2 2 ezért
A2n : (An − A2n ) = r : OB. 7
(2.1)
A
BEO
és
CHO
hasonlósága miatt
an An : = r : OB, 2 2 azaz
an : An = r : OB.
(2.2)
A (2.1) és (2.2) aránypárból következ®en
A2n : (An − A2n ) = an : An , vagyis
A2n an = , An − A2n An
ahonnan
A2n = A
CED
és
CF E
an A n . an + A n
(2.3)
háromszögek hasonlósága miatt
an : a2n = a2n : azaz
A2n , 2
2 · a2n an = , a2n A2n
ahonnan
r a2n =
an · A2n . 2
(2.4)
A sokszögek kerületei tehát
kn = nan ;
Kn = nAn ;
k2n = 2na2n ;
K2n = 2nA2n .
A (2.3) és (2.4) összefüggések gyelembevételével
K2n = 2nA2n =
2nan nAn 2kn Kn = , nan + nAn kn + Kn
és
r k2n = 2n ·
an · A2n = 2
r
p 4n2 an A2n p = 2nan nA2n = kn K2n . 2 8
A kerületekb®l és az oldalszámok további duplázásával keletkezett sokszögek kerületeib®l egy sorozat állítható el®:
Kn ;
kn ;
K2n ;
k2n ;
K4n ;
k4n ;
K8n ;
k8n ;
....
Ezt a sorozatot Arkhimédészi sorozatnak nevezzük. Képzési szabálya a következ®képpen alakul: a harmadik tagjától kezdve minden páratlan sorszámú tag közvetlen el®tte álló két tag harmonikus közepe, és minden páros számú tag a közvetlen el®z® kett® mértani középarányosa. Arkhimédész az
r sugarú körbe
írható szabályos hatszögb®l indult ki. Ekkor
√ K6 = 4r 3; Vegyük most az
r=1
k6 = 6r.
esetet, ekkor
√ K6 = 4 3;
k6 = 6.
A hatszögekhez tartozó kör kerületére érvényes, hogy
√ 4 3 > 2π > 6, másképp
Arkhimédész a
√ 2 3 > π > 3. K6 -tal
tagjait egészen a
K96
szorította:
Számítás közben a
és a és
k96
k6 -tal
kezd®d® tagokból kiszámította a sorozat
kerületekig. A
π
értékét ezátal két korlát közé
K96 k96 >π> . 2 2 √ kerületekben szerepl® 3 értékét 1351 √ 265 > 3> 780 153
az
egyenl®tlenséggel becsülte, de nem tudjuk ez honnan származik, bizonyára olyan m¶véb®l, amely még számunkra nem ismert. Végül a következ® becsléshez jutott:
10 1 <π<3 . 71 7 3, 140845 < π < 3, 1428571. 3
Ez tizedestört alakban
9
2.3.
Közel-Kelet, Iszlám országok
Kínában a
π = 3
értéket sokszor használták még akkor is, amikor már
a pontos közelítését is ismerték, például a földmér®k
π = 3
értékkel szá-
moltak. Az i.e. 2. században készült összefoglaló munkában (Matematika kilenc könyvben) szerepel az a becslés, hogy a kör területe köré írt négyzetének
3 -e, ebb®l származik a 4 számolták, ami a
π≈
π≈3 27 8
érték. A gömb térfogatát a
≈ 3, 375
V =
9 3 d képlettel 16
közelítésnek felel meg.
Liu Ci (i.e.50- i.sz.23) csillagász 3,15-del számolt. Csang Heng csillagász a
π
√
helyett
10-et
vagy
92 29
≈ 3, 1724
vett. Vang Fan a
π -t
142 45
≈ 3, 1556-nek
számította. A Han dinasztia elrendelte a mértékegységek egységesítését az egész birodalomban, amelyet Liu Ci hajtott végre. Ekkor a deletileg
3, 1546645 ≈ 3, 1547-nek
π
értéket is ren-
állapították meg. Ez a számot az alábbiak
szerint számították ki: a régi mér®edények vizsgálata alapján meghatározták
2 egy 1,62 területegység (csi ) terület¶ kört. Ebbe berajzoltak egy egységnyi terület¶ négyzetet. A kör átmér®je és a négyzet átlója közti különbség fele, amit résnek neveztek,
0, 0095
kör átmér®je:
d=
csinek mutatkozott. Ezekb®l az adatokból a
√ 2 + 2 · 0, 0095 ≈ 1, 4332.
Mivel a kör területének mér®száma 1,62, azért a
π· illetve a
π· egyenletb®l
d2 = 1, 62, 4
1, 43322 = 1, 62 4
π ≈ 3, 1547.
Közben akadtak olyan matematikusok, akik pontosabb közelítéseket kerestek a
π -re,
ide tartozik a 3. századi matematikus Lin Huj, aki egy 10
egységnyi sugarú körbe szabályos 192 oldalú sokszöget rajzolt, a kör területének alsó közelít® értékére a
313 584 -öt találta. Fels® közelítésnek azt a területet 625
vette, amelyet úgy nyert, hogy a beírt sokszög területéhez hozzáadta a kimaradt körszeletek köré írt téglalapok területösszegét. Ekkor a fels® összegre
10
64 314 625 -öt
kapott. A két érték számtani közepe közelít®leg
alapján a
π ≈ 3, 14
314, 0184,
ennek
közelítést vette.
