1
A csavart oszlop előállításáról Egy korábbi dolgozatunkban – melynek címe: A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről – felírtuk a szakirodalom ban – ld. pl.: [ 1 ]! – csavart oszlop néven ismert csavarfelület egyenleteit. Itt most ezeket alkalmazzuk. Az 1. ábrán a csavart oszlop - felület keletkezését szemléltetjük.
1. ábra – forrása:[ 2 ] Ennek mozgástani származtatása az alábbi: ~ az r sugarú körlapot a síkjára merőleges tengelyű csavarmozgásra késztetünk, ahol a körlap tengelye a csavartengelytől R távolságra van; ~ a csavar tengelye döfi a körlapot, azaz R < r. Az 1. ábrán nem egészen ez a helyzet, de szemléltetésre így alkalmasabb. Ez lesz a 2. áb rával is.
2. ábra
2
A 2. ábrán bordóval megrajzoltuk a csavarvonal OC = R sugarú kcsav alapkörét, és piros sal a felület r sugarú kalk alkotó - körét. Az alkotó - kör síkjának z - tengely menti helyét az ( 1 / 1 ), az Oxy síkban felvett vetületi helyzetét a ( 1 / 2 ) képlet adja meg: (1) ahol v a csavarmozgás egyenes vonalú egyenletes haladómozgás - összetevője sebességé nek nagysága, ω a csavarmozgás egyenletes körmozgás - összetevője szögsebességének nagysága, t az idő. A felület egyenletei – v. ö.: 2. ábra!– : (2) (3) (4) Az itteni szögparaméterek közül φ a csavarvonal, ψ pedig az alkotó - kör leírásához szük séges. ( 4 ) - ben h a menetmagasságot / menetemelkedést jelenti. Most a fenti egyenlete ken egy kicsit változtatunk, az ( 1 ) szerinti mozgásos származtatás miatt: (5) ( 6) (7) A ( 4 ) és ( 7 ) egyenletek kapcsolatához: a csavarvonalon haladó P pont vetülete T idő alatt megteszi a z tengely menti h távolságot és befutja az alapkörön a 2π szöget. Ennek megfelelően: (8) a hányadosuk: (9) így ( 4 ), ( 7 ) és ( 9 ) szerint: ( 10 ) ( 4 ) - gyel egyezően. A következőkben kísérletet teszünk annak leírására, hogy hogyan lehetne elkészíteni a pl. a 3. ábrán látható csavart faoszlopot, illetve annak középső részét, valamilyen forgácsoló megmunkálás során. Ekkor a munkadarab és / vagy a forgácsoló szerszám mozgatása ve zet célhoz. Több forgácsolási lehetőségünk is van, eszköz - adottságainktól függően.
3
1. mód: ekkor a 4. ábra oszlopa hossztengelyének z = z1 = konst. metszeti alkotó - köre mentén forgácsol a szerszám, majd ennek végeztével továbblép a z2 = z1 + Δz metszetre. Nyilvánvaló, hogy Δz elegendően kicsiny. 2. mód: ekkor a 4. ábra csavarvonalai mentén forgácsol a szerszám, úgy, hogy a z = 0 síkú alapkör egy ψ1 = konst. koordinátájú P0,1 pontjából egy α1 menetemelkedési szögben ha lad, majd ennek végeztével megismétli azt egy ψ2 = ψ1 + Δψ koordinátájú pontból indul va, α2 menetemelkedési szöggel. Nyilvánvaló, hogy Δψ elegendően kicsiny.
3. ábra – forrása: http://www.dioskonyv.hu/26-12/1.htm
4. ábra
E mozgása során a P pont a z csavartengely körül az xy síkra vett vetületében egy ρ sugarú körön, míg a térben egy α menetemelkedési szögű csavarvonalon mozog, ahol a fent emlí tett korábbi dolgozatunkban levezetett képletek szerint: ( 11 ) ( 12 ) Utóbbiak szerint a P pontok az alkotó - körön elfoglalt, a ψ szöggel megadott helyzetük függvényében különböző sugarú alapkörrel rendelkező és különböző menetemelkedési szögű csavarvonalakon haladnak, kivéve azon pontokat, melyekre a
4
egyenlőség fennáll. Ezt szemlélteti az 5. ábra elölnézeti képe is.
