#8 Model Keandalan Dinamis

Materi #8 TIN315 – Pemeliharaan dan Rekayasa Keandalan

#8

© Genap 2015/2016

Model Keandalan Dinamis

8.1. Pendahuluan Prosedur standar untuk mengevaluasi keandalan dari suatu sistem adalah dengan memecah sistem itu menjadi beberapa komponen. Langkah berikutnya adalah mengestimasi keandalan dari masing-masing komponen. Nilai keandalan dari masingmasing komponen ini bisa diperoleh dengan jalan memperkirakan keandalan untuk masing-masing komponen berdasarkan pengalaman, mengambil dari database keandalan yang sudah ada, atau dengan mengumpulkan data pengoperasian dari tiaptiap komponen yang bersangkutan kemudian mengolahnya menjadi data keandalan yang siap pakai. Setelah masing-masing angka keandalan dari masingmasing komponen diketahui, baru keandalan dari sistem tersebut dapat dievaluasi dengan memakai prosedur standar untuk mengevaluasi keandalan. Untuk mengevaluasi keandalan dari suatu sitem dengan memakai pemodelan keandalan statis adalah mudah. Hal ini dikarenanakan angka keandalan dari masingmasing komponen yang ada adalah konstan. Artinya angka keandalan ini tidak tergantung dari waktu. Teknik evaluasi dengan menerapkan pemodelan keandalan statis seperti ini sangat berguna pada desain permulaan suatu sistem, dimana berbagai konfigurasi sistem dicoba untuk dievaluasi keandalannya. Kenyataan yang ada di lapangan adalah keandalan dari suatu sistem atau komponen akan tergantung terhadap waktu. Untuk itu keandalan dari masing-masing komponen, subsitem atau sistem akan juga tergantung terhadap waktu. Untuk itu keandalan dari masingmasing komponen, subsistem atau sistem ini akan diwakili oleh suatu fungsi densitas probabilitas tertentu yang merupakan fungsi dari waktu. Beberapa distribusi probabilitas yang banyak dipakai dalam mengevaluasi keandalan sudah disinggung pada bab sebelumnya. Lain halnya dengan bab terdahulu yang membahas pemodelan keandalan statis dari suatu sistem, dimana keandalan dari masing-masing komponen dianggap konstan dan tidak tergantung pada waktu, maka pada bab ini akan membahas model keandalan dinamis dari suatu sistem. Model keandalan dinamis ini akan melibatkan waktu artinya keandalan dari masing-masing komponen atau sistem akan tergantung dari waktu. Oleh karenan itu, pemodelan keandalan yang tergantung waktu lebih sulit bila dibandingkan dengan pemodelan keandalan statis. Beberapa model keandalan yang sudah dibahas pada bab sebelumnya akan dibahas lagi pada bab ini tetapi dengan melibatkan distribusi probabilitas eksponensial untuk masing-masing komponen yang ada di dalam sistem. 8.2. Sistem Dengan Susunan Seri Misalkan dua buah komponen yang disusun secara seri memiliki fungsi keandalan masing-masing R1(t) dan R2(t). Probabilitas dari sistem itu untuk tetap beroperasi untuk suatu periode waktu t dapat diekspresikan sebagai ( )

( )

( )

(8.1)

Untuk mengekspresikan keandalan dari masing-masing komponen dapat ditulis sebagai Hal. 1 / 12

6623 – taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id


( )

∫

( )

© Genap 2015/2016

(8.2)

( )

∫

Sedang untuk sistem dengan n buah komponen dalam susunan seri, keandalan dari sistemnya dapat diekspresikan dengan persamaan berikut ini ( )

∏

∫

( )

(8.3)

Untuk kasus khusus, dimana masing-masing komponen mengikuti distribusi eksponensial maka persamaan (8.2) menjadi (

( )

(8.4)

)

sedang persamaan (8.3) akan berubah menjadi ( )

∑

∏

(8.5)

Fungsi densitas kegagalan untuk n buah komponen dalam susunan seri yang masingmasing komponennya mengikuti distribusi eksponensial, maka fungsi densitas kegagalannya adalah ( )

∑

∑

(8.6)

Sedang laju kegagalannya adalah ( ) ( )

( )

(8.7)

