A. PENGENALAN PROBLEM SOLVING (PENYELESAIAN MASALAH) George Polya disebut sebagai bapak problem solving modern. Beliau lahir di Hungaria tahun 1887. Beliau menerima gelar Ph.D. nya di Universitas Budapest. Pada tahun 1940 beliau datang ke Universitas Brown dan kemudian bergabung dengan Fakultas di Universitas Stanford tahun 1942. Dalam studinya, beliau menjadi tertarik pada proses penemuan, yang membimbingnya menemukan empat langkah proses yang terkenal dalam menyelesaikan masalah, yaitu: 1. Memahami masalah (Understanding the problem) 2. Memikirkan suatu rencana (Devise a plan) 3. Melaksanakan rencana (Carry out the plan) 4. Memeriksa kembali (Look Back) Polya telah menulis lebih dari 250 makalah matematika dan tiga buku yang mengenalkan problem solving. Buku paling terkenalnya adalah How to solve it, yang telah diterjemahkan dalam 15 bahasa untuk memperkenalkan pendekatan empat langkah beserta strateginya, yang mana sangat membantu dalam memecahkan masalah. Karya penting lain dari Polya adalah Mathematical Discovery, volum I dan 2, dan Mathematics and Plausible Reasoning, volum I dan 2. Beliau telah meninggal pada tahun 1985, meninggalkan matematika dengan warisan yang penting dalam mengajarkan problem solving. 10 himbauan beliau untuk para guru adalah sebagai berikut: 1. Tertariklah pada bidangmu 2. Ketahuilah bidangmu 3. Cobalah baca wajah siswamu, cobalah mengetahui harapan dan kesulitan siswa, tempatkan dirimu pada tempat mereka. 4. Sadarilah bahwa cara paling baik untuk belajar sesuatu adalah menemukannya sendiri. 5. Berikan siswamu bukan hanya informasi, tetapi juga mengetahui bagaimana, sikap mental, kebiasaan bekerja dengan metode. 6. Ajaklah mereka belajar menebak. 7. Ajaklah mereka belajar membuktikan. 8. Perhatikanlah bentuk masalah dan menguasainya yang berguna dalam menyelesaikan masalah yang datang, cobalah tidak menutup pola umum di belakang situasi nyata yang muncul.
1
9. Pada awalnya jangan memberikan jawabanmu secara utuh, ajak siswa menebak sebelum kamu mengatakannya, ajak siswa menemukan jawaban sendiri sebanyak mungkin. 10. Saran: jangan memaksa keterangan kepada mereka.
B. PENDAHULUAN Suatu saat pada pertemuan informal, seorang ahli sosial bertanya kepada seorang profesor matematika, “Apa tujuan utama dari pembelajaran matematika?” Jawabannya adalah, “Problem Solving.” Sebaliknya matematikawan tersebut bertanya, “Apa tujuan utama dari pembelajaran ilmu sosial?” Sekali lagi jawabannya adalah “Problem Solving”. Semua peneliti sukses, ilmuwan, ahli sosial, pengacara, akuntan, dokter, manajer bisnis, dan lain-lain adalah problem solver yang baik walaupun masalah orang-orang tersebut berbeda. Karena pentingnya problem solving maka NCTM (National Council of Teacher of Mathematics) merekomendasikan di agenda 1980nya bahwa “problem solving menjadi fokus matematika sekolah pada tahun 1980-an”. Standard Kurikulum dan Evaluasi untuk Matematika Sekolah 1989 milik NCTM meningkatkan perhatian kepada pembelajaran problem solving dalam K-8 Matematika. Daerah penekanan meliputi masalah cerita, aplikasi, pola dan hubungan, masalah open-ended, dan situasi masalah yang dinyatakan secara bahasa, secara numerik, secara grafik, secara geometri, atau secara simbolik. Prinsip dan Standard untuk Matematika Sekolah 2000 milik NCTM mengidentifikasi problem solving sebagai salah satu proses dengan semua matematika akan dipelajari. BAB ini memperkenalkan suatu proses problem solving sekalian enam strategi yang akan membantu kita dalam memecahkan masalah.
C. PROSES DAN STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH 1. Empat Langkah Proses Penyelesaian Masalah Polya “Exercise” dan “problem” merupakan dua istilah yang berbeda. Untuk menyelesaikan “exercise”, seseorang menerapkan suatu prosedur rutin untuk mendapat suatu jawaban. Untuk menyelesaikan “problem”, seseorang harus berhenti sejenak, mengulangi lagi, dan mungkin menggunakan beberapa langkah biasa tidak akan pernah mendapat suatu penyelesaian. Bagi seorang anak mencari 3+2 mungkin suatu problem. Bagi seorang anak di jenjang dasar, pertanyaan “Bagaimana kamu membagi 96 pensil secara sama ke 16 anak?” menjadi suatu problem, tetapi untuk kita ini merupakan latihan, “dapatkan 96:16”. Kedua contoh di atas menggambarkan contoh bagaimana perbedaan 2
antara exercise dan problem dapat bermacam-macam karena hal itu tergantung pada cara berpikir dari orang yang menyelesaikannya. Mengerjakan exercise merupakan bantuan yang sangat berharga dalam belajar matematika. Exercise membantu kita belajar konsep, sifat-sifat, prosedur, dan sebagainya, yang mana kemudian kita dapat menerapkannya ketika menyelesaikan masalah. Seorang matematikawan terkenal, George Polya, mempersembahkan banyak hal yang pelajarinya untuk membantu siswa menjadi problem solver yang lebih baik. Kontribusi besar Polya adalah apa yang dikenal dengan “4 langkah proses Polya” untuk menyelesaikan masalah. Langkah I Memahami Masalah (Understand the Problem) 1. Apakah kamu memahami semua kata-kata? 2. Dapatkah kamu menceritakan problem tersebut dengan bahasamu sendiri? 3. Apakah kamu tahu apa yang diketahui? 4. Apakah kamu tahu apa tujuannya (yang ditanyakan)? 5. Apakah informasi telah cukup? 6. Apakah ada informasi tambahan? 7. Apakah masalah ini mirip dengan masalah lain yang pernah kamu selesaikan?