5. ábra – forrása: [ 2 ] A ( 11 ) képlet a 2. ábra alapján felírható koszinusz - tétellel adódik. A ( 12 ) képlet is rögtön felírható a 6. ábra alapján; utóbbi egy korábbi dolgozatunkból származik, melynek címe: A csavarvonalról és a csavarmenetről. Eszerint, ( 9 ) - cel is, az ottani ábrabeli r helyett az itteni ρ - val:
6. ábra
5
( 13 ) majd ( 11 ) és ( 13 ) - mal kapjuk ( 12 ) - t. Egy érdekes és szellemes, megvalósított megoldásra bukkantunk az interneten – [ 3 ]. Innen vettük a 8. ábra képeit.
8. ábra Most elmondjuk, hogy mit „vettünk le” a látott fotókról és a videóról. Ennek lényege, hogy egy felhevített dróttal vágják a műanyag habot. A vágó drót pl. vízszintes helyzetű, de tengelyvonala a térben mozoghat, önmagával párhuzamos helyzeteket felvéve ( transzláció ). A csavart oszlop kialakítása most már a következőképpen történhet. 1. Vesznek egy minimum méretű hab - hasábot; itt n > 0. 2. Az alapnégyzet középpontjában befogják a hab - hasábot a habesztergába. 3. A befogó szerkezetet megforgatják ω = áll. szögsebességgel, a drótot pedig eltolják ~ a hasáb keresztirányában – pl. itt az y - tengely mentén – függőlegesen, u ≠ áll. sebes séggel, ~ a hasáb hosszirányában – pl. itt a z - tengely mentén – v = áll. sebességgel. Ezek eredményeként a drót egy csavart oszlopot vág ki a hasábból. A mennyiségi összefüggések felírásához tekintsük a 9. ábrát is! A drót az E0 pontban kezdi meg „munkáját”, amikor t = 0, φ = 0. A befogószerkezet φ szöggel elforgatja a hab - hasábot, miközben a drót E pontja g x - és f y - tengelyirányú elmozdulásokat végez; a drót és vele az E pont a z - tengely mentén is halad.
6
Ezek kifejezései a 9. ábra szerint:
9. ábra ( 14 ) ( 15 ) ( 16 ) Ha a drót elegendő l hosszúságú – tehát l > 2 ( R + r ) – , akkor csak az f és z elmozdulá sokat kell a húr számára biztosítani, g - t nem. Most határozzuk meg a 8. ábrán látható kontúrgörbét, vagyis az f = f ( z ) függvényt! ( 16 ) - ból: ( 17 ) majd ( 17 ) - et ( 14 ) - be helyettesítve: ( 18 ) A ( 18 ) szinusz - függvény képét a 10. ábrán mutatjuk meg. Ezt a hullámvonalat figyel hetjük meg a 8. ábra hab - oszlopán is, ahol a z - tengely függőleges állású.
7
10. ábra Az y - tengely mentén végzett f mozgás u sebességére ( 18 ) - ból: ( 19 ) Megjegyzések: M1. A ( 2 ) és ( 3 ) egyenletek levezetésének egy egyszerű módja az alábbi. A 2. ábra alapján a P pont koordinátáira: (2/1) ( 3 / 1) A második tagokban trigonometriai azonosságot alkalmazva és rendezve adódik ( 2 ) és ( 3 ). Ezzel és ( 7 ) ~ ( 10 ) - zel a csavart oszlop - felület teljes egyenletrendszerét újra levezettük. M2. A 2. ábrával kapcsolatos ( 2 ), ( 3 ) egyenletek és a 9. ábrával kapcsolatos ( 14 ), ( 15 ) egyenletek úgy kapcsolhatók össze, hogy kimondjuk:az itt vizsgált felület nem csak csa varfelületként, hanem eltolási ( transzlációs ) felületként is származtatható. Ezt szemlélteti a 11. ábra, ahol érdemes megfigyelni a „fogantyú” mozgását.
