7.4
Domácí úkol - Hopík
Částice o hmotnosti m hopká v homogenním (např. gravitačním) poli, přičemž od podložky se odráží bez ztráty energie. Uvažovaný potenciál je ( mgz z > 0 V (z) = ∞ z<0 1. Řešení pomocí WKB metody: • Nalezněte body obratu, má-li částice energii E.
• Pomocí WKB přiblížení vypočítejte všechny energetické hladiny.
• Nalezněte WKB vlnové funkce v klasicky dostupné i nedostupné oblasti. Vlnové funkce nemusíte normovat.
2. Hledání základního stavu variační metodou: • Podle asymptotického chování potenciálu navrhněte vhodnou testovací funkci s jedním parametrem (druhý bude fixovat normalizaci). • Nalezněte optimální hodnotu parametru a jemu odpovídající přibližnou energii základního stavu. 3. Srovnáním energií základního stavu získaných oběma metodami určete, která metoda dává základní stav přesněji.
8
Nestacionární poruchová teorie
Schödingerův, Heisenbergův, Diracův obraz ˆ který lze rozložit na část H ˆ 0 nezávisející na Mějme systém popsaný Hamiltoniánem H, ˆ čase a na časově závislou poruchu HI : ˆ =H ˆ0 + H ˆ I (t). H(t) Dále mějme v čase t0 vektor |ψ(t0 )i popisující stav systému, libovolný časově neˆ a časově závislý operátor B(t). ˆ závislý operátor A Fyzikální závěry se nezmění, pokud ˆ provedeme unitární transformaci danou unitárním operátorem U: ˆ |ψ ′ i = U|ψi ˆ′ = U ˆA ˆU ˆ† A Tuto transformaci můžeme učinit v každém čase t obecně různou. V praxi se užívají tři takovéto tranformace (fyzikálně ekvivalentní obrazy). 1. Schrödingerův obraz ˆ t0 )|ψ(t0 )i |ψ(t)i = U(t,
ˆ B(t) ˆ A,
(operátor A zůstává v čase konstantní, operátor B(t) se mění podle svého funkčního předpisu). ˆ t0 ): Diferenciální rovnice (spolu s počáteční podmínkou) pro evoluční operátor U(t, ˆ t0 ) ∂ U(t, ˆ U(t, ˆ t0 ) ˆ 0 , t0 ) = ˆ1, = H(t) U(t ∂t která má v případě, že Hamiltonián nezávisí na čase, řešení i~
ˆ 0) ˆ t0 ) = e− ~i H(t−t U(t,
Z evoluční rovnice pro evoluční operátor plyne rovnice pro stavový vektor (časová Schrödingerova rovnice) ∂|ψ(t)i ˆ = H(t)|ψ(t)i. i~ ∂t 2. Heisenbergův obraz ˆ † (t, t1 )|ψ(t)i = |ψ(t1 )i = konst. |ψ H (t; t1 )i = U ˆ H (t; t1 ) = U ˆ † (t, t1 ) A ˆ U(t, ˆ t1 ) A ˆ H (t; t1 ) = U ˆ † (t, t1 ) B(t) ˆ U(t, ˆ t1 ) B (t1 je vnější parametr). Stavový vektor se s časem nemění. Diferenciální rovnice pro stavový vektor a pro operátory: ∂|ψ H (t; t1 )i =0 ∂t ˆ H (t; t1 ) ∂A 1 ˆH ˆ H (t)] = [A (t; t1 ), H ∂t i~ Hˆ ˆ H (t; t1 ) ∂B 1 ˆH ˆ H (t)] + ∂t1 B(t) = [A (t; t1 ), H ∂t i~ ∂t
|ψ H (t1 ; t1 )i = |ψ(t1 )i ˆ H (t1 ; t1 ) = A ˆ A ˆ H (t1 ; t1 ) = B(t ˆ 1 ), B
kde jsme definovali
ˆ ˆ ∂tH1 B(t) ˆ † (t, t1 ) ∂ B(t) U(t, ˆ t1 ). ≡U ∂t ∂t
ˆ U(t; ˆ t1 )] = 0, pak Pokud máme systém v časově neproměnném vnějším poli, tj. [H, ˆ H (t; t1 ) = U ˆ † (t, t1 ) H ˆ U(t, ˆ t1 ) = H. ˆ H 3. Diracův (interakční) obraz ˆ † (t; t1 )|ψ(t)i |ψ D (t; t1 )i = U 0 D ˆ (t; t1 ) = U ˆ † (t, t1 ) A ˆU ˆ 0 (t, t1 ) A 0