∑

yang merupakan penjumlahan laju kegagalan dari masing-masing komponen. Waktu rata-rata kegagalan dari konfigurasi seri ini dapat dihitung dengan memakai persamaan berikut. ∫

( )

∫

∑

∑

(8.8)

Contoh 8.1 Sebuah subsistem kontrol terdiri dari dua buah modul yang mempunyai konfigurasi seri. Masing-masing modul ini mempunyai laju kegagalan yang konstan yaitu 3 kegagalan per satu juta jam untuk modul pertama dan 5 kegagalan per satu jam. a. Hitung laju kegagalan dari subsistem kontrol tersebut. b. Hitung keandalan dari subsistem itu bila dioperasikan 200 jam. c. Setelah subsistem itu dioperasikan 200 jam (soal b), subsistem itu dioperasikan lagi selama 50 jam, hitung keandalan dari sistem itu. d. Waktu rata-rata kegagalan dari subsistem kontrol tersebut.

Hal. 2 / 12



© Genap 2015/2016

Solusi Laju kegagalan dari masing-masing modul adalah konstan, jadi modul-modul ini mengikuti distribusi eksponensial. 

Laju kegagalan dari modul 1 adalah




a. Dengan menggunakan persamaan (8.7), laju kegagalan dari subsistem kontrol tersebut di atas adalah

b. Fungsi keandalan dari sistem itu adalah Untuk misi pengoperasian selama 200 jam maka keandalan dari subsistem kontrol itu adalah (

(

)

)

c. Untuk misi pengoperasian dengan durasi 50 jam setelah sebelumnya dioperasikan 200 jam, keandalan dari subsistem itu dapat dihitung dengan memakai teori probabilitas kondisional. Misalkan T adalah waktu kegagalan (time to failure) dari susbsitem kontrol, maka ekspresi probabilitas kondisional untuk masalah di atas adalah (

)

(

(

)

( (

(

)

| ) )

( (

)

(

)

(

)

(

) ) )

Contoh di atas merupakan contoh dari sifat tak bermemori (memory less property) dari distribusi eksponensial. d. Waktu rata-rata kegagalan dari subsistem kontrol itu adalah ∫

Hal. 3 / 12

( )



© Genap 2015/2016

8.3. Sistem Dengan Susunan Paralel Jika dua buah komponen yang disusun secara paralel memiliki fungsi ketakandalan masing-masing Q1(t) dan Q2(t), maka probabilitas dari sistem itu untuk mengalami kegagalan untuk suatu periode waktu t dapat diekspresikan sebagai ( )

( )

(8.9)

( )

Sedangkan ekspresi keandalan untuk kedua komponen itu adalah ( )

( )

( )

( )

(8.10)

( )

atau ∫

( )

( )

( )

∫

( )

∫

( )

∫

(8.11)

Sedang untuk n buah komponen yang mempunyai susunan paralel, fungsi ketakandalannya adalah ( )

∏

( )

( )

∫

∏(

(8.12)

)

sedang keandalannya adalah ( )

∫

∏(

( )

(8.13)

)

Untuk komponen-komponen yang mengikuti distribusi eksponensial, maka persamaan (8.11) berubah menjadi (

( )

(8.14)

)

Sedang persamaan (8.12) dan (8.13) akan masing-masing akan berubah menjadi ( )

∏

( )

∏(

(8.15)

)

dan ( )

∏

( )

∏(

(8.16)

)

Dari persamaan (8.16) dapat disimpulkan bahwa meskipun masing-masing komponen dari sistem yang memiliki konfigurasi paralel mengikuti distribusi eksponensial, fungsi keandalannya bukan merupakan fungsi keandalan yang mengikuti distribusi eksponensial. Dengan demikian laju kegagalan dari sistem yang memiliki konfigurasi paralel bukan merupakan laju kegagalan yang konstan, tetapi merupakan fungsi dari waktu. Waktu rata-rata kegagalan untuk dua buah komponen yang mengikuti distribusi eksponensial dengan konfigurasi paralel adalah ∫

Hal. 4 / 12

( )

∫(

(

)

)


(8.17a)


© Genap 2015/2016

(8.17b)

