1
Uitwerkingen Hst 15 1.
Gegeven de functie: f ( x) = 5 − 2 x a. Lengte PQ = f(1,5) = √2 ⇒ Opp.(OPQR) = OP . PQ = 1,5 . √2 = 1,5√2
b. c.
Nu xP = p ⇒ PQ = f(p) =
5 − 2 p ⇒ A = Opp. (OPQR) = OP . PQ = p. 5 − 2 p
Voer in : y1 = p. 5 − 2 p Met de optie maximum vinden we het maximum bij x = p ≈ 1,67 . De waarde van het maximum is dan : 2,15. 3− x
Gegeven de functie : f(x) =
2. a.
Toepassingen
OP = p en OQ = f(p) = 3 − p ⇒
A = Opp. (OPQ) = 0,5.OQ.OP = 0,5. p. 3 − p
b. A '( p ) = 0,5. 3 − p + 0,5 p.
=
4 3− p p p 1 = 0,5. 3 − p ⋅ − .( −1) = 0,5. 3 − p − 2 3− p 4 3− p 4 3− p 4 3− p
2(3 − p ) − p 6 − 3p = 4 3− p 4 3− p
c. Voor het maximum geldt : A '( p ) = 0 ⇒ 6 − 3 p = 0 ⇔ p = 2 Uit de schets blijkt dat we te maken hebben met een maximum. ⇒ De maximale waarde van A is bij p = 2 en het maximum zelf is A(2) = 1
A
1
2
0
d.
Pas Pyth. toe in ∆ OQP ⇒ OP 2 = OQ 2 + QP 2 = p 2 + L = OP =
3− p
)
2
= p2 − p + 3 ⇒
p2 − p + 3
e. L '( p ) =
(
p
1 2 p − p+3 2
⋅ (2 p − 1) =
2 p −1 2 p − p+3 2
⇒ L '( p ) = 0 ⇔ 2 p = 1 ⇔ p =
1 2
1
2 Nu een schets van de grafiek van L . We zien dan dat er inderdaad sprake is van een minimum. Het minimum van L= OP =
0,52 − 0,5 + 3 =
11 1 = 11 4 2
3.
Gegeven : f ( x ) = x 8 − 2 x
a.
OS = 4 en Stel de x-coördinaat van P is p. ⇒ Dan is de hoogte naar P gelijk aan f(p) ⇒ O(∆ OSP) = 0,5 ⋅ 4 ⋅ p ⋅ 8 − 2 p = 2 p 8 − 2 p 1 dO = 2 8−2p + 2p⋅ ⋅ (−2) = dp 2 8−2p 2 8−2p −
2p =0⇔ 8−2p
2p 2 ⇒ 8− 2p = p ⇔ 3p = 8 ⇔ p = 2 3 8−2p Uit de schets van de grafiek van de oppervlakte zien we dat er inderdaad een maximum is. ⇒ maximale oppervlakte is 2 8−2p =
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2 ⎞ 16 24 16 O ⎜ 2 ⎟ = 2⋅⎜ 2 ⎟⋅ 8 − 2⋅⎜ 2 ⎟ = − = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 3 3 3 16 8 16 24 16 32 24 = 6 = ⋅ = 3 3 3 9 9 9
b. QP = f ( p ) = p 8 − 2 p en QS = 4 − p ⇒ 1 1 1 Opp. van ∆ QSP = A = ⋅ QS ⋅ QP = (4 − p ) ⋅ p 8 − 2 p = (2 p − p 2 ) 8 − 2 p 2 2 2
c. dA 1 ⎞ 1 ⎛ = (2 − p ) 8 − 2 p + ⎜ 2 p − p 2 ⎟ ⋅ ( −2) = dP 2 ⎠ 2 8− 2p ⎝ (2 − p ) 8 − 2 p ⋅
2 8− 2p ⎛ 1 ⎞ 1 + ⎜ 2 p − p2 ⎟ ⋅ ( −2) = 2 ⎠ 2 8− 2p 2 8− 2p ⎝
(4 − 2 p )(8 − 2 p ) −4 p + p 2 32 − 24 p + 4 p 2 − 4 p + p 2 + = = 2⋅ 8− 2p 2 8− 2p 2 8− 2p 5 p 2 − 28 p + 32 2 8− 2p
2
3 d. Maximale oppervlakte ⇒
dA = 0 ⇒ 5 p 2 − 28 p + 32 = 0 ⇒ dp
D = ( −28 ) − 4 ⋅ 5 ⋅ 32 = 144 28 + 12 28 − 12 = 4∨ p = = 1,6 ⇒ p= 10 10 Ui de schets zien we inderdaad dat het maximum is bij p = 1,6 ⇒ De maximale oppervlakte is dus : A(1,6) ≈ 4, 21 2
4
Gegeven y = 3 − 0,5 x 2
a.
xp = p A = Opp.(∆OPQ) = 0,5 . QP . f(p) = 0,5.2 p. f ( p) = p. 3 − 0,5 p 2 = 3 p − 0,5 p 3
b.
A '( p) = 3 − 1,5 p 2 = 0 ⇔ 1,5 p 2 = 3 ⇔ p 2 = 2 ⇔ p = 2 want p > 0. Uit de schets van de functie van A zien we dat er een maximum is. ⇒ De waarde van het maximum is : f(√2) = 3.√2 -0,5.(√2)3 = 3√2 – 0,5 . 2.√2 = 2√2
(
)
A
p 2^0.5
c.
Lijnstuk OP berekenen met Pyth. ⇒ 2 1 ⎞ 1 1 ⎛ OP 2 = xP 2 + y P 2 = p 2 + ⎜ 3 − p 2 ⎟ = p 2 + 9 − 3 p 2 + p 4 = p 4 − 2 p 2 + 9 ⇒ 2 ⎠ 4 4 ⎝ 1 4 p − 2 p2 + 9 4 Nu gaan we QP differentiëren ⇒ 1 p3 − 4 p 3 QP ' = ⋅ ( p − 4 p) = =0⇒ 1 4 1 4 2 2 2 2⋅ p −2p +9 p −2p +9 4 4 p 3 − 4 p = 0 ⇔ p( p 2 − 4) = 0 ⇒ p = 0 ∨ p = 2 ∨ p = −2 OP =
Uit de schets zien we dat er een minimum is bij p = 2 ⇒ 1 ⋅ 16 − 2 ⋅ 4 + 9 = 5 De minimale lengte is dus QP(2) = 4
3
4 5.
Gegeven f ( x) = x x
a.
xp = p en A = (4 , 0) yp = p p
⇒
P
(
AP 2 = AQ 2 + PQ 2 ⇔ AP 2 = (4 − p) 2 + p p
)
2
⇒ AP 2 = p 2 − 8 p + 16 + p 3 ⇒ AP = b.
p 3 + p 2 − 8 p + 16
Het dichtst bij A ⇒ We moeten het minimum van AP hebben. Noem AP = L ⇒
L '( p ) =
1 2 p 3 + p 2 − 8 p + 16
.(3 p 2 + 2 p − 8) =
O
p
3 p2 + 2 p − 8 2 p 3 + p 2 − 8 p + 16
3 p 2 + 2 p − 8 = 0 D = 4 – 4.3.(-8)=100 ⇒ −2 − 10 −2 + 10 1 p= = −2 ∨ p = =1 6 6 3 We kijken weer naar een schets van de functie L. ⇒ We zien dus dat er inderdaad een minimum bij p = 4/3 ⇒ Het punt dat het dichtst ⎛4 4 4⎞ ⎛4 8 ⎞ 3⎟ bij punt A is is nu : ⎜ , ⎟=⎜ , 3 3 3 3 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a. De snijpunten van f met de x-as zijn x = 0 en x = 8. Stel xP = p Dan geldt: f(p) = p. 3 8 − p en dat is dan ook de hoogte. De oppervlakte wordt dan : A = 0,5 . 8. p. 3 8 − p = 4 p. 3 8 − p
=0 ⇒
L
O
6. Gegeven de functie f ( x) = x. 3 8 − x
A
Q
p
4/3
met Df = [0 , 8]
y
P f
0
S
x
4
5 2 − 1 A '( p ) = 4. (8 − p) + 4 p. .(8 − p) 3 .(−1) = 3 4p 4. 3 (8 − p) − 3. 3 (8 − p) 2 3
A’(p) = 0 ⇔
4p
4. 3 (8 − p) =
⇔ 12.(8 − p) = 4 p ⇔ 96 – 12p = 4p ⇔ 16p = 96 ⇔ p = 6 3. 3 (8 − p) 2 Verder zien we in de tekening dat de oppervlakte eerst toeneemt en vervolgens weer afneemt. We hebben inderdaad te maken met een maximum. ⇒ De oppervlakte is maximaal bij p = 6 met een maximale waarde van : 24. 3 2 b. Nu ∆ OPQ. A = opp(∆ OPQ) = 0,5. p. f ( p ) = 0,5 p. p. 3 8 − p = 0,5 p 2 . 3 8 − p c. We berekenen A’(p) en controleren dan of A’(7) gelijk is aan 0. ⇒ 2 − 1 p2 ⇒ A '( p ) = p. 3 8 − p + 0,5 p 2 . (8 − p) 3 .(−1) = p. 3 8 − p − 3 6. 3 (8 − p) 2 A '(7) = 7. 3 8 − 7 −
7.
72 6. 3 (8 − 7) 2
= 7−
49 1 = −1 ≠ 0 ⇒ A is niet maximaal voor p = 7. 6 6
Gegeven f(x) = x2 – 2 en punt A(0 , 6). Stel xB = p ⇒ B (p , p2 – 2). Zie de figuur. Volgens Pyth. geldt nu: OB = p + ( p − 2 ) = p − 4 p + 4 + p = 2
2
2
2
p 4 − 3 p 2 + 4 ⇒ OB =
4
2
y 6 5
2
3
p4 − 3 p2 + 4 2
AB =
1
x
p − 15 p + 64 ⇒ 4
2
−4
−3
−2
−1
O
1
2
3
4
5
−1
p 4 − 15 p 2 + 64 ⇒
L = OB + AB =
B
2
AB 2 = ( p − 0) 2 + ( ( p 2 − 2) − 6 ) = p 2 + ( p 2 − 8) = 2
f
4
en
−2
p 4 − 3 p 2 + 4 + p 4 − 15 p 2 + 64
L
We gaan nu het minimum van L berekenen met de GR. ⇒ Voer in : y1 = x 4 − 3x 2 + 4 + x 4 − 15 x 2 + 64 Met de optie minimum vinden we dat er bij x ≈ 1,85 in combinatie met de schets , een minimum is .
O
1,85
p
5
6 De waarde is ongeveer 7,27. ⇒ De minimale waarde van L is dus ongeveer 7,27.
8 Gegeven : f ( x) = 2 x + 15 en g ( x) = 0,5 x a.
f en g snijden met de lijn x = -3 ⇒ A(-3 , 3) en B(-3 ;-4,5) ⇒ Lengte van AB = L = 3 –(-1,5) = 4,5
b.
Nu f en g snijden met de lijn x = p. ⇒ A(p , L = AB =
2 p + 15 ) en B(p; 0,5p) ⇒
2 p + 15 - 0,5p
c. L '( p) =
1 .2 − 0,5 = 0 ⇔ 2 2 p + 15
1 1 = 2 p + 15 2
⇒ 2 p + 15 = 2 ⇔ 2 p + 15 = 4 ⇔ 2p = -11 ⇔ p = -5,5. Nu nog de schets van de grafiek van L. We zien dus dat er inderdaad een maximale lengte is bij p = -5,5. Natuurlijk kunnen we dit ook berekenen m.b.v. de GR. O
-5,5
9.
Gegeven f ( x) = 6 x + 12 en g ( x) = x + 2 Snijpunt van de lijn x = p met f is A en met g is het snijpunt B.
a.
Punt A(p,f(p)) = (p , √(6p + 12)) en punt B (p , p + 2) . Tussen -2 en 4 ligt de grafiek van f boven de grafiek van g. ⇒ L = 6 p + 12 − ( p + 2) = 6 p − 12 − p − 2 L
b.
L '( p ) =
1 .6 − 1 = 0 ⇔ 2 6 p + 12
3 =1 6 p + 12
6 p + 12 = 3 ⇔ 6 p + 12 = 9 ⇔
6p = -3 ⇔ p = -0,5 Uit de schets zien we dat er inderdaad een maximum is bij p = -0,5 . De maximale waarde
-2
-0,5
O
p
6
p
7 wordt dan : L(−0,5) = 6.(−0,5) + 12 − (−0,5) − 2 = 1,5
10. Gegeven de functies f ( x) = x 2 + 4 en g ( x) = 0,5 x + 5 . De lijn x = p snijdt f en g tussen de punten A en B. We zien ook in de figuur dat punt C onder punt D ligt.
(
)
C( p, p 2 + 4 en D(p ; 0,5p+5) Nu geldt
L
L = yD − yC = 0,5 p + 5 − p 2 + 4 Nu het maximum van CD berekenen. ⇒ 1 L '( p) = 0,5 − .2 p = 0 2. p 2 + 4 1 p = ⇒ p2 + 4 = 2 p 2 p +4 2 p2 + 4 = 4 p2 ⇔ 3 p2 = 4 4 4 4 ⇒ p= ∨ p=− O (4/3)^0,5 3 3 3 Deze laatste oplossing voldoet niet, want anders klopt de vergelijking niet. We zien nu inderdaad aan de figuur dat er een maximum is. ⇒ De maximale lengte van het ⎛ 4⎞ lijnstuk CD is nu : L ⎜⎜ ⎟⎟ ≈ 3, 27 ⎝ 3⎠
p2 =
p
11. Gegeven de functies : f ( x) = 0,5sin( x) en g ( x) = cos( x) − 1,5 met x op [0 , 2π]. a.
Duidelijk te zien in de gegeven figuur dat de grafiek van f boven die van g ligt. Nu lijn x = p snijden met f en g ⇒ A( p;0,5sin(2 p )) en B ( p;cos( p ) − 1,5) ⇒ L = AB = 0,5sin(2 p) − cos( p) + 1,5 Nu het maximum berekenen. ⇒ L '( p) = 0,5.cos(2 p ).2 − (− sin( p)) = cos(2 p ) + sin( p ) = 0 L cos(2 p ) = − sin( p ) sin(0,5π − 2 p) = sin( p + π )
0,5π − 2 p = p + π + k .2π ∨ 0,5π − 2 p = π − ( p + π ) + 2kπ −3 p = 0,5π + 2kπ ∨ − p = −0,5π + 2kπ 1 2 p = − π + kπ ∨ p = 0,5π + 2kπ 6 3 We krijgen in totaal de oplossingen : 1 1 5 p = π ∨ p =1 π ∨ p =1 π 2 6 6
O 7pi/6
p
p
7
8 1 Uit de schets van de grafiek van L zien we dat bij p = 1 π er een maximum is. ⇒ 6 1 De lengte van AB is dus maximaal bij p = 1 π . ⇒ 6 1 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 1 1 3+ 3 +1 = De maximale lengte is : L ⎜ 1 π ⎟ = sin ⎜ 2 π ⎟ − cos ⎜ 1 π ⎟ + 1 = ⋅ 2 2 ⎝ 6 ⎠ 2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 2 2 2 3 1 3 +1 4 2
12.