ˆ D (t; t1 ) = U ˆ † (t, t1 ) B(t) ˆ U ˆ 0 (t, t1 ) B 0 Zde
ˆ 0 (t, t1 ) = e− ~i H0 (t−t1 ) U ˆ 0 , tj. řešení diferenciální rovnice je evoluční operátor Hamiltoniánu H i~
ˆ 0 (t, t1 ) ∂U ˆ0 U ˆ 0 (t, t1 ) =H ∂t
ˆ 0 (t1 , t1 ) = ˆ1, U
Bez újmy na obecnosti volíme čas t1 stejný jako v případě obrazu Heisenbergova. Diferenciální rovnice pro stavový vektor a pro operátory: i~
∂|ψ D (t; t1 )i ˆ D (t; t1 )|ψ D (t; t1 )i =H I ∂t ˆ D (t; t1 ) ∂A 1 ˆD ˆ D (t; t1 )] = [A (t; t1 ), H I ∂t i~ Dˆ ˆ D (t; t1 ) ∂B 1 ˆD ˆ D (t; t1 )] + ∂t1 B(t) = [B (t; t1 ), H I ∂t i~ ∂t
|ψ D (t1 ; t1 )i = |ψ(t1 )i ˆ D (t1 ; t1 ) = A ˆ A ˆ D (t1 ; t1 ) = B(t ˆ 1 ), B
kde (podobně jako u obrazu Heisenbergova) ˆ ˆ ∂tD1 B(t) ˆ † (t, t1 ) ∂ B(t) U ˆ 0 (t, t1 ). ≡U 0 ∂t ∂t Řešení první rovnice lze psát ve tvaru ˆ t0 ; t1 )|ψ D (t0 ; t1 )i, |ψ D (t; t1 )i = S(t, kde evoluční operátor v Diracově obraze ˆ t0 ; t1 ) = U ˆ † (t, t1 )U(t, ˆ t0 )U ˆ 0 (t0 , t1 ) S(t, 0 je řešením diferenciální rovnice i~
ˆ t0 ; t1 ) ∂ S(t, ˆ D (t; t1 )S(t, ˆ t0 ; t1 ) =H I ∂t
ˆ 0 , t0 ; t1 ) = ˆ1 S(t
(8.0.1)
V Heisenbergově i Diracově obrazu se objevuje vnější parametr t1 , který vlastně udává čas, ve kterém se operátory i stavové vektory všech tří uvedených obrazů rovnají. Můžeme volit t1 = 0 a pak nebudeme tento parametr ve vzorcích explicitně vypisovat. Pokud H0 představuje volný Hamiltonián, pak se zavádějí ještě Møllerovy operátory ˆ t0 ) Ω(±) = lim S(0, t0 →∓∞
a operátor S-matice
ˆ = lim S(t, ˆ t0 ). S t→+∞ t0 →−∞
Řešení rovnice (8.0.1) lze hledat ve tvaru integrální rovnice, kterou lze vyjádřit ve formě řady Z i t ˆD ˆ ˆ 1 , t0 ) dt1 = ˆ S(t, t0 ) = 1 − H (t1 )S(t ~ t0 I Z t Z t1 i i D D ˆ (t1 ) ˆ1 − ˆ (t2 )S(t ˆ 2 , t0 ) dt2 dt1 = = ˆ1 − H H (8.0.2) ~ t0 I ~ t0 I ∞ X ˆ(n) (t, t0 ), = S n=0
kde
ˆ(0) = ˆ1 S Z i t ˆD (1) ˆ H (t1 ) dt1 S = ~ t0 I .. . n Z t Z t1 Z tn−1 i (n) D D ˆ = − ˆ (t1 ) ˆ (t2 ) · · · ˆ D (tn ) dtn · · · dt2 dt1 S H H H I I I ~ t0 t0 t0
(8.0.3)
Rozvoj (8.0.2) lze formálně sečíst. Jelikož však Diracovy obrazy Hamiltoniánu v ˆ D (tj ), H ˆ D (tk )] 6= 0 pro tj 6= tk , různých časech mezi sebou navzájem nekomutují, [H I I ˆ j (t) ve musíme užít T-součin, definovaný následujícím způsobem: Nechť operátory A stejném čase komutují, tj. nechť [Aj (t), Ak (t)] = 0. Pak ˆ i (ti ) ˆ N (tN ) · · · A ˆ 1 (t1 ) ≡ A ˆ i (ti ) · · · A T A tiN ≥ tiN−1 ≥ · · · ≥ ti1 1 1 N N
Užitím T-součinu můžeme psát
Z i t ˆD ′ ′ ˆ S(t, t0 ) = T exp − H (t ) dt ~ t0 I Poznámka: Diferenciální rovnici (8.0.1) můžeme také zkoušet v bázi |φmi řešit přímo. Označíme-li ˆ t0 )|φi i, Sf i (t, t0 ) ≡ hφf |S(t, pak dostaneme i~
∂Sf i (t, t0 ) X ˆ = HIf m (t) eiωf mt Smi (t, t0 ) ∂t m
Sf i (t0 , t0 ) = δf i
což je soustava vázaných obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu. Soustavu lze explicitně vyřešit například pro dvouhladinový systém.
