A MATEMATIKAI LOGIKA TÖRTÉNETE
A logika eredetileg a filozófia részeként jelent meg a tudományok sorában. Az i. e. 5. századtól kezdtek terjedni a tisztán emberi gondolkodáson alapuló logikai bizonyítások. Nem matematikai jellegűek voltak, hanem a retorika (szónoklattan) és a dialektika (vitatkozástan) gyakorlatából fejlődött ki. Ezt hívták tradicionális logikának. Elsősorban a beszélt nyelv elemeire, formáira épülő következtetési sémákkal és kategorikus ítéletekkel foglalkozott. Nem sokkal később megjelent a gondolkodás természetének feltérképezése: Platón a bizonyítás alapelveit, szabályait, logikai törvényszerűségeket keresett. A logikát mintegy kétezer éven keresztül az Arisztotelész (i.e. 384 – 322, Platón tanítványa ) Organon című munkájában kifejtett munkával és törvényszerűségeivel azonosították. A logika fejlődésének négy nagyobb szakasza volt: 1. Antik kor - Arisztotelész és a sztoikusok, a tradicionális logika megalkotása; 2. Középkor - a skolasztikus logika, az arisztotelészi hagyomány folytatása; Ezután hanyatlás következett, a korábbi elméleteket elfelejtették, és „arisztotelészi logikának” valami olyan, végletekig egyszerűsített és átértelmezett „kisiskolás” tant neveztek, aminek Arisztotelészhez nem sok köze volt; 3. Újkor - a modern szimbolikus logika vagy formális logika létrejötte (Bacon, Leibniz, Boole: logikai algebra; Frege, Peano, Russell), 4. Huszadik század - a posztmodern, a tradicionális logika törvényeit megtagadó vagy mármár a tagadásig általánosító elméletek (modális logika, intuicionizmus, fuzzy logikák, kvantumlogika, bizonyításelmélet) születése (Tarski, Gödel). A logika története ott kezdődik, ahol elkezdenek gondolkodni a helyes következtetési formákról. Zénónhoz (i.e. 5. század) köthetjük az apóriákat, vagyis az olyan érveket amelyekből nincs kiút. Ezek az érvek többségében a mozgáshoz kapcsolódnak:
-
Akhilleusz és a teknős : Akhilleusz és a teknős versenyeznek, a teknős kap egy méter előnyt. Ekkor Akhilleusz sosem éri utól a teknőst, hiszen először megtesz egy métert,
1
de addigra a teknős odébbmegy, ledolgozza ismét a hátrányát, de addigra a teknős ismét odébbmegy, és így tovább a végtelenségig.
-
Nyíl : egy nyílvessző nem juthat el sehova, hiszen ha egy adott pillanatban vagy ott van ahol van, vagy nincs. Ha nincs az baj, ha pedig ott van, akkor áll, vagyis a nyílvessző minden pillanatban egyhelyben áll.
-
Stadion érv : A futó sosem tudja körbefutni a stadiont, mert először el kell jutni a feléig, ahhoz a negyedéig, és így tovább a végtelenségig.