Pontosabb számítást hajtott végre Cu Cseng-Cse, aki Liu Huj módszerét a körbe írt 12288 és 24576 oldalú szabályos sokszögekre alkalmazta. Ekkor a következ®t kapta:
3, 1415926 < π < 3, 1415927,
és számításra a
közelít® törtet használta, amely már 7 tizedes jegyig pontos volt. A
π ≈
355 113
π -re sok-
féle közelítést adtak, ezáltal arra tudunk következtetni, hogy az ókori és a középkori Kína matematikusai egymástól elszigetelten éltek, egymás eredményeir®l vagy nem értesültek, vagy csak kés®n szereztek róla tudomást. Indiában az 5-6. században Árjabhatta alkalmazta a kör területe (T), kerülete (k) és átmér®je (d) közötti alábbi összefüggést:
T =
kd . A piramis 22
térfogatát a háromszögt®l vett helytelen analógiával úgy határozta meg, hogy az alapterületet szorozza meg a magasság felével. A gömb térfogatát úgy számította ki, hogy a gömbi félkör területét megszorozza a négyzetgyökével, ami rossz. Árjabhattánál sorakoznak a helyes és helytelen állítások. A feladatoknál azonban a 3,1416 értékkel számolt, ami a hinduk által kapott 9 tizedes jegyre pontos, azaz
π≈
104348 33215
= 3, 1415926539.
Az iszlám országokban is történtek kutatások a
π -vel
kapcsolatban. A
perzsák 16 tizedes jegyig számították ki. Az arab matematikusok Arkhimédész módszerét alkalmazták egy 180 oldalú, majd 720 oldalú szabályos sokszögre, azonban kés®bb kiderült, hogy számolási hibát követtek el. Al-Kási Dzsamsid Gijászaddín a numerikus számolás terén volt jártas a 15. században. 1427-ben jelent meg Az aritmetika kulcsa cím¶ könyve, amelyben a tizedes törteket ismertette, amelynek az ötlete Kínából származott. Igazán arra volt büszke, hogy 16 tizedesjegy pontossággal adta meg a egy
3 · 228
2π
tizedestörtjét. Kiszámította
oldalú szabályos sokszög kerületét az Értekezés a körr®l cím¶
tanulmányában, és ezt elosztotta a sokszög köré írható kör sugarával. Így kapta Al-Kási a következ® eredményt:
2π ≈ 6, 2831853071795685, azaz
π ≈ 3, 14159265358979325. 11
Indiában 700 évnek kellett eltelnie, amíg egy említésre méltó nagy matematikus született, Srínivásza Ramanudzsan (1887-1920), aki tanárait és társait csodálatba ejtette memóriájával. Ramanudzsan kapcsolatba került Godfrey Harold Hardy angol matematikussal, aki foglalkozott tehetségével és a
π -vel
kapcsolatban számos összefüggést ismert.
Például egy jelent®s és meglep® felfedezése volt Ramanudzsannak:
1+
1 1 1 + + ... + + ... 1·3 1·3·5 1 · 3 · . . . · (2n − 1)
végtelen sor és
1 1
1+
2
1+ 1+
3 1 + ...
végtelen lánctört. Külön-külön semelyik sem függ össze az
r a
π -vel,
azonban az összegük
π·e , 2
e
számmal illetve
ezt igazolta Ramanudzsan.
További sorok Ramanudzsantól:
∞
π X (−1)n (1123 + 21460n) (2n − 1)!! (4n − 1)!! = , 2n+1 32n (n!)3 4 882 n=0 ∞
X (4n)! (1103 + 26390n) 992 √ = . 4 4n 8π (n!) 396 n=0 2.4.
Európa
A középkori Európában Kirik diakónus 1134-es jegyzeteiben szerepelnek az égitestek térfogatának számításai Eratoszthenész mérései alapján, ebben a
π ≈ 3, 125
közelítését használták. Továbbá meg kell említeni Leonardo Fi-
bonacci (1170-1240) nevét, aki a középkor egyik legnevesebb matematikusa volt. Nevér®l legtöbbeknek a Fibonacci-sorozat jut eszébe, de fontos szerepet játszott a
π
értékének meghatározásában is. Fibonacci professzoroktól tanult
matematikát, beutazta Egyiptomot, Szíriát, Görögországot, hogy tanulmányozza a különböz® vidékek számítási módszereit. A Patriarca gometriae
12
cím¶ m¶vét 1228-ban írta, melyben helyreállítja a
π valódi identitását, megem-
1 lítve, hogy a π értéke nem egészen pontosan 3 , hanem csak megközelít®leg 7 377 annyi. Rámutat arra is, hogy a π értéke a aránnyal is közelíthet®. Ez az 120 érték az indiai Ariakhatától származik, ezt Fibonacci megemlíti könyvében, említése arra vall, hogy ismerte az indiai matematikusok m¶veit is. Az el®bb említett közelítésekkel Leonardo nem volt megelégedve, megnevezett egy harmadik közelít® értéket:
864 275
π =
≈ 3, 1418,
amelyet maga számított ki. A
m¶vének tartalmából kiderül, hogy ismerte Arkhimédésznek az eljárását, amellyel a körbe és a kör köré írt 96 oldalú szabályos sokszöget szerkesztett. Számításai szerint a
π
értéke az alábbi arányok közé esik:
1440 1448 , 4 < π < 458 9 458 15 amelyeknek megközelít® értéke 3,1418. Fibonacci tehát megállapította a
π
els® három pontos tizedes jegyét. A 15. században Nicolaus Cusanus több m¶vében foglalkozott a kör kerületének kiegyenesítésével, de csak egy eredménye volt jobb Arkhimédészénél. Módszere eltért, Arkhimédész x kerület¶ körbe és köré írt oldalú sokszögekkel, Cusanus
4, 8, 16, . . .
köréjük írt körökkel számolt. Az tartozó körív
i
r
3, 6, 12, . . . , 3 · 2n
oldalú x kerület¶ sokszögekbe és
sugarú körben az
α
középponti szöghöz
hosszára a következ® képletet adta:
i 3 · sin α = . r 2 + cos α A 16. században Francois Viète (1540-1603) francia matematikus munkájában, a Canon mathematicus seu ad triangula-ban ismertette Arkhimédész eljárását, alkalmazva egy 393216 oldalú sokszögre, így meghatározva a
π
els®
kilenc pontos tizedes jegyét. Értékére a következ® határokat állapította meg:
3, 1415926535 < π < 3, 1415926537. Ezután Adriaen van Roomen (1561-1615) 15 pontos tizedes jegyét állapította meg a
π -nek
230 = 1073741824
A sokszögek módszere cím¶ könyvében, ehhez egy
oldalú sokszöget használt.