Nestacionární poruchová teorie Stejně jako u stacionární poruchové teorie budeme i zde předpokládat, že spektrum ˆ 0 známe: Hamiltoniánu H
X m
ˆ 0 |φm i = E (0) |φm i H m hφm |φn i = δmn
|φm ihφm | = ˆ1.
Maticové elementy rozvoje evolučního operátoru v Diracově obraze (8.0.2) v této bázi označíme jako (n) ˆ(n) (t, t0 )|φii Sf i (t, t0 ) ≡ hφf |S a pro jednotlivé členy (8.0.3) dostaneme (0)
Sf i (t, t0 ) = δf i Z i tˆ =− HIf i (t1 ) eiωf i t1 dt1 ~ t0 2 X Z t Z t1 i (1) ˆ If m (t1 ) eiωf mt1 H ˆ Imi (t2 ) eiωmi t2 dt1 dt2 Sf i (t, t0 ) = − H ~ t0 t0 m
(1) Sf i (t, t0 )
kde jsme zavedli
4
1 (0) (0) ωf i ≡ Ef − Ei ~
ˆ I (t)|φi i HIf i (t) ≡ hφf |H
Pravděpodobnost přechodu z počátečního stavu |φi i připraveného v čase t0 do koncového stavu |φf i v čase t je Pi→f (t0 → t) ≡ |hφf (t)|φi (t0 )i|2 2 D = hφD f (t)|φi (t0 )i 2 ˆ = hφf |S(t, t0 )|φii
a v poruchové teorii dostáváme
2 (1) (1) (2) Pi→f (t0 → t) = Sf i (t, t0 ) + Sf i (t, t0 ) + Sf i (t, t0 ) + · · ·
Pro časově neproměnnou poruchu zapnutou v čase t0 dostaneme do 1. řádu poruchové teorie 2π Pi→f (t0 → t) = |HIf i |2 δ∆t (ωf i )∆t (8.0.4) ~ kde ∆t = t − t0 a ω ∆t 1 sin2 f 2i ∆t→∞ δ∆t (ωf i ) ≡ −−−−→ δ(ωkj ) 2 ∆t ω fi π 2
4
ˆ I (t)|ii. Někdy budeme pro jednoduchost psát HIf i (t) = hf |H
je funkce, která má v okolí nuly ostré maximum pološířky ≃ 2π∆t a výšky ∆t/2π. Za dobu ∆t tedy dojde k přechodům prakticky pouze v oblasti tohoto maxima, tj. ωf i .
2π ∆t
(0) (0) a označíme-li ∆E (0) ≡ Ef − Ei , dostaneme
∆E (0) ∆t . 2π~
Tento vztah se nazývá relace neurčitosti mezi časem a energií. (0) Pokud lze na okolí Ei pohlížet jako na kontinuum hladin (jedná se o přechod do spojité části spektra, nebo je v tomto okolí velké množství diskrétních hladin), pak se (8.0.4) píše ve tvaru Fermiho zlatého pravidla 2π Pi→F (t0 → t) = |HIf i |2 ρf (E) (0) ∆t ~ E≃Ei
wi→F (t0 → t) ≡
(8.0.5)
což je rychost přechodu z počátečního stavu i do celého jeho okolí f ∈ F , na kterém je |HIf i |2 přibližně konstantí. Hustotu hladin ρf (E) lze spočítat například pomocí postupu uvedeném v sekci 4. Pro harmonickou poruchu o frekvenci ω ˆ I = ˆh(+) eiωt +hˆ(−) e−iωt H
(8.0.6)
dostaneme užitím podobného postupu jako v případě konstantní poruchy vztah ωf i ≃ ±ω,
(0)
(0)
tj. Ef ≃ Ei ± ~ω
platící za předpokladu, že porucha je zapnuta po dostatečně dlouhý čas. Fermiho zlaté pravidlo v tomto případě zní 2π (+) 2 wi→F (t0 → t) = hf i ρf (E) (0) ~ E≃Ei −~ω 2π (−) 2 = hf i ρf (E) (0) ~ E≃Ei +~ω
(8.0.7)
(8.0.8)
Pokud máme periodickou poruchu, která není harmonická, můžeme ji pomocí Fourierovy tranformace na periodickou rozložit a počítat pravděpodobnost přechodu pro každou složku zvlášť.