I.e. 5. században megjelentek a szofisták, akik pénzért tanítanak. Érvekkel foglalkoznak, és az a jó szofista, aki a vitában felül marad. Szabályokat alkotnak, és szabályos vitákat tartanak. Szókratész (480-399) fellépett ellenük, mert úgy gondolta, hogy a beszélgetés célja az igazság, nem pedig a haszonszerzés. Az igazsághoz nem fűződhet érdek. Arisztotelész (384-322) műveinek csak a 60%-a maradt ránk, mert gondolati egy időben nem voltak népszerűek, így műveinek egy része elveszett. ő hozta létre a logika tudományát, logikai tárgyú művei: 1.) Kategóriák, 2.) Hermeneutika, 3.) I. analitika, 4.) II. analitika, 5.) Topika, 6.) Szofisztikai cáfolások. Arisztotelész I. analitika című műve a következtetéselmélettel (szillogizmus) foglalkozik. A szillogizmus szó a szil = összetétel és a logosz = mondat szavakból származtatható. A következtetést úgy írták körül akkoriban, hogy csak azért, mert elfogadunk egy mondatot igaznak, vannak olyan mondatok, amelyeket szintén szükségszer¶en el kell fogadnunk. Felmerül a kérdés, hogy hány mondatot kell elfogadnunk igaznak ahhoz, hogy valamilyen következtetést levonhassunk. Az Arisztotelészi logika szabályai szerint legalább két kijelentésnek kell igaznak lennie ahhoz, hogy bármiféle következtetést is le tudjunk vonni. A modern logika szerint azonban helyes következtetés levonásához már egy, illetve nulla állítás is elegendő. Erre a két esetre példa az, hogy abból a mondatból, hogy Ma szerda van következik, hogy Ma kedd, vagy szerda van. És vannak olyan alapállítások, amelyeknek a teljesüléséhez egyetlen kijelentést sem kell plusszban elfogadnunk, ilyen például az, hogy Süt a nap.
2
A kijelentések igazságértékének vizsgálatánál különböző paradoxonokban is ütközhetünk. Közismert paradoxon például az a mondat, hogy Ez a mondat hamis, vagy az hogy Van olyan, hogy hazudok. Az első mondatnál akkor is ellentmondásba ütközünk, ha hamis, és akkor is, ha igaz. A második mondat pedig arra példa, hogy ez a mondat csak igaz lehet. A modern logika, más néven a matematikai logika nagy eredményei az I. világháború után születtek, és manapság fontos szerepet játszanak a természettudományok felépítésében. A legtöbb tudományos elmélet igaznak tekintett, nem bizonyítandó alapfeltevéseken, ún. axiómákon alapul (például „az egyenes szakasz végtelenül meghosszabbítható”). Ehhez párosulnak az alapfogalmak (pont, egyenes) és a definíciók (például háromszög), amelyek a tárgyterülettel kapcsolatos fogalmakat írják le. A definiált fogalmak tulajdonságait tételek írják le, amelyekhez tisztán logikai úton végigvitt, axiómákra, definíciókra és korábban bebizonyított tételekre támaszkodó bizonyítás társul (például a háromszög belső szögeinek összege 180). A tétel bizonyítás nélkül még csak sejtés (akkor is, ha ellenpéldát nem találtak rá). A logika újkori fejlődése a humán tudományokban is felkeltette a rendszerezés, rendszeralkotás iránti igényeket. Az is előfordult (például a nyelvészetben), hogy a tudósok egymásnak homlokegyenest ellentmondó elméleteket, rendszerezéseket készítenek, és ezek mindegyike helyesen írja le a tudományterület egy-egy részét. A logika tárgya a helyes emberi gondolkodás fogalmainak, törvényszerűségeinek vizsgálata. Kijelentéseket vizsgál, következtetési sémákat határoz meg, de az emberi megismerés folyamatáról és a problémamegoldó gondolkodásról nem mond semmit. Ellenőrizni tudja, hogy egy megoldás vagy következtetés helyes-e, vagy eszközöket kínálva segíthet a problémák megoldásában A logika tudományának eredményeit viszont mindennapi életünkben sokat használjuk. Nemcsak a helyes emberi gondolkodás területén, hanem a technikai eszközök működésében is fontos szerepe van. A számítógép például a kettes számrendszert használja, ami megfeleltethető a kétértékű logika rendszerének, és a számolási műveletek is visszavezethetők logikai műveletekre (ÉS, VAGY, tagadás). A mesterséges intelligencia célja az emberi tudatos viselkedést utánzó gépek kifejlesztése, az emberi gondolkodás számítógép segítségével történő reprodukálása, de pontos definíciója – az intelligenciához hasonlóan – nincs. Az emberhez hasonlóan kreatív, magától és racionálisan 3
gondolkodó gép még nincsen, de a mesterséges intelligenciát használják a robotika (összeszerelő gépek), a szakértői rendszerek (egy résztudomány tudásanyaga, pl. orvosi diagnosztika), az ügyviteli szoftverek (karakter felismerők, általában nem tekintik igazi "intelligenciának") és a pszichológia (kutatás, vajon hogyan működik az emberi értelem) területén.