Contoh 8.2 Jika sub-sistem kontrol pada contoh soal 8.1 disusun secara paralel, tentukan: a. Indeks keandalan dari subsistem itu bila dioperasikan 200 jam. b. Waktu rata-rata kegagalan (MTTF) dari subsistem kontrol tersebut. Solusi Laju kegagalan dari masing-masing modul adalah konstan, jadi modul-modul ini mengikuti distribusi eksponensial. 





a. Fungsi keandalan dari subsistem itu adalah ( )

(

)

Untuk misi pengoperasian selama 200 jam maka keandalan dari subsistem kontrol itu adalah ( ) b. MTTF dari sub sistem itu adalah

8.4. Sistem Dengan Susunan Gabungan Seri - Paralel Untuk menganalisa suatu sistem sederhana dengan susunan seri atau paralel sudah didiskusikan pada seksi terdahulu. Susunan seri atau paralel merupakan susunan dasar yang akan dipakai untuk menganalisa sistem yang mempunayai susunan yang lebih kompleks. Blok diagram keandalan yang lebih kompleks akan mempunyai struktur gabungan antara susunan seri dan paralel. Prinsip dasar yang dipakai untuk menyelesaikan konfigurasi yang komplek ini adalah dengan mereduksi konfigurasi yang komplek ini secara berurutan dengan jalan Hal. 5 / 12



© Genap 2015/2016

menyederhanakan blok yang mempunayi struktur seri atau paralel terlebih dahulu menjadi blok diagram yang ekuivalen. Blok diagram yang ekuivalen ini akan mewakili konfigurasi asli sebelum konfigurasi ini disederhanakan. Untuk jelasnya akan diberikan beberapa contoh berikut ini. Contoh 8.3 Untuk menambah ketabilan sistem kontrol, sub sistem kontrol pada contoh 8.2 dihubungkan dengan satu sub sistem kontrol lain secara seri. Diagarm blok keandalan untuk sistem ini ditunjukkan pada gambar 8.1. Data kegagalan dari masing-masing subsistem adalah λ1 = 2 x 10−6 kegagalan per jam, λ2 = 3 x 10−6 kegagalan per jam, dan λ3 = 5 x 10−6 kegagalan per jam. Tentukan: a. Ekspresi keandalan subsistem tersebut sebagai fungsi waktu b. Indeks keandalan dari subsistem itu bila dioperasikan 1000 jam. c. Waktu rata-rata kegagalan (MTTF) dari subsistem kontrol tersebut.

Gambar 8.1. Blok Diagram Keandalan Contoh 8.3 Solusi a. Blok diagram keandalan sistem pada gambar 8.1 dapat disederhanakan menjadi dua blok saja seperti yang ditunjukkan oleh gambar 8.2.

Gambar 8.2. Penyederhanaan Blok Diagram Keandalan Ekspresi fungsi keandalan untuk blok 4 adalah sama dengan ekspresi fungsi keandalan pada contoh 8.2, yaitu (

( )

)

Sedangkan ekspresi fungsi keandalan sistem adalah ( ) ( )

Hal. 6 / 12

( )

( ) (


)


© Genap 2015/2016

( ) b. Indeks keandalan sistem setelah menjalankan misi selama 1000 jam adalah ( ) c. MTTF dari subsistem tersebut dapat dihitung sebagai berikut. ∫

∫

( )

(

)

8.5. Sistem Dengan Susunan Berlebihan Secara Parsial (Partially Redundant System) Jika sistem dengan susunan seri dikategorikan sebagai sistem yang tidak berlebihan (non-redundant system) dan sistem dengan susunan paralel dikategorikan sebagai sistem dengan susunan yang sangat berlebihan (fully redundant system), maka ada sebuah sistem yang bisa dikategorikan sebagai sistem dengan susunan berlebihan secara parsial (partially redundant system). Teknik yang dipakai untuk mengevaluasi sistem yang memiliki susunan seperti ini kurang lebih sama dengan apa yang telah dibahas pada bab sebelumnya. Aplikasi distribusi probabilitas untuk partially redundant system dapat diilustrasikan dengnan sistem yang memiliki n komponen yang identik. Probabilitas masing-masing keadaan sistem ini - dalam hal ini komponen yang yang sedang beroperasi adalah komponen ) . Pada bab terdahulu, nilai 0,1,2, … ,n - dapat ditentukan dari ekspansi binomial ( dari R dan Q ini diasumsikan konstan. Untuk kasus probabilitas yang tergantung dari waktu (time dependent probability), nilai dari R dan Q adalah fungsi dari waktu dan ( )] , dimana nilai dari R(t) dan Q(t) ekspresi binomial dimodifikasi menjadi [ ( ) masing-masing dapat ditentukan dari fungsi probabilitas yang menjadi model kegagalan suatu komponen/sistem. Untuk pemodelan kegagalan komponen dengan menggunakan distribusi eksponensial, maka (8.18)

( ) dan

(8.19)

( ) oleh karena itu ekspresi binomial menjadi [

Hal. 7 / 12

(


)] .


