Lemez- és héjelemek modellezése Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Gyűjtse ki/tanulja meg az izoparametrikus lemezelem felépítésének jellemzőit! 6.3. Izoparametrikus lemezelem A felépítés elvi alapjait az ÁSF és Reissner-Mindlin-féle lemezhajlítási elmélet alkotja. ⇓
Öt ( 2 + 3) független skalár mezőre kell közelítő függvényeket felvenni: u0e ( ξ= , η)
N
w0e ( ξ= , η)
∑ h ( ξ, η) u , i =1
i
e i
∑ h ( ξ, η) w , i
e i
, η) ∑ hi ( ξ, η) ϕ , hajlítás ϕ ( ξ= i =1 N , η) ∑ hi ( ξ, η) ϕeyi ϕey ( ξ= i =1 i =1 N
ÁSF , η) ∑ hi ( ξ, η) v , v ( ξ= i =1
e x
N
e 0
N
e i
e xi
u0 , v0 , w0 - a középsík P0 pontjának elmozdulás koordinátái, u0 , v0 - a síkba eső elmozdulások,
w0 - a középsíkra merőleges elmozdulás (lehajlás), ϕ x , ϕ y - a középsík normálisának a középsíkra eső x és y tengely körüli szögelfordulása.
ui v i e wi . q = Az általánosított csomóponti elmozdulásvektor: i ϕx ϕ y
z
y
w i
x
u
v
ϕy
ϕx
Az elem jellemzőinek felépítése a korábbiakban ismertetett szokásos módon történik. Tevékenység: Jegyezze meg az izoparametrikus lemezelem illesztési problémájának típusait, jellemzőit! Illesztési probléma: - szekrény szerkezet, - bordás merevítés.
Ezek a lemez elemek az élek mentén nem illeszthetők össze. Hiányzik a csomópontokban egy ϕ z szögelfordulás, a középsík normálisának saját, z tengely körüli elfordulása. Ezért a csomóponti elmozdulásvektort bővíteni kell ϕ z -vel. A ϕ z az elem belsejében u0 , v0 mező közelítését ki kell bővíteni ϕ z -től függő tagokkal. A ϕ z -ből az elem belsejében síkbeli elmozdulások származnak. y
x
i
u0
v0
P0
ϕ zi
Fontos követelmény: az élek mentén a kapcsolódó héjelemeken az elmozdulásmezőnek azonosnak kell lennie. A Kirchoff-Love elmélet szerint felépített héjaknál/lemezeknél nemcsak az elmozdulásmező, hanem az elmozdulásmező első deriváltjainak folytonosságát (azonosságát) is biztosítani kell. Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg az excentrikus kapcsolódás modellezésének jellemző típusait! Rajzolja le a mérnöki megvalósítást és a mechanikai modellt! 6.4. Excentrikus kapcsolódás modellezése - A héj/lemez ugrásszerű vastagságváltozása: középsík középsík
- Merevítés vékony szelvényű rúddal. középvonal
e - Rudak térbeli kapcsolódása.
e
középvonal
e
A
e
F
középvonal
Tevékenység: Jegyezze meg az excentricitási vektort, csomópontpár elemeit és jellemzőiket!
Excentricitás vektor: e = aex + bey + cez . Excentrikus kapcsolat: a csomópontok között merev kapcsolatot létesítünk. Csomópontpár: A- alcsomópont, F- főcsomópont.
c −b 1 0 0 0 E Ω q= = q q a q F, 0 1 0 −c 0 A A F 0 0 1 b − a 0 = a x A − xF , = b y A − yF , = c z A − zF .