8.1
Fotoelektrický jev
Nechť atom vodíku, který je popsán Hamiltoniánem e2 ˆ0 = 1 p ˆ2 − , H ˆr 2m je vystaven elektromagnetickému vlnění s vektorovým potenciálem A(ˆr, t) = 2A0 ǫ cos (κ · ˆr − ωt)
(8.1.1)
(vektor ǫ určuje polarizaci vln, κ = nω/c je vlnový vektor určující směr postupu vlny) a skalárním potenciálem Φ(ˆr, t) = 0.
1. Nalezněte interakční Hamiltonián. 2. Nalezněte hustotu pravděpodobnosti vztaženou na jednotku času (rychlost přechodu) jevu, kdy kdy atom vodíku nacházející se v základním stavu emituje elektron do oblasti prostorového úhlu (Ω, Ω + dΩ) (fotoelektrický jev). 3. Určete diferenciální účinný průřez výše uvedeného jevu. Řešení: 1. Interakční Hamiltonián Hamiltonián atomu vodíku, popisující interakci jeho elektronu s elektromagnetickým polem, zní 2 e e2 ˆ (H−EM) = 1 p ˆ 2 − A(ˆr, t) + e Φ(ˆr) − H ˆr 2m c Počítáme ve speciální (Coulombické) kalibraci ∇·A=0
Φ = 0.
Hamiltonián v ní lze přepsat do tvaru e2 ˆ (H−EM) (t) = H ˆ 0 − e A(ˆr, t) · p ˆ+ A(ˆr, t) · A(ˆr, t) ≈ H mc mc2 ˆ 0 − e A(ˆr, t) · p ˆ, ≈H mc ˆ I (t) = − e A(ˆr, t) · p ˆ a dosakde jsme zanedbali člen úměrný |A(ˆr)|2 . Označíme H mc díme za vektorový potenciál monochromatickou vlnu (8.1.1): ˆ I (t) = − eA0 ei(κ·ˆr−ωt) + e−i(κ·ˆr−ωt) ǫ · p ˆ H mc
(8.1.2)
Nás bude zajímat excitace, stačí tedy brát pouze část ˆ I (t) = ˆh e−iωt H eA0 iκ·r ˆ. hˆ = − e ǫ·p mc 2. Rychlost přechodu
Vlnová funkce základního stavu atomu vodíku je rovna ψi (r) = R10 (r)Y00 (θ, φ) = p
5
1 πa30
5 − ar
e
0
.
Vlnová funkce konečného stavu volného elektronu je ovlivněna Coulombickým polem jádra. Toto pole je však rychle odstíněno látkou, která se v okolí jádra vyskytuje, a proto budeme brát elektron jako volný, jehož vlnovou funkci vyjádříme jako 1 ψf (r) = p eik·r 3 (2π~)
Jedná se o radiální i úhlovou část vlnové funkce, srovnej s (7.2.2) a s ní související poznámkou.
