A mozgás elemi tulajdonságai Dinamika Súlyos és tehetetlen tömeg Kényszermozgás Bolygó mozgás d Alembert

Fizika kiegészítő Vázlat

Tartalomjegyzék A mozgás elemi tulajdonságai ............................................................................................................. 2 Dinamika .............................................................................................................................................. 3 Súlyos és tehetetlen tömeg ................................................................................................................. 3 Kényszermozgás .................................................................................................................................. 4 Bolygó mozgás ..................................................................................................................................... 5 d’Alembert........................................................................................................................................... 5 Impulzus, mozgásmennyiség ............................................................................................................... 6 Munka.................................................................................................................................................. 6 Konzervatív erők .................................................................................................................................. 7 Merev testek kinematikája és sztatikája ............................................................................................. 7 Forgatónyomaték ................................................................................................................................ 8 Az impulzusnyomaték ......................................................................................................................... 8 Súlypont............................................................................................................................................... 9 Stabilitás ............................................................................................................................................ 10 A virtuális munka elve ....................................................................................................................... 11 Mérleg egyensúlya ............................................................................................................................ 12 A rugalmas ütközésről ........................................................................................................................... 13 Térerő ................................................................................................................................................ 15 Hidrosztatika...................................................................................................................................... 16 Úszás .............................................................................................................................................. 16 Aerosztatika ....................................................................................................................................... 18 Hidrodinamika ................................................................................................................................... 18 Felületi feszültség .......................................................................................................................... 18 Örvény, forrás, forgatag .................................................................................................................... 19

Deformálható testek mechanikája .................................................................................................... 22 A statika törvényei............................................................................................................................. 26 Szuperpozíció leve (Ludwig Eduard Boltzmann 1844–1906) ........................................................ 26 De Saint-Venant-elv (Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant 1797–1886)......................... 26 Betti-féle reciprocitási elv (Enrico Betti 1823–1892) .................................................................... 26 Reológia ............................................................................................................................................. 27 A reológia axiómái ......................................................................................................................... 27 Az elasztikus alaprendszer ............................................................................................................. 28 A viszkózus alaprendszer ............................................................................................................... 28 A plasztikus alaprendszer .............................................................................................................. 28 Folyásgörbék (Ostwald, Bingham) ..................................................................................................... 29 Soros és párhuzamos reológiai modellek ...................................................................................... 31 Optika ................................................................................................................................................ 31 Színtan ............................................................................................................................................... 31 Időegyenlítés, időszinkron Mérések elve Metrológia (összehasonlító, stb) Áramló mennyiségek Mennyiségek mérése Mértékegységek értelmezése (IUPAC) számítási példa az összetételi aránnyal kapcsolatban

A mozgás elemi tulajdonságai Az általános mozgás pályamenti tulajdonságait a baloldali ábrán láthatjuk. Az első szakasz: egyenletes gyorsuló mozgás. A második szakasz: állandó sebességű (egyenletes) mozgás. A harmadik szakasz: egyenletesen lassuló mozgás. Megfigyelhető az integrál és a derivált függvény kapcsolata (nulladelső- és másodfokú függvény) Körmozgás és egyenes vonalú mozgás körmozgás. Vektor, deriválás. Skalárszorzat. Ferde hajítás:

x  v0 t  cos  ; z  v0 t  sin  

1 g  t 2 út 2

v x v 0  cos  ; v z  v0  sin   g  t a x  0 ; a z   g gyorsulás

sebesség

pályaegyenlet z  f ( x)  x  tg 0 

g x2 2v  cos 2  2 0

A Hold 1 másodperc alatt 1020 m-t tesz meg és 1,4 mmt esik poláris-derékszögű x  r  cos   t ; y  r  sin   t ;     t

1 s  s0  v  t  a  t 2 egyenes vonalú mozgás 2 1 2

   0    t    t 2 forgó mozgás

Dinamika axióma: egyszerűek, egymástól függetlenek, ellentmondásmentesek, teljesek Newton törvényei I.

Minden test megmarad a nyugalom (vagy az egyenes vonalú egyenletes mozgás) állapotában, míg más testek hatása mozgásállapotának megváltoztatására nem kényszeríti

A legegyszerűbb mozgás. Vonatkoztatási rendszer: inerciarendszer II. A testeknek más testekre való hatását erőnek nevezzük, ez alkalmas a mozgásállapot megváltoztatására. Egy pontszerű test a gyorsulása egyenesen arányos a testre ható (a gyorsulással azonos irányú) F erővel és fordítva arányos a test m tömegével (elektromos töltés mozgatása – erő) Dinamikai erőmérés F= m1a1=m2 a2

a  r

2

2  2  tehát r

T2

m2 a1  m1 a 2

m2 a1 T22 a lengésidők hányadosa   m1 a 2 T12

A tömeg additív, ezért skalár. A tömegek összege akkor is állandó, ha halmazállapot-változások, vagy kémiai átalakulások játszódnak le (Lomonoszov-Lavoisier) Itt megemlítendő az extenzív, amely additív és skalár, valamint az intenzív, amely kiegyenlítődő és vektor (extenzív: tömeg, villamos töltés, hő). Hajtóerő: intenzív (erő, nyomás, nyomaték, hőmérséklet, villamos és mágneses térerő)

Súlyos és tehetetlen tömeg G=m g (erőtérből) F=m a (gyorsulásból)

Statikus mérlegelés (kétkarú mérleg) összehasonlítás elve (rugós mérleg) Ha egy test homogén, akkor minden elemi részecskéjében azonos tulajdonságú. ρ sűrűség



m m dm a légköri levegő sűrűsége egy adott irányban folytonosan változó értékű ... ... V V dV

1l=1,000028 dm3 (ma már érvénytelen) III. a kölcsönhatás törvénye. Ha egy testre egy másik F erővel hat, akkor a másik testre az egyik ugyanakkora erővel hat IV. Az erőhatások függetlenségének elve. Ha egy anyagi pontra több erő hat, akkor hatásuk azonos az eredőjükkel jellemzett egy erő hatásával -> szuperpozíció elve Egyensúly: ha ez az erő nulla értékű Rezgőmozgás: F   Dx direkciós erő (a rugóállandó reciproka) a  x 2 és F  m 2 x  d  x (a rezgő rendszer független az amplitúdó nagyságától) m 2  D



D m és T  2 (75. oldal) m D

Kényszermozgás Kényszermozgások Szabad mozgás (pl. az égitestek mozgása)

Kényszermozgás: merev testtel határolt mozgás (kényszerfeltétel: fonálinga, vasúti sín, asztallap) m  a  Fsz  Fk a test gyorsulása a szabaderők és kényszererők összegével arányos

Mozgás lejtőn. A lejtővel párhuzamos Fl=Fsz erő Fsz  m  g  sin  gyorsuló mozgást hozna létre súrlódásmentes állapotban A lejtőre szorító erő kényszererő (Fk=Fny) Fk  m  g  cos  . Ez az erő ebben az irányban nem képes elmozdulást létrehozni. Ez az erő akár kisebb, akár nagyobb, értékét pontosan ugyanakkora ellenerő egyensúlyozza ki. Ebből számítható a súrlódóerő. A száraz súrlódás (dry friction) esetéről beszélünk. Tapadási, nyugvásbeli súrlódás = static friction, Haftreibung, Ruhereibung, frottement statique Mozgásbeli, csúszó, kinetikus súrlódás = kinetic, sliding friction, Gleitreibung, frottement cinétique Mozgás lejtőn súrlódással F  m  g sin    cos  

Bolygó mozgás I.

