A karpántokról, a karpántos szerkezetekről – I. rész Bevezetés Ezek a régi faépítészetből ismert szerkezeti elemek ma is sok helyen feltűnnek. Egy díszes megvalósítása az 1. ábrán látható. Forrása: http://www.motivumfa.hu/termekeink-karpantok.html .
1. ábra A karpánt feladata nem csak a díszítés: fontos erőtani feladatai vannak. Ezekkel foglal kozunk alább. Ahogyan az 1. ábrán is látható, a karpánt egy oszlop - gerenda kapcsolatot megvalósító szerkezeti elem. Valójában egy dúc, amely leginkább nyomásra van igénybe véve. Gyakran előfordul szelemenes tetőknél is. http://www.sze.hu/~nemethgy/tetoszerkezetek.pdf - ben ezt írják róla: „ Könyökfa vagy karpánt : a szelemen szabad fesztávolságát csökkentő, az oszlopokra támaszkodó, ferde, nyomott szerkezeti elem.” http://sdt.sulinet.hu/Player/Default.aspx?g=6d1e8396-98c9-4f80-b88c12595d54b348&cid=5553bbd4-dc8a-41a8-80c3-3cf319d6d537 - ben ezt írják róla: „A szelemenes fedélszékeknél a szelemenek és székoszlopok közé átlósan beépített hosszirányban merevítő szerkezetek a könyökfák.” http://eki.sze.hu/ejegyzet/ejegyzet/epszerk/MASTER/Magastet.htm - ben ezt írják róla: „ A székoszlopsor vonalában a székoszlopok és a székszelemenek síkjának merevítését a 45º-os hajlású könyökfák ( más néven karpántok) biztosítják. ” A 2. ábrán egy garázsnak használt előtető szerkezete szemlélhető.
2
2. ábra – forrása: http://weka.hu/katalogus/megtamasztott/megtamasztott_terasz_eloteto_garazs_671_2 Látjuk, hogy a szarufa - elemek függőleges erőkkel terhelik a szelement, ez pedig közvetlenül, vagy a karpántok közvetítésével adja át a terheket az oszlopoknak, utóbbiak pedig az alapnak.
3. ábra
3 A 3. ábrán – forrása: http://baubid.hu/baubid/portal/iodisp?nev=a_teto_a_haz_koronaja – egy kétállószékes szelemenes fedélszék axonometrikus ábrája látható; itt a ( 12 ) karpán tok a ( 8 ) székoszloppal és a ( 4 ) középszelemennel együtt a szerkezet hosszirányú merevítésének is lényeges résztvevői. A 4. ábrán – forrása: http://www.kee.hu/kerttechnika/targyak/Szerkezettan2/pergola_ea.pdf − egy szokásos ácsszerkezeti megoldás rajza látható.
4. ábra
5. ábra – forrása: http://www.horber.hu/horber_szoszedet/szotar/szavak_angol/c/counterbrace.htm − Az 5. ábrán is szereplő karpántot még hónaljkötés névvel is illetik – régies név.
4 A 6. ábrához tartozó szövegben – forrása: http://mek.niif.hu/00000/00060/html/048/pc004882.html − ezt írják: - Hónaljfa v. fej-kötő, az ácsmunkában szelemeneknek és mestergerendáknak álló oszlopokkal való összekötésénél fordul elő, ha a szelemeneknek és mestergerendáknak az oszlopok közötti szabadon függő hosszát megrövidíteni akarjuk. A H. vagy - mivel ha csak lehetséges, kettőt alkalmazunk - a H.-k rendszerint 450 szög alatt támaszkodnak az oszlopba és azzal vagy csappal vagy rálapolással lesznek összekötve.
6. ábra A 6. ábrán a bal oldali megoldás csapos ( beeresztéses ), a jobb oldali lapolásos kivitelű.
