A Val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ as I. el˝ oad´ assorozat tizedik t´ em´ aja. Eloszl´ asok konvergenci´ aj´ ar´ ol. A centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel bizony´ıt´ asa. A centr´ alis hat´areloszl´ast´etel azt ´ all´ıtja, hogy bizonyos val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asainak a sorozata konverg´ al a norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´enyhez. E t´etelnek nem adom meg a teljes, r´eszletes bizony´ıt´ as´at ebben a jegyzetben, de besz´elek a bizony´ıt´ as sor´ an felmer¨ ul˝ o legfontosabb k´erd´esekr˝ ol. El˝osz¨ or a k¨ ovetkez˝ o k´erd´essel fogok kiss´e r´eszletesebben foglalkozni. A centr´ alis hat´areloszl´ast´etel azt mondja ki, hogy bizonyos eloszl´ asf¨ uggv´enyek (f¨ uggetlen v´ altoz´ ok normaliz´alt r´eszlet¨ osszegeinek az eloszl´ asf¨ uggv´enyei) eloszl´ asban konverg´ alnak a norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´enyhez. De mit jelent az eloszl´ asban val´ o konvergencia? Ez a k´erd´es kor´ antsem olyan egyszer˝ u, mint ahogy az els˝ o pillanatban gondoln´ ank. Viszont e k´erd´es tiszt´az´ asa sz¨ uks´eges ahhoz, hogy j´ ol meg´erts¨ uk a hat´areloszl´ast´etelek tartalm´ at ´es bizony´ıt´ asi m´ odszerereit. El˝osz¨ or megadom a helyes definici´ ot, ´es ut´ ana elmagyar´ azom, mi´ert ez a definici´ o fejezi ki a minket ´erdekl˝ o konvergenci´ at. Eloszl´ asban val´ o konvergencia definici´ oja. Legyen Fn (·), n = 1, 2, . . . , eloszl´ asf¨ uggv´enyek sorozata a sz´ amegyenesen. Azt mondjuk, hogy az Fn (·) eloszl´ asf¨ uggv´enyek eloszl´ asban konverg´ alnak egy F (·) eloszl´ asf¨ uggv´enyhez, ha lim Fn (x) = F (x) az F (·) n→∞
(hat´ ar)eloszl´ asf¨ uggv´eny minden folytonoss´ agi pontj´ aban. Legyen ξn , n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban konverg´ alnak egy F (·) eloszl´ asf¨ uggv´enyhez, ha az Fn (x) = P (ξn < x), −∞ < x < ∞, eloszl´ asf¨ uggv´enyek eloszl´ asban konverg´ alnak az F (x) eloszl´ asf¨ uggv´enyhez. Legyen ξn , n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban konverg´ alnak egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, ha az Fn (x) = P (ξn < x), −∞ < x < ∞, eloszl´ asf¨ uggv´enyek eloszl´ asban konverg´ alnak az F (x) = P (ξ < x), −∞ < x < ∞ eloszl´ asf¨ uggv´enyhez. 1. megjegyz´es: A fenti definici´ oban van bizonyos ¨ onism´etl´es. Sokszor el˝ ofordul, hogy ugyanazt a fogalmat n´emileg elt´er˝ o sz´ohaszn´alatban haszn´ alj´ak. Ez´ert egym´ as mellett felsoroltam a k¨ ul¨ onb¨oz˝ o lehets´eges megfogalmaz´asokat. Tulajdonk´eppen csak arr´ ol van sz´o, hogy val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban val´ o konvergenci´ aj´an e val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ as´anak az eloszl´ asban val´ o konvergenci´ aj´at ´ertj¨ uk. Tov´ abb´a azt mondhatjuk, hogy az eloszl´ asban val´ o konvergencia limesze egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ha a limesz ennek a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ onak az eloszl´ asa. 2. megjegyz´es: A norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´eny minden pontban folytonos. Ez´ert a centr´ alis hat´areloszl´asf¨ uggv´eny azt mondja ki, hogy f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok normaliz´altjainak az eloszl´ asf¨ uggv´enyei minden pontban konverg´ alnak a standard norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´enyhez. Ebben az esetben nincs jelent˝os´ege annak, hogy a hat´areloszl´asl´ asf¨ uggv´eny (jelen esetben nem l´etez˝ o) szakad´ asi pontjaiban nem k¨ ovetelj¨ uk meg a konvergenci´ at. Felmer¨ ul a k´erd´es, hogy mi´ert van kit¨ untetett szerepe a hat´areloszl´asf¨ uggv´eny szakad´ asi pontjainak az eloszl´ asf¨ uggv´eny konvergenci´ aj´anak definici´ oj´ aban. Term´eszetes-e, 1
hogy ezekben a pontokban nem k¨ ovetelt¨ uk meg a konvergenci´ at? E k´erd´es meg´ert´es´enek ´erdek´eben a k¨ ovetkez˝ o ´eszrev´etelt teszem. Egy a sz´amegegyenesen megadott F eloszl´ asf¨ uggv´eny induk´ al egy val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´eket a sz´amegyenesen. Ennek a Stieltjes m´ert´eknek nevezett m´ert´ek l´etez´es´er˝ ol sz´ol´ o eredm´enyt megfogalmaztam a 7. el˝ oad´as ismertet´es´eben, (l´ asd a T´etel eloszl´ asf¨ uggv´enyek a ´ltal meghat´ arozott m´ert´ek nev˝ u eredm´enyt az ottani ismertet´esben), de az all´ıt´ ´ as bizony´ıt´ as´at elhagytam, mert az a m´ert´ekelm´elet feladata. Az is igaz, hogy minden a sz´amegyenesen defini´alt val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ek el˝ o´all´ıthat´ o, mint egy (egy´ertelm˝ uen meghat´ arozott) eloszl´ as ´ altal induk´ alt Stieltjes m´ert´ek. Jel¨olje, — a 7. el˝ oad´as jel¨ol´es´ehez hasonl´oan, — µF az F eloszl´ asf¨ uggv´eny ´ altal induk´ alt Stieltjes m´ert´eket. Az eloszl´asban val´ o konvergencia definici´ oj´aban val´ oj´aban nem az Fn eloszl´ asf¨ uggv´enyek konvergenci´ aj´at k¨ ovetelj¨ uk meg az F eloszl´ asf¨ uggv´enyhez, hanem az Fn eloszl´ asf¨ uggv´enyek altal induk´ ´ alt µFn Stieltjes m´ert´ekek konvergenci´ aj´at az F eloszl´ asf¨ uggv´eny a´ltal induk´ alt µF Stieltjes m´ert´ekhez. Szeml´eletesen a µFn m´ert´ekek u ´gy k´epzelhet˝ok el, mint olyan t¨omegeloszl´ asok a sz´amegyenesen, amelyekben egy A ⊂ R halmaz ,,s´ ulya” a µFn (A) m´ert´ek. Az eloszl´ asban val´ o konvergencia azt jelenti, hogy a µFn t¨omegeloszl´ asok nagy n indexre k¨ ozel vannak a µF t¨omegeloszl´ ashoz. A µFn val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ek k¨ ozels´ege a µF val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekhez szeml´eletesen azt jelenti, hogy a µFn t¨omegeloszl´ as kis megmozgat´as´aval el˝ o lehet ´ all´ıtani a µF t¨omegeloszl´ ast. Az eloszl´ asban val´ o konvergencia definici´ oj´anak jobb meg´ert´ese ´erdek´eben tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o egyszer˝ u p´eld´at. Legyen x0 = 0, ´es xn , n = 1, 2, . . . , olyan sz´amsorozat, amelyre xn < 0, n = 1, 2, . . . , ´es lim xn = 0. Legyen µFn , n = 0, 1, 2, . . . , az a m´ert´ek, n→∞
amely az xn pontba van koncentr´ alva, azaz µFn ({xn }) = 1, r´eszletesebben µFn (A) = 1, ha xn ∈ A, ´es µFn (A) = 0, ha xn ∈ / A. A µFn eloszl´ as azon Fn eloszl´ asf¨ uggv´eny a´ltal meghat´ arozott Stieltjes m´ert´ek, amelyre Fn (x) = 0, ha x ≤ xn , ´es Fn (x) = 1, ha x > xn . Term´eszetes azt v´ arni, hogy az eloszl´ asf¨ uggv´eny alkalmas definici´ oja eset´en a most defini´alt p´eld´aban az Fn eloszl´ asf¨ uggv´enyek eloszl´ asban konverg´alnak az F0 eloszl´ ashoz. M´asr´eszt vegy¨ uk ´eszre, hogy lim Fn (x) = F0 (x) minden x 6= 0 sz´amra. De az x = 0 n→∞ pontban, azaz az F0 f¨ uggv´eny szakad´ asi pontj´aban ez a konvergencia nem teljes¨ ul, mert Fn (0) = 1, ha n ≥ 1, ´es F0 (0) = 0. Teh´ at az ´ altalunk megadott definici´ o szerint az Fn eloszl´ asok eloszl´ asban konverg´alnak az F0 eloszl´ ashoz. De ahhoz, hogy ez teljes¨ ulj¨on, sz¨ uks´eg volt arra, hogy az eloszl´ asban val´ o konvergencia definici´ oj´aban ne k¨ ovetelj¨ uk meg az eloszl´ asf¨ uggv´enyek konvergenci´ aj´at a hat´arf¨ uggv´eny szakad´ asi pontjaiban. Be lehet l´atni, hogy az eloszl´ asban val´ o konvergencia kifejezi azt a szeml´eletes tartalmat, amelyet a Stieltjes m´ert´ekek t¨omegeloszl´ asokkal val´ o reprezent´aci´oja sugall. Ezen all´ıt´ ´ as pontos megfogalmaz´as´aval ´es bizony´ıt´ as´aval azonban nem foglalkozom. Ehelyett megfogalmazok egy olyan eredm´enyt, amely az eloszl´ asban val´ o konvergencia egy m´ as, vizsg´alatainkban hasznos jellemz´es´et adja meg. Ezt az eredm´enyt az el˝ oad´as f˝ o r´esz´eben csak megfogalmazom, bizony´ıt´ as´at a kieg´esz´ıt´esben ´ırom le. Az eredm´eny ismertet´ese ut´ an arr´ ol ´ırok, hogy az mi´ert hasznos hat´areloszl´ast´etelek vizsg´alat´aban. T´ etel eloszl´ asban val´ o konvergencia k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o lehets´ eges jellemz´ es´ er˝ ol. Eloszl´ asf¨ uggv´enyek egy Fn (u), n = 1, 2, . . . , sorozata akkor ´es csak akkor konverg´ al eloszl´ asban egy F (u) eloszl´ asf¨ uggv´enyhez, ha minden a sz´ amegyenesen defini´ alt folytonos ´es 2