4 f ( x ) = 25 − x 2 en g ( x ) = − x + 10 3 Eerst even de situatie bekijken in de figuur.
a.
y 6
B 5
f
⎛ 4 ⎞ L = AB = g ( p ) − f ( p ) = ⎜ − p + 10 ⎟ − 25 − p 2 ⎝ 3 ⎠ Nu moeten we de functie L gaan differentiëren . ⇒ 4 1 L '( p ) = − − ⋅ ( −2 p ) = 3 2 25 − p 2 p 25 − p
2
−
4 3
4
A
3 2 1
x −6 −5 −4 −3 −2 −1
O
1
2
3
p4
5
6
7
−1 −2
Voor het minimum geldt : L’(p) = 0 ⇒ p p 4 4 − =0⇔ = ⇒ 3 p = 4 ⋅ 25 − p 2 ⇒ 9 p 2 = 16(25 − p 2 ) ⇔ 2 2 3 3 25 − p 25 − p 9 p 2 = 400 − 16 p 2 ⇔ 25 p 2 = 400 ⇔ p 2 = 16 ⇔ p = 4 ∨ p = −4 In de figuur zien we duidelijk dat we p = 4 moeten hebben. ⇒ 14 5 2 ⎛ 4 ⎞ De minimale lengte van AB is : ⎜ − ⋅ 4 + 10 ⎟ − 25 − 42 = − 3 = = 1 3 3 3 ⎝ 3 ⎠
b. ⎛ 4 ⎞ Nu moet gelden : ⎜ − p + 10 ⎟ − 25 − p 2 > 10 Eerst de vergelijking oplossen . ⇒ ⎝ 3 ⎠ 4 ⎛ 4 ⎞ 2 2 ⎜ − p + 10 ⎟ − 25 − p = 10 ⇔ − p = 25 − p ⇒ 3 ⎝ 3 ⎠ 16 2 25 2 1 p = 25 − p 2 ⇔ p = 25 ⇔ p 2 = 1 ⇔ p 2 = 9 ⇔ p = 3 ∨ p = −3 9 9 9 We zien bij controle dat p = -3 voldoet en p = 3 vervalt. In de figuur zien we duidelijk dat als je vanaf p = - 3 naar links gaat dat dan de lengte van AB groter wordt. Dit kan t/m p = -5. Conclusie : -5 ≤ p ≤ -3
8
8
9 13. Gegeven de functies f ( x) = ln(2 x + 5) en g ( x) = 0,5 x . Aangezien de grafieken niet getekend zijn , gaan we zelf eerst de grafieken tekenen. Verder is gegeven dat p tussen de twee snijpunten van f en g ligt.
y
f
Neem punt A voor het snijpunt met f en B g voor het snijpunt met g. ⇒ A(p , ln(2p + 5)) en B(p; 0,5p) ⇒ L = AB = ln(2 p + 5) − 0,5 p -2,5 O 1 1 L '( p) = .2 − = 0 2p +5 2 2 1 = ⇔ 2p +5 = 4 2p +5 2 ⇔ 2p = -1 ⇔ p = -0,5 Als we naar de grafiek kijken vanaf het snijpunt dan zien we dat de lengte van het verticale lijnstuk eerst steeds toeneemt en vervolgens weer afneemt. We hebben dus te maken met een maximum. Dat maximum is dus bij p = -0,5 . De maximale lengte wordt dan : L(−0,5) = ln(2.(−0,5) + 5) − 0,5.(−0,5) = ln 4 + 0, 25
14. Gegeven : f ( x ) = 5 xe x en g ( x ) = 5 x 2 e x a. Voor het bereik hebben we de extreme waarde(n) nodig. ⇒ Differentiëren. ⇒ f '( x) = 5 ⋅ e x + 5 x ⋅ e x = 5e x (1 + x) ⇒ f '( x) = 0 ⇔ 5 x = −1 en f (−1) = −5e −1 = − e Nu een schets. We zien dat bij x = -1 een minimum is. Aflezen uit de schets geeft : ⎡ 5 Het bereik van f is : ⎢ − , →> ⎣ e b. Nu g '( x ) = 10 x ⋅ e x + 5 x 2 ⋅ e x = 5 x ⋅ e x (2 + x ) Voor de extreme waarden geldt : g '( x ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = −2 Nu weer een schets . We zien dan dat er een minimum is bij x = 0 en een maximum bij x = -2. ⇒ 20 max f ( −2) = 5 ⋅ 4 ⋅ e −2 = 2 en min f (0) = 0 . e
9
xp
10 c.
Nu beide grafieken en de verticale lijn x = p met p < 0. Voor de lengte L van het lijnstuk AB geldt : L = g ( p ) − f ( p ) Nu de maximale lengte . ⇒
y 6 5 4
L '( x ) = 10 pe p + 5 p 2e p − 5e p − 5 pe p = 5 p e + 5 pe − 5e = 5e 2 p
p
p
p
(p
2
B
g
+ p − 1)
2
Voor het maximum geldt L’(p) = 0 ⇔
1
p
−1 − 5 −1 + 5 ∨p= 2 2 Deze laatste oplossing vervalt want p < 0. −1 − 5 ⇒ Maximum voor p = 2 D = 1+ 4 = 5 ⇒ p =
d.
3
−6 −5 −4 −3 −2 −1
f
A
x
O
1
2
3
4
5
6
7
8
−1 −2
Nu x = q snijden met f en g. We zien nu : CD = f(q) – g(q) = 5qe q − 5q 2e q Voer in : y2 = 5 xe x − 5 x 2 e x Met de optie maximum vinden we bij x = q = 0,618 een maximum dat gelijk is aan : 2,190.
15. Gegeven f ( x ) =
1 en sin( x )
a.
y
Zie de figuur. f ligt boven g .
6
1 ⇒ AB = − 4cos 2 (q ) + 2 sin( q)
5
Stel AB = h(q) ⇒
h '(q ) =
x=q
4
0 − 1 ⋅ cos(q) − 8cos(q ) ⋅ (− sin q ) (sin(q )) 2
3
f
2
⇒
h '(q) = 0 ⇒ 8cos(q)sin(q) = cos(q ) = 0 ∨ 8sin(q) =
cos(q )
( sin(q) )
1
( sin(q) )
2
⇔
2
⇒
−6 −5 −4 −3 −2 −1
O
−1
g
A
1
x 1
2
3
4
5
6
7
B
−2
cos(q ) = 0 ∨ ( sin( q) ) = 18 3
10
8
11
cos(q ) = 0 ∨ sin( q) = 12 ⇔ q = 12 π ∨ q = 16 π ∨ q = 56 π Nu de schets van de functie h. ⇒ We zien dus dat er alleen een minimum is bij x = q = 16 π ∨ x = q = 5 6π b. De grafieken raken elkaar als geldt :
f ( x) = g p ( x) en f '( x) = g p '( x) ⇔
− cos( x) 1 = p cos 2 ( x) − 2 ∧ = −2 p cos( x) ⋅ sin( x) ⇒ sin( x) (sin( x)) 2 p cos 2 ( x)sin( x) − 2sin( x) = 1 ∧ cos( x) = 2 p cos( x)sin 3 ( x) ⇔ p cos 2 ( x)sin( x) − 2sin( x) = 1 ∧ ( cos( x) = 0 ∨ 1 = 2 p sin 3 ( x) ) ⇒ 1) x = 12 π geeft verder geen oplossing want 0 -2 is niet gelijk aan 1.
1 Dit nu invullen in de eerste vergelijking.⇒ 2sin 2 ( x) 1 cos 2 ( x) 2 cos ( x) ⋅ − 2sin( x) = 1 ⇔ − 2sin( x) − 1 = 0 2sin 2 ( x) 2sin 2 ( x) cos 2 ( x) − 2sin( x) − 1⇒ De optie zero geeft x ≈ 0,473 ∨ x ≈ 2,669 Voer in : y1 = 2sin 2 ( x) 1 3 We gaan dit nu invullen in de vergelijking 2 p sin ( x) = 1 ⇒ p = 2 ⋅ sin 3 ( x) 2) 2 p sin ( x) = 1 ⇔ p ⋅ sin( x) = 3
1) x ≈ 0,473 geeft p ≈ 5,29 2) x ≈ 2,669 geeft p ≈ 5,30 ⇒ De grafieken raken elkaar voor p ≈ 5,29 of p ≈ 5,30. 16. I = 2 x.x.h = 40 ⇔ 2 x 2 ⋅ h = 40 ⇔ h =
40 20 ⇔h= 2 2 x 2x
17. a.
72 36 = 2 x2 x2 Voor de oppervlakte geldt: A = 2.x.h + 2.2 x.h + 2 x.x = 6 xh + 2 x 2 Voor de kosten geldt dan : 36 43, 2 K = 6 xh.0, 20 + 2 x 2 .0, 40 = 1, 2.x. 2 + 0,8 x 2 = + 0,8 x 2 x x I = 2 x.x.h = 72 ⇔ h =
11
12 b.
43, 2 + 0,8 x 2 = 43, 2.x −1 + 0,8 x 2 ⇒ K '( x) = −43, 2 x −2 + 1, 6 x = 0 ⇔ x 43, 2 = 1, 6 x ⇒ 1, 6 x3 = 43, 2 ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3 2 x Uit de schets blijkt duidelijk dat er een K minimum is. K=
De totale kosten zijn minimaal bij x = 3 Bij x = 3 is de hoogte : 36/9 = 4 ⇒ Minimale kosten bij de afmetingen : 3 ; 6 en 4 dm.
O
3
x
18. a. Stel de hoogte van de doos is h. Uit het gegeven dat de inhoud 16 dm3 is volgt :
h ⋅ x 2 = 16 ⇒ h =
16 x2
De totale oppervlakte van de doos is : opp(bodem) + 4.opp(zijstukken) ⇒
A = x2 + 4 ⋅ h ⋅ x⎫ 16 64 ⎪ 2 2 ⎬ ⇒ A = x + 4⋅ 2 ⋅ x = x + 16 x x h= 2 ⎪ x ⎭ b. Van de functie A moeten we het minimum berekenen ⇒ A’(x) berekenen. ⇒
A = x 2 + 64 ⋅ x −1 ⇒ A ' = 2 x − 64 ⋅ x −2 = 0 ⇔ 2 x =
64 ⇒ x3 = 32 ⇒ x = 3 32 ≈ 3,17 2 x
Nu de schets van de functie A ⇒ We zien dan duidelijk dat er inderdaad een minimum is. De hoogte is dan :
h=
(
16 3
32
)
2
≈ 1,59
⇒ De afmetingen zijn dan : lengte en breedte van het grondoppervlak is 317 mm en de hoogte is 159 mm.
19. a. Opp. = 2.opp.(onderkant) + opp.(zijkant) = 2.π.r2 + 2πr.h
12
13 De inhoud is 1 liter = 1000 cm3 ⇒ π.r2.h = 1000 ⇒ h =
1000 π r2
Opp. = 2π r.h + 2π r 2 ⎫ 1000 2000 ⎪ 2 + 2π r 2 ⎬ ⇒ O = opp. = 2π r. 2 + 2π r = 1000 r πr h= ⎪ π r2 ⎭ b.
2000 = 2π r 2 + 2000 ⋅ r −1 ⇒ O '(r ) = 4π r − 2000 ⋅ r −2 = 0 ⇔ r 2000 500 500 4π r = 2 ⇔ π r 3 = 500 ⇔ r 3 = ⇒r= 3 ≈ 5,4 r π π
O = 2π r 2 +
Uit de schets zien we dat we inderdaad te maken hebben met een minimum. Conclusie : Er is een minimum bij r ≈ 5,4 cm = 54 mm 1000 en de hoogte is dan h = ≈ 10,8 cm = 108 mm. π r2
1200 x
20.
Oppervlakte is 1200 ⇒ x.y = 1200 ⇒ y =
a.
Lengte afrastering is : yw + xw + ybos ⇒ 1200 1200 90000 K= .15 + 15.x + .60 = + 15 x x x x
K
b. 90000 + 15 x = 90000.x −1 + 15 x ⇒ x ⇔ 90000 −2 K '( x) = −90000 x + 15 = 0 ⇔ = 15 O 77,46 x2 2 x = 6000 ⇒ x = √6000 ≈ 77,46 ⇒ 1200 y= ≈ 15,49 Uit de schets zien we dat we te 77, 46 maken hebben met een minimum. ⇒ De kosten zijn minimaal bij x ≈ 77,46 en dus bij y = 1200/77,46 ≈ 15,49 ⇒ Minimale kosten bij een breedte van : 15,49 meter en een lengte van 77,46 meter. De minimale kosten zijn dan : K(77,46) ≈ 2323,79 euro. K=
c.
x
90000 en y2 = 2500 x Met de optie intersect vinden we x ≈ 52,60 of x ≈ 114,1 Er moet ook gelden x.y = 1200 ⇒ Bij x = 52,60 komt nu y ≈ 22,81
Nu moet gelden : K = 2500 ⇒ Voer in : y1 = 15 x +
13
14 Verder komt bij x ≈ 114,1 een waarde van y ≈ 10,52 . Verder moet het niet te smal en te lang zijn ⇒ De nieuwe afmetingen worden nu: 52,6 bij 22,8 meter. 21. a.
500 π r2 Opp.(deksel ) = opp.(bovenkant ) + opp.(rand ) = π r 2 + 2π r.1 I potje = π r 2 .h = 500 ⇔ h =
Opp.( potje) = Opp.(onderkant ) + opp.( zijkant ) = π r 2 + 2π r.h = π r 2 + 2π r.
500 π r2
1000 De materiaalkosten van het glas zijn a euro per cm2 . Dan zijn r de materiaalkosten van de deksel 2a euro per cm2. ⇒ 1000 ⎞ 1000a 1000a ⎛ 2 2 = 3π ar 2 + 4π ar + K = π r 2 + 2π r.1 .2a + ⎜ π r 2 + ⎟ .a = 2π ar + 4π ar + π ar + r ⎠ r r ⎝ ⇒ Opp.( potje) = π r 2 +
(
b.
)
K '(r ) = 6π ar + 4π a − 1000a.r −2 = 0 ⇔ 6π r + 4π −
1000 = 0 Dit gaan we oplossen met GR. r2
1000 Met de optie zero vinden we x≈ 3,548 x2 Nu nog de controle dat we inderdaad met een minimum te maken hebben. De functie K is een functie van r , daarin zit nog de factor a. We bekijken daarom de functie K/a . Die functie geeft natuurlijk bij dezelfde waarde van r het minimum aan, omdat alles door de factor a gedeeld is. 1000 Voer in : y2 = 3π x 2 + 4π x + x Voer in : y1 = 6π x + 4π −
We zien dan dat er bij x ≈ 3,548 inderdaad een minimum is. De totale kosten zijn minimaal bij een straal van 35 mm en een hoogte van : 500 h= ≈ 12,6 dus bij een hoogte van 126 mm. π .3,5482 22. a. De boot gaat tegen de stroomrichting in. ⇒ De snelheid van de boot is : v – 3 De snelheid van de boot is gelijk aan de afgelegde weg / tijd = 5/t ⇒
v−3=
5 5 ⇒t = t v−3
b. Voor de brandstofkosten per uur geldt : K u = c ⋅ v ⇒ De totale brandstofkosten zijn de kosten per uur maal het aantal uur. 2
14
15
5 5cv 2 = ⇒ K = Ku ⋅ t = c ⋅ v ⋅ v−3 v−3 2
c. Minimum ⇒ We gaan differentiëren. ⇒
10cv(v − 3) − 5cv 2 ⋅ 1 10cv 2 − 30cv − 5cv 2 5cv 2 − 30cv K '(v) = = = (v − 3) 2 (v − 3) 2 (v − 3) 2 2 De afgeleide moet 0 zijn ⇒ 5cv − 30cv = 0 ⇔ 5cv (v − 6) = 0 ⇒ c = 0 (kan niet) ∨ v = 0 (kan ook niet) ∨ v = 6 Nog even de schets. (Neem b.v. c = 1) ⇒ We zien inderdaad bij x = v = 6 dat er een minimum is. ⇒ De totale brandstofkosten zijn minimaal bij een snelheid van 6 km/uur.