13
Johannes Kepler (1517-1630) világhír¶ német csillagász, aki a bolygómozgás törvényivel vált ismertté matematikai problémákkal is foglalkozott. 1615-ben megjelent a Stereometria doliorum viorum cím¶ munkája (A boroshordók térmértana), ahol 92 különböz® alakú forgástest térfogatát számította ki. Célja, hogy rájöjjön azokra az alapötletekre, amelyeket Arkhimédész még a bizonyítás el®tt megsejtett. A kör területére vonatkozó tétele szerint: A kör területének és az átmér® négyzetének aránya majdnem 11:14. A megközelítésére a
π:4
11 : 14 törtet használta, de ismert volt ennél jobb közelítés
is. Kepler véleménye szerint Arkhimédész a következ®képpen okoskodott.
2.2. ábra.
A 2.2. ábrán a körlap felbontható végtelen sok egybevágó (vagy nem egybevágó) körcikkre. Igen vékony körcikkek keletkeznek, amelyek egyenl® szárú háromszögek. Helyezzük körív alapjukkal a kiterített amint ezt az
Ck
Ak Ak+1 Ck
csúcspontját az
nyert
Ak Ak+1 O
AB
körkerületre úgy,
háromszög mutatja. Toljuk el minden háromszög
AB -vel
párhuzamosan a kör
O
középpontjába. Az így
háromszög területe ugyanakkora marad, mint az
Ak Ak+1 Ck
háromszög területe. Minden körcikkháromszöget így átalakítva, összességük
14
lefedi az az
ABO
ABO
derékszög¶ háromszöget. A kör területe tehát akkora, mint
háromszögé, azaz
11 : 14 ≈ 0, 7857142,
r2 · π .
amikor is
Így
r 2 · π : 4 · r 2 = π : 4,
ami közelít®leg
π ≈ 3, 1428568.
Ludolph Van Ceulen (1540-1610) nem volt hivatásos matematikus. Arkhimédész módszerét alkalmazta egy ezzel megállapította a
π
32
milliárd 512 millió oldalú sokszögre,
értékének 20 pontos tizedes jegyet, az eredményt
1596-ban hozta nyilvánosságra, de halála után kéziratában további 15 tizedes számjegyet találtak még. A
π -t emiatt hosszú id®n át Ludolph- féle számnak
is nevezték. Christian Huygens (1629-1695) zikus, csillagász és matematikus, De circuli magnitudine inventa cím¶ könyvében megállapította hatszögre alkalmazva a
π pontos 9 tizedesjegyét. A π meghatározására Descartes is kigondolt
egy módszert, amit Euler és más híres matematikusok is használtak, ez a módszer az azonos kerület¶ sokszögek módszere, amely a következ® elgondoláson alapul: ugyanakkora kerület¶
n
és
2n
oldalú szabályos sokszögeket
tekintenek, és megállapítják a sokszögekbe és a sokszögek köré írt körök sugarai közötti összefüggést. Az alábbi lánctört, mely megtalálható Wallis 1655-ben megjelent Arithmetica in nitorum cím¶ könyvében, egyik barátja William Brouncker nevéhez f¶z®dik:
4 =1+ π
2
.
32
2+
52
2+
72
2+ 2+
92 2 + ...
James Gregory (1638-1675) skót matematikus és csillagász, aki 1667-ben adta ki Vera circuli et hyperbolae quadratura cím¶ könyvét, 1670-ben megtalálta azt a sort, amely megadja az
arctg x = x −
arctg x-t
az
x
ív által:
x3 x5 x7 + − + .... 3 5 7
Gregory azonban nem látta, hogy ezt a sort kapcsolatba lehet hozni a
π -vel,
ezt kés®bb Gottfried Wilhelm Leibniz fedezte fel, melyet 1682-ben az Acta
15
eruditorum-ban közölt:
π 1 1 1 = 1 − + − + .... 4 3 5 7 Thomas Fautat De Lagny (1660-1743), aki különböz® algebrai és geometriai problémákkal fogalkozott, kés®bb megállapította, hogy ez a sor nem alkalmazható a
π
szám közelít® értékének kiszámítására.
Newton (1642-1727) munkái páratlanul nagy hatást gyakoroltak a matematikai és zikai tudományok fejl®désére. Számos felfedezés köszönhet® Newtonnak, többek között a dierenciálszámítás és az általános tömegvonzás törvénye. A Newton által felfedezett:
arcsin x = x + amelyben ha
x=
1 1·3 5 1·3·5 7 · x3 + ·x + · x + ..., 2·3 2·4 2·4·6
1 , akkor a 2
1 3 5 π =1+ 3 + 7 + 10 + ... 3 2 ·3 2 ·5 2 ·7 számsor adódik, amelynek segítségével könnyedén ki lehetett számolni a
π
els® 14 tizedes számjegyét. Abraham Sharp (1651-1742) könyveléssel foglalkozott, amikor Flamsteed csillagász felfedezte ®t. Sharp a 3000 csillag katalógusán dolgozott, és logaritmus, sinus és tangens tálázatokat készített, melyeket 1717-ben közölt. A logaritmus táblázatokat felhasználva számította ki a Sharp, aki Gregory képletét alkalmazta, az
x=
q
π
tizedes számjegyeit.