Langkah II Memikirkan Suatu Rencana (Devise A Plan) Dapatkah salah satu dari strategi-strategi berikut ini digunakan? Strategi didefinisikan sebagai sesuatu cara yang cerdik menuju tujuan akhir. 1. Guess and test (Tebak dan uji) 2. Draw a picture (Membuat gambar) 3. Use a variable (Menggunakan suatu variabel) 4. Look for a pattern (Mencari pola) 5. Make a list (Membuat daftar) 6. Solve a simpler problem (Menyelesaikan masalah yang lebih sederhana) 7. Draw a diagram (Membuat diagram) 8. Use direct reasoning (Menggunakan penalaran langsung) 9. Use indirect reasoning (Menggunakan penalaran tidak langsung) 10. Use properties of number (Menggunakan sifat-sifat bilangan) 11. Solve an equivalent number (Menyelesaikan masalah yang sama) 12. Word backward (Bekerja mundur) 13. Use cases (Menggunakan kasus) 3
14. Solve an equation (Menyelesaikan persamaan) 15. Look for a formula (Mencari rumus) 16. Do a simulation (Melakukan peragaan) 17. Use a model (Menggunakan model) 18. Use dimensional analysis (Menggunakan analisis dimensional) 19. Identify subgoals (Mengidentifikasi sub tujuan) 20. Use coordinates (Menggunakan koordinat) 21. Use symmetry (Menggunakan simetri)
Langkah III Melaksanakan Rencana (Carry Out the Plan) Penerapan strategi yang telah kita pilih sampai masalah terselesaikan atau sampai mendapat pencerahan. Berikan sendiri alokasi waktu untuk menyelesaikan masalah. Jika tidak berhasil, carilah petunjuk-petunjuk lain atau letakkan masalah untuk sesaat. (Kita mungkin mempunyai ide ketika kita memiliki sedikit harapan). Jangan takut untuk memulai lagi. Seringkali suatu awal yang segar dan strategi baru akan menghantarkan ke keberhasilan.
Langkah IV Memeriksa Kembali (Look Back) Apakah solusi kita telah benar? Apakah jawaban kita memenuhi pernyataan masalah? Dapatkah kita menemukan suatu solusi yang lebih mudah? Dapatkah kita menjabarkan solusi ke suatu bentuk yang lebih umum? Suatu masalah biasanya dinyatakan secara kata-kata, lisan maupun tulisan. Kemudian, untuk menyelesaikan masalah seseorang menterjemahkan kata-kata tersebut menggunakan simbol matematika kemudian menyelesaikan model matematika tersebut dan menginterpretasikan jawaban. Proses tersebut dapat dirangkum dalam gambar 1.1 menterjemahkan
Masalah awal Mengecek
Jawaban masalah awal
Model matematika masalah Menyelesaikan
Menginterpretasikan
4
Solusi dari model matematika
Langkah awal untuk menjadi problem solver yang baik adalah belajar memanfaatkan 4 langkah Polya dan diagram dalam gambar 1.1. Khususnya, langkah memikirkan rencana adalah sangat penting. Pada pembahasan kali ini, kita akan belajar strategi yang terdaftar pada langkah “memikirkan suatu rencana”, yang membantu kita memutuskan bagaimana proses menyelesaikan masalah. Pemilihan suatu strategi yang sesuai diperlukan sifat yang kritis. Jika perlu daftar petunjuk yang dapat membantu kita memutuskan kapan memilih suatu strategi yang cocok atau kombinasi strategi-strategi tersebut. Dengan pengalaman akan dapat mengembangkan suatu perasaan kapan menggunakan suatu strategi dibanding strategi lainnya dengan mengenal petunjuk-petunjuk tertentu, mungkin dengan tanpa sadar. Dan juga, kita akan tahu bahwa beberapa masalah mungkin diselesaikan dalam banyak cara menggunakan strategi yang berbeda.
2. Strategi-Strategi Penyelesaian Masalah Strategi yang dibahas kali ini adalah enam strategi awal yang terdaftar pada langkah memikirkan suatu rencana. a. STRATEGI 1: Tebak dan Uji Contoh Masalah: 1. Tempatkan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dalam lingkaran-lingkaran pada gambar 1.2 sehingga jumlah tiga bilangan pada masing-masing sisi segitiga adalag 12. Dari namanya menyarankan menggunakan strategi menebak dan mengetes, kita menebak suatu solusi dan mengetes apakah kebenarannya. Jika kita tidak benar, kita koreksi tebakan kita dan mengetes kembali. Proses ini diulangi hingga tercapai suatu penyelesaian. Langkah I Memahami masalah Masing-masing bilangan harus digunakan satu kali ketika disusun dalam segitiga. Jumlah tiga bilangan pada masing-masing sisi harus 12.
Pendekatan pertama: Tebak dan Uji Secara Acak Langkah II Memikirkan Suatu Rencana Potonglah 6 potong kertas dan tandai nomor 1 hingga 6 dan kemudian kombinasikan hingga ditemukan suatu susunan yang benar. Langkah III Melaksanakan Rencana
5
Susunlah potongan-potongan kertas dalam bentuk suatu segitiga sama sisi dan cek jumlah bilangan di setiap sisi. Susunlah hingga ketiga jumlah bilangan di setiap sisi diperoleh 12.
Gambar 1.2 Pendekatan kedua: Tebak dan Uji Secara Sistematis Langkah II Memikirkan suatu rencana Dari pada secara acak dalam memindah bilangan, mulailah dengan menempatkan nomor paling kecil yaitu 1, 2, 3 pada pojok-pojok. Jika itu tidak berhasil, coba tingkatkan bilangan menjadi 1, 2, 4, dan seterusnya. Langkah III Melaksanakan rencana Dengan 1, 2, 3 di pojok, jumlah sisi adalah terlalu kecil; begitu juga dengan 1, 2, 4. Untuk 1, 2, 5 dan 1, 2, 6. Jumlah sisi-sisi masih terlalu kecil. Selanjutnya coba 2, 3, 4. Kemudian 2, 3, 5, dan seterusnya hingga diperoleh penyelesaiannya. Seseorang juga dapat memulai dengan 4, 5, 6 di pojok, kemudian coba 3, 4, 5, dan seterusnya.
Pendekatan ketiga: Tebak dan Uji Inferensial Langkah II Memikirkan suatu rencana Mulai dengan mengasumsikan bahwa 1 harus di suatu pojok dan mengamati akibatnya. Langkah III Melaksanakan rencana Jika 1 ditempatkan di suatu pojok, kita harus mendapatkan dua pasang dari sisa 5 bilangan yang mana setiap pasang jumlahnya adalah 11 (gambar 1.3).
Gambar 1.3
6
Tetapi, 2, 3, 4, 5, dan 6, hanya 6+5=11. Sehingga, kita menyimpulkan 1 tidak dapat bertempat di pojok. Jika dua bertempat di pojok, harus ada dua pasang bilangan yang tersisa dengan jumlah 10 (gambar 1.4).
