7th International Scientific – Technical Conference – PROCESS CONTROL 2006 June 13 – 16, 2006, Kouty nad Desnou, Czech Republic
ˇ EN ˇ ˇ I´ SPOLEHLIVE´ CINNOSTI ´ ZAJIST ADAPTIVNIHO LQ ´ REGULATORU ¨ JOSEF BOHM ´ Ustav teorie informace a automatizace ˇ e republiky Akademie vˇed Cesk´ Pod vod´arenskou vˇezˇ´ı 4, 182 08 Praha 8 fax : +420-2-66052068 and e-mail :
[email protected] ˇ anek se zab´yv´a problematikou zv´ysˇen´ı spolehlivosti adaptivn´ıch LQ regul´ator˚u. K Abstrakt: Cl´ tomu se vyuˇz´ıv´a druh´y, pevnˇe nastaven´y regul´ator, robustnˇe nastaven´y, obvykle typu PI. Modifikovan´a synt´eza adaptivn´ıho LQ regul´atoru umoˇznˇ uje spolupracovat s t´ımto alternativn´ım regul´atorem tak, zˇ e podle nastaven´ı jedn´e dalˇs´ı penalizaˇcn´ı konstanty dociluje toho, zˇ e se celkov´e chov´an´ı adaptivn´ıho regul´atoru bl´ızˇ´ı bud’ chov´an´ı robustnˇe nastaven´eho alternativn´ıho regul´atoru nebo chov´an´ı LQ regul´atoru charakterizovan´e obvykl´ymi penalizaˇcn´ımi maticemi. Kl´ıcˇ ov´a slova: Adaptivn´ı ˇr´ızen´ı, LQ ˇr´ızen´ı
´ UVOD Pouˇzit´ı adaptivn´ıho pˇr´ıstupu pˇri n´avrhu a realizaci regul´atoru pro uvaˇzovan´y proces pˇrin´asˇ´ı celou ˇradu v´yhod, zejm´ena:
1
• nen´ı tˇreba pˇredem z´ıskat pˇresn´e parametry modelu procesu, • vlastn´ı regulaˇcn´ı proces obvykle poskytuje dostateˇcnˇe vybuzen´a data pro postupnou dobrou identifikaci, • prov´adˇen´ı synt´ezy v kaˇzd´e periodˇe vzorkov´an´ı umoˇznˇ uje snadno modifikovat ˇr´ıd´ıc´ı z´akon podle aktu´aln´ıch poˇzadavk˚u. Nedostatkem pˇr´ıstupu je skuteˇcnost, zˇ e v pr˚ubˇehu ˇr´ızen´ı se obvykle pˇreb´ıraj´ı parametry modelu z procesu identifikace bez jak´ekoli garance toho, zˇ e jejich pouˇzit´ı v n´avrhu regul´atoru zajist´ı dobr´y regulaˇcn´ı pochod. Nebezpeˇc´ı sˇpatn´ych odhad˚u je typick´e pro poˇca´ tek adaptaˇcn´ıho procesu, kdy se pouˇz´ıvaj´ı apriorn´ı odhady modelu (nˇekdy dostateˇcnˇe dobr´e), ale odhady se mohou vych´ylit i v pr˚ubˇehu ˇr´ızen´ı vlivem nepˇredpokl´adan´ych poruch r˚uzn´e povahy. Tato skuteˇcnost je pravdˇepodobnˇe hlavn´ı d˚uvod pro obavy z pouˇzit´ı adaptivn´ıho pˇr´ıstupu. Pˇri aplikaci adaptivn´ıho regul´atoru na konkr´etn´ı technologick´y proces nen´ı obvyle obt´ızˇ n´e doplnit adaptivn´ı regul´ator specifick´ym supervizorem, kter´y sleduje regulaˇcn´ı pochod a v pˇr´ıpadˇe, zˇ e dojde k z´avadˇe cˇ i zhorˇsen´ı procesu, provede akce jako restart regul´atoru cˇ i pˇrepne na manu´aln´ı reˇzim. I na obecn´e u´ rovni je moˇzn´e omezit vliv uveden´eho jevu do znaˇcn´e m´ıry r˚uzn´ymi opatˇren´ımi, jak v oblasti identifikace, tak v oblasti synt´ezy. V oblasti identifikace je to pˇredevˇs´ım vyuˇzit´ı