korl´ atos g(u) f¨ uggv´enyre teljes¨ ul a Z Z lim g(u) dFn (u) = g(u) dF (u) n→∞
(a)
azonoss´ ag. 1. megjegyz´es: Az eloszl´ asban val´ o konvergenci´ aj´anak k´et jellemz´es´et adtuk meg. Az egyik az eredeti definici´ o, a m´ asik az el˝ oz˝ o t´etelben megadott ekvivalens jellemz´es. Az´ert hasznos sz´amunkra ez a t´etel, mert konkr´et esetekben egyszer˝ ubb eloszl´ asok konvergenci´ aj´at az itt megfogalmazott felt´etel, mint az eredeti definici´ o ellen˝ orz´es´enek a seg´ıts´eg´evel bizony´ıtani. Ekkor ugyanis korl´ atos ´es folytonos f¨ uggv´enyeknek valamilyen eloszl´ assorozat szerinti integr´alj´anak a konvergenci´ aj´at kell bebizony´ıtanuk, ´es erre az anal´ızisnek j´ o m´ odszerei vannak. Viszont, mint a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel´ehez kapcsol´od´ o, az el˝ oz˝ o el˝ oad´asban t´argyalt p´eld´ak is mutatj´ak, a hat´areloszl´ast´etelek gyakorlati alkalmaz´asaiban ´ altal´ aban eloszl´ asf¨ uggv´enyek konvergenci´ aj´anak az eredeti definici´ oj´at haszn´ aljuk. 2. megjegyz´es: Az eloszl´ asban val´ o konvergenci´ at szok´ as gyenge konvergenci´ anak is ´ nevezni. Erdemes megjegyezni, hogy a funkcion´ alanal´ızisben is szok´ as Banach terek funkcion´aljainak gyenge konvergenci´ aj´ar´ ol besz´elni, ´es az el˝ obb kimondott t´etel azt is jelenti, hogy a gyenge konvergenci´ anak a val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ asban ´es funkcion´alanal´ızisben haszn´ alt ´ertelmez´ese ¨ osszhangban van egym´ assal. Ugyanis egy a sz´amegyenesen defini´alt µ (val´ osz´ın˝ us´egi) m´ert´eket fel lehet fogni, mint a korl´ atos ´es folytonos f¨ uggv´enyek Banach ter´en ´ertelmezett (korl´ atos ´es line´aris) funkcion´ alt. Nevezetesen a µ R m´ert´ek az f (·) korl´ atos ´es folytonos f¨ uggv´enyhez hozz´ arendeli a µ(f ) = f (u)µ( du) sz´amot. A funkcion´ alanal´ızisben defini´alt fogalomrendszer szerint a µnR m´ert´ekek gyenge R konvergenci´ aja a µ m´ert´ekhez azt jelenti, hogy lim f (u)µn ( du) = f (u)µ( du) minn→∞ den folytonos ´es korl´ atos f¨ uggv´eny eset´eben, ez pedig a fent kimondott t´etel szerint a µn m´ert´ekeknek, pontosabban az ´ altaluk meghat´ arozott Fn (x) = µn ({u: u < x}) eloszl´ asf¨ uggv´enyek gyenge (azaz eloszl´ asbeli) konvergenci´ aj´at jelenti a µ m´ert´ekhez, pontosabban az ´ altala meghat´ arozott F (x) = µ({u: u < x}) eloszl´ asf¨ uggv´enyhez. Sok vizsg´alatban az eloszl´ asban val´ o konvergenci´ anak a t´etelben megadott jellemz´ese jobban haszn´ alhat´ o mint az eredeti definici´ o. Megjegyzem, hogy ennek a t´etelnek van egy m´ asik haszna is. Az itt megfogalmazott eredm´eny lehet˝ os´eget ad arra, hogy eloszl´ asok konvergenci´ aj´at ´ altal´ anosabb terekben is defini´aljuk. Ilyen ig´eny term´eszetes m´ odon felmer¨ ul, ha nemcsak val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, hanem v´eletlen folyamatok viselked´es´et is vizsg´alni akarjuk. Ebben az esetben az a probl´ema mer¨ ul fel, hogy olyan val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okkal kell dolgoznunk, amelyek ´ert´ek¨ uket nem a sz´amegyenesen, hanem egy sokkal gazdagabb t´erben, p´eld´aul a sz´amegyenesen ´ertelmezett f¨ uggv´enyek ter´eben veszik fel. Viszont az eloszl´ asf¨ uggv´enyek konvergenci´ aj´anak eredeti definici´ oja nem ´ altal´ anos´ıthat´ o ´ altal´ anos terekre, mert az er˝ osen k¨ ot˝ odik a sz´amegyenes, (illetve a t¨obbdimenzi´os eloszl´ asok definici´ oja eset´eben az euklid´eszi t´er) geometri´aj´ahoz. Ha eloszl´ asf¨ uggv´enyek helyett val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekeket tekint¨ unk, akkor ezek konvergenci´ aj´at term´eszetes m´ odon tudjuk defini´alni nagyon ´ altal´ anos (topol´ ogikus) terekben is az (a) rel´ aci´o ´ altal´ anos´ıt´ as´anak a seg´ıts´eg´evel. 3
Ha eloszl´ asf¨ uggv´enyek konvergenci´ aj´at az (a) tulajdons´ag vizsg´alat´anak seg´ıts´eg´evel akarjuk bebizony´ıtani, akkor term´eszetes m´ odon felmer¨ ul az a k´erd´es, hogy nem lehets´eges-e ezt a felt´etelt gyeng´ıteni, nem elegend˝ o-e az (a) rel´ aci´o teljes¨ ul´es´et a folytonos ´es korl´ atos f¨ uggv´enyeknek csak egy el´eg gazdag r´eszoszt´aly´ara ellen˝ orizni, ´es ennek seg´ıts´eg´evel eld¨onteni, hogy teljes¨ ul-e az eloszl´ asban val´ o konvergencia. Term´eszetesen a folytonos ´es korl´ atos f¨ uggv´enyek olyan r´eszoszt´aly´ at k´ıv´ anjuk tekinteni, amelyikre ez a felt´etel k¨ onnyebben ellen˝ orizhet˝o. Kider¨ ult, hogy erre a k´erd´esre igenl˝ o v´ alaszt itu lehet adni, elegend˝ o csak a trigonometrikus, azaz a gt (u) = e alak´ u f¨ uggv´enyeket tekinteni. E f¨ uggv´enyoszt´aly definici´ oja u ´gy ´ertend˝o, hogy minden −∞ < t < ∞ param´eterre defini´aljuk a gt (u) = eitu , −∞ < u < ∞, f¨ uggv´enyt a sz´amegyenesen. Megjegyzem, hogy ezek a f¨ uggv´enyek komplex ´es nem val´ os ´ert´ek˝ uek, de mindazok az eredm´enyek, amelyek val´ os ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okra ´erv´enyesek, term´eszetes m´ odon ´ altal´ anos´ıthat´ ok komplex sz´am ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okra is. A gt (u) = eitu trigonometrikus f¨ uggv´enyekkel az´ert tudunk j´ ol dolgozni, mert minden −∞ < s, t < ∞ isu itu param´eterre teljes¨ ul a gs (u)gt (u) = e e = ei(s+t)u = gs+t (u) azonoss´ag. L´ atni fogjuk, hogy ez az azonoss´ag nagy seg´ıts´eget jelent, ha f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok osszegeinek eloszl´ ¨ as´at vizsg´aljuk. Megjegyzem, hogy az ilyen jelleg˝ u o¨sszef¨ ugg´esek alkalmaz´asa nemcsak a val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ asban fontos. Ennek ´ altal´ anos´ıt´ as´an alapul az algebra egy m´ely ´es fontos ter¨ ulete, a csoportreprezent´aci´ok elm´elete. A tov´ abbi vizsg´alatokban hasznos a karakterisztikus f¨ uggv´enyek al´ abb megadott definici´ oja. Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´ eny´ enek a definici´ oja. Legyen ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o valamely (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on, ´es jel¨ olje F (u) = P (ξ < u), −∞ < u < ∞, a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asf¨ uggv´eny´et. A ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ onak a karakterisztikus f¨ uggv´enye a ϕ(t) = Ee
itξ
=
Z
∞
eitu F ( du),
−∞
−∞ < t < ∞,
f¨ uggv´eny. Adva egy F eloszl´ asf¨ uggv´eny annak karakterisztikus f¨ uggv´eny´et u ´gy defini´ aljuk, mint egy F eloszl´ as´ u ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´eny´et. (Mivel a karakterisztikus f¨ uggv´enyt ki lehet sz´ amolni a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asf¨ uggv´eny´enek a seg´ıts´eg´evel, ez´ert jogunk van egy eloszl´ asf¨ uggv´eny karakterisztikus f¨ uggv´eny´er˝ ol besz´elni.) A k¨ ovetkez˝ o egyszer˝ u ´ all´ıt´ asokat azok fontoss´ aga miatt k¨ ul¨ on lemma form´aj´aban mondom ki. Lemma val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok karakterisztikus f¨ uggv´ eny´ enek viselked´ es´ er˝ ol. n P Legyenek ξ1 , . . . , ξn f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, jel¨ olje Sn = ξj e val´ osz´ın˝ us´egi j=1
v´ altoz´ ok o ¨sszeg´et ´es ϕj (t), 1 ≤ j ≤ n, a ξj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggn Q v´eny´et. Ekkor az Sn o ¨sszeg karakterisztikus f¨ uggv´enye a ψn (t) = EeitSn = ϕj (t), j=1
4
−∞ < t < ∞, f¨ uggv´eny. Ha A ´es B 6= 0 val´ os sz´ amok, akkor az v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´enye az Ee
it(Sn −A)/B
=e
−itA/B
ψn
t B
=e
−itA/B
n Y
j=1
ϕj
Sn −A B
t B
val´ osz´ın˝ us´egi
f¨ uggv´eny. Legyen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o F (·) eloszl´ asf¨ uggv´ennyel, amelyre teljes¨ ul az R ∞ ξ olyan k k E|ξ| = −∞ |u| F ( du) < ∞ egyenl˝ otlens´eg valamilyen k pozit´ıv eg´esz sz´ amra. Ekkor a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ϕ(t) karakterisztikus f¨ uggv´eny´enek a deriv´ altjai megadhat´ ok a R ∞ j j itu dj F ( du) k´eplettel minden 0 ≤ j ≤ k ´es −∞ < t < ∞ sz´ amra. dtj ϕ(t) = −∞ i u e R∞ j j dj ϕ(t) = −∞ i u F ( du) = ij Eξ j minden 0 ≤ j ≤ k Speci´ alisan, t = 0 v´ alaszt´ assal dtj t=0 sz´ amra. Bizony´ıt´ as:
EeitSn = E it(ξ1 +···+ξn ) = Eeitξ1 eitξ2 · · · eitξn = Eeitξ1 Eeitξ2 · · · Eeitξn =
n Y
ϕj (t)
j=1
a ξj , 1 ≤ j ≤ n, illetve az eitξj , 1 ≤ j ≤ n, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ebb˝ol k¨ ovetkez˝ o f¨ uggetlens´ege miatt. Ezenk´ıv¨ ul Ee
it(Sn −A)/B
= Ee
i(t/B)Sn −itA/B
e
−itA/B
=e
ψn
t B
,= e
−itA/B
n Y
j=1
ϕj
t B
,
ha az Sn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´enye ψn (t). Innen k¨ ovetkeznek a Lemma els˝ o paragrafus´ aban kimondott ´ all´ıt´ asok. A Lemma m´ asodik aban kimondott ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ asa ´erdek´eben ´ırjuk R ∞ paragrafus´ fel a ϕ(t) = Eeitξ = −∞ eitu F ( du) azonoss´agot, ´es differenci´ aljuk j, j ≤ k, alkalommal. Be lehet l´atni, hogy az E|ξ|k < ∞ felt´etel teljes¨ ul´ese eset´en az azonoss´ag jobboldal´ an dj al´ as ´es differenci´ al´ as sorrendje felcser´elhet˝ o. Innen kapjuk, hogy dtj ϕ(t) = Raz∞integr´ j j itu i u e F ( du). Alkalmazva a t = 0 helyettes´ ıt´est megkapjuk a Lemma utols´ o −∞ all´ıt´ ´ as´anak a bizony´ıt´ as´at is. Megjegyz´es: Legyenek ξ1 , ξ2 . . . . , f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, uk be a σ2 = Var ξ1 , valamint az Eeitξ1 = ϕ(t), −∞ < t < amelyekre Eξ1 = 0, ´es vezess¨ ∞ jel¨ol´eseket. (Azaz osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´enye.) Legyen P ϕ(t) ¯a ξ1 val´ n tov´ abb´a Sn = ξk ´es Sn = √Snσ az Sn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o normaliz´altja. Ekkor k=1 n ¯ t itSn n , ´es a ϕ(t) f¨ uggv´eny 0 k¨ or¨ uli Taylor sorfejt´es´evel azt Ee = ϕ(t) , EeitSn = ϕ √nσ t2 t t t2 ′ ′′ es ϕ′′ (0) = kapjuk, hogy ϕ √nσ ∼ 1+ √nσ ϕ′ (0)+ 2nσ 2 ϕ (0) = 1− 2n , mert ϕ (0) = 0, ´ −σ 2 . Ez a formula lehet˝ ov´e teszi, hogy viszonylag j´ o becsl´est adjunk a S¯n val´ osz´ın˝ us´egi 5
v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´eny´ere. Azt k´ıv´anjuk vizsg´alni, tudunk-e ilyen m´ odon olyan j´ o becsl´est adni a S¯n val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´eny´ere, amelyb˝ ol k¨ ovetkezik a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ok normaliz´alt ¨ osszegeire. Tekints¨ uk el˝ osz¨ or azt a speci´alis esetet, amikor olyan ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´asf¨ uggv´eny´et tekintj¨ uk, amely csak eg´esz ´ert´ekeket vesz fel. Legyen P (ξ = k) = pk , k = ∞ P 0, ±1, ±2, . . . , pk = 1. Ekkor a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o karakterisztikus f¨ uggv´enye k=−∞ ∞ P
a ϕ(t) = Eeitξ =
k=−∞
eikt P (ξ = k) =
∞ P
k=−∞
pk eikt , −∞ < t < ∞ f¨ uggv´eny. Ez a ϕ(t)
f¨ uggv´eny 2π szerint peri´ odikus, ´es tulajdonk´eppen egy Fourier sor, amelynek k-ik (azaz az eikt trigonometrikus f¨ uggv´enyhez tartoz´o) Fourier egy¨ utthat´oja pk . A Fourier sorok ∞ P elm´elet´enek egy egyszer˝ u, de nagyon fontos eredm´enye alapj´ an egy ϕ(t) = ak eikt , k=−∞
−π < t ≤ π, f¨ uggv´eny Fourier egy¨ utthat´oit a ϕ(t) Fourier sor ismeret´eben az Z π 1 ak = e−ikt ϕ(t) dt 2π −π
(∗)
k´eplet seg´ıts´eg´evel ki lehet sz´amolni. Az el˝ obb kimondott Lemma alapj´ an f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok normaliz´alt o¨sszeg´enek a karakterisztikus f¨ uggv´eny´ere viszonylag egyszer˝ u ´es j´ o k¨ ozel´ıt´est lehet adni. Ez ´es a (∗) formula azt is lehet˝ ov´e teszi, hogy eg´esz ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eset´eben j´ o becsl´est adjunk annak val´ osz´ın˝ us´eg´ere, hogy f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszege egy adott ´ert´eket vesz fel. Ez lehet˝ ov´e teszi a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel bizony´ıt´ as´at abban a speci´alis esetben, ha eg´esz ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszeg´et vizsg´aljuk. Az ´ altal´ anos eset vizsg´alat´anak a vez´ermot´ıvuma tulajdonk´eppen az, hogy megpr´ob´ aljuk ezt a m´ odszert adapt´alni az altal´ ´ anos esetre, amikor nem ´ all rendelkez´es¨ unkre a (∗) k´eplethez hasonl´o viszonylag egyszer˝ u ,,inverzi´os formula”. Az eg´esz ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok vizsg´alat´anak r´eszleteit nem dolgozom ki. Viszont a kieg´esz´ıt´esben megmutatom, hogyan lehet ennek a m´ odszernek a seg´ıts´eg´evel az anal´ızis egyik fontos k´eplet´et, az el˝ oz˝ o el˝ oad´asban megfogalmazott Stirling formul´ at bebizony´ıtani. Ahhoz, hogy karakterisztikus f¨ uggv´enyekkel j´ ol tudjunk sz´amolni, sz¨ uks´eg¨ unk van egy olyan eredm´enyre, amely azt mondja ki, hogy a trigonometrikus polinomok, azaz az n P f (x) = ak eikx alakban fel´ırhat´ o f¨ uggv´enyek a folytonos f¨ uggv´enyek egy el´eg gazdag k=−n
r´eszoszt´aly´ at alkotj´ ak. Ilyen jelleg˝ u eredm´eny Weierstrass m´ asodik approxim´ aci´os t´etele, amely azt mondja ki, hogy folytonos ´es periodikus f¨ uggv´enyeket tetsz˝oleges pontoss´ aggal lehet k¨ ozel´ıteni a szupr´emum norm´ aban trigonometrikus polinomokkal. (Weierstrass els˝ o approxim´ aci´os t´etele hasonl´o ´ all´ıt´ ast fogalmaz meg v´eges intervallumban folytonos f¨ uggv´enyek polinomokkal val´ o approxim´ alhat´ os´ag´ ar´ ol.) Megfogalmazom ezt az eredm´enyt, ´es (v´azlatosan) bebizony´ıtom annak n´eh´ any sz´amunkra fontos k¨ ovetkezm´eny´et. Weierstrass m´ asodik approxim´ aci´ os t´ etele. Tetsz˝ oleges folytonos ´es 2π szerint n P periodikus f (t) f¨ uggv´enyre ´es ε > 0 val´ os sz´ amra l´etezik olyan Pn (t) = ak eikt k=−n
6
trigonometrikus polinom, amelyre sup −∞
|f (t) − Pn (t)| < ε.
Ahhoz, hogy eloszl´ asf¨ uggv´enyek karakterisztikus f¨ uggv´enyeinek konvergenci´ aj´ab´ ol k¨ ovetkeztetni tudjunk magunknak az eloszl´ asf¨ uggv´enyeknek a konvergenci´ aj´ara tudnunk kell azt, hogy az a karakterisztikus f¨ uggv´enyek meghat´ arozz´ ak az eloszl´ asf¨ uggv´enyeket. Megfogalmazom ezt az eredm´enyt, ´es megadom ennek bizony´ıt´ as´at Weierstrass m´ asodik apprxim´ aci´os t´etele seg´ıts´eg´evel. Ezt a bizony´ıt´ ast is csak a kieg´esz´ıt´esben ismertetem. T´ etel arr´ ol, hogy egy eloszl´ asf¨ uggv´ enyt meghat´ aroz annak karakterisztikus f¨ uggv´ enye. Legyen F (·) ´es G(·) k´et eloszl´ asf¨ uggv´ey, amelyek karakterisztikus f¨ uggv´enye megegyezik. Ekkor F (x) = G(x) minden −∞ < x < ∞ sz´ amra. Az el˝ oz˝ o t´etel bizony´ıt´ asi m´ odszer´enek finom´ıt´ asa seg´ıts´eg´evel lehet bebizony´ıtani a k¨ ovetkez˝ o eredm´enyt, amelyet fontoss´ aga miatt Alapt´etelnek fogok nevezni. Ennek bizony´ıt´ asa a Fourier anal´ızis m´ as m´ odszereit is felhaszn´alja. Ez´ert, illetve id˝ ohi´any miatt a bizony´ıt´ asnak csak a legfontosabb r´esz´et ismertetem a kieg´esz´ıt´esben. Eloszl´ asok konvergenci´ aj´ ar´ ol sz´ ol´ o Alapt´ R ituetel. Legyen Fn (u), −∞ < u < ∞, eloszl´ asf¨ uggv´enyek egy sorozata ϕn (t) = e Fn ( du) karakterisztikus f¨ uggv´enyekkel, n = 1, 2, . . . . Ha a ϕ0 (t) = lim ϕn (t) hat´ ar´ert´ek l´etezik minden −∞ < t < ∞ n→∞
sz´ amra, ´es a ϕ0 (t) limeszf¨ uggv´eny folytonos az orig´ oban, akkor l´etezik olyan F0 (u) eloszl´ asf¨ uggv´eny, amelynek a ϕ0 (t) f¨ uggv´eny a karakterisztikus f¨ uggv´enye. Tov´ abb´ a e felt´etel teljes¨ ul´ese eset´en az Fn (u) eloszl´ asf¨ uggv´enyek eloszl´ asban konverg´ alnak az F0 (u) eloszl´ asf¨ uggv´enyhez. Megford´ıtva, ha Fn (u), n = 1, 2, . . . , eloszl´ asf¨ uggv´enyeknek egy olyan sorozata, amely egy F0 (u) eloszl´ asf¨ uggv´enyhez konverg´ al eloszl´ asban, ´es ϕn (t), n = 1, 2, . . . , jel¨ oli az Fn (u), ϕ0 (t) pedig az F0 (u) eloszl´ asf¨ uggv´eny karakterisztikus f¨ uggv´eny´et, akkor ϕ0 (t) = lim ϕn (t) minden −∞ < t < ∞ sz´ amra. Tov´ abb´ a, ez a konvergencia egyenn→∞ letes minden v´eges intervallumban. A fent kimondott t´etel a val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as rendk´ıv¨ ul fontos eredm´enye, ´es az eloszl´ asbeli konvergencia vizsg´alat´aban rendk´ıv¨ ul fontos szerepet j´ atszik. Ez´ert illik tudni ennek az eredm´enynek a pontos megfogalmaz´as´at. Viszont a minket ´erdekl˝ o hat´areloszl´ast´etel bizony´ıt´ as´ahoz elegend˝ o tudni e t´etel al´ abbi gyeng´ıtett v´ altozat´ at, amelynek bizony´ıt´ asa egyszer˝ ubb. Eloszl´ asok konvergenci´ aj´ ar´ ol sz´ ol´ o Alapt´ etel gyeng´ıtett v´ Legyen Raltozata. itu Fn (u), −∞ < u < ∞, eloszl´ asf¨ uggv´enyek egy sorozata ϕn (t) = e Fn ( du) karakterisztikus f¨ u ggv´ e nyekkel, n = 1, 2, . . . , ´es F0 (u), −∞ < u < ∞, eloszl´ asf¨ uggv´eny R itu ϕ0 (t) = e F0 ( du) karakterisztikus f¨ uggv´ennyel. Az Fn eloszl´ asf¨ uggv´enyek akkor ´es csak akkor konverg´ alnak eloszl´ asban az F0 eloszl´ asf¨ uggv´enyhez, ha a ϕn (t) karakterisztikus f¨ uggv´enyek konverg´ alnak a ϕ0 (t) karakterisztikus f¨ uggv´enyhez minden −∞ < t < ∞ sz´ amra. 7
