A Feldmann ~ Sapiro - „elv” igazolása Bevezetés Már középiskolás koromban is érdekelt, hogy mi lehet az a borzasztó nehéz számítás, aminek csak a végeredményét közölték velünk, s amit Feldmann ~ Sapiro - „elv”-nek ( röviden: FSE ) neveztek. Aztán sokkal később [ 1 ] - ben találkoztam hasonló mondatokkal: „ Hosszas matematikai levezetés után a következő eredmény született …” Aztán még később megtudtam, hogy az „elv” alkalmazását megkönnyíteni szánt mozgatható skálákkal bíró számolóeszközből – tolótáblázatból – már csak néhány működő darab van, ezek is már szinte muzeális értékek. Szóval, ez kész rejtély…! Elérkezettnek látszott az idő: fel kellene már lebbenteni erről a fátylat! Hiszen a számítógépek korát éljük! Vagy nem? Az FSE kimondása és bizonyítása Az FSE a fűrészáru - kihozatali számítások kapcsán merül fel. Az a cél, hogy az adott átmérőjű fűrészrönk feldolgozása során a lehető legkisebb veszteséget, azaz a legnagyobb kihozatali % - ot érjük el. Utóbbi meghatározása:
K
v 100 ( % ), V
(1)
ahol K: a mennyiségi kihozatali %; v: a termelt fűrészáru mennyisége ( m3 ); V: a feldolgozott rönk mennyisége ( m3 ). Továbbá:
v = t h, V = T h,
(2) (3)
így ( 1), ( 2 ), ( 3 ) - mal:
K=
t 100 ( % ). T
(4)
Itt t: a termelt fűrészáru keresztmetszeti területe ( m2 ); T: a feldolgozott rönk - mennyiség keresztmetszeti területe ( m2 ); h: a rönk, ill. a belőle termelt fűrészáru hossza ( m ). ( 4 ) szerint a kihozatali % annál nagyobb, minél nagyobb az adott bütüre „rárajzolható” fűrészáru keresztmetszeti területe. A FSE azt állítja, hogy a „rárajzolást”, vagy másként mondva a fűrészpenge - elrendezést bizonyos módon végezve, Kmax ≈ 85 % érhető el. A munkát úgy szervezzük, hogy először tételként kimondjuk a FSE - t, majd bebizonyítjuk azt. Ennek során nem csak a szokásos középiskolai matematikát alkalmazzuk, de igyekszünk megmutatni, vagy ötletet adni, hogy hogyan lehetne a tételt, ill. egyes részeit magasabb matematika alkalmazása nélkül is belátni.
2
Tétel: A d átmérőjű rönkből kivágható fűrészáru - keresztmetszet legnagyobb hasznos területe – ld. az 1. ábrát is! – :
t max t1 4 t 2 0, 707 d 4 0,1 d 0, 43 d . 2
1. ábra A tétel igazolása két lépésben történik: 1.) Igazoljuk, hogy a d átmérőjű körbe írható legnagyobb területű téglalap egy 2 a = 0,707 d oldalú négyzet, amelyre: t1 a 0, 707 d . 2.) Igazoljuk, hogy a d átmérőjű körben a fennmaradó 4 darab körszeletbe írható legnagyobb területű téglalapok kereken 0,10 d x 0,43 d méretűek, így ezek területe: 2
t 2 0,1 d 0,43 d. Ha e két állítás igazságát beláttuk, akkor a tétel állítása már a szemlélet alapján adódik. 1.) Lépés Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! A téglalap területe:
T1 4 x y.
(5)
Pitagorász - tétellel:
y r2 x2 .
(6)
Most ( 5 ) és ( 6 ) - tal:
T1 (x) 4 x r 2 x 2 . 2. ábra
(7)
3
A T1(x) területfüggvény szélső értékének szükséges feltétele:
dT1 (x) 0. dx
(8)
Elvégezve a deriválást:
dT1 (x) 1 2 x 4 1 r 2 x 2 x 0; 2 2 dx 2 r x
(9)
Majd ( 9 ) - ből:
r2 2 x2 r x 2
2
0;
( 10 )
minthogy ( 10 ) nevezője ( 6 ) szerint y, ez pedig nem lehet végtelen nagy, ezért a számlálónak kell zérusnak lennie, amiből:
x*
r . 2
( 11 )
Most ( 6 ) és ( 11 ) - ből:
y*
r . 2
( 12 )
Az utóbbi két képlet szerint a keresett téglalap valójában négyzet. Ennek oldalai:
a b 2 x* 2 r 2
d 0,707 d, 2
a b 0, 707 d.
tehát ( 13 )
A négyzet területe:
t1 a 2 0,707 d . 2
( 14 )
Annak további igazolása, hogy a vizsgált szélsőérték maximum, és nem minimum, nem szükséges, mert a terület minimuma éppen zéró lenne. Ezzel a tétel igazolásának első lépését elvégeztük. 2. Lépés Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! Pitagorász - tétellel:
y * r 2 2 , innen r 2 2 y *. A kis téglalap területe:
( 15 )
4
3. ábra
T2 2 .
