A folyamatmodellezés alapjai

A folyamatmodellezés alapjai ´ Piglerne´ Lakner Rozalia ´ ıtastudom ´ ´ Alkalmazasa ´ Tanszek ´ Szam´ any ´ Egyetem Veszpremi

´ Folyamatmodellezes ´ es ´ modell anal´ızis – PhD kurzus – p. 1/55 ”Halado”

Tartalom – 1 • A folyamatrendszer és a folyamatmodell fogalma • A megmaradás elve

• termodinamikai alapok

˝ • a termodinamika fotételei • megmaradási egyenletek

• jelenségek, mechanizmusok • Kiegészíto˝ egyenletek


Tartalom – 2 • A modellezési eljárás és lépései • modellezési cél

• szisztematikus modell építési eljárás ˝ • a modell összetevoi

• Koncentrált paraméteru˝ folyamatmodellek felállítása • mérlegelési térfogatok

• dinamikus mérlegegyenletek • kiegészíto˝ egyenletek


A folyamatrendszer és a folyamatmodell fogalma


Rendszer • Rendszer

• való világ része, jól-definiált fizikai határokkal • környezetével érintkezik (jelek: input, output)

u inputs

y

S system

outputs

x


Folyamatrendszer • Folyamatrendszer

• fizikai-kémiai folyamatok a rendszerben

• termodinamika segítségével leírható változások (fluid fázisok) • tényleges be- és kimenetek • Példák folyamatrendszerre

• egyszeru˝ példák: pohár víz, háztartási vízforraló, mosógép, ˝ autó hut ˝ orendszere, gépjármu˝ motorja • muveleti ˝ egységek: tartály, kémiai reaktor, desztillációs tányér ˝ ˝ desztillációs oszlop, kémiai reaktor, • ipari példák: hocserél o, kristályosító berendezés


Folyamatmodell • Modell

• való világ részének egyszerusített ˝ példánya

• modellezési cél szempontjából fontos dolgok kerülnek a modellbe ˝ modellezési • speciális ismeretek a rendszerrol: feltételezések • modell továbbiakban: matematikai modell • Folyamatmodell: folyamatrendszer matematikai modellje


Általános modellezési feladat • adott: modellezendo˝ rendszer, modellezési cél • meghatározandó: matematikai modell, amely leírja a rendszer viselkedését az adott célra

vbe vki dh = szbe − szki dt A A dT vbe QH = (Tbe − T )szbe + k dt Ah cp ρAh h(0) = h0 , T (0) = T0


A megmaradás elve


Termodinamikai alapok – 1 • Klasszikus termodinamika: zárt, egyensúlyi rendszerek • Termodinamikai változók ˝ függnek, • extenzív változók: rendszer méretétol részrendszerek egyesítésekor additívak EiS = EiS1 + EiS2

tömeg (m), belso˝ energia (U ), komponens tömegek (mk ) ˝ függetlenek, • intenzív változók: rendszer méretétol ˝ részrendszerek egyesítésekor kiegyenlítodnek IiS1 < IiS2 IiS1 < IiS < IiS2

˝ nyomás (P ), homérséklet (T ), komponens koncentrációk (ck ) ´ Folyamatmodellezes ´ es ´ modell anal´ızis – PhD kurzus – p. 10/55 ”Halado”

Termodinamikai alapok – 2 ˝ • extenzív változók és intenzív párjuk (hajtóero) Extenzív

Specifikus intenzív (mérnöki)

összes tömeg (m)

sur ˝ uség ˝ (ρ =

komponens tömegek (mk )

koncentrációk (ck =

vagy xk =

belso˝ energia (U )

˝ homérséklet (T =

)

Extenzív

Potenciál (termodinamikai)

összes tömeg (m)

nyomás (P )

komponens tömegek (mk )

kémiai potenciál µk = RT ln ck , ( µTk )

belso˝ energia (U )