A bolygók ellipszispályákon keringenek, amelyeknek egyik gyújtópontjában a Nap áll

II.

A Naptól valamely bolygóig húzott rádiuszvektor egyenlő idő alatt egyenlő területet súrol

III.

A keringési idők négyzetei arányosak a nagytengely köbeivel (Kepler)

F  m  r  2  m  r

4 2 , T2

T12 r13   CN ; T22 r23

C r  2N , 2 T r

tovább: F  4 2 C N

CN-nek tartalmaznia kell a Nap tömegét, tehát 4 2 C N  M N és így F  

m és r2

M m , ahol a γ r2

M m . r2 m 3 5,97  10 24 kg m  9,80665 2 2 2 kg  s 6370000m s

univerzális állandó. Súlyerő esetén m  g  

g

M  6,67  10 12 2 r

m 2m  g   r 2      s M  kg

   F  r M 

2

 N m kg 2

2



m3 (szabaderő-formátum); kg  s 2

2

(kényszererő-formátum). Tanulság: a mértékegységeket nem szabad

értelem nélkül egyszerűsíteni, mert ezzel elvész az ábrázolt mennyiség jellege.

d’Alembert Az egyensúly feltétele: féle erő), akkor

 F  0 . Ha mozgás van,  F  m  a  0 Legyen F

F  F

*

*

 m  a (d’Alembert-

 0 , vagyis a dinamikai problémák statikai problémákra vezethetőek

vissza. Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) Église Saint-Jean-le-Rond templomról kapta a nevét.

Impulzus, mozgásmennyiség I  mv Newton második törvényének teljes alakja: F 

dm  v   dI  F  dt (az erőlökés). Ha a tömeg

dI d m  v  , tehát F  ahol dt dt

dv  m  a , ha a dt dm sebesség változatlan, akkor F  v  v  qm . A dt változatlan, akkor F  m

tömegáramot jelölhetjük qm-mel, illetve Im-mel (hasonlóan egyéb áramokhoz). A tömegáramsűrűség az ehhez kapcsolódó kisbetű: im

I m   kg im   s

kg m 2s

Munka W   F  s , elemi kis mennyiségekből: W   F  ds A súlyerő ellen végzett munka W  m  g  h Tetszőleges erő tetszőleges útvonal mentén:

W  F  s  cos  . Ebből látható, hogy a munka skaláris mennyiség. A súlyerő ellenében végzett munka a megtett út függőleges vetületéből számítható, mert ez esik az erő útvonalába. Súrlódási munka: W    G  s Rugalmas erő F  D  x munkája: W  F  x ; az erő a megtett úttal arányosan változik, ezért:

W

1 D  x2 2

Gyorsító erő F  m  a : munkája: W 

1 m  v2 2

1 1 1 2 W  F  s  m  a  a  t 2  ma  t   m  v 2 2 2 2 A baloldali ábrán egyetlen apró különbség látható. A tömeg azonos, tehát az erő arányos a gyorsulással. Felül a gyorsulás látható a megtett út függvényében, alul a vonóerő. A vonóerő és a megtett út szorzata a munkavégzés. A fogaskerekű motorját völgymenetben generátoros üzemmódban járatják, ezért regeneratív

féküzemben működik, energiát termel vissza a hálózatra. A gőzmozdony azonban nem tud lejtmenetben szenet termelni.

Konzervatív erők A múltban az elnevezések nem voltak egységesek. Jelen esetben az erő kifejezés akár munkát, vagy energiát is jelenthet. Konzerválódás -> konzervatív erők Ellentéte: a disszipatív erők (ezek visszavonhatatlanul veszteségbe mennek)- jellegzetesen ilyen a súrlódás. Nem cáfoltuk meg az energia megmaradás törvényét; csupán arról van szó, hogy a súrlódás eredményeképpen letört részecskék és a keletkezett hő nem változtatható vissza reverzibilisen súrlódási munkává.

Merev testek kinematikája és sztatikája Helyzet a térben: középpont; x, y, z koordináták. Euler (1707-1783): 6 szabadsági fok

xA, yA, zA, xB, yB, zB, xC, yC, zC kilenc adat volna, de redukálható 6-ra. Képzeljünk el egy igen egyszerű testet (téglatest, amelynek élei és oldalai merőlegesek egymásra) Ha ismerjük az A pont helyzetét három koordinátájával (és ismerjük az AC hosszúságát), akkor a C pont egy gömb felületén akárhol lehet. Ha ismerjük C pont helyzetét (ismét három koordináta), akkor a B pont egy körvonal mentén bárhol lehet (az AC tengely körül megforgatott térbeli pont) Ha ismerjük B pont helyzetét (ismét három koordinátával), akkor a test teljes egészében meghatározott. Ez összesen kilenc koordináta. Ez a szám azonban csökkenthető, ha ismerjük a belső összefüggéseket. Ilyen például a testátló: d AC 

xC  x A 2   yC  y A 2  zC  z A 2

Valamennyi összefüggést figyelembe véve az egymástól függetlenül megadható adatok száma 6. Ezt Euler szabadsági foknak nevezte el. Kevesebb adat megadása nem elégséges; több adat megadása túlhatározott értékmegadást jelent. Az adatok megadhatók más formában is, például 3 hosszúság és három szög; elmozdulás 3 irányban (transzláció) és elfordulás 3 tengely körül (rotáció). A legáltalánosabb mozgás is felírható elemi transzlációk és elemi rotációk egymásutánisá gával

(szuperpozíciójával). A transzlációk sorrendje nem befolyásolja az elmozdulások eredőjét. A rotációk sorrendje nem cserélhető fel (Rubik Ernő, Rubik-kocka). Nagy elfordulásokra a vektoriális szemlélet nem vihető át, mert a rotáció csak egytengelyű forgásra értelmezhető.

v    r  sin  (abszolú érték)

v    r (vektor) A mozgás középpontja az O origó. A P ponthoz húzott sugár jele r. Ennek vetülete a v kerületi sebesség vektor síkjára ρ.

Forgatónyomaték A baloldali ábrán a d1 kar és F1 erő azonos nagyságú, de ellentétes előjelű nyomatékot hoz létre, mint a d2 karon az F2 erő nyomatéka. Ezért a test megtartja forgási mozgásállapotát (egyszerűbben: nem forog). Az erőpár nyomatékvektora önmagával párhuzamosan a testen belül akárhová eltolható. Az ábrán az M1 és M2 nyomatéka azonos nagyságú és ellentétes előjelű, eredőjük tehát nulla: a test megtartja forgási mozgásállapotát (a legegyszerűbb estben: nem forog). Ha M2 nyomaték támadáspontját a testen belül eltoljuk, az egyensúly továbbra is fennáll. Ebből következtethető az erőrendszer redukálása: több erőpár nyomatéka egyetlen erőpár nyomatékával helyettesíthető.

