8
REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC
8
1
Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic
Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními jevy je dobře známo, že zdeformujeme-li v nějakém směru otvor v difrakčním stínítku, zdeformuje se difrakční obrazec nepřímo úměrně (viz obr. 1). Kvantitativně tuto skutečnost formuluje věta, která udává vztah mezi Fourierovými transformacemi funkcí, jež lze ztotožnit lineární regulární transformací proměnných. ~ za řádkovou matici. Nechť čtvercová Budeme vektor ~x považovat za sloupcovou matici a vektor X matice M = kmrs k charakterizuje regulární (tj. det M 6= 0) lineární transformaci souřadnic ~x0 = M(~x − ~x0 ).
(1)
Pak inverzní transformaci charakterizuje inverzní matice
M
(−1) sr −1
M = mrs =
det M , kde Msr je algebraický doplněk prvku msr v determinantu det M a inverzní transformace má tvar ~x = M−1 ~x0 + ~x0 .
(2)
Obrázek 1: Fraunhoferova difrakce na kruhovém a elipsovitém otvoru. Elipsovitý otvor vznikl roztažením kruhového otvoru ve vodorovném směru. V důsledku toho je difrakční obrazec ve vodorovném směru v témž poměru zkrácen.
8.1
Věta
Nechť funkce f (~x) a f0 (~x) spolu souvisejí vztahem f (~x) = f0 M(~x − ~x0 ) .
(1)
Pak jejich Fourierovy transformace spolu souvisejí vztahem ~ = det M−1 exp −ik X ~ · ~x0 F0 XM ~ −1 . F (X) Důkaz je založen na pouhé substituci ve Fourierově integrálu:
(2)
2
8
~ F (X)
N
∞Z
Z
···
= A
= AN
= AN
Z
−∞ ∞Z
··· Z
−∞ ∞Z
···
REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC
~ · ~x dN ~x = f (~x) exp −ik X
~ · ~x dN ~x = f0 M(~x − ~x0 ) exp −ik X h i dN ~x0 ~ · M−1 ~x0 + ~x0 f0 (~x0 ) exp −ik X = |det M|
−∞
Z
∞Z
= |det M
−1
~ · ~x0 AN | exp −ik X
= |det M
−1
~ · ~x0 F0 XM ~ −1 . | exp −ik X
···
~ −1 · ~x0 dN ~x0 = f0 (~x0 ) exp −ik XM
−∞
~ −1 ~x0 ) = (XM ~ −1 )~x0 . Při důkazu jsme využili toho, že det M = det 1M−1 a že X(M Speciální tvar věty (2), kdy translace ~x0 = ~0 a matice M je diagonální maticí, se v literatuře nazývá větou o podobnosti (viz např. [2], str. 244, [3], str. 395). Diagonální matice charakterizuje transformaci kartézské soustavy souřadnic na obecnou ortogonální soustavu souřadnic s různou délkou jednotek podél os, tedy také např. čtverce na obdélník, krychle na kvádr atd., pokud souřadnicové osy jsou rovnoběžné se stranami čtverce, hranami krychle atd. Lineární regulární transformace 8(1) zahrnuje jako zvláštní případy translaci (když M = I = M−1 0 a ~x 6= ~0), rotaci, resp. zrcadlení (když M je ortogonální maticí, tj. M−1 = MT , a ~x0 = ~0) i lineární deformaci (když M je obecnou regulární maticí). O translaci pojednáme v následující kapitole, o lineární deformaci pojednává celý zbytek této kapitoly. Zejména upozorňujeme na odst. 8.3, v němž použijeme věty (2) k dalšímu důkazu toho, že algebraicky definovaná reciproká mřížka je Fourierovou transformací původní mřížky. Nyní si všimneme pouze rotace resp. zrcadlení a využijeme dokázané věty k formulaci