apriorn´ı informace o procesu jak pro poˇca´ teˇcn´ı odhady parametr˚u, tak v technice zapom´ın´an´ı v pr˚ubˇeho ˇr´ıd´ıc´ıho procesu. Omezen´e zapom´ın´an´ı Kulhav´y a Zarrop [1993]; Kulhav´y [1987] m˚uzˇ e zajistit, zˇ e zˇ e se odhady parametr˚u pˇr´ıliˇs neodch´yl´ı od alternativn´ıho modelu. Ten je obvykle pevn´y, sestaven´y na z´akladˇe apriorn´ıch hodnot. T´ım se proces identifikace st´av´a m´enˇe citliv´y na r˚uzn´e poruchy. Aby bylo moˇzn´e sledovat i promˇen´e parametry je moˇzn´e alternativn´ı model rovnˇezˇ vyv´ıjet v cˇ ase. Opatˇren´ı v oblasti synt´ezy. Problematika spolehliv´e cˇ innosti adaptivn´ıho regul´atoru zejm´ena v jeho poˇca´ teˇcn´ı f´azi je do znaˇcn´e m´ıry obdobn´a problematice pˇripojen´ı libovoln´eho navrˇzen´eho regul´atoru do re´aln´e smyˇcky. V R153 – 1
7th International Scientific – Technical Conference – PROCESS CONTROL 2006 June 13 – 16, 2006, Kouty nad Desnou, Czech Republic
ned´avn´e minulosti bylo navrˇzeno rˇeˇsit problematiku pˇripojen´ı regul´atoru tak, zˇ e pro apriorn´ı znalost modelu se navrhne robustn´ı regul´ator, kter´y se aplikuje. V pr˚ubˇehu procesu ˇr´ızen´ı se sb´ıraj´ı data, kter´a se pouˇzij´ı pro upˇresnˇen´ı modelu, n´asleduje nov´y n´avrh robustn´ıho regul´atoru, kde se vˇsak uvaˇzuje menˇs´ı oblast neurˇcitosti. Cel´y proces se pak opakuje. Uveden´emu iteraˇcn´ımu procesu, kdy se stˇr´ıd´a identifikace procesu s n´avrhem ˇr´ızen´ı v pr˚ubˇehu ˇr´ızen´ı procesu se nˇekdy ˇr´ık´a “windsurfer” pˇr´ıstup Zang et al. [1995]; Schrama [1992]. Nav´ıc se v ˇradˇe prac´ı (na pˇr. Hjalmarsson et al. [1996]) uv´ad´ı, zˇ e pouˇzit´ı dat z uzavˇren´e smyˇcky pro z´ısk´an´ı modelu pouˇz´ıvan´eho pro n´avrh regul´atoru je v´yhodnˇejˇs´ı neˇz pouˇzit´ı dat z experiment˚u v otevˇren´e smyˇcce. Jedn´a se tedy o realizaci pˇr´ıstupu, kdy mˇen´ıme vlastnosti regul´atoru podle kvality pouˇzit´eho modelu. Pˇritom robustn´ı nastaven´ı, kter´e nen´ı schopno poskytnou vysokou kvalitu ˇr´ızen´ı se nastav´ı jen v pˇr´ıpadech, kdy model dostateˇcnˇe pˇresn´y, at’ uˇz t´ım zˇ e jsme na poˇca´ tku identifikaˇcn´ıho procesu nebo se vlivem poruchy pˇresnost modelu zhorˇsila. Pod´ıv´ame-li se na princip adaptivn´ıho LQ regul´atoru, stˇr´ıd´an´ı identifikace a synt´ezy je j´adrem jeho cˇ innosti a ˇr´ıd´ı se pr´avˇe popsan´ymi doporuˇcen´ımi s t´ım, zˇ e tyto iterace se prov´adˇej´ı v kaˇzd´e periodˇe vzorkov´an´ı. Co se dosud nerealizovalo byl robustn´ı n´avrh regul´atoru v pˇr´ıpadech, kdy lze oˇcek´avat vˇetˇs´ı neurˇcitost modelu. ´ ´ ´ ´ ROBUSTNIM ´ REGULATOREM SPOLUPRACE LQ REGULATORU S ALTERNATIVNIM Z´ıskat robustn´ı regul´ator je moˇzn´e nˇekolika zp˚usoby.