© Genap 2015/2016

Contoh 8.4 Sebuah sistem memiliki empat buah unit identik yang masing-masing memiliki laju kegagalan (failure rate) 0,1 kegagalan/tahun. Evaluasi probabilitas dari sistem tersebut untuk tetap dapat beroperasi setelah 0,5 tahun dan 5 tahun jika minimal dua unit harus dapat beroperasi agar sistem sukses menjalankan misinya. Solusi Dengan menggunakan ekspresi binomial untuk n = 4 [ ( )

( )]

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Dimana R(t) dan Q(t) masing-masing dinyatakan oleh persamaan (8.18) dan (8.19). Tabel 8.1 menunjukkan probabilitas kesuksesan dari sistem untuk berbagai kondisi komponen. Tabel 8.1. Probabilitas Kesuksesan Sistem Untuk Berbagai Kondisi Komponen Jumlah Unit Yang Diperlukan Agar Sistem Sukses

Probabilitas Kesuksesan Sistem

4 3

(

2 1

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

Oleh karena itu, untuk contoh soal ini ( )

(

)

(

)

Untuk t = 0,5 dan λ = 0,1 maka (

)

Sedang untuk t = 5, maka ( ) Untuk kasus yang lebih umum dari unit yang non–identik, maka probabilitas dari masing-masing sistem dapat dievaluasi dengan [

( )

( )][

Hal. 8 / 12

( )

( )]

[

( )

( )]



© Genap 2015/2016

dimana nilai dari Ri(t) dan Qi(t) dapat dideteksi dari distribusi probabilitas dari komponen ke-i dan periode waktu yang menjadi interes dalam analisa. Untuk kasus distribusi eksponensial maka ( ) ( ) 8.6. Sistem Standby (Standby System) Seperti yang telah diulas pada beberapa contoh soal terdahulu, konfigurasi paralel dan partially redundant system mengakibatkan keandalan sistem meningkat secara keseluruhan. Semua atau sebagian komponen yang memiliki konfogurasi ini mungkin akan berada pada mode pengoperasian. Hal ini tentunya tidak selalu feasible atau tidak praktis, sehingga konfigurasi standby mungkin akan dipakai. Pada konfigurasi standby, satu atau lebih komponen berada dalam keadaan standby dan siap akan mengambil alih ketika komponen normal atau kompone utama mengalami kegagalan. Secara umum ada dua buah kasus dasar yang berhubungan dengan switching. Pertama, kita bisa menganggap switch yang dipakai adalah switch yang sempurna sehingga bisa dikategorikan sebagai kasus pengalihan yang sempurna (perfect switching) serta yang kedua, kita bisa menganggap switch yang dipakai adalah switch yang tidak sempurna sehingga bisa dikategorikan sebagai kasus pengalihan yang tidak sempurna (imperfect switching)

Gambar 8.3. Sistem Dengan Susunan Standby 8.6.1.

Perfect Switching

Pada kasus ini, switch diamsusikan tidak pernah gagal pada saat pengoperasian dan juga tidak akan mengalami kegagalan pada saat melakukan pengalihan dari pengoperasian normal ke posisi standby. a. Sistem dengan 2 Komponen Misalkan sebuah sistem memiliki dua komponen yang identik, dimana komponen pertama berfungsi sebagai komponenutama sedangkan komponen lainnya bertindak sebagai komponen stanby. Susunan ini dapat dipandang sebagai susunan yang ekuivalen dengan unit tunggal yang hanya diijinkan untuk mengalami satu kali kegagalan. Setelah kegagalan pertama dari unit yang ekuivalen (kegagalan komponen 1), maka komponen (2) akan mengambil alih untuk kelangsungan operasi dan oleh karena itu sistem tidak mengalami kegagalan. Jika ada kegagalan kedua dari unit yang equivalen (kegagalan komponen 2), sistem akan mengalami kegagalan. Logika pengoperasian pada sistem ini Hal. 9 / 12