kde k je vlnový vektor elektronu s energií Ee , Ee =
~2 k 2 . 2m
Výpočet přechodu mezi spojitou a diskrétní částí spektra zjednodušíme tím, že budeme považovat elektron nikoliv za zcela volný, ale za uzavřený v krabici (nekonečně hluboké potenciálové jámě) o objemu V . Budeme předpokládat, že krabice je tak velká, že neovlivní příliš spektrum atomu vodíku (stačí, aby neovlivnila základní stav, se kterým počítáme). Nakonec provedeme limitu V → ∞. Vlnová funkce elektronu v krabici zní
1 ψf′ (r) = √ eik·r . V V tomto případě je k důsledkem konečných rozměrů kvantovaná veličina. Pokud je však objem V dostatečně velký, lze s ní nadále počítat jako se spojitou. Při výpočtu hustoty hladin volného elektronu vyjdeme ze vztahů (4.0.1) a (4.0.2). Objem fázového prostoru klasicky se pohybujícího volného elektronu v krabici je podle (4.0.1) Z Z 1 2 3 ΩPS (E) = d x δ E− p d3 p = 2m V Z Z ∞ 1 2 2 p p dp. =V dΩ δ E− 2m Ω 0 Budeme se ptát po hustotě hladin s vlnovým vektorem mířícím do elementu prostorového úhlu dΩ, tj. dρ(E) 1 dΩPS (E) = = 3 dΩ (2π~) dΩ Z ∞ V 1 2 2 δ E− p p dp = = (2π~)3 0 2m √ V 2m √ = δ p − 2mE p2 dp = (2π~)3 2 2mE V 2m √ = 2mE = 3 (2π~) 2 2mE √ V = m 2mE (2π~)3 či v závislosti na veličině k dρ(k) V = ~km dΩ (2π~)3 K výpočtu pravděpodobnosti, resp. rychlosti přechodu použijeme Fermiho zlaté
pravidlo (8.0.8). Maticový element, který se v něm objevuje, zní ˆ = hf i = hf |h|ii Z eA0 ′ =− ψf∗ (r) eiκ·r ǫ · p ψi (r) d3 r = mc Z i~eA0 − ar i(κ−k)·r 3 0 d r = p = ǫ · e ∇ e mc πa30 V Z r i~eA0 iq·r r − a0 p ǫ · e =− e d3 r = 3 r mca0 πa0 V i~eA0 p ǫ · I(q) =− mca0 πa30 V
(8.1.3)
kde jsme označili q ≡ κ − k. Integrál I(q) vypočítáme následující úvahou. Jediný vektor, na kterém integrand integrálu závisí, je q. To znamená, že integrál musí být možné vyjádřit jako I = qI Budeme tedy počítat výraz Z q · r − ar 3 2 q I = eiq·r e 0 dr= r Sférické souřadnice (r, θ, φ) = = osa z paralelní s vektorem q Z ∞ Z π Z 2π − ar iqr cos θ = r e 0 dr e qr cos θ sin θ dθ dφ = 0 0 0 = u = cos θ du = − sin θ dθ = Z ∞ Z 1 Per partes − ar eiqru u du = = 2πq r e 0 dr 0 ) (−1 1 Z 1 Z ∞ 1 iqru 1 − ar e u − eiqru du = = 2πq r e 0 dr iqr iqr −1 0 −1 Z ∞ 1 iqr i − ar −iqr iqr −iqr = −2πqi r e 0 dr e +e + e −e = qr (qr)2 0 Z ∞ −r a1 +iq −r a1 −iq 0 0 = −2πi r e +e dr− 0 Z 2π ∞ −r a1 +iq −r a1 −iq 0 0 − e −e dr = q 0 2π = −2πi J1 − J2 q Platí
Z
Z
∞
0 ∞
r e−αr 0
1 α Z 1 ∞ −αr 1 dr = e dr = 2 α 0 α
e−αr dr =
(pro α > 0), takže J1 =
1 1 a0
= 2a0
J2 =
1 a0
=−
+ iq
2 +
1 − q 2 a20
1 1 a0
− iq
2 2 = a0
(1 − iqa0 )2 + (1 + iqa0 )2 (1 + q 2 a20 )
2
=
2
(1 + q 2 a20 ) 1 1 1 − iqa0 − 1 − iqa0 − 1 = a0 = 1 + q 2 a20 + iq − iq a0
2iqa20 1 + q 2 a20
a po dosazení dostaneme 1 q I= = 2 − 1 + q 2 a20 (1 + q 2 a20 ) 1 − a20 q 2 − 1 − a20 q 2 = −4πia20 = 2 (1 + q 2 a20 ) 8iπa40 q 2 = 2 (1 + q 2 a20 ) 2
−4πia20
neboli I=
1 − a20 q 2
8iπa40 (1 + q 2 a20 )
2
q.
Maticový element zní i~eA0 8iπa40 p 2 ǫ · (κ − k) mca0 πa30 V (1 + q 2 a20 ) i~eA0 8iπa40 p =− 2 ǫ · k, mca0 πa30 V (1 + q 2 a20 )
hf i =
neboť ǫ · κ = 0, což plyne z vlastností Coulombické kalibrace.