Megjegyz´es: Az Alapt´etel illetve annak gyeng´ıtett v´ altozat´ anak f˝ o jelent˝os´ege abban a´ll, hogy lehet˝ ov´e teszik eloszl´ asf¨ uggv´enyek konvergenci´ aj´anak bizony´ıt´ as´at azok karakterisztikus f¨ uggv´enyeinek seg´ıts´eg´evel. A l´enyeges k¨ ul¨ onbs´eg az Alapt´etel, illetve annak gyeng´ıtett v´ altozata k¨ oz¨ ott az, hogy az Alapt´etel seg´ıt a hat´areloszl´as megtal´ al´ as´aban akkor is, ha azt nem ismerj¨ uk a kezdet kezdet´en, illetve annak vizsg´alat´aban, hogy l´etezik-e egy´ altal´ an valamilyen hat´areloszl´as. Ha eleve megvan a jel¨olt a hat´areloszl´asra, ´es annak ki tudjuk sz´am´ıtani a karakterisztikus f¨ uggv´eny´et, (a centr´ alis hat´areloszl´ast´etelben ez a helyzet), akkor a konvergencia bizony´ıt´ as´ahoz elegend˝ o az Alapt´etel gyeng´ıtett v´ altozat´ anak a haszn´ alata. Mutatok egy p´eld´at, amely seg´ıt meg´erteni az Alapt´etelben a karakterisztikus f¨ uggv´enyek hat´ar´ert´ekek´ent megjelen˝o f¨ uggv´enyre megfogalmazott folytonoss´agi felt´etel jelent˝os´eg´et. P´elda. Tekints¨ uk olyan ξn , n = 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozat´at, amelyekre ξn 1 s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye fn (x) = n , ha 0 < x ≤ n, ´es fn (x) = 0, ha x < 0 vagy x > n. ´ Erts¨ uk meg, hogyan viselkednek a ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asf¨ uggv´enyei ´es karakterisztikus f¨ uggv´enyei, ha n → ∞. Nem neh´ez bel´ atni, hogy a ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok Fn eloszl´ asf¨ uggv´enyeire teljes¨ ul a lim Fn (x) = 0 rel´ aci´o minden x sz´amra. Ez inform´ alisan u ´gy is interpret´alhat´ o, n→∞ hogy ξn eloszl´ asa ‘kifolyik a v´egtelenbe’, ha n → ∞. M´asr´eszt ξn karakterisztikus R R 1 n eitn −1 1 n itx , ha t = 6 0, ´ e s ϕ (0) = e dx = dx = 1, ha f¨ uggv´enye ϕn (t) = n n itn n 0 0 itn 2 t = 0. Mivel e itn−1 ≤ tn , ez´ert lim ϕn (t) = 0, ha t 6= 0, ´es lim ϕn (t) = 1, ha n→∞
n→∞
t = 0. Ez azt jelenti, hogy a ϕn (t) f¨ uggv´enyeknek l´etezik ϕ0 (t) hat´ar´ert´eke, amelyre ϕ0 (t) = 0, ha t 6= 0, ´es ϕ0 (0) = 1. Teh´ at a ϕn (t) karakterisztikus f¨ uggv´enyeknek l´etezik ϕ0 (t) hat´ar´ert´eke, amely minden pontban folytonos kiv´eve a t = 0 pontot. De a hat´arf¨ uggv´eny folytonoss´ag´ at az Alapt´etelben ´eppen a t = 0 pontban k¨ ovetelt¨ uk meg. Ez´ert ez az eredm´eny az ebben az esetben nem alkalmazhat´o. M´asr´eszt l´attuk, hogy a ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok nem konverg´ alnak eloszl´ asban, mert eloszl´ asaik ‘kifolynak a v´egtelenbe’. Be lehet l´atni nem csak ebben a p´eld´ aban, hanem az ´ altal´ anos esetben is, hogy az Alapt´etelben a karakterisztikus f¨ uggv´enyek hat´ar´ert´ek´enek a folyonoss´aga az orig´oban biztos´ıtja azt, hogy az Fn (·) eloszl´ asok ‘nem folyhatnak ki a v´egtelenbe’.
Megjegyz´es. L´ attuk a fenti p´eld´aban, hogy a eloszl´ asf¨ uggv´enyek karakterisztikus f¨ uggv´enyeinek a konvergenci´ aja ¨ onmag´ aban nem elegend˝ o az eloszl´ asf¨ uggv´enyek eloszl´ asbeli konvergenci´ aj´ahoz. A p´elda r´amutat a probl´ema l´enyeg´ere is, arra, hogy biztos´ıtani kell azt, hogy az eloszl´ asf¨ uggv´enyek ´ altal meghat´ arozott m´ert´ekek, iletve azok egy r´esze ‘ne folyjon ki a v´egtelenbe’. A harmadik kieg´esz´ıt´esben ezt az a´ll´ıt´ ast pontosabban megfogalmazom. Bevezetem val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek feszess´eg´enek a fogalm´ at, ´es megmutatom, hogy egy val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´eksorozat feszes, ha az o˝ket defini´al´ o eloszl´ asf¨ uggv´enyek karakterisztikus f¨ uggv´enyei az orig´o egy kis k¨ ornyezet´eben egy folytonos f¨ uggv´enyhez konverg´ alnak. 8
Az Alapt´etel, illetve annak gyeng´ıtett v´ altozata alapj´ an a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel bizony´ıt´ as´ahoz el´eg kisz´ amolni a standard norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´eny karakterisztikus f¨ uggv´eny´et, ´es megmutatni, hogy ha vessz¨ uk f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszegeinek a normaliz´altjait, akkor ezek karakterisztikus f¨ uggv´enyei a standard norm´ alis eloszl´ as karakterisztikus f¨ uggv´eny´ehez tartanak. El˝osz¨ or a standard norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´eny karakerisztikus f¨ uggv´eny´et sz´amolom ki. Ez a sz´amol´ as egyszer˝ u, de fontos szerepet j´ atszik benne a komplex f¨ uggv´enytan egyik alapvet˝ o eredm´enye arr´ ol, hogy u ´gynevezett analitikus f¨ uggv´enyek integr´al´ as´an´ al hogyan lehet a´thelyezni az integr´al´ asi utat. T´ etel a standard norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´ eny karakterisztikus f¨ uggv´ eny´ er˝ ol. A 1 −u2 /2 √ ϕ(u) = 2π e , −∞ < u < ∞, s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´ennyel rendelkez˝ o standard norm´ alis 2
eloszl´ asf¨ uggv´eny karakterisztikus f¨ uggv´enye a g(t) = e−t
/2
f¨ uggv´eny, azaz
∞
2 2 1 eitu √ e−u /2 du = e−t /2 . 2π −∞
Z Magyar´ azat: Z
∞
−∞
itu
e
∞
2 2 1 √ e−(u−it) /2 e−t /2 du 2π −∞ Z ∞−it 2 2 1 √ e−u /2 du. = e−t /2 2π −∞−it
2 1 √ e−u /2 du = 2π
Z
A fenti sz´amol´ asban a szok´ asos technik´at alkalmaztuk, az exponensben szerepl˝o kvadratikus alakot teljes n´egyzett´e alak´ıtotuk ´ at. Azt ´ all´ıtom, hogy Z
∞−it
−∞−it
2 1 √ e−u /2 du = 1. 2π
Ez az integr´al abban k¨ ul¨ onb¨ozik a standard norm´ alis s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny integr´alj´at´ ol, hogy a norm´ alis s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny integr´alj´at nem a val´ os tengelyen, hanem egy vele p´arhuzamos egyenesen tekintj¨ uk. Azt ´ all´ıtom, hogy ez az integr´al ugyanannyi, mintha a val´ os tengelyen integr´altunk volna. Ezt nem neh´ez bel´ atni, ha szabad hivatkozni a komplex f¨ uggv´enytan tal´ an legfontosabb eredm´eny´ere, amely szerint egy analitikus f¨ uggv´eny 2 k¨ orintegr´alja egy z´art g¨orb´en nulla. A g(z) = √12π e−z /2 f¨ uggv´eny k¨ orintegr´alj´at vessz¨ uk a k¨ ovetkez˝ o t´eglalapokon. R¨ ogz´ıt¨ unk egy nagy R > 0 sz´amot, ´es az integr´alt vessz¨ uk a [−R, R], azut´ an az [R, R − it], majd az [R − it, −R − it] v´eg¨ ul a [−R − it, −R] sza−z 2 /2 kaszokon. Mivel a g(z) = e f¨ uggv´eny analitikus az eg´esz sz´ams´ıkon, ez´ert ez a k¨ orintegr´al null´ aval egyenl˝o. Vegy¨ uk ennek a hat´ar´ert´ek´et, ha R → ∞. Nem neh´ez R −R R ∞−it R R−it g(z) dz = lim −R−it g(z) dz = 0, ahonnan −∞−it g(z) dz = bel´ atni, hogy lim R R→∞ R→∞ R∞ g(z) dz = 1, ´es ezt kellett bel´ atni. −∞ 9
V´azlatosan ismertetem, hogyan lehet a fenti eredm´enyek seg´ıts´eg´evel bel´ atni a centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt. Legyenek ξ1 , . . . , ξn f¨ uggetlen, egyforma eloszl´ as´ u, nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es 1 sz´or´ asn´egyzet˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ϕ(t) karakterisztikus f¨ uggn P Sn = √1n ξk normaliz´alt ¨ osszegek karakterisztikus v´ennyel. Azt kell bel´ atni, hogy az √ n k=1
2