Gambar 1.4 Tetapi hanya 6+4=10. Sehingga, dua tidak dapat di pojok. Akhirnya, misalkan 3 bertempat di pojok. Maka kita harus memenuhi gambar 1.5.
Gambar 1.5 Tetapi, hanya 5+4=9 dari sisa bilangan-bilangan tersebut. Sehingga dicapai solusi, 4, 5, dan 6 harus di pojok (gambar 1.6). Dengan menempatkan 1 antara 5 dan 6, 2 antara 4 dan 6, tiga antara 4 dan 5, kita mendapatkan solusinya.
Langkah IV Memeriksa Kembali Catatlah bagaimana kamu menyelesaikan masalah ini dalam tiga cara yang berbeda menggunakan strategi tebak dan uji. Tebak dan uji secara acak sering digunakan untuk permulaan rencana, tetapi hal ini mudah untuk menghilangkan jejak berbagai percobaan. Tebak dan uji yang sistematis lebih baik karena kita perlu mengembangkan skema untuk memastikan telah memeriksa semua kemungkinan. Secara umum, tebak dan uji inferensial adalah cara unggul dari kedua cara sebelumnya karena biasanya menghemat waktu dan menyediakan informasi lebih banyak untuk menemukan solusi yang mungkin.
Masalah Tambahan Di mana Strategi Tebak dan Uji Berguna Masalah: Pada cryptarithm yaitu suatu kumpulan kata-kata dimana huruf-huruf mewakili bilangan-bilangan, sun dan fun mewakili dua bilangan, dan swim adalah jumlah 4 angka mereka. Gunakan semua angka 0, 1, 2, 3, 6, 7 dan 9 di tempat huruf-huruf di 7
mana tidak ada huruf yang mewakili dua angka berbeda, tentukan nilai masingmasing huruf. Sun +fun Swim
Langkah I Memahami masalah Masing-masing huruf di sun, fun, dan swim harus diganti dengan bilanganbilangan 0, 1, 2, 3, 6, 7, dan 9. Sehingga menghasilkan jumlah yang benar setelah masing-masing huruf diganti dengan angka yang sesuai. Ketika huruf n diganti dengan salah satu angka, maka n+n harus menjadi m atau 10 + m, di mana 1 pada 10 menempati puluhan. Karena 1 + 1 = 2, 3 + 3 = 6, dan 6 + 6 = 12, ada tiga kemungkinan untuk n , yaitu, 1, 3, atau 6. Sekarang kita dapat mencoba berbagai kombinasi untuk mencapai jumlah. Langkah II Memikirkan suatu rencana Gunakan strategi tebak dan uji inferensial. Ada tiga pilihan untuk n . Amati bahwa sun dan fun adalah bilangan tiga angka dan swim adalah bilangan empat angka. Jadi kita harus membawa puluhan ketika kita menambahkan s dan f. Sehingga, nilai dari s dalam swim adalah 1. Hal ini membatasi pilihan untuk n adalah 3 atau 6. Langkah III Melaksanakan rencana Karena s = 1 dan s + f mewakili suatu bilangan dua angka, f harus 9. Jadi ada dua kemungkinan: a)
1u3
b)
1u6
+ 9u3
+9u6
1w i6
1w i 2
Pada (a), jika u = 0, 2, atau 7, tidak ada nilai yang mungkin untuk i di antara angka-angka yang tersisa. Pada (b), jika u = 3, maka u + u ditambah hasil dari 6 + 6 adalah i = 7. Hal ini meninggalkan w = 0 untuk suatu solusi. Langkah IV Memeriksa kembali Alasan yang digunakan di sini menunjukkan bahwa ada satu dan hanya satu solusi untuk masalah ini. Ketika menyelesaikan masalah pada tipe ini, seseorang dapat secara acak mengganti angka-angka hingga suatu solusi ditemukan. Strategi tebak dan uji inferensial menyederhanakan proses solusi dengan mencari aspek yang 8
unik dari masalah. Di sini, langkah untuk mengawali adalah n + n, u + u, dan fakta bahwa s + f menghasilkan suatu bilangan dua angka.
Petunjuk Penggunaan Strategi Tebak dan Uji Strategi tebak dan uji kemungkinan akan cocok ketika: Ada pilihan jawaban yang terbatas yang mungkin untuk dicoba. Kita ingin lebih baik memahami masalah. Kita mempunyai suatu ide yang bagus untuk menjawab. Kita dapat secara sistematis mencoba jawaban yang mungkin. Pilihan-pilihanmu telah dipersempit dengan menggunakan strategi yang lain. Tidak ada strategi lain yang nyata untuk dicoba.
b. STRATEGI 2: Membuat Suatu Gambar Seringkali suatu masalah melibatkan situasi fisik. Pada situasi ini, membuat suatu gambar dapat membantu kita memahami lebih baik masalah sehingga kita dapat merumuskan suatu rencana untuk menyelesaikan masalah. Seperti kita menyelesaikan masalah “pizza” berikut ini.
Contoh Masalah Dapatkah kamu memotong pizza ke dalam 11 potongan dengan empat potongan lurus? Langkah I Memahami masalah Apakah potongan-potongan harus dengan bentuk dan ukuran yang sama? Langkah II Memikirkan Suatu Rencana Suatu permulaan yang nyata adalah membuat suatu gambar yang menunjukkan bagaimana suatu pizza biasanya dipotong dan banyaknya potongan. Jika kita tidak memperoleh 11 potong, kita harus mencoba suatu cara lagi (gambar 1.8). Sayangnya, kita hanya memperoleh 8 potong dengan cara ini.
Gambar 1.8 Langkah III Carry Out the Plan
9
Lihat gambar 1.9
Langkah IV Memeriksa Kembali Apakah kamu memikirkan memotong menjadi potongan yang sama saat memulai? Hal itu normal. Pada konteks pemotongan suatu pizza, yang menjadi fokus biasanya memotong menjadi bagian-bagian yang sama dibandingkan jumlah potongan. Apakah menjadi masalah jika pizza lingkaran atau persegi? Berapa banyak potongan yang dapat kamu peroleh dengan 5 potongan lurus? n potongan lurus?
Masalah Tambahan Di mana Strategi Membuat Suatu Gambar Berguna. 1. Suatu tetromino adalah suatu bentuk yang dibuat dari empat persegi di mana persegipersegi harus dihubungkan sepanjang seluruh sisi (gambar 1.10). Berapa banyak yang mungkin terbentuk?