A mátrix bal oldali ( 3 × 3) -as blokkja merev testszerű elmozdulást, a jobb oldali ( 3 × 3) -as blokkja pedig egy merev testszerű elforgatást hoz létre. Az alakváltozás során az A és F csomópontok úgy mozognak, mintha egy merev test pontjai lennének (a közöttük levő távolság állandó marad). Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg az izoparametrikus héjelem jellemzőit és az alkalmazott koordináta rendszerek típusát! 6.5. Izoparametrikus héjelem A felépítés elvi alapjául a héjak membrán elmélete és a Reissner-Mindlin-féle hajlítási elmélet szolgál. z
9
9
11
1
15
7
5 x
16
12 2
6
4
ζ
11
15
8 14
2 12 13
3
10
16
10
ξ y
1
14
13
8
3 7
4
6 5
η
Az eddig szokásostól eltérő módon építjük fel a héjelemet. Egy izoparametrikus térbeli elemből indulunk ki, amelynél a vastagság mentén a geometriát lineáris függvénnyel írjuk le. Felépítés: - Nem vezetjük le a héjelméleti összefüggéseket. - A Reissner-Mindlin-féle feltételezést a térbeli elembe építjük be. Az elemen értelmezünk középfelületet. A vastagság menti egyenesek közelítőleg a középfelület normálisainak tekinthetők. Koordináta rendszerek: x, y, z - vonatkoztatási KR (DDKR): itt értelmezzük az u , v, w elmozdulás koordinátákat. ξ, η, ζ - elemhez kötött helyi KR: görbevonalú, nem derékszögű KR, ebben értelmezzük az elem geometriáját −1 ≤ ξ, η, ζ ≤ 1 . x′, y ′, z ′ - a héj közép felületéhez kötött KR: derékszögű, görbevonalú KR, ebben értelmezzük a középfelület normálisának ϕ x′ , ϕ y′ szögelfordulását. Tevékenység: Tanulmányozza az izoparametrikus héjelem geometriai leírását! Rajzolja fel izoparametrikus héjelem ábráját! Az elem geometriájának leírása: 1 + ζ f 1 − ζ a xi + xi , 2 2 i =1 8 1 + ζ f 1 − ζ a y ( ξ, η= yi + yi , , ζ ) ∑ hi ( ξ, η) 2 2 i =1 8 1 + ζ f 1 − ζ a z ( ξ, η= zi + zi . , ζ ) ∑ hi ( ξ, η) 2 2 i =1 x ( ξ, η= ,ζ)
8
∑ h ( ξ, η) i
a index: a ζ = −1 alsó felületen lévő csomópont, f index: a ζ =1 felső felületen lévő csomópont. Az összefüggésekben hi ( ξ, η) a síkbeli kvadratikus izoparametrikus elem alakfüggvényei. 1 (1 + ξξi )(1 + ηηi )( ξξi + ηηi − 1) , ( i = 1,3,5,7 ) , 4 1 = hi (1 + ξξi ) 1 − η2 (1 + ηηi − 1) 1 − ξ2 , ( i = 2, 4,6,8) . 2
η
= hi
(
)
(
)
7
1− ζ , 2 1+ ζ hi +8 ( ξ, η, ζ = h , . ξ η ) i( ) 2
A héjelem alakfüggvényei:
4
8
1
hi ( ξ, η, ζ = ) hi ( ξ, η)
5
6
2
3
( i = 1, 2,,8) .
ξ
x ( ξ, η, ζ ) A geometria leírása mátrix alakban: y ( ξ, η,= ζ ) z ( ξ, η, ζ )
f a xi xi 1 + ζ 1 − ζ hi ( ξ, η) ∑ yi + 2 yi . i =1 2 z zi i f a 8 8 x + xi ζ Átalakítás: , ζ ) ∑ hi ( ξ, η) i x ( ξ, η= + ∑ hi ( ξ, η) ( xif − xia ) , 2 i1 2 =i 1 = xiaf x 8
ik
8 yi + yia ζ + ∑ hi ( ξ, η) yif − yia , 2 i1 2 =i 1 = yiaf yik
,ζ) y ( ξ, η=
8
∑ hi ( ξ, η)
f
(
)
8 zif + zia ζ + ∑ hi ( ξ, η) zif − zia . 2 i 1 2 =i 1 = ziaf zik
(
8
,ζ) z ( ξ, η=
∑ hi ( ξ, η)
∑ h ( ξ, η) r
Összefoglalva: r ( ξ, η= ,ζ)
8
i =1
i
ik
+
ζ riaf , 2
)
riaf ≈ ti .
ζ η
if riaf
ξ
ia z
x
rik
y
riaf csak közelítőleg adja meg az i jelű csomópontban a középfelület normálisának irányát.
