Kombinatorika – konzultační příklady
1)
Z města A do města B vedou 2 cesty. Z města B do města C vedou 3 cesty. Kolika způsoby lze dojít z města A do města C?
2)
Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, v jejich ž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou.
3)
Kolik dvojtónových souzvuku (intervalů) můžeme vytvořit z tónů C, E, G?
4)
Kolika způsoby lze na šachovnici 8 x 8 vybrat dvě různobarevná políčka tak, aby obě neležela v jedné řadě ani v jednom sloupci.
5)
Vytvořte všechny dvojjazyčné slovníky z AJ, NJ, FJ, RJ.
6)
7)
8)
9)
Z místa A do místa B vedou čtyři turistické cesty, z místa B do místa C tři. Určete počet způsobů, jimiž lze vybrat trasu. a) z A do C a zpět; b) z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest není žádná použita dvakrát; c) z A do C a zpět tak,ž e z těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvakrát. V košíku je 12 jablek a 10 hrušek. Petr si má z něho vybrat buď jablko, anebo hrušku tak, aby Věra, která si po něm vybere jedno jablko a jednu hrušku, měla co největší možnost výběru. Určete, co si má Petr vybrat. Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu není nula a ze zbývajících devíti číslic se v něm každá vyskytuje nejvýše jednou. Kolik z těchto čísel je větších než 9 000? Kolik je menších než 3 000? Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, jejichž dekadický zápis je složen z číslic 1, 2, 3, 4, 5 (každá z nich se opakuje nejvýše jednou), která jsou dělitelná: a) pěti, b) dvěma, c) čtyřmi.
10) Určete, kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den pro třídu, v níž se vyučuje dvanácti předmětům a každému nejvýše jednu vyučovací hodinu denně, má-li se skládat ze šesti vyučovacích hodin. V kolika z nich se vyskytuje daný předmět a v kolika z nich je tento předmět zařazen na 1. vyučovací hodinu? 11) O telefonním čísle svého spolužáka si Vašek zapamatoval jen to, že je šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel přichází v úvahu.
12) Výbor sportovního klubu tvoří šest mužů a čtyři ženy. Určete: a) kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře (tedy čtyřčlenné zastupitelstvo různých funkcí); b) čtyřčlenné zastupitelstvo tak, aby na křesle předsedy seděl muž, na křesle místopředsedy žena, nebo obráceně; c) čtyřčlenné zastupitelstvo tak, aby právě jedna z funkcí byla obsazena ženou. 13) Určete, kolika způsoby se může v šestimístné lavici posadit 6 hochů, jestliže a) dva konkrétní chtějí sedět vedle sebe; b) dva konkrétní chtějí sedět vedle sebe a třetí hoch chce sedět na kraji. 14) Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4, 7. Kolik z těchto číslic je a) dělitelných šesti, b) větších než 70 134? 15) Určete, kolikrát lze přemístit slova ve verši „Sám svobody kdo hoden, svobodu zná vážiti každou“ tak, aby „nepromíchala“ slova věty hlavní a vedlejší. 16) Určete počet všech šestimístných a) telefonních; b) přirozených čísel, v jejichž zápisu je každá z číslic: 0, 2, 4, 6, 8, 9. 17) Je dán čtverec ABCD a na každé jeho straně n n≥3 vnitřních bodů. Určete počet všech trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech. 18) Herní systém hokejového turnaje pro deset mužstev spočívá v tom, že v každé ze dvou skupin po pěti družstvech sehraje každé s každým jeden zápas; první dvě mužstva z obou skupin postoupí do finále, kde opět každé s každým sehraje jeden zápas, avšak s výjimkou družstev, která již spolu hrála ve skupině. Určete celkový počet zápasů ve skupině. 19) Petr má sedm knih, o které má zájem Ivana, Ivana má deset knih, o které se zajímá Petr. Určete, kolika způsoby si Petr může vyměnit dvě své knihy za dvě knihy Ivaniny. 20) Na černá políčka šachovnice 8 x 8 máme rozmístit 12 bílých a 12 černých pěšců. Určete kolika způsoby to lze provést. 21) Určete počet prvků tak, aby: a) počet 4členných kombinací z nich vytvořených byl dvacetkrát větší než počet 2členných kombinací; b) při zvětšení počtu prvků o jeden se počet 3členných kombinací zvětší o 21.