Bukan suatu tetromino
Suatu tetromino
Langkah I Memahami Masalah Solusi dari masalah ini lebih mudah jika membuat kumpulan gambar dari susunan empat persegi dengan ukuran sama yang mungkin. Langkah II Membuat Suatu Rencana Mari mulai dengan susunan yang paling panjang dan paling pendek dan kerjakan ke arah yang paling mudah. Langkah III Melaksanakan Rencana Empat dalam satu baris
10
Tiga persegi dalam satu baris, satunya lagi di atas atau bawah dari persegi akhir
Tiga persegi dalam satu baris, dengan yang satu persegi di atas atau bawah dari persegi yang tengah.
Dua persegi pada satu baris, satu persegi yang lain di atas dan satu lagi di bawah
Dua persegi pada satu baris, dua yang lain di atasnya.
Langkah IV Memeriksa Kembali Banyak masalah yang mirip dapat diungkapkan menggunakan lebih sedikit atau lebih banyak persegi. Masalah menjadi lebih kompleks sesuai dengan banyaknya persegi yang meningkat.
Petunjuk Penggunaan Strategi Membuat Suatu Gambar Strategi membuat suatu gambar mungkin cocok saat: 1.
Suatu situasi fisik dilibatkan
2.
Gambar geometri atau ukurannya dilibatkan
3.
Kita ingin pemahaman yang lebih baik dari masalah
4.
Suatu penyajian visual dari suatu masalah adalah mungkin
c. STRATEGI 3 : Menggunakan Suatu Variabel Amati bagaimana huruf-huruf digunakan untuk menggantikan bilanganbilangan “sun + fun = swim” pada pembahasan sebelumnya. Huruf-huruf yang digunakan untuk menggantikan bilangan-blangan itu disebut variabel atau tidak 11
diketahui. Strategi Menggunakan suatu Variabel, merupakan strategi yang sering digunakan dalam menyelesaikan masalah, yaitu digunakan pada aljabar secara luas dan matematika yang melibatkan aljabar. Contoh Masalah Bilangan apa yang dapat membagi rata jumlah setiap tiga bilangan cacah berurutan? Dengan mencoba beberapa contoh, kamu dapat menduga bahwa 3 adalah bilangan tersebut. Oleh karena itu, perlu menggunakan suatu variabel untuk menghitung semua kemungkinan dari contoh tiga bilangan cacah berurutan. Langkah 1 Memahami Masalah Bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, ..., sehingga bilangan cacah berurutan dibedakan oleh 1. Sebagai contoh dari tiga bilangan cacah berurutan adalah 3, 4, dan 5. Jumlah dari tiga bilangan cacah berurutan tersebut mempunyai faktor 3 jika 3 dikalikan dengan bilangan cacah yang lain menghasilkan jumlahnya. Contoh pada 3, 4, dan 5, jumlahnya adalah 12 dan 3 x 4 = 12. Jadi 3 + 4 + 5 mempunyai faktor 3. Langkah 2 Memikirkan suatu Rencana Karena kita dapat menggunakan suatu variabel, katakanlah
untuk mengganti
setiap bilangan cacah, kita dapat mengganti setiap tiga bilangan cacah berurutan dengan : ,
,
. Sekarang dapat dilihat apakah jumlahnya mempunyai
faktor 3. Langkah 3 Melaksanakan Rencana Jumlah dari ,
, dan +(
Karena
+(
)+(
adalah )+(
)=
) adalah tiga kali (
= ). Oleh karena itu kita dapat
menunjukkan bahwa jumlah dari setiap tiga bilangan cacah berurutan mempunyai faktor 3. Pada kasus
= 0 menunjukkan bahwa 3 adalah bilangan
yang terbesar. Langkah 4 Memeriksa Kembali Apakah juga benar bahwa jumlah dari setiap lima bilangan cacah berurutan mempunyai faktor 5? Atau lebih umum, akankah jumlah dari setiap
bilangan
cacah berurutan mempunyai faktor ? Dapatkah kamu memikirkan semua perumuman yang lain? Masalah Tambahan di mana Strategi Menggunakan Suatu Variabel Berguna
12
1. Carilah jumlah dari 10, 100, dan 500 bilangan asli pertama. Langkah 1 Memahami Masalah Karena bilanagan asli adalah bilangan 1, 2, 3, 4, ...., maka jumlah dari 10 bilangan asli pertama adalah 1 + 2 + 3 + ... + 8 + 9 + 10. Dengan cara yang sama, jumlah dari 100 bilangan asli pertama adalah 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 dan jumlah dari 500 bilangan asli pertama adalah 1 + 2 + 3 + ... + 498 + 499 + 500. Langkah 2 Memikirkan suatu Rencana Untuk menyelesaikan tiga masalah yang berbeda tersebut, strategi Menggunakan suatu Variabel dapat digunakan untuk mencari suatu metode umum menghitung jumlah dari tiga situasi. Karena itu jumlah dari
bilangan
asli pertama dapat ditunjukkan dengan . Jumlah dari bilangan tersebut dapat kita cari dengan mengingat bahwa bilangan pertama 1 ditambahkan pada bilangan terakhin yang sama pada
dan
adalah
hal
. Jumlah pada setiap bagian dapat
dilakukan dengan menjumlah dua kali pada setiap bilangan. Langkah 3 Melaksanakan Rencana
Karena setiap bilangan telah dijumlahkan dua kali, jumlah yang diinginkan didapat dengan membagi
dengan 2, menghasilkan
Bilangan-bilangan 10, 100, dan 500 sekarang dapat mengganti variabel mencari solusi yang diinginkan :
Langkah 4 Memeriksa Kembali
13
untuk
Karena metode untuk menyelesaikan masalah ini sangat unik, dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang mirip, sepeti : i. ii.
2. Tunjukkan bahwa jumlah dari lima bilangan cacah ganjil berurutan mempunyai faktor 3. Ukuran sudut terbesar pada suatu segitiga adalah sembilan kali ukuran sudut terkecilnya. Ukuran pada sudut ketiga adalah selisih dari ukuran sudut terbesar dan ukuran sudut terkecil. Berapakah ukuran sudut-sudutnya?
Petunjuk Penggunaan Strategi Menggunakan Suatu Variabel Strategi Menggunakan suatu Variabel kemungkinan akan cocok ketika : 1. Suatu ungkapan seperti “untuk setiap bilangan” yang menunjukkan atau menyatakan secara tak langsung. 2. Suatu masalah yang berkesan suatu persamaan. 3. Suatu bukti atau solusi umum dibutuhkan. 4. Suatu masalah yang memuat ungkapan seperti bilangan cacah “berurutan”, ”genap”, atau “ganjil”. 5. Ada suatu bilangan besar pada kasus 6. Ada banyak hal tidak diketahui yang berhubungan dengan banyak hal diketahui. 7. Ada bilangan tak terbatas pada bilangan. 8. Kita mencoba mengembangkan suatu rumus umum.