Tevékenység: Tanulja meg az elmozdulásmező közelítésének feltételeit! Írja fel/jegyezze meg az elmozdulásmezőt jellemző összefüggést! Az elmozdulásmező közelítése Az elmozdulásmezőt a középfelülethez kötött mennyiségekkel (általánosított csomóponti elmozdulásokkal) akarjuk leírni. A 3D feladatot 2D feladatra redukáljuk. A héjat a középfelületével helyettesítjük és a mechanikai állapotokat meghatározó mennyiségeket a középfelülethez kötjük.
e3 z′
e2
y′ x′
P0 középfelület
i
ti
e1
i
x′, y ′ a középfelület érintősíkja, e3 pedig a középfelület normális egységvektora a P0 pontban. 8 t ξ η + , h q hi ( ξ, η) ζ i ϕ yi′ e1i − ϕ xi′ e2i ( ) ∑ ∑ i ik 2 =i 1 = i 1 ti - a héj vastagsága az i jelű csomópontban. ϕ x′ - a normális x′ tengely körüli szögelfordulása az x′y ′ KR-ben. ϕ y′ - a normális y ′ tengely körüli szögelfordulása az x′y ′ KR-ben.
e Az elmozdulásmező: u = ( ξ, η, ζ ) =
8
u ( ξ, η, ζ ) uik e u ( ξ, η, ζ= q = vik . ) v ( ξ, η, ζ ) , ik w ( ξ, η, ζ ) wik u , v, w - a héj tetszőleges P pontjának elmozdulásai az x, y, z KR-ben. uik , vik , wik - a középfelület i jelű csomópontjának elmozdulása az x, y, z KR-ben. e
Tevékenység: Tanulja meg a szögelfordulások előjel szabályát! Rajzolja le a szögelfordulások előjelét szemléltető ábrákat! Jegyezze meg a héjelem tulajdonságait, az elem szabadságfokát! A szögelfordulások előjele: t t z ′ u ′ 2 = 2 ϕ y′
z′ y′
ϕ y′ > 0
P0 x′ ϕ > 0 x′
Csomóponti általánosított elmozdulásvektor:
Az elem szabadságfoka: 8 × 5 = 40.
ϕ y′
x′
e1
t t z ′ v′ 2 =− 2 ϕ x′
ϕ x′
ui q vi ik e q =ϕ xi′ = wi . i ϕ ϕ yi′ xi′ ϕ yi′
y′ e2
e e −e2 xi u ( ξ, η, ζ ) ui 8 8 t Az elmozdulásmező: v ( ξ, η, ζ= ) ∑ hi ( ξ, η) vi − ∑ hi ( ξ, η)ζ i −e2 yi 2 =i 1 =i 1 w ( ξ, η, ζ ) wi e2 zi
u ( ξ, η, ζ= ) A ( ξ, η, ζ ) q e
e
( 3×40 )
( 3×1)
e1xi ϕ xi′ −e1 yi ϕ yi′ e1zi
e
( 40×1)
Az approximációs mátrix i jelű csomóponthoz tartozó blokkja: hi e = Ai ( ξ, η, ζ ) 0 0
0
0
hi
0
0
hi
ti ζe2 xi 2 t hi i ζe2 yi 2 ti hi ζe2 zi 2 hi
ti ζe1xi 2 ti −hi ζe1 yi . 2 t − hi i ζe1zi 2 − hi
Megjegyzés: - A geometria leírása a vastagság mentén lineáris. - A w′ lehajlás (középfelületre ⊥ elmozdulás) a vastagság mentén állandó. ⇓
- A héjelem szigorúan nézve nem is izoparametrikus. - Az élek menti illesztéshez itt is fel kell venni ϕ z′ szögelfordulást ⇒ az u ′ és v′ mezők közelítése bővül. i
Tevékenység: Jegyezze meg az alakváltozási jellemzők, a feszültségek és az anyagjellemzők mátrixának alakját! ∂u ′ ∂x′ e ∂v′ ε x′ ε ∂y ′ y′ ∂u ′ ∂v′ e + . ε ( ξ,= η, ζ ) γ= x ′y ′ ∂y ′ ∂x′ γ x′z ′ ∂u ′ ∂w′ γ y′z ′ ∂z ′ + ∂x′ ∂v′ + ∂w′ ∂z ′ ∂y ′ e
Alakváltozási jellemzők:
e
Feszültségek:
σ x′ σ y′ e e e σ ( ξ, η, ζ )= τ x′y′ = C ε ( ξ, η, ζ ) . τ x′z ′ τ y′z ′
1 ν ν 1 1− ν E e 2 C = 1 − ν2 0 0 0
Az anyagjellemzők mátrixa izotróp anyagra:
u ′ ( ξ, η, ζ ) v′ ( ξ, η, ζ ) w′ ( ξ, η, ζ )
Probléma:
0 0 1− ν 2 0
0 0 1− ν 2
Ezek a mezők nem állnak rendelkezésre.
