Gyakorló feladatok (Ép.2 matek) 1. Komplex számok: A képzetes számok – az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói – már majdnem a lét és nemlét megtestesítői.” (Carl Friedrich Gauss)
1) Számítsa ki a következő komplex számok esetén a z1 z2 , z1 z2 , z1 z2 ,
z13 z2
értékeket: z1 2 i , z2 2 i , z1 i , z2 2 i , z1 2 i , z2 2 ,
z1 3 5i , z2 1 i , z1 3 i , z2 1 i .
2) Írjuk át algebrai alakba a következő komplex számokat:
z1 2 cos i sin , 6 6 2 2 z2 4 cos i sin , 3 3 11 11 z3 4 cos i sin , 6 6 5 5 z4 2 cos i sin . 3 3
3) Írjuk át trigonometrikus alakba a következő komplex számokat:
z1 1 ,
z2 3 ,
z3 3 , z4 i , z5 i , z6 1 i , z7 1 i , z8 1 i , z9 1 i ,
z10 1 i 3 ,
z11 3 i ,
1 z1 z2 z2 2 , , , , z2 z2 z1 z1
z12 1 i 3 ,
z13 4 3 4i ,
z14 2 i 2 ,
z15 1 i i 2 i3 i 4 ,
z16 1 i i 2 ... i1000 .
4) Számítsa ki a következő komplex számok esetén a z1 z2 ,
1 z1 z2 z2 2 , , , , z13 z2 , z210 , z2 z2 z1 z1
z2 10 értékeket (az eredményeket elég trigonometrikus alakban megadni, de fontos a
főargumentum, azaz 0, 2 ).
z1 2 cos i sin , z2 4 cos i sin , 3 3 4 4
2 2 z1 2 cos i sin , z2 4 cos i sin 4 4 3 3
,
2 2 z1 2 cos i sin , z1 4 cos i sin , 6 6 3 3 11 11 z1 2 cos i sin , z1 4 cos i sin . 4 4 6 6
5) Oldjuk meg a következő egyenleteket:
z3 1 0 , z 2 z 10 0 , z5 1 0 , z5 i 0 , z5 i 1.
6) Határozzuk meg a következő komplex számok komplex köbgyökeit (elég a trigonometrikus alakot megadni, főargumentummal):
z1 1 i ,
z1 3 i ,
z1 3 i . 8
3
7) Számítsuk ki a következőket: ( 3 i) 2 , (1 i) 3 .
2
2. Mátrixok sajátértékei, sajátvektorai: 1) Számítsuk ki a következő mátrixok sajátértékeit, sajátvektorait:
3 5 2 0 5 3
1 , 3 0 , 3 6 . 4
2) Számítsuk ki a következő mátrixok sajátértékeit, sajátvektorait:
4 A 0 1 5 2 B 1 1 2 11 C 0 6
0 1 4 1 , 1 5 1 1 2 1 1 , 5 1 2 0 6 1 0 , 0 6
0 1 1 D 1 0 1 . 1 1 0
3. Differenciálegyenletek: 1) Oldjuk meg az alábbi szeparálható egyenleteket:
y 2 1 2 y xy y ' ,
2 xy x y 1 x2 2 x y ' ,
1 y 2 y ' 1 x2 ,
x xy y ' 3 ,
y y'
2
ex , y 1 1 kezdeti feltétellel, 1 ex
1 y 2 y ' 1 x2 ,
3
e2 y y y '
x 1 . 4 x2
3) Oldjuk meg az alábbi elsőrendű lineáris (inhomogén) egyenleteket (előbb oldjuk meg a hozzárendelt homogén differenciálegyenletet, majd használjuk a konstans variálásának módszerét):
y ' xy x3 , sin x 1 y ' y , cos x cos x 2 y ' y x 2e x , y 1 2 kezdeti feltétellel, x y ' y thx 6e2 x .
4) Oldjuk meg az alábbi (homogén) állandó együtthatós lineáris másodrendű differenciálegyenleteket:
y " 3 y ' 2 y 0 , y " 4 y ' 3 y 0 , y " 7 y ' 6 y 0 , y " 4 y ' 4 y 0 , y " 6 y ' 9 y 0 , y " 7 y ' 12 y 0 , y " 8 y ' 0 , y " 8 y ' 20 y 0 , y " 9 y 0 .