Menggunakan Aljabar untuk Menyelesaikan Masalah Secara efektif memanfaatkan Strategi Menggunakan suatu Variabel, siswa butuh pengertian tentang apa itu variabel dan bagaimana menulis dan menyederhanakan persamaan yang memuat variabel. Bagian strategi ini berbicara tentang pokok persoalan pengenalan dasar aljabar. Hal ini akan meluas pada penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan di Bab 9 setelah sistem bilangan real dikembangkan. Secara umum cara memperkenalkan menggunakan suatu variabel adalah menentukan rumus umum suatu pola bilangan seperti :
. Satu tantangan
untuk siswa adalah melihat aturan bahwa setiap bilangan dapat dibuat pernyataan. Sebagai contoh, pola 5, 8, 11, ... serupa dengan bagian sebelumnya. Tetapi hal itu lebih
14
sulit melihat masing-masing pola 2 lebih dari kelipatan 3 dan dapat dinyatakan secara umum dengan
.
d. STRATEGI 4: Mencari suatu Pola Ketika menggunakan strategi Mencari suatu Pola, selalu mendaftar beberapa hal dari suatu masalah dan kemudian melihat apakah suatu pola yang muncul menunjukkan suatu solusi dari seluruh masalah. Sebagai contoh, perhatikan jumlah yang dihasilkan dari penjumlahan bilangan ganjil berurutan yang dimulai dengan 1: 1, 1 + 3 = 4, (= 2 x 2), 1 + 3 + 5 = 9 (= 3 x 3), 1 + 3 + 5 + 7 = 16 (= 4 x 4), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 (= 5 x 5), dan seterusnya. Dasar pada pola umum dari lima contoh itu, harapannya bahwa setiap jumlah akan selalu berupa kuadrat sempurna. Masalah Berapa banyak cara turun dari A ke B pada jaringan di gambar 1.18? suatu lintasan harus melewati garis.
Gambar 1.18
Gambar 1.19
Gambar 1.20
Gambar 1.21
Langkah 1 Memahami Masalah Apa yang kita maksud dengan berbeda dan menurun? Gambar 1.19 mengilustrasikan dua lintasan. Catatlah bahwa setiap lintasan mempunyai
15
panjang 6 satuan. Berbeda berarti bahwa mereka tidak tepat sama; pada beberapa lintasan atau lintasan berbeda. Langakah 2 Memikirkan suatu Rencana Lihatlah setiap titik potong pada jaringan dan lihat berapa banyak cara berbeda kita peroleh dari setiap titik. Mungkin kita akan mencatat suatu pola (gambar 1.20). sebagai contoh, hanya ada satu cara menjangkau setiap titik pada dua sisi tepi; ada dua cara menjangkau titik tengah di baris berlabel 1, 2, 1; dan seterusnya.amati bahwa titik berlabel 2 pada gambar 1.20 dapat ditemukan dengan menjumlahkan 1 diatasnya. Langkah 3 Melaksanakan Rencana Untuk melihat berapa banyak lintasan pada setiap titik. Amati bahwa kamu hanya butuh menambahkan bilangan pada lintasan sampai pada titik atau titik diatasnya. Jangkauan suatu titik dibawah pasangan 1 dan 2, lintasan 1 dan 2 menurun menghasilkan 1 + 2 = 3 lintasan pada titik itu. Pola bilangan yang dihasilkan ditunjukkan pada gambar 1.21. perhatian, sebagai contoh 4 + 6 = 10 dan 20 + 15 = 35 (pola ini adalah pola yang disebut segitiga pascal. Itu digunakan lagi pada Bab 11). bagian yang dikelilingi kotak pada pola yang dipakai memberikan jawaban dari masalah, oleh karena itu jawaban dari masalah itu adalah 20. Langkah 4 Memeriksa Kembali Dapatkah kamu melihat bagaimana solusi dari suatu masalah serupa yang melibatkan suatu susunan kotak lebih besar, misal 4 x 4 jaringan? Bagaimana dengan 10 x 10 jaringan? Bagaimana dengan jaringan persegi panjang? Suatu pola bilangan yang tersusun dalam suatu urutan tertentu disebut barisan bilangan, dan bilangan secara sendiri pada barisan disebut suku dari barisan. Bilangan asli 1, 2, 3, ... membangun banyak barisan. Beberapa barisan pada bilangan asli. Barisan
Nama
2,4,6,8,...
Bilangan asli genap
1,3,5,7,...
Bilangan asli ganjil
1,4,9,16,....
Bilangan kuadrat asli
2
3
1,3,3 ,3 ,....
Pangkat dari Bilangan 3
1,1,2,3,5,8,...
Barisan Fibonacci
16
Alasan secara induktif digunakan untuk menggambarkan kesimpulan atau membuat prediksi tentang koleksi terbesar pada objek atau bilangan, berdasarkan pada kumpulan penyajian yang kecil. Sebagai contoh, alasan secara induktif dapat digunakan untuk menemukan angka satuan dari suku ke-400 barisan 8, 12, 16, 20, 24, ..., dengan menghitung barisan ini untuk beberapa suku 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, ..., dapat diamati bahwa angka satuan suku kelima pada suku 24 adalah 4. Oleh karena itu angka satuan pada suku ke-400 harus memuat 4.
Masalah Tambahan dimana Strategi Mencari Suatu Pola berguna 1.
Carilah angka satuan dari 399. Langkah 1 Memahami Masalah Bilangan 399 adalah hasil dari 99 angka tiga. Dengan menggunakan tombol exponen pada kalkulator sains diperoleh 1.71792506547. hal ini menunjukkan digit pertama, tetapi tidak dengan digit terakhir, karena 47 menunjukkan ada 47 tempat dikanan desimal. Oleh karena itu kita dapat menggunakan metode yang lain. Langkah 2 Memikirkan suatu Rencana Perhatikan 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38. Mungkin angka satuan dari bilanganbilangan tersebut membentuk suatu pola, sehingga dapat digunakan untuk memprediksi angka satuan dari 399. Langkah 3 Melaksanakan Rencana 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 243, 36 = 729, 37 = 2187, 38 = 6561. Angka satuan dari barisan 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. Kapanpun eksponen dari 3 mempunyai suatu faktor 4, angka satuan adalah 1. Karena 100 mempunyai suatu faktor 4, maka 3100 harus mempunyai suatu angka satuan 1. Oleh karena itu angka satuan dari 399 haruslah 7. Karena 399 mendahului 3100 dan 7 mendahului 1 pada barisan 3, 9, 7, 1. Langkah 4 Memeriksa Kembali Angka satuan dari setiap bilangan yang melibatkan eksponen mungkin ditemukan model serupa. Cek untuk beberapa bilangan dari 4 sampai 9.
