A repülési háromszögekről. Egy repülőgép sebessége megmérhető az alábbi módon is ld. 1. ábra

A repülési háromszögekről I. Sebességmérés repülőgépen, stopperórával Egy repülőgép sebessége megmérhető az alábbi módon is – ld. 1. ábra.

1. ábra Az ábra forrása: [ 1 ]. Sík terepen kijelölünk egy ABC háromszöget, majd állandó motorteljesítmény mellett végigrepülünk az oldalai mentén, és megmérjük az ismert l1, l2, l3 hosszúságú oldalak megtételéhez szükséges t1, t2, t3 időtartamokat – ld. az 1. ábra bal oldali részét. Ezekkel képezhetjük a l l l v1  1 , v 2  2 , v3  3 (1) t1 t2 t3 sebesség - nagyságokat. A háromszög oldalaival már a szögei is rögzítettek, hiszen a három oldal a háromszöget teljesen meghatározza. A feladat: adott vi ( i = 1, 2, 3 ) sebességvektorok esetén meghatározandó ~ a szél vL sebessége – nagyság és irány szerint – , valamint ~ a repülőgép vR saját - , azaz az áramló levegőhöz képest mért sebességének vR nagysága. A feladat megoldható szerkesztéssel és számítással is. A megoldás mozgástani lényege az alábbi. Szélcsendben a repülőgép sebességének nagysága ( 1 ) szerint közvetlenül adódna. Ha fúj a szél, ahogy az szinte mindig fennáll, akkor a repülőgép vR sebességét úgy kapjuk, hogy a szél vL és a repülőgép szélhez viszonyított vRi sebességét vektoriálisan összegezzük. Képletben: vi= vL + vRi. (2)

2

Az 1. ábra jobb oldali részén éppen ilyen összegzéseket láthatunk, éppen háromszor, az i = 1, 2, 3 - nak megfelelően. A szerkesztést az alábbi lépésekben végezzük. 1. Egy tetszőlegesen felvett O közös kezdőpontból felhordjuk a vi vektorokat, egy alkalmasan választott rajzi sebesség - mérték felvétele után. Ezt megtehetjük, hiszen a vektorok nagysága / hossza ( 1 ) szerint már ismert, iránya pedig a megfelelő háromszög - oldal irányával egyező. 2. Az előbb felhordott vektorok I., II., III. csúcsait egyenes szakaszokkal összekötjük, majd az így előállt háromszög köré kört írunk. Ennek módja – ahogy az ábra is mutatja – : két oldalfelező merőleges metszéspontjával a kör Ŏ középpontjának kijelölése, majd innen bármelyik vektor csúcsáig vett körzőnyílással kör rajzolása. 3. Leolvassuk az eredményeket: ~ vL = OŎ; ~ vR = vR1 = vR2 = vR3 . Az eredmények indoklása / értelmezése: ~ feltettük, hogy a szél sebessége az egész mérés során állandó nagyságú és irányú; ~ az állandó értéken tartott motorteljesítmény kikötése pedig azt jelenti, hogy a repülőgép az áramló levegőhöz képest állandó sebességgel halad, az egész mérés folyamán; ~ az 1. ábra jobb oldali részén leolvasható, hogy a szerkesztés a ( 2 ) szerinti vektor háromszögeket szolgáltatja, melyekből a sebesség - mérték segítségével vesszük le a számszerű eredményeket. Ezzel a feladatot szerkesztéssel megoldottuk. A számításos megoldást az elemi trigonometria / algebra alkalmazására alapozzuk. A számítás során használt összefüggések és jelölések követését segíti a 2. ábra. Az 1. ábrán közölt adatokkal, ( 1 ) szerint: l 14, 6 km s v1  1   3600  166, 3 km / h; (3) t1 316 s h l 20,1 km s v2  2   3600  100,9 km / h; (4) t2 717 s h l 22, 6 km s v3  3   3600  150,9 km / h. (5) t3 539 s h Most a 2. ábra alsó ábrarészének megfelelően, koszinusz - tétellel:

l12  l22  l32  2  l2  l3  cos  '; innen

(6)

3

2. ábra

4

l22  l32  l12 cos  '  . 2  l 2  l3

(7)

Behelyettesítve a számértékeket: 20,12  22, 62 14, 62 cos  '   0, 7723, 2  20,1 22, 6 innen

 '  39, 4. Hasonlóképpen: l 22  l12  l32  2  l1  l3  cos  '; innen l2  l32  l22 cos  '  1 , 2  l1  l3

(8)

(9)

( 10 )

14, 62  22, 62  20,12 cos  '   0, 4848, 2 14, 6  22, 6 ahonnan

 '  61,0.