22) V množině všech přirozených čísel řešte rovnici: n n−1 =4 a) 2 2 3 n n2 n4 = n 88 b) 3 3 3 2
33) Jméno a příjmení každého obyvatele městečka s 1500 obyvateli může začínat jedním ze 32 písmen. Dokažte, že aspoň dva obyvatelé městečka mají stejné iniciály.
23) Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže a) v každé řadě záleží na pořadí; b) na pořadí v řadách nezáleží.
34) Kufřík má heslový zámek, který se otevře, když na každém z pěti kotoučů nastavíme správnou číslici; těchto číslic je na každém kotouči devět. Určete největší možný počet pokusů, které je nutno provést, chceme-li kufřík otevřít, jestliže jsme zapomněli heslo.
24) Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8 x 8 postavit pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
35) Určete počet šesticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je číslo sudé.
25) Na maturitním večírku 8. A je 15 hochů a 12 děvčat. Určete, kolika způsoby z nich lze vybrat 4čtyři taneční páry. 26) Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž dekadickém zápisu jsou pouze cifry 3, 5, 7, 9, každá nejvýše jednou. 27) Určete, kolika způsoby se kolem kulatého stolu může posadit pět mužů a pět žen tak, aby žádné dvě ženy neseděly vedle sebe. [Návod: Očíslujeme-li jednotlivá místa, mohou muži sedět buď na místech 1, 3, 5, 7, 9 nebo 2, 4, 6, 8, 10.] 28) V kupé železničního vagónu jsou proti sobě dvě lavice po pěti místech. Z deseti cestujících si čtyři přejí sedět ve směru jízdy, tři proti směru a zbývajícím třem to je lhostejné. Určete, kolika způsoby se mohou rozsadit. 29) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel s různými číslicemi, jejichž dekadický zápis je utvořen z číslic 0, 1, 2, 3, 5, 7. a) Kolik těchto čísel končí jedničkou? b) Kolik těchto čísel je lichých?
Permutace s opakováním
36) Určete počet způsobů, jimiž lze umístit všechny bílé šachové figurky (král, dáma, 2 věže, 2 jezdci, 2 střelci, 8 pěšáků) a) na dvě pevně zvolené řady šachovnice 8 x 8; b) na libovolné dvě řady šachovnice 8 x 8. 37) Určete počet všech deseticiferných přirozených čísel, jejich ciferný součet je roven třem. Kolik z nich je sudých? 38) Určete, kolik čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic čísla 238 832. (V těchto číslech se každá číslice vyskytuje nejvýše tolikrát, kolikrát je v čísle 238 832.) 39) Určete, kolika způsoby je možno přemístit písmena slova BATERKA tak, aby se souhlásky a samohlásky střídaly. [Návod: Na začátku a na konci musí být souhláska.] 40) Jistě jste poznali, že v anagramech AABIIKKMNOORT resp. MINIKABAROTOK je zašifrováno slovo KOMBINATORIKA. Určete počet všech anagramů, jež lze ze slova KOMBINATORIKA utvořit.
Variace s opakováním Kombinace s opakováním
30) Určete, kolik značek Morseovy abecedy lze utvořit sestavením teček a čárek do skupin o jednom až čtyřech prvcích.
41) Určete počet kvádrů, jejichž velikost hran jsou přirozená čísla nejvýše rovná deseti. Kolik je v tomto počtu krychlí?
31) Určete počet všech čtyřciferných čísel dělitelných čtyřmi, v nichž se vyskytují pouze cifry 1, 2, 3, 4, 5. [Návod: Aby za daných podmínek bylo číslo dělitelné čtyřmi, musí byt poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi.]
