A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú

Villamosmérnök Szak, Távoktatás

1.

Matematika segédanyag

Vektorok, lineáris algebra

1.1. Mátrixok 1.1.1.

Fogalmak, tételek

Definíció A mátrix elemek – általában számok – táblázata téglalap alakú elrendezésben. Nyomtatott nagybet˝uvel jelölik – ezen felül nyomtatásban vastag bet˝uvel. Szokás a táblázatot szögletes vagy kerek zárójelbe tenni.   3   2 −1  0 4 −8   Példa: A =    6 6 1    4 3 −1

•

Mátrixot úgy szorzunk egy λ számmal, hogy minden elemét megszorozzuk λ-val.    3   2 −1   0  4 −8    Példa: Ha A =  , akkor 3A =   6  6 1     4 3 −1

•

 6 −3 9  0 12 −24   18 18 3   12 9 −3

A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 × 3as típusú. Jelölés: A4×3

Készítette: Vajda István

1


•

Összeadni és kivonni csak azonos típusú mátrixokat lehet. (Tehát ugyanannyi sorból és ugyanannyi oszlopból kell állniuk.) A megfelel˝o helyen lev˝o elemeket kell összeadni, illetve kivonni. Példa: Ha B =

•


"

3 −2 6 −1 2 3

#

és C =

"

# # " 4 −2 13 1 0 7 , akkor B + C = −3 4 2 −4 6 5

Két mátrix – adott sorrendben – akkor szorozható össze, ha az els˝o oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával.

Pl. az A2×3 mátrix (két sora és három oszlopa van), összeszorozható a B3×4 mátrixszal ebben a sorrendben, fordított sorrendben azonban nem. (Tehát az AB szorzás elvégezhet˝o, de a BA nem.)

•

Ha két mátrixot összeszorzunk, akkor az eredménymátrixnak annyi sora lesz, mint az els˝o mátrixnak és annyi oszlopa, mint a másodiknak. (An×pBp×q = Cn×q)

Pl. ha egy A2×3 mátrixot és egy B3×5 mátrixot összeszorzunk, akkor az eredmény az (AB)2×5 mátrix, amelynek 2 sora van (mint A-nak) és 5 oszlopa (mint B-nek).

Tétel: Legyen az A és B mátrixok szorzata C. A C mátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy számítjuk ki, hogy az A mátrix i-edik sorának elemeit rendre megszorozzuk a B mátrix j-edik oszlopának megfelel˝o elemével és az így kapott szorzatokat összeadjuk.   2 −3  1 4   −2 6 Példa: " #" 4 1 −2 13 −20 3 −3 −1 5 −27


     #

−20 = 4 · (−3) + 1 · 4 + (−2) · 6

2


•


A mátrixszorzás nem kommutatív, tehát ha a tényez˝oket felcseréljük, akkor az eredmény megváltozhat, s˝ot lehet, hogy a szorzás az egyik sorrendben elvégezhet˝o, a másikban nem. "

# 4 1 −1 3 #" # , Példa: " 2 3 5 11 1 5 −1 16

de

"

# 2 3 1 5 " #" # 4 1 9 17 −1 3 1 12

•

Ha egy mátrixnak ugyanannyi sora van, mint ahány oszlopa, akkor négyzetes (kvadratikus) mátrixnak nevezzük.

•

A négyzetes mátrix f˝oátlóját azok az elemek alkotják, amelyek ugyanannyiadik sorban vannak, mint ahányadik oszlopban.

Tehát  o eleme, a második sor második eleme stb.  az els˝o sor els˝ 3 4 −2    0  Példa:  −1 5   6 2 3

•

A négyzetes mátrix másik (f˝oátlótól különböz˝o) átlóját mellékátlónak nevezzük.    3 4 −2   0  Példa:  −1 5   6 2 3

•

A diagonális mátrix (diagonálmátrix) olyan négyzetes mátrix, amelynek minden f˝oátlón kívüli eleme 0.

Megjegyzés:  Az nem kizárt, hogy a f˝oátlóbanis legyen 0. 0   0 0 0  3 0  2 0 0      0  C =  0 0 0 B =  0 0 Példák: A =  0 7 0       0 0 0 0 0 −2 0 0 11


    

3


•


Az olyan diagonális mátrixot, amelynek minden f˝oátlóbeli eleme 1, egységmátrixnak nevezzük.    1 0 0    Példák: A =  0 1 0    0 0 1


  1 0 0  0 1 0  B =   0 0 1  0 0 0

0 0 0 1

      

4


1.1.2.


Feladatok

1. Adottak az A, B, C mátrixok: " # " # " # 2 4 3 0 2 7 1 0 2 A= ,B= és C = . −1 5 4 1 −3 −4 −1 −2 5 Számítsa ki az A + 2B és a 3C − 2B + A mátrixokat! 2. Írjuk fel a 2A − B mátrixot.     2 −1 3    0 −4 2      A =  B =    6  7 1     3 3 9

 1 4 −2  2 0 2   5 −4 3   11 1 5

3. Szorozzuk össze az A és a B mátrixokat. # " # " 2 1 1 5 −7 a) A = B= 8 −5 2 −3 −1  " # 4 0 2  1 6 −1 −2  B =  3 −2 −1 3 b) A =  −1 −3 7 9 −3 4 6   " #  1 0  0 7 c) A = B =  1 2    2 2 1 5     1  2   3 1 1  2 1    1  B =  −1 2 2 d) A =  0 3 −1      3 2 0 −2 2 5 −2


    

5


Megoldások " # 2 8 17 1. A + 2B = 1 −1 −4


1.1.3.

3C − 2B + A =

  8   3 −6  −2 −8 2   2. 2A − B =    7 18 −1    −5 5 13 3. a) d)

"

    

4 −2 11 −6 −5

7 55 8 4 8

# −15 −51 4 −1 6 5 12 11


b)     

"

"

5 0 −5 −6 −7 11

−15 32 −7 −3 53 −19 31 31

#

#

c)

Nem végezhet˝o el

6



1.2. Determinánsok 1.2.1.

•

Fogalmak, tételek

Egy 2 × 2-es mátrix determinánsának értéke a f˝oátlóbeli és a mellékátlóbeli elemek szorzatának különbsége.