( 11 )

Még egyszer:

l32  l12  l22  2  l1  l 2  cos  ';

( 12 )

l12  l22  l32 cos  '  , 2  l1  l2

( 13 )

cos  ' 

14, 62  20,12  22, 62  0,1813, 2 14, 6  20,1

 '  79,6.

( 14 )

Ellenőrzés:

 '  '  '  180 ?

39, 4  61, 0   79, 6  180 . ☺ Most számítsuk ki az A, B, C oldalak hosszát! A 2. ábra alapján:

A  v12  v 22  2v1  v 2  cos  ; figyelembe véve, hogy

( 15 )

5

cos   cos( 180   ' )   cos  ',

( 16 )

( 15 ) és ( 16 ) - tal:

A  v12  v 22  2v1  v 2  cos  '. Számszerűen:

( 17 )

A  166, 3 2  100, 9 2  2  166, 3  100, 9  0,1813 km / h  209, 6 km / h ,

A  209, 6 km / h.

( 18 )

Hasonlóképpen:

B  v 22  v32  2  v2  v3  cos  ';

( 19 )

B  100,9 2  150,92  2 100,9  150,9  0, 7723 km / h  237, 6 km / h , B  237,6 km / h. ( 20 ) Végül:

C  v12  v 32  2  v1  v3  cos  ';

( 21 )

C  166,32  150,92  2 166,3 150,9  0, 4848 km / h  273, 4 km / h , C  273, 4 km / h. ( 22 ) Most határozzuk meg a repülőgép saját, azaz az áramló levegőhöz viszonyított sebességének vR nagyságát: az I., II., III háromszög köré írható kör sugarát! Ennek képlete – ld.: [ 2 ] – : A  B C R , ( 23 / 1 ) 4T ahol T  SS  A S  BS  C, ( 23 / 2 ) és

1 S   A  B  C. 2

( 23 / 3 )

Behelyettesítve: a ( 23 / 3), ( 23 / 2 ), majd a ( 23 / 1 ) képletekkel 1 1 S    A  B  C    209, 6  237, 6  273, 4 km / h  360,3 km / h, 2 2 S  A  360,3  209, 6 km/h = 150,7 km/h ,

S  B  360,3  237, 6 km/h = 122,7 km/h ;

S  C  360,3  273, 4 km/h = 86,9 km/h.

6

T  360,3 150,7 122,7  86,9  24061, 4 km/h  ; 2

209, 6  237,6  273, 4 km/h  141,5 km/h  v R ; 4  24061, 4 v R  141,5 km/h.

R

( 24 )

Tehát a repülőgép saját sebességének nagysága mintegy 142 km / h. Ez a végeredmény megegyezik az 1. ábrán közölt eredménnyel. Most határozzuk meg a szélsebesség vL nagyságát és v1-hez képest az irányát! A 2. ábra szerint: ~ először koszinusz-tétellel:

vL  vR2  v12  2  vR  v1  cos  ;

( 25 )

~ majd szinusz-tétellel: sin  v R  , és innen sin  v L

v    arcsin  R  sin  .  vL 

( 26 )

A ( 25 ) és ( 26 ) képletekben szereplő µ paramétert az alábbiak szerint is meghatározhatjuk, a 2. ábra szerinti jelölésekkel. Először kiszámítjuk az *, *,  * segédszögeket:

B , innen pedig 2  vR B *  arcsin . 2  vR sin * 

( 27 )

Számszerűen:

*  arcsin

237, 6  57,1 ; 2 141,5

*  57,1.

( 28 )

Hasonlóan:

sin * 

A , 2  vR

majd

*  arcsin

A . 2  vR

( 29 )

7

*  arcsin

209, 6  47,8 ; 2 141,5

*  47,8.

( 30 )

Végül:

C , 2  vR C *  arcsin . 2  vR

sin * 

*  arcsin

( 31 )

273, 4  75, 0 ; 2 141,5

*  75, 0.

