Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
22. tétel:
Szögfüggvények értelmezése a valós számhalmazon, ezek tulajdonságai, kapcsolatok ugyanazon szög szögfüggvényei között. Definíció derékszögő háromszögekre (hegyesszögek szögfüggvényei): Egy hegyesszög szinusza egy derékszögő háromszögben a szöggel a szemközti befogó és az átfogó hányadosa. sin α = c Egy hegyesszög koszinusza egy derékszögő háromszögben a szög melletti befogó és b az átfogó hányadosa. Azaz az ábra jelöléseit használva: cos α = c Egy hegyesszög tangense egy derékszögő háromszögben a szöggel szemközti és a a szög melletti befogó hányadosa. Azaz az ábra jelöléseit használva: tgα = b Egy hegyesszög kotangense egy derékszögő háromszögben a szög melletti befogó és a b szöggel szemközti befogó hányadosa. Az ábra jelöléseit használva: ctgα = a A definíció nem függ a háromszög választásától, mert az ilyen háromszögek hasonlók (két szög megegyezik), az oldalak aránya állandó.
Szögfüggvények tulajdonságai: (hegyesszögek esetén) 1. 0 < sin α < 1 2. 0 < cos α < 1 3. 0 < tgα a 1 cos α sin α c a c a 6. ctgα = 5. = = ⋅ = = tgα = tgα sin α cos α b c b b c 7. Visszakeresés: sin α = 0,6 számológép: α = sin −1 0,6 α = arcsin 0,6
mellékmegjegyzés: sin(α 2 ) ≠ (sin α) 2
8. Négyzetes összefüggés: 2
2
a 2 + b2 c2 a b Pitagorasz − tétel sin α + cos α = + = = → =1 c2 c2 c c 2
2
9. Pótszöges összefüggés: sin β = sin(90° − α) =
tgβ = tg (90° − α) =
4. 0 < ctg α
α + β = 90° ⇒ β = 90° − α b = cos α c
b 1 = ctgα = a tgα
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek 30
A koordinátasíkon az α szöggel elforgatott i egységvektor koordinátái: v ( cos α ; sin α ) Továbbá: sin α π tgα = cos α ≠ 0 ⇒ α ≠ + kπ cos α 2 cos α ctgα = sin α ≠ 0 ⇒ α ≠ 0 + lπ sin α
45
o
60
sin
1 2
2 2
3 2
cos
3 2
2 2
1 2
Nevezetes szögek szögfüggvényei:
Szögfüggvények általános definíciója:
o
tg
3 3
1
ctg
3
1
k∈Z l∈ Z
A koszinusz és szinusz értékét leolvashatjuk az egységkörbıl.
A tangens és kotangens értéke is leolvasható: Az egységkör (1;0) pontjába húzott érintı és az α szöggel elforgatott i egységvektor egyenesének metszéspontja (1; tgα ) . Az egységkör (0;1) pontjába húzott érintı és az α szöggel elforgatott i egységvektor egyenesének metszéspontja (ctgα ;1) .
3 3 3
o
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Ha az α szöggel elforgatott egységvektor a koordináta-rendszer az elsıtıl különbözı negyedében van, akkor az ott lévı szögek szögfüggvényértékeit visszavezethetjük a hegyesszögek szögfüggvényértékeire: 90°< α< 180° sin α = sin 180 o − α
(
(
)
cos α = − cos 180 o − α
(
tgα = − tg 180 o − α
(
)
ctgα = − ctg 180 o − α
)
)
180°< α< 270° sin α = − sin α − 180 o
( ) cos α = − cos (α − 180 o ) tgα = tg (α − 180 o ) ctgα = ctg (α − 180 o )
Elıjelek a síknegyedekben: szinusz koszinusz
360°-nál nagyobb szögek esetén visszavezetjük: pl: sin(k ⋅ 360° + m) = sin m k∈Z
270°< α< 360° sin α = − sin 360 o − α
(
(
cos α = cos 360 o − α
(
tgα = − tg 360 o − α
(
)
)
ctgα = − ctg 360 o − α
tangens
0° ≤ m < 360°
Negatív szögek esetén: 1. sin(−30°) = sin(−30° + 360°) = sin 330° 2. sin(−α) = − sin α páratlan függvény cos(−α ) = cos α páros függvény Ilyen módon a trigonometrikus függvények periodikusak lesznek: cos α; sin α periódusa 2π , tgα; ctgα periódusa π
kotangens
)
)
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Trigonometrikus függvények: Definiálhatjuk a trigonometrikus függvényeket.
