70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN

Dadang Amir Hamzah

2015 Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

1 / 70

Outline 1

Maksimum dan Minimum

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4

Masalah Praktis (Practical Problem)

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5

Menggambar Grafik denga Kalkulus

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5


6

Teorema Nilai Rata-rata Turunan

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5


6


7

Antiturunan

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5


6


7

Antiturunan

8

Pengantar persamaan diferensial

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5


6


7

Antiturunan

8


9

Referensi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5


6


7

Antiturunan

8


9

Referensi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

3 / 70


Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalah maksimum-minimum, Misalnya :

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

4 / 70


Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalah maksimum-minimum, Misalnya : Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

4 / 70


Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalah maksimum-minimum, Misalnya : Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi. Bagaimana menentukan harga jual suatu barang agar mendapatkan keuntungan maksimum.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

4 / 70


Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalah maksimum-minimum, Misalnya : Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi. Bagaimana menentukan harga jual suatu barang agar mendapatkan keuntungan maksimum. Bagaimana menentukan jarak terpendek/minimum untuk menuju suatu tempat, dst.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

4 / 70


Salah satu aplikasi turunan adalah menyelesaikan masalah maksimum-minimum, Misalnya : Bagaimana menentukan biaya minimum suatu produksi. Bagaimana menentukan harga jual suatu barang agar mendapatkan keuntungan maksimum. Bagaimana menentukan jarak terpendek/minimum untuk menuju suatu tempat, dst. Masalah-masalah diatas dapat diselesaikan dengan terlebih dahulu menentukan fungsi yang bersesuaian kemudian mencari titik maksimum dan minimumnya.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

4 / 70


Perhatikan grafik fungsi berikut:

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

5 / 70


Perhatikan grafik fungsi berikut:

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

5 / 70

Maksimum dan Minimum Perhatikan grafik fungsi berikut:

grafik diatas mencapai titik tertinggi di (3, 5) dan terendah di (6, 2)

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

5 / 70


Dapat juga kita katakan bahwa f (3) = 5 dan f (6) = 2

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

5 / 70


Nilai f (3) = 5 disebut maksimum dan f (6) = 2 disebut minimum dari f

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

5 / 70


Definisi Misalkan D adalah domain dari suatu fungsi f dan c suatu bilangan pada domain D f (c) disebut nilai maksimum dari f pada D jika untuk setiap x ∈ D, f (c) ≥ f (x). f (c) disebut nilai minimum dari f pada D jika untuk setiap x ∈ D, f (c) ≤ f (x). f (c) disebut nilai ekstrim dari f pada D apabila f (c) adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

6 / 70

Eksistensi Nilai Ekstrim

Teorema Nilai Ekstrim Jika f kontinu pada interval tutup [a, b] maka f pasti mempunyai nilai maksimum, nilai maksimum, atau keduanya.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

7 / 70

Eksistensi Nilai Ekstrim

Teorema Nilai Ekstrim Jika f kontinu pada interval tutup [a, b] maka f pasti mempunyai nilai maksimum, nilai maksimum, atau keduanya. Ilustrasi :

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

7 / 70


Teorema titik kritis Misal f terdefinisi pada interval I = [a, b]. Titik-titik kritis dari f berada pada Titik-titik ujung dari I. Titik stasioner dari f , yakni x = c sedemikian sehingga f 0 (c) = 0 untuk suatu c ∈ I. Titik singular dari f atau titik dimana f tidak punya turunan di titik tersebut.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

8 / 70


Teorema titik kritis Misal f terdefinisi pada interval I = [a, b]. Titik-titik kritis dari f berada pada Titik-titik ujung dari I. Titik stasioner dari f , yakni x = c sedemikian sehingga f 0 (c) = 0 untuk suatu c ∈ I. Titik singular dari f atau titik dimana f tidak punya turunan di titik tersebut. catatan: Jika f (x) kontinu pada interval tutup: Nilai ekstrim hanya mungkin terjadi pad titik kritis

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

8 / 70

Identifikasi Nilai Ekstrim

Menentukan nilai ekstrim fungsi pada interval tutup [a, b] 1

Tentukan semua titik kritis.