˝ homérséklet ( T1 )

m ) V mk V U cP ρV

mk ) m

• Gibbs-féle fázisszabály → kanonikus készlet: (m, U , mk k = 1, . . . , K − 1) – elméleti szempontból fontos kanonikus készlet (megmaradó mennyiségek) (m, T , ck k = 1, . . . , K − 1) – modellezés szempontjából fontos kanonikus készlet (mérheto˝ kanonikus készlet) ´ Folyamatmodellezes ´ es ´ modell anal´ızis – PhD kurzus – p. 11/55 ”Halado”

A termodinamika fo˝ tételei ˝ energiamegmaradás elve – zárt rendszerre vonatkozó • 1. fotétel: megmaradás nyílt rendszerre való általánosítás ⇒ megmaradási egyenletek, dinamikus mérlegegyenletek (tömeg, energia, momentum) ˝ • 2. fotétel: entrópiatétel ("rendezetlenség" mértéke), ˝ következménye: intenzív mennyiségek kiegyenlítodnek ⇒ folyamatok iránya Onsager egyenlet – energiaátadás esetén Etransf er = KT · A · (T (h) − T (c) )


Megmaradási egyenletek – 1 A megmaradás elve – általánosítás nyílt rendszerre ⇒ megmaradási egyenletek, dinamikus mérlegegyenletek  

        megmarad´ o     be´  araml´ o   ki´ araml´ o   forr´ as(ok)  = − + mennyis´ eg       nyel˘  mennyis´ eg mennyis´ eg o(k)      id˘ ov´ alt.

Mérlegegyenlet integrális alakja Z I Z d b t)dv = − Φ(r, J(r, t) · nF (r)df + dt F V → − r Φ b Φ → − J → − nF q qb

V

térbeli helyvektor megmaradó extenzív mennyiség megmaradó extenzív mennyiség sur ˝ usége ˝ extenzív mennyiség árama felület normálvektora extenzív mennyiség forrása extenzív mennyiség forrássur ˝ usége ˝

J nF

qb(r, t)dv

α

Φ

V


F

Megmaradási egyenletek – 2 Mérlegegyenlet integrális alakja Z I Z d b t)dv = − Φ(r, J(r, t) · nF (r)df + dt F V

Mérlegegyenlet differenciális alakja

J

V

nF

qb(r, t)dv

α

Φ

V

b ∂Φ = −∇ · J + qb ∂t

(ahol: ∇ · J = div(J) =

Áramok fajtái:

∂Jy ∂Jz ∂Jx + + ) ∂x ∂y ∂z

konvekciós áram diffúziós áram

˝ Források/nyelok

kémiai reakció átadás külso˝ forrás ´ Folyamatmodellezes ´ es ´ modell anal´ızis – PhD kurzus – p. 14/55 ”Halado”

F

Jelenségek, mechanizmusok • áramlások (konvekció, diffúzió)

–

áramlástan

˝ • hutés/f ˝ utés ˝ (hoátadás/energiaátadás) • kémiai reakció

–

–

˝ és áramlástan ho-

reakciókinetika

• fázisátalakulások (párolgás, forrás, olvadás, ...) termodinamika

–

• elegyedés/szétválasztás (desztilláció, oldódás, kristályosítás, ...) – termodinamika ˝ • (hosugárzás, bioreakció, adszorpció, abszorpció, ...)


Kiegészíto˝ egyenletek


Kiegészíto˝ egyenletek • a modell teljes matematikai leírásához szükséges további összefüggések • általában algebrai egyenletek • fo˝ típusai:

• extenzív-intenzív összefüggések • átadást leíró egyenletek

• reakciókinetikát leíró egyenletek • termodinamikai relációk

• mérlegelési térfogatokra vonatkozó összefüggések

• berendezésre és szabályozóra vonatkozó összefüggések


Extenzív-intenzív összefüggések m=ρ·V

összes tömeg – sur ˝ uség ˝

m k = ck · V

komponens tömeg – koncentráció

U = cP · m · T

˝ belso˝ energia – homérséklet

mk = xk · m


Átadást leíró egyenletek • Általános forma (p,r)

rateχ

= ψ (p,r) (ζ (p) − κ(r) )

• Konkrét esetek

• Komponens átadás j = KG (CG∗ − CG ) ˝ • Hoátadás qCV = U A(∆T )