f¨ uggv´enyei konverg´ alnak a standard norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´eny e−t /2 karakterisztikus f¨ uggv´eny´ehez, ha n → ∞. Viszont a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok karakterisztikus f¨ uggv´eny´eSn nek viselked´es´er˝ ol sz´ol´ o lemma alapj´ an tudjuk, hogy az √ normaliz´ a lt o ¨ sszeg karaktern n √ 1 − isztikus f¨ uggv´enye ϕn √tn , tov´ abb´a Taylor sorfejt´es alapj´ an ϕ √tn ∼ 1 + i tEξ nn t2 Eξ12 t2 n √t = 1 − 2n . Innen a vizsg´alt karakterisztikus f¨ uggv´enyek ´ert´ekei ϕ ∼ n 2n 2 n 2 t ∼ e−t /2 . A teljes bizony´ıt´ as kidolgoz´ as´ahoz azt kell megmutatni, hogy a 1 − 2n felhaszn´alt aszimptotikus azonoss´agok el´eg j´ o k¨ ozel´ıt´est adnak. Feladat: Mutassuk meg, a karakterisztikus f¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel, hogy amennyiben ξ ´es η k´et f¨ uggetlen, norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o m1 ´es m2 v´ arhat´ o ´ert´ekkel, σ12 ´es σ22 sz´or´ asn´egyzettel, akkor ξ + η norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o 2 2 m1 + m2 v´ arhat´ o ´ert´ekkel, ´es σ1 + σ2 sz´or´ asn´egyzettel. ´ Megold´ as: Irjuk fel a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ϕ1 (t) = Eeitξ az η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o itη ϕ2 (t) = Ee ´es a ζ = ξ +η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ϕ3 (t) = Eeit(ξ+η) karakterisztikus 2 2 f¨ uggv´eny´et. Azt kapjuk, hogy ϕ1 (t) = eitm1 −σ1 t /2 , mert ξ = σ1 ξ¯ + m1 , ahol ξ1 ¯ standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ahonnan ϕ1 (t) = Eeit(σ1 ξ+m1 ) = 2 2 2 ¯ eitm1 Eei(tσ1 )ξ = eitm1 e−(tσ1 ) /2 . Hasonl´ oan, ϕ2 (t) = eitm2 −σ2 t /2 . Ez´ert ϕ3 (t) = 2 2 2 ϕ1 (t)ϕ2 (t) = eit(m1 +m2 )−(σ1 +σ2 )t /2 , ahonnan k¨ ovetkezik, hogy ζ norm´ alis eloszl´ as´ u 2 2 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o m1 + m2 v´ arhat´ o ´ert´ekkel ´es σ1 + σ2 sz´or´ asn´egyzettel. N´eh´ any tov´ abbi feladat: 1.) Egy egys´egnyi oldal´ u n´egyzet k´et ´ atellenes oldal´ an tal´ alomra v´ alasztunk egy-egy pontot. Mekkora annak a val´ o sz´ ın˝ u s´ e ge, hogy ezek t´ a vols´ a ga α-n´ al kisebb (1 ≤ √ α < 2)? Megold´ as: Jel¨olje ξ a n´egyzet egyik, η a n´egyzet ´ atellenes oldal´ arap ledobott pont ´ert´ek´et. A k´et ledobott pont t´avols´ aga (a Pitagorasz-t´etel szerint) (ξ − η)2 + 1, p √ osz´ın˝ us´eg ´ert´eke ez´ert minket a P ( (ξ − η)2 + 1 < α) = P (|ξ − η| < α2 − 1) val´ ´erdekel. ξ ´es η k´et f¨ uggetlen a [0, 1 intervallumon egyenletes eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. A feladatot egyr´eszt megoldhatjuk a geometriai val´ osz´ın˝ us´egek m´ odszer´evel. Ekkor azt haszn´ aljuk, ki, hogy a (ξ, η) v´eletlen vektor az egys´egn´ e gyzet egy √ 2 v´eletlen √ pontja, ´es a keresett val´ osz´ın˝ us´eg az {(u, √ v): 0 ≤2 u, v√≤ 1, − α 2− 1 < 2 u − v < α − 1} halmaz ter¨ ulete, ami 1 − (1 − α2 − 1) = 2 α2 − 1 − (α − 1). M´asr´eszt a minket ´erdekl˝ o val´ osz´ın˝ us´eget kisz´ amolhatjuk a 8. t´ema 18. feladat´anak a seg´ıts´eg´evel is. E feladat eredm´enye szerint ugyanis ismerj¨ uk a ξ − η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o g(x) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et, ahonnan tetsz˝oleges 0 ≤ u ≤ 1 sz´amra P (|ξ − η| < 10
√ Ru Ru u) = −u g(x) dx = 2 0 (1 − x) dx = 2u − u2 Innen u = α2 − 1 v´ alaszt´ assal a √ 2 2 2 keresett val´ osz´ın˝ us´eg 2α − α = 2 α − 1 − (α − 1). 2.) A [0, 1] intervallumon tal´ alomra felvesz¨ unk k´et pontot. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a k´et felvett pont t´avols´ aga kisebb, mint a 0 pontnak a hozz´ a k¨ ozelebb es˝o pontt´ ol val´ o t´avols´ aga? Megold´ as: Ezt a feladatot legegyszer˝ ubben a geometriai val´ osz´ın˝ us´egek m´ odszer´evel tudjuk megoldani. Egyszer˝ ubb el˝ osz¨ or a feladatban k´erdezett esem´eny komplementer´enek a val´ osz´ın˝ us´eg´et kisz´ amolni. Legyen ξ az els˝ o, η a m´ asodik ledobott pont ´ert´eke, ´es vezess¨ uk be az A = {ω: ξ(ω) > 2η(ω)} ´es B = {ω: η(ω) > 2ξ(ω)} esem´enyeket. Ekkor a minket ´erdekl˝ o esem´eny komplementere az A ∪ B esem´eny. Tov´ abb´a, az A ´es B esem´enyek diszjunktak, P (A) = P (B), ez´ert P (A∪B) = 2P (A). A (ξ, η) v´eletlen vektor egyenletes eloszl´ as´ u az egys´egn´egyzeten, ´es az A esem´eny azt jelenti, hogy ez a pont az {(u, v): 0 < 2v < u ≤ 1} halmazba esik. Ennek osz´ın˝ us´eg 1 − 21 = 21 . val´ osz´ın˝ us´ege 14 . Ez´ert P (A ∪ B) = 21 , ´es a keresett val´ Megjegyzem, hogy az el˝ obb tekintett P (A) esem´enyt a k¨ ovetkez˝ ok´epp sz´amolhatjuk ki ´ altal´ anos elvek seg´ıts´eg´evel. A (ξ, η) v´eletlen vektor s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et ismerj¨ uk. Ez a ξ ´es η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlens´ege miatt g(u, v) = f (u)f (v), ahol f (u) = 1, ha 0 ≤ u ≤ 1, f (u) = 0, ha u < 0 vagy u > 1 a ξ ´es η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. Innen, Z Z P (A) = g(x, y) dx dy = f (x)f (y) dx dy {(x,y): x>2y}
=
Z
{(x,y): 1≥x>2y>0}
{(x,y): x>2y}
dx dy =
Z
1
0
Z
0
x/2
dy
!
dx =
Z
0
1
2 1 1 x x = . dx = 2 4 0 4
3.) Legyen ξ ´es η k´et f¨ uggetlen standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. η Sz´ am´ıtsuk ki a ξ h´anyados eloszl´ as ´es s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et. Megold´ as: Tegy¨ unk el˝ osz¨ or egy ´ altal´ anos megjegyz´est. Ha adva van k´et val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ξ ´es η, amelyek (egy¨ uttes s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye egy ismert f (u, v) s˝ ur˝ us´egη asf¨ uggv´eny´et a k¨ ovetkez˝ o m´ odon sz´amolhatjuk f¨ uggv´eny, akkor az ξ h´anyados eloszl´ ki: Vezess¨ uk be a g(u, v) = gx (u, v) f¨ uggv´enyt, amely a s´ıkon az (u, v): uv < x halmaz indik´atorf¨ uggv´enye, azaz g(u, v) = 1, ha uv < x, ´es g(u, v) = 0, ha uv ≥ x. Ekkor Z Z Z Z η P f (u, v) du dv. < x = Eg(ξ, η) = g(u, v)f (u, v) du dv = v ξ <x} {(u,v): u L´ atni fogjuk, hogy az ebben a feladatban vizsg´aland´o integr´al viszonylag egyszer˝ u, k¨ onnyebben kezelhet˝ o. A feladatban vizsg´aland´o h´anyados eloszl´ asf¨ uggv´enye ZZ 1 −(u2 +v2 )/2 η <x = e du dv F (x) = P ξ v<xu 2π Z ∞ Z 2 1 1 1 =2 re−r /2 dr dϕ = + arctan x. 2π − π2 <ϕ<arctan x 0 2 π 11
Ebben a sz´amol´ asban a fel´ırt integr´alt ´ at´ırtuk u = r cos ϕ, v = r sin ϕ transzform´aci´oval pol´ arkoordin´ atarendszerben. E sz´amol´ as sor´ an az integrandusban megjelenik az r Jacobian mint szorz´o faktor. hEzut´an azt uk ´eszre, hogy a bels˝ or i∞ vegy¨ R ∞ −r2 /2 −r 2 /2 = 1. v´ altoz´ o szerinti integr´al 0 re dr = −e 0
Kisz´amoltuk a keresett val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asf¨ uggv´eny´et. E val´ osz´ın˝ us´egi dF (x) v´ altoz´ o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye az eloszl´ asf¨ uggv´eny deriv´altja, azaz az f (x) = dx = 1 uggv´eny. π(1+x2 ) f¨ 2
2
1 −(x +y )/2 M´ asodik megold´ as. A (ξ, η) vektor s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye 2π e , ami forgat´ asinvari´ ans f¨ uggv´eny. Innen k¨ ovetkezik, hogy annak val´ osz´ın˝ us´ege, hogy a (ξ, η) vektor α . Ez´ert egy orig´ob´ ol kiindul´o α sz¨og˝ u sz¨ogtartom´anyba esik, 2π
P
h π hπ η < x = P (ξ, η) ∈ − , arctan x ∪ , arctan x + π sz¨ogtartom´anyban ξ 2 2 π 1 1 1 2 arctan x + = + arctan x. = 2π 2 2 π
1. kieg´ esz´ıt´ es. N´ eh´ any az eloszl´ asok konvergenci´ aj´ aval kapcsolatos eredm´ eny bizony´ıt´ asa. Az eloszl´ asban val´ o konvergencia k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o lehets´eges jellemz´es´er˝ ol sz´ ol´ o t´etel bizony´ıt´ asa. Tegy¨ uk fel el˝ osz¨ or azt, hogy az Fn eloszl´ asf¨ uggv´enyek eloszl´ asban konverg´ alnak egy F eloszl´ asf¨ uggv´enyhez, ´es tekints¨ unk egy folytonos ´es korl´ atos g(·) f¨ uggv´enyt a sz´amegyenesen. Ekkor a g f¨ uggv´eny folytonoss´aga ´es az F illetve Fn eloszl´ asf¨ uggv´enyek viselked´ese miatt ±∞ pontok k¨ R ornyezet´eben minden ε > 0 sz´amhoz l´etezik olyan el´eg nagy K = K(ε) > 0, amelyre u: |u|>K |g(u)| dFn (u) < ε minden n = 1, 2, . . . indexre, ´es ez az ´ all´ıt´ as ´erv´enyes akkor is, ha az Fn eloszl´ asf¨ uggv´enyt az F eloszl´ asf¨ uggv´ennyel helyettes´ıtj¨ uk. Tov´ abb´a a folytonos g(·) f¨ uggv´eny a [−K, K] intervallumban egyenletesen folytonos. Ennek az ´eszrev´etelnek ´es annak a t´enynek a seg´ıts´eg´evel, hogy lim Fn (x) = F (x) az F (·) minden folytonoss´agi pontj´aban be lehet l´atni, v´eve a n→∞
[−K, K] intervallumnak egy olyan el´eg finom feloszt´ as´at, amelynek az oszt´opontjai az F f¨ uggv´eny folytonoss´agi pontjai, hogy Z Z g(u) dF (u) − g(u) dF (u) < ε, n u: |u|≤K u: |u|≤K
ha n ≥ n0 (ε).