5) Oldjuk meg az alábbi (inhomogén) állandó együtthatós lineáris másodrendű differenciálegyenleteket (próbafüggvény módszerrel):
y " 4 y ' 3 y xe5 x , y " 3 y ' 2 y x e5 x , y " 4 y ' 4 y e2 x cos 2 x , y 1 kezdeti érték feladat, y " 9 y cos3x , y ' 1 y " 8 y ' 20 y e2 x sin 4 x , y " 4 y 4cos 2 x 3sin 4 x .
4
Az előbbi differenciálegyenletek megoldásához mindenképpen érdemes legalább a következőket átnézni: Elemi függvények határozatlan integrálja:
f függvény y0 y 1
y xr 1 x y ax
y
1 cos 2 x 1 y sin 2 x y
y y
Feltételek
x r 1 c r 1 ln x c
x R , r R 1 ,
xR
x0
ax c ln a
speci. y e x y sin x y cos x
y
f x dx c xc
1 1 x2 1
x2 1 1
x2 1 1 y 1 x2 1 y 1 x2
y shx y chx 1 y 2 ch x 1 y 2 sh x
xR, aR , a 0 , a 1 xR
ex c cos x c sin x c tgx c
xR xR x k 2
ctgx c
x k
arcsin x c
x 1
archx c
x 1
arshx c
xR
arctgx c
xR
arthx c,ha x 1 arcthx c,ha x 1 chx c shx c
intervallumfüggő
xR xR
thx c
xR
cthx c
x0
5
' x dx ln x c , x
x 0
x x ' x dx r 1
r 1
r
c , ahol r R 1 ,
sin x ' x dx cos x c ,
cos x ' x dx sin x c , 1 ' x dx arctg x c . 2 1 x Tétel (Helyettesítéses integrálás módszere I.): Ha x differenciálható függvény, melynek értékkészlete az I
intervallum, és ezen az intervallumon az
f u du F u c , akkor f x ' x dx F x c .
f
függvény folytonos, és
Parciális integrálás módszere: A logaritmusokat, a trigonometrikus függvényeket és inverzeiket exponenciális függvényeket tartalmazó függvények sok esetben csak a parciális integrálás módszerével vagy ennek a módszernek többszöri egymás utáni alkalmazásával integrálhatók. Maga formula nagyon egyszerű, a szorzatfüggvény deriváltjából következik.
f x g x f ' x g x f x g ' x , ahonnan kifejezve f x g ' x -t kapjuk, hogy ' f x g ' x f x g x f ' x g x , majd mindkét oldalt tagonként kiintegrálva '
f x g ' x dx f x g x f ' x g x dx (parciális integrálás képlete). A parciális integrálásnál nagyon fontos a „szereposztás”, azaz melyik függvény játssza az f x és melyik a g ' x szerepét. Hibás szereposztással az integrált nem tudjuk kiszámolni, inkább bonyolultabb integrálokhoz jutunk. Ezért érdemes megjegyezni, hogy parciálisan integrálunk, amennyiben:
az integrandus polinom- és exponenciális vagy trigonometrikus, esetleg hiperbolikus függvény szorzata (ekkor a polinomfüggvény játssza az f x szerepét);
az integrandus polinom- és logaritmusfüggvény szorzata, vagy polinom- és trigonometrikus függvény inverzének (arkusz függvénynek) a szorzata, esetleg polinom- és hiperbolikus függvény inverzének (area függvénynek) a szorzata (ekkor a polinomfüggvény játssza a g ' x szerepét);
az integrandus exponenciális és trigonometrikus függvény szorzata (ekkor igazából mindegy a szereposztás, csak következetesen kell csinálni, mert az ilyen feladatoknál egymás után
6
kétszer kell parciálisan integrálni, és ha nem vagyunk következetesek, sok számolás után visszajutunk az eredeti integrálunkhoz). Példák parciális integrálásra:
1 ln xdx 1 ln xdx x ' ln xdx x ln x x dx x ln x x c x ln x 1 c x '
x3 x3 x3 1 x3 x2 x3 x3 x ln xdx ln xdx ln x dx ln x dx ln x c 3 3 x 3 3 3 9 3 2
arctgxdx x ' arctgxdx xarctgx x
1 1 2x 1 dx xarctgx dx xarctgx ln(1 x 2 ) c 2 2 1 x 2 1 x 2
x x x arccos dx x ' arccos dx x arccos x 3 3 3
x 1 x arccos x 3 3
1
1 dx 3 x 1 3 2
1 2
x 9 1 2 x x dx x arccos 1 dx 3 2 3 9 9 x 1 9 2
1
2
1
x 3 x2 2 x arccos 1 2 c . 3 2 9 Racionális törtfüggvények integrálása: bármelyik alapesetben, amennyiben a számláló fokszáma nagyobb vagy egyenlő a nevező fokszámánál, a legelején mindig maradékosan osztunk. (ld. pl. az 5.3.8. feladatsor 5) feladatát, vagy az 5.3.10. feladatsor 3) példáját a változócsere után). Tehát igazából elég azt tekinteni, amikor a nevező foka nagyobb a számlálóénál. Egyszerű alapesetek: 1) ha a nevező elsőfokú, ekkor az 2)
A
ax b
n
dx
A A dx ln ax b c a helyes megoldás, ax b a
A 1 n ax b c , ha n 1 , a 1 n
3) konstans számláló és másodfokú nevező esetén, amennyiben a nevező diszkriminánsa 1 du arctgu c integrálra, b2 4ac 0 a következő a teendő: visszavezetjük az 1 u2 4) amennyiben a másodfokú nevezőnk diszkriminánsa b2 4ac 0 , akkor a 2) esetre vezetjük vissza integrálunkat,
7
5) ha b2 4ac 0 , akkor vagy
1 du alakra hozzuk, vagy parciális törtekre bontjuk az u 1 2
integrandust, 6) Amennyiben elsőfokú a számláló, visszavezetjük a feladatot két integrál összegére, amit az eddigiekkel könnyen ki tudunk számolni, éspedig:
Ax B A dx 2 ax bx c 2a
2aB b A dx , ax 2 bx c
2ax b
Példák racionális törtfüggvény integrálására: 1) Számítsuk ki az
1 dx határozatlan integrált. x 6 x 25 2
Megoldás: Tekintve, hogy nincs a nevezőnek valós gyöke, nem lehet szorzattá alakítani. A 3) alapesetünk van, így
1 1 1 1 1 dx dx dx dx 2 2 x 6 x 25 16 x 3 2 x 3 9 25 x 3 16 4 1 1 1 1 x3 4 dx arctg c 2 4 x3 4 4 4 1
2
2) Számítsuk ki az
1 dx határozatlan integrált. x 6x 5 2
Megoldás: Tekintve, hogy van a nevezőnek valós gyöke, parciális törtekre bontható:
1 1 dx dx x 6x 5 x 1 x 5 2
1
x 1 x 5
A x 5 B x 1 A B x 5 A B A B 1 x 1 x 5 x 1 x 5 x 1 x 5 x 1 x 5
A B 0 5A B 1 A
1 4
B
1
1 4
x 1 x 5
dx
1 1 1 1 1 1 1 x 1 dx dx ln x 1 ln x 5 c ln c. 4 x 1 4 x5 4 4 4 x5
8
4. Kétváltozós függvények differenciálszámítása: 1) Legyen f x, y 9 x2 y 2 (egy origó középpontú, 3 sugarú félgömb). Adjuk meg a következőket: D f , R f , szintvonalak, állapítsuk meg, hogy az értelmezési tartomány ( D f ) zárt vagy nyílt, vagy egyik sem, továbbá számítsuk ki az elsőrendű parciális deriváltakat, valamint a másodrendűeket is (beleértve a vegyes másodrendű parciális deriváltakat is). 2) Legyen f x, y e xy ln y . Határozzuk meg az összes másodrendű parciális deriváltját. 3) Igazoljuk, hogy az f x, y arctg
x függvény kielégíti az f xx" x, y f yy" x, y 0 y
Laplace egyenletet. 4) Számítsuk ki az f x, y
1 x2 y 2
másodrendű parciális deriváltjait.