2

Bandingkan nilai-nilai f (x) pada titik-titik tersebut.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

9 / 70

Problem

1

Tentukan nilai-nilai ekstrim dari a. x2 + 4x + 4 pada selang [−4, 0]. b. f (x) = x + 2 cos(x) pada selang [−π, 2π]

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

10 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5


6


7

Antiturunan

8


9

Referensi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

11 / 70

Informasi dari Turunan : Kemonotonan Perhatikan gambar berikut :

Figure: Garis merah adalah garis singgung dari grafik f

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

12 / 70

Kemonotonan

Definisi (Kemonotonan) Misalkan f (x) terdefinisi pada sebuah interval I. 1

f disebut monoton naik pada I jika untuk setiap x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 → f (x1 ) < f (x2 ).

2

f disebut monoton turun pada I jika untuk setiap x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 → f (x1 ) > f (x2 ).

3

f disebut monoton pada I jika f (c) monoton naik atau monoton turun pada I.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

13 / 70

Uji Kemonotonan

Teorema Misalkan f (x) kontinu pada interval I dan f 0 (x) ada untuk setiap titik dalam I. 1

2

Jika f 0 (x) > 0 untuk setiap titik dalam I, maka f (x) monoton naik pada I. Jika f 0 (x) < 0 untuk setiap titik dalam I, maka f (x) monoton turun pada I.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

14 / 70

Uji Kemonotonan

Teorema Misalkan f (x) kontinu pada interval I dan f 0 (x) ada untuk setiap titik dalam I. 1

2

Jika f 0 (x) > 0 untuk setiap titik dalam I, maka f (x) monoton naik pada I. Jika f 0 (x) < 0 untuk setiap titik dalam I, maka f (x) monoton turun pada I.

Teorema ini dapat digunakan untuk menentukan interval dimana f (x) monoton naik dan interval dimana f (x) monoton turun.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

14 / 70

Problem

Tentukan interval di mana fungsi-fungsi berikut monoton naik dan dimana monoton turun 1

f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5

2

f (x) =

x x2 +1

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

15 / 70

Grafik soal No.1

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

16 / 70

Grafik soal No.2

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

17 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5


6


7

Antiturunan

8


9

Referensi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

18 / 70

Kecekungan (Concavity)

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

19 / 70

Kecekungan

Definisi Cekung ke Atas/Bawah Misalkan f (x) terdefinisi pada sebua interval buka I. Grafik fungsi f (x) dikatakan 1

Cekung ke atas pada I, jika f 0 (x) monoton naik pada I.

2

Cekung ke bawah pada I, jika f 0 (x) monoton turun pada I.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

20 / 70

Teorema kecekungan

Teorema kecekungan Misalkan f fungsi yang terdiferensialkan dua kali pada interval buka I. i. Jika f 00 (x) >0 pada x ∈ I, maka f cekung ke atas pada I. ii. Jika f 00 (x) < 0 pada x ∈ I, maka f cekung ke bawah pada I.

Contoh Tentukan interval di mana fungsi-fungsi berikut cekung ke atas dan dimana cekung ke bawah 1

f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5

2

f (x) =

x x2 +1

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

21 / 70

Titik belok

Titik belok adalah titik dimana kecekungan grafik f (x) berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

22 / 70

Titik belok

Apakah jika f 00 (c) = 0, maka c adalah titik belok?

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

23 / 70

Titik belok

Apakah jika f 00 (c) = 0, maka c adalah titik belok? Coba tentukan semua titik beloknya, bila ada : 1 2

f (x) = sin(x) f (x) = x4

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

23 / 70

Ekstrim Lokal

Definisi Misalkan c ∈ Df domain fungsi f . f (c) disebut nilai maksimum lokal dari f (x) jika terdapat interval J ⊂ Df sedemikian sehingga f (c) > f (x) untuk setiap x ∈ J. f (c) disebut nilai minimum lokal dari f (x) jika terdapat interval J ⊂ Df sehingga f (c) < f (x) untuk setiap x ∈ J.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

24 / 70

Nilai Ekstrim Lokal

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

25 / 70

Definisi Ekstrim Lokal pada Interval buka

Definisi f (c) disebut nilai maksimum lokal jika terdapat selang buka (a, b) sehingga a < x < b dan x ∈ Df → f (c) ≥ f (x) f (c) disebut nilai minimum lokal jika terdapat selang buka (a, b) sehingga a < x < b dan x ∈ Df → f (c) ≤ f (x) f (c) disebut nilai ekstrim lokal f (x) jika f (c) adalah nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