( 32 )

Ellenőrzés:

 *   *  *  180 ?,

57,1  47,8  75, 0  179,9  180. ☺ Ezután:

  1C  90   *;

( 33 )

 ehhez az 1C  3C    180 egyenlet szerint kapjuk, hogy

1C  180    3C   '  3C ;

( 34 )

ehhez az

 3C   3B   * egyenlet szerint kapjuk, hogy

3C   * 3B ;

( 35 )

ehhez az

 2B   3B    180 egyenlet szerint kapjuk, hogy  3B  180    2B   '  2B ; ehhez a

v 32  v 22  B 2  2  v 2  B  cos  2B egyenletből adódó

( 36 )

8

v 22  B2  v 32 cos  2B  egyenlet szerint 2  v2  B

v 22  B2  v32  2B  arccos . 2  v2  B

( 37 )

Visszafelé haladva: ( 37 ) - ből:

100,92  237,62 150,92  2B  arccos  23,8 ; 2 100,9  237,6 2B  23,8.

( 38 )

Most ( 8 ), ( 36 ) és ( 38 ) szerint:  3B   '  2B  39, 4  23,8  15,6 ;

3B  15, 6.

( 39 )

Ezután ( 30 ), ( 35 ) és ( 39 ) képletekkel:

 3C   *   3B  47,8  15, 6   32, 2 ;

3C  32, 2.

( 40 )

Majd a ( 11 ), ( 34 ) és ( 40 ) képletekkel:

1C   '3C  61,0  32, 2  28,8 ; 1C  28,8.

( 41 )

Végül a ( 32 ), ( 33 ) és ( 41 ) képletekkel:   1C   * 90  28,8  75, 0  90  13,8 ;

  13,8.

( 42 )

Most a ( 25 ) képlettel:

vL  vR2  v12  2  v R  v1  cos    141,52  166,32  2 141,5 166,3  cos13,8 km/h  44, 4 km/h; v L  44, 4 km/h. Tehát a szél sebességének nagysága mintegy 44 km / h. Ez a végeredmény jól egyezik az 1. ábrán közölt eredménnyel.

( 43 )

9

Most ( 26 ) szerint:

v  141,5    arcsin  R  sin    arcsin   sin13,8   49,5 ;  44, 4  vL  

  49,5.

( 44 )

Ez az eredmény elfogadhatóan egyezik az ábráról lemérhető hajlásszöggel. Megjegyzések: M1. A számítás másképpen is berendezhető. Javasoljuk, hogy az Olvasó állítsa fel a szerkesztést követő koordináta - geometriai , ill. vektoralgebrai összefüggéseket, majd ezekkel számszerűen határozza meg és az előzőekkel hasonlítsa össze az eredményeket! M2. A szerkesztéssel nyert eredmények pontossága nyilván kisebb, mint a számítással kapott eredményeké. Így történhet meg az, hogy a ( 44 ) szerinti, és az ábráról lemérhető megfelelő eredmények mintegy két fokkal eltérnek egymástól. M3. Az imént tárgyalt sebességmérési mód inkább csak elvi jelentőségű, hiszen a repülőgépek fedélzeti műszereivel másképpen / többféleképpen is meghatározható a gép saját sebessége. Azonban nem feledkezhetünk meg arról a lehetőségről sem, amikor a fedélzeti műszerek működésképtelenek. Ekkor egy térkép és egy stopperóra nagy szolgálatot tehet. M4. A fenti sebességmérési mód egyik alapfeltétele – a szélsebesség nagyságának és irányának állandó volta – a gyakorlatban ritkán teljesül. Emiatt is csak közelítő pontosságúak az így kapott eredmények. A mérések számának növelése és az adatok matematikai statisztikai feldolgozása / kiértékelése növelheti a valódi értékekhez közelebb álló eredmények meghatározásának esélyét.

II. A szélháromszög A.) [ 3 ] - ban az alábbiakat olvashatjuk. „ Szélcsendben elméletileg az útirányszög megfelel a repülés irányszögének. Szél esetén a légtömegek és vele együtt a repülőgép vízszintes irányban elmozdul. Hátszél esetén a repülést segíti, szembeszél esetén nehezíti azt, míg oldalirányú fúvása esetén a gépet az útvonalról letéríteni szándékozik. Hogy ez a szélsodrás ne következzen be, repülőgépünk hossztengelyét olyan szögbe kell a széllel szembe beállítani ( a szélre rátartani ), hogy az mindig a kijelölt útvonal felett haladjon. A repülőgép mozgása így az útirányt tekintve mindig oldalazó.” A szélháromszög tehát nem egyéb, mint az I. pontban is emlegetett sebességi háromszög; azt mutatja, hogy a repülőgép földhöz viszonyított sebessége az áramló levegő ( a szél ) sebességének és a gép szélhez képesti sebességének a vektoriális összege.