1 érték behelyettesítésével 3
az alábbi sort kapta:
π = 6
r
1 1 1 1 · 1− + − + ... . 3 3 · 3 32 · 5 33 · 7
A sor tagjainak összegzésével meghatározta a John Machin csillagász a
π
szám 72 tizedes számjegyét.
π -nek 100 tizedes jegyét számította ki az alábbi
formulát alkalmazva
arctg 1 =
π 1 1 = arctg − arctg , 4 5 239 16
az
arctg 15
és az
π =4· 4
1 arctg 239
sorbafejtésével a következ® sort kapta:
1 1 1 1 1 1 − − + − + ... − + ... . 5 3 · 53 5 · 55 7 · 57 239 3 · 2393
W. Oughtred (1647) a értette,
σ -n pedig a
π -t
π -val jelölte, a σ
π -n a periferia
szó kezd®bet¶jét
diaméter kezd®bet¶jét, jel®lését a matematikusok elfo-
gadták. De Moivre a hányadost
c -rel jelölte. A mai r
π -vel
való jelölést Euler
használta, amelyet William Jones nyomán vezetett be. Machin után Lagny volt, aki
128
tizedesjegyig jutott el a számjegyek
ismertetésében. Euler fedezte fel, hogy Lagny tévedett a 113. számjegynél, mivel 7-es helyett 8-as szerepelt. Heinrich Lambert német matematikus 1766-ban igazolta a
π
irracionali-
tását. 1794-ben Legendre pontosabb bizonyítást ad, mint Lambert a
π és a π 2
irracionális voltára. Laplace (1749-1825) a 19. században a valószín¶ségszámításnak új lendületet adott. 1774-t®l számos tanulmányt írt ebben a témában és 1821-re összeállt A valószín¶ség analitikai elmélete cím¶ m¶ve, majd ezt követte A valószín¶ség lozó ai esszéje. Laplace ebben ismerte fel, hogy
R +∞ −∞
2
ex dx valószín¶ség görbe alatti területe
matematikus (1852-1939) felfedezte, hogy a
√ π
π . Ferdinand Lindemann német szám transzcendens, azaz nem
létezik olyan racionális együtthatós polinom, amelynek a Eközben tovább folytatódott a
π
π
gyöke lenne.
tizedesjegyeinek meghatározása. Vega
140 tizedesjegyet számított ki, de az utolsó 4 nem bizonyult pontosnak. 1841ben William Rutherford
208
tizedesjegyet közölt, aki a
π 5 1 1 = 4arctg − arctg + arctg 4 70 70 99 képlettel dolgozott. Z. Dase kimutatta, hogy a
152.
tizedesjegyt®l tévedett.
Két hónapnyi számolás után 200 tizedesjegyet határozott meg pontosan az alábbi formula segítségével:
π 1 1 1 = arctg + arctg + arctg . 4 2 5 8 1847-ben Thomas Clausen 250 tizedes számjegyet számolt ki, ebb®l 248 pontos volt. Z. Dase 1853-ban már 440 tizdes számjegyig jutott el.
17
A csúcseredmény 1853 William Shanks nevéhez füz®dik, aki 607 tizedes jegyet közölt, de 1873-ban ezt még növelni tudta 707 tizdesjegyig. 1944-ben az angol Fergusson megmutatta, hogy Shanks az 528. tizedest®l tévedett. 1958ban elektronikus számítógépek segítségével a
π -nek 10000 tizedes számjegyét
állapították meg. Az els® 3000 számhoz 10 percre volt szükség.
2.5. A
Nap jainkban
π
tizedesjegyeinek meghatározása a 20. században is folytatódott szu-
perszámítógépek segítségével. 1949-ben George Reitwiesner a marylandi Ballisztikai Kutató Laboratóriumban meghatározta a
π értékét 2037 tizedes jegy-
nyi pontossággal, amelyben az els® általános digitális számítógép az ENIAC volt segítségére. Neumann János az ENIAC egyik fejleszt®je volt, ugyanebben a kutató laboratóriumban a
π
tizedesjegyeinek sorrendi összefüggéseit ke-
reste, de sikertelenül. 1950-ben Daniel Shanks és ifjabb John W. Wrench együtt kiszámították a
π els® százezer tizedes jegyét egy IBM 7090 számítógép
segítségével, de rendszert vagy ismétl®dést ®k sem találtak. A verseny szüntelenül folytatódott a tizedes jegyek meghatározásában 1981-ig, amikor Yasumasa Kanada, a Tokiói Egyetem számítógép tudósainak vezet®je egy japán gyártmányú NEC szuperszámítógéppel meghatározott kétmillió számjegyet. 1984-ben Kanada és csapata 16 millió számjegyig jutott el, meg gyelések nélkül. 1985-ben William Gosper matematikus és ismert számítógépzseni, a kaliforniai Sunnyvale-ben székel® Symbolics Inc. alkalmazottja meghatározta a
π -t
17,5 millió tizedesjegynyi pontossággal egy Symbolics számítógépet al-
kalmazva. 1986-ban David H. Bailey a NASA-nál egy Cray 2 szuperszámítógépet felhasználva és a Jonathan és Peter Borwein testvérpáros által felfedezett algoritmust alkalmazva eljutott 29 millió tizedesjegyig, de semmi szokatlant nem talált. 1987-ben Kanada és csapata 134 millió számjegyig jutott egy NEC SX-2 szuperszámítógéppel, de most sem fedeztek fel szabályosságot. 1988-ban Kanada továbbment, de 200 millió számjegy után sem láttak különösebb
18