5) Számítsuk ki az f x, y x y másodrendű parciális deriváltjait. 6) Határozzuk meg az f x, y ( x y)2 függvény a P 2,3 pontban.
3
irányú iránymenti deriváltját
7) Határozzuk meg az f x, y ( x y)2 függvény v 4,3 irány menti deriváltját a
Q 1, 2 pontban.
8) Írjuk fel az f x, y ( x2 6 x) y 2 4 y felület Q 1, 2 pontban vett érintősíkjának egyenletét. 9) Határozzuk meg a következő függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait, ha léteznek:
f x, y 2x2 y 2 2xy 4x 2 y 5 ,
f x, y ( x2 6 x) y 2 4 y .
10) Határozzuk meg az f x, y ( x2 6 x) y 2 4 y függvény legkisebb és legnagyobb értékét az x 0 , y 0 és x y 6 egyenesekkel határolt zárt tartományon. 11) Határozzuk meg a sin x sin y sin z szorzat maximumát, ha x , y és z egy háromszög szögei.
9
5. Kettősintegrál: 1) Számítsuk ki az e3 x4 y dT integrált, ahol T x, y : 0 x ln 2;0 y ln 3 . T
2) Számítsuk ki az 2 xydT integrált, ahol T az y x2 és y x görbék által T
határolt zárt síkrész. 3) Határozza meg az
f x, y 2 y függvény integrálját a 0 x
4
;tgx y 1
tartományon. 4) Számítsuk ki az x2 2 y dT integrált, ahol T az A 1,1 , B 0,3 és C 3,0 T
csúcspontú háromszöglap.
5) Számítsuk ki az x2 y 2 dT integrált, ahol T az origó középpontú, 1 sugarú körlap 0
T
közé eső része (körcikke). 4 6) Számítsuk ki az ln x 2 y 2 dT integrált, ahol T az origó középpontú, 1 és 2 T
sugarú körök által határolt körgyűrű.
6. Térgörbék: t 1 t i j t 2 k térgörbe érintő egyenesének egyenletét a t 1 1 t t paraméterű pontban.
1) Írjuk fel az r t
2) Számítsuk ki az r t eat cos ti eat sin t j beat k , 0 t
4 2 2 3) Számítsuk ki az r t 3t i 3 j 3t k , 0 t 1 ívhosszát.
ívhosszát.
4) Legyen r t 3t 2 i (2t 3) j 3t 3 k . Tekintsük a térgörbe t 1 paraméterű pontját. Adjuk meg ebben a pontban a kísérő háromélt (triédert), a simulósík, a normálsík és a rektifikáló sík egyenletét. Számítsuk ki az adott pontbeli görbületet és torziót. 5) Legyen r t (3t 2 2t )i t 3 j 1 t k . Tekintsük a térgörbe t 2 paraméterű pontját. Adjuk meg ebben a pontban a kísérő háromélt, a simulósík, a normálsík és a rektifikáló sík egyenletét. Számítsuk ki az adott pontbeli görbületet és torziót.
6. Felületek: 1) Írjuk fel annak a kúpnak a paraméteres egyenletrendszerét, melynek vezérgörbéje az r u ui u 4 j görbe és csúcspontja az a 3 j 7k helyvektor végpontja. 2) Számítsuk ki az r u, v u cos vi u sin v j vk felület tetszőleges pontjában vett érintősíkjának egyenletét.
10
3) Számítsuk ki az xy 2 z 3 12 felület P 1, 2, 2 -ben vett érintősíkjának egyenletét.
4) Számítsuk ki az r u, v (u3 2v2 )i uv2 j u 2v u k felület u 1 , v 2 pontjában vett érintősíkjának egyenletét. 5) Számítsuk ki az r u, v 4chu cos vi 4u j 4chu sin vk , 0 u 2 és 0 v 2 felületdarab felszínét. 6) Osztályozzuk a felületi pontokat:
r u, v (v 2cos u)i v 2sin u j vk ,
3z 3xz yz x y 0 .
11