Az impulzusnyomaték A mozgásmennyiség (más néven impulzus) időderiváltja az erő:

dI  F (előzőleg így írtuk) dt

d m  v   F . Az alábbiakban vektormennyiségekkel számolunk. Ennek egyik következménye, hogy a dt szorzandók sorrendje lényeges. Például r·F azonos nagyságú, de ellentétes előjelű F·r-hez képest. Ennek nyomatéka valamely középpontra: r  F  r

dI dt

Pontrendszer esetén tetszőlegesen sok ilyen nyomaték egyensúlya: deriváltja:

 dI i   . Teljes i dt 

 r F     r i

i

d ri I i   dri   dI i   I i    ri  . Ennek a kifejezésnek a baloldali tagja zérus, mert a dt  dt   dt 

dri sebesség és az I i  mi vi impulzus azonos irányúak, ezért vektoriális szorzatuk nulla. Képezhető dt tehát a vektorok nyomatéka: N   N i   ri I i    mi ri vi  . Ez a rendszer teljes impulzusnyomatéka (más néven impulzusmomentuma, vagy forgási impulzusa). Ennek ismeretében számítjuk a rendszerre külső ható erők forgatónyomatékának eredőjét: M  impulzusnyomaték tétele tehát:

 M   r F  . Az i

i

i

dN  M . Egy mechanikai rendszer impulzusnyomatékának idő dt

szerint vett differenciálhányadosa egyenlő a rendszerre ható külső erők eredőjével. A vonatkoztatási pont az inerciarendszer bármely nyugvó pontja, vagy akár a súlypontja is lehet. Az integrálási szabályok

értelmében,

ha

M=0,

akkor

N=konstans,

N   mi ri vi   const .

Ez

az

impulzusnyomaték megmaradásának tétele. Ha a rendszerre nem hatnak külső erők (zárt rendszer), vagy, ha a külső erők forgatónyomatékainak eredője zérus, akkor a rendszer impulzusnyomatéka állandó. Alkalmazva egyetlen tömegpontra: (r·v)=konstans és (r·F)=0 Centrális erőkről van szó (irányuk mindig a vonatkoztatási pont felé mutat); a r·v szorzat a rádiuszvektor által súrolt terület kétszerese. Vizsgáljuk meg az impulzusnyomaték abszolút értékét! N i  mi ri vi . Ha ezt a térben valamely z tengely körüli forgásra vizsgáljuk, amely  szöggel tér el N irányától, akkor a rádiusz vektor vetülete

ri cos i  li és vi    li . Következésképp az impulzusnyomaték abszolút értéke a z tengelyre N iz  mi li2  ; összegezve valamennyi tömegpontra: N z   N iz  z  mi li2 . Utóbbi függ a test tömegeloszlásától:





   mi li2   mi xi2  yi2 , a pontrendszernek a z tengelyre vett

tehetetlenségi nyomatéka. Ezzel az értékkel kifejezve a fenti egyenletet: N z    z , több merev test esetén ezek szummája:

N z  1z 1z  2 z 2 z  3 z 3 z ... Átrendezve az egyenletet:

1z  2  2 z 1

Súlypont A tetszőlegesen sok pontból álló rendszert anyagi pontok halmazának nevezzük (ilyennek tekintjük a súlypont szempontjából a homogén testeket is). Minden, egynél nagyobb anyagi pontból álló testnél

található egy olyan pont, amelyben az m1  m2  mi g erő (Newton IV. törvénye) azonos hatású, mint az elemekre ható erők összege. Az origót nem kell feltétlenül a súlypontba helyeznünk.

xs 

m x m i

i

, valamint y s 

i

m y m i

i

(esetleg a térben): z s 

i

m z m

i i

ahol

m

i

 megész (az

i

egész test tömege)

Stabilitás A G súlyerő támadáspontja mindig a súlypontban van (az ábrán S). Vele azonos hatásvonalú, eltérő támadáspontú, de vele azonos nagyságú F erő többféle stabilitási helyzetet hoz létre. Az erők egyensúlya miatt a test helyben marad. Nyugalmi állapotban mindhárom ábrán az erő kar nulla, ezért az eredő nyomaték is nulla. Ha azonban bármilyen zavarás kimozdítja helyzetéből a testet, akkor az a esetben visszatérítő nyomaték jön létre, c esetben nem jön létre nyomaték; azonban a b esetben létrejövő nyomaték tovább növeli az elfordulást. Éppígy: az óraüvegen egyensúlyban marad a golyó mindaddig, amíg a helyzetéből ki nem lendíti valami. A következő ábrán az állásszilárdság három lényeges esetét látjuk. Az A ábrán a szélső alátámasztási pont jele E. Az mg súlyerő támadáspontja az S súlypont. A súlyerő az S és E pontok vízszintes vetületével meghatározott forgatónyomatékot hoz létre, amely az alátámasztási felületre szorítja a testet. Látjuk: a test megmozdítása Δh értékkel megemeli a súlypontot, tehát munkát kellene végezni a gravitációs tér ellenében, hogy ez megvalósuljon. A B ábrán az erő kar igen kicsi, tart a nullához. A C ábrán a súlyerő hatásvonala a szélső alátámasztási ponton kívülre esik, ezért felborítja a testet. Szokás a stabilitás estét más megközelítésben vizsgálni. Ehhez felveszünk az S pontból jobbra egy akkora vízszintes hatásvonalú (felborítást előidéző) erőt, amellyel az eredő éppen a szélső alátámasztási pont felé irányul. Értéke tehát épp egyenlő a stabilitás határesetével. Ennek alapján megfogalmazható a biztonsági tényező, például így: a felborítást előidéző erő nyomatéka nem lehet nagyobb, mint a súlyerő nyomatékának a 90 százaléka.

A virtuális munka elve Az egyensúlyi helyzetből kimozdítva nincs olyan virtuális elmozdulás, amelynél a szabaderők munkája pozitív lenne. A szabaderő jelenleg az mg súlyerő, ez azonban nem emelni tudja, hanem lefelé képes elmozdítani a testet. Az ábrán a, b és c a virtuális elmozdulások iránya. A felfüggesztést megvalósító fonalat végtelenül merevnek tekintjük, ezért a fonál irányában nem jöhet létre elmozdulás.

Mérleg egyensúlya Az ábrán kétkarú mérleg látható, amelynek mindkét karja l hosszúságú, S súlypontjában hat a G0=m0g, a szerkezet súlya. Mindkét kar végén eredetileg m tömeget helyeztünk el, amelyek mg súlyerőt hoztak létre. Ha a két mérlegkar végén eltérő nagyságú súlyokat helyezünk el, a mérleg elhagyja egyensúlyi állapotát, és megváltozott állapotban vesz fel új egyensúlyi helyzetet. Az eltérést

G    g igen kicsi többlet okozta, emiatt a mérleg φ értékkel elfordult. Az egyensúlyi helyzetet a mérleg mozgó részére ható nyomatékok egyensúlyából írjuk fel. Elhagyható a két mérlegkarra ható M  l  G  l  m  g nyomaték, hiszen az a két oldalon egyenlő nagyságú, de ellentétes előjelű. Elegendő a különbségként ható nyomatékokat felírni. Az elfordulást előidéző nyomaték

M     g  l  cos  .