Jelölés: Az A (négyzetes) mátrix determinánsát det A-val jelöljük. Ha a mátrix elemeivel akarjuk felírni a mátrix determinánsát, akkor a mátrix elemeit két függ˝oleges vonal közé" tesszük. # 2 1 2 1 Példa: Ha A = , akkor det A = =2·5−1·3=7 3 5 3 5

•

Az n × n-es determinánst, n-edrend˝u determinánsnak is nevezzük.

Tehát a 2 × 2-es determináns másodrend˝u, a 3 × 3-as harmadrend˝u, stb.

•

•

Sakktáblaszabály: A determináns elemeihez +, illetve − el˝ojeleket rendelünk, amelyek úgy váltakoznak, mint a világos és sötét mez˝ok a sakktáblán. Az els˝o sor els˝o eleméhez + el˝ojel tartozik. + − + − + − + − +

Az n-edrend˝u determináns egy adott eleméhez tartozó (el˝ojeles) aldeterminánsát úgy kapjuk, hogy elhagyjuk a szóbanforgó elem sorát és oszlopát, és a megmaradó elemek által alkotott determinánst változatlanul hagyjuk, vagy megszorozzuk −1-gyel aszerint, hogy az adott elemhez a saktáblaszabály szerint +, vagy − tartozik.


7



1 2 3 Példa: Az 3 4 5 determináns els˝o sorának második eleméhez tartozó (el˝ojeles) alde 1 3 5 3 5 . termináns: (−1) · 1 5 Ugyanezen a determináns a második sorának második eleméhez tartozó (el˝ojeles) aldeter 1 3 mináns: . 1 5

•

A magasabbrend˝u determinánsok kiszámítását, visszavezethetjük alacsonyabbrend˝uek kiszámítására a kifejtési tétel segítségével: Kiválasztjuk a determináns egy tetsz˝oleges sorát, vagy oszlopát és ennek elemeit rendre megszorozzuk a hozzájuk tartozó (el˝ojeles) aldeterminánssal, végül az így kapott szorzatokat összeadjuk.

1 −1 2 0 2 determinánst az els˝o sora szerint! Példa: Fejtsük ki a 3 4 −2 1 1 −1 2 0 2 3 2 3 0 3 − 1 · + (−1) · = 0 2 = 2 · −2 1 4 1 4 −2 4 −2 1

= 2 (0 − (−4)) − (3 − 8) − (−6 − 0) = 19 Fejtsük ki ugyanezt a determinánst a második sora szerint is! 1 −1 2 1 −1 2 1 3 − 2 · 0 2 = −3 · = −3 (1 − 2) − 2 (−4 − 4) = 19 −2 1 4 −2 4 −2 1

Természetesen – mint a példában is – mindegy, hogy a determinánst melyik sora vagy oszlopa szerint fejtjük ki, ez a determináns értékét nem befolyásolja. Az elvégzend˝o számolás mennyisége azonban jelent˝osen különböz˝o lehet választásunktól függ˝oen. A fenti példában pl. kevesebbet kellett számolnunk a második esetben, mert a második sorban az egyik elem 0, ezért a hozzá tartozó aldeterminánst nem kellett kiszámolni. A kifejtési tétel mindig alkalmazható a magasabbrend˝u determinánsok kiszámítására, de minél magasabbrend˝u determinánsról van szó, annál számolásigényesebb.


8


•


Harmadrend˝u determinánsok kiszámítására alkalmazható a Sarrus-szabály is: A determináns els˝o és második oszlopát mégegyszer leírjuk a determináns mögé, így összesen öt oszlopot kapunk. A determináns értéke a f˝oátló irányában öszszeköthet˝o elemhármasok szorzatösszegének és a mellékátló irányában összeköthet˝o elemhármasok szorzatösszegének a különbsége.

1 −1 2 0 2 determináns értékét Sarrus-szabállyal! Példa: Számítsuk ki az 3 4 −2 1 1 1 −1 2 2 3 0 = 2 · 0 · 1 + 1 · 2 · 4 + (−1) · 3 · (−2) − (−1) · 0 · 4 − 2 · 2 · (−2) − 1 · 3 · 1 = 19 0 2 3 4 −2 1 4 −2

•

A determináns értéke nem változik, ha egy sorát (vagy annak számszorosát) hozzádjuk egy másik sorához. (A tétel oszlopokra is érvényes.)

1 −1 2 1 −1 2 0 2 = 3 0 2 Példa: 3 4 −2 1 8 0 −1

2 = (−1) · 3 8 −1

= 19

Itt a determináns kiszámítása során el˝oször hozzáadtuk az els˝o sor kétszeresét a harmadik sorhoz. Ezután a determinánst a második oszlopa szerint fejtettük ki, mert abban csak egy 0-tól különböz˝o elem maradt, tehát csak egy aldeterminánst kellett kiszámítanunk.


9


1.2.2.


Feladatok

1. Számítsa ki a következ˝o determinánsok értékét: 5 −1 −1 −2 3 5 c) b) a) −2 6 2 4 2 4 0 −2 1 2 3 2 1 5 d) 3 4 5 e) 3 1 3 5 4 −1 0


10



1.2.3.

Megoldások 3 5 −1 −2 5 −1 1. a) =3·4−5·2=2 b) =0 c) = 28 2 4 2 4 −2 6 1 2 3 3 4 3 5 4 5 + 3 · − 2 · = 1 · 5 − 2 · 10 + 3 · 5 = 0 d) 3 4 5 = 1 · 1 3 1 5 3 5 1 3 5 e) Els˝o megoldás: 0 −2 2 1 5 3 1 3 + (−2) · 1 5 = 2 · −1 0 4 −1 4 −1 0

= 2 · 5 + (−2) · (−7) = 24

Második megoldás: El˝oször a második sort hozzáadjuk a harmadikhoz, majd a determinánst kifejtjük a középs˝o oszlopa szerint: 0 −2 2 0 −2 2 2 −2 3 = 10 − (−14) = 24 1 5 = 3 1 5 = 7 5 4 −1 0 7 0 5


11



1.3. Lineáris egyenletrendszerek 1.3.1.

•

Fogalmak, tételek

Egy (algebrai) egyenletrendszert lineárisnak nevezünk, ha csak els˝ofokú és konstans tagok szerepelnek benne.