dolgot, majd 1989 tavaszán a Chudnovsky testvérek váratlanul bejelentették 480 milliós világrekordjukat, azonban ®k sem találtak semmit. Gregory Chudnovskynak saját szuperszámítógépe volt, melynek létrehozásában bátyja, David segített, számítógépüknek az m-zero nevet adták, melyet a
π
meghatározására alkalmaztak, számítógépüket folyamatosan újí-
tották. Kanada és csapata egy Hitachi szuperszámítógéppel a Chudnovsky testvéreket maguk mögött hagyva új rekordot állítottak fel 536 millió tizedes jeggyel. Chudnovskyék folyamatosan dolgoztak és hamarosan elérték az egymilliárd számjegyet, de Kanada és csapata még ezen is túltettek. A Chudnovsky testvérek újabb világrekordot állítottak fel, 1989 ®szén 1130160664 tizedes jeggyel. Az eredményüket 1500 darab mágneslemezen tárolták a lakásban, a lemezeken 300 ezer oldal fért el, persze itt csak egyetlen szám van tárolva. 1991 nyarának végén a Chudnovsky testvérek abbahagyták kísérletüket. Kiszámították a
π
π felfedez®
els® kétmilliárd-kétszázhatvanmillió-három-
százhuszonegyezer-háromszázharminchat számjegyét. Ez a teljesítmény világrekordnak számított, megduplázva az el®z®, 1989-es eredményüket. A testvérek ideiglenesen túlszárnyalták versenytársukat, Yasumasa Kanadát, ami igen rendkívüli eredmény, ha gyelembe vesszük, hogy Kanada egy 500 kW-os Hitachi óriásgéppel dolgozhatott, amely egy Cray-nél is gyorsabban m¶ködött. Kanada elimeréssel nyilatkozott a Chudnovsky-testvérek eredményér®l. A
π
eddig kiszámított egymás után következ® számjegyei között el®fordul
néhány érdekes részlet: többször is szerepel a 01234567890 és a 09876543210; egyszer 314159265358; egyszer a 27828182845, ami az
e
természeti állandó
els® néhány jegye; egyszer az 111111111111; egyszer a 666666666666; egyszer a 777777777777; egyszer a 888888888888; egyszer a 999999999999 fordul el®. 1996-ban Bailey, Borwein és Ploue egy olyan számítási algoritmust mutatott be, amelynek segítségével kiszámítható a
π
tetsz®leges számjegye (16-
os számrendszerben) az el®z® számjegyek ismerete nélkül, de 1997-re Ploue megoldotta ugyanezt tizes számrendszerben is:
∞ X 1 4 2 1 1 π= − − − . 16k 8k + 1 8k + 4 8k + 5 8k + 6 k=0 19
1988 óta március 14-én ünnepeljük a kör kerületének és átmér®jének hányadosát, a legendás
π számot. Érdekesség, hogy 1879-ben ezen a napon született
Albert Einstein. A szám rajongói nemcsak nemzetközi napot alapítottak a
π -nek,
hanem többek között verseket és dalokat is írtak. 1988-ban Darren
Aronofsky lmet is forgatott a híres számról. 2002. decemberében már meghatározták 1241100000000 számjegyét szuperszámítógép segítségével a Tokiói Egyetemen. 2009 augusztusában, egy japán szuperszámítógépnek az úgynevezett Open T2K-nak köszönhet®en a
π
számjegyeinek rekordja 2576980377524 lett. 2009 decemberében ezt a rekordot sikerült túlszárnyalnia Fabrice Bellardnak otthoni számítógén, melynek köszönhet®en 2699999990000 tizedes számjegyét ismertette a Máig megoldatlan kérdés, hogy a
π
normális szám-e, azaz a számjegyei
között azonos gyakorisággal szerepelnek-e a
20
π -nek.
0, 1, . . . , 9
számjegyek.
3. fejezet
A
π
3.1.
néhány el®állítása
Leibniz-sor
Gottfried Wilhelm Leibniz (1647-1716) polihisztor volt: jogász, történész, zikus, matematikus egy személyben. 1672-ben diplomataként Párizsban járt, ott ismerkedett meg Huygensszel, akinek barátja és tanítványa volt. Figyelemre méltó geometriai és algebrai felfedezései voltak, és különös érdekl®déssel viseltetett a technika iránt. Az el®z® fejezetben már szót ejtettünk a Leibniz által felfedezett sorról, aki a sort 1682-ben közölte, de már jóval el®tte felfedezte.
1. Tétel. A Leibniz-sor:
∞ X (−1)k 1 1 1 1 π = 1 − + − + − ... = . 2k + 1 3 5 7 9 4 k=0 Bizonyítás. Tekintsük a
q = −x2
hányadosú mértani sorozatot, melynek
tagjai:
1; Az els®
n
−x2 ;
x4 ;
−x6 ;
x8 ;
....
tag összege a mértani sorozatok összegképlete alapján:
qn − 1 qn − 1 qn − 1 Sn := an =1 = . q−1 q−1 q−1
21
A végtelen mértani sorozat összege, ha
|q| < 1,
n
0−1 1 1 q −1 = =− = . n→∞ q − 1 q−1 q−1 1−q
lim Sn = lim
n→∞ Behelyettesítve
(−x2 )-et (|x| < 1) 1 1 = . −x2 − 1 x2 + 1
lim Sn = −
n→∞ Az összegre
|x| < 1
esetén tehát felírható, hogy
1 − x2 + x 4 − x6 + x8 − . . . =
x2
1 . +1
Mindkét oldalt integrálva:
Z
2
4
6
Z
8
(1 − x + x − x + x − . . .)dx =
x2
1 dx. +1
Az integrálás hatványsorokra tagonként elvégezhet®, így
Z
Z 1dx −
Z
2
x dx +
4
Z
x dx −
6
Z
x dx +
8
Z
x dx − . . . =
x2
1 dx, +1
azaz
x3 x5 x7 x9 + − + − . . . + C = arctg x. 3 5 7 9 x = 0 helyettesítéssel C = 0 adódik. x−
Az
3.2.