f ( x ) = sin x Df = R R f = [− 1;1] periodikus, periódusa: 2π páratlan: sin (− x ) = − sin x zérushelye: sin x = 0 ⇔ x = 2kπ , k ∈ Z folytonos monotonitás: π π szig. mon. nı. x ∈ − + 2kπ ; + 2kπ 2 2 3π π k∈Z szig mon. csökk. x ∈ + 2kπ ; + 2kπ 2 2 szélsıértékei: π értéke: y = 1 globális maximum: helye: x = + 2kπ , k ∈ Z 2 π globális minimum: helye: x = − + 2kπ , k ∈ Z értéke: y = −1 2 deriváltja és primitívfüggvénye: (sin x )′ = cos x sin x dx = − cos x + c
∫
g( x ) = cos x Dg = R R g = [− 1;1] periodikus, periódusa: 2π páros: cos(− x ) = cos x zérushelye: cos x = 0 ⇔ x =
π + kπ , k ∈ Z 2
folytonos monotonitás: szig. mon. nı. x ∈ (− π + 2kπ ; 2kπ) k∈Z szig mon. csökk. x ∈ (2kπ ; π + 2kπ) szélsıértékei: globális maximum: helye: x = 2kπ , k ∈ Z globális minimum: helye: x = π + 2kπ , k ∈ Z deriváltja és primitívfüggvénye: (cos x )′ = − sin x cos x dx = sin x + c
∫
értéke: y = 1 értéke: y = −1
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
h ( x ) = tg x
π D h = R \ + kπ ; k ∈ Z 2 Rh = R periodikus, periódusa: π páratlan: tg (− x ) = − tg x zérushelye: tgx = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ Z folytonos az értelmezési tartományán monotonitás:
π π x ∈ − + kπ ; + kπ k ∈ Z 2 2 szélsıértékei nincsenek (nem korlátos sem alulról, sem felülrıl) szig. mon. nı. periódusonként
deriváltja és primitívfüggvénye: (tg x )′ = 12 ∫ tg x dx = ln cos x + c cos x
i( x ) = ctg x Di = R \ { kπ ; k ∈ Z} Ri = R periodikus, periódusa: π páratlan: ctg (− x ) = −ctg x π + kπ , k ∈ Z 2 folytonos az értelmezési tartományán monotonitás: szig. mon. csökk. periódusonként x ∈ (kπ ; π + kπ ) k ∈ Z szélsıértékei nincsenek (nem korlátos sem alulról, sem felülrıl)
zérushelye: ctgx = 0 ⇔ x =
deriváltja és primitívfüggvénye: (ctg x )′ = 12 ∫ ctg x dx = ln sin x + c sin x
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Addíciós tételek:
1. cos(α − β) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β Vegyünk fel két, α illetve β szöggel elforgatott i egységvektort. A keletkezett két vektor koordinátái: a (cos α ; sin α ) és b (cos β ; sin β) , közbezárt szögük α − β . Ekkor a két vektor skaláris szorzatát kétféleképp kiszámolva: a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos(α − β ) = cos(α − β) mivel a és b egységvektorok a ⋅ b = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β koordinátánként szorozva Tehát: cos(α − β) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β 2. cos(α + β) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β 1. miatt
cos(α + β ) = cos(α − (− β)) = cos α ⋅ cos(− β) + sin α ⋅ sin (− β)
cos fv ps ; sin fv ptl
=
= cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β 3. sin (α + β) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β pótszöges öf π π 1. miatt sin (α + β) = cos − (α + β) = cos − α − β = 2 2 pótszöges öf π π = cos − α ⋅ cos β + sin − α ⋅ sin β = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β 2 2
4. sin (α − β) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β 3. miatt
sin (α − β) = sin (α + (− β)) = sin α ⋅ cos(− β) + cos α ⋅ sin (− β)
cos fv ps ; sin fv ptl
=
= sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β
5. tg (α ± β) =
tgα ± tgβ 1 m tgα ⋅ tgβ
α; β; α ± β ≠
π + k ⋅π k∈Z 2
sin (α ± β ) az eddigiek miatt sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β tg (α ± β ) = = = cos(α ± β ) cos α ⋅ cos β m sin α ⋅ sin β sin α sin β ± tgα ± tgβ cos α cos β = = sin α sin β 1 m tgα ⋅ tgβ 1m ⋅ cos α cos β def
mivel cos α ⋅ cos β ≠ 0 , ezért egyszerősítsük a törtet ezzel
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
6. ctg(α ± β ) =
ctgα ⋅ ctgβ m 1 ctgβ ± ctgα
α; β; α ± β ≠ k ⋅ π k ∈ Z
cos(α ± β ) az eddigiek miatt ctg(α ± β ) = = sin (α ± β ) cos α cos β m1 ⋅ sin α sin β = = cos β cos α ± sin β sin α def
mivel sin α ⋅ sin β ≠ 0 , ezért egyszerősítsük a törtet ezzel
cos α ⋅ cos β m sin α ⋅ sin β = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β ctgα ⋅ ctgβ m 1 ctgβ ± ctgα
Kétszeres szögek szögfüggvényei: 2. miatt
7.