Példák:   4x +2y −7z = 12    x +11y −2z = 9 egy lineáris egyenletrendszer.    −x −2y +2z = 8   7x1 +3x2 −7x3 +x4 = 12    −2x1 +8x2 +33x3 −4x4 = 19 szintén egy lineáris egyenletrendszer.     3x1 −2x2 +8x3 +9x4 = 7   4x +3y2 −7z = 12   nem lineáris egyenletrendszer, mert van benne egy másod x +11y −2z = 9   fokú tag (3y2 ).   −x −2y +2z = 8   4x +2y −7z = 12   szintén nem lineáris egyenletrendszer, mert van benne egy  xy +11y −2z = 9    −x −2y +2z = 8 másodfokú tag (xy). ( 4 ln x +2y = 12 nem is algebrai egyenletrendszer (az ln x tag miatt). x +11y = 9

•

Ha egy lineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, akkor az egyenletrendszer f˝odeterminánsa az ismeretlenek együtthatóiból alkotott determináns.

Példák:   4 2 0 4x +2y = 12    . 1 11 −2 x +11y −2z = 9 egyenletrendszer f˝ o determinánsa Az    −x −2y +2z = 8 −1 −2 2

Mint a példában is látszik, ha valamelyik egyenletben az egyik ismeretlen nem szerepel, akkor a determináns megfelel˝o eleme 0, ha pedig nem írjuk ki az ismeretlen együtthatóját, az azt jelenti, hogy az együttható 1.


12



  7x1 +3x2 −7x3 +x4 = 12 egyenletrendszer esetén nem beszélhetünk f˝o   −2x1 +8x2 +33x3 −4x4 = 19 determinánsról, mert az ismeretlenek száma Az     3x1 −2x2 +8x3 +9x4 = 7 nem egyezik meg az egyenletek számával.

•

Ha egy lineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, akkor az egyenletrendszer minden ismeretlenéhez tartozik egy módosított determináns, amit úgy kapunk, hogy a f˝odeterminánsban a megfelel˝o ismeretlen együtthatóit kicseréljük az egyenl˝oségjelek jobboldalán álló konstans tagokra.

Példák:   4x +2y = 12    x +11y −2z = 9 Az    −x −2y +2z = 8 2 0 12 Dx = 9 11 −2 8 −2 2   7x1 +3x2 −7x3 =    −2x Az  1 +8x2 +33x3 =    3x1 −2x2 +8x3 = 3 −7 12 8 33 D1 = 19 7 −2 8

•

egyenletrendszer módosított determinánsai: D y =

4 12 0 1 9 −2 −1 8 2

Dz =

4 2 12 1 11 9 −1 −2 8

12 19 egyenletrendszer módosított determinánsai: 7 3 12 7 7 12 −7 8 19 D3 = −2 D2 = −2 19 33 3 −2 7 3 7 8

Cramer-szabály: Ha a lineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, és az egyenletrendszer f˝odeterminánsa nem 0, akkor az egyenletrendszernek egyértelm˝u megoldása van és az egyes ismeretleneket úgy számíthatjuk ki, hogy a megfelel˝o módosított determinánst elosztjuk a f˝odeterminánssal.

  7x1 +3x2 −7x3 = 12    −2x Példa: Az  1 +8x2 +33x3 = 19 egyenletrendszer megoldása:    3x1 −2x2 +8x3 = 7

x1 =

D1 2455 = ≈ 1,76 D 1395


x2 =

D2 1324 = ≈ 0,95 D 1395

x3 =

D3 631 = ≈ 0,45 D 1395 13



•

Ha a lineáris egyenletrendszer f˝odeterminánsa 0, akkor az két dolgot jelenthet: az egyenletrendszer ellentmondó (azaz nincs megoldása) vagy összefügg˝o (végtelen sok megoldása van).

•

Az egyenletrendszer mátrixán az ismeretlenek együtthatóiból alkotott mátrixot értjük.

Példa:   7x1 +3x2 −7x3 +3x4 = 12    −2x1 +8x2 +33x3 = 19 egyenletrendszer mátrixa: Az     x1 +8x3 +2x4 = 7

•

   7 3 −7 3   −2 8 33 0      1 0 8 2

Ha az egyenletrendszer mátrixát kiegészítjük még egy oszloppal, amelynek elemei az egyenletrenszer jobboldalán álló konstansok, akor az egyenletrendszer kib˝ovített mátrixát kapjuk.

Példa:   7x1 +3x2    −2x1 +8x2 Az     x1   7 3  −2 8   1 0

−7x3 +3x4 = 12 +33x3 = 19 egyenletrendszer kib˝ovített mátrixa: +8x3 +2x4 = 7  −7 3 12  33 0 19   8 2 7

Megjegyzés: Az egyenletrendszer kib˝ovített mátrixa tulajdonképpen az egyenletrendszer rövidített írásmódja, hiszen nem kell kiírni az ismeretleneket és az egyenl˝oségjeleket, mégis minden együtthatóról tudjuk, hogy melyik ismeretlenhez tartozik a helye alapján.


14



•

A Gauss-módszer a lineáris egyenletrendszerek megoldásának egy módszere akárcsak a Cramer-szabály. El˝onye, hogy minden esetben alkalmazható. A megoldás során az egyenletrendszer kib˝ovített mátrixából indulunk ki és ezt a mátrixot ún. elemi sorm˝uveletek segítségével módosítjuk. Minden módosított mátrix egy az eredetivel ekvivalens egyenletrendszernek felel meg.

•

Az elemi sorm˝uveletek: • A mátrix két sorát megcserélhetjük. • A mátrix bármelyik sorát megszorozhatjuk vagy eloszthatjuk egy 0-tól különböz˝o számmal. • A mátrix egy sorát – vagy annak valahányszorosát – hozzáadhatjuk egy másik sorához, illetve levonhatjuk bel˝ole.