( 16 )
Most ( 15 ) és ( 16 ) - tal:
T2 2
r 2 2 y * ;
( 17 )
majd ( 12 ) és ( 17 ) - tel:
r T2 2 r 2 2 ; 2
most ( 18 ) - at
( 18 )
r 2 - tel osztva:
2 T2 2 ; 2 1 2 r r r 2
( 19 )
bevezetve a
T2 , u = r2 r
( 20 )
rövidítő jelöléseket, ( 19 ) és ( 20 ) szerint:
2 . (u) 2 u 1 u 2 2
( 21 )
A kis téglalap területe maximális, ha
d(u) 0. du Elvégezve a deriválást:
1 2 u d(u) 2 2 2 u 2 1 1 u 2 1 u 2 0; du 2 rendezve:
( 22 )
5
2 u2 1 u 0. 2 2 1 u 2
Innen:
1 u 2
2 1 u 2 u 2 0. 2
Rendezve:
1 2 u 2
2 1 u 2 . 2
Négyzetre emeléssel:
1 2 u 2
2
1 1 u 2 . 2
A bal oldalon elvégezve a kijelölt műveletet: 1 1 4 u 2 4 u 4 1 u 2 . 2 Rendezve: 2 8 u 2 8 u 4 1 u 2 , majd a
8 u 4 7 u 2 1 0 u 2 - ben másodfokú egyenletre jutunk. Megoldása gyökképlettel: 7 49 4 8 1 7 17 u 21,2 , 28 16 innen
u 21 0, 695194101 u1
1 0,833783006; r
majd
2 0, 424035256. r Itt az u - kat csak pozitív előjellel vettük, mert a 3. ábra szerint ezt használtuk a területszámításhoz. Most el kell döntenünk, hogy a két u - érték közül melyik adhatja a feladatunk megoldását. A 3. ábra szerint – a pozitív értelmezési tartományban maradva – u 2 2 0,179805898 u 2
0 x*, azaz 0 0, 707 r.
Eszerint u2 adja a megoldást:
u* 0,4240 * 0,4240 r.
( 23 )
Felfelé ( ! ) kerekítéssel:
* 0, 43 r. Most ( 15 ) és ( 23 ) - mal:
( 24 )
6
* 2 1 u *2 0,1985, r 2 innen
* 0, 20 r.
( 25 )
Most ( 16 ), ( 24 ), ( 25 ) - tel:
T2 * 2 * * 2 0, 43 r 0, 20 r d d 2 0, 43 0, 20 0, 43 d 0,10 d . 2 2
( 26 )
A T2 * t 2 jelöléssel, ( 26 ) szerint:
t 2 0, 43 d 0,10 d .
( 27 )
Ezzel a tétel 2. részét is igazoltuk. Eddig beláttuk, hogy a helyzet az 1. ábra szerinti, amelynek megfelelően a legnagyobb kifűrészelhető keresztmetszeti terület:
t max t1 4 t 2 ,
( 28 )
így ( 14 ), ( 27 ) és ( 28 ) képletekkel kapjuk, hogy
t max t1 4 t 2 0,707 d 4 0, 43 d 0,10 d , 2
( 29 )
a tétel állításának megfelelően. Ezzel a tételt teljesen igazoltuk.
A maximális kihozatali százalék értékének meghatározása A ( 4 ) meghatározás és ( 29 ) szerint, felhasználva a
T
2 d 4
( 30 Ö
összefüggést is:
0, 707 d 4 0, 43 d 0,10 d t max 100 85, 6%. T 0, 785 d 2 2
K max
Megjegyezzük, hogy ezt pontosabban számolva mintegy 85% - ot kapunk.
7
Azt is érdemes megemlíteni, hogy a FSE egy geometriai természetű szélsőérték számításon alapul, amely nincs tekintettel a felhasználók egyéb feltételekre alapozott igényeire. Ilyen egyéb feltétel lehet pl. az, hogy az ácsok által felhasznált építőfa / gerenda keresztmetszetének oldalarányára ajánlott érték az 5:7, stb. Ez azt is jelenti, hogy a FSE csak segédeszköz, nem pedig alapszabály! Az 1. ábra szerinti eredeti FSE kis átalakításával jutunk a módosított FSE - hez – ld.: 4. ábra.
4. ábra Látható, hogy a rárajzolt területek aránya a teljes kör területéhez mindkét esetben ugyanaz, vagyis az elméleti mennyiségi kihozatali százalékok megegyeznek.
