Solusi PR Sebuah batang baja bulat mempunyai luas penampang 0,0003 m2 terpasang tetap pada ujung sebelah atas dan mendapat tiga gaya aksial seperti terlihat dalam gambar. Hitunglah defleksi yang terdapat di ujung bebas yang disebabkan oleh gaya-gaya tersebut. Ambil E = 200 GPa.
40kN
300 mm
10kN
600 mm
20kN
900 mm
1.
Jawab: DBB keseluruhan:
RV
Semua gaya-gaya yang diketahui memiliki arah vertical (ke arah atas maupun ke bawah). Sehingga gaya reaksi dinding yang perlu dihitung adalah gaya reaksi arah vertical. ΣF = 0 : Rv – 20 kN + 10 kN – 40 kN = 0 Rv = 50 kN
20 kN
10 kN
Untuk menghitung defleksi (pertambahan panjang) batang di ujung kita harus melihat bahwa defleksi ini terjadi akibat terjadinya tegangan di sepanjang batang. Pertambahan panjang batang dengan modulus elastisitas E pada luas penampang A sepanjang L akibat gaya P dihitung menurut rumus : δ=PL/AE
40 kN
Maka δ akan berbeda untuk P, L, A, atau E yang berbeda.
Karena ada beberapa gaya di atas maka gaya-gaya ini membuat batang terbagi-bagi karena factor-faktor di atas (P, L, A, dan E). Kita harus menghitung pertambahan panjang setiap bagian yang akan memberikan pertambahan panjang total (defleksi ujung bebas). Kita bisa telusuri gaya tarik/tekan yang dialami batang dengan merunut dari ujung atas.
Pada bagian ini, batang mengalami tarikan dengan P = Rv = Rv
50kN. Gaya 20kN belum berpengaruh pada bagian ini. Sehingga pertambahan panjang pada bagian ini dihitung
900 mm
sebagai berikut: Rv 2
δ 1 = P L / A E = 20 kN . 900 mm / (0,0003 m . 200 GPa) = 0,0003 m = 0,3 mm 20kN Bagian kedua terletak setelah gaya 20kN dan sebelum gaya
Rv=50kN
10 kN. Di sini gaya tarik sama dengan 30kN (=Rv-20kN). Akibat perbedaan gaya tarik dengan bagian sebelumnya maka
20kN
tegangan
di
bagian
ini
pun berbeda. Sehingga
pertambahan panjangnya: 2
δ 2 = P L / A E = 30 kN . 600 mm / (0,0003 m . 200 GPa)
600 mm
30kN
= 0,0003 m = 0,3 mm (sama dengan δ 1 )
30kN
10kN
Rv=50kN
Bagian terakhir adalah setelah gaya 10 kN sampai dengan ujung bebas. Pada bagian ini gaya tarik yang bekerja sama dengan 40kN (perhatikan statika atau keseimbangan gaya
20kN
totalnya). Sehingga pada bagian ini pertambahan panjangnya adalah:
300 mm
2
10kN
δ 3 = P L / A E = 40 kN . 300 mm / (0,0003 m . 200 GPa) = 0,0002 m = 0,2 mm
40kN
40kN
Sehingga defleksi ujung bebas adalah: δ = δ 1 + δ 2 + δ 3 = 0,3 mm + 0,3 mm + 0,2 mm = 0,8 mm Contoh lain:
300 mm
500 mm
40kN
Berapakah pengurangan panjang bagian yang besar apabila luas penampang yang kecil adalah 0,0003 m2 dan luas penampang bagian besar 0,0004 m2. Diketahui E = 200 GPa. Untuk kasus ini analisis akan dilakukan dalam 2 bagian karena terdapat perbedaan luas penampang
(luas
penampang
A
termasuk
dalam
faktor-faktor
yang
mempengaruhi
pertambahan/pengurangan panjang akibat beban tarik/tekan).