vlastnosti Fourierovy transformace, kterou většinou považujeme za samozřejmost. Protože v případě rotace resp. zrcadlení je matice M ortogonální, tj. M−1 = MT , tj. det M = ±1 (viz např. [1], odst. 96, 97), vyplývá ~ = F0 (XM ~ T ) = F0 (MX ~ T )T . Otočení resp. zrz věty (2) a z předpokladu f (~x) = f0 (M~x), že F (X) cadlení funkce f i její Fourierovy transformace F charakterizuje tedy táž matice M. Pootočí-li se tedy nějak objekt, pootočí se stejným způsobem i Fourierova transformace objektu. Kromě toho, má-li objekt vlastnost symetrie související s rotací, tj. je-li f (~x) = f (M~x), má tutéž vlastnost i Fourierova transfor ~ = F (MX ~ T )T . Totéž lze říci i o zrcadlení. Má-li f (~x) zrcadlovou symetrii podle nějakého mace F (X) ~ tuto zrcadlovou symetrii. objektu (přímky v E2 , roviny v E3 ), má také její Fourierova transformace F (X) Vyjádřeno formulí: Je − li M−1 = MT ,
pak
f (~x) = f (M~x)
⇐⇒
~ = F (MX ~ T )T . F (X)
(3)
Ještě jinak řečeno, funkce f (~x) je invariantní vůči nějaké ortogonální transformaci souřadnic, tehdy a jen ~ Poněvadž středovou tehdy, když je vůči této transformaci invariantní její Fourierova transformace F (X). symetrii f (~x) = f (−~x) lze považovat za speciální případ symetrie vzhledem k ortogonální transformaci, lze větu 6.1(1) považovat za speciální případ tvrzení (3). V případě, že funkce f (~x) je reálná a má zrcadlovou symetrii, lze na základě věty 6.2(1) říci, že její ~ je reálná v bodech přímky (v E2 ) resp. roviny (v E3 ) kolmé k přímce resp. Fourierova transformace F (X) rovině zrcadlení a procházející počátkem. To je dobré mít na paměti při kontrole výpočtů Fourierovy transformace reálných funkcí, které nemají středovou symetrii, ale mají zrcadlovou symetrii (např. charakteristické funkce pravidelných (2l + 1)–úhelníků nebo charakteristická funkce pravidelného čtyřstěnu).
8.2
Příklad. Fourierova transformace charakteristické funkce rovnoběžníka
Vypočítáme Fourierovu transformaci charakteristické funkce rovnoběžníku na obr. 2. Využijeme k tomu známé Fourierovy transformace charakteristické funkce čtverce o jednotkové straně (viz 1.3(18,19)): f0 (~x) = rect (x1 ) rect (x2 ),
~ = A2 sin(kX1 /2) sin(kX2 /2) . F0 (X) kX1 /2 kX2 /2
(1)
8
REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC
3
x2 x2 W2 (- _12 , _12 ) w2
V2 (v21 , v22 =v12 )
W1 ( _12 , _12 )
v1
v2
w1 x1
0 W3
V1 (v11 ,v12)
x1
0
W4
V3
V4
f0 ( x ) = rect x1 rect x2
f( x )=f0 ( M x )
Obrázek 2: Příklad funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací proměnných: jednotkový čtverec a obecný rovnoběžník. Protože rovnoběžník i čtverec mají střed v počátku, je ~x0 = ~0 a platí f (~x) = f0 (M~x).
(2)
−1
Ke stanovení čtyř prvků matice M resp. M využijeme vztahů mezi průvodiči ~v1 a w ~ 1 a ~v2 a w ~2 odpovídajících si vrcholů obou obrazců (srov. obr. 2). Považujeme-li vektory ~v1 , ~v2 , w ~ 1, w ~ 2 za sloupcové matice, platí w ~1 w ~2
= M~v1 , = M~v2 ,
~v1 ~v2
resp.
= M−1 w ~ 1, = M−1 w ~ 2.