A

szerkezet

önsúlya

ezzel

ellentétes

nyomatékot

hoz

létre:

M 0  m0 g  s  sin  . Egyensúlyban egyenlők egymással:   g  l  cos   m0 g  s  sin  . Látjuk, a mérleg egyensúlya független a gravitációs erőtér nagyságától:   l  cos   m0 s  sin  . Alkalmazzuk a szögfüggvényre vonatkozó összefüggést! tg 

l . Tudjuk azonban, hogy a nagy pontosságú m0 s

mérlegeknek igen kicsi az elfordulásuk. Ilyenkor a szög és a tangense közel egyenlő egymással:

tg   . Így a fenti összefüggés tovább egyszerűsíthető:  

l . Ebből képezzük a mérleg m0 s

érzékenyégének értékét; azt, hogy a mért mennyiség megváltozása mekkora elmozdulást (elfordulást) idéz elő a mérőműszeren: É 

 l  . Látjuk ebből, hogy  m0 s

1. a mérlegkar hossza növeli a mérleg érzékenységét

2. a mérleg elforduló részének saját tömege csökkenti a mérleg érzékenységét 3. a mérleg elforduló része súlypontjának távolsága a forgásponttól csökkenti a mérleg érzékenységét A súlypontnak a forgásponttól való távolságát változtatni lehet egy kis csavarral, amely az elforduló rész tetején található (ott, ahol az ábrán az O betű látható). Érdemes megjegyezni, hogy az érzékenység növelésével a mérleg lengési hajlama is növekszik. Gauss: felcseréléses mérlegelés. Eljárása kiküszöböli azt a hibát, ha a két mérlegkar nem pontosan egyenlő hosszúságú. Ezért az első mérés után felcseréli egymással a mérendő tömeget és a mérlegsúlyt (áthelyezi a másik serpenyőbe). A mérlegelés eredménye a két mérés számtani középarányosa. Borda: helyettesítéses mérés söréttel. Eljárása kiküszöböli a két mérlegkar hosszának eltérését, valamint a mérlegkarnak a terhelés következtében létrejött alakváltozását (meghajlását). Elsőként kiegyensúlyozza a mérendő testet a másik serpenyőbe beleszórt söréttel, vagy vasreszelékkel. Utána elveszi a mérendő testet, és mérlegsúlyokat tesz a helyébe mindaddig, amíg a mérleg egyensúlya ismét helyre nem áll.

A rugalmas ütközésről A rugalmas ütközés leírása nem foglalkozik azzal, hogy az ütköző testek szenvedtek-e alakváltozást ütközés közben. Csakis az ütközés előtti és az ütközés utáni állapotot vizsgálja. (Angol: elastic collision). m1 és m2 tömegek ütköznek. Ütközés előtti sebességük v1 és v2. Ütközés utáni sebességük v1' és v2'. Az impulzus (súlypont) megmaradásának tétele:

m1v1'  m2 v2'  m1v1  m2 v2

A kinetikai energiák megmaradásának tétele:

 

 

2 1 1 m1 v1'  m2 v2' 2 2

2



1 1 2 2 m1 v1   m2 v2  2 2

Egyszerűsítve egyketteddel:

m1 v1'   m2 v2'   m1 v1   m2 v2  2

2

2

2

Az azonos tömegeket az egyenlet azonos oldalára rendezzük:

 m v





m1 v1'  v1  m2 v2  v2' 1

'2 1







 v12  m2 v22  v2'2



Ha elosztjuk az egyenletek baloldalait egymással és jobboldalait is egymással, akkor az egyenlőség érvényes marad (bizonyos peremfeltételekkel, pl. egyik tömeg sem nulla nagyságú):

v1'2  v12 v22  v 2'2  ' v1  v1 v2  v 2'

A számláló nevezetes szorzat (összeg és különbség szorzata), ezért az

összefüggés egyszerűsödik: v1'  v1  v2  v2' Ezt m2-vel megszorozva, majd m2v2'-t kifejezve kapjuk: m2 v2'  m2 v1'  m2 v1  m2 v2 Ugyanígy, a mozgásmennyiségekre vonatkozó egyenlőségből: m2 v2'  m1v1  m2 v2  m1v1' A két kifejezést egyenlővé tesszük egymással: m2 v1'  m2 v1  m2 v2  m1v1  m2 v2  m1v1' Minthogy az 1-es jelű testnek az ütközés utáni sebessége érdekel bennünket, v1' szerint rendezzük az egyenletet: m1v1'  m2 v1'  m1v1  m2 v1  m2 v2  m2 v2 Kiemelve a sebességeket: v1' m1  m2   v1 m1  m2   v2 2m2

Ebből v1':

v1'  v1

m1  m2 2m 2  v2 m1  m2 m1  m2

Ha például a két tömeg nagysága megegyező, az első tag kiesik; azaz az 1-es tömeg a 2-es tömeg sebességét veszi fel. Más szóval: a sebességeik kicserélődnek. Ha például v2=0 és m2=végtelen (merev falba való ütközés), akkor a második tag esik ki, és v1'=-v1, tehát ütközés után az 1-es tömeg ellentétes irányú, de azonos nagyságú sebességgel mozog. (Gaspard-Gustave de Coriolis: Théorie mathématique des effects du jeu de billard, Paris, 1835.) Rugalmatlan ütközésnél (inelastic collision, unelastischen Stoß) a két test sebessége az ütközés után egyenlő: v1'  v2' Ebben az esetben v1'  v 2' 

m1v1  m2 v2 v s (a súlypont sebessége) m1  m2

Például, ha m1  m2 és m2 nyugalomban volt (v2=0), akkor v1'  v2' 

m1v1  m2 0 1  v . Elviekben mm 2

tehát ilyen rugalmatlan ütközésnél csak az energia fele adódik át. Az energiaveszteség (ez hővé alakul)

1 m1 m2 v2  v1 2 2 m1  m2

Mérését a rugalmatlan ütközési együtthatóval (Coefficient of restitution, Restitutionskoeffizient)

v1'  v 2' végezzük   . Mérhető például úgy is, hogy a vizsgálandó testet adott magasságból leejtjük, v 2  v1 és mérjük: milyen magasra pattan vissza. A sebességek a helyzeti energiákból számíthatóak:

v1  2 g  h1 ; v2  2 g  h2 és így   2

h1 h2

Térerő A Föld erőterét a gravitáció és a centrifugális erő határozza meg. A felület szögsebessége a Nap körüli mozgást figyelembe véve az idő értékéből ( t  24h  3600s 

365nap  86163,9s ) 366nap

2rad rad . A radián per szekundumot általában így írják: s-1 A centrifugális  0,0000729 86164s s 2 m gyorsulás ac  r  6,37 10 6 m 72,9 10 6 s -1  0,033853 2 . Ezért az eredő gyorsulás változó s 





értékű. Például Zürichben 9,80665 m/s2, Budapesten 9,80852 m/s2. Ha kifejezzük valamely testre ható erőt, az Newton szerint (vektoriális formában):