26 / 70

Lokasi Nilai Ekstrim

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

27 / 70

Lokasi Nilai Ekstrim

Teorema (Uji turunan pertama) Misalkan c adalah titik kritis f (x) dan f (x) terdefinisi pada interval (a, b) yang memuat c. 1

2

3

Jika f 0 < 0 pada (a, c) dan f 0 > 0 pada (c, b), maka f (c) adalah nilai minimum lokal f . Jika f 0 > 0 pada (a, c) dan f 0 < 0 pada (c, b), maka f (c) adalah nilai maksimum lokal f . Jika tanda f 0 sama pada kedua sisi dari c, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal f .

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

28 / 70

Problem

Tentukan nilai-nilai ekstrim fungsi 1

f (x) = 13 x3 − x2 + 3x + 4 pada (∞, ∞)

2

f (x) = sin 3 (x) pada (− π6 , 2π 3 )

2

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

29 / 70

2

Grafik fungsi f (x) = sin 3 (x) pada (− π6 , 2π 3 )

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

30 / 70

Uji Turunan Kedua

Teorema (Uji turunan kedua) Jika f 0 dan f 00 ada pada interval (a, b) yang memuat c, dan f 0 (c) = 0, maka 1

Jika f 00 (c) > 0 , maka f (c) adalah nilai minimum lokal

2

Jika f 00 (c) < 0, maka f (c) adalah nilai maksimum lokal

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

31 / 70

Contoh

Tentukan semua nilai ekstrim f (x) = x4 − 4x pada interval (−∞, ∞)

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

32 / 70

Contoh

Tentukan semua nilai ekstrim f (x) = x4 − 4x pada interval (−∞, ∞) 1

f 0 (x) = 4x3 − 4 = 4(x3 − 1) = 4(x − 1)(x2 + x + 1), dengan (x2 + x + 1) > 0 untuk setiap x.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

32 / 70

Contoh

Tentukan semua nilai ekstrim f (x) = x4 − 4x pada interval (−∞, ∞) 1

2

f 0 (x) = 4x3 − 4 = 4(x3 − 1) = 4(x − 1)(x2 + x + 1), dengan (x2 + x + 1) > 0 untuk setiap x. f memiliki satu titik kritis yaitu x = 1, dengan x < 1 → f 0 (x) < 0 dan x > 1 → f 0 (x) > 0 maka f (1) adalah nilai minimum global. f (x) tidak mempunyai nilai maksimum.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

32 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5


6


7

Antiturunan

8


9

Referensi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

33 / 70

Contoh

Sebuah kotak tanpa tutup akan dibuat dari suatu karton yang mempunyai panjang 24 inci dan lebar 9 inci dengan cara membuat jaring-jaring kotak dan membuang bagian yang diarsir seperti gambar dibawah. Tentukan ukuran kotak sehingga didapat volume maksimum? Berapakah volume maksimumnya?

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

34 / 70

Solusi

1

V (x) = (24 − 2x)(9 − 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 29 .

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

35 / 70

Solusi

1

V (x) = (24 − 2x)(9 − 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 29 .

2

V 0 (x) = 12x2 − 132x + 216 = 12(x − 2)(x − 9)

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

35 / 70

Solusi

1

V (x) = (24 − 2x)(9 − 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 29 .

2

V 0 (x) = 12x2 − 132x + 216 = 12(x − 2)(x − 9) I

Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92 }), stasioner ({2}), tidak ada titik singular karena V (x) adalah polinom (suku banyak).

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

35 / 70

Solusi

1

V (x) = (24 − 2x)(9 − 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 29 .

2

V 0 (x) = 12x2 − 132x + 216 = 12(x − 2)(x − 9) I

I

Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92 }), stasioner ({2}), tidak ada titik singular karena V (x) adalah polinom (suku banyak). Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

35 / 70

Solusi

1

V (x) = (24 − 2x)(9 − 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 29 .