(3)
(−1)
Vypočteme prvky mik inverzní matice M−1 , tj. použijeme druhé z obou možností (3), neboť je to počtářsky snazší. V souřadnicích představuje tato druhá možnost dvě soustavy dvou rovnic o dvou (−1) neznámých mik : 2v11 2v21
(−1)
(−1)
= m11 + m12 , (−1) (−1) = −m11 + m12 ,
2v22
2v12 = 2v12
(−1)
(−1)
= m21 + m22 , (−1) (−1) = −m21 + m22 .
Odtud (−1)
= v11 − v21 , = v11 + v21 ,
m11 (−1) m12
(−1)
m21 (−1) m22
= 0, = 2v12 ,
takže M−1
v11 − v21
=
0
v11 + v21
,
2v12
det M−1 =
M=
1 v11 −v21
0
+v21
− 2v12v11 (v11 −v21 )
,
1
2v12
1 = 2v12 (v11 − v21 ). det M
(Všimněme si, že det M−1 je roven ploše našeho rovnoběžníka.) Charakteristická funkce rovnoběžníka má tedy tvar x1 v11 + v21 x2 f (~x) = f0 (M~x) = rect − x2 rect v11 − v21 2v12 (v11 − v21 ) 2v12 a její Fourierova transformace je
(4)
(5)
(6)
4
8
~ F (X)
REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC
~ −1 ) = = |det M−1 |F0 (XM sin k X1 (v11 − v21 ) sin k2 [X1 (v11 + v21 ) + X2 2v12 ] . = A2 2v12 (v11 − v21 ) k 2 k 2 X1 (v11 − v21 ) 2 [X1 (v11 + v21 ) + X2 2v12 ]
(7)
Obrázek 3: Fraunhoferovy difrakční obrazce na čtvercovém a kosodélníkovém otvoru. Rozložení intenzity ~ 2 a |F (X)| ~ 2 , kde F0 (X) ~ je výraz (1) a F (X) ~ je výraz (7). Představujeme-li charakterizují funkce |F0 (X)| si, že rovnoběžník vznikl deformací čtverce, je pro jeho difrakční obrazec příznačné, že ramena difrakčního obrazce zůstávají kolmá ke stranám rovnoběžníka (tzv. Abbeova věta diskutovaná v odst. 11.3). Z obr. 3 je vidět, že ramena Fraunhoferova difrakčního obrazce čtverce i rovnoběžníku jsou kolmá na přímkové okraje difrakčního stínítka. Jde o konkrétní ilustraci tzv. Abbeovy věty, o které pojednáme v kap. 13. Zde pouze uvedeme, co o tom vypovídají vztahy (6) a (7). Položíme-li argumenty funkcí rect ( ) v (6) rovny ±1/2, dostaneme rovnice přímek, na nichž leží strany rovnoběžníka. Směrnice těchto přímek jsou k1 =
2v12 , v11 + v21
k2 = 0.
Položíme-li ve výrazu (7) argumenty sinů rovny nule, dostaneme rovnice přímek odpovídajících ramenům difrakčního obrazce. Jejich směrnice jsou k10 = ∞,
k20 = −
v11 + v21 . 2v12
Z toho je vidět (k1 = −1/k20 ), že ramena difrakčního obrazce jsou kolmá ke stranám rovnoběžníka. (To je vhodné mít na paměti, potřebujeme-li správně navzájem orientovat snímek difrakčního obrazce a difrakčního stínítka.)
8.3
Příklad: Jiný výpočet Fourierovy transformace obecné mřížkové funkce
V odst. 4.3 jsme ukázali, že Fourierova transformace mřížkové funkce je úměrná mřížkové funkci reciproké mřížky. Důkaz tohoto tvrzení byl poměrně jednoduchý v případě mřížkové funkce jedné proměnné (odst. 4.3.1), ale dosti komplikovaný v případě vícerozměrných mřížek. Věta 8.1 umožňuje jiný důkaz, jenž někomu může připadat jednodušší. Proto jej zde uvedeme. Podáme přitom další příklad toho, jak stanovit matici transformace M. Za funkci f0 (~x) zvolíme mřížkovou funkci kubické mřížky s jednotkovým mřížkovým parametrem:
8
REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC
f0 (~x) =
X
5
δ(~x − ~n).