A héj középfelületéhez kötött x′y′z ′ KR:
középfelület
ζ
e3 P0 z
a2
a1
rk
η ξ
y
x
A középfelületen lévő tetszőleges P0 pont helyvektora:
rk = x ( ξ, η) ex + y ( ξ, η) ey + z ( ξ, η) ez .
A ξ, η koordináta-vonalak érintővektorai:
∂rk ∂x ∂y ∂z a1 = = ex + ey + ez =a1x ex + a1 y ey + a1z ez , ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂x ∂y ∂z ∂r a2 = k = ex + ey + ez =a2 x ex + a2 y ey + a2 z ez . ∂η ∂η ∂η ∂η
8 ∂h ξ, η ( ) 8 ∂hi ( ξ, η) 8 ∂hi ( ξ, η) a1 = ∑ i xi ex + ∑ yi ey + ∑ zi e z , ∂ξ ∂ξ ∂ξ i 1= i 1 =i 1 = 8 ∂h ξ, η ( ) 8 ∂hi ( ξ, η) 8 ∂hi ( ξ, η) a2 = ∑ i xi ex + ∑ yi ey + ∑ zi e z . ∂η ∂η ∂η i 1= i 1 =i 1 = a ×a A középfelület normális egységvektora: e3 = 1 2 a z ′ tengely irányát adja meg. a1 × a2
Az érintővektorok kiszámítása:
A középfelület érintősíkjába eső egységvektorok: e= 1 e2=
ex × e3 ha e3 az y tengellyel, e3 × e1
e= 1 e2=
ey × e3 ha e3 az x tengellyel. e3 × e1
Megjegyzés: - Az x′y′z ′ KR az elemtől független. - Az x′y′z ′ KR felvételére a ϕ x′ , ϕ y′ , és ϕ z ′ szögelfordulások összeillesztéséhez és alakváltozási jellemzők előállításához van szükség.
Az xyz és x′y′z ′ koordináta-rendszer közötti transzformáció: cos ( x′x ) cos ( y ′x ) cos ( z ′x ) cos ( x′y ) cos ( y ′y ) cos ( z ′y ) T = = cos ( x′z ) cos ( y ′z ) cos ( z ′z )
e1x e 1y e1z
e2 x e2 y e2 z
e3 x e3 y . e3 z
A transzformációs függvények tulajdonságai: - a hely függvénye: T = T ( x, y, z ) , - ortogonális: T −1 = T T .
∂u ∂u ∂u ex + ey + ez - az xyz KR-ben, ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u D′ = e1 + e2 + e3 - az x′y ′z ′ KR∂x′ ∂y ′ ∂z ′
D=
Az elmozdulásmező derivált tenzora:
ben,
∂u ∂u ∂u ˆ D= eξ + eη + eζ - a ξηζ KR-ben. ∂ξ ∂η ∂ζ
( )
T T T Kapcsolat a derivált tenzorok között: Dˆ = J DT ⇒ DT = J −1 Dˆ , D = Dˆ ( J −1 ) .