Reakciókinetikát leíró egyenletek • reakciósebesség: egységnyi térfogatban egységnyi ˝ ido˝ alatt keletkezo/elreagáló mólok száma ri =

1 dni V dt

• νX X + νY Y → νW W + νZ Z általános reakcióegyenlet esetén a reakciósebesség: rb =

1 dnX νX V dt

=

1 dnY νY V dt

=

dnW νW V dt 1

=

1 dnZ νZ V dt

• reakciósebesség meghatározása: νX , CYνY , ...) rX = kX f (CX

kX = k0 e

−E RT

reakciókinetika

Arrhenius összefüggés ´ Folyamatmodellezes ´ es ´ modell anal´ızis – PhD kurzus – p. 20/55 ”Halado”

Termodinamikai relációk – 1 ˝ ...) relációk – ˝ uség, ˝ fajho, • fizikai-kémiai tulajdonság (sur termodinamikai állapotváltozók függvényei ρ = f (P, T, ck ) cP = f (P, T, ck ) (általában: állandóak – modellezési feltételezés) • egyensúlyi összefüggések fázisegyensúlyok

Raoult törvény

T (1) = T (2) n P P = xj Pjvap j=1

relatív illékonyság αij =

P (1) = P (2) yj =

xj Pjvap P

yi xi yj xj


Termodinamikai relációk – 2 ˝ • entalpia homérsékletfüggése RT h(T ) = h(TR ) + TR cp (T )dT h(T ) = cp T

lineáris forma

h(T ) = cp T + λvap nemlineáris forma cp (T ) = a0 + a1 T + a2 T 2 + a3 T 3 + ... (általában: állandó – modellezési feltételezés) • állapotegyenlet Φ(P, T, ci , m) = 0 pl.

PV =

m RT M

ideális gáztörvény ´ Folyamatmodellezes ´ es ´ modell anal´ızis – PhD kurzus – p. 22/55 ”Halado”

Mérlegelési térfogatokra vonatkozó összefüggések • fázisok közötti relációk

VG

VL

V : állandó VG = V − VL

(tartály térfogata) (megszorítás)


Berendezésre és szabályozóra vonatkozó összefüggések – 1 ˝ dinamikája • Érzékelok dU dt

e A(Tf − T ) =U

dT dt

=

eA U (Tf M cp

dT dt

=

(Tf −T ) τ

− T) Tf

T

Fluid


Berendezésre és szabályozóra vonatkozó összefüggések – 2 • Szabályozó egyenletei

• Hagyományos (P, PI, PID) szabályozó OC = B + KC (Sp − Op ) = B + KC ε R KC OC = B + KC ε + τI εdt R KC OC = B + KC ε + τI εdt + KC τD dε dt


Berendezésre és szabályozóra vonatkozó összefüggések – 3 • Beavatkozó szerv dinamikája • Szelepek

• Statikus szelep √ F = Cv ∆P • Szabályozó szelep √ F = Cv c(S) ∆P karakterisztikák:

c(S) = S

lineáris

c(S) = a(S−1) √ c(S) = S

egyenlo˝ arányú gyökös ´ Folyamatmodellezes ´ es ´ modell anal´ızis – PhD kurzus – p. 26/55 ”Halado”

A modellezési eljárás és lépései


Modellezési cél • mire szeretnénk használni a modellt • dinamikus szimuláció

• statikus (állandósult állapotbeli) szimuláció • tervezés

• folyamatirányítás (predikció, értéktartó szabályozás, identifikáció, diagnosztika) • modell értelmezési tartománya • modellezési cél befolyásolja:

• milyen jelenségeket vegyünk figyelembe • modell matematikai formáját

• modell pontosságát (jellemzo˝ változókra nézve) ´ Folyamatmodellezes ´ es ´ modell anal´ızis – PhD kurzus – p. 28/55 ”Halado”