© Genap 2015/2016

mengimplikasikan bahwa distribusi poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari sistem failure karena distribusi ini memberikan probabilitas dari berbagai komponen yang sedang beroperasi pada masa bergunanya. Untuk kasus ini, perlu kiranya untuk mendapatkan probabilitas kegagalan yang tidak melebihi satu kegagalan. Dengan menggunakan distribusi Poisson. ( )

( )

(8.20)

dimana Px(t) menyatakan probabilitas dari komponen x yang gagal dalam waktu t. Dengan menggunakan persamaan (8.20) [

]

[

]

( )

( )

Oleh karena itu keandalan sistem adalah ( )

( )

( )

(

(8.21)

)

b. Sistem dengan 2 komponen standby Dengan menggunakan logika di atas, untuk satu komponen utama dan dua komponen stanby maka, jumlah kegagalan yang dapat ditoleransi dalam unit yang equivalen adalah dua sebelum sistem mengalami gagal. Sehingga keandalan sistem dapat ditentukan dengan ( )

( )

( )

( )

( )

[

(8.22)

]

c. Sistem dengan n komponen standby Secara umum prinsip yang digunakan untuk mendapatkan persamaan (8.21) dan (8.22) dapat diperluas untuk sembarang jumlah komponen standby, karena jumlah kegagalan yang dapat ditoleransi sama dengan jumlah komponen standby. Oleh karena itu, secara umum keandalan sistem dengan n komponen standby yang identik adalah ( )

( )

[

( )

( )

]

∑

( )

(8.23)

d. Mean time to failure (MTTF) Harga dari MTTF untuk sistem dengan satu komponen standby dapat dihitung sebagai berikut ∫

Hal. 10 / 12

(

)


(8.24)


© Genap 2015/2016

Dan untuk sistem dengan n komponen standby, MTTF nya dapat dihitung sebagai berikut ∫∑

8.6.2.

( )

(8.25)

Imperfect Switching

Untuk kasus ini, kemungkinan switch mengalami kegagalan dalam mengalihkan tugas dari komponen aktif ke komponen standby akan dimasukkan dalam perhitungan, dengan demikian perlu didefinisikan probabilitas sukses pengoperasian switch. Probabilitas sukses ini dinotasikan dengan Ps dan dapat ditentukan nilainya dengan mengumpulkan data kesuksesan dan kegagalan operasional switch dengan menggunakan persamaan berikut ini. (8.26)

Kembali pada kasus 2 komponen yang memiliki susunan standby, dimana proses pengalihan dan perlatan pengalih memiliki nilai keandalan yang kurang dari 100%, maka agar sistem sukses dalam menjalankan misinya maka salah satu kondisi berikut ini harus dipenuhi, yaitu jika tidak ada satupun komponen yang gagal atau satu komponen (utama) mengalami kegagalan dan peralatan pengalih (switch) sukses beroperasi. Dengan demikian keandalan sistem dapat diturunkan sebagai berikut. [

]

( )

[

]

( )

Yang akan memberikan persamaan keandalan sistem ( )

(

(8.27)

)

Konsep ini dapat diperluas untuk kasus dengan dua atau lebih komponen standby, dengan memasukkan term Ps pada persamaan (8.22) dan (8.23). MTTF dari sistem standby dapat diperoleh dengan mengintegralkan persamaan keandalan sistem dengan batas integrasi mulai dari 0 sampai ∞, yaitu ∫

(

)

(8.28)

8.7. Referensi dan Bibliografi 1. Priyanta. Dwi, [2000], Keandalan dan Perawatan, Institut Teknologi Sepuluh Nopemeber ,Surabaya Hal. 11 / 12



© Genap 2015/2016

2. Billinton, R. and Ronald N. Allan, [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2nd edition, Plenum Press, New York and London 3. Hoyland, Arnljot and Marvin Rausand, [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods, John Willey & Sons, Inc. 4. Ramakumar, R, [1993]., Engineering Reliability : Fundamentals and Applications, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 07632.

Hal. 12 / 12


#8 Model Keandalan Dinamis

Recommend Documents