(E l´ep´esben kihaszn´aljuk azt, hogy egy monoton f¨ uggv´enynek csak megsz´ aml´alhat´ o sok szakad´ asi pontja van. Mi´ert?) Innen ε → 0 hat´ar´ atmenettel megkapjuk az (a) a´ll´ıt´ as bizony´ıt´ as´at. Megford´ıtva tegy¨ uk fel, hogy teljes¨ ul az (a) rel´ aci´o, ´es legyen x az F f¨ uggv´eny folytonoss´agi pontja. R¨ ogz´ıtve egy kis ε > 0 sz´amot defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o g ± (u) = ± gx,ε (u), −∞ < u < ∞, folytonos ´es korl´ atos f¨ uggv´enyeket: g + (u) = 0, ha u ≥ x + ε, g + (u) = 1, ha u ≤ x, g + (u) = x+ε−u , ha x ≤ u ≤ x + ε. Hasonl´ oan g − (u) = 0, ha ε 12
u ≥ x, g − u) = 1, ha u ≤ x − ε, g − (u) = all´ıt´ ´ ast kapjuk, hogy Z
x−u ε ,
ha x − ε ≤ u ≤ x. Alkalmazva az (a)
Z
− gε,x (u)F ( du)
− = lim gε,x (u)Fn ( du) ≤ lim inf Fn (x) n→∞ n→∞ Z Z + + ≤ lim sup Fn (x) ≤ lim gε,x (u)Fn ( du) = gε,x (u)F ( du) ≤ F (x + ε),
F (x − ε) ≤
n→∞
n→∞
´es v´eve az ε → 0 hat´ar´ atmenetet kapjuk, hogy lim Fn (x) = F (x), felt´eve, hogy az x n→∞ pont az F f¨ uggv´eny folytonoss´agi pontja. Annak bizony´ıt´ asa, hogy egy eloszl´ asf¨ uggv´enyt meghat´ aroz a karakterisztikus f¨ uggv´enye. Vegy¨ uk ´eszre, hogy Weierstrass m´ asodik approxim´ aci´os t´etel´eb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy tetsz˝oleges K > 0 ´es ε > 0 sz´amokra ´es a K sz´am szerint periodikus h(·) f¨ uggv´enyre igaz, n P hogy l´etezik olyan Pn (t) = aj e2πijt/K trigonometrikus polinom, amelyre teljes¨ ul j=−n
a
sup
|Pn (t) − h(t)| ≤ ε becsl´es. Integr´alva a h(·) ´es a Pn (·) f¨ uggv´enyt a F ´es G −∞
0 sz´amra igaz, ez´ert h(u)F ( du) = h(u)G( du). Tov´ abb´a, innen k¨ ovetkezik az is, hogy ha h(·) kompakt tart´oj´ u, folytonos f¨ uggv´eny, R R azaz ha l´etezik olyan A sz´am, amelyre h(u) = 0, ha |u| ≥ A, akkor h(u)F ( du) = h(u)G( du). Val´ oban, defini´aljuk minden K > A sz´amra azt a hK (·) f¨ uggv´enyt, amely a h(·) f¨ uggv´eny [−K, K] intervallumra vett megszor´ıt´ as´anak a 2K szerinti periodikus kiterjeszt´ese, R azaz hK (u) = h(u −R2lK), ahol l olyan eg´eRsz sz´am, amelyreR−K ≤ u < K. Ekkor h(u)F ( du) = lim hK (u)F ( du) = lim hK (u)G( du) = h(u)G( du). K→∞
K→∞
Legyenek −∞ < x < y < ∞ olyan sz´amok a sz´amegyenesen, amelyek folytonoss´agi pontjai mind az F mind a G eloszl´ asf¨ uggv´enynek. Bel´ atjuk a fenti rel´ aci´o seg´ıts´eg´evel, hogy F (y) − F (x) = G(y) − G(x). Val´ oban, r¨ogz´ıts¨ unk egy ε > 0 sz´amot, ´es defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o h(·) = hε (·)f¨ uggv´enyt: h(u) = 1, ha x ≤ u ≤ y, h(u) = 0, ha y + ε ≤ u vagy , ha y ≤ u ≤ y+ε, h(u) = u−x+ε , ha x−εR ≤ u ≤ x. Felhaszn´alva u ≤R x−ε, h(u) = y+ε−u εR ε ± ± az hε (u)F ( du) = hε (u)G( du) azonoss´agot, ´es azt hogy lim hε (u)F ( du) = F (y)− ε→0 R uggv´eny folytonoss´agi F (x), lim hε (u)G( du) = G(y) − G(x), ha x ´es y az F ´es G f¨ ε→0
pontjai, ε → 0 hat´ar´ atmenettel kapjuk az F (y) − F (x) = G(y) − G(x) azonoss´agot. Ez ut´ obbi azonoss´agot felhaszn´alva ´es alkalmazva az x → −∞ hat´ar´ atmenetet kapjuk, hogy F (y) = G(y), ha y mind az F (·) mind a G(·) eloszl´ asf¨ uggv´enynek folytonoss´ agi pontja. Mivel az F ´es G eloszl´ asf¨ uggv´enynek csak megsz´ aml´alhat´ o sok szakad´ asi pontja van, ´es mind a k´et f¨ uggv´eny balr´ol folytonos, innen k¨ ovetkezik, hogy az F ´es G eloszl´ asf¨ uggv´enyek megegyeznek.
13
2. kieg´ esz´ıt´ es. A Stirling formula ´ es annak egy ´ altal´ anos´ıt´ asa. A Stirling formula:
√
n! ∼
2πn
n n e
,
A Stirling formula bizony´ıt´ asa: El˝osz¨ or azt mutatom meg, hogy n! =
n n e
2π Rπ
−π
en(eit −1−it)
dt
.
(a)
Tekints¨ unk egy ξ Poisson eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot λ = n param´eterrel, azaz nk −n am´ıtsuk ki a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o legyen P (ξ = k) = k! e , k = 0, 1, 2, . . . . Sz´ itξ P (t) = Ee karakterisztikus f¨ uggv´eny´et. Ez a k¨ ovetkez˝ o Pn (t) Fourier sor: Pn (t) =
∞ X
P (ξ = k)eitk =
k=0
∞ X nk
k=0
k!
e−n+ikt = e−n
∞ X (neit )k
k=0
k!
it
= e−n+ne .
Innen, illetve a (∗) formul´ ab´ ol k = n v´ alaszt´ assal kapjuk, hogy Z π Z π it nn −n 1 1 −int P (ξ = n) = e = e Pn (t) dt = e−int−n+ne ) dt. n! 2π −π 2π −π Ez az azonoss´ag ekvivalens az (a) formul´ aval. Az (a) formula alapj´ an a Stirling formula bizony´ıt´ as´ahoz el´eg megmutatni azt, hogy √ Z π it n en(e −1−it) dt = 1, lim √ n→∞ 2π −π amit u ´gyis ´ırhatunk, hogy lim
n→∞
Rπ
it en(e −1−it) dt −π R∞ e−nt2 /2 dt −∞
= 1.
Viszont tekintve az eit f¨ uggv´eny Taylor sor´ at kapjuk, hogy 2 t nt2 it 3 n(e − 1 − it) = −n + α(t)t = − + β(t)n−1/8 , 2 2 alkalmas |α(t)| ≤ const. ´es |β(t)| ≤ const. egy¨ utthat´okkal, ha |t| ≤ n3/8 , ahonnan it 2 −1/8 2 en(e −1−it) = e−nt /2 eβ(t)n = e−nt /2 1 + γ(t)n−1/8 , |γ(t)| ≤ const, ha t ≤ n3/8 , ´es R n−3/8 n(eit −1−it) dt −3/8 e = 1. lim −n R −3/8 n n→∞ −nt2 /2 dt e −3/8 −n 14
Tov´ abb´a nem neh´ez bel´ atni, hogy
lim
n→∞
R n−3/8
2 e−nt /2 dt −n−3/8 R∞ e−nt2 /2 dt −∞
= 1,
R −n−3/8 n(eit −1−it) Rπ it ez´ert el´eg megmutatni, hogy az −π e dt ´es n−3/8 en(e −1−it) dt integr´alok el´eg kicsik. Ennek bizony´ıt´ as´ahoz jegyezz¨ uk viszont meg, hogy |ez | = eRe z tetsz˝oleges z komplex sz´amra, ahol Re z a z sz´am val´ os r´esz´et jel¨oli. Innen |en(e
it
−1−it)
| = en(cos t−1) ≤ e−const. n
1/4
,
ha n3/8 ≤ |t| ≤ π, ahonnan k¨ ovetkezik a k´ıv´ant becsl´es. A Stirling formula egy ´ altal´ anos´ıt´ asa. R ∞ t−1 −x Tekints¨ uk a Γ(t) = 0 x e dx, t > 0, u ´gynevezett Γ-f¨ uggv´enyt. Nem neh´ez parci´ alis integr´al´ assal bel´ atni, hogy Γ(t) = (t − 1)Γ(t − 1), t > 1, ´es Γ(1) = 1, Innen azt kapjuk, hogy Γ(n) = (n − 1)! pozit´ıv eg´esz n sz´amokra. Ez´ert a Γ(t) f¨ uggv´eny az (n − 1)! kifejez´es kiterjeszt´es´enek tekinthet˝ o pozit´ıv val´ os sz´amokra. Megmutatom, hogyan lehet a Stirling formula el˝ obb ismertetett bizony´ıt´ as´ahoz hasonl´o m´ odon a k¨ ovetkez˝ o j´ o aszimptotikus formul´ at bizony´ıtani a Γ(t) f¨ uggv´enyre nagy t ´ert´ekekre: Γ(t) ∼
p
2π(t − 1)
t−1 e
t−1
,
ha t → ∞.