10

B.) Most tekintsünk egy navigációs problémát! Jelölések: v: a gép levegőhöz viszonyított sebessége; v’: a gép földhöz viszonyított sebessége; u: a negatív szélsebesség; N, O, S, W: Észak, Kelet, Dél, Nyugat; α: a negatív szél irányszöge; β’: a tényleges útirányszög; β: a tényleges géptengely irány.

Forrása: [ 4 ] 3. ábra Adott: u, v, α, β’. Keresett: β, v’. Megoldás: Először: rajzoljuk meg a megfelelő sebességi vektorháromszöget – ld. 5. ábra!

5. ábra

11

Másodszor: számítsuk ki a β szög értékét! Az 5. ábra szerint:

d  u  sin    '  v  sin    '.

( 45 )

Innen:

u     ' arcsin   sin    ' .  v 

( 46 )

Harmadszor: számítsuk ki a v’ sebesség - nagyságot! Például koszinusz - tétellel:

v '  u 2  v 2  2  u  v  cos   .

( 47 )

Ezzel a feladatot megoldottuk. C.) Egy internetes oldalon [ 5 ] az alábbiak olvashatók. Navigációs szélháromszög Ha a szél irányát fokokban adják meg, akkor az azt jelenti, hogy: Észak: 0°; Kelet: 90°; Dél: 180°; Nyugat: 270° Ha a szél iránya nem esik egybe az útvonalunkkal, akkor a szél nem csak a föld feletti sebességünket, hanem a haladási irányunkat befolyásolja. A szél eltérítő ereje annál nagyobb: - Minél merőlegesebb szögben éri a gépünket a megfújás - Minél erősebb a szélsebesség - Minél hosszabb az útvonal - Minél kisebb az önsebesség Útvonalrepüléskor nagyon fontos ismernünk, hogy milyen nagy az a szögérték, amelyen repülve az eredetileg meghatározott útvonalon repülhetünk. Ennek a matematikai úton történő meghatározása igen bonyolult és nagy a hibalehetőség, ezért a legegyszerűbb eljárást, a szerkesztést alkalmazzuk. A szerkesztés menete a következő: - Megrajzoljuk a repülés útvonalát (A-B) irány és nagyság szerint (Vútvonal). - Erre az útvonalra tetszőleges léptékben felveszünk sebességértékeket km/h-ban számolva. - Az A kiindulási pontból megrajzoljuk a szél irányát, és sebességét, de ugyanolyan léptékben és mértékegységben, mint amilyennel az A-B közötti szakaszt rajzoltuk meg (Vszélseb). - A szélsebesség vektor végpontjából (PIROS pont) egy olyan kört rajzolunk (ZÖLD KÖR), amelynek a sugara egyenlő a repülőgép önsebességével (A példán 160 km/h - ZÖLD pont). - Ahol a repülőgép önsebesség-vektora (Vönseb) metszi az útvonalra rajzolt sebességvektort (Vútvonal), az a pont határozza meg a föld feletti sebességünket (Kék pont), és az itt lévő a szög a rátartási szöget (SÁRGA szög). (A KÉK pont ás az A pont közötti távolság a föld feletti sebességvektorunkat határozza meg a Vffseb)

12 Az a szöget adjuk hozzá az iránytű irányszögéhez, és megkapjuk azt a szöget, amely felé a gépünk orrának állnia kell (nem számolva a deviációt, deklinációt), hogy pontosan a repülési irányon maradjon (miközben oldalra sodródik).

D.) Egy további feladat: a repülési sebesség számítása GPS - adatokból – ld. [ 6 ]. A GPS - adatok: a gép földhöz viszonyított sebessége, nagyság és irány szerint, valamint a gép levegőhöz viszonyított sebességének iránya. Az alapgondolat: két mérés során kapott adatokból számítani a keresett mennyiség(ek)et. A számítást a 6. ábra alapján végezzük. Jelölések: Gi: „Groundvelocity” – a gép földhöz viszonyított sebessége; W: „ Windvelocity” – a szélsebesség; Ai: „Airvelocity” – a repülőgép levegőhöz viszonyított sebessége; i =1,2, a két mérésnek megfelelően. Adott: G1, G2, φG1,φG2; φA1, φA2 – GPS-adatok alapján. Keresett: A.