42) V novinovém stánku je ke koupi deset druhů pohledů, přičemž každý druh je k dispozici v padesáti exemplářích. Určete, kolika způsoby lze zakoupit a) 15 pohledů; b) 51 pohledů; c) 8 různých pohledů.
32) Určete počet všech přirozených čísel menších než milión, která lze zapsat (dekadicky) pouze použitím číslic 5, 8.
43) Určete počet všech trojúhelníků , z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má velikost vyjádřenou jedním z čísel 4, 5, 6, 7.
44) Ze všech bílých šachových figurek bez krále a dámy (tj. z osmi pěšců, dvou věží, dvou jezdců a dvou střelců) vybereme a) trojici b) dvojici. Jaký je počet možnosti pro jejich složení? 45) V sadě 32 karet je každá z následujících karet čtyřikrát: sedmička, osmička, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso; karty téže jsou přitom rozlišeny těmito „barvami“: červená, zelená, žaludy, kule. Určete, kolika způsoby je možno vybrat čtyři karty jestliže se a) rozlišují pouze „barvy“ jednotlivých karet; b) rozlišují pouze hodnoty jednotlivých karet. 46) Kolik různých neuspořádaných trojic mohou dát počty ok na jednotlivých kostkách při vrhu třemi kostkami? 47) Klenotník vybírá do prstenu tři drahokamy; k dispozici má tři rubíny, dva smaragdy a pět safírů. Kolika způsoby může tento výběr provést, považujeme-li kameny téhož druhu za stejné? Úlohy k opakování
48) Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova Mississippi;kolik z nich začíná písmenem M? 49) Určete počet všech trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má jednu z velikostí daných čísly 4, 5, 6, 7, 8, 9. 50) V samoobsluze mají čtyři druhy kávy, každý po padesáti gramech. Určete, kolika způsoby lze koupit 250 gramů kávy, jestliže a) balíčku každého druhu mají dostatečný počet; b) od dvou druhů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích. 51) Určete, kolika způsoby lze z padesátihaléřových a korunových mincí zaplatit částku a) 6 Kč, b) 2 Kč, jsou-li oba druhy mincí k dispozici v dostatečném množství. [Návod: každou částku lze zašifrovat pomocí písmen k (korunové mince) a p (dvě padesátihaléřové), např. čtyřem korunovým a čtyřem padesátihaléřovým mincím odpovídá zápis kkkkpp.] 52) Určete, kolika způsoby si mohou tři osoby rozdělit osm stejná jablka a šest stejných hrušek. [Návod: Každé rozdělení osmi jablek mezi tři osoby A, B, C lze zašifrovat pomocí neuspořádané osmice z těchto písmen; např. AAABBBBC značí příděl tří jablek osobě A, čtyř jablek osobě B a jednoho jablka osobě C.] 53) Určete, kolika způsoby lze všechny figurky šachové hry (tj. od každé barvy 1 krále, 1 dámu, 2 věže, 2 jezdce, 2 střelce a 8 pěšáků) rozmístit
na 64 políček šachovnice. [Návod: Myslete si, že na 64 polí rozmisťujete kromě 32 figurek ještě 32 stejných předmětů, třeba mincí.] 54) Určete, kolika způsoby lze na černá políčka šachovnice 8 x 8 rozmístit 12 bílých (nerozlišitelných) a 12 černých (nerozlišitelných) kostek tak, toto rozmístění bylo symetrické podle středu šachovnice. [Návod:Na černá políčka zvolené poloviny šachovnice rozmístíme 6 bílých a 6 černých kostek a další 4 nerozlišitelné předměty, čímž je postavení zbylých černých a bílých kostek určeno.] 55) Určete, kolik čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic čísla 238 831. (V těchto číslech se každá číslice vyskytuje nejvýše tolikrát, kolikrát je v čísle 238 831.)