2. Bilangan cacah yang mana dari 1 sampai 50 yang mempunyai suatu faktor bilangan ganjil? Sebagai contoh 15 mempunyai 1, 3, 5, dan 15 sebagai faktornya.dan karena itu suatu bilangan genap mempunyai faktor : empat.
17
Petunjuk Penggunaan Strategi Mencari Suatu Pola Strategi Mencari suatu Pola mungkin tepat jika 1. Suatu daftar dari data diberikan 2. Suatu barisan bilangan dilibatkan 3. Mendaftar kasus khusus yang dapat membantu kamu menyelesaikan masalah yang lebih komplek 4. Kamu diminta membuat suatu prediksi atau perumuman. Informasi dapat berupa pernyataan dan pandangan pada sikap diatur seperti sutu tabel.
e. STRATEGI 5 : Membuat Daftar Strategi membuat daftar sering dihubungkan dengan mencari suatu pola yang mengarah ke penyelesaian masalah. Sebagai contoh, dibawah ini adalah daftar semua bilangan kuadrat dari bilangan 1 sampai 20 dengan digit terakhir dicetak tebal. 1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
Dari daftar tersebut kita dapat mengetahui bahwa satu digit terakhir dari bilangan kuadrat pasti 0, 1, 4, 5, 6 atau 9. Dengan kata lain daftar tersebut menunjukkan bahwa bilangan kuadrat sempurna tidak pernah diakhiri dengan 2, 3, 7 atau 8. Contoh Masalah Bilangan 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari 4 bilangan ganjil dengan 3 cara: (i)
10 = 7 + 1 + 1 + 1
(ii)
10 = 5 + 3 + 1 + 1
(iii)
10 = 3 + 3 + 3 + 1
Berapa banyak cara bilangan 20 dapat ditulis sebagai penjumlahan dari 8 bilangan ganjil? Langkah 1: Memahami Masalah Mengingat kembali bahwa bilangan ganjil adalah bilangan yang terdiri dari 1, 3, 5, 7, 9, …. Kenyataannya bahwa 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari 4 bilangan ganjil, kita dapat menghubungkan berbagai bentuk dari penjumlahan itu untuk menghasilkan 8 bilangan ganjil yang berjumlah 20. Kita akan mendaftar semua kemungkinan. Langkah 2: Memikirkan Rencana Selanjutnya, mari membuat daftar dengan memulai dari kemungkinan bilangan yang terbesar sampai ke yang terkecil. 18
Langkah 3: Melaksanakan Rencana 20 = 13 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 20 = 11 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 20 = 9 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 20 = 9 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 20 = 7 + 7 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 20 = 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 20 = 7 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 20 = 5 + 5 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 20 = 5 + 5 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 20 = 5 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 20 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 Langkah 4: Memeriksa Kembali Dapatkah kamu memikirkan masalah yang serupa untuk menyelesaikannya? Contoh, akan lebih mudah menulis 8 sebagai jumlah dari 4 bilangan ganjil, dan akan lebih sulit jika menuliskan 40 sebagai jumlah dari 16 bilangan ganjil. Kita juga dapat membandingkan penjumlahan dari bilangan genap, menuliskan 20 sebagai jumlah 6 bilangan genap. Masalah Tambahan dimana Strategi “Membuat Daftar” itu Berguna. 1. Pada permainan anak panah, tiga anak panah akan dilemparkan. Semua mengenai sasaran (gambar 1.22). berapa banyak scor yang mungkin terjadi?
Gambar 1.22 Langkah 1: Memahami Masalah Anggap bahwa 3 anak panah mengenai papan. Ada 4 bilangan yang berbeda dipapan, yaitu 0, 1, 4 dan 16, dan ketiga anak panah boleh mengenai bilangan yang sama. Langkah 2: Memikirkan Rencana 19
Kita seharusnya membuat daftar sistematis dengan memulai kemungkinan jumlah terkecil/terbesar. Langkah 3: Melaksanakan Rencana 0+0+0=0
0+1+1=2
0+4+4=8
0+0+1=1
0+1+4=5
0 + 4 + 16 = 20
0+0+4=4
0 + 1 + 16 = 17
0 +16 +16 =32
0 + 0 + 16 = 16 1+1+1=3
1+4+4=9
1+1+4=6
1 + 4 + 16 = 21
1 + 16 + 16 = 33
1 + 1 + 16 = 18 4 + 4 + 4 = 16
4 + 16 + 16 = 36
4 + 4 + 16 = 24 16 + 16 + 16 = 48 Langkah 4: Lihat Kembali Beberapa masalah yang serupa dapat diperlakukan dengan mengubah bilangan pada papan, banyaknya lingkaran, atau jumlah anak panah. Atau juga menggunakan kemungkinan secara geometris, seseorang dapat menanyakan bagaimana mendesain dan melabel seperti suatu permainan untuk membuat permainan keterampilan yang adil. Yaitu, poin apa yang harus ditetapkan ke berbagai daerah untuk menghargai seseorang secara adil atas suatu kerjanya karena mengenai daerah tersebut. 2. Berapa banyak persegi, untuk semua ukuran, pada papan main ukuran 8 x 8? (lihat gambar 1.23: sisi dari persegi adalah segaris)
Petunjuk Penggunaan Strategi Membuat Daftar Strategi dalam pembuatan daftar akan tepat digunakan ketika: 1. Informasinya dapat dengan mudah diatur dan ditampilkan 2. Data dapat dengan mudah digeneralisasikan 3. Mendaftar hasil yang diperoleh dengan menebak dan menguji 4. Ditanyakan “berapa banyak cara?” kadang-kadang dapat dilakukan 5. Mencoba belajar tentang macam-macam bilangan yang dapat digeneralisasikan dengan aturan atau rumus. . f. STRATEGI 6 : Penyelesaian dengan Penyederhanaan Masalah 20
Seperti
halnya
strategi
membuat
daftar,
strategi
penyelesaian
dengan