13

6. ábra Az első mérésnek megfelelő szélháromszöggel: G1 = A1 + W. ( 48 ) A második mérésnek megfelelő szélháromszöggel: G2 = A2 + W. ( 49 ) Itt kihasználtuk azt a tényt, hogy a szélsebesség nagysága és iránya mindkét mérés során ugyanaz. Most képezve a két utóbbi egyenlet különbségét: G2 – G1 = A2 – A1. ( 50 ) Szorozzuk meg skalárisan önmagával ( 50 ) mindkét oldalát: G12  G 22  2  G1  G 2  cos   A12  A 22  2  A1  A 2  cos . ( 51 ) Itt felhasználtuk, hogy

   G 2   G1

( 52 )

és

   A 2   A1 .

( 53 )

14

Most vegyük figyelembe, hogy a repülőgép levegőhöz viszonyított sebességének nagysága mindkét mérés során ugyanaz: A1  A 2  A, ( 54 ) így ( 51 ) és ( 54 ) - gyel:

G12  G 22  2  G1  G 2  cos   2  A 2  1  cos  .

( 55 )

Ezután használjuk fel az

1  cos   2  sin 2

 2

( 56 )

trigonometriai összefüggést, így ( 55 ) és ( 56 ) - tal:

  G  G  2  G1  G 2  cos   2  A  sin  .  2 2

2 1

2 2

( 57 )

( 57 ) - ből:

G12  G 22  2  G1  G 2  cos  A .  2  sin 2

( 58 )

Az egyszerűség kedvéért az

  180

( 59 )

értéket választjuk, így ( 58 ) és ( 59 ) az

1 A   G12  G 22  2  G1  G 2  cos  2

( 60 )

végeredményt adja. Ezzel az eredeti feladatot megoldottuk. Kiegészítés: Folytassuk a feladatot: határozzuk meg a mérési adatok és a számított eredmények alapján a szél sebességének nagyságát és irányát is! A számítást a 7. ábra alapján végezzük. Először koszinusz-tétellel:

W 2 A i2  G i2  2  A iG i  cos i .

( 61 )

Figyelembe véve, hogy

 i   Ai   G i ,

( 62 )

valamint emlékezve ( 54 ) - re, a szélsebesség nagyságára kapjuk, hogy

W  A 2  G i2  2  A  G i  cos i , ahol i = 1, 2.

( 63 )

15

A szélsebesség irányára nézve:

d i  G i  sin  i  W  sin i ,

( 64 )

innen ( szinusz-tétel )

sin  i 

Gi  sin  i , W

( 65 )

azaz

G  i  arcsin  i  sin  i  .  W 

( 66 )

Végül:

i   Ai   i .

( 67 )

7. ábra Minthogy fölös méréseink vannak, ezért az alábbiak szerint járunk el. ( 62 ) szerint:

1   A1   G1 ,

( 62 / 1 )

 2   A2   G2 .

( 62 / 2 )

Most ( 63 ) szerint:

W1  A 2  G12  2  A  G1  cos 1 ,

( 63 / 1 )

W2  A 2  G 22  2  A  G 2  cos  2 .

( 63 / 2 )

16

A két utóbbival: W  W2 W 1 . 2 Folytatva: ( 66 ) szerint

( 68 )

G  1  arcsin  1  sin 1  ,  W  G   2  arcsin  2  sin  2  .  W 

( 66 / 1 ) ( 66 / 2 )

A két utóbbi képletben már W ( 68 ) szerinti értéke szerepel. Majd ( 67 ) szerint:

1   A1  1 ,

( 67 / 1 )

2   A2   2 .

( 67 / 2 )

Végül:



1   2 . 2

( 69 )

Ezzel az eredetit kiegészítő feladatot is megoldottuk.

♦♥♣♠ Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2008. június 21. Irodalomjegyzék [ 1 ] – Heinz Neuber: Technische Mechanik , Dritter Teil: Kinetik Springer Verlag, Berlin – Heidelberg, 1974. [ 2 ] – Szerk.: Gáspár Gyula: Műszaki matematika, I. kötet Tankönyvkiadó, Budapest, 1973. [ 3 ] – Bede Tibor: Motoros ultrakönnyű repülés AE - RObit kiadó, Gödöllő, 1995. [ 4 ] – http://www.ifp.uni-bremen.de/ryder/lv/gk/mec.pdf [ 5 ] – http://www.pumaszallas.hu/elmelet-repuleselmelet/Repuleselmelet_11old.html [ 6 ] – http://www.acurad.com/AIRSPEED/