Megjegyzés: Az elemi sorm˝uveletek az egyenletrendszerek megoldásának – középiskolából jól ismert – lépései. A mátrix két sorának cseréje megfelel két egyenlet felcserélésének, ami nyilván ugyanazt az egyenletrendszert eredményezi. Ha a mátrix egy sorát megszorozzuk egy 0-tól különböz˝o számmal, az a megfelel˝o egyenlet ugyanezen számmal való szorzásának felel meg stb.

•

A Gauss-módszer alkalmazása során arra törekszünk, hogy kialakítsuk az ún. lépcs˝os alakot, ami azt jelenti, hogy a mátrix bal alsó sarkában egy 0-kból álló háromszög – esetleg trapéz – alakú rész alakítunk ki. Ez megkönnyíti a megoldás felírását.

Példák: Oldjuk meg a következ˝o egyenletrendszert:   x +y +z = 9    2x +4y −3z = 1    3x +6y −5z = 0 Készítette: Vajda István

15


  1 1  2 4   3 6   1 1  0 2   0 3   1 1  0 1   0 2   1 1  0 1   0 0

1 −3 −5 1 −5 −8 1 −3 −5 1 −3 1

 −2 −3 9  1  ←  − + 0 ←−−−−− +  9  −17  −1 ← −  − −+ ← −27 ←  9  −10  −2  −+ −17 ←  9  −10   3


Adjuk hozzá az els˝o sor −2-szeresét a második, −3-szorosát a harmadik sorhoz! Így elemi sorm˝uveletek segítségével elérjük, hogy az els˝o oszlopban a legfels˝o elem kivételével minden elem 0 legyen. Most vonjuk le a második sort a harmadik sorból és cseréljük meg a második és a harmadik sort! Végül vonjuk le a második sor kétszeresét a harmadik sorból! Ezáltal a második oszlop legalsó eleme is 0 lesz, eljutottunk a lépcs˝os alakhoz – kialakult a 0-kból álló háromszög a bal alsó sarokban. Az így kialakult – eredetivel ekvivalens – egyenletrendszer utolsó egyenlete z = 3, ami megadja a harmadik ismeretlen értékét. A második egyenlet y − 3z = −10, amit átrendezve megkapjuk y értékét is: y = 3z − 10 = 3 · 3 − 10 = −1. Végül az els˝o egyenletb˝ol megkapjuk x értékét: x + y + z = 9 ⇒ x = 9 − y − z = 9 − (−1) − 3 = 7.

Tehát az egyenletrendszer egyetlen megoldása az x = 7,

y = −1,

z = 3 számhármas.

Oldjuk meg a következ˝o egyenletrendszert:   2x −2z = 6      +y +z = 1   2x +y −z = 7     3y +3z = 0   Adjuk hozzá a második sor −3-szorosát a negyedik sor 2 0 −2 6   0 1  hoz! Az utolsó sorban minden ismertelen együtthatója 0 −3 1 1    lesz, míg a jobboldalon álló konstans tag értéke −3. Ez a  2 1 −1 7    0 · x + 0 · y + 0 · z = −3 egyenletnek felel meg, amely−+ 0 3 3 0 ← nek nincs megoldása, hiszen az egyenlet baloldala az x, y, z    2 0 −2 6  változók bármely értéke esetén 0, ami nem egyezik meg a  0 1 1 1   jobboldallal. Ha az egyenletrendszer megoldása során ilyen    2 1 −1 7  ellentmondó egyenlet adódik, akkor az egyenletrendszernek   0 0 0 −3 nincs megoldása. Oldjuk meg a következ˝o egyenletrendszert:   x −y +z = 1    3x +z = 3    5x −2y +3z = 5

Hajtsuk végre az elemi sorm˝uveleteket a szokott módon:      −3 −5 1 −1 1 1 −1 1 1 1 −1 1 1 1           3     + −1 − 3 −2 0 3 −2 0  0 1 3  ← →  0 →  0       −+ 0 0 0 0 0 3 −2 0 ← 5 −2 3 5 ←−−−−− +

    

Az utolsó egyenlet 0 · x + 0 · y + 0 · z = 0 az x, y, z ismeretlenek bármely értéke esetén teljesül, ezért az ismeretlenekre nézve semmilyen információt nem hordoz – semmitmondó. Ezért ezt a továbbiakban figyelmen kívül hagyhatjuk. Így viszont csak két egyenletünk maradt – kevesebb, Készítette: Vajda István

16



mint az ismeretlenek száma. Ha az egyik ismeretlent, pl. z-t paraméternek választjuk, akkor 2 vele a másik két ismeretlen kifejezhet˝o. A második egyenletb˝ol y = z és x = 1 + y − z = 3 1 2 = 1 + z − z = 1 − z, ahol z tetsz˝oleges valós szám. 3 3 2 1 Tehát a megoldás: x = 1 − z, y = z, z ∈ R 3 3 Ez végtelen sok megoldás, hiszen z-t végtelen sokféleképpen választhatjuk. Írjuk fel a végtelen sok megoldás közül kett˝ot! Pl. ha z = 0, akkor x = 1, y = 0, z = 0, ha z = 3, akkor x = 0, y = 2, z = 3. Behelyettesítéssel meggy˝oz˝odhetünk róla, hogy ezek a megoldások kielégítik az eredeti egyenletrendszert.


17


1.3.2.


Feladatok

1. Oldja meg a következ˝o egyenletrendszereket:   2x −3y +6z = 14    x +4y −z = 6 a)    4x −y +2z = 8   5x +2y −6z = 2    2x +4y +10z = 8 b)    9x +10y +14z = 18   7x +2y −3z = 2    2x +4y −5z = 0 c)    17x −2y +z = 5


18


1.3.3. 1.


Megoldások a) A

  2x −3y +6z = 14    x + 4y − z = 6    4x −y +2z = 8

egyenletrendszer megoldása Cramer-szabállyal.