Erőtani modellek és számításuk A karpántok alap - elemei a hagyományos oszlop ~ gerenda kapcsolatnak. Kialakításából következik, hogy az oszlop ~ gerenda ~ karpántok egység – mint tartó szerkezet – nagyon gyakran statikailag határozatlan. Például a 2. ábrán is jól látszik, hogy a szelemen - gerendát az oszlopok és a karpántok is megtámasztják, tehát a szele menek rendszerint kettőnél több támasszal bíró folytatólagos gerendák, ahol a támaszok ráadásul még süllyedők is. Ez azt is jelenti, hogy pontosabb számításuk eléggé nehézkes és – a hagyományos faszerkezetek esetében többször elmondott okokból kifolyólag – bizony kevéssé megbízható eredményekre vezető lesz. Meg azt is jelenti, hogy gyakran egyszerűsítő feltevésekkel élnek a számítás megkönnyítése érdekében. A nem igazán könnyű téma kifejtését feladatokon keresztül végezzük el. 1. Feladat – [ 1 ] A fejkötőkkel ellátott fakeret alul csuklós megfogású – 7. ábra. A függőleges oszlopok 24 / 24 cm - es keresztmetszetűek. A szerkezetre a H = 6000 N nagyságú szélerő hat, 6 m magasságban. Határozzuk meg ~ a reakcióerőket; ~ az a – a és b – b metszetekben fellépő normálerőt, nyíróerőt és hajlítónyomatékot; ~ ugyanott a maximális normálfeszültségek és a csúsztató feszültségek nagyságát!
5 Útmutatás: feltételezzük, hogy a csuklók egyaránt H / 2 - vel járulnak hozzá a szélerő felvételéhez.
7. ábra Megjegyzés: A 7. ábra egy régi erő - egységgel készült. A kg ma csak a tömeg mértékegysége, a neki megfelelő erő - mértékegység a N. A megfeleltetés a régi és az új egységek között: 1 kg 10 N. Megoldás: Az A csuklóban ébredő reakció függőleges összetevőjének nagysága a nyomatéki egyensúlyi egyenlettel adódik:
H 6 (m) N A 9 (m) 0 , innen:
6 6 N A H 6000 N 4000 N. 9 9
(1)
Függőleges vetületi egyenlettel:
NA NB 0 , innen:
N B N A .
(2)
Most tehát ( 1 ) és ( 2 ) - vel is, az igénybevételek helyes előjelével:
N A 4000 N, N B 4000 N.
(3)
6 Az igénybevételek az a – a szelvényben:
N aa N A 4000 N; H 6000 N Va a 3000 N; 2 2 H M aa x aa 3000 N 400 cm 1200000 Ncm. 2
(4)
Az igénybevételek a b – b szelvényben:
H 6000 N Vbb 3000 N; 2 2 H M bb x bb 3000 N 400 cm 1200000 Ncm. 2
N bb N A 4000 N;
(5)
Az oszlop keresztmetszeti területe:
A 242 cm 2 576 cm2 ;
(6)
keresztmetszeti tényezője:
243 cm3 K 2304 cm3 . 6
(7)
Most a szélső normálfeszültségek az a – a szelvényben, ( 4 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel:
1,2
N M 4000 N 1200000 Ncm N 6,944 520,833 2 , 2 3 A K 576 cm 2304 cm cm
tehát:
N cm 2 N 2 513,889 2 cm 1 527, 777
, .
Majd hasonlóan a szélső normálfeszültségek a b – b szelvényben:
'1,2
N M 4000 N 1200000 Ncm N 6,944 520,833 , A K 576 cm 2 2304 cm 3 cm 2
(8)
7 tehát:
N cm 2 N '2 527, 777 2 cm '1 513,889
, .
(9)
Végül a maximális csúsztatófeszültség nagysága az oszlopokban:
3 V 3000 N N max 1, 5 7,8125 . 2 A 576 cm 2 cm 2
( 10 )
A kapott eredményekkel a szerkezet méretezése elvégezhető / folytatható. Megjegyzés: Ebben a statikailag határozatlan feladatban a korábban említett egyszerűsítő feltevés az útmutatás szerinti; vagyis hogy a támaszerők vízszintes összetevői egyenlők. Ezzel a feladat határozottá válik. Bizonyos esetekben ez a pontos érték, más esetekben azonban nem – v.ö.: [ 2 ] !