F  

M m r  (az m tömegre vonatkozóan) írható a következő formában is: F  m  K , ahol a K r2 r

vektormennyiség; a gravitációs térerősség; a tömegegységre ható erő. Erővonalak: görbék, amelyek érintője a térerősség irányába esik (kis léptékben szemlélve egyenesek). Szintvonalak: merőlegesek az erővonalakra; összekötik azokat a helyeket, ahol azonos a térerő nagysága. Térbeli elhelyezkedésük szempontjából szintfelületekről beszélünk. Homogén erőtér: erővonalai párhuzamosak, következésképp a szintvonalak is párhuzamosak. Elméletileg a világtengerek felülete szintfelület (nívófelület). Newton-féle gömbszimmetrikus erőtér: erővonalai egy centrum felé tartanak, mint például a Föld középpontja. A szintfelületek ebben az esetben koncentrikus gömbfelületek. (A világtengerek felszíne makroszkóposan nézve valójában a geoid felületét követi.) B



Munkavégzés erőtérben: W   Fs  ds  E p meghatározza, hogy mekkora a munkavégzés, ha az A

A ponttól B pontig mozdítunk el valamit és a megtett út jele s (latinul: spatium). Itt ΔEp a potenciális energia megváltozása. Ha F=m·K, akkor

W   F  ds U   K  ds

tehát az U potenciál az a munka, amellyel az egységnyi tömeget a zérusból valamely

tetszőleges pontba visszük. A potenciál mértékegysége a térerő és az út mértékegységéből:

m m2 U   K s  2 m  2 . A Föld erőterében a felszínen például s s U 

2 M m 3 5,97 10 24 kg 6 m . Másképpen: U  g  h  6,67 10 12  6,2511  10 r kg  s 2 6,37 10 6 m s2

dU (a megtett út helyébe most a függőlegesen mért dz elmozdulás jelét, a z betűt írjuk). Ennek matematikai felírása: K  grad U , tehát a térerő a



Az U  K  ds művelet megfordítása: K 

potenciál negatív grádiense.

Hidrosztatika A folyadék a Pascal-elv szerint fogalmazható meg: a súlytalan folyadék belsejében és határfelületén a nyomás mindenhol ugyanakkora, és független a felületelem irányítottságától. A felületelem irányítottsága meghatározható a középpontjában a felületére húzott merőlegessel, ennél fogva vektormennyiség. Görbe felületeknél a felületelem középpontjához simuló gömböt képezünk. Ennek középpontjától a felületelemig húzott vonal a görbületi sugár, a görbület a görbületi sugár reciprok értéke. A felületelem meghatározható egy, a felületelemre merőleges vektorral, amelynek iránya a rádiusz vektoréval azonos, nagysága pedig a felületelem nagyságával. Domború felületeknél a felületelem vektor (a felületelem normálisa) kifelé mutat. A folyadéknak az ideálistól való eltérését kétféleképpen szokás meghatározni. Az egyik a nyíróerő (a folyadéksúrlódás), a másik a folyadék összenyomhatósága, a kompresszibilitás. Bővebben az ideális folyadék tulajdonságai:  nem alaktartó  inkompresszibilis (térfogattartó)  részecskéi között kizárólag nyomóerők adódnak át  részecskéi végtelen kicsiny gömb formájúak  a teret egyenletesen töltik ki  tulajdonságait tekintve izotróp és homogén  szabad felszíne merőleges a rá ható erők eredőjére (nívófelület)  a nyomás minden irányban egyformán terjed A reális folyadék részecskéi között egyéb erők is átadódnak, például nyíróerők, elektrosztatikus és mágneses erők (a vízmolekula poláris; van negatív és pozitív töltésű eleme). A víznek reális folyadékként 1 bar nyomásemelkedésnél 10-5-en mértékben csökken a térfogata. Ez SI mértékegységben 10-11 Pa-1 értéket jelent. A víz moláris mágeneses szuszceptibilitása −1,631×10−10 m3/mol, elektromos szuszceptibilitása 79. A vízmolekula súlyzó formájú. Tehetetlensége egyenes vonalú mozgás vonatkozásában (például rezgése) azonos, de a forgó mozgás tekintetében nem: pörgő mozgása, vagy oszcillációja a molekula tengelyétől függően eltérő lehet. Archimédesz: a folyadékba merített testre felhajtóerő hat, amely azonos a bemerülő résszel egyenlő térfogatú folyadék súlyával

Úszás A folyadékba merített test helyzete háromféle lehet: 1. ha sűrűsége nagyobb, mint a folyadéké, akkor lemerül

2. ha sűrűsége azonos a folyadékéval, akkor lebeg 3. ha sűrűsége kisebb, mint a folyadéké, akkor felúszik a felszínre A baloldali ábrán eltérő formájú úszó testek láthatóak, ám úszás szempontjából helyzetük indifferens

(meghatározhatatlan). A súlyerő és a felhajtóerő hatásvonala ugyanis egybeesik. Ezért eredeti helyzetéből kibillentve nem képződik olyan nyomaték, amely visszabillentené eredeti helyzetébe. A jobboldali ábrán a stabil, b labilis helyzet látható. Az a ábrán a G súlyerő támadáspontja az S súlypontban van. A felhajtóerő támadáspontja az Sf pontban látható, és erőpárt képezve a súlyerővel visszafelé forgatja az úszó testet eredeti nyugalmi állapotába. A b ábrán viszont ez az erőpár tovább növeli a test elfordulását, tehát felborítja. A következő ábrán ennek a jelenségnek másféle ábrázolását látjuk. A súlyerő eredeti hatásvonalát piros szín jelöli, míg a B pontban támadó felhajtóerő súlyvonalát szürke szín jelöli. A két súlyvonal metszéspontja az M metacentrum. Az úszó test helyzete stabil, ha a metacentrum a súlyerő támadáspontja felett van.

(G…M a súlyerő hatásvonala, B…M a felhajtóerő hatásvonala)

Aerosztatika

p  p0e



0 g h p0

,

  0 e

-

0 g h p0

A Föld légkörében a nyomás és a sűrűség a magasság

exponenciális függvényében csökken. Az emberi légzés számára az oxigén parciális nyomásának meg kell haladnia az 1/3 bar értéket. Ebből következőleg a légzés kb. 8000 m magasságig lehetséges (ott már nem a parciális nyomás, hanem még az össznyomás is alacsonyabb, mint 1/3 bar). Csupán sportolók képesek oxigénhez jutni ennél nagyobb földfelszín feletti zónákban légzőkészülék nélkül. Az Apolló 1 űrhajón a legénység légzéséhez 1/3 bar nyomású tiszta oxigén atmoszférát hoztak létre. A tiszta oxigén váratlan és végzetes tűzvészt okozott (1967 január 27). Ugyanez a képlet megmagyarázza az anizotrópia jelenségét: a nyomás és a sűrűség egyetlen térbeli irányban folytonosan változó értékű, van tehát iránya az anizotrópiának. Erre az irányra merőlegesen sem a nyomás, sem a sűrűség nem változik. Ha időjárási jelenségek nem volnának, az állandó nyomású értékeket koncentrikus gömbfelületek képviselnék a légkörben.