Az egyenletrendszer f˝odeterminánsa 6 2 −3 4 −1 = −70. D = 1 4 −1 2

Az y-hoz tartozó módosított determináns 6 2 14 D y = 1 6 −1 = −140, 4 8 2

Dy = 2. Hasonlóan számolható x értéke: x = 1. Az utolsó ismeretlent így y = D érdemesebb úgy meghatározni, hogy az egyenletek valamelyikébe behelyettesítjük a már meghatározott ismeretleneket és a kapott egyismeretlenes egyenletb˝ol meghatározzuk z értékét (z = 3). A megoldás x = 1, y = 2, z = 3.


19


1.

a) A


  2x −3y +6z = 14    x +4y −z = 6    4x −y +2z = 8

egyenletrendszer megoldása Gauss-módszerrel:    −2 ← − 6 14  4  2 −3  1   1    ← − 4 −1 6  →  2 −3     −+ 4 −1 2 8 ← 0 5    4 −1 6    1   0 −11 − + | · (−1) 8 2  ← →      2 0 5 −10 −20   6   1 4 −1  0 1 12 38  →    1 0 0 −70 −210 | · − 70

−1 6 −10 1 0 0     

4 1 5 1 0 0

 −2 6    −+ 14  ← →  −20  −1 6  −5 12 38   −+ −10 −20 ←  4 −1 6  1 12 38   0 1 3

A redukált egyenletrendszer leolvasható az utolsó mátrixból:   x + 4y − z = 6    y − 2z = −4     z = 3

Ha a z = 3-at visszahelyettesítjük a második egyenletbe y = 2-t kapunk, majd z-t és y-t visszahelyettesítve az els˝o egyenletbe x = 1 adódik. A megoldás x = 1, y = 2, z = 3.


20

→


2. A


  5x +2y −6z = 2    2x +4y +10z = 8    9x +10y +14z = 18

egyenletrendszer megoldása Gauss-módszerrel:   −1  5 2 −6 2   2 4 10 8  −2 →     −+ ← −+ 9 10 14 18 ←   −2  1 −6 −26 −14    2  − + | · 21 4 10 8  ← →    0 0 0 0

  −+  5 2 −6 2  ←  2 4 10 8  −2 →     0 0 0 0    1 −6 −26 −14   8 31 18  →  0   0 0 0 0

Az utolsó el˝otti mátrix harmadik sora a 0 · x + 0 · y + 0 · z = 0 egyenletnek felel meg, ami nem hordoz információt, mert minden x, y, z hármas kielégíti. Ezt az egyenletet tehát elhagyhatjuk, így a redukált egyenletrendszer két egyenletb˝ol áll. Mivel eggyel több ismeretlenünk van, mint egyenletünk ezért egy ismeretlent paraméternek választunk. 9 31 1 11 Legyen ez pl. z. A megoldás: x = − + z, y = − z, z ∈ R. 2 4 4 8

3. A

  7x +2y −3z = 2    2x +4y −5z = 0    17x −2y +z = 5

egyenletrendszer megoldása Gauss-módszerrel: A redukált egyenletrendszer   12 2   1 −10  0 24 −29 −4  ,    0 0 0 1

az utolsó egyenlet tehát 0 · x + 0 · y + 0 · z = 1, ami nem teljesülhet semmilyen x, y, z hármas esetén. Az egyenletrendszernek nincs megoldása.


21



1.4. Vektorok 1.4.1.

•

Fogalmak, tételek

A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát.

#» Jelölés: Felírhatjuk a vektort a kezd˝o és végpontja segítségével: PQ vagy jelölhetjük egy kisbet˝uvel is. Az utóbbi esetben a vektort jelöl˝o bet˝ut írásban aláhúzzuk, nyomtatásban vastagon szedjük: v vagy v.

•

Két vektor egyenl˝o, ha nagyságuk (hosszuk) is és irányuk is megegyezik.

#» # » Példa: Az ABCD paralelogramma AB és DC oldalvektorai megegyeznek, mert nagyságuk #» # » #» # » és irányuk is egyenl˝o. Írhatjuk tehát, hogy AB = DC. Az AB és CD vektorok azonban nem #» # » egyeznek meg, mert irányuk nem egyezik meg (hanem ellentétes). Tehát AB , CD D

C

A

•

B

D

A

C

B

A vektor hosszát a vektor abszolút értékének is nevezzük. #» Jelölés: |PQ|,

p,

|r|

A vektor abszolút értéke csak nemnegatív (valós) szám lehet.

•

Azt a vektort, amelynek abszolút értéke 0, nullvektornak nevezzük. Ennek iránya tetsz˝oleges, ezét pl. minden más vektorral párhuzamos, de minden más vektorra mer˝oleges is. Jelölés: 0, illetve 0. (Különbözik a 0 számtól!).


22


•


Ha egy vektor abszolút értéke 1, akor egységvektornak nevezzük. Megjegyzés: Míg 0 vektor csak egy van, addig egységvektor végtelen sok.

•

Két vektor összegén egy harmadik vektort értünk, amelyet meghatározhatunk paralelogramma-módszer, vagy öszszef˝uzés (háromszög-módszer, sokszög-módszer) segítségével. b

a+b

a+b b

a a Megjegyzés: Párhuzamos vektorok összegzése esetén csak az összef˝uzés módszerét alkalmazhatjuk.

•

A vektorösszeadás kommutatív és asszociatív (a számok összeadásához hasonlóan), azaz ∀a, b esetén a + b = b + a

∀a, b, c esetén (a + b) + c = a + (b + c). •

Az a és b vektorok a − b különbségén azt a c vektort értjük, amelyre b + c = a. a − b (= c)

b a Megjegyzések:

• Két vektor különbségét megkaphatjuk úgy, hogy közös kezd˝opontba toljuk o˝ ket, mert ekkor a különbségvektor a végpontjaikat összeköt˝o vektor lesz, a kisebbítend˝o felé irányítva. • A vektorok összeadása, illetve kivonása során az eredmény esetleg a 0 is lehet. Készítette: Vajda István

23



• Bármely a vektor esetén a + 0 = a és a − 0 = a.