3. A kijelentés A logika elsődleges tárgyai azok a mondatok, amelyekről egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy igazak vagy sem.
Kijelentés: olyan mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Egy kijelentésnek kétféle logikai értéke lehet: igaz vagy hamis.
A kijelentést és az állítást szinonimaként (ugyanolyan értelemben) használjuk. A formát és a tartalmat különválasztva a kijelentéseket nagybetűkkel jelöljük: A, B, C, … Nem kijelentés például az, hogy „A földön kívül is van élet”, mert nem tudjuk egyértelműen eldönteni az igazságértékét. Általában a félig ismert dolgok, vagy a szubjektív megnyilvánulások nem kijelentések. Az egyszerű kijelentések többnyire egyszerű kijelentő mondatok, amelyekben nem szerepelnek logikai műveletek:
Süt a nap.
Kati Zalában született.
Minden ember halandó.
Van gyűrűs bolygó a Naprendszerben.
Összetett kijelentések (ítéletek) összetett mondatokban jelennek meg: szerepelnek bennük logikai műveletek (és, vagy), amelyek maguk is kijelentéseket kapcsolnak össze:
Esik az eső és fúj a szél.
Kovács vagy Mészáros lőtt.
4
A paradoxonok feloldhatatlan ellentmondást tartalmazó mondatok vagy szövegek, az általunk tanult logika nem foglalkozik velük. Érdekességük miatt azonban érdemes megemlíteni őket. Például ilyen nyelvi paradoxon a következő: „Ez a mondat nem igaz.” Ha igaz a mondat, akkor hamis. Ha hamis, akkor igaz… Paradoxonok a művészetben is megjelennek, például Escher munkáiban: Rajzoló kezek, Vízesés, vagy Penrose munkáiban (Penrose-háromszög).
Feladatok 3.1
Döntsd el, hogy kijelentések-e az alábbi mondatok: a)
És mégis mozog a Föld!
b)
A fehér zongora szebb, mint a fekete.
c)
De szépen havazik!
d)
A statisztikai évkönyv objektív tényeket közöl.
Megoldás: a, d: igen; b, c: nem;
3.2
Írjanak olyan mondatokat, amelyek kijelentések és olyanokat, amelyek nem azok!
3.3
A róka hétfőn, szerdán és pénteken mindig hazudik, a hét többi napján mindig igazat mond. A szarka kedden, szerdán és csütörtökön mond igazat, míg a hét többi napján hazudik. Milyen napon mondta mindkettőjük: "Tegnap igazat mondtam!"
Megoldás: vasárnap 4. A kijelentések tagadása (negáció) Az igaz ellentéte a hamis. Ha valamely igaz állítás elé tesszük a NEM IGAZ, HOGY… szókapcsolatot, akkor igazságértéke ellentettjére változik. A tagadást általában ennél rövidebb nyelvi eszközökkel valósítjuk meg:
5
Tagadása
Kijelentés Süt a nap.
Nem süt a nap.
Az autó fehér.
Az autó nem fehér.
Piroska sétál az erdőben.
Piroska nem sétál az erdőben. Itt több minden is tagadható. Figyelni kell arra, hogy a kijelentést, vagyis az állítmányt tagadjuk. Gondolatban a „Nem igaz az, hogy…” formulát illesszük a mondat elé, az segít.
A gyerekek szeretik a csokit.
A gyerekek nem szeretik a csokit.