300 mm
500 mm
40kN
RH =40kN
Bagian 1: 300 mm
40kN
40kN
2
δ 1 = P L / A E = 40 kN . 300 mm / (0,0003 m . 200 GPa) = 0,0002 m = 0,2 mm Bagian 2: 500 mm
40kN
RH =40kN
2
δ 2 = P L / A E = 40 kN . 500 mm / (0,0004 m . 200 GPa)=0,00025 m = 0,25 mm Sehingga δ = δ 1 + δ 2 = 0,2 mm + 0,25 mm = 0,45 mm
2. Soal ini terkait dengan gambar berikut:
150 mm
250 mm
150 mm
250 mm
40π Nm 50 mm
30 mm
15π Nm
25π Nm
Diketahui G = 84.000 MN/m2. a. Berapakah tegangan geser maksimum? b. Berapa sudut puntiran di ujung poros? Jawab: Penggambaran torsi dapat menggunakan tanda panah ganda. Dalam soal ini torsi berlawanan arah jarum jam diberi tanda positif. Gunakan secara konsisten.
250 mm
150 mm
150 mm
250 mm
40π Nm
TE 50 mm
30 mm A
15π Nm
25π Nm
Torsi reaksi oleh tembok : ΣT = 0 :
-40 π + 15 π -25 π + TE = 0 TE = 50 π Nm
Seperti halnya di soal nomor 1, kita perlu merunut torsi yang bekerja pada setiap bagian: Bagian D-E:
TD-E=50 π Nm TE=50 π Nm
Bagian C-D : TC-D = 25 π Nm
25π Nm
TE=50 π Nm
Bagian B-C: Sama dengan C-D karena di sini torsi tidak berubah. Hanya bentuk poros yang berubah menjadi berlubang.
TB-C = 25 π Nm
25π Nm
TE=50 π Nm
Bagian A-B: TA-B= 40 π Nm
15π Nm
25π Nm TE=50 π Nm
Perhitungan momen inersia polar: Bagian C-D, dan D-E memiliki momen inersia polar yang sama IpC-D =IpD-E = π d4/32 = π (0,05)4 /32 = π 1,95.10-7 m4 Bagian A-B, dan B-C memiliki momen inersia polar yang sama IpA-B =IpB-C = π c4/32 - π b4/32= π (0,05)4 /32 - π (0,03)4 /32 = π 1,7.10-7 m4 a. Rumus tegangan geser maksimum: τmax = T r / Ip Karena poros ini memiliki diameter luar yang sama maka r = d/2 = 0,025m Tegangan geser setiap bagian: τA-B = TA-B r / IpA-B = 40 π Nm 0,025m / π 1,7.10-7 m4 = 5,8 MN/m2 = 5,8 MPa τB-C = TB-C r / IpB-C = 25 π Nm 0,025m / π 1,7.10-7 m4 = 3,6 MN/m2 = 3,6 MPa τC-D = TC-D r / IpC-D = 25 π Nm 0,025m / π 1,95.10-7 m4 = 3,2 MN/m2 = 3,2 MPa τD-E = TD-E r / IpD-E = 50 π Nm 0,025m / π 1,95.10-7 m4 = 6,4 MN/m2 = 6,4 MPa Sehingga tegangan geser maksimum adalah 6,4 MPa yang terjadi pada poros bagian DE b. Sudut puntiran di ujung poros adalah sudut puntiran total semua bagian. Untuk itu, perlu dihitung sudut puntiran setiap bagian: φ A-B = TA-B LA-B / IpA-B G= 40 π Nm 0,25m / (π 1,7.10-7 m4 . 84000 MN/m2) = 7.10-4 radian φ B-C = TB-C LB-C / IpB-C G= 25 π Nm 0,15m / (π 1,7.10-7 m4 . 84000 MN/m2) = 2,6.10-4 radian φ C-D = TC-D LC-D / IpC-D G= 25 π Nm 0,15m / (π 1,95.10-7 m4 . 84000 MN/m2) = 2,3.10-4 radian φ B-C = TB-C LB-C / IpB-C G= 50 π Nm 0,25m / (π 1,95.10-7 m4 . 84000 MN/m2) = 7,6.10-4 radian φ = φ A-B+ φ B-C+ φ C-D+ φ D-E = 7.10-4 + 2,6.10-4 + 2,3.10-4 + 7,6.10-4 = 1,95.10-3 radian Dengan demikian, ujung poros tersebut akan berputar sebesar posisi asalnya.
1,95.10-3 radian terhadap