(b)
Ez a formula t = n + 1 v´ alaszt´ assal speci´alis esetk´ent tartalmazza a Stirling formul´ at. Ebben a sz´amol´ asban Fourier sorok egy¨ utthat´oinak a Fourier sor seg´ıts´eg´evel val´ o a (∗) formul´ aban ismertetett kifejez´ese helyett a Fourier anal´ızis egy fontos eredm´eny´et, ezen formula folytonos megfelel˝ oj´et haszn´ aljuk. Ez lehet˝ ov´e teszi, hogy egy (sz´ep tulajdons´ag´ u) f¨ uggv´enyt kisz´ amoljunk a Fourier transzform´ altja seg´ıts´eg´evel. az integr´alhat´ o ´es folytonos f (x) f¨ uggv´eny Fourier transzform´ altja az f˜(u) = R ∞ Legyen iux ˜ e f (x) dx f¨ uggv´eny. Tegy¨ uk fel, hogy az f (u) f¨ uggv´eny szint´en integr´alhat´ o. −∞ Ekkor Z ∞ 1 f (x) = e−iux f˜(u) du (c) 2π −∞ 1 xt−1 e−x , ha x > 0 ´es γt (x) = 0, Ezt a (c) formul´ at fogjuk alkalmazni a γt (x) = Γ(t) ha x < 0 f¨ uggv´enyre t > 1 esetben. (A γt (x) f¨ uggv´enyt a a t param´eter˝ u Γ eloszl´ as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´enek h´ıvj´ ak az irodalomban.) Sz´ amoljuk ki a γt (x) f¨ uggv´eny γ˜t (u) Fourier transzform´ altj´ at. Azt kapjuk x ¯ = (1 − iu)x helyettes´ıt´essel, hogy
1 γ˜t (u) = Γ(t)
Z
0
∞
−x+iux t−1
e
x
1 1 dx = Γ(t) (1 − iu)t 15
Z
0
∞
e−¯x x ¯t−1 d¯ x=
1 . (1 − iu)t
Megjegyz´es: A fenti k´eplet alapj´ an γ˜s (u)˜ γt (u) = γ˜s+t u minden s > 0, t > 0 ´es val´ os u sz´amra, ami azt jelenti, hogy γs ∗ γt (x) = γs+t (x), ahol ∗ konvoluci´ ot jel¨ol. Ezt a rel´ aci´ot egy´ebk´ent a 8. t´ema 16. feladat´anak megold´ as´aban k¨ ozvetlen sz´amol´ assal is bebizony´ıtottuk. Az el˝ obb megfogalmazott eredm´eny azt sugallja, hogy nagy t param´eterre a γt s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny˝ u eloszl´ as, azaz a Γ eloszl´ as t param´eterrel k¨ ozel´ıt˝ oleg norm´ alis eloszl´ as´ u a megfelel˝ o param´eterekkel, s˝ot a γt (x) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny is j´ ol k¨ ozel´ıthet˝ o a megfelel˝ o param´eter˝ u norm´ alis s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´ennyel. Ez a gondolat van az al´ abbi sz´amol´ as h´atter´eben, ahol a γt (x) f¨ uggv´eny ´ert´ek´ere adunk j´ o k¨ ozel´ıt´est x = t v´ alaszt´assal. Az x = t v´ alaszt´ as az´ert term´eszetes, mert egy t param´eter˝ u Γ eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o v´ arhat´ o ´ert´eke t. Mivel a γ˜t (u) =
1 (1−iu)t
f¨ uggv´eny integr´alhat´ o t > 1 sz´amra Z ∞ 1 1 du e−iux γt (x) = 2π −∞ (1 − iu)t
a (c) formula alapj´ an. Speci´alisan x = t v´ alaszt´ assal Z ∞ 1 e−t tt−1 1 = du, e−iut Γ(t) 2π −∞ (1 − iu)t azaz t−1 t−1 1 t−1 1 2π R∞ Γ(t) = 1+ 1 −iut e e t−1 e (1−iu)t du −∞ √ t−1 t−1 p 2π t−1 1 1 R∞ . = 2π(t − 1) · 1+ ·√ 1 −iut e e t−1 t − 1 −∞ e (1−iu)t du
Ezen formula seg´ıts´eg´evel fogjuk bizony´ıtani a (b) rel´ aci´ot. t 1 Tudjuk, hogy lim 1e 1 + t−1 = 1. Ez´ert a (b) rel´ aci´o bizony´ıt´ as´ahoz el´eg megt→∞ √ R∞ R ∞ −tu2 /2 R ∞ −tu2 /2 1 √2π ∼ mutatni, hogy −∞ e−iut (1−iu) e du, mert e du = t du ∼ −∞ −∞ t √ √ 2π , t−1
ha t → ∞. R∞ R ∞ −tu2 /2 1 Az −∞ e−iut (1−iu) e du rel´ aci´o bizony´ıt´ asa ´erdek´eben vegy¨ uk t du ∼ −∞ 1 −iut ´eszre, hogy a becs¨ ulend˝o integr´al integrandusa fel´ırhat´ o e (1−iu)t = exp{t(−iu − 2 3 log(1 − iu))} = exp{−tu /2 + O(tu )} alakban kis u ´ert´ekekre. Alkalmazva ezt a rel´ aci´ot p´eld´aul |u| < t−3/8 ´ert´ekekre, amikor tu3 = O(t−1/8 ), azt kapjuk hogy, t → ∞ eset´en Z t−3/8 Z ∞ Z t−3/8 2 1 −iut −tu2 /2 e e du ∼ e−tu /2 du. (d) du ∼ t (1 − iu) −t−3/8 −t−3/8 −∞ 1 1 Megmutatom ezen azonoss´ag seg´ıts´eg´evel, M´asr´eszt e−iut (1−iu) t = (1+u2 )t/2 . hogy Z Z 1 1 du = o(t−1/2 ), (e) du e−iut ≤ t 2 )t/2 u: |u|>t−3/8 (1 − iu) (1 + u −3/8 u: |u|>t 16
ha t → ∞. A (d) ´es (e) becsl´esekb˝ol k¨ ovetkezik a k´ıv´ant ´ all´ıt´ as. Viszont Z Z 1 du ≤ u−t du ≤ 2−t = o(t−1/2 ), 2 t/2 u: |u|>2 u: |u|>2 (1 + u ) ´es
Z
u: t−3/8 <|u|<2
1 du ≤ (1 + u2 )t/2
Z
2
e−tu
/1000
du = o(t−1/2 ),
u: |u|>t−3/8
´es ezen becsl´esekb˝ol k¨ ovetkezik az (e) rel´ aci´o. 3. kieg´ esz´ıt´ es. Az Alapt´ etel bizony´ıt´ as´ anak legfontosabb l´ ep´ ese. Az Alapt´etel neh´ez ´es sz´amunkra ´erdekes r´esze az el´egs´egess´eg bizony´ıt´ asa, azaz anasa, hogy ha valamely Fn (x), n = 1, 2, . . . , eloszl´ asf¨ uggv´enyek ϕn (t) = Rnakitxmegmutat´ e Fn ( dx), −∞ < t < ∞ karakterisztikus f¨ uggv´enyei minden t pontban konverg´ alnak egy az orig´oban folytonos ϕ0 (t) f¨ uggv´enyhez, akkor ϕ0 (·) egy F0 eloszl´ asf¨ uggv´eny karakterisztikus f¨ uggv´enye, ´es az Fn eloszl´ asf¨ uggv´enyek ehhez az F0 eloszl´ asf¨ uggv´enyhez konverg´alnak. Ezt az ´ all´ıt´ ast viszonylag egyszer˝ u reduk´ alni a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asra: Az Fn (·) eloszl´asf¨ uggv´enyek ϕn (·) karakterisztikus f¨ uggv´enyeire tett felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en ezek az eloszl´ asf¨ uggv´enyek relat´ıve kompaktak, azaz tetsz˝oleges Fnk r´eszsorozatuknak l´etezik eloszl´ asban konvergens Fnkj r´eszsorozata. Ugyanis nem neh´ez bel´ atni, hogy az Fnkj r´eszsorozatok (f¨ uggetlen¨ ul az nkj indexsorozat v´ alaszt´ at´ ol) ahhoz az F0 eloszl´ asf¨ uggv´enyhez konverg´ alnak, amelyiknek ϕ0 (t) a karakterisztikus f¨ uggv´enye. Itt azt az egyszer˝ uen igazolhat´o t´enyt haszn´ aljuk ki, hogy az eloszl´ asok konvergenci´ aj´ab´ ol k¨ ovetkezik azok karakterisztikus f¨ uggv´enyeinek a konvergenci´ aja a hat´areloszl´as karakterisztikus f¨ uggv´eny´ehez. Ezenk´ıv¨ ul l´attuk az 1. kieg´esz´ıt´es eredm´eny´eben, hogy egy eloszl´ asf¨ uggv´enyt meghat´ aroz annak karakterisztikus f¨ uggv´enye. A f˝ o probl´ema teh´at annak vizsg´alata, hogy hogyan lehet eld¨onteni azt, hogy mikor relative kompakt eloszl´ asf¨ uggv´enyek egy sorozata. E probl´ema vizsg´alata kapcs´an vezett´ek be az al´ abbi fogalmat ´es bizony´ıtott´ ak be az ut´ ana megfogalmazott eredm´enyt. Eloszl´ asf¨ uggv´ enyek feszess´ eg´ enek a definici´ oja. Az Fn (x) eloszl´ asf¨ uggv´enyek sorozata feszes, ha tetsz˝ oleges ε > 0 sz´ amra l´etezik olyan K = K(ε) sz´ am, hogy [1 − Fn (K)] + Fn (−K) ≤ ε minden n = 1, 2, . . . indexre. T´ etel eloszl´ asok relat´ıv kompakts´ ag´ anak ´ es feszess´ eg´ enek kapcsolat´ ar´ ol. Legyen Fn (·), n = 1, 2, . . . , eloszl´ asf¨ uggv´enyek feszes sorozata a sz´ amegyenesen. Ez az eloszl´ asf¨ uggv´eny sorozat relat´ıve kompakt. 1. megjegyz´es. Igaz a t´etel megford´ıt´ asa is, amely szerint eloszl´ asf¨ uggv´enyek sorozat´anak relat´ıv kompakts´ag´ ab´ ol k¨ ovetkezik e sorozat feszess´ege is. Ennek az a´ll´ıt´ asnak a bizony´ıt´ asa l´enyegesen egyszer˝ ubb. De mivel erre az eredm´enyre nem lesz sz¨ uks´eg¨ unk, ezt nem bizony´ıtom. 2. megjegyz´es. Nem neh´ez bel´ atni, hogy adva egy F (x) eloszl´ asf¨ uggv´eny minden ε > 0 sz´amhoz l´etezik olyan K = K(ε) k¨ usz¨ obindex, amelyre [1 − F (K)] + F (−K) ≤ ε. 17
Eloszl´asf¨ uggv´enyek sorozat´anak a feszess´ege azt jelenti, hogy Fn (·) eloszl´ asf¨ uggv´enyek egy sorozat´ara a K = K(ε) k¨ usz¨ obindex megv´ alaszthat´o az n indext˝ ol f¨ uggetlen¨ ul u ´gy, hogy az [1 − Fn (K)] + Fn (−K) ≤ ε egyenl˝otlens´eg egyszerre teljes¨ ulj¨on mindegyik Fn (·) eloszl´ asf¨ uggv´enyre. Bizony´ıt´ asv´ azlat a t´etelre. R¨ ogz´ıts¨ unk egy megsz´ aml´alhat´ o minden¨ utt s˝ ur˝ u xp , p = 1, 2, . . . , halmazt a sz´amegyenesen. Egy ´ atl´ os elj´ar´ assal (hasonl´oan az Arzela–Ascoli t´etel bizony´ıt´ as´ahoz) az eloszl´ asf¨ uggv´enyek tetsz˝oleges Fnk r´eszsorozat´anak ki tudjuk v´ alasztni egy olyan Fnkj , j = 1, 2, . . . r´eszsorozat´at, amelyre l´etezik az Fˆ0 (xp ) = lim Fnkj (xp ) hat´ar´ert´ek minden p = 1, 2, . . . indexre. Defini´ aljuk az j→∞
F0 (x) =
lim
xp →x, xp >0
Fˆ0 (xp )