•

Egy a vektor és egy λ szám szorzata egy vektor, amelynek hossza |λa| = |λ| · |a|, párhuzamos a-val és λ > 0 esetén egyirányú, λ < 0 esetén ellentétes irányú a-val.

a

2a −2a

•

3a

A Vektorok számmal való szorzására érvényesek a következ˝o m˝uveleti szabályok: ∀λ, µ ∀a esetén λ µa = λµ a (kvázi asszociativ) ∀λ ∀a, b esetén λ (a + b) = λa + λb (disztributív) ∀λ, µ ∀a esetén λ + µ a = λa + µa (kvázi disztributív) Példák: 2 · (3a) = 6a

5 · (u + v) = 5u + 5v (2 + 7) w = 9w


24



A térben való eligazodáshoz leggyakrabban ún. Descartes-féle koordinátarendszert használunk. Ennek kezd˝opontja a koordinátatengelyek közös pontja (origo), a tengelyek páronként mer˝olegesek egymásra. A továbbiakban tegyük fel, hogy az x, y és z tengely ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. (z pozitív oldala fel˝ol ránézve az xy síkra az x-tengelyt pozitív, azaz óramutató járásával ellentétes 180◦ -nál kisebb forgás viszi az y tengelybe.) Mindhárom tengelyen felveszünk egy a tengely pozitív irányába mutató egységvektort (i, j, k), melyeket bázisvektornak nevezünk. z

y k j i

•

x

A tér bármely v vektora egyértelm˝uen feírható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként, azaz v = xi+ yj+zk alakban, ahol x, y, z valós számok. Megjegyzés: Az egyértelm˝u felírhatóság két dolgot jelent: • Minden v vektorhoz található olyan x, y, z számhármas, amelyre v = xi + yj + zk • Minden v vektorhoz pontosan egy ilyen hármas található, tehát v nem írható fel többféleképpen az i, j, k vektorok lineáris kombinációjaként.

•

A v vektor v = xi+yj+zk lineáris kombinációjában szerepl˝o x, y, z számokat a v vektor koordinátáinak nevezzük.

Példa: Ha v = 2i − 3j + k, akkor v (2, −3, 1), azaz v els˝o koordinátája 2, második koordinátája −3, harmadik koordinátája 1. Megjegyzés: Az els˝o koordinátára használatos az abszcissza a másodikra az ordináta, a harmadikra a kóta elnevezés is.

•

Két vektor összegének koordinátái az eredeti vektorok megfelel˝o koordinátáinak összegével egyenl˝ok.


25



Példa: Ha a(2, 7, −3), b(4, −1, 5), és c = a + b, akkor c(6, 6, 2).

•

Két vektor különbségének koordinátái az eredeti vektorok megfelel˝o koordinátáinak különbségével egyenl˝ok. Példa: Ha a(4, 1, −3), b(5, −1, 6), és c = a − b, akkor c(−1, 2, −9).

•

Ha egy vektort egy λ számmal szorzunk, akkor az így kapott vektor minden koordinátája a eredeti vektor megfelel˝o koordinátájának λ-szorosa lesz. Példa: Ha a(3, 1, −5) és b = 4a, akkor b(12, 4, −20).

•

#» Tekintsük az AB vektort, melynek kezd˝opontja A(a1, a2, a3), #» végpontja B(b1, b2, b3). Ekkor az AB vektor koordinátái a B és A pont megfelel˝o koordinátáinak különbségével egyen#» l˝ok, azaz AB (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3). #» Példa: Ha A(2, 1, −2) és B(4, −5, 1), akkor AB (2, −6, 3).

Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a végpont koordinátáiból kell a kezd˝opont koordinátáit levonni!


26


1.4.2.


Feladatok

Abszolút érték, lineáris kombináció 1. Számítsa ki a következ˝o vektorok abszolútértékét: a) a(2, 1, 2) b) b(4, 1, 8) c) c(6, 1, 18) d) d(2, 3, 6) 2. Adottak az a(2, 9, −7) és a b(−3, 0, 6) vektorok. Számítsa ki a következ˝o vektorok koordinátáit: a) 3a + 2b b) −a + 3b

c) −2a − 5b

d) 7a + 32 b

3. Párhuzamosak-e az alábbi vektorpárok? a) a(2, 9, −7),

b) c(3, −4, 2),

c) u(−1, 5, 3),

b(12, −8, 6)

d(9, −12, 6)

, − 94 ) v( 43 , − 15 4

4. Írja fel a megadott vektor irányába mutató egységvektort: a) a(4, 3, 12) b) b(−4, 6, 12) c) c(8, −2, 16)

#» 5. Írja fel az A és a B pontokat összeköt˝o AB vektort és számítsa ki a hosszát: a) A(11, −4, 7),

b) A(1, 6, −9),

c) A(−1, 5, −4),


B(17, −2, 10)

B(−3, 8, −5)

B(2, −11, 9)

27



Skaláris és vektoriális szorzat 1. Adott az ABC háromszög. Számítsa ki a háromszög oldalait, kerületét és szögeit. a) A(3, 0, 4), b) A(−3, 1, 4), c) A(5, 2, 2),

B(5, −9, 7),

C(−1, 4, 3)

B(2, 7, −3),

C(−2, 0, 0)

B(2, 7, −3),

C(−2, 0, 0)

2. Számítsa ki a következ˝o vektorok skaláris és vektoriális szorzatát: a) a(4, 1, −1),

b(7, 4, 3)

b) a(−3, 2, 1), c) a(4, 5, 1),

b(−5, −2, 4)

b(5, −2, −10)

3. Válassza meg a hiányzó koordinátát úgy, hogy a két vektor mer˝oleges, illetve párhuzamos legyen egymással: a) a(4, −3, 6)

b(x, 1, 3)

c) a(x, −2, 8),

b(−6, y, 9)

b) a(−8, 12, x),

b(4, −6, 5)

4. Számítsa ki az ABC háromszög területét: a) A(6, −3, 4),

b) A(1, 1, 1),

c) A(2, −1, 1),

B(−2, 0, 4), B(2, −3, 5),


B(3, 0, 7),

C(3, 6, 4) C(4, 0, 3) C(11, 2, −3)

28


1.4.3.