23. Gelijkbenige driehoek met omtrek 12. a.
Stel AB = x en de opstaande gelijke zijden y ⇒ x + 2y = 12 ⇒ y = 6 – 0,5x.
b. Zie figuur: h2 = AC2 – AD2 ⇒ h2 = y2 – (0,5x)2 ⇒ h2 = (6-0,5x)2 – 0,25x2 ⇔ h2 = 36 – 6x ⇒ h = CD = 36 − 6x c. De oppervlakte van ∆ ABC is : O = 0,5 . AB . CD ⇒ O = 0,5 x. 36 − 6 x d. O = 0,5 x. 36 − 6 x ⇒ O '( x) = 0,5 ⋅ 36 − 6 x + 0,5 x ⋅ 0,5 ⋅ 36 − 6 x −
1 ⋅ (−6) = 2 36 − 6 x
3x = 2 36 − 6 x
2 36 − 6 x 3x − = 2 36 − 6 x 2 36 − 6 x 36 − 6 x 3x 36 − 9 x − = 2 36 − 6 x 2 36 − 6 x 2 36 − 6 x
0,5 ⋅ 36 − 6 x ⋅
e.
15
16 Maximum ⇒ O ‘(x) = 0 ⇒ 3x 3x = 0 ⇔ 0,5 ⋅ 36 − 6 x = 0,5 ⋅ 36 − 6 x − 2 36 − 6 x 2 36 − 6 x ⇔ 36 − 6 x = 3x ⇔ 9 x = 36 ⇔ x = 4 We zien aan de schets dat er inderdaad een maximale waarde is bij x ≈ 4. Als x = 4 dan hebben AC en BC de waarden : 6 – 0,5 . 4 = 4 ⇒ De maximale oppervlakte van ∆ABC is dus : Opp.= 0,5 . 4 . √12 = 4√3 24. a.
Uit het voorbeeld weten we : L = AP + 2 * PC = 200 − x + 2 x + 3600 Voor de kostenfunctie K geldt : 2
K = AP ⋅ 12 + 2 ⋅ CP ⋅ 10 ⇒ K = 200 ⋅ 12 − x ⋅ 12 + 2 ⋅ x 2 + 3600 ⋅ 10 ⇔ K = 2400 − 12 x + 20 x + 3600 2
b. Minimum ⇒ K ‘(x) = 0 ⇒
−12 + 20 ⋅
1 2 x + 3600 2
⋅ 2 x = 0 ⇔ −12 +
20 x x + 3600 2
=0⇔
20 x x + 3600 2
= 12
⇔ 20 x = 12 x 2 + 3600 ⇔ 5 x = 3 ⋅ x 2 + 3600 ⇒ 25 x 2 = 9 ( x 2 + 3600 ) ⇔ 25 x 2 = 9 x 2 + 32400 ⇔ 16 x 2 = 32400 ⇔ x 2 = 2025 ⇒ x = 45
Nu weer een schets van K ⇒ We zien duidelijk dat er een minimum is bij x = 45. Het minimum is dan K(45) = 3360 ⇒ De minimale kosten zijn 3360 euro.
25. a.
AB '2 = 5002 + 2002 = 290000 ⇒ AB ' = 290000 BB ' = 100 ⇒ De kosten op het traject AB’B zijn dan : 290000 ⋅ 100 + 100 ⋅ 150 ≈ 68852 euro
b.
Voor de lengte AB geldt: AB 2 = 5002 + 3002 = 340000 ⇒ AB = 340000 BC 100 1 1 1 2 Zie nu de figuur ⇒ = = ⇒ BC = ⋅ AB = ⋅ 340000 en AC = ⋅ 340000 AB 300 3 3 3 3 ⇒ De totale kosten zijn dan : 2 1 K = ⋅ 340000 ⋅ 100 + ⋅ 340000 ⋅ 150 ≈ 68028 euro 3 3
c. Nu geldt : AP 2 = x 2 + 2002 ⇒ AP = x 2 + 40000 en BP 2 = (500 − x ) 2 + 1002 = x 2 − 1000 x + 260000 ⇒ BP = x 2 − 1000 x + 260000
16
17 Voor de totale kosten geldt nu : K = AP ⋅ 100 + BP ⋅ 150 = 100 ⋅ x 2 + 40000 + 150 ⋅ x 2 − 1000 x + 260000
Voer in y1 = 100 ⋅ x 2 + 40000 + 150 ⋅ x 2 − 1000 x + 260000 en neem b.v. het window [0 , 500] X [0 , 100000] Met de optie minimum vonden we het minimum van 65721 bij x is ongeveer 424. De minimale kosten zijn dan 65721 euro.
26a. 100 meter = 0,1 km ⇒ AP 2 = x 2 + 0,12 ⇒ AP = x 2 + 0,01 en 200 meter = 0,2 km en 400 meter = 0,4 km ⇒ BP 2 = (0, 4 − x ) 2 + 0, 22 = 0,16 − 0,8 x + x 2 + 0,04 ⇒ BP = x 2 − 0,8 x + 0, 20 afgelegde weg ⇒ Er geldt : afgelegde weg = snelheid * tijd ⇒ tijd = snelheid AP BP t= + = 18 12
x 2 + 0,01 + 18
x 2 − 0,8 x + 0, 2 1 1 = ⋅ x 2 + 0,01 + ⋅ x 2 − 0,8 x + 0, 2 12 18 12
b. Nu de minimale tijd berekenen met de GR. 1 1 ⇒ Voer in : y1 = ⋅ x 2 + 0,01 + ⋅ x 2 − 0,8 x + 0, 2 18 12 Met de optie minimum vinden we het minimum van y = t = 0,0358 bij x = 0,243. ⇒ De minimale tijd is dus 0,0358 uur. Dat is dus 0,0358 * 3600 = 129 seconden. 27a. Voor het te lopen traject geldt : d = 2 2 + x 2 + 10 − x Er geldt weer: afgelegde weg = snelheid * tijd ⇒ tijd =
afgelegde weg snelheid
x 2 + 4 10 − x 1 2 5 1 + = x +4 + − x 4 12 4 6 12 Nu algebraïsch berekenen. ⇒ dt 1 1 1 x 1 = ⋅ ⋅ 2x − = − 2 2 dx 4 2 x + 4 12 4 x + 4 12 dt x 1 =0⇒ = ⇔ 12 x = 4 x 2 + 4 ⇔ 3x = x 2 + 4 Nu moet gelden : 2 dx 12 4 x +4 1 2 Kwadrateren geeft : 9 x 2 = x 2 + 4 ⇔ 8 x 2 = 4 ⇔ x 2 = 0,5 ⇒ x = 0,5 = 2 Nu de schets. We zien daaruit dat er inderdaad een minimum bij 1 2 x= 2
⇒ t=
b.
28a. Zie goed de figuur uit het boek. Als gevolg van het omvouwen geldt : PD = 20 – x ⇒ AD kunnen we berekenen met Pyth. ⇒
17
18 PD 2 = AP 2 + AD 2 ⇒ AD 2 = (20 − x) 2 − x 2 = 400 − 40 x ⇒ AD = 400 − 40 x Voor de oppervlakte van ∆ADP geldt : O ( ADP ) = 0,5. AD. AP = 0,5. x. 400 − 40 x b. Nu weer gaan differentiëren ⇒ O ( ADP ) = 0,5. AD. AP = 0,5. x. 400 − 40 x ⇒ 1 dO = 0,5 ⋅ 400 − 40 x + 0,5 x ⋅ ⋅ ( −40) dx 2 400 − 40 x 10 x = 0,5 ⋅ 400 − 40 x − 400 − 40 x dO 10 x = 0 ⇒ 0,5 ⋅ 400 − 40 x = dx 400 − 40 x ⇒ 0,5(400 − 40 x ) = 10 x ⇔ 200 − 20 x = 10 x ⇔ 30 x = 200
20 3 Uit de schets blijkt duidelijk dat we te maken hebben met een maximum. ⇒ 20 . O is maximaal voor x = 3 ⎛ 20 ⎞ Het maximum is dan O ⎜ ⎟ ≈ 38, 49 cm2 ⎝ 3⎠ ⇔x=
29a. De omlooptijd is 5 , dus de periode is 5. De straal is 3. ⎧⎪ x p = r ⋅ cos( ct ) Algemeen gelden de formules: ⎨ ⎪⎩ y p = r ⋅ sin( ct ) 2π 2π Uit het gegeven volgt c = ⇒c= en r = 3 ⇒ periode 5
⎧ ⎛ 2π ⎞ ⎪ x p = 3 ⋅ cos ⎜ 5 t ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ y = 3 ⋅ sin ⎛ 2π t ⎞ ⎜ ⎟ ⎪⎩ p ⎝ 5 ⎠ b.
30.
⎛ 2π ⎞ ⋅t⎟ Er geldt natuurlijk : yP = yP’ ⇒ y P ' = 3 ⋅ sin ⎜ ⎝ 5 ⎠ uP = 5sin(40π t ) en uQ = 5sin(40π t − 0, 6π )
18
19
c 40π ⇒ f = = 20 Hz . Dit geldt zowel voor P als voor Q. 2π 2π
a.
Voor de frequentie geldt : f =
b.
Het faseverschil is :
c.
uQ = 5sin(40π t − 0, 6π ) = 5sin 40π (t − 0, 015) ⇒
0, 6π = 0,3 2π
T (0,015;0) uP = 5sin(40π t ) ⎯⎯⎯⎯⎯ → uQ = 5sin(40π (t − 0, 015))
d.
De trillingstijd is 0,05 sec. Daarin wordt 4.5 = 20 cm afgelegd. Per seconde wordt dus 20. 20 = 400 cm afgelegd. In een kwartier wordt dan dus 60 .15 . 400 = 360000 cm afgelegd. Er wordt dus 3,6 km afgelegd.
31. a.
Amplitude is 10 en f = 3 Hz ⇒ T = 1/3 Er geldt : Het beginpunt is sijgend ⇒ yP = 10sin(6π t )
2π 2π 1 =T ⇒ = ⇒ c = 3.2π = 6π . c c 3
Q heeft een faseachterstand van 0,1 ⇒ 0,1 .periode =
1 ⇒ 30
1 ⎞ ⎛ yQ = 10sin ⎜ 6π (t − ) ⎟ met yQ in cm en t in seconden. 30 ⎠ ⎝ b.
P en Q hebben een even grote afwijking ⇒ yP = yQ ⇒ 1 ⎞ ⎛ 10sin(6π t ) = 10sin ⎜ 6π (t − ) ⎟ ⇔ 30 ⎠ ⎝ 1 1 1 sin(6π t ) = sin(6π (t − ) ⇔ 6π t = 6π (t − ) + k .2π ∨ 6π t = π − 6π (t − ) + k .2π ⇔ 30 30 30 6π 6π + k .2π ∨ 6π t = π − (6π t − ) + k .2π ⇔ 30 30 1 geen oplossing of 12πt = 1,2π + k.2π ⇔ t = 0,1 + k. met t tussen 0 en 1 . ⇒ 6 1 4 13 3 23 14 t= ∨ t = ∨t= ∨ t= ∨ t= ∨ t= . 10 15 30 5 30 15 6π t = 6π t −
c.
Voer de beide functies in en plot ze allebei. Bekijk
dy op deze tijdstippen en kijk wanneer de dt
dy dy positief is en de andere negatief is. Dit is het geval bij : dt dt 4 3 14 t= ∨ t= ∨t= . 15 5 15 ene
32.
⎧ x(t ) = b.cos(ct ) ⎨ ⎩ y (t ) = b.sin(ct ) 19
20
a.
Aangezien er geldt dat xP = xP’’ = b.cos(ct ) = b.sin(0,5π − ct ) = −b.sin(ct − 0,5π ) en dit is de gedaante van een harmonische trilling.
b.
Zie de figuur. Het assenstelsel kunnen we aanpassen door het te draaien om een hoek van 45º of ook wel 0,25.π. Vervolgens hebben we dezelfde situatie als bij opgave a en dus een harmonische trilling. Punt P’ gaat op en neer tussen de punten A en B terwijl punt P zich over de cirkel verplaatst.
33.
Cirkel met m.p. P en straal PA = l. l = 1,00 m. en ∠ BPC = 10 º
a.
De totale omtrek van de cirkel met straal 1,00 m is : 2.π.1 = 2π m. De lengte van de boog is het zoveelste deel van de totale omtrek ⇒ 10 .2π ≈ 0,1745 m De gevraagde booglengte is: boog BC = 360
b.
Zie driehoek BA’P ⇒ sin(5o ) = BC = 2.sin(5º) ≈ 0,1743 m.
c.
u = b.sin(ct )
BA ' ⇔ A ' B = 1.sin(5o ) = sin(5o ) ⇒ l
b = A’B = sin(5º) ≈ 0,09 en T = 2π .
l 1, 00 = 2π . ≈ 2,01 sec. en g 9,81
2π 2π =c⇒ ≈ 3,13 ⇒ c ≈ 3,13 T 2, 01 d.
34.
De trillingstijd T is 2,01 . Gedurende een periode hebben we te maken met twee tikken. ⇒ per seconde hebben we bij benadering 1 tik. 1 ⎞ ⎛ u1 = 3sin(2t ) en u2 = 4sin ⎜ 2t − π ⎟ 6 ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ u = u1 + u2 = 3sin(2t ) + 4sin ⎜ 2t − π ⎟ 6 ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ Voer in y1 = 3sin(2 x ) + 4sin ⎜ 2 x − π ⎟ 6 ⎠ ⎝ Met de optie zero vinden we het eerste snijpunt met de x-as bij x≈ 0,15 ⇒ d = 0,15, want er is dus sprake van een translatie 0,15 naar rechts. 20
21 De optie maximum geeft een maximum van 6,77. ⇒ De amplitude is 6,77. ⇒ b = 6,77 ⇒ u = 6,77sin(2(t − 0,15)) 35.
a.
b.