(1)
~ n∈inf
Zde opět symbol ~n ∈ inf značí, že složky n1 , n2 , . . . , nN multiindexu ~n nabývají všech celočíselných hodnot. Jediné, co převezmeme z odst. 4.3 je fakt, že mřížková funkce jedné proměnné f0 (x) =
∞ X
δ(x − n)
(2)
∞ 2π 1 X δ X− h , = B k
(3)
n=−∞
má Fourierovu transformaci ve tvaru (
∞ X
F0 (X) = FT
) δ(x − n)
n=−∞
h=−∞
jak plyne z 4.3(5) pro a = 1. Využijeme toho k tomu, že vypočteme Fourierovu transformaci mřížkové funkce (1) N proměnných. Každou Diracovu distribuci N proměnných v (1) lze podle A.5(2) faktorizovat do tvaru součinu N Diracových distribucí jedné proměnné, takže X
f0 (~x) =
N X Y
δ(~x − ~n) =
δ(xr − nr ).
(4)
~ n∈inf r=1
~ n∈inf
Záměnou pořadí sčítání a násobení lze N –násobnou nekonečnou řadu mřížkové funkce (1) napsat ve tvaru X
δ(~x − ~n) =
N Y
∞ X
δ(xr − nr ),
(5)
r=1 nr =−∞
~ n∈inf
tj. jako součin N mřížkových funkcí jedné proměnné. Také jádro Fourierovy transformace lze faktorizovat, N Y ~ · ~x = exp −ikXr xr , exp −ik X r=1
takže i Fourierovu transformaci mřížkové funkce (1) lze vyjádřit ve faktorizovaném tvaru ) ( ∞ N Y X ~ = δ(xr − nr ) , F0 (X) FT r=1
(6)
nr =−∞
tj. jako součin Fourierových transformací mřížkových funkcí jedné proměnné. S použitím (3) pak je ~ = F0 (X)
N 1 Y B N r=1
∞ X hr =−∞
2π δ Xr − hr . k
(7)
~ výsledný tvar Opětná záměna pořadí sčítání a násobení dává Fourierově transformaci F0 (X) ~ = 1 F0 (X) BN
∞ N X Y 2π 1 X 2π ~ ~ δ Xr − hr = N δ X− h , k B k r=1
hr =−∞
(8)
~ h∈inf
(To je ovšem ve shodě s 4.3(17) pro ar = a + r = 1, r = 1, 2, . . . , N , VU = a1 a2 · · · aN = 1.) Jak víme z 4.1(1) má obecná (tj. neortogonální) N –rozměrná mřížka mřížkovou funkci ve tvaru X f (~x) = δ ~x − n1~a1 − n2~a2 − · · · − nN ~aN . (9) ~ n ∈ inf
Její Fourierovu transformaci vypočteme pomocí věty 8.1 a výsledku (8). Je však třeba najít matici M deformace 8.1(1). Abychom získali zkušenost s úpravami matematických výrazů, stanovíme nejprve tuto matici pro případ mřížkové funkce jednorozměrné mřížky s parametrem a
6
8
REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC
f (x) =
∞ X
δ(x − na).