Megoldások

Abszolút érték, lineáris kombináció √ 1. a) |a| = 22 + 12 + 22 = 3 b) |b| = 9

c) |c| = 19

d) |d| = 7 2.

a) 3a + 2b = 27j − 9k

b) −a + 3b = −11i − 9j + 25k

c) −2a − 5b = i − 18j − 16k 19 3 d) 7a + b = i + 63j − 40k 2 2 3.

4.

5.

a) a ∦ b, mert nincs olyan alkalmas szám szorzó, amellyel a-t megszorozva b-t kapjuk. 12 8 (Pl. , − ). 2 9 b) c k d, mert d = 3c. 3 c) u k v, mert v = − v. 4 4 3 12 a a ⇒ ea , , a) ea = = 13 13 13 |a| 13 2 3 6 b) eb − , , 7 7 7 4 1 8 c) ec , − , 9 9 9 #» #» a) AB(6, 2, 3), |AB| = 7 √ #» #» b) AB(−4, 2, −14), |AB| = 6 6 ≈ 14,7 √ #» #» c) AB(3, −16, 13), |AB| = 434 ≈ 20,8


29



Skaláris és vektoriális szorzat √ √ √ #» #» 1. a) AB(2, −9, 3), AB = |AB| = 94, BC = 221, AC = 33, √ √ √ k = 94 + 221 + 33 ≈ 30, 3 #» #» AB · AC 47 cos α = # » # » = − √ √ ≈ −0, 8439 ⇒ |AB| · |AC| 94 · 33 ⇒ α ≈ 147,55◦ , β ≈ 11,97◦ , γ ≈ 20,48◦ √ √ √ √ √ √ b) AB = 110, BC = 74, CA = 18, k = 110 + 74 + 18 ≈ 23,33 α ≈ 52,64◦ , β ≈ 23,08◦ , γ ≈ 104,28◦ √ √ √ √ √ √ c) AB = 38, BC = 74, CA = 78, k = 38 + 74 + 78 ≈ 23,6 α ≈ 67,31◦ , β ≈ 71,9◦ , γ ≈ 41,39◦ 2.

a) ab = 4 · 7 + 1 · 4 + (−1) · 3 = 29 i j k 1 −1 a × b = 4 1 −1 = 4 3 7 4 3 a × b(7, −19, 9)

b) ab = 15 c) ab = 0 3.

4 −1 4 1 j + i − 7 3 7 4

k = 7i − 19j + 9k

a × b(10, 7, 16)

a × b(−48, 45, −33)

a) a és b akkor és csak akkor mer˝oleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0, azaz: 15 4x − 3 + 18 = 0, tehát x = − . 4 −3 6 A két vektor nem lehet párhuzamos, mert , , azaz nincs olyan szám, amellyel 1 3 b-t megszorozva a-t kapnánk. b) a⊥b akkor és csak akkor, ha x = 20 45 . A két vektor párhuzamos, ha x = −10.

4.

c) A két vektor mer˝oleges, ha az y = 36 − 3x összefüggés teljesül. (Tehát végtelen sok esetben, mert pl. x értékét tetszés szerint választva, ahhoz kiszámítható a megfelel˝o y.) 48 9 a k b, ha x = − és y = − 9 4 #» #» #» #» #» #» |AB × AC| = 31, 5 a) AB(−8, 3, 0), AC(−3, 9, 0), AB × AC = −63k, T = 2 √ #» #» #» #» 237 b) AB(1, −4, 4), AC(3, −1, 2), AB × AC = −4i + 10j + 11k, T = ≈ 7, 7 2 √ #» #» #» #» 3884 c) AB(1, 1, 6), AC(9, 3, −4), AB× AC = −22i+58j−6k, T = ≈ 31, 16 2


30



1.5. Egyenes és sík 1.5.1.

•

Fogalmak, tételek

Az e egyenessel párhuzamos 0-tól különböz˝o vektort e irányvektorának nevezzük. Megjegyzések: • Minden egyenesnek végtelen sok irányvektora van. • Párhuzamos egyenesek irányvektorai megegyeznek.

•

Ha r0 az e egyenes egy P0 pontjának helyvektora és v az e irányvektora, akkor az r(t) = r0 + tv

(t ∈ R)

egyenletet az e egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. v P0 tv P e

r0 r O Megjegyzések:

• Ha t végigfut a valós számok halmazán akkor minden értékéhez olyan r vektor tartozik, amely az e egyenes egy pontjának helyvektora. • A t paraméter különböz˝o értékeihez különböz˝o r vektorok tartoznak. • Az e egyenes bármely pontjának helyvektora el˝oáll t alkalmas megválasztásával.


31



Példa: Ha P0 (2, 3, 1) az e egyenes egy pontja és v(5, −2, 7) az egyenes egyik irányvektora, akkor e paraméteres vektoregyenlete: r = (2 + 5t) i + (3 − 2t) j + (1 + 7t) k

•

Ha P0 x0, y0, z0 az e egyenes egy P0 pontja és v (v1, v2, v3) az e irányvektora, akkor az   x = x0 +v1t    y = y0 +v2t (t ∈ R)    z = z +v t 0

3

egyenletrendszert az e egyenes paraméteres egyenletrendszerének nevezzük.

Megjegyzés: A paraméteres egyenletrendszer ugyanazt az összefüggést fejezi ki, mint a paraméteres vektoregyenlet. Példa: Ha a P0 (2, 1, 4) pont rajta van az e egyenesen és a v (3, −1, −2) vektor párhuzamos e-vel, akkor e patraméteres egyenletrendszere:   x = 2 + 3t    y=1− t (t ∈ R)     z = 4 − 2t

•

Ha P0 x0, y0, z0 az e egyenes egy P0 pontja és v (v1, v2, v3) az e irányvektora, ahol v1, v2, v3 egyike sem 0, akkor az x − x0 y − y0 z − z0 = = v1 v2 v3 egyenletrendszert az e egyenes (paramétermentes) egyenletrendszerének nevezzük.