11. ábra – forrása: [ 2 ]
8
Ekkor a Cx1y1 helyi koordináta - rendszer mindig párhuzamos marad Oxy - nal. Eszerint egy P felületi pont egyenletei így írhatók fel – 12. ábra – :
12. ábra ( 20 ) ( 21 ) ( 22 ) Most ( 22 ) - ből – a P indexet már elhagyva – : ( 23 ) majd ( 23 ) - at ( 20 ) és ( 21 ) - be helyettesítve: ( 24 ) ( 25 ) Ezután vegyük a 9. ábra szerinti E érintési pontokat! Ezekre ψ = π / 2. Ezt az utóbbi két egyenletbe téve: ( 26 ) ( 27 )
9
Minthogy az E pontok f függőleges elmozdulására: ( 28 ) így ( 27 ) és ( 28 ) - cal: ( 29 ) egyezésben ( 18 ) - cal. Mivel az E pontok g vízszintes elmozdulására: ( 30 ) így ( 26 ) és ( 30 ) - cal: ( 31 ) egyezésben a ( 15 ) és ( 17 ) - ből adódó eredménnyel. M3. Úgy látjuk, hogy a csavart oszlop elnevezést nem mindenki értelmezi ugyanúgy. Például [ 4 ] - ben a ( 20 ) és ( 21 ) - ben R = r - rel előálló speciális esetet nevezik így. Ezt a felületet ábrázolja két nézeti képével a 13. ábra. Azt is tapasztaltuk, hogy a gyakor lati életben szinte mindenféle csavarfelületű oszlopot is csavart oszlopnak nevez(het)nek. Az elnevezésbeli következetlenségek kiküszöbölése oktatási feladat lenne; igaz, ehhez foglalkozni kellene a csavarfelületek származtatásával, már a középiskolában is. Ez ma még nem igazán valósul meg, tapasztalataink szerint.
13. ábra – forrása: [ 4 ]
10
M4. Érdemes szót ejteni a jobb - és a balmenetű csavarvonal / csavarfelület keletkezésé nek különbségeiről is. Ehhez tekintsük a 14. ábrát is!
14. ábra – forrása: http://cms.sulinet.hu/get/d/9d18f4c9-ca74-41bf-b729af76b005e562/1/5/b/Large/f005_csavarmenet%20keletkezése.jpg Itt azt tudatosíthatjuk, hogy ha a forgácsoló szerszám egy jobbos csavarvonalat „rajzol” a munkadarabra, akkor a v > 0 előtolási sebességhez ω < 0 szögsebesség tartozik. Ugyanis a v haladási sebesség – mint a 14. ábrán szemléltetett egyszerű hagyományos esztergálásnál is – a szerszámé, az ω szögsebesség pedig a munkadarabé. Ha minden mozgást a szerszám végezne, akkor vsz > 0, ωsz > 0 esetén rajzolódna ki jobbos csavarvonal az álló munkadarabon. Ha minden mozgást a munkadarab végezne, és a szerszám állna, akkor vm < 0, ωm < 0 esetén rajzolódna ki jobbos csavarvonal a munkadarabon, egy térben rögzített + z tengelyt véve csavartengelynek. A most mondottak magyarázata a mozgás relatív mivoltában rejlik. M5. Tudjuk, hogy számos egyéb módja is van / lehet a csavart oszlopok, tengelyek elő állításának. Ezekkel itt most nem foglalkozunk. M6. Úgy tűnik, hogy a számítógépes technológiák elterjedése egyre több újfajta megmun kálási módot és azok gyakorlati alkalmazását hozza elő; egy ilyen a 8. ábra szerinti hab esztergálás is, mellyel pl. dekorációs feladatok oldhatók meg gyorsan és pontosan.
Források: [ 1 ] – Strommer Gyula: Ábrázoló geometria 2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974., 536. o.
11
[ 2 ] – Karl Lichtensteiner: Műszaki ábrázoló geometria, 2. kötet B+V Lap - és Könyvkiadó Kft., Budapest, 1994., 90. o. [ 3 ] – http://cncwork.org/habeszterga.html [ 4 ] – Gino Loria: Vorlesungen über Darstellende Geometrie, 2.Teil B. G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1913., 288 ~ 291. o.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2016. augusztus 21.