f¨ uggv´enyt minden x val´ os sz´amra, ahol a limeszben tetsz˝oleges x-n´el nagyobb sz´amokb´ ol all´ ´ o az x sz´amhoz konverg´al´ o xp sz´amsorozatot tekint¨ unk. Az Fn (x) f¨ uggv´eny, illetve ˆ az xp sz´amok halmaz´ an defini´alt F0 (x) f¨ uggv´eny monoton´ıt´ as´ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy ez a definici´ o ´ertelmes, az F0 (x) f¨ uggv´eny ´ert´eke nem f¨ ugg az xp sorozat v´ alaszt´ as´at´ ol. N´emi munk´ aval az is ellen˝ orizhet˝o, hogy F0 (x) eloszl´ asf¨ uggv´eny. (Itt kell kihaszn´ alni az Fn (x) eloszl´ asf¨ uggv´enysorozat feszess´eg´et.) Tov´ abb´a az is igazolhat´o, hogy F0 (x) = lim Fnkj (x) az F0 (·) f¨ uggv´eny minden folytonoss´agi pontj´aban. Ezen a´ll´ıt´ asokb´ol j→∞
k¨ ovetkezik a t´etel eredm´enye. A fenti t´etel eredm´enye az´ert nem elegend˝ o c´eljainkra, mert eloszl´asf¨ uggv´enyek feszess´eg´et neh´ez k¨ ozvetlen¨ ul ellen˝ orizni. Ez´ert hasznos a k¨ ovetkez˝ o t´etel. T´ etel eloszl´ asf¨ uggv´ enyek feszess´ eg´ enek biztos´ıt´ as´ ar´ ol a karakterisztikus f¨ uggv´ eny tulajdons´ agai alapj´ an. Legyen adva eloszl´ asf¨ uggv´enyek Fn (x), sorozata ϕn (t) karakterisztikus f¨ uggv´enyekkel a sz´ amegyenesen, n = 1, 2, . . . . Ha teljes¨ ul a Z δ 1 Re (1 − ϕn (t)) dt = 0 (1) lim lim sup δ→0 n→∞ 2δ −δ rel´ aci´ o, ahol Re z a z komplex sz´ am val´ os r´esz´et jel¨ oli, akkor az Fn (x) eloszl´ asf¨ uggv´enyek sorozata feszes. K¨ ovetkezm´ eny. Ha az Fn (x) eloszl´ asf¨ uggv´enyek ϕn (t) karakterisztikus f¨ uggv´enyei egy a nulla pontban folytonos ϕ0 (t) f¨ uggv´enyhez konverg´ alnak az orig´ o egy kis k¨ ornyezet´eben, akkor feszesek. A k¨ ovetkezm´eny bizony´ıt´ asa. Mivel ϕ0 (0) = lim ϕn (0) = 1, ez´ert a ϕ0 (t) f¨ uggv´eny n→∞ folytonoss´ag´ ab´ ol az orig´oban k¨ ovetkezik, hogy minden ε > 0 sz´amhoz l´etezik olyan δ0 = δ0 (ε) sz´am, amelyre 0 ≤ Re (1 − ϕ0 (t)) ≤ ε, ha |t| < δ0 . Tov´ abb´a 0 ≤ Re (1 − ϕn (t)) ≤ 2 minden n ´es t sz´amra, ´es lim Re (1 − ϕn (t)) = Re (1 − ϕ0 (t)) az orig´o egy n→∞ kis k¨ ornyezet´eben. Ez´ert a Lebesgue t´etel alapj´ an l´etezik a Z Z δ 1 δ 1 lim Re (1 − ϕn (t)) dt = Re (1 − ϕ0 (t) dt ≤ ε n→∞ 2δ −δ 2δ −δ 18
hat´ar´ert´ek minden δ < δ0 sz´amra. Ez azt jelenti, hogy teljes¨ ul a (1) felt´etel, ´es a fenti t´etel alapj´ an az Fn (x) f¨ uggv´enyek feszesek ebben az esetben. Megjegyz´es. Be lehet l´atni, hogy az (1) formul´ aban megfogalmazott felt´etel nemcsak el´egs´eges, hanem ugyanakkor sz¨ uks´eges felt´etele is annak, hogy az Fn eloszl´ asf¨ uggv´enyek feszesek legyenek. Erre a t´enyre azonban nem lesz sz¨ uks´eg¨ unk. A t´etel bizony´ıt´ asa. R¨ ogz´ıts¨ unk egy tetsz˝oleges K > 0 sz´amot, ´es ´ırjuk fel a k¨ ovetkez˝ o azonoss´agot: 1 2δ
Z
δ
−δ
Re [1 − ϕn (t)] dt =
Z
δ
−δ
1 2δ
Z
∞
−∞
[1 − cos tx] dFn (x) dt
t=δ Z δ Z ∞ sin tx t 1 dFn (x) − [1 − cos tx] dt dFn (x) = = 2δx t=−δ −∞ 2δ −∞ 2δ −δ Z K Z ∞ sin δx sin δx 1− dFn (x) = dFn (x) 1− = δx δx −K −∞ Z sin δx δ δ 1− + dFn (x) = I1,n (K) + I2,n (K). δx |x|>K Z
∞
(2)
Mivel 1 − sinδxδx ≥ 0 minden x-re ´es δ-ra, ez´ert a (2) formula baloldala fels˝o becsl´est δ (K) kifejez´esre tetsz˝oleges δ > 0 n ≥ 1 ´es K > 0 sz´amokra. Ez´ert az (1) ad az I2,n formula alapj´ an tetsz˝oleges εR> 0 sz´amhoz l´etezik olyan δ = δ(ε) > 0 sz´am ´es n0 = n0 (δ) sin δx ε k¨ usz¨ obindex, amelyekre 2 ≥ |x|>K 1 − δx dFn (x), ha n ≥ n0 , ´es K > 0 tetsz˝oleges.
Legyen K = 2δ . Akkor minden |x| ≥ K sz´amra 1 − sinδxδx ≥ 12 . Ez´ert az el˝ oz˝ o becsl´esb˝ ol R ε 1 sin δx k¨ ovetkezik, hogy 2 ≥ |x|>K 1 − δx dFn (x) ≥ 2 [(1 − Fn (K)) + Fn (−K)], azaz ε ≥ [(1 − Fn (K)) + Fn (−K)] ezzel a K sz´ammal, ha n ≥ n0 . A K > 0 sz´am esetleges megn¨ovel´es´evel el´erhetj¨ uk, hogy a fenti egyenl˝otlens´eg minden n ≥ 1 sz´amra ´erv´enyes legyen. Teh´ at az Fn , n = 1, 2, . . . , eloszl´ asf¨ uggv´enyek feszesek.
A fenti t´etel, illetve annak k¨ ovetkezm´enye alapj´ an, ha eloszl´ asf¨ uggv´enyek egy sorozata teljes´ıti az Alapt´etel felt´eteleit, akkor az feszes. Ekkor viszont e Kieg´esz´ıt´es m´ asik t´etele alapj´ an egy ilyen sorozat relat´ıve kompakt, ´es ezt akartuk igazolni. Az el˝ oad´asban tekintett¨ unk egy olyan p´eld´at, amelyben az eloszl´ assorozatban defini´alt eloszl´ asok karakterisztikus f¨ uggv´enyei az orig´oban nem folytonos f¨ uggv´enyhez konverg´ altak. Ebben a p´eld´aban az eloszl´ asf¨ uggv´enyek sorozata nem volt feszes. 4. kieg´ esz´ıt´ es. A karakterisztikus f¨ uggv´ eny m´ odszer egy sz´ amelm´ eleti alkalmaz´ asa. A k¨ ovetkez˝ o eredm´eny bizony´ıt´ as´at ismertetem. T´ etel irracion´ alis sz´ am t¨ obbsz¨ or¨ oseinek eloszl´ as´ ar´ ol modul´ o 1. Legyen α irracion´ alis sz´ am. R¨ ogz´ıts¨ unk egy [a, b] ⊂ [0, 1] intervallumot, ´es tekints¨ uk minden n pozit´ıv eg´esz sz´ amra a kα modul´ o 1, 1 ≤ k ≤ n, sorozatot, illetve e sorozat [a, b] intervallumba ag´ at, ahol #A egy A es˝ o pontjainak n1 #{k: {kα} ∈ [a, b], 1 ≤ k ≤ n} relat´ıv gyakoris´ 19
halmaz elemeinek sz´ am´ at jel¨ oli, {x} pedig egy x sz´ am t¨ ort r´esz´et. Ez a relat´ıv gyakoris´ ag tetsz˝ oleges [a, b] ⊂ [0, 1] intevallumra konverg´ al az [a, b] intervallum b − a hossz´ ahoz, ha n → ∞. Bizony´ıt´ as. Az ´ all´ıt´ as ´ atfogalmazhat´ o a k¨ ovetkez˝ o m´ odon. Defini´ aljuk minden n sz´amra a k¨ ovetkez˝ o µn val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´eket: A µn m´ert´ek a kα (mod 1), 1 ≤ k ≤ n, pontokba van koncentr´ alva, ´es minden ilyen kα (mod 1) pont µn m´ert´eke n1 . Ekkor a t´etel a´ll´ıt´ asa ekvivalens azzal, hogy a µn m´ert´eksorozat eloszl´ asban konverg´al a [0, 1] intervallumban f (x) ≡ 1 s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´ennyel rendelkez˝ o µ0 egyenletes eloszl´ ashoz. A karakterisztikus f¨ uggv´eny m´ odszer, pontosabban annak a [0, 1] mod 1 csoportra megfogalmazott v´ altozata azt mondja ki, hogy µn val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek egy sorozat´anak eloszl´ asban val´ aja egy osz´ın˝ us´egi m´ert´ekhez ekvivalens azzal, Ro konvergenci´ R µ0 val´ hogy teljes¨ ul a lim e2πijx µn ( dx) = e2πijx µ0 ( dx) rel´ aci´o minden j = 0, ±1, ±2, . . . n→∞ √ oj´aban ez az ekvivalencia k¨ ovetkezik Weierstrass eg´esz sz´amra, ahol i = −1. Val´ m´ asodik approxim´ aci´os t´etel´eb˝ ol, ´es az eloszl´ asban val´ o konvergencia k¨ ovetkez˝ o jellemz´es´eb˝ ol: Tekints¨ uk a [0, 1] mod 1 egys´egk¨ ort, ´es azon µn , n = 0, 1, 2, . . . , val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekeket. A µn m´ert´eRkek akkor ´es csakRakkor konverg´alnak eloszl´ asban a µ0 m´ert´ekhez n → ∞ eset´en, ha lim f (x)µn ( dx) = f (x)µ0 ( dx) minden az egys´egk¨ or¨ on folytonos n→∞
(´es ez´ert korl´ atos) f (x) f¨ uggv´enyre. (Olyan f¨ uggv´enyeket tekint¨ unk, amelyekre f (1) = f (0).) Viszont a t´etel bizony´ıt´ ahoz sz¨ uks´egesRlimesz rel´ aci´okat k¨ onnyen ellen˝ orizhetj¨ uk Ras´ 1 2πijx 2πijx µ0 ( dx) = 0 e az adott esetben. Val´ oban e dx = 0, ha j 6= 0, ´es Z
n
e
2πijx
1 X 2πijkα e2πi(n+1)jα − e2πijα µn ( dx) = → 0, e = n n(e2πijα − 1) k=1
2πi(n+1)jα 2πijα ha n → ∞, ´es j 6= 0, mert e n(e2πijα−e ≤ −1)
2 n(1−cos 2πjα) ,
´es 1−cos 2πjα > 0 minden
jR = 6 0 eg´esz Rsz´amra, ha α irracion´ alis sz´am. M´asr´eszt a j = 0 indexre e2πijx = 1, ´es µn ( dx) = µ0 ( dx) = 1 minden n = 1, 2, . . . sz´amra. Feladat:
Legyen α1 , . . . , αk k irracion´ alis sz´am, amelyek kieg´esz´ıtve az α0 = 1 sz´ammal k P line´arisan f¨ uggetlenek a racion´alis sz´amok teste felett, azaz az r0 + rj αj = 0 j=1
rel´ aci´o racion´alis rj , 0 ≤ j ≤ k, sz´amokkal csak akkor teljes¨ ul, ha rj = 0 minden 0 ≤ k Q j ≤ k indexre. R¨ ogz´ıts¨ unk egy B = [aj , bj ] ⊂ [0, 1]k a k-dimenzi´os egys´egkocka j=1
´ltal tartalmazott t´eglatestet, ´es tekints¨ a uk minden n pozit´ıv eg´esz sz´amra azon l sz´amok relat´ıv gyakoris´ ag´ at az 1 ≤ l ≤ n eg´esz sz´amok k¨ oz¨ ott, amelyekre az (lα1 mod 1, . . . , lαk mod 1) vektor beleesik a B t´eglatestbe. L´ assuk be, hogy ez a relat´ıv gyakoris´ ag tart a B t´eglatest t´erfogat´ ahoz, ha n → ∞.
20