(10)
n=−∞
Takovou mřížku lze považovat za deformovanou mřížku s jednotkovým parametrem (2). Ve větě 8.1 matice M charakterizující deformaci násobí proměnnou ~x. Musíme tedy funkci (10) upravit do tomu odpovídajícího tvaru: f (x) =
∞ X
δ (x − na) =
n=−∞
∞ x x 1 X x 1 . −n = δ −n = f0 δ a a |a| n=−∞ a |a| a n=−∞ ∞ X
V případě obecné jednorozměrné mřížky je maticí M veličina transformací mřížkové funkce (10) je
1 a
(11)
= a+ . Věta 8.1 pak říká, že Fourierovou
∞ ∞ 2π 1 X 2π h 1 X δ aX − h = δ a X− = F (X) = F0 (Xa) = B k B k a h=−∞ h=−∞ ∞ X 1 2π h = δ X− B|a| k a
(12)
h=−∞
ve shodě s 4.3(5). Podobně lze obecnou N –rozměrnou mřížku považovat za deformovanou ortogonální mřížku s jednotkovým parametrem (1) a matici M příslušné deformace nalezneme obdobným způsobem jako v jednorozměrném případě. Považujeme–li — stejně jako v odst. 4.1 — multiindex ~n(n1 , n2 , . . . , nN ) za sloupcovou matici a vytvoříme–li čtvercovou matici A, jejíž řádky jsou souřadnice ars bazálních vektorů ~ar v ortonormální bázi, můžeme provést následující úpravu mřížkové funkce (9): f (~x)
=
X
δ ~x − n1~a1 − n2~a2 − · · · − nN ~aN
=
~ n ∈ inf
=
X
δ x1 − n1 a11 − n2 a21 − · · · − nN aN 1 , x2 − n1 a12 − n2 a22 − · · · − nN aN 2 , . . .
~ n ∈ inf
. . . , xN − n1 a1N − n2 a2N − · · · − nN aN N = X X = δ ~x − AT ~n = δ AT (AT )−1 ~x − ~n = ~ n ∈ inf
~ n ∈ inf
X = det A−1 δ (AT )−1 ~x − ~n = det A−1 f0 (AT )−1 ~x .
(13)
~ n ∈ inf
−1 Úlohu matice M tedy hraje matice AT = A+ , jejíž řádky tvoří souřadnice a + a+ st bazálních vektorů ~ s algebraicky definované reciproké mřížky (srov. rovnice 4.2(1), 4.2(4)). Podle věty 8.1 a s použitím (8) má Fourierova transformace mřížkové funkce (9) tvar (multiindex ~h(h1 , h2 , . . . , hN ) považujeme stejně jako v odst. 4.3 za řádkovou matici a absolutní hodnota vnějšího součinu má podle 4.1(6) význam objemu elementární buňky, tj. |det A| = VU ) ~ F (X)
2π ~ 1 X T T ~ ~ δ XA − h = = F0 (XA ) = N B k ~ h ∈ inf 1 X 2π ~ T −1 ~ = h A AT = δ X− BN k ~ h ∈ inf −1 X 1 1 ~ − 2π ~h AT = δ X = B N |det A| k ~ h ∈ inf X 1 1 2π ~ + ~ = hA = δ X− B N |det A| k ~ h ∈ inf 1 1 X ~ − 2π h1~a + + h2~a + + · · · + hN ~a + = δ X , 1 2 N B N VU k ~ h ∈ inf
(14)
8
REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC
7
x2
x2
W1 (12 (a11+ a21), 12 (a12+ a22))
V( , ) _ _ 1 1 1 2 2
1 2
1 2 2
i
i
1 2 1
0
x1
a2 1 2
0
a1
x1
(b)
(a)
Obrázek 4: „Jednotkovýÿ čtverec (a) a obecný rovnoběžník (b) specifikovaný průvodiči středů stran. což je výraz 4.3(17). Podali jsme tedy druhý a nezávislý důkaz toho, že Fourierova transformace mřížkové funkce je úměrná (s koeficientem B1N V1U ) mřížkové funkci reciproké mřížky s reciprokou konstantou K = 2π k .
8.4
Fourierova transformace charakteristické funkce obecného N -rozměrného rovnoběžnostěnu
Vypočítáme nyní Fourierovu transformaci charakteristické funkce N -rozměrného rovnoběžnostěnu. Může to být užitečné pro formulaci vzorkovacího teorému v EN , když je nezbytné vzorkovat v bodech, netvořících ortogonální síť. Nebudeme postupovat jako v odst. 8.2, kde jsme v deformaci čtverce na rovnoběžník využívali vrcholů. Nyní provedeme tuto deformaci pomocí středů stěn (na obr. 4 středů stran). Dovolí −1 nám to použít transformační matici M = AT odvozenou v předcházejícím odstavci (srov. 8.3(13)). Obecný N –rozměrný rovnoběžnostěn lze získat lineární deformací N –rozměrné krychle o jednotkové hraně. Zvolíme tedy za funkci f0 (~x) ve větě 8.1 charakteristickou funkci takové krychle se středem v počátku O souřadnic a orientované tak, že osy souřadnic xj procházejí středy stěn (viz obr. 4(a)) f0 (~x) =
N Y
rect (xj ).