Nyní již máme v rukou vše, co potřebujeme k použití Fermiho zlatého pravidla (8.0.8). Dosadíme a dostaneme dwi→f 2π dρ = |hf i |2 = dΩ ~ dΩ 2 4 8iπa0 V 2π i~eA0 p = ~km = 2 ǫ · k 2 3 2 ~ mca0 πa0 V (1 + q a0 ) (2π~)3 =
16 (eA0 )2 (ǫ · k)2 ka30 π~ mc2 (1 + q 2 a20 )4
(8.1.4)
3. Účinný přůřez Účinný průřez procesu je definován jako počet procesů i → f za jednotku času dělenou celkovým tokem částic. V našem případě je to absorbovaná energie za jednotku času dělená tokem energie dopadajícího elektromagnetického záření.
Absorbovaná energie za jednotku času je dána součinem rychlosti přechodu (8.1.4) a energie, která se absorbuje a která je rovna ~ω: Ui→f = ~ω
dwi→f dΩ
Tok energie je součin rychlosti přenosu energie a hustoty energie: 2 2 1 Emax Bmax Φ=c + = 2 8π 8π E = −1 ∂ A B = ∇ × A c ∂t = = ω Emax = Bmax = 2A0 c c 1 ω2 = |A0 |2 = 2 π c2 1 ω2 = |A0 |2 2π c a po dosazení dσi→f 2π~c 1 dwi→f = = dΩ ω |A0 |2 dΩ 32e2 (ǫ · k)2 ka30 = mcω (1 + q 2 a20 )4 Zaveďme ještě souřadnou soustavu tak, aby vektor polarizace ǫ mířil do směru osy x, vlnový vektor dopadající vlny κ do směru osy z. Ve sférických souřadnicích dostaneme ǫ · k = k sin θ cos φ q 2 = k 2 − 2k · κ + κ2 = k 2 − 2k
ω 2 ω cos θ + c c
Při výpočtu jsme uvažovali, že Coulombické pole neovlivní pohyb vyraženého elektronu a ten se pohybuje jako volný. To platí pouze v případě, že k > gg |E0 |, kde E0 je energie základního stavu atomu. Tuto aproximaci lze rozvést ještě dál. Energie, kterou získá vylétávající elektron, je díky tomuto přiblížení rovna energii dopadajících fotonů: √ √ 2mEe 2mωc k= = . ~ ~ Jelikož κ = ω/c, dostáváme κ ~k p v κ =k 2 = = = k k 2mc 2mc 2c a můžeme aproximovat v 1 + q 2 a20 ≈ 1 + k 2 a20 1 − cos θ ≈ c v 2 2 ≈ k a0 1 − cos θ . c
Diferenciální účinný průřez bude
dσi→f 32e2 sin2 θ cos2 φ = . dΩ mcω (ka0 )5 1 − vc cos θ 4
Ten nabývá maxima pro φ = 0 a pro θ dané rovnicí sin2 θ d =0 dθ 1 − vc cos θ 4 3 v v v 2 sin θ cos θ 1 − cos θ − 4 sin2 θ sin θ 1 − cos θ = 0 c c c v v 2 2 cos θ − 2 cos θ − sin2 θ = 0 c c a tedy
c v 2 c cos θ = ≈ −1 ± 1 ± 4 ≈ vv . v 2 2c 2v c c První řešení nevyhovuje, pravá strana je větší než 1. Maximální pravděpodobnost emise je tedy do směru −1 ±
q
θ=
1+8
π v −2 2 c
v 2 c
φ=0
Poznámka: Integrál (8.1.3) lze vypočítat též jiným způsobem. V p-reprezentaci budeme posunovat operátor ∇ vlevo. Posunutí skrz člen eiκ·r lze provést přímo díky Coulombické kalibraci (směr šíření elektromagnetické vlny je kolmý na polarizaci). Posunutí skrz člen e−ik·r provedeme pomocí integrace Per partes. Povrchový příspěvek je 0 a gradient po zapůsobení na tento člen dá pouze faktor −ik, který je možné vytknout před integrál. Integrujeme tedy nakonec Z ~eA0 − r p ǫ · k eiq·r e a0 d3 r, hf i = − mca0 πa30 V což je vlastně Fourierova transformace vlnové funkce základního stavu atomu vodíku.