Az FSE alkalmazásáról Az alábbi idézetet [ 2 ] - ben olvashatjuk. „ A Feldmann – Sapiro - féle vágáselmélet gyakorlati alkalmazása nem terjedt el a várt mértékben. Ennek oka, hogy a számítások túlságosan bonyolultak, hosszadalmasak, a termelés üteméhez képest lassúak. A számítás azonban tolótáblázatokkal gyorsítható.” A több mint három évtizede leírt fenti sorok ma már nyilván nem időszerűek, hiszen a fűrészipari technológiák is erősen számítógépesítettek, vagy egyre inkább azok lesznek. Hogy az „elv” a faiparban nem teljesen haszontalan, azt az is jelzi, hogy ma is része a faipari szakképzés tananyagának, főként a technikus - képzésben. Bár a faipari mérnökök, ill. üzemmérnökök számára a számítások sosem lehettek túl nehezek és hosszadalmasak, az tény, hogy a mai matematika érettségi tananyag ismeretében nem
8
várható el, hogy a fenti levezetést a tanuló minden részletében megértse. Megjegyzendő, hogy a [ 2 ] mű keletkezésének idején a szakközépiskolai matematika érettségi tananyaga tartalmazta az egyváltozós függvények szélsőérték számításának alapvető ismereteit – e sorok írója is tanulta azokat – , így aztán végképp nem világos, hogy az akkori technikusoknak vajon miért volt ez a levezetés és az eredmények alkalmazása túl nehéz. Talán mert nem publikálták? A levezetés – ha a tanórán sor kerülne rá – ma bizonyára másképpen történne. Ennek az lenne a lényege, hogy a szóban forgó területek maximumát más, a deriválás alkalmazását elkerülő módon állítanánk elő. Ennek egy - egy lehetséges módját alább részletezzük. A szélsőértékek elemi meghatározási módjáról Foglalkozzunk először a T1 terület - függvénnyel! Ennek szélsőérték - helyét a másodfokú egyenlet megoldásának ismereteire alapozva állítjuk elő – ld. pl.: [ 3 ]. Fejezzük ki x - et T1 - gyel! ( 7 ) átalakítását részletezve: T1 x r2 x2 ; 4 négyzetre emelve: 2 T1 x 2 r 2 x 2 ; 4 kifejtve: 2 T1 r 2 x 2 x 4 ; 4 rendezve:
T x r x 1 0. 4 2
4
2
2
Ez utóbbi egy másodfokú egyenlet, x2 - re. Megoldása a gyökképlettel:
T r r 4 1 4 x 21,2 . 2 2
2
4
(§)
Tudjuk, hogy a T1 terület lehető legnagyobb értékét keressük. Minthogy azonban a ( § ) egyenletben a négyzetgyök alatt nem állhat negatív szám, ezért T1 legfeljebb akkora lehet, hogy a gyök alatti mennyiség éppen 0 legyen:
T * r 4 1 0. 4 2
4
Most ( § ) és ( §§ ) képletekkel:
( §§ )
9
r2 r x * x* . 2 2 2
($)
Majd ( 6 ) és ( $ ) képletekkel:
r2 r2 r y* r x * r x*, 2 2 2 2
2
2
tehát
y*
r . 2
( $$)
A legnagyobb terület:
T1* T1 (x*, y*) 4 x *y* 4
r r 2 r 2. 2 2
( $$$ )
Ellenőrzés : ( §§ ) szerint
r2 2
T1 * T1 * T1* 2 r 2 , egyezésben a ( $$$ ) eredménnyel. 4 2
Látjuk, hogy deriválás nélkül is megkaptuk az alapvető ( $ ) és ( $$), ill. a ( 11 ) és ( 12 ) eredményeket. Térjünk át most a T2 , ill. a τ területfüggvény szélsőértékének keresésére! Sajnos, az előbbi fogást itt nem tudjuk alkalmazni, mert olyan hiányos negyedfokú egyenletet kapunk, amely már nem redukálható másodfokúra. Itt azt a megkerülő manővert választhatjuk, hogy a ( 21 ) képlettel leírt függvényt ábrázoljuk – számítógéppel ez könnyen és gyorsan mehet – , majd leolvassuk a legnagyobb függvényértékekhez ( a helyi szélső - értékekhez ) tartozó u1 és u2 értékeket, végül ezekkel a már leírt módon nyerjük az eredményeket.
Zárszó A fentiekben pótoltuk a magyar faipari szakképzés egy évtizedek óta fennálló hiányosságát: részletesen levezettük a Feldmann ~ Sapiro - elvként ismert, egy bizonyos értelemben optimális fűrészpenge - elrendezési esetet leíró összefüggéseket. Ennek során az érdeklődő Olvasó képet alkothatott a szükséges számítások „hosszadalmasságáról, bonyolultságáról”, valamint ötleteket kaphatott az eredmények elemi úton történő előállításához. Fontosnak tartjuk, hogy a szakmailag értékes mozzanatok – legyenek azok bármely kor és nép eredményei – fennmaradjanak, és a következő generációk tudását gyarapítsák, szemléletét formálják. Úgy is fogalmazhatunk, hogy kár lenne kiönteni a fürdővízzel együtt a gyereket is.
10
Irodalomjegyzék: [ 1 ] – Bálint László: Faipari technológia I. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1983. [ 2 ] – Szerk. Lugosi Armand: Faipari Kézikönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976. [ 3 ] – Johannes Gabler: Mathematik und Leben, Band I. VEB Fachbuchverlag Leipzig, 1966.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2008. október 28.