⎧sin(t + u ) = sin(t ).cos(u ) + cos(t ).sin(u ) We gaan uit van : ⎨ ⎩sin(t − u ) = sin(t ).cos(u ) − cos(t ).sin(u ) ⎧t + u = a We stellen het volgende : ⎨ ⎩t − u = b Als we dit gaan optellen dan krijgen we : 2t = a + b ⇒ t = 0,5(a + b) Als we dit gaan aftrekken dan krijgen we : 2u = a − b ⇒ u = 0,5(a − b) We gaan nu deze betrekkingen invullen ⇒ sin(a) = sin ( 0,5(a + b) ) .cos ( 0,5(a − b) ) + cos ( 0,5(a + b) ) .sin ( 0,5(a − b) ) sin(b) = sin ( 0,5(a + b) ) .cos ( 0,5(a − b) ) − cos ( 0,5(a + b) ) .sin ( 0,5(a − b) ) Nu gaan we de linkerkanten optellen en ook de rechterkanten optellen. ⇒ sin(a) + sin(b) = 2.sin ( 0,5( a + b) ) .cos ( 0,5( a − b) )
36.
We gaan dezelfde substituties gebruiken als bij opgave 25 . Nu gaan we de linkerkanten en de rechterkanten aftrekken. ⇒ sin(a) − sin(b) = 2.cos ( 0,5(a + b) ) .sin ( 0,5(a − b) ) We gaan voor de cosinus uit van de formules : ⎧cos(t + u ) = cos(t ).cos(u ) − sin(t ).sin(u ) We vullen weer de substituties van opgave 25 in . ⎨ cos( t − u ) = cos( t ).cos( u ) + sin( t ).sin( u ) ⎩ Eerst tellen we de linkerkanten en de rechterkanten op ⇒ cos(a ) + cos(b) = 2.cos ( 0,5(a + b) ) .cos ( 0,5(a − b) )
Nu gaan we de linkerkanten aftrekken en de rechterkanten aftrekken. ⇒ cos(a ) − cos(b) = −2.sin ( 0,5(a + b) ) .sin ( 0,5(a − b) )
37.
u = 3sin(500π t ) + 4sin(500π t − 0, 4π ) met u in mm en t in seconden.
a.
Voer in: y1 = 3sin(500π x) + 4sin(500π x − 0, 4π ) De periode is in de buurt van : 2π 1 = = 0, 004 ⇒ neem als window : [0 ; 0,005] X [-7 , 7] 500π 250 Met de optie zero vinden we het eerste snijpunt met de hor. as bij x = t ≈ 0,000466 , waarbij de grafiek stijgt. 21
22 Met de optie maximum vinden we een maximum van y ≈ 5,69 ⇒ u = 5, 69.sin ( 500π (t − 0, 000466) ) ≈ 5, 69.sin(500π t − 0, 73) met u in mm en t in seconden. 500π = 250 ⇒ Het punt legt in 1 seconde af : 2π 250 . 4 . 5,69 = 5690 mm = 5,69 m
b. De frequentie is :
c.
u '(t ) = 3.cos(500π t ).500π + 4 cos(500π t − 0, 4).500π = 1500π .cos(500π t ) + 2000π .cos(500π t − 0, 4π ) ⇒ u '(0) = 1500π cos(0) + 2000π cos(−0, 4π ) ≈ 6654 ⇒ De snelheid op t = 0 is dus ongeveer 6654 mm/s ≈ 24 km/uur.
38.
u1 = 3sin(500π t ) en u2 = 3sin(500π t − 0,5π ) Met u = u1 + u2
a.
u = 3sin(500π t ) + 3sin(500π t − 0,5π ) = 3. ( sin(500π t ) + sin(500π t − 0,5π ) ) = 3.2. ( sin(0,5(500π t + 500π t − 0,5π )).cos(0,5(500π t − 500π t − 0,5π )) ) =
6.sin(500π t − 0, 25π ).cos(0, 25π ) = 6.sin(500π t − 0, 25π ).
1 2= 2
3 2.sin(500π t − 0, 25π ) b.
u = 3 2 ⋅ sin(500π t − 0, 25π ) ⇒ du = 3 2 ⋅ cos(500π t − 0, 25π ) ⋅ 500π = 1500π 2 ⋅ cos(500π t − 0, 25π ) dt Maximale snelheid krijgen we als de cosinus 1 is ⇒ 3600 ≈ 24km / uur vmax = 1500π 2mm / s ≈ 6664,32 ⋅ 1000000 39.
u = p sin(ct ) + p sin(ct − d ) = p.2sin ( 0,5(ct + ct − d ) ) .cos ( 0,5(ct − ct + d ) ) =
2 p sin(ct − 0,5d ).cos(0,5d ) = 2 p.cos(0,5d ).sin(ct − 0,5d ) met b = 2 p cos(0,5d )
40. a.
u1 = sin(t ) + cos(t ) en u2 = sin(t ) + 2 cos(t ) u1 = sin(t ) + cos(t ) = sin(t ) + sin(t + 0,5π ) = 2sin(0,5(t + 0,5π + t )) ⋅ cos(0,5(t − 0,5t − t )) = 2sin(t + 0, 25π ) ⋅ cos( −0, 25π ) = 2 ⋅ sin(t + 0, 25π )
b.
Voer in : y1 = sin( x ) + 2 cos( x ) Met de optie zero vinden we x = 2,03. Met de optie maximum vinden we het maximum van 2,24.⇒ De gevraagde functie is nu : u2 = −2, 24 sin(t − 2,03)
22
23 41.
u1 = sin(2t ) + sin(3t )
a.
De periode van y =sin(2x) is : y=sin(3x) is :
u2 = sin(2t ) + sin(4t )
2π 2 = π 3 3
2π = π ; De periode van 2
In de periode 2π past de periode π 2 keer en past de periode van 2π/3 3 keer. 2π is de kleinste periode waarin de periodes een geheel aantal keren passen.
b.
De periode van y = sin(2t) is :
2π 2π 1 = π ; De periode van y=sin(4x) = = π 2 4 2
In de periode π past de periode van 0,5π twee keer. Dat is dus de kleinste waarde waarin een geheel aantal keren de periode van sin(2x) en van sin(4x) past. De periode van u2 is dus π. Zie ook de grafiek die getekend is op het interval [0 , 2π ] 42.. a. u = sin(100π t ) + sin(101π t ) 2π 1 2π 2 De periode van u1 = = ; De periode van u2 = = ⇒ 100π 50 101π 101 In de periode [0 , 2π] passen 100.π periodes van u1 en passen 101.π periodes van u2. ⇒ In de periode [0 , 2] passen 100 periodes van u1 en passen 101 periodes van u2. ⇒ De periode van u is dus [0 , 2] ⇒ de trillingstijd is dus 2 seconden. b.
u = sin(100t ) + sin(101t ) 2π π 2π = ; De periode van u2 = ⇒ De periode van u1 = 100 50 101 In de periode [0 , 2π] passen 100 periodes van u1 en passen 101 periodes van u2. ⇒ De periode van u is dus [0 , 2π] ⇒ de trillingstijd is dus 2π seconden.
c.
u = 5sin(100π t ) + sin(105π t ) 2π 1 2π 2 De periode van u1 = = ; De periode van u2 = = ⇒ 100π 50 105π 105 In de periode [0 , 2π] passen 100.π periodes van u1 en passen 105.π periodes van u2. ⇒
23
24 In de periode [0 , 2] passen 100 periodes van u1 en passen 105 periodes van u2. ⇒ 2 In de periode [0 , ] passen 20 periodes van u1 en 21 periodes van u2. 5 2 2 seconde. De periode van u is dus [0 , ] ⇒ de trillingstijd is dus 5 5 d.
43.
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ u = sin ⎜ π t ⎟ + sin ⎜ π t ⎟ ⎝4 ⎠ ⎝5 ⎠ 2π 2π = 8 ; De periode van u2 = = 10 ⇒ De periode van u1 = 0, 25π 0, 2π In de periode [0 , 2π] passen 0,25.π periodes van u1 en passen0,2.π periodes van u2. ⇒ In de periode [0 , 2] passen 0,25 periodes van u1 en passen 0,2 periodes van u2. ⇒ In de periode [0 , 40] passen 5 periodes van u1 en passen 4 periodes van u2. ⇒ De periode van u is dus [0 , 40] ⇒ de trillingstijd is dus 40 seconden. u1 = sin(660π t ) en u2 = sin(661π t ) met t in seconden. In de periode [0 , 2π] passen 660.π periodes van u1 en passen 661.π periodes van u2. ⇒ In de periode [0 , 2] passen 660 periodes van u1 en passen 661 periodes van u2. ⇒ De periode van u is dus [0 , 2] ⇒ de trillingstijd van de zweving is dus 2 seconden.
44.
u = 1,5sin(700π t ) + 0, 2sin(1400π t ) + 0,3sin(2100π t ) + 0,1sin(2800π t ) met t in seconden.
a.
De grondtoon is : u1 = 1,5sin(700π t ) De frequenties van de drie boventonen zijn : 700 Hz ; 1050 Hz en 1400 Hz.
b.
In de periode [0 , 2π] passen 700 π periodes van u1 en passen 1400.π periodes van u2 en passen 2100.π periodes van u3 en passen 2800.π periodes van u4 ⇒ In de periode [0 , 2] passen 700 periodes van u1 en passen 1400 periodes van u2 en passen 2100 periodes van u3 en passen 2800 periodes van u4. ⇒ 2 ] passen 1 periode van u1 en passen 2 periodes van u2 en passen 3 In de periode [0 , 700 periodes van u3 en passen 4 periodes van u4 ⇒ 1 1 ] ⇒ de trillingstijd is dus seconde. De periode van u is dus [0 , 350 350
45.
u1 = 0, 6sin(500π t ) ; u2 = 0, 6sin(550π t ) en u3 = 0, 6sin(500π t − 0,5π )
a.
u4 = u1 + u2 In de periode [0 , 2π] passen 500π periodes van u1 en passen 550π periodes van u2. In de periode [0 , 2] passen 500 periodes van u1 en passen 550 periodes van u2.
24
25 2 ] passen 10 periodes van u1 en passen 11 periodes van u2. 50 1 1 ] ⇒ De trillingstijd is dus seconde. ⇒ De periode van u4 is dus [0 , 25 25
In de periode [0 ,
1 = 0,06 25
b.
In de figuur zien we anderhalve periode. ⇒ Xmax is dus 1,5 .
c.
u5 = u1 + u3 = 0, 6sin(500π t ) + 0, 6(sin(500π t − 0,5π ) = ( volgens Mollweide )
= 0, 6.2.sin ( 0,5(500π t + 500π t − 0,5π ) ) .cos ( 0,5(500π t − 500π t + 0,5π ) ) = 1, 2.sin ( 500π t − 0, 25π ) .cos ( +0, 25π ) = 1, 2.
1 2.sin(500π t − 0, 25π ) = 2
0, 6 2.sin(500π t − 0, 25π )
46.
a.
⎧ x = sin(t ) K :⎨ met t op [0 , 2π] ⎩ y = sin(2t ) 1 We zien in de figuur dat we moeten zijn bij het tijdstip t = π 4 Als we deze waarde gaan invullen dan krijgen we : ⎧ ⎛1 ⎞ 1 ⎪ x = sin ⎜ 4 π ⎟ = 2 2 ⎪ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎞ 2,1⎟ ligt op de kromme K. ⇒ Het punt ⎜ ⎨ ⎝2 ⎠ ⎪ y = sin ⎛ 1 π ⎞ = 1 ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝2 ⎠
b. (0,0) ligt op de kromme K omdat we bij t = 0 het punt (0,0) inderdaad krijgen. 1 Bij het punt (1,0) hoort de waarde t = π . We kan het zo controleren. 2 c. t x y
0 0 0
0,25π 0,71 1
0,5π 1 0
0,75π 0,71 -1
π 0 0
1,25π -0,71 1
1,5π -1 0
1,75π -0,71 -1
2π 0 0
y
1
x
d.
−1
O
1
2
−1
25 −2
26
47.
⎧ x = sin(at ) 2 K :⎨ met t op het interval [0, π ] 3 ⎩ y = sin(bt )
a. In de x-richting is er sprake van 1 maximum en 1 minimum. ⇒ 1 periode. In de y-richting hebben we 4 maxima en 4 minima. ⇒ 4 perioden. b. De kromme wordt twee keer doorlopen. Totaal hebben we het interval [0 , 2π] Bij 1 omtrek hebben we dus nodig het interval [0 , π]. Zie de figuur in het boek. ⇒ In de x-richting hebben we 1 maximum en 1 minimum . D.w.z. het doorlopen van 1 2π 2π sinuskromme. ⇒ a = = =2 periode π In de y-richting hebben we 4 maxima en 4 minima. We hebben dus 4 sinuskrommen binnen 1 de periode [0 , π ] . Er geldt dus dat de periode in de y-richting gelijk is aan π . ⇒ 4 2π 2π = =8 b= periode 1 π 4 ⎧ x = sin(2t ) De p.v. van de kromme wordt nu : K : ⎨ ⎩ y = sin(8t ) c.
48.
Als de kromme 3 keer wordt door lopen dan hebben we voor 1 omwenteling het interval van 2 [0 , π ]. 3 2π 2π In de x- richting geldt dan dus : a = = =3 periode 2 π 3 2π 2π In de y-richting geldt : b = = = 12 periode 1 ⋅ 2 π 4 3
⎧ x = sin(ct ) K :⎨ met t op het interval [0 , 2π] ⎩ y = sin(t ) Zie de figuur in het boek. In de x-richting hebben we 2 maxima en 2 minima. We krijgen dus 2 keer een sinuskromme binnen [0 , 2π]. In de x-richting is dus de periode [0 , π] ⇒ 2π 2π = =2 c= periode π
26
27 In de y-richting hebben we 1 maximum en 1 minimum. We krijgen dus 1 keer een sinuskromme binnen [0 , 2π]. In de y-richting is dus de periode [0 , 2π] ⇒ c = 1. Dat klopt dus met de gegeven kromme ⇒ De p.v. van de kromme wordt nu : ⎧ x = sin(2t ) K :⎨ ⎩ y = sin(t )
49.
⎧ x = sin(at ) K :⎨ met t op het interval [0 , 2π] ⎩ y = sin(bt ) De kromme wordt 1 keer doorlopen. In de x-richting hebben we 2 maxima en 2 minima. We krijgen dus 2 keer een sinuskromme binnen [0 , 2π]. In de x-richting is dus de periode [0 , π] ⇒ 2π 2π = =2 a= periode π In de y-richting hebben we 5 maxima en 5 minima. We krijgen dus 5 keer een sinuskromme 2 binnen [0 , 2π]. In de y-richting is dus de periode [0 , π] ⇒ 5 2π 2π = =5 b= 2 periode π 5 ⎧ x = sin(2t ) De p.v. van de kromme wordt: K : ⎨ ⎩ y = sin(5t )
50.
⎧ x = sin(at ) K :⎨ met t op het interval [0 , 2π] ⎩ y = sin(bt ) De figuur wordt 1 keer doorlopen. Zie de figuur in het boek.
a.