Példa: Ha a P0 (2, 1, 4) pont rajta van az e egyenesen és a v (3, −1, −2) vektor párhuzamos e-vel, akkor e egyenletrendszere: x−2 y−1 z−4 = = 3 −1 −2


32



Megjegyzések: • Ha z egyenes paraméteres egyenletrendszeréb˝ol kiküszöböljük a t paramétert, akkor megkapjuk a paramétermentes egyenletrendszert. • Ha az irányvektor valamelyik koordinátája 0, akkor az egyenes egyenletrendszere más formájú, de akkor is megkaphazó a paraméteres egyenletrendszerb˝ol t kiküszöbölésével. Példa: Ha a P0 (2, 1, 4) pont rajta van az e egyenesen és a v (3, 0, −2) vektor párhuzamos e-vel, akkor e egyenletrendszere:  z−4 x−2   =   3 −2     y = 1

•

Az S síkra mer˝oleges 0-tól különböz˝o vektort az s sík normálvektorának nevezzük. Megjegyzések: • Egy síknak végtelen sok normálvektora van. • Párhuzamos síkok normálvektorai megegyeznek.

•

Ha r0 az S sík egy P0 pontjának helyvektora és n az S normálvektora, akkor az n (r − r0) = 0 egyenletet az S sík vektoregyenletének nevezzük. S P

r − r0

n P0 r0

r

O Megjegyzés: Az egyenletet azért nevezzük a sík vektoregyenletének, mert a sík minden pontjának helyvektora kielégíti, míg más pontok egyike sem. Készítette: Vajda István

33


•


Ha P0 x0, y0, z0 az S sík egy pontja és n (A, B, C) az S normálvektora, akkor az A (x − x0) + B y − y0 + C (z − z0) = 0

egyenletet az S sík egyenletének nevezzük. Megjegyzés: Ez az egyenlet ekvivalens a sík vektoregyenletével.

Példa: Ha P0 (4, −1, −2) az S sík egy pontja, n (2, 3, 5) S egy normálvektora, akkor 2 (x − 4) + 3 y + 1 + 5 (z + 2) = 0

a sík egyenlete.


34


1.5.2.


Feladatok

1. Írja fel az egyenes vektoregyenletét, paraméteres egyenletrendszerét és paramétermentes egyenletrendszerét, ha adott egy pontja és egy irányvektora: a) P(2, 0, 7),

v(−1, 2, 2)

b) P(−3, −4, 9), c) P(0, 0, 0),

v(3, −2, 0)

v(2, −6, 1)

2. Írja fel az egyenes vektoregyenletét, paraméteres egyenletrendszerét és paramétermentes egyenletrendszerét, ha adott két pontja: a) P1 (3, 6, −2),

b) P1 (−7, 3, 5), c) P1 (9, 11, −4),

P2 (−1, 0, 4) P2 (−2, 0, 6) P2 (8, −5, 3)

3. Párhuzamosak-e, illetve mer˝olegesek-e a következ˝o egyenesek:     x = 2 + 6t x = −4 − 3t       y = −8 + 8t y = −4t a) e :  f :       z = −1 − 10t  z = 2 + 5t     x = 110 − 3t x = −1 + 2t       y = 7 − 4t y = 6 − 4t f : b) e :        z = 32 + 10t  z = 3−t

4. Írja fel a P(2, 5, −3) pontra illeszked˝o, az x = 2 − t, y = −6 + 2t, z = 3 − 3t egyenesre mer˝oleges sík egyenletét! 5. Adott az ABC háromszög: A(7, −4, 2), B(2, 2, 1), C(5, −2, 4). Írja fel a síkjának az egyenletét és az AB oldal felez˝omer˝olegesének paraméteres egyenletrendszerét!


35


1.5.3. 1.

Megoldások a) r = 2i + 7k − ti + 2tj + 2tk,   x = 2−t   y z−7  y = 2t , 2−x= =    2 2  z = 7 + 2t

b) r = −3i − 4j + 9k + 3ti − 2tj,   x = −3 + 3t   y+4 x+3  y = −4 − 2t , =− ,    3 2  z = 9

2.


c) r = 2ti − 6tj + tk,   x = 2t    y = −6t ,     z = t

z=9

y x =− =z 2 6

a) v(2, 3, −3), r = 3i + 6j − 2k + 2ti + 3tj − 3tk,   x = 3 + 2t   x−3 y−6 z+2  y = 6 + 3t , = =−    2 3 3  z = −2 − 3t

b) v(5, −3, 1), r = −7i + 3j + 5k + 5ti − 3tj + tk,   x = −7 + 5t   y−3 x+7  y = 3 − 3t , =− =z−5    5 3  z = 5+t

3.

c) v(1, 16, −7), r = 9i + 11j − 4k + ti + 16tj − 7tk,   x = 9+t   y − 11 z+4  y = 11 + 16t , x−9= =−    16 7  z = −4 − 7t

a) e k f mert ve (6, 8, −10) és v f (−3, −4, 5), tehát az irányvektorok párhuzamosak, mert ve = −2v f .

b) e⊥ f mert ve v f = 0, azaz ve ⊥v f .

4. A sík normálvektora megegyezik a megadott egyenes irányvektorával, azaz n(−1, 2, −3), a sík egyenlete −x + 2y − 3z = (−1) · 2 + 2 · 5 + (−3) · (−3) = 17. 1# » # » 5. A háromszög síkjának egy normálvektora pl. n = AB × AC = 7i + 6j + k, 2 a sík egyenlete: 7x + 6y + z = 27. 3 9 Az AB szakasz felez˝opontja F , −1, , felez˝omer˝olegesének irányvektora mer˝oleges 2 2


36



#» 1# » az AB vektorra és a sík normálvektorára is, így pl. v = AB × n(6, −1, −36). Az AB 2  9    x = + 6t   2   y = −1 − t szakasz felez˝omer˝olegesének paraméteres egyenletrendszere:     3   − 36t  z = 2


37

A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú

Recommend Documents