Viète-féle végtelen szorzat
Francois Viète (1540-1603) francia matematikus, aki már ifjú korában érdekl®dött a csillagászat iránt, ekkor kezdett foglalkozni els®sorban a csillagászathoz szükséges trigonometriával, de szabadidejében még a matematika egyéb területeivel is foglalkozott. Matematikai munkásságát az In artem analyticam isagoge m¶vében foglalta össze, melyet részletekben közölt. Az el®z® fejezetben megemlítettem már, hogy ® is alkalmazta Arkhimédész eljárását. A Viète-féle szorzat a
π
közelítésére alkalmas.
2. Tétel. Viète-féle végtelen szorzat:
2 = π
r
s 1 · 2
1 1 + 2 2
r
v s u r u 1 t1 1 1 1 1 · + + .... 2 2 2 2 2 2 22
Bizonyítás. A 3.1. ábrán az
területe:
Tn =
r sugarú körbe rajzolt n oldalú szabályos sokszög
n · r2 2π π π · sin · = n · r2 · sin · cos . 2 n n n
3.1. ábra.
A kétszer akkora oldalszámú, ugyancsak az
r
sugarú körbe írt szabályos sok-
szög területe:
T2n = következésképpen
2n · r2 π π · sin = n · r2 · sin , 2 n n π Tn : T2n = cos . n
Legyen a kezedeti sokszög négyzet, amelynek területe
T4 = 2r2 . Az oldalszámot folyton kett®zve
π T4 : T8 = cos , 4 π T8 : T16 = cos , 8 π T16 : T32 = cos , 16 23
. . .
π Tn : T2n = cos , n ahol
n = 2k+1 ;
k = 1, 2, . . . .
A fenti arányokat összeszorozva:
T4 : T2n = cos
π π π π · cos · cos · . . . · cos . 4 8 16 n
Ezután vegyük gyelembe, hogy
T2n
tetsz®legesen megközelíti
T4 = 2r2
r2 π -t,
az
r
és hogy
n,
illetve
k
sugarú kör területét, így
2 T4 π π π 2r2 = = = cos · cos · . . . · cos , r2 π π T2n 4 8 n vagyis
cos π cos π 2 = · · .... π 4 8
Mivel
α cos = 2 ezért
r
1 + cos α , 2
√ π 2 cos = , 4 2 s s r √ π 1 + cos 4 π 2+ 2 1 1 1 cos = = = + ·√ , 8 2 4 2 2 2 . . .
Így kapjuk, hogy
2 = π
r
s 1 · 2
1 1 + 2 2
r
v s u r u 1 t1 1 1 1 1 · + + .... 2 2 2 2 2 2
24
növelésével,
3.3.
Euler-sor
Leonhard Euler (1707-1783) svájci matematikus és zikus, a matematikatörténet egyik legjelent®sebb alakja. Annak ellenére, hogy élete vége felé mindkét szeme világát teljesen elvesztette, munkakedve töretlen maradt. Káprázatos memóriával és bels® látással diktálta m¶veit.
3. Tétel. Az Euler-sor:
∞ X 1 π2 . = 2 n 6 n=1
Ez az 1734-es eredmény Leonhard Euler egy klasszikus, híres és fontos tétele. 1. Bizonyítás. A most kövezkez® bizonyítás 1956-ban jelent meg William
J. LeVeque számelmélet feladatgy¶jteményében feladatként. A bizonyítás az
1
Z
Z
I := 0
0
1
1 dxdy 1 − xy
kett®s integrál kétféle kiszámításán alapul. Az els®höz az
1 kifejezést mértani sorrá fejtjük 1−xy 1
Z
∞ 1X
Z
I= 0
0
n
(xy) dxdy =
∞ Z X n=0
n=0
1
Z
0
1
xn y n dxdy.
0
Az összeadandókat szorzatokra bontjuk, majd integrálunk:
∞ Z X n=0
1
Z x dx · n
0
1 n
y dy
=
0
∞ X 1 1 = −0 · −0 . n + 1 n + 1 n=0 Ekkor a következ®t kaptuk
I=
∞ X n=0
∞
∞
X X 1 1 1 1 . · = = n + 1 n + 1 n=0 (n + 1)2 n2 n=1
A számítás azt is mutatja, hogy a (pozitív függvényen vett, kett®s integrál véges.
25
x = y = 1 pólusú)
Az I másik kiszámításához új koordinátákat vezetünk be, melyek és
v :=
y−x 1 . Az integrálási tartomány egy 2 2
√
2
u :=
oldalú négyzet, melyet az
eredeti tartományból kapunk meg úgy, hogy a koordinátarendszert elforgatjuk, majd
√ 2-ed
y = u + v -t
y+x 2
részére kicsinyítjük. Behelyettesítve
45◦ -kal
x = u − v -t
1 1 = 1 − (u − v) (u + v) 1 − u2 + v 2 átalakításához dxdy -t 2dudv -vel kell helyettesíteni,
és
1 − xy = adódik. Az integrál
hogy
kompenzáljuk a koordináta-transzformáció miatti területfelez®dést, ugyanis a transzformáció Jacobi-determinánsa
2.