Modellezési eljárás Általános modellezési feladat • adott: modellezendo˝ rendszer, modellezési cél • meghatározandó: matematikai modell, amely leírja a rendszer viselkedését az adott célra

u inputs

S system

x

y

i

outputs

inputs

o

M model

outputs

x


7 lépéses modellezési eljárás

Probléma definiálása

Mechanizmusok meghatározása

1 Probléma definiálása folyamatrendszer formális leírása a modellezési cél alapján • rendszer bemenetei, kimenetei, változói • berendezések és összeköttetéseik

• térbeli eloszlás jellege (elosztott/koncentrált paraméteru) ˝ ˝ • idobeli változás jellege (statikus/dinamikus) v , T0, cA0 v c, Tc0 Q M, U, T, c A , cB v c, Tc

Mc Uc Tc

v , T, c A , c B

Adatok összegyujtése és értékelése

Modell elkészítése

Modell megoldása

Modell megoldásának ellenorzése Modell érvényességének ellenorzése ´ Folyamatmodellezes ´ es ´ modell anal´ızis – PhD kurzus – p. 30/55 ”Halado”




2 Mechanizmusok meghatározása • modellezési cél szempontjából fontosnak tartott jelenségek • leheto˝ legkevesebb jelenség megadása


• modellezési feltételezések v , T0, cA0

Modell megoldása

Jelenségek: v c, Tc0 Q M, U, T, c A , cB v c, Tc

Mc Uc Tc


• konvekció Modell megoldásának ellenorzése

• kémiai reakció ˝ • hoátadás (Modellezési feltételezések:

v , T, c A , c B

• nincs párolgás • tökéletesen kevert (nincs diffúzió))

Modell érvényességének ellenorzése





3 Adatok összegyujtése ˝ és értékelése • mért és becsült adatok

• alapadatok (adatforrások: kézikönyvek, táblázatok) ˝ • a modellezés során bovíthet o˝


• adatok pontossága v , T0, cA0

Modell megoldása

Adatok: v c, Tc0 Q M, U, T, c A , cB v c, Tc

Mc Uc Tc

v , T, c A , c B


• fizikai-kémiai tulajdonságok: ρ, cP • reakciókinetikai adatok: k0 , ∆HR • berendezés paraméterei: V, K

Modell megoldásának ellenorzése Modell érvényességének ellenorzése





4 Modell elkészítése 4.1 Mérlegelési térfogatok meghatározása 4.2 Modellezési feltételezések megfogalmazása 4.3 Modell egyenletek felírása (mérlegegyenletek, kiegészíto˝ egyenletek)



4.4 Kezdeti- és peremfeltételek megadása 4.5 Változók, paraméterek megadása

Modell megoldása





4.1 Mérlegelési térfogatok meghatározása • folymatrendszer részrendszerekre osztása

• térrészek, amelyekre megmaradási egyenleteket írunk fel

v , T0, cA0


v, T 0, cA0 v c, Tc0

vc, Tc0

Q M, U, T, c A , cB v c, Tc


Modell megoldása

Q Mc Uc Tc

v , T, c A , c B

M, U, T, cA , cB vc, Tc

Mc Uc Tc

v, T, c A, cB





4.2 Modellezési feltételezések megfogalmazása • milyen feltételek mellett írja le az adott matematikai modell a valóságot • leggyakoribb modellezési feltételezések:

˝ • rendszer idobeli viselkedésére vonatkozó feltételezések pl. dinamikus, stacioner • mérlegelési térfogatokra vonatkozó feltételezések pl. csak folyadék fázis, gáz és folyadék fázis • térbeli eloszlásra vonatkozó feltételezések pl. elosztott paraméteru, ˝ koncentrált paraméteru˝ • jelenségekre vonatkozó feltételezések ˝ pl. nincs párolgás, van hoátadás • elhanyagolható hatásokkal kapcsolatos feltételezések ˝ függ, cP állandó pl. ρ csak T -tol • állapotok kívánt tartományai, pontosságuk pl. T 20 és 30 o C közötti



Modell megoldása






4.3 Modell egyenletek felírása • mérlegegyenletek vagy dinamikus megmaradási egyenletek általában differenciál egyenletek • összes tömeg mérleg • komponens tömeg mérlegek • energiamérleg • momentum mérleg (ha az áramlási kép lényeges) ezzel nem foglalkozunk • kiegészíto˝ egyenletek általában algebrai egyenletek a folyamatrendszer teljes matematikai leírásához szükséges egyenletek