Az xyz - ξηζ leképezés J Jacobi mátrixa:
( )
T
T D′ = T D T
A feszültségek transzformációja:
σx τ yx τ zx
τ xy σy τ zy
( )
T ′ T T Dˆ J −1 T . D = σ x′ τ x′y′ τ x′z ′ τ xz T τ yz = T τ y′x′ σ y ′ τ y ′z ′ T . τ z ′x′ τ z ′y ′ σ z ′ σ z
′ TT D T, D =
⇒
A feszültségek transzformációjára valójában nincs is szükség, mert a középfelület KR-ében vett feszültségek többet mondanak, mint a vonatkoztatási x, y, z KR-beliek. Tevékenység: Olvassa el a bekezdést! Jegyezze meg a rétegelt héjelem jellemzőit! 6.6. Rétegelt kompozit héjelem A klasszikus rétegezési elmélet közelítő feltételezései: - Minden réteg vékony ( ti t ) . - A rétegek anyaga lineárisan rugalmas, homogén, anizotróp. - A rétegek ÁSF/membrán állapotban vannak. - A rétegek tökéletesen tapadnak egymáshoz, köztük tökéletes kétoldalú kapcsolat van (nem válhatnak el, nem csúszhatnak el egymáson). - Teljesül egy geometriai/kinematikai hipotézis: pl:. a Kirchoff-Love, vagy a ReissnerMindlin. Ez az elmélet közelítő és nem ellentmondásmentes. Tevékenység: Rajzolja le az ortotróp réteg mechanikai modelljét! Jegyezze meg a független anyagjellemzőket!
Egy ortotróp réteg mechanikai modellje: z′
e3 ≡ n
y′
ϑ e2
e1
tk ϑ
x′
e1e2 e3 - anyagi, domináns szálirányhoz kötött KR,
x′y ′z ′ - a héj középfelületéhez kötött KR.
Egy réteg anyagtörvénye az anyagi KR-ben: = σ1
E1 ν12 E1 ε1 + ε2 , 1 − ν12 ν 21 1 − ν12 ν 21
τ23 = G23 γ 23 , τ13 = G13 γ13 .
= σ2
ν 21 E2 E2 ε1 + ε2 , 1 − ν12 ν 21 1 − ν12 ν 21
τ12 = G12 γ12 ,
Csak a Reissner - Mindlin elméletnél.
Független anyagjellemzők: E1 , E2 , ν12 , G12 ,
G23 , G23 . Reissner - Mindlin ν12 ν 21 Az anyagállandók mátrixa szimmetrikus: = . E2 E1
Tevékenység: Jegyezze meg a rétegelt héjelem szilárdságtani jellemzőit! Megjegyzések: - Nem biztos, hogy a héj z ′ = ±
t felületén ébrednek a maximális feszültségek. Minden 2
rétegben a határfelületeken kell meghatározni a feszültségeket. - A szilárdságtani ellenőrzést is rétegenként kell elvégezni. Az izotróp anyagok tönkremenetelét jelző kritériumok (Mohr, HMH) itt nem használhatók. z′ z′
középfelület
ξ
σx
Tevékenység: Írja fel/tanulja meg a Tsai-Wu-féle tönkremeneteli kritériumot megadó összefüggést!
Tsai-Wu-féle tönkremeneteli kritérium: A réteg egy pontjában akkor lép fel tönkremenetel, ha az alábbi összefüggés fennáll: 2
σ12 σ22 1 1 τ12 1 1 − − + + σ1 + σ2 + + σ1H σ1N σ2 H σ2 N σ1H σ1N σ2 H σ2 N τ12 S 2
2
τ τ 1 1 + 23 + 13 − σ1σ 2 ≥ 1 σ1H σ1N σ2 H σ2 N τ23 S τ13 S σ1H , σ 2 H - húzószilárdság az 1 és 2 irányban, σ1N , σ 2 N - nyomószilárdság az 1 és 2 irányban, τ12 S , τ23 S , τ13 S - nyírószilárdságok.
Rétegelt héjelem ϕ z′ w
ϕ x′ u
v
ϕ y′
Tevékenység: Tanulja meg a rétegelt héjelem mechanikai modelljének a definícióját, ábráját! Írja fel/jegyezze meg az elem merevségi mátrixát! Mechanikai modell: a héj középfelületén felvett elem. Az elem merevségi mátrixának előállítása: T e e e B x y z C B x y z dA , , , , ) dz′ ) k ( ∫ ( ∫ k =1 ( tk ) Ae ( ) n
K =∑ e
n - a rétegek száma, e C k - az elem k jelű rétegének anyagállandó mátrixa, Ae - az elem középfelületének területe.