2

V 0 (x) = 12x2 − 132x + 216 = 12(x − 2)(x − 9) I

I I

Titik-titik kritis: ujung interval ({0, 92 }), stasioner ({2}), tidak ada titik singular karena V (x) adalah polinom (suku banyak). Jelas V (0) = V ( 92 ) = 0. Sedangkan V (2) = 200. V 0 (x) > 0 pada (0, 2) dan V 0 (x) < 0 pada (2, 92 ). Jadi V (2) adalah nilai maksimum (global).

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

35 / 70

Solusi

1

V (x) = (24 − 2x)(9 − 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 29 .

2

V 0 (x) = 12x2 − 132x + 216 = 12(x − 2)(x − 9) I

I I

3


Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

35 / 70

Solusi

1

V (x) = (24 − 2x)(9 − 2x)x = 4x3 − 66x2 + 216x untuk 0 ≤ x ≤ 29 .

2

V 0 (x) = 12x2 − 132x + 216 = 12(x − 2)(x − 9) I

I I


3

Maka V mencapai nilai maksimum yaitu 200 saat x = 2.

4

Ukuran kotak adalah p = 20, l = 5, dan tinggi x = 2.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

35 / 70

Solusi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

36 / 70

Tips Menyelesaikan soal Masalah Praktis

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

37 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5


6


7

Antiturunan

8


9

Referensi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

38 / 70

Guidelines

Informasi-informasi berikut (walau tidak selalu semua ada atau diperlukan) akan membantu kita untuk mensketsa grafik suatu fungsi 1 2 3 4 5 6 7

Domain Titik-titik potong dengan sumbu-x atau sumbu-y Interval kemonotonan Titik stasioner, titik maks lokal dan min lokal Interval kecekungan Titik belok Asimptot: Horizontal, vertikal, miring (jika ada)

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

39 / 70

Contoh Sketsa grafik f (x) = 1 2

3

2x2 x2 −1

Domain : semua bilangan real kecuali x = −1 dan x = 1. f (0) = 0 dan f (x) = 0 memberikan x = 0. Jadi, grafik memotong sumbu-x dan sumbu-y di (0, 0) f 0 (x) = (x−4x 2 −1)2 . I I

Titik kritis hanya titik stasioner. f 0 (x) = 0 jika x = 0. pada x > 0, f 0 (x) < 0, grafik f turun pada (0, 1) ∪ (1, ∞) kemudian pada x < 0, f 0 (x) > 0, grafik f naik pada (−∞, −1) ∪ (−1, 0) 2

4

5

+1) 4 f 00 (x) = 4(3x untuk semua x 6= −1, 1. Karena f 00 (0) = −1 < 0, (x2 −1)3 f (0) adalah nilai maks lokal. Tanda f 00 (x) ditentukan oleh tanda penyebut (x2 − 1)3 karena pembilang selalu positif.

(x2 − 1)3 > 0 jika x2 − 1 > 0, jhj x < −1 atau x > 1 dan (x2 − 1)3 < 0 jika , x2 − 1 < 0 jhj − 1 < x < 1 Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

40 / 70

2x2 2 x x→∞ −1

6. lim

2x2 2 x x→−∞ −1

= 0 = lim

= f (x). Terdapat satu asimptot datar

di y = 0. Calon asimptot tegak x = 1 dan x = −1. lim

x→1+

2x2 = +∞. x2 − 1

garis x = 1 adalah asimptot tegak. lim

x→1−

lim

x→−1+

x=-1 asimptot tegak.

Dadang Amir Hamzah

lim

x→−1−

2x2 x2 −1

= −∞.

2x2 = −∞ x2 − 1

2x2 x2 −1

= ∞.

Matematika I

Semester I 2015

41 / 70

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

42 / 70

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

43 / 70

Problem

Sketsa grafik fungsi berikut 1

f (x) =

2

f (x) =

2 √x x+1 cos x 2+sin x

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

44 / 70

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

45 / 70

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

46 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5


6


7

Antiturunan

8


9

Referensi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

47 / 70

TNR Turunan

Teorema Nilai Antara Turunan Misalkan f adalah fungsi yang memenuhi 1. f kontinu pada interval tutup [a, b]. 2. f differensiabel pada interval buka (a, b). Maka terdapat c anggota (a, b) sedemikian sehingga f 0 (c) =

f (b) − f (a) b−a

atau f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a)

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

48 / 70


Contoh : Misalkan f (x) = x3 − x adalah fungsi yang terdefinisi pada [0, 2]. Tentukan nilai c pada (0, 2) sedemikian sehingga f 0 (c) =

Dadang Amir Hamzah

f (2) − f (0) 2−0

Matematika I

Semester I 2015

49 / 70


Teorema Jika f 0 (x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f fungsi konstan pada (a, b).