Modell megoldása






4.4 Kezdeti- és peremfeltételek megadása • Kezdeti feltételek differenciál (mérleg-) egyenletekhez • Peremfeltételek elosztott paraméteru˝ modellek esetén



4.5 Változók, paraméterek megadása • jelölés, jelentés, mértékegység

• paramétereknél: ismert/becsült, pontosság

Modell megoldása





5 Modell megoldása • matematikai modell lehet: • algebrai egyenletrendszer • közönséges differenciálegyenlet-rendszer • differenciál-algebrai egyenletrendszer (leggyakrabban) • parciális differenciálegyenlet-rendszer • integro-differenciálegyenlet-rendszer • modell megoldása • megoldhatóság analízis (szabadsági fok analízis, egyenletek struktúrális analízise, differenciális index meghatározása) • megoldó módszer kiválasztása



Modell megoldása






˝ 6 Modell megoldásának ellenorzése • adatváltoztatás hatása a modell megoldására

• modell viselkedése mérnöki szempontból megfelel-e az elvárásoknak ˝ • logikai ellenorzés



Modell megoldása





˝ 7 Modell érvényességének ellenorzése • modell kalibráció bizonytalan/ismeretlen paraméterek meghatározása paraméterbecsléssel • modell validáció matematikai modell és a valós rendszer (mérés) pontos statisztikai összehasonlítása



Modell megoldása


A modell összetevo˝ i • Rendszer leírása (folyamatábra, változók) • Modellezési cél • Mechanizmusok • Modellezési feltételezések ˝ • Adatok (adat, mértékegység, lelohely, pontosság) • Mérlegelési térfogatok (folymatábrán jelölve) • Modell egyenletek (megmaradási egyenletek, kiegészíto˝ egyenletek, kezdeti- és peremfeltételek) • Modell változók, paraméterek


Koncentrált paraméteru˝ folyamatmodellek felállítása


Mérlegelési térfogat • térrész, amelyre triviális mérleg írható fel • lehet nyílt, változó térfogatú • legegyszerubb ˝ esetben homogén (tökéletesen kevert) • egyfázisú (pszeudofázis) J nF α

Φ

F

V ´ Folyamatmodellezes ´ es ´ modell anal´ızis – PhD kurzus – p. 43/55 ”Halado”

Mérlegelési térfogatok meghatározása • nem egyértelmu˝ • modellezési cél/pontosság(és a modellezo˝ tudása) befolyásolja • mérlegelési térfogatok jelölése a folyamatábrán


Mérlegegyenletek tökéletesen kevert folyamatrendszerekben • alapfeltevés: minden mérlegelési térfogat (külön-külön) tökéletesen kevert • alap modellezési egység: CSTR (Continuously Stirred Tank Reactor) • mérlegelési térfogatok száma: V • V · (K + 1) független megmaradási egyenlet • kapcsolatok a CSTR-ek között: konvekció, átadás


Mérlegegyenletek tökéletesen kevert folyamatrendszerekben A mérlegegyenlet általános formája (megmaradás elve):  

        megmarad´ o     be´  araml´ o   ki´ araml´ o   forr´ as(ok)  = − + mennyis´ eg    mennyis´   mennyis´   nyel˘ e g e g o(k)      id˘ ov´ alt.

J

Mérlegegyenlet differenciális alakja b ∂Φ = −∇ · J + qb ∂t b ∂Φ = −∇ · (JD + JC ) + qb ∂t

nF α

Φ

V

Mérlegegyenlet differenciális alakja - tökéletesen kevert esetben dΦ = JC + q dt ´ Folyamatmodellezes ´ es ´ modell anal´ızis – PhD kurzus – p. 46/55 ”Halado”

F

Összes tömegre vonatkozó mérleg Összes tömeg mérleg általános formája        o  ¨sszes t¨ omeg   be´ araml´ o   ki´ araml´ o = −    o id˘ ov´ alt. ¨sszes t¨ omeg   o ¨sszes t¨ omeg 

ΣΜ

Összes tömegre vonatkozó mérleg p

q

X X dM Fj − Fk = dt j=1 k=1

fi,k

Flows of mass in

fi,j

M Fj

Fk

Flows of mass out

mi


Komponens tömegekre vonatkozó mérlegek Komponens tömeg mérlegek általános formája     i. komponens t¨ omeg´ enek    id˘ ov´ alt.