In de x-richting hebben we 2 maxima en 2 minima. We krijgen dus 2 keer een sinuskromme binnen [0 , 2π]. In de x-richting is dus de periode [0 , π] ⇒ 2π 2π = =2 a= periode π In de y-richting hebben we 3 maxima en 3 minima. We krijgen dus 3 keer een sinuskromme 2 2π 2π binnen [0 , 2π]. In de y-richting is dus de periode [0 , π] ⇒ b = = =3 3 periode 2 π 3 ⎧ x = sin(2t ) ⇒ De kromme K wordt nu : K : ⎨ met t op [0 , 2π] ⎩ y = sin(3t )
27
28
b.
maximum in de x-richting ⇒ 1 1 1 1 sin(2t ) = 1 ⇔ 2t = π + k .2π ⇒ t = π + k .π ⇒ t = π ∨ t = 1 π 2 4 4 4 1 1 Dit geeft de punten (1 , 2 ) en (1 , 2) 2 2 minimum in de x-richting ⇒ 3 3 3 3 sin(2t ) = −1 ⇔ 2t = π + k .2π ⇒ t = π + k .π ⇒ t = π ∨ t = 1 π 2 4 4 4 1 1 We krijgen de punten (-1 , 2 ) en (-1 , 2) 2 2 De waarde x = 0 krijgen we als geldt : 1 1 1 sin(2t ) = 0 ⇔ 2t = 0 + k .π ⇒ t = 0 + k . π ⇒ t = 0 ∨ t = π ∨ t = π ∨ t = 1 π ∨ t = 2π 2 2 2 Dit geeft de punten (0 , 0) ; (0 , -1) ; (0 , 1) en weer (0,0) Maximum in de y-richting ⇒ 1 1 2 1 5 1 sin(3t ) = 1 ⇔ 3t = π + k .2π ⇒ t = π + k . π ⇒ t = π ∨ t = π ∨ t = 1 π 2 6 3 6 6 2 1 1 Dit geeft de punten: ( 3 ,1) ; (3 , 1) en (0 , 1) 2 2 Minimum in de y-richting ⇒ 3 1 2 1 1 5 sin(3t ) = −1 ⇔ 3t = π + k .2π ⇒ t = π + k . π ⇒ t = π ∨ t = 1 π ∨ t = 1 π 2 2 3 2 6 6 1 1 3 ; -1) en (3 , -1) Dit geeft de punten : (0 , -1) ; ( 2 2 De waarde y = 0 krijgen we als geldt : 1 sin(3t ) = 0 ⇔ 3t = 0 + k .π ⇒ t = 0 + k . π ⇒ 3 1 2 1 2 t = 0 ∨ t = π ∨ t = π ∨ t = π ∨ t = 1 π ∨ t = 1 π ∨ t = 2π 3 3 3 3 We krijgen dan de punten: 1 1 1 1 (0 , 0) ; ( 3 , 0) ; (3 , 0) ; weer (0,0) ; weer ( 3 , 0) en weer (3 ,0) 2 2 2 2 y
51. a.
⎧ x = sin(3t ) K :⎨ ⎩ y = sin(t ) t op [ 0; 0,5π]
1
x
t
0
x
0
1 π 6 1
y
0
0,5
1 π 4 0,5 2 0,5 2
1 π 3 0
1 π 2 -1
0,5 3
1
−1
O
1
2
−1
−2
28
29
b. t
0
x y
0 0
1 π 6 1 0,5
1 π 4 0,5√2 0,5√2
1 π 3 0 0,5√3
1 π 2 -1 1
π
3 π 4 0,5√2 0,5√2
2 π 3 0 0,5√3
We krijgen dezelfde figuur. In de tabel kan je nagaan dat bij het doorlopen van de figuur eerst begonnen wordt in (0,0) dan naar (-1,0) . Vervolgens weer terug naar (0,0)
0 0
y
1
x −1
1
O
2
−1
−2
c. t
0
x y
0 0
t
π
x y
0 0
1 π 4 0,5√2 0,5√2 1 1 π 6 -1 -0,5
1 π 3 0 0,5√3
1 1 π 4 -0,5√2 -0,5√2
1 1 π 3 0 -0,5√3
1 π 2 -1 1
2 π 3 0 0,5√3
1 1 π 2 1 -1
3 π 4 0,5√2 0,5√2
2 1 π 3 0 -0,5√3
π 0 0 2π
3 1 π 4 -0,5√2 -0,5√2
0 0
y
d.
De figuur wordt 1 keer doorlopen bij het interval [0,5π , 1,5π].
1
x O
−1
1
2
−1
−2
29
30
52. a.
⎧ x = sin(t ) Gegeven de p.v. ⎨ met t op het interval [-0,5π ; 0,5π]. ⎩ y = sin(ct ) Zie de figuur in het boek. In de x-richting hebben we een halve periode waarin nog net het minimum en het maximum worden meegenomen. In de y-richting hebben we 3 maxima en 3 minima. De grenzen zijn zelf maximaal en minimaal. We krijgen dan ook geen 3 perioden ,maar 2,5 perioden . De periode in de y1 2 2π =5 deel van π en dat is π ⇒ c = richting is dus het 2 2,5 5 π 5
b.
Bij het interval [-0,5π ; 0,5π] wordt de kromme in omgekeerde volgorde doorlopen.
53.
1 ⎧ ⎪ x = sin(t − π ) Gegeven de p.v. ⎨ met t op het interval [0 , 2π]. 6 ⎪⎩ y = sin(2t )
a.
De punten I , A , G en D . De snijpunten met de x as. ⇒ y = 0 ⇒ sin(2t ) = 0 ⇒ 2t = 0 + k .π ⇔ t = 0 + k .0,5π ⇒ t = 0 ∨ t = 0,5π ∨ t = π ∨ t = 1,5π ∨ t = 2π ⇒ de punten : (-0,5 ; 0) ; (0,5√3 ; 0) ; (0,5 ; 0) ; (-0,5√3 ; 0) en weer (-0,5 ; 0) ⇒ A(-0,5 , 0) ; I(-0,5√3 ; 0) ; G(0,5 ; 0) en D(0,5√3 ; 0)
1 1 1 1 Het punt B ⇒ x = 0 ⇒ sin(t − π ) = 0 ⇔ t − π = 0 + k .π ⇒ t = π ∨ t = 1 π ⇒ 6 6 6 6 punten (0 ; 0,5√3) en weer (0 ; 0,5√3) ⇒ B(0 ; 0,5√3) De punten C en H. ⇒ y is dan maximaal. ⇒ sin(2t ) = 1 ⇔ 2t = 0,5π + k .2π ⇔ t = 0, 25π + k .π ⇒ t = 0, 25π ∨ t = 1, 25π 1 1 ⇒ de punten (sin π ,1) en (sin1 π ,1) Dat geeft : 12 12 1 1 Punt H (sin1 π ,1) en punt C (sin π ,1) 12 12 De punten K en F. ⇒ y is minimaal ⇒ y = -1 ⇒ sin(2t ) = −1 ⇔ 2t = 1,5π + k .2π ⇔ t = 0, 75π + k .π ⇒ t = 0, 75π ∨ t = 1, 75π ⇒ 7 7 de punten (sin π , −1) en (sin1 π , −1) Dan krijgen we : 12 12 7 7 K (sin1 π , −1) en F (sin π , −1) 12 12
30
31 1 1 2 ⎛ 1 ⎞ Punt E. Dan x = 1 ⇒ sin ⎜ t − π ⎟ = 1 ⇔ t − π = π + k .2π ⇔ t = π + k .2π ⇒ voor punt 6 2 3 ⎝ 6 ⎠ 2 1 ⎛ ⎞ 3⎟ E krijgen we t = π ⇒ E ⎜1, − 3 2 ⎝ ⎠ Verder het punt J dan x is minimaal ⇒ x = -1 ⇒ 1 1 1 4 2 sin(t − π ) = −1 ⇔ t − π = 1 π + k .2π ⇒ t = 1 π = 1 π 6 6 2 6 3
b.
c.
⇒ punt J(-1 , -0,5√3)
1 1 1 ⎛1 ⎞ Nu lijn x = 0,5 snijden met de kromme K. ⇒ sin( x − π ) = ⇔ sin( x − π ) = sin ⎜ π ⎟ ⇒ 6 2 6 ⎝6 ⎠ 1 1 1 1 t − π = π + k .2π ∨ t − π = π − π + k .2π met t in [0 , 2π] ⇒ 6 6 6 6 1 ⎛1 1 ⎞ ⎛1 ⎞ 3 ⎟ en ⎜ , 0 ⎟ ⇒ de gevraagde lengte van het t = π ∨ t = π Dit geeft de punten ⎜ , 3 ⎝2 2 ⎠ ⎝2 ⎠ 1 snijlijnstuk is dus : 3 2 1 Nu de kromme K snijden met de lijn y = x . ⇒ sin(t − π ) = sin ( 2t ) ⇔ 6 1 1 t − π = 2t + k .2π ∨ t − π = π − 2t + k .2π ⇔ 6 6 1 1 −t = π + k .2π ∨ 3t = 1 π + k .2π ⇔ 6 6 1 7 2 t = − π + k .2π ∨ t = π + k . π met t in [0 , 2π] ⇒ 6 18 3 5 7 1 13 t =1 π ∨ t = π ∨ t =1 π ∨ t =1 π 6 18 18 18 We hoeven de punten hier zelf niet te geven !!!
54.
⎧ x = sin(at ) Gegeven de kromme: ⎨ met t op [0 , 2π] ⎩ y = sin(t + b) In de x-richting hebben we 3 periodes ⇒ de periode van de x is dus
y = 0 krijgen we bij t =
2π 2π ⇒ c= a = =3 2 3 π 3
3 3 π en bij t = 1 π ⇒ 4 4
31
32 3 3 ⎛3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ sin ⎜ π + b ⎟ = 0 en sin ⎜1 π + b ⎟ = 0 ⇔ π + b = 0 + k .π en 1 π + b = 0 + k .π ⇔ 4 4 ⎝4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 3 3 3 b = − π + k .π en b = −1 π + k .π ⇒ b = − π + k .π 4 4 4
55.
a.
b.
⎧ x = sin(2t ) ⎪ De punten P zijn gegeven door: ⎨ 1 We nemen t in [0 , 2π] ⎪⎩ y = sin(t + 3 t ) De snijpunten met de y-as ⇒ x = 0 ⇒ sin(2t) = 0 ⇒ 2t = 0 + k.π ⇔ t = k.0,5π ⇒ 1 t = 0 ⇒ punt (0 , sin π ) en dus het punt ( 0 ; 0,5√3) 3 5 t = 0,5π ⇒ punt (0 , sin π) en dus het punt (0 ; 0,5) 6 1 t = π ⇒ punt (0 , sin 1 π) en dus het punt (0 ; -0,5√3) 3 5 t = 1,5π ⇒ punt (0 , sin 1 ) en dus het punt (0 ; -0,5) 6 We krijgen dan de punten : A(0 ; 0,5√3) ; B(0 ; 0,5) ; C(0 ; -0,5) en D(0 ; -0,5√3) ⎛ 1 ⎞ Nu de lijn x = -0,5 snijden met de kromme ⇒ sin(2t ) = −0,5 ⇔ sin(2t ) = sin ⎜ − π ⎟ ⇒ ⎝ 6 ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ 2t = − π + k .2π ∨ 2t = π − ⎜ − π ⎟ + k .2π ⇔ 6 ⎝ 6 ⎠ 1 7 t = − π + k .π ∨ t = π + k .π ⇒ 12 12 11 15 t = π ⇒ punt (−0,5;sin π ) = −0,5; −0,5 2 12 12 23 27 t= π ⇒ het punt (-0,5 ; sin π ) = −0,5;0,5 2 12 12 7 11 t= π ⇒ het punt (-0,5 ; sin π ) 12 12 7 11 t = 1 π ⇒ het punt (-0,5 ; sin1 π) ⇒ 12 12 Punt E(-0,5 ; 0,5√2) en punt H(-0,5 ; -0,5√2) ⇒ De lengte van het lijnstuk EH is dus √2.
(
)
(
c.
)
1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ Op t = a ⇒ T ⎜ sin(2a),sin(a + π ) ⎟ en op t = π + a ⇒ U ⎜ sin(2a + 2π ),sin(a + 1 π ) ⎟ ⇔ 3 ⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ 1 ⎞ ⎛ U ⎜ sin(2a),sin(a + 1 π ) ⎟ We zien dus dat de x-coördinaat hetzelfde is ⇒ 3 ⎠ ⎝ de lengte van TU is dus : 1 1 1 1 1 sin(a + π ) − sin(a + 1 π ) = sin(a + π ) + sin( a + π ) = 2.sin( a + π ) 3 3 3 3 3
32
33 56. a.
Een cirkel kun je beschouwen als een p.v. met twee harmonische trillingen nml. zowel in de x-richting als in de y-richting. Een cirkel met m.p. (a,b) en straal r krijg je door de vergelijkingen: ⎧ x = a + r.cos(t ) met t in [0 , 2π] ⎨ ⎩ y = b + r.sin(t )
b.
57.
⎧ x = cos(t ) De eenheidscirkel heeft de straal 1 en middelpunt (0 , 0) ⇒ ⎨ ⎩ y = sin(t ) Als we ook de x-coördinaat als een sinus willen schrijven dan krijgen we : 1 ⎧ ⎪ x = sin( π − t ) 2 ⎨ ⎪⎩ y = sin(t )
1 ⎧ ⎪ x = sin(t + π ) Gegeven de kromme K: ⎨ 4 ⎪⎩ y = sin(2t )
Gegeven is dat K ook geschreven kan worden als :
y = px 2 + q We gaan twee mooie punten uit de eerste kromme pakken en vullen die in de tweede vergelijking in. Aldus kunnen we de waarden van p en van q berekenen. ⇒ 1 Neem b.v. t = - π ⇒ punt (sin(0) ; sin(-0,5π) dus het punt (0 , -1) Dit punt invullen in de 4 e 2 vergelijking ⇒ -1 = 0 + q ⇒ q = -1 1 Neem t = π ⇒ punt (sin(0,5π) ; sin(0,5π)) dus het punt (1 , 1) Nu dit punt weer invullen in 4 de tweede vergelijking ⇒ 1 = p.1 - 1 ⇔ p = 2 De formule wordt nu : y = 2 x 2 − 1
58.
⎧ x = sin(t − 0, 25π ) en de vergelijking : y = -2x2 + 1 met -1 ≤ x ≤ 1 Gegeven K: ⎨ ⎩ y = sin(2t ) We gaan de kromme K invullen in de gegeven vergelijking. ⇒ 2 sin(2t ) = −2. ( sin(t − 0, 25π ) ) + 1 Apart: cos(2t ) = 1 − 2sin 2 t ⇔ 2 ( sin(t ) ) = 1 − cos(2t ) ⇔ −2 ( sin(t ) ) = cos(2t ) − 1 2
2
Nu i.p.v. t de waarde t – 0,25π invullen ⇒ 2 −2. ( sin(t − 0, 25π ) ) = cos ( 2(t − 0, 25π ) ) − 1 = cos(2t − 0,5π ) -1 Nu weer terug naar de vergelijking ⇒ sin(2t ) = cos(2t − 0,5π ) ⇔ sin(2t ) = cos(0,5π − 2t ) ⇔ sin(2t ) = sin(2t ) Dit laatste klopt voor elke t. Aangezien x een sinus functie is , geldt dus dat x tussen -1 en 1 moet liggen. ⇒ K is te schrijven als y = -2x2 + 1 met -1 ≤ x ≤ 1. 33
34
59.