Kombinatorika – konzultační příklady
1)
Z města A do města B vedou 2 cesty. Z města B do města C vedou 3 cesty. Kolika způsoby lze dojít z města A do města C?
2)
Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, v jejich ž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou.
3)
Kolik dvojtónových souzvuku (intervalů) můžeme vytvořit z tónů C, E, G?
4)
Kolika způsoby lze na šachovnici 8 x 8 vybrat dvě různobarevná políčka tak, aby obě neležela v jedné řadě ani v jednom sloupci.
5)
Vytvořte všechny dvojjazyčné slovníky z AJ, NJ, FJ, RJ.
6)
Z místa A do místa B vedou čtyři turistické cesty, z místa B do místa C tři. Určete počet způsobů, jimiž lze vybrat trasu. a) z A do C a zpět; b) z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest není žádná použita dvakrát; c) z A do C a zpět tak,ž e z těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvakrát.
7)
V košíku je 12 jablek a 10 hrušek. Petr si má z něho vybrat buď jablko, anebo hrušku tak, aby Věra, která si po něm vybere jedno jablko a jednu hrušku, měla co největší možnost výběru. Určete, co si má Petr vybrat.
8)
Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu není nula a ze zbývajících devíti číslic se v něm každá vyskytuje nejvýše jednou. Kolik z těchto čísel je větších než 9 000? Kolik je menších než 3 000?
9)
Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, jejichž dekadický zápis je složen z číslic 1, 2, 3, 4, 5 (každá z nich se opakuje nejvýše jednou), která jsou dělitelná: a) pěti, b) dvěma, c) čtyřmi.
10) Určete, kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den pro třídu, v níž se vyučuje dvanácti předmětům a každému nejvýše jednu vyučovací hodinu denně, má-li se skládat ze šesti vyučovacích hodin. V kolika z nich se vyskytuje daný předmět a v kolika z nich je tento předmět zařazen na 1. vyučovací hodinu? 11) O telefonním čísle svého spolužáka si Vašek zapamatoval jen to, že je šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel přichází v úvahu. 12) Výbor sportovního klubu tvoří šest mužů a čtyři ženy. Určete: a) kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře (tedy čtyřčlenné zastupitelstvo různých funkcí); b) čtyřčlenné zastupitelstvo tak, aby na křesle předsedy seděl muž, na křesle místopředsedy žena, nebo obráceně; c) čtyřčlenné zastupitelstvo tak, aby právě jedna z funkcí byla obsazena ženou. 13) Určete, kolika způsoby se může v šestimístné lavici posadit 6 hochů, jestliže a) dva konkrétní chtějí sedět vedle sebe; b) dva konkrétní chtějí sedět vedle sebe a třetí hoch chce sedět na kraji. 14) Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4, 7. Kolik z těchto číslic je a) dělitelných šesti, b) větších než 70 134? 15) Určete, kolikrát lze přemístit slova ve verši „Sám svobody kdo hoden, svobodu zná vážiti každou“ tak, aby „nepromíchala“ slova věty hlavní a vedlejší. 16) Určete počet všech šestimístných a) telefonních; b) přirozených čísel, v jejichž zápisu je každá z číslic: 0, 2, 4, 6, 8, 9.