Hidrodinamika Felületi feszültség Az ábrán a Quincke-féle mérleg látható. A rögzített keretet alulról l hosszúságú mozgatható keret határolja. Közöttük szürke színnel jelölt, meghatározható felületi feszültségű folyadék van (például szappanhártya). Erre mérlegsúlyokat helyezünk mindaddig, amíg a hártya el nem pattan. Fh a legnagyobb erő, amellyel a hártya még ellen tudott állni a szétszakítás erejének. Ez tehát a felületi feszültségből származó erő. F  2  l Másféleképpen: ha a hártya felületét lΔd értékkel megnöveljük, ehhez W nagyságú munkát kellett végeznünk: F  2l , W  F  d  2ld , W  A ahol α (néhol γ) a felületi feszültség és A  ld a keret által megnövelt folyadékhártya felülete. Ez e munka reverzibilis. Ha „elengedjük” a hártyát, az visszaáll eredeti állapotába. Ezért beszélünk E felületi specifikus energiáról, amely egyenlő a munkavégzéssel E=W, és potenciális energiaként viselkedik. Jelenségek a felületi feszültséggel kapcsolatban: nedvesítés, folyadékoszlop felemelkedése, általános felületek (Laplace-képlet) Mérési eljárások: csepegtetéses (sztalagmométeres), gyűrű leszakításos, buborékoltatásos, síklap behatolása, függő csepp módszere (a csepp formájának mérése).

sztalagmométer számítási példa

Örvény, forrás, forgatag Pozitív forrás: ahol a vizsgált mennyiség belép a térbe. Negatív forrás: ahol a vizsgált mennyiség kilép a térből. A hidrodinamikában a térfogatokat tekintjük forrásnak. Egy forrás forráserőssége a térfogatáram. A gravitációs térben a tömegek nevezhetők forrásnak. A villamosságtanban forrás az, ahol töltések lépnek be a térbe.

Forrás általánosságban (pozitív és negatív forrás)

Forrás a villamosságtanban (jobboldalt: két pozitív forrás erőtere):

Forgás általánosságban. Ez a fajta forgómozgás egyaránt előfordul merev testeknél és folyadékoknál is. A mozgás irányát jelző nyilak érintőlegesek a körmozgáshoz képest, és merőlegesek a részecskéket a forgás centrumával összekötő vonalra.

A következő ábrán látjuk, hogyan mozognak a folyadékrészecskék két ellentétes határesetben: ha tiszta rotációs, vagy, ha tiszta transzlációs körmozgás jön létre. Rotációs körmozgásnál az AB, illetve a

DC vonalak sugárirányúak maradnak a körmozgás alatt. Ezért a centrumtól távolabb eső pontok (B és C) nagyobb ívhosszon mozognak, mint az A és a B. Transzlációs körmozgásnál ellenkezőleg: a kijelölt folyadékrészecske valamennyi pontjának azonos az elmozdulása. A pontokat összekötő vonalak párhuzamosak maradnak egymással (például az AB él párhuzamos marad az A’B’ éllel). A valóságos körmozgások e két véglet közé eső általános mozgások. Ennek leírásához felhasználjuk az örvényekre vonatkozó tételeket. Tekintsünk egy folyadékrészecskét, amely zárt göbe mentén mozog. Valamely i-edik mozgáseleme Δsi elmozdulással jellemezhető, és sebessége az adott pontban vi. A sebességnek a mozgás irányára vett vetülete vsi. Adjuk össze az elmozdulások és a sebességek



szorzatát az egész görbe hossza mentén!   vs ds G

Ha nem valósan nagy, hanem elemi kis úthosszakra számítjuk, akkor végtelen jó közelítést kapuk. A körintegrál értéke Г a cirkuláció. Ebből megfogalmazható a tétel: az áramlás örvénymentes, ha a cirkuláció zérus. A qV 

q r V forráserősségű pontszerű forrás áramlási képe: v  V 2 (itt r a t 4r r

rádiusz vektor, míg r ennek az abszolút értéke). 4πr2 a gömbfelület nagysága; a forrás közvetlen közelében jó közelítést ad.

k . Ha az áramlás örvényes, a cirkuláció az r örvényerősség kétszerese (örvényerősség: A  r 3    ). A gravitációs erőtérben Г=0, tehát Örvényes áramlásnál v    r , cirkulációs áramlásnál v 

örvénymentes. A forgatag két részből áll. A mag forog, míg a szélén transzlációs körmozgást végez (ezt nevezi a hétköznapi nyelv örvénynek). Az élelmiszeriparban két fontos területen kell ezekről beszélni. A malomiparban a porleválasztó ciklonok belsejében részben (a palást mentén) a forgás centrifugális erőt hoz létre. Ettől a szemcsés részek (liszt) a paláston súrlódást szenvednek, elvesztik sebességüket, és lecsúsznak az ürítő nyílás felé. A hidrociklonok működése hasonló. Hidrociklonokat és centrifugális ülepítőket (mint a Dorr ülepítő) a szennyvíztisztítás gyakorlatában használnak. Dorr ülepítő vázlata. A készülék átmérője gyakran a 20 métert is eléri.

Deformálható testek mechanikája A testekre ható erő és az alakváltozás összefüggése kétféleképpen írható le: Korpuszkuláris megközelítés. A szilárdságtani tulajdonságokhoz ismerjük az anyag belső szerkezetét és abból következtetünk a viselkedésére Fenomenológiai megközelítés. Vizsgálatokat, kísérleteket végzünk, feljegyezzük az eredményt, ebből megismerjük az anyag tulajdonságait, de a belső szerkezetét nem. Az élelmiszeriparban előnyösebb módszer, mert az anyag belső szerkezete rendkívül komplex. A szilárdságtani tulajdonságok a test terjedelmén belül lehetnek homogén

izotróp

inhomogén anizotróp Robert Hooke (1625–1703) törvénye (1676) kezdetben csak a húzó igénybevételre vonatkozott (nyújtás). Az alakváltozás arányos a deformáló erővel, ha az elegendően kicsi, s ezért az arányossági határ alatt marad.

A rúd eredeti hossza l. Ha F erő hat rá, akkor megnyúlik Δl értékkel és d átmérője lecsökken Δd mértékben. Ezzel kapcsolatban a következő mennyiségeket értelmezzük:  

l relatív alakváltozás. l

Ez jelen esetben nyúlás, de az arányossági határon belül összenyomásra is értelmezhető. A hossztengelyre merőleges irányban értelmezzük a befűződés (kontrakció) értékét:

d . Ha ismert a d

rúd A keresztmetszete (nem kell feltétlenül kör keresztmetszetűnek lennie), akkor a rúdra ható mechanikai feszültség  

F  . Az anyag tulajdonságait a rugalmassági modulus fejezi ki: E  . A 

Homogén és izotróp anyagoknál a rugalmassági modulus a test terjedelmén belül mindenhol állandó.