⎧ x = 2sin(t ) Gegeven de kromme K : ⎨ ⎩ y = sin(2t − 0,5π )
Neem t op het interval [0 , 2π]
a. t x y
0 0 -1
0,25π 1,41 0
0,5π 2 1
0,75π 1,41 0
π 0 -1
1,25π -1,41 0
1,5π -2 1
1,75π -1,41 0
2π 0 -1
y
De keerpunten zijn hier (2 , 1) en (-2 , 1). b.
1
Het lijkt op een parabool. De top is (0,-1) en de parabool gaat door (2,1). x −2
Stel de vergelijking is : y = a.x 2 -1 door (2 , 1) ⇒ 1 = a. 4-1 ⇔ 4a = 2 ⇔ a = 0,5 ⇒ De vergelijking wordt dan :
−1
0
1
2
−1
y = 0,5.x 2 − 1 We moeten nu gaan aantonen dat dit vermoeden correct is:
−2
We gaan de x en de y van de parameterkromme invullen in deze vergelijking . ⇒ sin(2t − 0,5π ) = 0,5.(2.sin(t )) 2 − 1 Apart: sin(2t − 0,5π ) = − sin(0,5π − 2t ) = − cos(2t ) Apart: 0,5.(2.sin(t )) 2 − 1 = 0,5.4 ( sin(t ) ) − 1 = 2sin 2 (t ) − 1 = − cos(2t ) 2
Uit deze twee berekeningen zien we dat het inderdaad klopt voor elke t. Er geldt echter ook dat -2 ≤ 2.sin(t) ≤ 2 ⇒ Bij K hoort de formule : y = 0,5.x2 -1 met -2 ≤ x ≤ 2.
60.
⎧ x = sin(t ) Gegeven de lijn l : y = x + 0,5 en de kromme K door: ⎨ Neem t op [0 , 2π] ⎩ y = sin(2t )
34
35 a.
Lijn l gaat door de punten (0 ; 0,5) en door (1 ; 1,5) 0 0 0
t x Y
0,25π 0,71 1
0,5π 1 0
0,75π 0,71 -1
π 0 0
1,25π -0,71 1
1,5π -1 0
1,75π -0,71 -1
2π 0 0
y l 1
x −1
1
0
2
−1
−2
b.
Snijpunten: We gaan de x en de y van K invullen in de vergelijking van de lijn l. ⇒ sin(2t ) = sin(t ) + 0,5 We doen dit met de optie intersect . Voer in : y1 = sin(2 x) en y2 = sin(t ) + 0,5 Neem het window [0,2π] X [-2 , 2] We vinden x ≈ 3,31 ∨ x ≈ 4,96 ⇒ t ≈ 3,31 ∨ t ≈ 4,96 Bij deze waarden van t krijgen we de snijpunten : ( -0,17 ; 0,33) en (-0,97 ; -0,47)
c.
We gaan weer de x en de y van K invullen in de vergelijking y 2 = 4 x 2 − 4 x 4 ⇒
( sin(2t ) )
2
= 4. ( sin(t ) ) − 4. ( sin(t ) ) ⇔ ( 2.sin(t ).cos(t ) ) = 4.sin 2 (t ).(1 − sin 2 (t )) ⇔ 2
4
2
4.sin 2 (t ).cos 2 (t ) = 4.sin 2 (t ).cos 2 (t ) Dit klopt voor elke t.. Aangezien sin(t) tussen -1 en 1 ligt geldt dus verder : -1 ≤ x ≤ 1. Totaal geldt dus : y 2 = 4 x 2 − 4 x 4 met -1 ≤ x ≤ 1.
35
36
⎧ x = sin(t ) 61. Gegeven de kromme K door : ⎨ ⎩ y = sin(3t ) a. Als domein nemen we waarden van t waarbij x = -1 ⇒ We beginnen bij t = -0,5π . 2 De periode van de x is 2π en de periode van y is π ⇒ We gaan de tabel nemen voor t 3 tussen -0,5π en t = 1,5π. t
-0,5π
x y
-1 1
1 - π 3 -0,9 0
1 − π 6 -0,5 0
0
1 π 6 0 0,5 0 1
1 π 3 0,9 0
0,5π 1 -1
π 7 1,5π 2 5 4 π π π π 3 6 6 3 0,9 0,5 0 -0,5 -0,9 -1 0 1 0 -1 0 1
y
1
O
−1
1
x2
De keerpunten zijn: (-1 , 1) en (1 , -1)
−1
2
36
37 b. We gaan deze p.v. invullen is de vergelijking : y = 3x − 4 x 3 ⇒ sin(3t ) = 3sin(t ) − 4sin 3 (t ) ⇔ sin(t + 2t ) = 3sin(t ) − 4sin 3 (t ) ⇔ sin(t ).cos(2t ) + cos(t ).sin(2t ) = 3sin(t ) − 4sin 3 (t ) ⇔ sin(t ).(1 − 2.sin 2 (t )) + cos (t ).2sin(t ).cos(t ) = 3sin(t ) − 4sin 3 (t ) ⇔ sin(t ) − 2sin 3 (t ) + 2sin(t ).cos 2 (t ) = 3sin(t ) − 4 sin 3 (t ) ⇔ sin(t ) − 2sin 3 (t ) + 2sin(t ).(1 − sin 2 (t )) = 3sin(t ) − 4sin 3 (t ) ⇔ sin(t ) − 2sin 3 (t ) + 2sin(t ) − 2sin 3 (t ) = 3sin(t ) − 4sin 3 (t ) ⇔ 3sin(t ) − 4sin 3 (t ) = 3sin(t ) − 4sin 3 (t ) Dit klopt dus voor alle t. ⇒ Alle punten van K voldoen ook aan de vergelijking y = 3 x − 4 x3 .
⎧ x = 2 cos(t ) 62. Gegeven de kromme: ⎨ ⎩ y = cos(3t ) a.
2 π. 3 We nemen nu het interval van 0 tot 2π , dan gaat de x van 2 naar -2 en vervolgens weer naar 2. De tabel geeft: De periode van cos(t) is 2π en de periode van cos(3t) is
t
0
x y
2 1
1 π 6 1,7 0
1 π 3 1 -1
1 4 π π 2 6 0 -1 0 1
π 5 π 6 -1,7 -2 0 1
2π 1,5 π 10 7 8 11 π π π π 6 6 6 6 -1,7 -1 0 1 1,7 2 0 1 0 -1 0 1
y
1
−2
−1
O
1
2 x
−1
2
37
38
De formule : y = ax3 + bx met x tussen c en d. De formule gaat zo te zien door (2,1) ⇒ 1 = 8a + 2b Verder gaat de formule ook door het punt (1, -1) ⇒ a + b = -1 . We moeten even dit stelsel oplossen ⇒ ⎧8a + 2b = 1 ⎧8a + 2.(− a − 1) = 1 ⎧8a − 2a − 2 = 1 ⎧6a = 3 ⎧ a = 0,5 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎩a + b = −1 ⎩b = − a − 1 ⎩b = − a − 1 ⎩b = − a − 1 ⎩b = −1,5 We krijgen dan de kromme : y = 0,5 x3 − 1,5 x We moeten nu nagaan of de gegeven kromme aan deze vergelijking voldoet. We gaan nu de x en de y van de kromme invullen. ⇒ cos(3t ) = 0,5.(2 cos(t ))3 − 1,5.2 cos(t ) ⇔ cos(2t + t ) = 0,5.8cos3 (t ) − 3cos(t ) ⇔ cos(2t ).cos(t ) − sin(2t ).sin(t ) = 4.cos3 (t ) − 3cos(t ) ⇔
( 2 cos (t ) − 1) .cos(t ) − 2sin(t ).cos(t ).sin(t ) = 4.cos (t ) − 3cos(t ) ⇔ 2
3
2 cos3 (t ) − cos(t ) − 2sin 2 (t ).cos(t ) = 4.cos3 (t ) − 3cos(t ) ⇔ 2 cos3 (t ) − cos(t ) − 2(1 − cos 2 (t )).cos(t ) = 4.cos3 (t ) − 3cos(t ) ⇔ 2 cos3 (t ) − cos(t ) − 2 cos(t ) + 2 cos3 (t ) = 4.cos3 (t ) − 3cos(t ) ⇔ 4.cos3 (t ) − 3cos(t ) = 4.cos3 (t ) − 3cos(t ) Dit klopt voor alle t. Verder geldt dat 2.cos(t) tussen -2 en 2 ligt ⇒ -2 ≤ x ≤ 2 ⇒ c = -2 en d = 2. In totaal hoort de kromme bij de vergelijking : y = 0,5 x3 − 1,5 x met -2 ≤ x ≤ 2
63. a. Teken lijnstuk EA en noem het snijpunt van EA en FC EP ⇒ EP = EF .sin(25o ) dus P. Dan geldt : sin(25o ) = EF FP en cos(25o ) = ⇒ FP = FE ⋅ cos(25o ) FE b.
O(ABCDEF)= 4.O(∆FPE)+O(ABDE) = 4.0,5.EP.FP + AE . AE = 4.0,5.EF.sin(25°) . FE.cos(25°) + 2.EF.sin(25°).AB = 2 . 4.sin(25°) . 4.cos(25°) + 2.4.sin(25°).6 = 32sin(25°).cos(25°) + 48.sin(25°) ⇒ O(ABCDEF) ≈ 32,54
c.
O(ABCDEF) = 32sin(40°).cos(40°) + 48.sin(40°) ≈ 46,61
64. a.
O = 16sin(2α ) + 48sin(α ) ⇒ Voer in y1 = 16sin(2 x ) + 48sin( x ) en het gegeven window.
38
39
b.
Voer ook in y2 = 50 en neem het window [0 , 180] X [ 0 , 70] Met de optie intersect vinden we : x ≈ 45 of x ≈ 86. ⇒ Voor α = 45º of α = 86º is de oppervlakte gelijk aan 50.
c.
Met de optie maximum uit het calcmenu vinden we een maximale waarde van ongeveer 55,76 bij α ≈ 65º. De schets geeft aan dat er dan inderdaad een maximum is. Conclusie : O is maximaal bij een hoek van 65º . Het maximum is dan ongeveer: 55,76.
65. a.
b.
BC = AB.sin(90o − α ) = AB.cos(α ) en h = BC + CD ⇒ h = 10 + 8.cos(α ) h = 15 ⇒ 10 + 8.cos(α) = 15 ⇔ 8.cos(α) = 5 ⇔ 5 cos(α) = ⇒ α ≈ 51º 8
66.a. Opp. = Opp.( ΔAED ) + opp.( EBCD ) = = 0,5 ⋅ AE ⋅ ED + ED ⋅ CD Apart: cos(α ) =
AE ⇒ AE = 5 ⋅ cos(α ) AD
ED ⇒ ED = 5 ⋅ sin(α ) AD Dan volgt dus verder: EB = 10 − 5 ⋅ cos(α ) Dit nu invullen ⇒ O = 0,5.5cos(α ) ⋅ 5sin(α ) + (10 − 5cos(α )) ⋅ 5sin(α ) = sin(α ) =
12,5cos(α ) ⋅ sin(α ) + 50sin(α ) − 25cos(α ) ⋅ sin(α ) = 50sin(α ) − 12,5sin(α ) ⋅ cos(α )
39
40 b. Nu nemen we α stomp. Zie tekening. Verleng BA en teken vervolgens de loodlijn vanuit D op de lijn EA. ∠A1 = α en dus geldt ∠A2 = 180° - α. Uit de tekening lezen we verder af.
Opp.(ABCD) = Opp.(EBCD) – Opp.(EAD) = EB . ED – 0,5 . EA . ED ED ⇒ ED = 5 ⋅ sin(180o − α ) = 5sin(α ) apart: sin(180o − α ) = AD EA Ook geldt : cos(180°- α) = ⇒ EA = 5 ⋅ cos(180o − α ) = −5 ⋅ cos(α ) AD Nu alles gaan invullen ⇒ O = (EA+10).ED – 0,5.EA.ED = (-5.cos(α) + 10 ). 5sin(α) – 0,5 . (-5).cos(α) . 5sin(α) = -25cos(α).sin(α) + 50.sin(α) + 12,5.cos(α).sin(α) = 50sin(α) – 12,5.sin(α).cos(α) c.
Als α = 90° dan gaat het trapezium over in een rechthoek. Nu de 90° invullen in de formule. ⇒ O = 50.sin(90°) – 12,5.sin(90°).cos(90°) = 50 . 1 – 12,5 . 1 . 0 = 50 en dat klopt want 5 . 10 = 50 is de oppervlakte.
d.
Er moet nu gelden : 50sin(α) – 12,5.sin(α).cos(α) > 40. ⇒ Voer in : y1 = 50sin(X) – 12,5.sin(X).cos(X) en y2 = 40 De optie intersect geeft X ≈ 64° en X ≈ 138. Nu de schets. Aflezen uit de figuur geeft: 64° < α < 138°
e. y1 gebruiken. De optie maximum geeft een maximum van 51,5 bij α ≈ 103°. 67.
Opmerking: In de figuur moet het lijnstuk PQ gelijk zijn aan 20 en niet 10 !!!!
40
41 a.
A = O(∆UTP) + O(PQST) + O(∆QSR) = 2.0,5.UT . PT + PQ.PT PT UT sin( x) = ⇒ PT = 10.sin( x) en cos( x) = ⇒ UT = 10.cos( x) ⇒ UP UP A = 2.0,5.10.cos( x).10.sin( x) + 20.10.sin( x) = 100.cos( x).sin( x) + 200.sin( x) = 200.sin( x) + 50.sin(2 x)
b.
Voer in y1 = 200sin( x) + 50sin(2 x ) De optie maximum geeft een maximum van 220 bij x = 69. ⇒ Het maximum is 220 cm2 bij een hoek van ongeveer 69° .
68. De ribben zijn in de tekening in decimeters. V = Vbak − Vweggestr .water = a.
AB.BC.BF − 0,5.UE.EF .FG = = 10.10.20 − 0,5.UE.10.10 UE ⇒ UE = 10.tan α EF ⇒ V = 2000 − 500.tan α Apart: tan α =
b.
De formule is gebaseerd op het feit dat het weggestroomde water als inhoud de opp. van een driehoek is maal de breedte FG. ( een driezijdig prisma). De situatie is nu anders. Nu is het volume van het aanwezige water beter rechtstreeks te berekenen. ⇒ Vergelijk ook met de bovenste tekening: ∠ UFE = ∠ BUF =α BF 20 ⇒ tan α = ⇒ ⇒ UB = UB tan α 20 .20.10 V = 0,5.UB.BF .BC = 0,5. tan α 2000 = tan α
c.
We hebben dan de situatie dat diagonaal AF horizontaal komt te liggen. 20 Dan geldt : tan α = = 2 ⇒ α ≈ 63,4º 10 1200 liter is minder dan de helft, dus we gebruiken nu de formule van onderdeel b. 2000 ⇒ Voer in : y1 = en voer in y2 = 1200. Met intersect vinden we x ≈ 68,2°. tan α
d.