A Jacobi-determináns kiszámítása
a következ®képpen történik. Az
x = x (u, v) ;
y = y (u, v)
változókat behelyettesítjük, ekkor
Z T ahol
d (x, y) dudv, f (x (u, v) , y (u, v)) d (u, v)
dx d (x, y) du = d (u, v) dy du
dx dv dy dv
1 −1 = 2. = 1 1
Az új integrálási tartomány és az integrálandó függvény az
u
tengelyre
nézve szimmetrikusak, ezért kétszer kell a tartomány fels® felében kiszámítani az integrált, melyet természetes módon vágunk két részre:
Z
1 2
Z
I=4 0
0
u
dv 1 − u2 + v 2
Felhasználva, hogy
Z a2
akkor
1 2
Z I=4 0
1
Z +4 1 2
1
Z
Z
1−u
du + 4 1 2
0
dv 1 − u2 + v 2
1 x dx = arctg + C, 2 +x a a
u √ du+ 1 − u2 1 1−u √ arctg √ du 1 − u2 1 − u2 1 √ arctg 1 − u2
26
du.
kapunk. Az integrálokat egyszer¶bbé tehetjük és végül kiszámíthatjuk, ha
u = sin θ-t
u = sin θ-t
illetve
helyettesítünk. Azonban másképp is tovább
haladhatunk, ha közvetlenül kiszámítjuk, hogy a
g (u) = arctg függvény deriváltja
g 0 (u) = √
u √ 1 − u2
1 , 1 − u2
míg a
h (u) = arctg deriváltja
1−u √ 1 − u2
r
= arctg
1−u 1+u
!
1 1 h0 (u) = − √ . 2 1 − u2
Használhatjuk tehát az
Z
b
1 f (x) f (x) dx = f (x)2 2 0
a
b a
1 1 = f (b)2 − f (a)2 2 2
formulát, és így
Z I=4
1 2
1
Z
0
−2h0 (u) h (u) du =
g (u) g (u) du + 4 1 2
0
1 1 = 2 g (u)2 02 − 4 h (u)2 1 , 2
ahonnan
2 2 1 1 2 2 I = 2g − 2g (0) − 4h (1) + 4h = 2 2 π 2 π 2 π 2 =2 −0−0+4 = . 6 6 6
Ebb®l a bizonyításból integrálással kaptuk meg az Euler-sor értékét, egy viszonylag egyszer¶ koordináta-transzformációval. Egy ehhez hasonló jelleg¶ zseniális bizonyítást talált kés®bb Beukers, Calabi és Kolk, melyben egy
27
egyáltalán nem triviális koordináta-transzformációt használtak. Bizonyítá-
P∞
1 n=1 n2 sor felbontása páros és páratlan tagokra. Páros
suk kiindulópontja a tagok:
∞
∞
X 1 1 1X 1 1 1 = + + + . . . = , 22 42 62 4 k=1 k 2 (2k)2 k=1 páratlan tagok:
∞
X 1 1 1 1 + + + . . . = 2. 2 2 2 1 3 5 (2k + 1) k=0 Mivel
∞ ∞ ∞ X X 1 1X 1 1 = + 2 2 k 4 k=1 k (2k + 1)2 k=1 k=0
azaz
∞
∞
X 3X 1 1 = . 2 4 k=1 k (2k + 1)2 k=0 Így az Euler-sor ekvivalens a páratlan tagokra vonatkozó következ® egyenl®séggel:
∞ X k=0
π2 1 = . 8 (2k + 1)2
2. Bizonyítás. Az összeget kifejezhetjük egy kett®s integrállal, mint azt az
el®z® bizonyításban is tettük
Z
1
1
Z
J= 0
0
∞
X 1 1 dxdy = . 2 2 1−x y (2k + 1)2 k=0
A J integrált kell kiszámítani. Beukers, Calabi és Kolk az alábbi új koordináták bevezetését javasolták:
s u := arccos
1 − x2 1 − x2 y 2
s v := arccos
1 − y2 . 1 − x2 y 2
A kett®s integrál kiszámításakor nem vesszük gyelembe az integrálási tartomány határát. Az vizsgáljuk, ekkor
u
x-et
és
v
és
az
y -t
a
0<x<1
illetve
u > 0, v > 0, u + v <
0
tartományban
π háromszögben fekszik. A 2
koordináta-transzformáció explicit inverze a következ® helyettesítéshez vezet:
x=
sin u cos v
y= 28
sin v . cos u
S = {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1} π egységnégyzet belseje és a T = (u, v) : u, v ≥ 0, u + v ≤ háromszög belseje 2 Ez a képlet bijektív transzformációt ad meg az
között. Ezután a koordináta-transzformáció Jacobi determinánsát kell kiszámítani:
cos u cos v sin u sin v cos2 u
sin u sin v cos2 v cos v cos u
sin2 u sin2 v = 1 − x2 y 2 . =1− 2 2 cos u cos v
Ez azt jelenti, hogy a kiszámítandó integrál
Z
π 2
Z
π −u 2
J=
1dudv 0
alakba írható, amely a
3.4.
T
háromszög
0
1 π 2 π 2 = 2 2 8
területével egyenl®.
Wallis-formula
John Wallis (1616-1703) angol matematikus, aki nagy csodálója volt a görög matematikusoknak, kiadta Arkhimédész, Ptolemaiosz és Arisztarkhosz munkáinak egy részét. 1673-ban közétette a De algebra tractatus, historicus et practicus-t. Wallis-formula:
∞ Y 2 2 4 4 6 (2n) (2n) π = · · · · · ... = . 2 1 3 3 5 5 (2n − 1) (2n + 1) n=1 4. Tétel.
2 1 2 · 4 · . . . · 2n π = lim · . n→∞ 1 · 3 · . . . · (2n − 1) n Rπ n Vezessük be az: In = sin x minden n ∈ N-re. 0
Bizonyítás.
és
Ekkor
I1 = cos 0 − cos π = 2. Ha n ≥ 1, akkor Z π Z π 2 n−1 In+1 = sin x · sin xdx = 1 − cos2 x · sinn−1 dx = 0
0
Z =
π
n−1 sin x − cos2 x · sinn−1 x dx =
0
29
I0 = π
π
Z
cos x · sinn−1 x · cos x dx.