(1)
j=1
Její Fourierovou transformací je součin (srov. odst. 1.3.5) ~ = AN F0 (X)
N sin 1 kX Y j 2 j=1
1 2 kXj
.
(2)
Označme ± 12 ~aj průvodiče středů stěn obecného rovnoběžnostěnu (obr. 4(b)). Vektory ~aj , j = 1, 2, . . . , N , tvoří bázi v EN a je zřejmé, že N –rozměrná krychle přejde v uvažovaný rovnoběžnostěn touž lineární regulární transformací jako kartézská báze ~ıj , j = 1, 2, . . . , N v bázi ~aj , j = 1, 2, . . . , N . Vytvořme tedy — stejným způsobem jako v předchozích odstavcích — ze souřadnic vektorů ~aj ma−1 tici A, vypočtěme matici AT = A+ (jež je maticí deformace M) a vytvořme reciproké vektory ~a + j . Charakteristickou funkcí f (~x) obecného rovnoběžnostěnu je tedy podle 8.3(13) a (1) součin N Y f (~x) = f0 A+ ~x = f0 (~a + x, ~a + x, . . . , ~a + · ~ x ) = rect ~a + x . 1 ·~ 2 ·~ j ·~ N
(3)
j=1
(Je to zřejmé i z názoru, neboť rovnice ~a + x = ± 12 jsou rovnicemi rovin, v nichž leží stěny rovnoběžj ·~ nostěnu.) Podle věty 8.1 je Fourierovou transformací charakteristické funkce (3) součin
8
8
~ = |det A| F0 X ~A F (X)
T
REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC
~ · ~a1 , X ~ · ~a2 , . . . , X ~ · ~aN = AN VU = AN VU F0 X
N sin Y j=1
1 ~ 2 kX
1 ~ 2 kX
· ~aj
· ~aj
.
(4)
~ 2 nejpozvolněji klesá ve směrech X ~ · ~aj = 0, tj. Je z něj zřejmé, že s rostoucím X kvadrát modulu |F (X)| ve směrech kolmých k průvodičům středů stěn, a tím ke stěnám. Speciálně (N = 2), rovnoběžník znázorněný na obr. 4(b) s vektory ~a1 (a11 , a12 ), ~a2 (a21 , a22 ), má charakteristickou funkci −a12 x1 + a11 x2 a22 x1 − a21 x2 rect . f (x1 , x2 ) = rect a11 a22 − a12 a21 a11 a22 − a12 a21 (Za vektory ~a + j v (3) jsme dosadili podle 4.2(5), (6).) Její Fourierova transformace je sin 21 k(X1 a11 + X2 a12 ) sin 21 k(X1 a21 + X2 a22 ) . F (X1 , X2 ) = A2 |a11 a22 − a12 a21 | 1 1 2 k(X1 a11 + X2 a12 ) 2 k(X1 a21 + X2 a22 )
(5)
(Výsledek 8.2(7) lze získat z (5) jako speciální případ, položíme-li v (5) ~a1 = ~v1 − ~v2 , ~a2 = ~v1 + ~v2 a v12 = v22 .)
Reference [1] Bydžovský B.: Úvod do teorie determinantů a matic a jejich užití. Jednota československých matematiků a fyziků, Praha 1947. [2] Bracewell H. N.: The Fourier Transform and its Applications. 2nd ed. McGraw-Hill Book Company, New York 1986. [3] Goodman J. W.: Introduction to Fourier Optics. 6nd ed. McGraw-Hill, New York 1996.