41
42
69. a. BC ⇒ BC = 60 ⋅ sin( x ) BM CM cos( x ) = ⇒ CM = 60 ⋅ cos( x ) BM
sin( x ) =
Verder geldt : 2 AB 2 = AC 2 + CM 2 ⇒ AC 2 = AB 2 − CM 2 = 1502 − ( 60 ⋅ sin( x ) ) = 22500 − 3600 ⋅ sin 2 ( x ) Samenvattend krijgen we : AM = AC + CM =
22500 − 3600 ⋅ sin 2 ( x ) + 60.cos(x)
b. 22500 − 3600 ⋅ sin 2 ( x ) + 60.cos(x) > 200 ⇒ Voer in : y1 = 22500 − 3600 ⋅ sin 2 ( x ) + 60.cos(x) en y2 = 200 De optie intersect geeft het snijpunt bij x = α ≈ 28,46°. Nu de schets. Aflezen uit de schets geeft : L > 200 voor 0 ≤ α ≤ 28°
70a. Opp.(ABCDEF) = 4.Opp(∆EFP) + 2.Opp(PQDE) Opp.(∆ FPE) =0,5. FP . PE PF cos( x ) = ⇒ PF = 4 cos( x ) FE PE sin( x ) = ⇒ PE = 4 ⋅ sin( x ) FE Nu alles invullen ⇒ Opp.(∆ FPE) = 0,5.4.cos(x) .4sin(x) = 8sin(x).cos(x) Opp.(PQDE) = 5 . 4sin(x) = 20.sin(x) ⇒ De totale oppervlakte wordt dus : O = 32sin(x)cos(x) + 40.sin(x) b.
We moeten gaan differentieren . Eerst O vereenvoudigen. ⇒ do = 16.cos(2 x ).2 + 40cos( x ) = 0 ⇔ 32 cos(2 x ) + 40cos( x ) = 0 O = 16.sin(2x) + 40.sin(x) ⇒ dx Nu de formule cos(2 x ) = 2 cos2 ( x ) − 1 ⇒
42
43 32 ( 2 cos2 ( x ) − 1) + 40cos( x ) = 0 ⇔ 64 cos2 ( x ) + 40cos( x ) − 32 = 0 ⇔ 8cos2 ( x ) + 5cos( x ) − 4 = 0 Stel cos(x) = p ⇒ 8 p 2 + 5 p − 4 = 0 D = 25 – 4.8.(-4) = 153 ⇒ −5 − 153 −5 + 153 p = cos( x ) = ∨ p = cos( x ) = 16 16 De eerste oplossing kan niet. De tweede oplossing geeft x ≈ 1,092 (ligt tussen 0 en 0.5π. Uit de schets blijkt dat we bij x = 1,092 inderdaad een maximum hebben. ⇒ De oppervlakte is dus maximaal bij 1,092 rad en dat is ongeveer 63°. 71.
Opp. (ABCD) = Opp.(∆AED) + Opp.(ABFE) + Opp.(∆BFC) = 2 . 0,5 . DE . AE + AB . AE Apart: cos( x) =
DE AE ⇒ DE = 20 ⋅ cos( x) en sin( x) = ⇒ AE = 20 ⋅ sin( x) AD AD
Invullen geeft : Opp.(ABCD) = 2 . 0,5 .20 .cos(x) . 20 .sin(x) + 30 . 20 .sin(x) = 400 . sin(x).cos(x) + 600.sin(x) = 200.sin(2x) + 600.sin(x)
Algebraïsche berekening ⇒ differentiëren. ⇒ O’(x) = 200 . cos(2x) . 2 + 600.cos(x) ⇒ O’(x) = 0 geeft : 2cos(2x) + 3cos(x) = 0 Er geldt : cos(2x) = 2cos2(x) – 1 ⇒ 2(2cos2(x) – 1) + 3cos(x) = 0 ⇔ 4cos2(x) + 3cos(x) – 2 = 0 ⇒ D = 9 – 4 . 4 . (-2) = 41 ⇒ cos( x) =
−3 − 41 −3 + 41 < −1 (kan niet) ∨ cos( x) = 8 8
⇒ x ≈ 1,131 rad ⇒ x ≈ 65° Uit de schets volgt inderdaad dat er bij x ≈ 1,131 rad een maximum is. Conclusie. Er is een maximum bij een hoek van 65° .
43
44
72. a. Zie de figuur. Teken de twee hulplijnen EC en FC loodrecht op de overstaande zijden. ⇒ O = 2.0,5.EC.DE + EC.FC sin(x) = EC/1 = EC cos(x) = DE/1 = DE en EC = CF ⇒ O = sin(x).cos(x) + sin2(x)
b.
O’(x) = 2sin( x).cos( x) + cos( x).cos( x) + sin( x).(− sin( x)) = sin(2 x) + cos(2 x) = 0 ⇒ sin(2 x) = − cos(2 x) ⇔ sin(2 x) = − sin(0,5π − 2 x) ⇒⇒ ⇔ sin(2 x) = sin(2 x − 0,5π ) 2 x = 2 x − 0,5π + 2.kπ ∨ 2 x = π − (2 x − 0,5π ) + 2kπ 3 1 ⇒ geen oplossing of 4 x = 1,5π + 2kπ ⇔ x = π + k . π 8 2 In de schets zien we dat er inderdaad een maximum is. 3 ⇒ De oppervlakte wordt maximaal bij x = π . 8
73. a.
Kijk naar ∆ ABP. We gaan eerst lijnstuk MP berekenen en dan AP. Evenzo gaan we eerst lijnstuk PN berekenen en dan BP. Tenslotte Pyth. in ∆ ABP. ⇒ MP MP PN PN cos( x) = = ⇒ MP = 12.cos( x) en sin( x) = = ⇒ PN = 12.sin x ⇒ MN 12 MN 12 AP = AM + MP = 7 +12.cos(x) . Zo is ook PB = PN + BN = 5 + 12.sin(x) ⇒ 2 2 AB 2 = AP 2 + BP 2 = ( 7 + 12 cos( x) ) + ( 5 + 12sin( x) ) = 49 + 168cos( x ) + 144 cos 2 ( x ) + 25 + 120sin( x ) + 144sin 2 ( x ) = 74 + 168cos( x) + 144(cos 2 ( x ) + sin 2 ( x)) + 120sin( x) = 168cos( x) + 120sin( x) + 218 ⇒ L = 120sin( x) + 168cos( x) + 218
44
45
b.
25° =
π 180
⋅ 25 =
5 rad = ∠ PMN in radialen. Dit nu invullen in de formule. ⇒ 36
⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ L = 120sin ⎜ π ⎟ + 168cos ⎜ π ⎟ + 218 ≈ 20,5 dm ⎝ 36 ⎠ ⎝ 36 ⎠
c.
Voer in : y1 = 120sin( x) + 168cos( x) + 218 en y2 = 20 Neem het window [0 , π] X [15 , 25] . Met de optie intersect vinden we x ≈ 0,129 ∨ x ≈ 1,112 . In de formule hebben we hier te maken met radialen. 180o 180o ≈ 7º of ∠ PMN ≈ 1,112. ≈ 64º De gevraagde hoek PMN ≈ 0,129.
π
d.
π
Maximum ⇒ L differentiëren. ⇒ dL 1 60 cos( x) − 84sin( x) = ⋅ (120 cos( x) − 168sin( x) ) = dx 2 120sin( x) + 168cos( x) + 218 120sin( x) + 168cos( x) + 218
⇒
dL = 0 geeft : 60cos(x) = 84sin(x) ⇒ dx
Voer in : y1 = 60cos(x) en y2 = 84sin(x) De optie intersect geeft bij de scherpe hoek x de waarde x ≈ 0,620 rad. of te wel 36° . Nu nog de schets van L . We zien dat we inderdaad een maximum hebben bij x = 0,62 rad of te wel 36° . Het maximum is dan : 206 cm.
74.
v(0) + v(6) 0 + 10 = = 5m / s 2 2
a.
vgemiddeld =
b.
We weten dat de afstand s een primitieve is van de snelheid v . De oppervlakte van de driehoek berekenen we eveneens met primitiveren. ⇒ 6
O(ΔOAB) = ∫ v(t )dt = s (6) − s (0) is de afgelegde afstand gedurende de eerste 6 seconden. 0
c.
Nu moeten we de oppervlakte van de gehele driehoek berekenen. ⇒ s(15) – s(0) = O(gehele driehoek) = 0,5 . 15 . 10 = 75 meter.
75.
45
46 6
(
⎫ ⎪ 6 17 ⎪ 2 2 ⎬ ⇒ N (17) = N (0) + ∫ s + 4s + 6 ds + ∫ −2s + 40s − 102 ds 0 6 −2s 2 + 40 s − 102 ds = N (17) ⎪⎪ ⎭
)
N (0) + ∫ s 2 + 4s + 6 ds = N (6) 0
17
N (6) + ∫ 6
(
)
(
)
(
)
76. t
a.
2 N (t ) = N (6) + ∫ (−2s 2 + 40s − 102)ds = 185 + [− s 3 + 20s 2 − 102s ]t6 = 3 6
2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 185 + ⎜ − t 3 + 20t 2 − 102t ⎟ − ⎜ − 63 + 20.62 − 102.6 ⎟ = − t 3 + 20t 2 − 102t + 221 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ b.
77.
a.
De groeisnelheid op t = 3 is : N ’(3) = 9 + 12 + 6 = 27 N '(t ) = 27 ⇔ −2t 2 + 40t − 102 = 27 ⇔ −2t 2 + 40t − 129 = 0 Nu moet dus gelden : −40 − 568 −40 + 568 D = 1600 − 4.(−2).(−129) = 568 ⇒ t = ∨t = −4 −4 ⇒ t ≈ 4,04 ( kan niet , want t tussen 6 en 17) of t ≈ 15,96 ⇒ Na 15 dagen en 0,96.24 uur dus na 15 dagen en 23 uur is de groeisnelheid even groot als de groeisnelheid op t = 3.
I '(t ) = 10 − 10e −0,1t
voor 0 ≤ t<25 fase1
I '(t ) = 10 − 10e
−2,5
I '(t ) = 10 − 10e
0,1t −5,5
voor 25 ≤ t<30 fase2 voor 30 ≤ t ≤ 55 fase3
t
t
0 −0,1t
0
I (t ) = I (0) + ∫ I '(s)ds = 1 + ∫10 − 10.e−0,1t dt = 1 + [10s + 100e−0,1s ]t0 = 1 + 10t + 100.e
− 100 = 10t + 100.e−0,1t − 99
b.
Er geldt: I ’(10) = 10 – 10.e-1 Er moet nu dus gelden : 10 − 10.e0,1t −5,5 = 10 − 10e −1 ⇔ e0,1t −5,5 = e −1 ⇔ 0,1t − 5,5 = −1 ⇔ 0,1t = 4,5 ⇔ t = 45 Deze waarde van t ligt inderdaad in fase 3.
c.
Niet correct. Het betekent alleen dat de snelheid van de groei constant is.
46
47 d.
Er geldt : 30
55
25
30
I (55) = I (25) + ∫ (10 − 10.e −2,5 )ds + ∫ (10 − 10e0,1s −5,5 )ds =
(10.25 + 100.e
−0,1.25
(
)
55
30
− 99 + ⎡⎣10s − 10.e −2,5 s ⎤⎦ + ⎡⎣10s − 100.e0,1s −5,5 ⎤⎦ = 25 30
) (
) (
) (
151 + 100.e −2,5 + 300 − 300.e −2,5 − 250 − 250.e−2,5 + 550 − 100.e0 − 300 − 100.e−2,5
)
= 351 + 150.e −2,5 ≈ 363 ⇒ Op het tijdstip 55 zijn er dus ongeveer 36300 insecten. e.
Aangezien de insecten in 100-tallen gegeven zijn, moet dus gelden: I(t) = 200 We moeten eerst bekijken in welke fase we zitten. I (25) = 10.25 + 100.e −0,1.25 − 99 ≈ 159 ⇒ maximaal 15900 in fase 1. 30
30
I (30) = I (25) + ∫ (10 − 10.e −2,5 )dt = 159 + ⎡⎣10t − 10.e −2,5 .t ⎤⎦ = 159 + 45,9 ≈ 205 ⇒ 25
25
maximaal 20500 insecten. We moeten dus in de 2e fase zitten. We krijgen dus : t
t
I (25) + ∫ (10 − 10.e −2,5 )ds = 200 ⇔ 159 + ⎡⎣10.s − 10.e −2,5 .s ⎤⎦ = 200 ⇔ 25
25
(10t − 10.e
−2,5
)
(
)
.t − (250 − 250.e−2,5 = 41 ⇔ 10 + 10.e−2,5 t ≈ 270, 48 ⇒ t ≈
⇒ Bij t ≈ 29,4 zijn er 20000 insecten. 78.
v(t ) = −0, 2t 2 + 4t v(t ) = 0,8t 2 − 24t + 180
270, 48 ≈ 29,4 ⇒ 10 − 10.e −2,5
voor 0 ≤ t < 10 voor 10 ≤ t 15.
15
a.
s (15) = s(10) + ∫ ( 0,8t 2 − 24t + 180 )dt 10
10
10
10
1 1 ⎡ 1 ⎤ s (10) = ∫ v(t )dt = ∫ −0, 2t 2 + 4t dt = ⎢ − t 3 + 2t 2 ⎥ = − .1000 + 200 − 0 = 133 m 15 3 ⎣ 15 ⎦0 0 0 15
(
)
15
⎡4 ⎤ s (15) = s (10) + ∫ 0,8t − 24t + 180 dt = s (10) + ⎢ t 3 − 12t 2 + 180t ⎥ = ⎣15 ⎦10 10 1 ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ 133 + ⎜ .153 − 12.152 + 180.15 ⎟ − ⎜ .103 − 12.102 + 180.10 ⎟ = 3 ⎝ 15 ⎠ ⎝ 15 ⎠ 1 2 2 133 + 900 − 866 = 166 m 3 3 3
b.
(
2
)
2 166 s (15) 3 = 11 1 m / s. v( gemidd . in 15sec.) = = 15 15 9 We gaan nu beide mogelijkheden bekijken ⇒ 1 1 −0, 2t 2 + 4t = 11 ⇔ 0, 2t 2 − 4t + 11 = 0 ⇔ 1,8t 2 − 36t + 100 = 0 9 9 2 Voer in : y1 = 1,8 x − 36 x + 100 met window [0 , 10] X [-20 , 20] . Met de optie zero uit het
47
48 calcmenu vinden we x ≈ 3,33. 1 De tweede mogelijkheid is : 0,8t 2 − 24t + 180 = 11 ⇔ 7, 2t 2 − 216t + 1520 = 0 ⇒ 9 2 Voer in : y2 = 7, 2t − 216t + 1520 met window [10 , 15] X [-20 , 20] Weer met de optie zero uit het calc-menu vinden we tussen x = 10 en x = 15 de waarde x ≈ 11,27. Conclusie: op de tijdstippen t ≈ 3,33 en t ≈ 11,27 is de snelheid gelijk aan de gemiddelde snelheid. c.