Tüzesen süt le a nyári nap sugára az ég tete- Nem süt le a nap. jéről a juhászbojtárra.
Tagadás: logikai művelet, amely egy kijelentés igazságértékét ellentettjére változtatja: az igazból hamisat, a hamisból igazat csinál.
Megjegyzendő, hogy ha a tagadott kijelentést ismét tagadjuk, megkapjuk az eredeti kijelentés igazságértékét.
Feladatok: 4.1 Döntsd el, hogy a párok egymás tagadásai-e, vagy sem. Ha nem, hogyan tagadnád helyesen a mondatokat?
a.) b.) c.)
Ez az autó fehér. Ma busszal megyek haza. Ma kedd van.
Ez az autó fekete Ma gyalog megyek haza Ma szerda van.
6
Megoldás: egyik sem; Ez az autó nem fehér. Ma nem busszal megyek haza. Ma nem kedd van 4.2 Tagadja a következő kijelentéseket! a) A kalapban nincsen nyúl. b) A mamám lekváros fánkot szokott sütni. c) A fekete hajú lányok szeretik a csokoládét. d) A Trabant a világ legjobb gépkocsi márkája. e) A bűvészek mindig csalnak. f) A lónak négy lába van. Megoldás: A kalapban van nyúl. A mamám nem szokott lekváros fánkot sütni. Nem igaz az, hogy a fekete hajú lányok szeretik a csokoládét (= van olyan fekete hajú lány, aki nem szereti a csokoládét). A Trabant nem a világ legjobb gépkocsi márkája. A bűvészek nem mindig csalnak (= van úgy, hogy a bűvészek nem csalnak). A lónak nem négy lába van.
5. Konjunkció Ha ÉS-sel kötünk össze kijelentéseket, újabb kijelentéseket kapunk: Kint esik az eső és fúj a szél. Ez a kijelentés akkor igaz, ha kint esik az eső, ugyanakkor fúj is a szél. Ha az egyik nem teljesül, akkor az egész mondat hamis, mert az ÉS egyidejű bekövetkezést feltételez. Ha két kijelentést ÉS-sel összekapcsolunk, akkor az csak abban az esetben lesz igaz, ha mindkét kijelentés logikai értéke igaz. Ez a logikai művelet a konjunkció.
A magyar nyelv ezt a kapcsolatot többféleképpen is kifejezheti: Esik is, és fúj is.
Esik, de fúj is.
Esik, ugyanakkor fúj is.
7
6. Diszjunkció Ha VAGY-gyal kapcsolunk össze két kijelentést, új kijelentést kapunk: A szemtanú mondja: az autó piros volt, vagy Suzuki. Ez a kijelentés akkor is igaz, ha piros volt az autó és akkor is, ha Suzuki. Akkor is igaz, ha piros Suzuki volt. Két kijelentés ilyen jellegű összekapcsolását diszjunkciónak, megengedő vagy-nak nevezzük.
A logika és a halmazelmélet kapcsolatát mutatja a következő ábra:
log_24.jpg Lexikon Kijelentés: olyan mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Egy kijelentésnek kétféle logikai értéke lehet: igaz vagy hamis.
Tagadás: logikai művelet, amely egy kijelentés igazságértékét ellentettjére változtatja: az igazból hamisat, a hamisból igazat csinál.
8
Ha két kijelentést ÉS-sel összekapcsolunk, akkor az csak abban az esetben lesz igaz, ha mindkét kijelentés logikai értéke igaz. Ez a logikai művelet a konjunkció. A konjunkció halmazelméleti megfelelője a metszetképzés. Ha két kijelentést VAGY-gyal összekapcsolunk, akkor az abban az esetben lesz igaz, ha valamelyik, vagy mindkét kijelentés logikai értéke igaz. Ez a logikai művelet a diszjunkció. A diszjunkció halmazelméleti megfelelője az egyesítés (unió).
9