cos(2α ) = cos (α + α ) = cos α ⋅ cos α − sin α ⋅ sin α = cos 2 α − sin 2 α = = 1 − 2 ⋅ sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 a négyzetes összefüggésbıl 3. miatt
8.
sin (2α ) = sin (α + α ) = sin α ⋅ cos α − cos α ⋅ sin α = 2 ⋅ sin α ⋅ cos α 5. miatt
9.
tg (2α ) = tg (α + α ) =
10. ctg(2α ) = ctg(α + α )
2 ⋅ tgα 1 − tg 2α
α≠
ctg 2α − 1 = 2 ⋅ ctgα
5. miatt
π π π + k ⋅π, α ≠ + k ⋅ k∈Z 2 4 2
α ≠ k⋅
π k∈Z 2
Háromszoros szögek szögfüggvényei: 2. miatt
11. cos(3α ) = cos (2α + α ) = cos 2α ⋅ cos α − sin 2α ⋅ sin α
(
)
= 2 cos 2 α − 1 ⋅ cos α − 2 ⋅ sin α ⋅ cos α ⋅ sin α
(
7., 8. miatt
=
négyzetes öf
=
)
= 2 cos 3 α − cos α − 2 cos α ⋅ 1 − cos 2 α = 2 cos 3 α − cos α − 2 cos α + 2 cos 3 α = = 4 cos3 α − 3 cos α 3. miatt
12. sin (3α ) = sin (2α + α ) = sin 2α ⋅ cos α + cos 2α ⋅ sin α
(
)
= 2 ⋅ sin α ⋅ cos α ⋅ cos α + 1 − 2 sin 2 α ⋅ sin α
(
7., 8. miatt
=
négyzetes öf
=
)
= 2 ⋅ sin α ⋅ 1 − sin 2 α + sin α − 2 sin 3 α =
= 2 sin α − 2 sin 3 α + sin α − 2 sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α
Magyar Eszter
Emelt szintő érettségi tételek
Alkalmazások: - Matematika: - vektorok skaláris és vektoriális szorzata - vektorok felbontása (merıleges) komponensekre - terület és térfogatképletek - a háromszög oldalainak, szögeinek kiszámítása (koszinusz- ill. szinusztétel) - trigonometrikus egyenletek, egyenlıtlenségek megoldása: addíciós tételek segítségével vagy grafikusan a függvények segítségével
-
fázisos eltolás: A, B ∈ R tetszıleges szám esetén A B A ⋅ sin x + B ⋅ cos x = A 2 + B2 ⋅ ⋅ sin x + ⋅ cos x = 2 2 A 2 + B2 A +B
mivel
A 2 2 A +B
2
B + 2 2 A +B
ezért létezik ε , hogy
2
= 1 , A
A +B 2
2
= cos ε és
B A + B2 2
= sin ε
= A 2 + B2 ⋅ (cos ε ⋅ sin x + sin ε ⋅ cos x ) = A 2 + B2 ⋅ sin (x + ε )
- Egyéb: - erık összegzése komponensekre való bontással - harmonikus rezgımozgás kitérés-idı függvénye - transzverzális hullámok - váltakozó feszültség - Schnellius-Descartes törvény: fénytörés - elektromágneses rezgések és hullámok - szív szinuszritmusa, hazugságvizsgálat