1 F . A relatív nyúlás és a rá merőleges E A  d d . A negatív előjel kifejezi azt, hogy a relatív alakváltozás hányadosa a Poisson-állandó:   l l A megnyúlás más formában is kifejezhető. Például: l 

szilárd testek alaktartóak; pozitív megnyúláshoz negatív átmérő-változás tartozik. A Poisson-állandó értéke 0 és 0,5 közötti érték. Fémes szerkezeti anyagoknál 0,3 nagyságrendjébe esik, és csak ideális folyadékoknál érheti el a 0,5 értéket. 0,5 kifejezi azt, hogy az ideális folyadék térfogattartó. A relatív térfogatváltozás a következőképpen számítható. V  l  l l l   l 3 . A szorzat 2

kiértékelésénél tekintetbe vesszük, hogy a relatív alakváltozás igen kicsi; a négyzete még kisebb, s





ezért l 2  0 . A térfogatváltozást elosztva az igénybevétel előtti V=l3 térfogattal kapjuk, hogy

V l V 1 2  1  2  , így   . A relatív térfogatváltozás és a képlete így is írható: V l V E 1 2 V   E Nyomó igénybevételnél, ha az alakváltozás a tér mindhárom irányában azonos, 

V  p , ahol p a V

1 1  2 . A K anyagi állandó, és a neve: kompressziós 3 K E modulus (angolul: bulk modulus). Ideális (inkompresszibilis) folyadékoknál   0,5 , ezért K  0 . nyomás, és a kompresszibilitás:  

További összefüggések: K  V

dp dp (a nyomásváltozás térfogat szerinti deriváltja), K   (a dV d

nyomásváltozás sűrűség szerinti deriváltja). Ideális gáz esetén K s  p (kompressziós modulus adiabatikus állapotváltozásnál), KT  p (kompressziós modulus izotermikus állapotváltozásnál). A

hang terjedési sebessége c 

K



a sűrűség és a kompressziós modulus értékéből számítható (a

hang gömbalakú nyomáshullámok formájában terjed). A következő anyag tájékoztató jellegű. A képleteket nem kell megtanulni, de az igénybevétel típusát érteni kell. A

keresztmetszet

másodrendű

inercianyomatéka

I x   y dA az x tengelyre és

I y   x 2 dA az y

2

tengelyre.

A

poláris

másodrendű

nyomaték:

I p   r dA (a sugár jele gyakran ρ betű). SI 2

mértékegysége m4, de ezt ritkán használják. Szokásos mértékegysége: cm4. A hajlító igénybevétel egyik esete:

Az l hosszúságú tartó végének s lehajlása, ha vastagsága b és szélessége a: s 

s

F l3 1 , ahol a másodrendű inercia nyomaték I  ab 3 3E  I 12

A hajlító igénybevétel másik jellegzetes esete (szimmetrikusan terhelt rúd):

1 l3 s F 48E I

4 l3 F illetve E a  b3

Jobboldalt egy olyan rúd látható, amelyet felülről ér terhelés. A meghajlást leginkább körvonallal lehet közelíteni. A terhelés felőli vonala megrövidül, a terheléstől távolabbi része megnyúlik. Következésképp található a rúd belsejében egy olyan vonal, amely nem rövidült meg, és nem is nyúlt meg; azaz: megtartotta eredeti hosszát. Ennek neve: rugalmas vonal, illetve semleges szál. Ilyennek alkották meg a XIX. században a méter etalont. Az egy métert jelentő vonásokat épp a semleges szál vonalába jelölték be Henri Tresca, a Conservatoire National des Arts et Métiers (a párzsi műszaki főiskola) tanárának javaslatára. A semleges szál angolul neutral axis, N.A. az ábrán), franciául fibre neutre.

A nyírási igénybevétel ábráján látjuk, hogy az alakváltozást okozó erő az alakváltozás síkjában hat. Látható az is, hogy ennek a képzeletbeli téglatestnek a véglapja elfordult eredeti helyzetéből. Következésképp a nyíró (csúsztató) igénybevétel szilárdságtanilag azonos a csavaró (torziós) igénybevétellel. Az elcsavarodás szöge  

1 F , ahol G a csúsztató (torziós) G A

rugalmassági modulus, A pedig az elcsúszott felület nagysága. A csavaró igénybevétel leírásához a körhenger viselkedését vizsgáljuk. A henger fedőlapja helyben marad, és alaplapját M nyomatékkal terheljük, akkor kétféle elcsavarodást mérhetünk. Az egyik az alaplap elfordulása, a másik a henger egyik alkotójának elcsavarodása. Az alaplap elcsavarodási szöge  

2 l M , ahol G a torziós rugalmasság G R 4

modulus, l az alkotó hossza, R a henger sugara és M az alakváltozást előidéző nyomaték nagysága. Hasonlóan a rugóállandó fogalmához képezhető olyan mennyiség, amely az elfordulást okozó rugalmas alakváltozást írja le. Ha az F   Dx képletben D a direkciós erő az erőből és a megnyúlásból írható fel, akkor felírható a D* direkciós nyomaték az M   D* egyenlettel. Hengeres test esetén a direkciós nyomaték D * 

G R 4 2

l

.

Ezzel a képlettel számítják például a tekercsrugók és az órarugók tulajdonságait. Összetett igénybevétel egyszerűsített kifejezése (két dimenzióra) feszültségből alakváltozás

alakváltozásból feszültség

 xx 

1  xx     yy  E

 xx 

E  xx   yy  1 2

 yy 

1  yy     xx  E

 yy 

E  yy  xx  1 2

 zz    xy 

  xx   yy  E

2 1    xy E

 zz  0  xy   yx  G   xy

γ relatív elcsavarodás, τ nyírófeszültség (   G   , ahol a G a csavaró, nyíró rugalmassági modulus)

A statika törvényei Szuperpozíció leve (Ludwig Eduard Boltzmann 1844–1906) (Superpositionsprinzip: Zur Theorie der elastischen Nachwirkungen, 1874) A rugalmasságtan egyenletei lineárisak. A kezdeti feltételek és az együtthatók megfelelő megválasztásával az egyenletek új körülmények között is kielégíthetőek.

De Saint-Venant-elv (Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant 1797– 1886) (Le Principe de Saint-Venant: La résistance des matériaux) Ha egy erőrendszer és egy másik egyaránt egyensúlyi helyzetet teremt, akkor a vizsgált helytől távolodva az erők hatása csökken, ezért elegendő a kérdéses környezetben vizsgálni az erők hatását. (Példa: rácsos szerkezetet a kötési pontokat egyenként méretezve számítják ki.)

Betti-féle reciprocitási elv (Enrico Betti 1823– 1892) (Maxwell-Betti reciprocal work theorem) Ha a terhelést részeire bontjuk, és egymás után F1…F2 sorrendben visszük fel, U12 belső energia növekményt okoz a munka; majd, ha F2…F1 eltérő sorrendben visszük fel, U21 belső energia növekmény jön létre, akkor ez a kettő egyenlő egymással: U12=U21. Az ábrán a P és a Q erők által végzett munka azonos, és felcserélhetők egymással.

A mechanikai feszültség által keltett termikus energia  Adiabatikus állapotváltozásnál, ha q  0 akkor   d  du (belső energia növekmény)  Izotermikus állapotváltozásnál, ha T  0 akkor   d  df (szabadenergia növekmény)

f  u T  s (s a fajlagos entrópia) Deformálható testek (adatok példája)

Reológia A reológia a szilárdságtanra építve az anyagoknak a folyási tulajdonságaival foglalkozik, amelyek lehetnek az idő függvényei, de függhetnek más jelenségektől is. Eredetileg a polimerizált anyagok tulajdonságainak leírására fogalmazták meg Eugene Cook Bingham 1916-ban és Green 1919-ben. A reológia kifejezés és a Reológiai Társaság (The Society of Rheology) megalapítása 1929-ben Markus Reiner (1886–1976) nevéhez fűződik. Elnevezése a görög ρεω (folyás) szóból származik (Πάντα ῥεῖ, minden folyik, Herakleitosz, más források szerint Σιμπλίκιος Κιλικία: Simplicius Cilicia). Az élelmiszeriparban ilyenek a gélek, szuszpenziók, pépek. Reológiai rendszer az, aminek tulajdonságait a reológia összefüggései alapján a reológia egyenleteivel tudunk leírni. Ezek: az elasztikus, a viszkózus és a plasztikus tulajdonság. Vizsgálati módszere kétféle módon értelmezhető, a szilárdságtanhoz hasonlóan: 

Mikroreológia az anyag belső szerkezetének ismeretéből indul ki, és abból fogalmazza meg az anyag tulajdonságait.