   

    i. komponens = t¨ omeg       be´ araml´ as

   

    i. komponens − t¨ omeg       ki´ araml´ as

      

+

      

i. komponens t¨ omeg fogy´ as/keletkez´ es

Komponens tömegekre vonatkozó mérlegek dmi = dt

p X j=1

fi,j −

i = 1, . . . , K

q X

k=1

fi,k + qi

fi,k

M Fj

  

ΣΜ

Flows of mass in

fi,j

   

Fk

Flows of mass out

mi


Energiára vonatkozó mérleg – 1 Energiamérleg általános formája        energia   be´ araml´ o   ki´ araml´ o  = −  id˘     energia  ov´ alt. energia

Energiára vonatkozó mérleg dE = dt

p X j=1

bj − Fj E

q X

k=1

bk + Q + W Fk E

E

Fk

Flows of energy in

Fj

Eˆ j

E

Eˆ k

Flows of energy out

Az energiaáramok fo˝ komponensei: • konvektív energiaáramok • konduktív/sugárzási energiaáramok • munkavégzési energia


Energiára vonatkozó mérleg – 2 E = U + KE + PE Kinetikai energia (KE ) és helyzeti energia (PE ) elhanyagolása után: dU = dt

p X j=1

bj − Fj H

q X

k=1

bk + Q + W c Fk H

Reakcióho˝ expilicit megjelentetése az energiamérlegben: p

q

X X dU bj − b k + rV (−∆HR ) + Q + W c Fj H Fk H = dt j=1 k=1


Példa: Koncentrált paraméteru˝ modellek mérlegegyenletei – 1 Tökéletesen kevert tartály reaktor Modellezési feltételezések: F(i)

1. tökéletesen kevert 2. összenyomhatatlan folyadék

T(i) M mA

T

3. konstans fizikai-kémiai tulajdonságok ˝ 4. A → P típusú elsorend u˝ reakció

F(o)


Példa: Koncentrált paraméteru˝ modellek mérlegegyenletei – 2 Tökéletesen kevert tartály reaktor mérlegegyenletei Összes tömeg: F(i)

dM = F (i) ρ − F (o) ρ dt Komponens tömeg: dmA (i) = F (i) cA − F (o) cA − V rA dt

T(i) M mA

T

F(o)

Belso˝ energia: dU (i) = F (i) cP ρT (i) − F (o) cP ρT − V rA ∆HR dt


Példa: Koncentrált paraméteru˝ modellek mérlegegyenletei – 3 Tökéletesen kevert tartály reaktor kiegészíto˝ egyenletei • extenzív-intenzív összefüggések: M = Vρ m A = cA V U = M cP T • reakciókinetikai összefüggés: E − RT rA = k0 e cA

F(i) T(i) M mA

T

F(o)


Példa: Koncentrált paraméteru˝ modellek mérlegegyenletei – 4 Tökéletesen kevert reaktor modell – intenzív alak Összes tömeg: dV = F (i) − F (o) dt Komponens tömeg: (i) F (i) cA F (i) cA dcA = − − rA dt V V Belso˝ energia: F (i) T (i) F (i) T rA ∆HR dT = − − dt V V ρcP

F(i) T(i) M mA

T

F(o)

Kiegészíto˝ egyenlet: E rA = k0 e− RT cA Tökéletesen kevert tartály reaktor kezdeti feltételei ´ Folyamatmodellezes ´ es ´ modell anal´ızis – PhD kurzus – p. 54/55 ”Halado” V (0) = V0 cA (0) = cA0 T (0) = T0

Köszönöm a figyelmet!


A folyamatmodellezés alapjai

Recommend Documents