Er geldt s(10) = 133,33 meter . Dat is minder dan 100 meter. We moeten dus oplossen : p
p
p
1 3 ⎡ 1 3 2⎤ 2 ∫0 v(t )dt = ∫0 ( −0, 2t + 4t ) dt = ⎢⎣ − 15 t + 2t ⎥⎦0 = − 15 . p + 2 p − 0 = 100 1 ⇒ Voer in : y1 = − x 3 + 2 x 2 en y2 = 100. 15 Met de optie intersect krijgen we x = p ≈ 8,3. ⇒ Na ongeveer 8,3 sec heeft de auto 100 meter afgelegd. 2
79.
F (t ) = −3t 3 + 54t 2 − 180t + 300 F (t ) = −1, 68t 3 + 88t 2 − 1510t + 9083
a.
In de vroege ochtend ⇒ t < 12 ⇒ F '(t ) = 0 ⇒ −9t 2 + 108t − 180 = 0 ⇔ t 2 − 12t + 20 = 0 ⇔ (t − 10)(t − 2) = 0 ⇔ t = 10 ∨ t = 2 We zien aan de hand van de schets dat er bij t = 2 een minimum is en bij t = 10 er sprake is van een maximum. F(10) = 900 en F(2) = 132 ⇒ De minimale hoeveelheid water per uur is 132 m3 en de maximale hoeveelheid water per uur is 900 m3.
b.
Aangezien bovenstaande functie de hoeveelheid geleverde m3 water per uur voorstelt , hebben we dus te maken met een snelheidsfunctie. ⇒ De totale hoeveelheid geleverde water per dag wordt dan : 12
∫ (−3t 0
voor 0 ≤ t < 12 voor 12 ≤ t ≤ 24
24
3
+ 54t − 180t + 300)dt + ∫ (−1, 68t 3 + 88t 2 − 1510t + 9083)dt 12
Voer in : y1 = −3 x + 54 x − 180 x + 300 en y2 = − 1, 68 x 3 + 88 x 2 − 1510 x + 9083 Met de optie integraal uit het calc-menu vinden we de totale hoeveelheid water per dag van : 6192 + 7015,2 ≈ 13200 m3. 3
48
49 12
c.
∫ (−3t
In de ochtend ⇒
3
+ 54t − 180t + 300)dt = 6192 ⇒ minder dan 8000 ⇒ de hoeveelheid
0
wordt 8000 als we in de middag zijn. ⇒ t
6192 + ∫ (−1, 68 x 3 + 88 x 2 − 1510 x + 9083)dx = 8000 ⇔ 12
t
88 3 ⎡ ⎤ 4 2 ⎢⎣ −0, 42 x + 3 x − 755 x + 9083 x ⎥⎦ = 1808 ⇔ 12 88 3 88 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4 2 4 2 ⎜ −0, 42t + t − 755t + 9083t ⎟ − ⎜ −0, 42.12 + .12 − 755.12 + 9083.12 ⎟ = 1808 ⇔ 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 88 3 ⎛ ⎞ 4 2 ⎜ −0, 42t + t − 755t + 9083t ⎟ − 42254,88 = 1808 ⇔ 3 ⎝ ⎠ 88 3 ⎛ ⎞ 4 2 ⎜ −0, 42t + t − 755t + 9083t ⎟ = 44062,88 3 ⎝ ⎠ 88 Voer in : y1 = −0, 42 x 4 + x3 − 755 x 2 + 9083 x en y2 = 44062,88 3 Met de optie intersect uit het calc-menu vinden we een snijpunt bij x ≈ 14,92 Dat levert het tijdstip 14,55 uur op. Dus op het tijdstip 14.55 uur wordt er 8000 m3 geleverd.
80. a.
a = −4.e −0,1t met t in seconden. En v(3) = 32 m/s. t
t
0
0
t
v(t ) = v(0) + ∫ a ( s )ds = v(0) + ∫ −4.e
−0,1s
ds = v(0) + ⎡⎣ 40.e
−0,1s
⎤⎦ = v(0) + 40.e −0,1t − 40 0
−0,1.3
− 40 = 32 ⇒ v(0) = 72 − 40.e −0,3 ≈ 42,4 ⇒ Gegeven is verder dat v(3) = 32 ⇒ v(0) + 40.e De snelheid waarmee de parachute wordt geopend is dus 42,4 m/s. t
b.
Uit onderdeel a volgt: v(t ) = v(0) + ∫ a ( s )ds = 42, 4 + 40.e −0,1.t − 40 = 2, 4 + 40.e −0,1t 0
Hij komt op de grond als de afgelegde weg 800 meter is . De formule voor de afgelegde weg is : t
t
0
0
s (t ) = ∫ v( x)dx = ∫ 2, 4 + 40.e
t −0,1 x
dx = ⎡⎣ 2, 4 x − 400.e
−0,1 x
⎤⎦ = 2, 4t − 400.e −0,1t − 0 + 400 ⇒ 0
−0,1.t
We krijgen dan de vergelijking : 2, 4t − 400.e + 400 = 800 ⇔ 2, 4t − 400.e −0,1t − 400 = 0 Voer in : y1 = 2, 4 x − 400.e −0,1x − 400 en neem het window [0 , 200] X [-300 , 200] Met de optie zero uit het calcmenu vinden we : x ≈ 166,67 ⇒ De gevraagde snelheid is dan : v(166, 67) = 2, 4 + 40.e−0,1.166,67 ≈ 2,4 ⇒ De parachutist heeft dan een snelheid van 2,4 m/s. 81a.
49
50 2 ⎫ OZ = OD ⎪ 2 1 2 ⎪ 3 ⎬ ⇒ xZ = ⋅ 1 = 1 en yZ = ⋅ 3 = 2 1 3 2 3 D (1 ,3) ⎪ ⎪⎭ 2 b. 3
3
3
3
⎡ 2 3 2⎤ ⎢⎣ − 3 x + 3x ⎥⎦ −18 + 27 0 xZ = 0 3 = 03 = 03 = = =1 3 2 −9 + 18 ⎡ ⎤ x x − + 6 ⎣ ⎦0 ∫ ydx ∫ (−2 x + 6)dx ∫ (−2 x + 6)dx
∫ x ⋅ ydx
∫ x ⋅ ( −2 x + 6)dx
0
0
2 ∫ ( −2 x + 6 x)dx
0
Apart : y = −2 x + 6 ⇔ 2 x = 6 − y ⇔ x = 3 − 0,5 y 6
6
3
6
⎡ 3 2 1 3⎤ ⎢⎣ 2 y − 6 y ⎥⎦ 54 − 36 0 yZ = 0 6 = 06 = 03 = = =2 6 18 − 9 1 2⎤ ⎡ ∫0 xdy ∫0 (3 − 0,5 y )dy ∫0 (3 − 0,5 y )dy ⎢⎣3 y − 4 y ⎥⎦0 De uitkomsten kloppen dus.
∫ y ⋅ xdy
∫ y ⋅ (3 − 0,5 y )dy
2 ∫ (3 y − 0,5 y )dy
82. 8
2
2
y=8
1 ⎤ ⎡ O(V ) = ∫ (8 − x ).dx = ⎢8 x − x 4 ⎥ = 16 − 4 = 12 4 ⎦0 ⎣ 0 2
3
2
2
⎡ 2 1 5⎤ ∫ x.(8 − x )dx = ∫ (8 x − x )dx = ⎢⎣4 x − 5 x ⎥⎦ = 0 0 0 3
V
4
y=x^3
32 16 − − 0 = 9, 6 5 9, 6 = 0,8 ⇒ xZ = 12 8
8
0
0
∫ y.xdy = ∫ ⎡3 2 3 ⎢ 7 .y . ⎣
1 y. y 3 dy
8
=∫ 0
4 3 y dy
8
⎡3 7 ⎤ = ⎢ y3 ⎥ = ⎣⎢ 7 ⎥⎦ 0
O
2
8
3 384 ⎤ y ⎥ = .64.2 − 0 = 7 ⎦0 7 384 384 32 ⎛ 4 32 ⎞ ⇒ yZ = 7 = = ⇒Z ⎜ ; ⎟ 12 84 7 ⎝5 7 ⎠
83.
Eerst het snijpunt berekenen. ⇒ x = x3 ⇒ x = x 6 ⇔ x − x 6 = 0
1
⇔ x(1 − x5 ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x5 = 1 ⇔ x = 0 ∨ x = 1
f g V
50 1 O
51 1
O(V ) = ∫
1 (x 2
0
1
⎡2 3 1 4⎤ 5 3 − x )dx = ⎢ x 2 − x ⎥ = 4 ⎥⎦ 12 ⎢⎣ 3 0
1
1
1
1 ⎡ 2 2,5 1 5 ⎤ 3 1,5 4 ∫ x.( x − x ).dx = ∫ x − x ).dx = ⎢⎣ 5 x − 5 x ⎥⎦ 0 = 5 0 0 1 1 12 12 ⇒ xZ = 5 = . = 5 5 5 25 12 Nu kijken we vanuit de y-as. ⇒ x = y2 en x = 3 y ⇒ 1
∫ y( 3 y − y
2
0
1
)dy = ∫
4 (y3
0
1
⎡3 7 1 ⎤ 3 1 5 − y )dy = ⎢ y 3 − y 4 ⎥ = − = 4 ⎥⎦ 7 4 28 ⎣⎢ 7 0 3
5 5 12 3 ⎛ 12 3 ⎞ ⇒ Z⎜ , ⎟ ⇒ yZ = 28 = . = 5 28 5 7 ⎝ 25 7 ⎠ 12 84. Gegeven de kwartcirkel: x 2 + y 2 = 16 ⇒ y 2 = 16 − x 2 ⇒ y = 16 − x 2 4
O(V) = 0,25.π.16 = 4π en
∫ x.
want y ≥ 0.
16 − x 2 .dx Voer in y1 = x. 16 − x 2 op het window
0
[0 , 4] X [0 , 10] Uit het calc-menu met de optie integraal vinden we de waarde 21,333. 21,333 ⇒ xZ = ≈ 1,70 Verder geldt op grond van symmetrie: yZ ≈ 1,70 ⇒ Z (1,70 ; 1,70) 4π 85. 2 x 2 2 ⎛2 ⎞ O = 1.1 + ∫ ⎜ − 1⎟ dx = 1 + [ 2 ln x − x ]1 = x ⎠ 1⎝ y=
1 + ( 2 ln 2 − 2 ) − (2 ln1 − 1) = 2 ln 2
y
y=2
2
V
1
2
⎛2
⎞
∫ x.(2 − 1)dx + ∫ x. ⎜⎝ x − 1⎟⎠ dx = 0
y=1
1
1
1
2
2
1 ⎡ 1 2⎤ ⎡1 2⎤ (2 ) 2 x + − x dx = + x − x ⎥ ∫ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 2 ⎦1 0 1 = 0,5 + 2 – 1,5 = 1
⇒ xZ =
O
1
2
x
1 2 ln(2)
Nu vanuit de y-as. ⇒ y =
2 2 ⇒x= x y 51
52 2
2
2
2 ⇒ ∫ y. dy = ∫ 2dy = [ 2 y ] = 2 y 1 1 1
⇒ yZ =
⎛ 1 2 1 1 ⎞ = ⇒ Z⎜ , ⎟ 2 ln(2) ln(2) ⎝ 2 ln(2) ln(2) ⎠
86. Gegeven f ( x) = ln( x) e
O = 1.1 +
∫1 (1− ln( x) )dx
Voer in : y1 = 1 – ln(x) met window [0 , 4] X [-2 , 4] Met de optie integraal uit het calc-menu vinden
2
y
e
we dat
∫ (1 − ln( x) )dx
≈ 0,718 ⇒
y=1
1
1
De opp. wordt dus : 1,718.
V
Verder geldt : e
1
∫ x.1dx + ∫ x(1 − ln( x))dx ≈ 1,597 0
O
1
2
x
1
Ook deze integralen kunnen we weer op dezelfde manier vinden met de GR. 1,597 ≈ 0,93 1, 718 Nu vanuit de y-as ⇒ y = ln(x) ⇒ x = ey ⇒
⇒ xZ = 1
∫ y.e
y
dy = 1 Dit doen we weer met de GR zoals al aangegeven is in onderdeel a.
0
⇒ yZ ≈
87.
1 ≈ 0,58 ⇒ Z(0,93 ; 0,58) 1, 718
Gegeven : x 2 + y 2 = 36
52
53 6
∫ π xy
xZ =
2
dx
3 6
∫πy
2
dx
3
x 2 + y 2 = 36 ⇔ y 2 = 36 − x 2 6
6
∫ π xy
(
dx = ∫ π x 36 − x
2
3
6
2
3
) dx = ∫ π ( 36x − x ) dx 3
3
6
⎡ ⎛ 1 3 1 ⎞⎤ = ⎢π ⎜ 18x 2 − x 4 ⎟ ⎥ = 324π − 141 π = 182 π 4 4 4 ⎠⎦3 ⎣ ⎝ 6
∫πy
6
3
xZ
(
dx = ∫ π 36 − x
2
2
)
3
6
⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ dx = ⎢π ⎜ 36x − x 3 ⎟ ⎥ = 144π − 99π = 45π 3 ⎠⎦3 ⎣ ⎝
1 182 π 4 ≈ 4,05 = 45π
Opgave 88. 4
∫ π xy
xZ =
2
dx met x 2 + y 2 = 36 ⇔ y 2 = 36 − x 2
−2 4
∫ πy
2
dx
−2 4
4
∫ π xy
2
dx =
−2
4
∫ π x ( 36 − x ) dx = ∫ π (36x − x ) dx 2
3
−2
−2
4
⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ = ⎢π ⎜ 18x 2 − x 4 ⎟ ⎥ = 224π − 68π = 156π 4 ⎠ ⎦ −2 ⎣ ⎝ 4
∫ πy
4
2
dx =
−2
⇒ xZ =
89.
∫ π ( 36 − x ) 2
−2
4
⎡ ⎛ 1 2 1 ⎞⎤ dx = ⎢π ⎜ 36 x − x 3 ⎟ ⎥ = 122 π − −69 π = 192π 3 ⎠ ⎦ −2 3 3 ⎣ ⎝
156π 13 = 192π 16
8
Draai de figuur een kwartslag naar links. Het gevraagde gedeelte is dan het omwentelingslichaam wat ontstaat door het gebied wat ingesloten wordt door de lijn 1 y = x , de x-as en de lijnen x = 4 en x = 10 2 om de x-as te wentelen.
7 6
y
5 4 3 2
y = 0,5x V
1 O
−1
53 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
12
54
10
xZ =
∫ π xy
2
dx
4 10
∫ πy
2
dx
4
10
2
10
⎛1 ⎞ π xy dx = π x ⎜ x ⎟ dx = ⎝2 ⎠ 4 4
∫
2
∫
10
1
∫ 4 πx
3
dx
4
10
⎡1 ⎤ = ⎢ π x 4 ⎥ = 625π − 16π = 609π ⎣16 ⎦4 10
10
⎛1
⎞
2
2 ∫4 π y dx = ∫4 π ⎝⎜ 2 x ⎠⎟ dx = 609π 203 ≈ xZ = 78π 26
10
∫ 4
10
1 1 1 ⎡1 ⎤ π x 2dx = ⎢ π x 3 ⎥ = 83 π − 5 π = 78π 4 12 3 3 ⎣ ⎦4
Het zwaartepunt ligt dan 10 −
203 57 = boven het grondvlak van de cirkel. 26 26
54