2. Feladat Adott a 8. ábra szerinti kialakítású és terhelésű szerkezet. Elemezzük az erőjátékát!
8. ábra
8 A 8. ábrán a szerkezet realisztikus vázlata mellett feltüntettük a statikai számításhoz használt vázlatrajzát is. Elnevezések, ahogyan hivatkozunk rájuk: ~ AB oszlop, ~ BC gerenda, ~ DE karpánt. A karpánt végeinél elhelyezett kis körök nem véletlenül külpontosak: így jelezzük, hogy sem az oszlop, sem a gerenda folytonosságát nem szakítja meg egy belső csukló. A szögek jelölésében is különbség van, mert az α szög irányszög, a β szög pedig közbe zárt szög. Más szavakkal: az α szög változó, a β szög állandó adat. Ha a feladatot így, azaz paraméteresen oldjuk meg, akkor a tetszőleges α szögértékhez tartozó igénybevételi állapot birtokába jutunk. Természetesen a β szög is felvehet különböző értékeket, ám nem a teljes 0º ~ 360º szögtartományban. A feladat kiírása: adott: h, l, a, b, β; α, F ; keresett: Ioszlop ( α ) , Igerenda ( α ) , Ikarpánt ( α ), ahol az I ( α ) jelölés az igénybevételekre utal, az α szög függvényében. Megoldás A vizsgálandó szerkezet belsőleg és külsőleg is statikailag határozott, vagyis minden keresett igénybevételi mennyiség a statikai egyensúlyi egyenletekkel meghatározható. A megoldás során kombináljuk a szerkesztést és a számítást, azaz grafoanalitikus meg oldási módot alkalmazunk. Ez megtartja a szerkesztés szemléletességét és a számítás pontosságát, valamint egyfajta belső ellenőrzést is lehetővé tesz. Először írjuk fel az egész szerkezet, mint befogott tartó egyensúlyi egyenleteit – 9. ábra!
9. ábra
9
F
i,X
0 : FX A X 0 ,
(i)
innen:
A X FX .
F
i,Y
( 11 )
0 : FY A Y 0 ,
(i)
innen:
A Y FY .
M
A i
( 12 )
0 : FY l FX h M A 0 ,
(i)
innen:
M A FY l FX h .
( 13 )
Majd a 8. és a 9. ábra alapján:
FX F cos , FY F sin .
( 14 )
Most ( 11 ), ( 12 ), ( 13 ), ( 14 ) - gyel:
A Y F sin , M A F l sin h cos . A X F cos ,
( 15 )
Most vizsgáljuk meg az MA befogási nyomaték lehetséges eseteit / értékeit – 10. ábra! Abban az esetben, ha fennáll az
l sin 0 h cos 0 0 ,
( 16 )
illetve az ebből adódó
tg 0
h l
( 16 / 1 )
összefüggés, akkor ( 15 ) és ( 16 ) szerint:
M A 0.
( 17 ) A 10. ábrán megfigyelhető a befogási nyomaték alakulása, aszerint, hogy az α szög hogyan viszonyul a ( 16 / 1 ) - ből adódó
h 0 arctg l szöghöz.
( 18 )
10
10. ábra A szerkezeti elemek igénybevételi függvényeinek felírásához bontsuk részeire a szerke zetet! A munkát a gerendával kezdjük – 11. ábra.
11. ábra Itt a 3 erő egyensúlyának biztosítása a feladat. Az ismert statikai tétel szerint ekkor: ~ a három erő hatásvonala egy pontban ( M ) metsződik; ~ a vektorokra rajzolható erőháromszög folytonos nyílértelemmel záródik. A 3 erő: ~ F: az aktív külső erő; ~ S: a karpánt által a gerendára kifejtett belső reakcióerő; ~ T: az oszlop által a gerendára kifejtett belső reakcióerő.
11 Mint a 11. ábrán is látjuk, szerkesztéssel meghatározható 3 darab ismeretlen: S, T, γ. A számításhoz az egyensúlyi egyenletek az alábbiak.
F
0 TX FX SX 0 ,
i,X
(í)
innen:
SX TX FX .
F
( 19 )
0 TY FY SY 0 ,
i,Y
(í)
innen:
SY TY FY .
( 20 )
Most felhasználva, hogy
SX S cos , SY S sin ,
( 21 )
és
TX T cos , TY T sin ,
( 22 )
( 14 ), ( 19 ), ( 20 ), ( 21 ) - gyel kapjuk a vetületi egyenletek más alakját:
T cos F cos S cos , T sin F sin S sin .