penyederhanaan masalah seringkali dihubungankan dengan mencari suatu pola. Strategi penyelesaian dengan penyederhanaan masalah berkaitan dengan mempersempit suatu permasalahan pada pengerjaan dan membuat lebih mudah diselesaikan. Penyederhanaan masalah itu kemudian digeneralisasikan ke permasalahn semula. Contoh Masalah Ada 9 koin, berat delapan koin adalah sama dan koin kesembilan adalah koin terberat. Diasumsikan bahwa koin mempunyai permukaan yang sama. Dengan menggunakan panci keseimbangan, berapa banyak keseimbangan terkecil yang dibutuhkan untuk menentukan koin terberat. Langkah 1: Memahami Masalah Koin-koin tersebut akan diletakkan pada panci. Jika salah satu sisi keseimbangan lebih rendah daripada yang lain, maka sisi tersebut berisi koin yang lebih berat. Jika sebuah koin diletakkan pada setiap panci dan terjadi keseimbangan, maka koin yang lebih berat berada pada sisa koin yang tidak ditimbang (pada kumpulan 7 koin). Jika kita melanjutkan cara ini terus dan selalu terjadi keseimbangan, maka koin terakhir adalah koin yang paling berat. Dan ini membutuhkan 4 keseimbangan. Dapatkan kita menemukan koin yang lebih berat dengan lebih sedikit keseimbangan? Langkah 2: Memikirkan Rencana Untuk menemukan cara yang lebih efisien, mari kita menguji kasus 3 koin dan 5 koin sebelum bergerak ke kasus 9 koin. Langkah 3: Melaksanakan Rencana Tiga koin: letakkan satu koin dimasing-masing panci (gambar 1.24). Jika panci dalam keadaan seimbang, koin ketiga adalah koin yang lebih berat. Jika tidak seimbang, panci yang lebih rendah yang terdapat koin yang lebih berat. Dengan percobaan ini, kita hanya memerlukan 1 kali keseimbangan untuk menentukan koin yang lebih berat. Lima koin: letakkan 2 koin pada setiap panci (gambar 1.25). Jika panci dalam keadaan seimbang, maka koin kelima adalah koin yang lebih berat. Jika tidak demikian, koin yang lebih berat akan terletak pada panci yang lebih rendah. Ganti koin pada panci yang lebih tinggi dan letakkan satu koin dari dua koin yang terletak dipanci yang lebih rendah ke panci yang lain. Dalam keadaan ini, kita bisa menemukan koin yang lebih berat, yaitu koin yang berada pada panci 21
yang lebih rendah. Dengan percobaan ini, kita memerlukan 2 kali keseimbangan untuk menentukan koin yang lebih berat. Sembilan koin: di bagian ini, pola-pola seharusnya sudah dapat diidentifikasi untuk membuat penyelesaian yang lebih mudah. Dari permasalahan 3 koin, kita dapat menentukan koin yang lebih berat dengan membagi kedalam 3 kelompok. Dari permasalahan 5 koin, kita mengetahui bahwa dengan menyeimbangkan kelompok koin bersama-sam, kita dapat dengan cepat mengurangi banyaknya koin yang diperlukan untuk diuji. Ide ini akan dihubungkan dengan masalah 9 koin, dengan membagi kedalam 3 kelompok dan keseimbangan 2 kelompok dari yang lain (gambar 1.26). pada keseimbangan pertama, kelompok yang terdapat koin yang lebih berat dapat diketahui. Setelah itu koin yang paling berat dapat diketahui lewat keseimbang 3 koin. Minimal banyaknya keseimbangan yang diperlukan untuk menentukan koin yang lebih berat dari 9 koin adalah 2 kali.
Langkah 4: Memeriksa Kembali Dalam penyelesaian masalah menggunakan penyederhanaan masalah, tidak ada pola bilangan yang dimunculkan. Walaupun, pola dalam proses penyeimbangan yang dapat diulang dengan bilangan yang lebih luas dari koin yang muncul. Masalah Tambahan dimana Strategi “Penyelesaian dengan Penyederhanaan Masalah” Berguna.
1. Tentukan jumlah Langkah 1: Memahami Masalah
22
Masalah ini dapat diselesaikan dengan langsung menyamakan penyebutnya, yaitu
, dan menemukan jumlah pembilangnya.
Langkah 2: Memikirkan Suatu Rencana Selanjutnya, melakukan perhitungan langsung, mari menghubungkan berbagai strategi. Yaitu membuat daftar dari jumlah beberapa bilangan dan mencari polanya. Langkah 3: Melaksanakan Rencana
,
,
,
Pola dari penjumlahan di atas adalah ,
,
, dapat dikatakan bahwa jumlah atau
dari 10 bilangan pecahan tersebut adalah
.
Langkah 4: Memeriksa Kembali Metode ini menghubungkan strategi penyelesaian dengan penyederhanaan masalah dengan membuat daftar dan mencari suatu pola yang penting. Contoh,
? Karena penyebutnya besar, kita tidak
berapa jumlah ingin menambahnya secara langsung.
2. Berikut adalah anak panah pada gambar 1.27, berapa banyak jalan yang ada dari A ke B?
Gambar 1.27
3. Ada 20 orang dalam pesta. Jika setiap orang akan berjabat tangan dengan yang lainnya, berapa banyak jabat tangan dapat dilakukan? Petunjuk Penggunaan Strategi Penyelesaian dengan Penyederhanaan Masalah Strategi penyelesaian dengan penyederhanaan masalah akan tepat digunakan ketika: 1.
Masalah yang perhitungannya sulit
2.
Masalah yang menyangkut bilangan yang sangat kecil atau besar
3.
Penyelesaian secara langsung terlalu kompleks
23
4.
Kita ingin mendapatkan pemahaman dari permasalahan
5.
Masalah yang menyangkut aturan atau diagram yang luas.
Tinjau kembali 3 permasalahan yang sudah kita pelajari untuk mengetahui bagaimana petunjuk tersebut mungkin membantu kita memilih strategi penyelesaian dengan penyederhanaan masalah untuk menyelesaikan suatu permasalahan.