Makroreológia (vagy fenomenológia, görög φαινόμενoν = megmutatás, megfigyelés) homogénnek tekintett anyagokon végzett kísérletekből kindulva fogalmazza meg az anyagi tulajdonságokat, a belső szerkezet ismerete nélkül.

A reológia axiómái o

Az izotróp erő hatása reverzibilis mindaddig, amíg kémiai, vagy szerkezeti változás nem következik be

o

A valóságos alakváltozások mindig összetettek és elemi alakváltozások szuperpozícióiból tevődnek össze. Minden test különböző mértékben hordozza az alapvető reológiai tulajdonságokat. Ez a Boltzmann-féle szuperpozíciós elv.

o

A fizikai állandók zérussá válásával a matematikai összefüggések egyszerűbb reológiai rendszerek függvényeivé degradálódnak.

Az elasztikus alaprendszer Az elasztikus alaprendszer tulajdonságait a Hooke-törvény írja le,   E   , ahol  

F dl és   A l

A feszültség–relatív alakváltozás ábrán az egyenes meredeksége azonos a rugalmassági modulus

  xx  értékével. A feszültség nem függvénye az alakváltozási sebességnek.     yx   zx

 xy  yy  zy

 xz    yz   zz 

A viszkózus alaprendszer A viszkózus alaprendszer tulajdonságait a súrlódásos folyadékok newtoni törvénye írja le,   

d , ahol τ a dt

nyírófeszültség, η a dinamikai viszkozitási együttható és

d a relatív alakváltozás idő szerint vett deriváltja. dt

A reológiában nyírósebességnek is nevezik (shear rate, Schergeschwindigkeit, taux de cisaillement). Gyakran használt jele  , vagy D.

(tehát valamennyi sebességkomponens deriváltja valamennyi irányban). Egyszerűsítve r iránya merőleges egymásra.

A plasztikus alaprendszer A plasztikus alaprendszer egy bizonyos terhelés alatt nem szenved alakváltozást. Ennek a határnak átlépése után nem határozható meg az alakváltozás, az akár a végtelenig is növekedhet, és mozgása nem jellemezhető a sebesség fogalmával. Nagyságát a határnyírófeszültséggel adjuk meg,    h , illetve

   0 . Látható, hogy a jelenség képes a súrlódás leírására is, ezért az alapmodell neve:

dv z , ahol z és dr

súrlódó elem. Az igénybevétel nulláról közelít egy olyan határértékhez, amelynél a mozgás még nem indul meg. Ennek a szakasznak a meredeksége hasonló a rugalmassági modulushoz. Ahhoz, hogy a modell valóban plasztikus elem legyen, e (1) szakasz meredekségének a végtelenhez kell tartania. Ha ez a (τmax) feszültség fennmaradna, a test gyorsuló mozgást végezne. Ahhoz, hogy a modell valóban plasztikus alapmodellként viselkedjék, a feszültségnek le kell csökkennie (2) a definícióval egyező τ0 határfeszültségre. Ahhoz, hogy ez ne legyen több, mint a plasztikus alapmodell, nem köthetjük ki a mozgás formáját, nem rendelhető hozzá sebesség (mert az a viszkózus alapmodell tulajdonsága). Végül, ha a τ0 fennmarad, a test relatív alakváltozása akár a végtelent is elérheti.

Folyásgörbék (Ostwald, Bingham) (NIST Special Publication 946 Guide to Rheological Nomenclature: Measurements in Ceramic Particulate Systems) Carreau–Yashuda:

Cross:



  a  1     0



n 1 / a

  1     0 1   m Meter:     

0   1 1   /  2 

Powell–Eyring:       0    

sinh 1   

Kiindulás: a Hagen–Poiseuille-törvény qV 

 p r 4 átrendezve pl. a nyomás grádienst tartalmazó 8 l 

p r 4 , a térfogatáramot tartalmazó tagot az y tengelyre y  3 qV l 2 r  d hasonló képet kapunk. Felbontva a térfogatáramot: qV  A  v  A  l az átrendezett egyenlet: dt 4 A  v  l d 1 p r , ahol p     r 3  dt  l 2 tagot az x tengelyre x 

Shear thickening = nyírásra keményedő Shear thinning = nyírásra ernyedő Yield stress = folyáshatár (a következő ábrán ez a kifejezés a határ-nyírófeszültségre utal) Bingham plastic = kételemű Bingham-modell (viszkózus és plasztikus alapmodelleket tartalmaz) A pszeudoplasztikus és a dilatáns modell nevét nem fordítjuk le, csak magyar helyesírással használjuk. Shear stress = nyírófeszültség, shear rate = nyírósebesség. Power law = hatványtörvény. A kifejezés arra vonatkozik, hogy az összefüggésben hatványkitevőt használunk, például a Bingham-modellnél:

 d     0   p   , ahol τ0 a határ-nyírófeszültség, ηp a plasztikus modell látszólagos viszkozitása  dt  n

(apparent viscosity) és n a hatványkitevő. Ennek értéke a newtoni modellnél n=1,

pszeudoplasztikusnál n<1 és dilatánsnál n>1. Amennyiben az alakváltozás sebessége növeli a viszkozitást, reopexiáról beszélünk (az anyag „keményedik”). Csökkenő viszkozitásnál tixotrópiáról beszélünk („hígulás”). Ezeket a kifejezéseket szokás az igénybevétel növekedéséhez (terhelés) illetőleg csökkenéséhez (tehermentesítés) rendelni. Az általánosított Binghammodell a fenti függvénnyel közelíthető. Ez azt jelenti, hogy felvesszük kísérletileg a nyírófeszültség– nyírósebesség függvényt, és megkeressük az egyenlet együtthatóit (és kitevőjét) úgy, hogy a legkisebb négyzetek módszere segítségével illesztve a legkisebb eltérés jöjjön létre.

Soros és párhuzamos reológiai modellek Soros modellnél az alakváltozás – és ezért a relatív alakváltozás is – összeadódik:   1   2 , a feszültség valamennyi elemen azonos:   1   2 . Nyomófeszültségekkel és rugalmassági modulusokkal két soros elasztikus elemre   

E1  E2 E1  E2

Párhuzamos modellnél az alakváltozás valamennyi elemen azonos:

  1   2 , a feszültségek eloszlanak az elemeken:   1   2 (természetesen kettőnél több elem esetén is). Nyomófeszültségekkel és rugalmassági modulusokkal két párhuzamos elasztikus elemre:

  1  2  E11  E2  2  E1  E2  

Reológia, kézi penetrométer Jenike életrajz

Optika Optikai tulajdonságok

Színtan Fénytan