17) Je dán čtverec ABCD a na každé jeho straně n n≥3 vnitřních bodů. Určete počet všech trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech. 18) Herní systém hokejového turnaje pro deset mužstev spočívá v tom, že v každé ze dvou skupin po pěti družstvech sehraje každé s každým jeden zápas; první dvě mužstva z obou skupin postoupí do finále, kde opět každé s každým sehraje jeden zápas, avšak s výjimkou družstev, která již spolu hrála ve skupině. Určete celkový počet zápasů ve skupině. 19) Petr má sedm knih, o které má zájem Ivana, Ivana má deset knih, o které se zajímá Petr. Určete, kolika způsoby si Petr může vyměnit dvě své knihy za dvě knihy Ivaniny. 20) Na černá políčka šachovnice 8 x 8 máme rozmístit 12 bílých a 12 černých pěšců. Určete kolika způsoby to lze provést. 21) Určete počet prvků tak, aby: a) počet 4členných kombinací z nich vytvořených byl dvacetkrát větší než počet 2členných kombinací; b) při zvětšení počtu prvků o jeden se počet 3členných kombinací zvětší o 21. 22) V množině všech přirozených čísel řešte rovnici: n n−1 =4 a) 2 2 3 n n2 n4 = n 88 b) 3 3 3 2
23) Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže a) v každé řadě záleží na pořadí; b) na pořadí v řadách nezáleží. 24) Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8 x 8 postavit pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích. 25) Na maturitním večírku 8. A je 15 hochů a 12 děvčat. Určete, kolika způsoby z nich lze vybrat 4čtyři taneční páry. 26) Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž dekadickém zápisu jsou pouze cifry 3, 5, 7, 9, každá nejvýše jednou. 27) Určete, kolika způsoby se kolem kulatého stolu může posadit pět mužů a pět žen tak, aby žádné dvě ženy neseděly vedle sebe. [Návod: Očíslujeme-li jednotlivá místa, mohou muži sedět buď na místech 1, 3, 5, 7, 9 nebo 2, 4, 6, 8, 10.] 28) V kupé železničního vagónu jsou proti sobě dvě lavice po pěti místech. Z deseti cestujících si čtyři přejí sedět ve směru jízdy, tři proti směru a zbývajícím třem to je lhostejné. Určete, kolika způsoby se mohou rozsadit. 29) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel s různými číslicemi, jejichž dekadický zápis je utvořen z číslic 0, 1, 2, 3, 5, 7. a) Kolik těchto čísel končí jedničkou? b) Kolik těchto čísel je lichých? Variace s opakováním
30) Určete, kolik značek Morseovy abecedy lze utvořit sestavením teček a čárek do skupin o jednom až čtyřech prvcích. 31) Určete počet všech čtyřciferných čísel dělitelných čtyřmi, v nichž se vyskytují pouze cifry 1, 2, 3, 4, 5. [Návod: Aby za daných podmínek bylo číslo dělitelné čtyřmi, musí byt poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi.] 32) Určete počet všech přirozených čísel menších než milión, která lze zapsat (dekadicky) pouze použitím číslic 5, 8.
33) Jméno a příjmení každého obyvatele městečka s 1500 obyvateli může začínat jedním ze 32 písmen. Dokažte, že aspoň dva obyvatelé městečka mají stejné iniciály. 34) Kufřík má heslový zámek, který se otevře, když na každém z pěti kotoučů nastavíme správnou číslici; těchto číslic je na každém kotouči devět. Určete největší možný počet pokusů, které je nutno provést, chceme-li kufřík otevřít, jestliže jsme zapomněli heslo. 35) Určete počet šesticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je číslo sudé. Permutace s opakováním
36) Určete počet způsobů, jimiž lze umístit všechny bílé šachové figurky (král, dáma, 2 věže, 2 jezdci, 2 střelci, 8 pěšáků) a) na dvě pevně zvolené řady šachovnice 8 x 8; b) na libovolné dvě řady šachovnice 8 x 8. 37) Určete počet všech deseticiferných přirozených čísel, jejich ciferný součet je roven třem. Kolik z nich je sudých? 38) Určete, kolik čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic čísla 238 832. (V těchto číslech se každá číslice vyskytuje nejvýše tolikrát, kolikrát je v čísle 238 832.) 39) Určete, kolika způsoby je možno přemístit písmena slova BATERKA tak, aby se souhlásky a samohlásky střídaly. [Návod: Na začátku a na konci musí být souhláska.] 40) Jistě jste poznali, že v anagramech AABIIKKMNOORT resp. MINIKABAROTOK je zašifrováno slovo KOMBINATORIKA. Určete počet všech anagramů, jež lze ze slova KOMBINATORIKA utvořit. Kombinace s opakováním