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

50 / 70

Teorema Nilai Rata-rata Turunan Teorema Jika f 0 (x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f fungsi konstan pada (a, b).

Proof. Misalkan x1 dan x2 anggota (a, b) dengan x1 < x2 . Karena f diferensiabel di (a, b) maka f juga diferensiabel di (x1 , x2 ) dan kontinu pada [x1 , x2 ]. Dengan Teorema Nilai Antara dari f pada [x1 , x2 ] ada c sedemikian sehingga x1 < c < x2 dan f (x2 ) − fx1 = f 0 (c)(x2 − f (x1 ) karena f 0 (x) = 0 untuk setiap x , maka f 0 (c) = 0. Sehingga f (x2 ) − f (x1 ) = 0 atau f (x1 ) = f (x2 ). f bernilai sama untuk setiap x1 , x2 di (a, b) atau f konstan pada (a, b). Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

50 / 70


Akibat Jika f 0 (x) = g 0 (x) untuk setiap x pada interval (a, b) maka f − g konstan pada (a, b) atau f (x) = g(x) + C, dengan c konstanta.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

51 / 70


Akibat Jika f 0 (x) = g 0 (x) untuk setiap x pada interval (a, b) maka f − g konstan pada (a, b) atau f (x) = g(x) + C, dengan c konstanta. Misal F (x) = f (x) − g(x). Akibatnya F 0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x) = 0 untuk setiap x pada (a, b). Sehingga menurut teorema sebelumnya F = C, jadi f (x) = g(x) + C.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

51 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5


6


7

Antiturunan

8


9

Referensi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

52 / 70

Antiturunan Seringkali diperlukan juga menentukan fungsi F sehingga F 0 = f . Fungsi F disebut antiturunan dari f .

Definisi Fungsi F disebut antiturunan dari f pada interval I jika F 0 (x) = f (x) untuk setiap x ∈ I. Contoh: F (x) = x3 adalah antiturunan dari f (x) = 3x2 pada interval (−∞, ∞). I I

Tetapi F (x) = x3 + 10 juga memenuhi hubungan F 0 = f . Tentunya F (x) + C, memenuhi hubungan F 0 = f , apapun nilai C ∈ R.

Jadi, untuk setiap C ∈ R, F (x) = x3 + C adalah antiturunan f (x) = 3x2 pada interval (−∞, ∞). Apakah setiap antiturunan dari f (x) = 3x2 juga berbentuk F (x) = x3 + C? Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

53 / 70

Akibat TNR Teorema Jika f 0 (x) = g 0 (x) untuk setiap x ∈ (a, b), maka terdapat bilangan real C ∈ R sehingga f (x) = g(x) + C

untuk setiap x ∈ (a, b)

Proof. Misalan h(x) = f (x) − g(x). Pilih sembarang x1 ∈ (a, b). Untuk setiap x 6= x1 , kriteria TNR terpenuhi. Jadi terdapat c diantara x1 dan x sehingga h(x1 ) − h(x) = h0 (c)(x − c). Tetapi kita tahu h0 (c) = f 0 (c) − g 0 (c) = 0, sehingga h(x1 ) − h(x) = 0 atau h(x) = h(x1 ). Jadi h(x) = f (x) − g(x) = h(x1 ) konstan pada (a, b). Misal C = h(x1 ), f (x) = g(x) + C.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

54 / 70

Antiturunan Teorema ini mengatakan jika dua fungsi turunannya sama, maka selisih diantara keduanya konstan. Kembali ke pertanyaan semula: Apakah setiap antiturunan dari f (x) = 3x2 juga berbentuk F (x) = x3 + C? I

I

Bila g(x) adalah antiturunan dari f (x), dan F (x) = x3 , maka g 0 (x) = f (x) = F 0 (x). Jadi, g(x) = F (x) + C = x3 + C, untuk suatu C ∈ R