= In−1 − 0
A parciális inetegrálás képletét alkalmazva
Z
π
cos x · sinn−1 x · cos x dx =
cos x ·
0
0
1 = cos x · · sinn x n
π
Z
π
− 0
0
=0+
In+1 = Így
π
Z
sin2n−1 xdx =
0
Z
π
sin2n xdx =
0
Z
sin2n+1 xdx =
0
dx =
1 · In+1 , n
n · In−1 . n+1
2 · 4 · . . . · (2n − 2) ·2 1 · 3 · . . . · (2n − 1)
1 · 3 · . . . · (2n − 1) ·π 2 · 4 · . . . · 2n
π
0
1 · In+1 . n
In+1 = In−1 − amib®l
1 · sinn x n
1 · sinn x · (− sin x) dx = n
Azt kapjuk, hogy
és
π
Z
2 · 4 · . . . · 2n ·2 1 · 3 · . . . · (2n + 1)
(n ∈ N) , n ∈ N+ ,
(n ∈ N) .
Mivel
sin2n−1 x ≥ sin2n x ≥ sin2n+1 x minden
x ∈ [0, π]-re,
ezért
2 · 4 · . . . · (2n − 2) 1 · 3 · . . . (2n − 1) 2 · 4 · . . . · 2n ·2≥ ·π ≥ · 2, 1 · 3 · . . . (2n − 1) 2 · 4 · . . . · 2n 1 · 3 · . . . · (2n + 1) amib®l
2 1 2 · 4 · . . . · 2n 2 · ≥π≥ · n 1 · 3 · . . . · (2n − 1) 2n + 1 h i2 2·4·...·2n · n1 sorozatot. Ekkor Wn ≥ π ≥ W · következik. Jelöljük Wn -nel a 1·3·...·(2n−1)
2 · 4 · . . . · 2n 1 · 3 · . . . (2n − 1)
2 , vagyis 2n+1
2
π ≤ Wn ≤ π · 2n+1 , 2n
így a rend®rszabály szerint
30
limn→∞ Wn = π .
4. fejezet
A
π π
A
irracionalitása
irracionalitását már Arisztotelész is sejtette, amikor a kör sugaráról
és kerületér®l azt állította, hogy nem összemérhet®k. Az els® bizonyítást erre az alapvet® tulajdonságra Johann Heinrich Lambert adta 1766-ban. A mi bizonyításunk 1947-b®l, Ivan Nivent®l származik: rendkívül elegáns bizonyítás, mely elemi analízist használ. A módszer hatékony és valamivel több is kijön bel®le, mint azt mind Iwamoto, mind Koksma megmutatta: (ez er®sebb állítás) és
5. Tétel.
π2
r
e
irracionális minden
r 6= 0
π2
irracionális
racionális számra.
irracionális.
A tétel bizonyításához az alábbi lemmára van szükség: 1. Lemma. Valamely rögzített
n ≥ 1-re
legyen
xn (1 − x)n f (x) = . n! Ekkor
•
Az
f (x)
függvény
f (x) =
1 n!
P2n
i i=n ci x alakú polinom, ahol a
hatók egészek.
• 0<x<1 •
Az
f k (0)
esetén
és az
0 < f (x) <
f k (1)
minden
1 teljesül. n!
k ≥ 0-ra 31
egészek.
ci
együtt-
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy
π2 =
a , b
ahol
a, b > 0
egészek. Most az
F (x) := bn π 2n f (x) − π 2n−2 f 2 (x) + π 2n−4 f 4 (x) ∓ . . .
polinomot fogjuk használni, mely láthatóan kielégíti az
F 00 (x) = −π 2 F (x) + bn π 2n+2 f (x) azonosságot. A lemma harmadik állítása miatt
F (0)
és
F (1)
egészek. Elemi
deriválási szabályok alapján
d [F 0 (x) sin πx − πF (x) cos πx] = F 00 (x) + π 2 F (x) sin πx = dx = bn π 2n+2 f (x) sin πx = π 2 an f (x) sin πx. Így ezt kaptuk:
Z N := π 0
1
1 1 0 a f (x) sin πxdx = F (x) sin πx − F (x) cos πx = π 0
n
= F (0) + F (1) , ami egész. Továbbá
N
pozitív, hiszen egy (a határokat leszámítva) pozitív
függvény integráljaként de niáltuk. Ha azonban hogy
πan n!
<1
n-et olyan nagynak választjuk,
legyen, a lemma második állításából
Z 0
1
an f (x) sin πxdx <
0 adódik, ami ellentmondás.
32
πan <1 n!
5. fejezet
Összefoglalás
A szakdolgozatban betekintést nyertünk a
π
történetébe, illetve megis-
merhettük annak néhány el®állítását bizonyítással együtt. Találkozhattunk olyan híres tudósokkal, akik a
π
felfedezésében jelent®s eredményt értek el,
mégis a tudomány más területén váltak ismertté, többek között zikusként, csillagászként emlékezünk rájuk.
33
Irodalomjegyzék
[1] Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Bizonyítások a könyvb®l,
Typo-
tex, Budapest (2004) [2] Laczkovich Miklós, T. Sós Vera: Analízis II.,
Nemzeti Tankönyvki-
adó, Budapest (2007) [3] Florica T. Cimpan: A
π
története,
Albatrosz Könyvkiadó (1971)
[4] Sain Márton: Nincs királyi út!, Gondolat, Budapest (1986) [5] Dörrie, H.: A diadalmas matematika, Gondolat, Budapest (1965) Internetes oldalak
[6] http://hu.wikipedia.org/wiki/Pi_(szam) [2010.04.20] [7] http://wadanet.com/hasegawa/chud.htm [2010.04.20] [8] http://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm [2010.04.20] [9] http://t-t.freeweb.hu/minden/tudom/pii03.htm [2010.04.20] [10] http://napipille.blog.hu/2010/03/14/nemzetkozi_pi_nap [2010.04.20]
34