3. Menghubungkan Strategi-Strategi untuk Menyelesaikan Masalah. Seperti yang ditunjukkan sebelumnya pada 4 langkah penyelesaian, itu sering kita gunakan untuk menggunakan beberapa stategi dalam penyelesaikan masalah. Contoh, dibagian 1.1 masalah pizza yang akan ditunjukkan dalam pembahasan berikut. Berapa banyaknya potongan maksimum untuk memotong pizza dengan 4 potongan lurus? pertanyaan ini dapat dijadikan sebagai pertanyaan yang umum. Berapa banyaknya potongan maksimum yang dapat kita lakukan untuk memotong pizza dengan n potongan lurus? Untuk menjawab ini, perhatikan rangkaian pada gambar 1.9: 1, 2, 4, 7, 11. Untuk mengetahui pola pada rangkaian tersebut, dengan mengamati bagaimana rangkaian pola-pola yang dihubungkan yang dapat membantu. Di kasus ini, suku kedua yaitu 2 dapat diperoleh dari suku pertama ditambah dengan 1 atau mengalihkan dengan 2. Suku ketiga, yaitu 4, dapat diperoleh dari suku kedua, yaitu 2 dengan menambah 2 atau mengalikan dengan 2. Walaupun perkalian 2 muncul sebagai pola, tapi itu tidak memenuhi ketika kita bergerak dari suku ketiga ke suku keempat. Suku keempat dapat ditemukan dengan menambah 3 dari suku ketiga. Kemudian barisan itu muncul sebagai berikut: barisan
selisih Memperluas barisan selanjutnya, kita memperoleh berikut: Suku ke Barisan Selisih Dapat ditulis juga sebagai berikut: Bentuk pertama
:1=1
Bentuk kedua
:2=1+1
Bentuk ketiga
:4= 1+(1+2)
Bentuk keempat
:7=1+(1+2+ 3) 24
Bentuk kelima
: 11 = 1 + ( 1 + 2 + 3 + 4) dan seterusnya.
Kita mengetahui bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = adalah 1 + [1 + 2 + 3 + … + (n-1)] = 1 + kedelapan pada barisan adalah 1 +
. maka bentuk ke-n pada barisan . Catatan bahwa untuk mengecek suku
= 1 + 28 = 29. Karena, untuk menyelesaikan
masalah semula, kita menggunakan gambar, mencari suatu pola dan menggunakan variabel. Kemungkinan bahwa suatu pola tidak menjadi jelas setelah satu himpunan perbedaan. pertimbangkan masalah berikut ini yang mana berbagai perbedaan yang dituntut untuk menemukan pola.
Contoh Masalah Jika ada 10 titik yang terletak pada lingkaran dan setiap titik akan dihubungkan dengan garis, berapa banyaknya daerah maksimum yang dapat dihasilkan? Langkah 1: Memahami Masalah Masalah ini dapat dipahami lebih baik dengan menggunakan gambar. Menggambar 10 titik dan semuanya dihubungkan dengan garis, lihat masalah lebih sederhana pada lingkaran dengan 1, 2,atau 3 titik yang akan membantu memahami masalah. Berikut akan ditunjukkan 3 kasus pada gambar 1.28.
Langkah 2: Memikirkan Rencana Lebih lanjut, banyaknya daerah pada gambar di atas berturut-turut 1, 2 dan 4. Hal ini, dapat memulai suatu pola 1, 2, 4, 8, 16, …. Mari gambar 3 bentuk lagi. Kemudian pola dapat disimpulkan untuk masalah yang 10 titik. Langkah 3: Melaksanakan Rencana Tiga gambar tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar 1.29.
25
Membuat daftar dari banyaknya titik pada lingkaran dan kesesuaian banyaknya daerah akan membantu kita menemukan pola. Titik
1
2
3
4
5
6
Daerah 1
2
4
8
16
31
Sementara itu pola untuk 5 kasus pertama membuat itu memunculkan banyaknya daerah adalah dengan menggandakan saja masing-masing titik tambahan,
pada
kasus
31
daerah
dengan
6
titik
merusak
pola.
Mempertimbangkan selisih antara bilangan-bilangan pada suatu pola dan mencari suatu pola pada selisih-selisih..
Karena pada selisih pertama, kedua dan ketiga belum menunjukkan suatu pola yang jelas, maka selisih keempat dihitung dan menemukan sebuah pola pada suatu permasalahan. Hal itu dapat ditunjukkan sebagai berikut:
Dengann menemukan selisih yang diharapkan, kita dapat mengetahui bahwa penyelesaian dari permasalahan kita adalah 256 daerah. Langkah 4: Memeriksa Kembali Dengan menggunakan gabungan membuat suatu gambar, penyelesaian dengan penyederhanaan masalah, membuat daftar, dan mencari pola, penyelesaian dapat ditemukan. Hal itu dapat juga mengetahui bahwa itu sangat penting ketika mencari suatu pola, untuk menyatakan bahwa kita mungkin mencari banyak bentuk dan banyak selisih untuk menemukan pola. 26
D. KESIMPULAN Ketika terdapat suatu masalah, kita harus lebih teliti dalam mencari penyelesaian dengan menggunakan pendekatan 4 langkah Polya. Walaupun tidak diperlukan untuk melabelkan dan menunjukkan setiap 4 langkah pada setiap waktu kamu mengerjakan suatu masalah. Dilain pihak, ini lebih baik untuk membiasakan kita dalam mengingat 4 langkah seperti yang kita rencanakan dan seperti yang kita kerjakan suat masalah. Pada bab ini, kita memperkenalkan beberapa strategi penyelesaian masalah yang penting. Disetiap bab berikutnya, strategi penyelesaian masalah akan dikenalkan. Strategi-strategi itu akan membantu ketika kita membuat suatu rencana. Seperti yang kita rencanakan untuk menyelesaikan masalah, memikirkan strategi-strategi yang digunakan. Kemudian bagian yang terpenting dari penyelesaian masalah dapat dipandang sebagai alat atau strategi yang tepat. Kita akhiri bab ini dengan mendaftar saran-saran bahwa siswa yang berhasil menyelesaikan pembelajaran yaitu dengan menyelesaiakn masalah dengan petunjuk-petunjuk yang membantu. Baca kembali secara teratur untuk kemajuan kita dalam melewati buku ini.
Saran-saran dari pemecah masalah yang sukses Menerima tantangan untuk menyelesaian suatu masalah Menulis kembali masalah dengan kata-kata sendiri Gunakan waktu untuk menyelidiki, membayangkan berfikir. Bicara pada diri sendiri. Menanyakan pertanyaan yang banyak Coba memecahkan masalah dengan bilangan yang sederhana Banyak masalah membutuhkan waktu yang lama, jika kita telah frustasi janganlah kita menyerah. Lihatlah masalah dalam berbagai cara. Laksanakan daftar strategimu untuk melihat apakah satu atau lebih strategi dapat membantu kita untuk memulai Mengubah dan menyelesaikan masalah kita Tulislah solusimu dengan rapi dan jelas, sehingga kita akan mampu memahami solusi jika kita membaca kembali dalm 10 tahun mendatang Kembangkan kemampuan membantu menyelesaikan masalah saat mendampingi orang lain dalam menyelesaikan masalah Jangan memberi solusi bahkan memberikan petunjuk yang bermakna Menyelesaikan masalah adalah pengalaman yang positif. 27
28