Teorema Jika F adalah antiturunan dari f pada interval I, maka bentuk paling umum dari antiturunan dari f adalah F (x) + C, Dadang Amir Hamzah

C konstanta sembarang Matematika I

Semester I 2015

55 / 70

Antiturunan

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

56 / 70

Notasi Antiturunan

Notasi Leibniz: antiturunan dari f (x) ditulis sebagai Z f (x)dx Jika F (x) adalah salah satu antiturunan dari f , maka Z f (x)dx = F (x) + C yang menyatakan bentuk paling umum dari semua antiturunan dari f . I I

f (x) disebut integran. x disebut variabel integrasi.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

57 / 70

Contoh 1

2 3 4

5

Jika r bilangan pecahan, f 6= −1, maka Z xr+1 xr dx = +C r+1 R R cos x dx = sin x + C sin x dx = − cos x + C Kelinearan antiturunan : Z Z kf (x)dx = k f (x)dx Z Z Z (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx

(1) (2)

Jika g(x) mempunyai turunan pada interval I dan r 6= −1 bilangan pecahan, maka Z [g(x)]r+1 [g(x)]r g 0 (x)dx = + C. r+1 Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

58 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5


6


7

Antiturunan

8


9

Referensi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

59 / 70

Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan turunan atau diferensial. Contoh: Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan gradien garis singggungnya pada tiap titik adalah dua kali koordinat-x titik tersebut. I

dy = 2x dan y(−1) = 2. dx I

dy dx

= g(x) = 2x maka haruslah Z y = g(x)dx

Metode 1: Dari persamaan

yaitu y(x) = x2 + C. Karena melalui (1, 2) maka 2 = y(−1) = (−1)2 + C. Jadi, C = 1. Persamaan kurva adalah y = x2 + 1. Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

60 / 70

Persamaan diferensial

dy Metode 2: Padang dx sebagai perbandingan dua diferensial, kalikan kedua ruas dengan dx, dy = 2xdx Z Z dy = 2xdx

y + C1 = x 2 + C2 y = x2 + C, C = C2 − C1 menggunakan data awal melalui (−1, 2), kita peroleh C = 1. Jadi, y = x2 + 1.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

61 / 70

Persamaan diferensial Keluarga kurva y = x2 + C

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

62 / 70

Solusi Persamaan Diferensial Bentuk umum persamaan diferensial orde-1: F (x, y, y 0 ) = 0. contoh sin(xy) + x2 y 0 − y 2 y 0 − 4 = 0 Dalam bentuk eksplisit: y 0 = G(x, y) Contoh: y 0 = 4−sin(xy) x2 −y 2 Sebuah fungsi y = f (x) disebut Solusi (penyelesaian) persamaan diferensial F (x, y, y 0 ) = 0, jika memenuhi persamaan tersebut, yaitu F (x, f (x), f 0 (x)) = 0 Persamaan diferensial dengan syarat awal y(x0 ) = y0 disebut masalah nilai awal. Contoh: 0 y = 2x y(1) = 3 Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

63 / 70

Contoh MNA:

dy dx

=

q

x y,

y(1) = 4.

y

=

√ R √xdx xdx 2 23 x +C 3 2 3 x2 + C 3

3

2

⇒ C = 4 2 −1=7

√ R √ydy = ydy = 2 32 y = 3

melalui y(1) = 4, 4 = 12 + C

3

3

Jadi solusi MNA adalah y = x 2 + 7

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

3

2 3

Semester I 2015

64 / 70

Persamaan diferensial

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

65 / 70

Contoh

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

66 / 70

Contoh

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

67 / 70

Contoh

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

68 / 70

Outline 1


2

Kemonotonan Fungsi

3

Kecekungan

4


5


6


7

Antiturunan

8


9

Referensi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

69 / 70

Referensi

E.J. Purcell, J.W. Brown, S.E. Rigdon Calculus: Ninth Edition,Pearson International Edition, Singapore 2009. J. Stewart Calculus: 7th Edition, Brooks Cole, New York 2011. Oki Neswan Slide Kuliah Kalkulus IB FMIPA-ITB 2011. R. Larson Applied Calculus: For the life and social science, Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company, Boston USA 2009.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

70 / 70

70

Recommend Documents