( 23 ) ( 24 )
Majd a 8. ábra jelöléseivel is a nyomatéki egyensúlyi egyenlet:
M
B i
0 FY l SY b 0 ,
(i)
innen:
SY FY
l . b
( 25 )
Most ( 14 ), ( 21 ), ( 25 ) - tel:
SY S sin F sin
l , b
( 26 )
innen:
S F
sin l . sin b
Majd ( 21 ) és ( 27 ) - tel:
( 27 )
12
SX S cos F
sin l sin l cos F . sin b tg b
( 28 )
Ezután ( 24 ) és ( 26 ) - tal:
l l T sin S sin F sin F sin F sin F sin 1 , b b tehát:
l TY T sin F sin 1 . b Most ( 23 ) és ( 28 ) - cal:
T cos S cos F cos F
( 29)
tg l sin l F cos F cos 1 , tg b tg b
tehát:
tg l TX T cos F cos 1 . tg b
( 30 )
A γ szög meghatározásához képezzük ( 29 ) és ( 30 ) hányadosát!
l F sin 1 b T sin , tg l T cos F cos 1 tg b innen:
l 1 b tg tg . tg l 1 tg b
( 31 )
A T erőnagyság meghatározása pl. ( 29 ) - ből:
T F
sin l 1 , sin b
ahol sinγ ( 31 ) - ből és az ismert
( 32 )
13
sin
tg ( 33 )
1 tg 2
trigonometriai összefüggésből számítható. Most már nekiláthatunk a gerenda igénybevételi függvényei / jelleg - ábrái előállítá sához. Ehhez tekintsük a 12. ábrát is!
12. ábra Az I ( α ) kapcsolatokat nem analitikusan, hanem grafikusan adtuk meg, azáltal. hogy a jellemző igénybevételi metszékeket, illetve a hozzájuk szükséges ( AX , AY , MA ) , S , ( SX , SY ) , ( TX , TY ) , ( FX , FY ) adatokat az előzőekben számítással – az α szög függ vényében – már meghatároztuk. Ezzel a 2. feladatot is megoldottuk.
14 Önállóan megoldandó feladatok
F1. Tükrözze a 8. ábra szerkezetét és terhelését az AB egyenesre, mint tengelyre, majd határozza meg az így kapott szerkezet reakcióit és igénybevételi jelleg - ábráit! F2. Gyűjtse össze a 3. ábra szerinti fedélszerkezet hosszirányú merevítést végző elemeit! F3. Az 1. feladat arra is példa, hogy hogyan / miért használható az oszlop ~ gerenda ~ karpánt - kialakítású szerkezet hosszirányú merevítésként. Fejtse ki ezt bővebben! F4. A 2. ábrán látható, hogy a szélső karpántok hiányoznak. Gondolja végig, hogy mikor járunk jobban: ~ ha az így kialakuló negatív támasznyomaték hatását kihasználva csökkentjük a gerenda pozitív hajlítónyomatékait, vagy ~ ha ide is karpántot téve alátámasztjuk a gerenda végeit! F5. A 2. ábrán látható szerkezetet egy feszítőmű - sornak is tekinthetjük. Magyarázza meg ezt az állítást! F6. Az 1. és az 5. ábrán látható karpánt - elemeket középen elvékonyították. Elemezze ennek hatását, lehetséges következményeit! F7. Az 1. ábra szerinti kialakítású karpánt a gerendát egyoldalasan, aszimmetrikusan támasztja meg. Elemezze ennek hatását, lehetséges következményeit! F8. Egy karpánt - sornál az első és az utolsó karpánt - elemet gyakran olyan dúcként alakítják ki, amely az első, illetve az utolsó oszlop tövéhez csatlakozik be. Magyarázza meg, hogy miért!
Irodalom: [ 1 ] – Kövesi Antal: Szilárdságtan és gyakorlati példák gyűjteménye Nehézipari Könyv - és Folyóiratkiadó Vállalat, Budapest, 1951. [ 2 ] − Rudolf Saliger: Praktische Statik 6. Auflage, Franz Deuticke, Wien, 1949.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. május 23.