41) Určete počet kvádrů, jejichž velikost hran jsou přirozená čísla nejvýše rovná deseti. Kolik je v tomto počtu krychlí? 42) V novinovém stánku je ke koupi deset druhů pohledů, přičemž každý druh je k dispozici v padesáti exemplářích. Určete, kolika způsoby lze zakoupit a) 15 pohledů; b) 51 pohledů; c) 8 různých pohledů. 43) Určete počet všech trojúhelníků , z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má velikost vyjádřenou jedním z čísel 4, 5, 6, 7. 44) Ze všech bílých šachových figurek bez krále a dámy (tj. z osmi pěšců, dvou věží, dvou jezdců a dvou střelců) vybereme a) trojici b) dvojici. Jaký je počet možnosti pro jejich složení? 45) V sadě 32 karet je každá z následujících karet čtyřikrát: sedmička, osmička, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso; karty téže jsou přitom rozlišeny těmito „barvami“: červená, zelená, žaludy, kule. Určete, kolika způsoby je možno vybrat čtyři karty jestliže se a) rozlišují pouze „barvy“ jednotlivých karet; b) rozlišují pouze hodnoty jednotlivých karet. 46) Kolik různých neuspořádaných trojic mohou dát počty ok na jednotlivých kostkách při vrhu třemi kostkami? 47) Klenotník vybírá do prstenu tři drahokamy; k dispozici má tři rubíny, dva smaragdy a pět safírů. Kolika způsoby může tento výběr provést, považujeme-li kameny téhož druhu za stejné? Úlohy k opakování
48) Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova Mississippi;kolik z nich začíná písmenem M? 49) Určete počet všech trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má jednu z velikostí daných čísly 4, 5, 6, 7, 8, 9.
50) V samoobsluze mají čtyři druhy kávy, každý po padesáti gramech. Určete, kolika způsoby lze koupit 250 gramů kávy, jestliže a) balíčku každého druhu mají dostatečný počet; b) od dvou druhů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích. 51) Určete, kolika způsoby lze z padesátihaléřových a korunových mincí zaplatit částku a) 6 Kč, b) 2 Kč, jsouli oba druhy mincí k dispozici v dostatečném množství. [Návod: každou částku lze zašifrovat pomocí písmen k (korunové mince) a p (dvě padesátihaléřové), např. čtyřem korunovým a čtyřem padesátihaléřovým mincím odpovídá zápis kkkkpp.] 52) Určete, kolika způsoby si mohou tři osoby rozdělit osm stejná jablka a šest stejných hrušek. [Návod: Každé rozdělení osmi jablek mezi tři osoby A, B, C lze zašifrovat pomocí neuspořádané osmice z těchto písmen; např. AAABBBBC značí příděl tří jablek osobě A, čtyř jablek osobě B a jednoho jablka osobě C.] 53) Určete, kolika způsoby lze všechny figurky šachové hry (tj. od každé barvy 1 krále, 1 dámu, 2 věže, 2 jezdce, 2 střelce a 8 pěšáků) rozmístit na 64 políček šachovnice. [Návod: Myslete si, že na 64 polí rozmisťujete kromě 32 figurek ještě 32 stejných předmětů, třeba mincí.] 54) Určete, kolika způsoby lze na černá políčka šachovnice 8 x 8 rozmístit 12 bílých (nerozlišitelných) a 12 černých (nerozlišitelných) kostek tak, toto rozmístění bylo symetrické podle středu šachovnice. [Návod:Na černá políčka zvolené poloviny šachovnice rozmístíme 6 bílých a 6 černých kostek a další 4 nerozlišitelné předměty, čímž je postavení zbylých černých a bílých kostek určeno.] 55) Určete, kolik čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic čísla 238 831. (V těchto číslech se každá číslice vyskytuje nejvýše tolikrát, kolikrát je v čísle 238 831.)