2
• Zv´ysˇen´ım pˇrirozen´e robustnosti LQ regul´atoru • Realizac´ı vhodn´eho PI(D) regul´atoru jako reprezentanta robustn´ıho n´avrhu • Pouˇzit´ım obecn´e metodiky robustn´ıho n´avrhu V tomto pˇr´ıspˇevku se budeme pˇredevˇs´ım vˇenovat druh´emu pˇr´ıpadu, kdy budeme povaˇzovat vhodnˇe nastaven´y PI(D) regul´ator za robustn´ı regul´ator. Jde zejm´ena o to, zˇ e PID regul´ator se da pomˇernˇe snadno nastavit, ale zejm´ena je vˇetˇsinou pro ˇr´ızen´ı uvaˇzovan´eho procesu k disposici. Obecnˇe ale budou naˇse uvahy platit pro libovoln´y regul´ator, kter´y se d´a napsat ve formˇe u(k) = LA x(k − 1)
(1)
kde x(k) = [y(k), y(k − 1), . . ., y(k − n), u(k), . . ., u(k − m) LA je vektor koeficient˚u Probl´em je jak´ym zp˚usobem dos´ahnout toho, aby se LQ regul´ator choval jako PID respektive aby se choval podle pˇredepsan´eho ˇr´ıd´ıc´ıho z´akona LA z (1). Potom, promˇennou volbou penalizac´ı v krit´eriu dos´ahneme toho, zˇ e generovan´y sign´al takov´ym regul´atorem bude m´ıt vlastnosti bl´ızˇ´ıc´ı se PID regul´atoru na jedn´e stranˇe nebo LQ regul´atoru pˇri jin´e kombinaci penalizac´ı. Toho lze dos´ahnout dvˇema zp˚usoby. 1. Vyuˇz´ıt vstupu referenˇcn´ıho sign´alu u0. 2. Nal´ezt takovou penalizaˇcn´ı matici Q, kter´a by vedla ke generov´an´ı akˇcn´ıch z´asah˚u podle pˇrenosu LA . 2.1
Vyuˇzit´ı referenˇcn´ıho vstupu Vyuˇzit´ı referenˇcn´ıho vstupu pˇredstavuje velmi jednoduchou metodu, jak zkloubit cˇ innost PID regul´atoru s LQ. Standardn´ı krit´erium pro LQ n´avrh lze napsat n´asledovnˇe Ψ=
t+T X
[qy (y(k) − w(k))2 + qu (u(k) − u0(k))2 ] + x0 (T )S0 x(T ),
t+1
R153 – 2
(2)
7th International Scientific – Technical Conference – PROCESS CONTROL 2006 June 13 – 16, 2006, Kouty nad Desnou, Czech Republic
Minimalizace tohoto krit´eria vede na optim´aln´ı ˇr´ıd´ıc´ı z´akon ve tvaru: u(k) = Lx(k − 1) + Lww(k − 1) + Lu0u0(k − 1)
(3)
Reference vstupu u0 m˚uzˇ e b´yt vyuˇzita n´asleduj´ıc´ım zp˚usobem: 1. Pˇrirozenˇe, m˚uzˇ e m´ıt v´yznam referenˇcn´ı hodnoty vstupu pro dan´y pracovn´ı bod soustavy. 2. Lze ji uvaˇzovat jako dalˇs´ı promˇennou a optimalizac´ı jej´ı hodnoty z´ıskat regulaˇcn´ı pochod bez trval´e regulaˇcn´ı odchylky pˇri odezvˇe na skok B¨ohm [1988]. 3. u0 nemus´ı b´yt konstantn´ı. M˚uzˇ e to b´yt v´ystup jin´eho regul´atoru. Necht’ je u0(k) line´arn´ı funkc´ı zpoˇzdˇen´ych vstup˚u a v´ystup˚u. Tedy u0(k) = LA x(k − 1)
(4)
V pˇr´ıpadˇe, zˇ e je u0(k) generov´ano podle (4) nˇejak´ym jin´ym regul´atorem, vznik´a tak paraleln´ı zapojen´ı LQ regul´atoru s altenativn´ım regul´atorm LA , nebot’ vztah (3) se zmnˇen´ı na u(k) = (L + Lu0LA )x(k − 1) + Lww(k − 1) . V´yraz (L + Lu0LA ) je ovlivnˇen penalizac´ı Qy a Qu . Pro nepromˇenn´e Qy bude pro Qu → 0 vliv LA zanedbateln´y, pro Qu → ∞ bude LQ regul´ator sledovat sign´al u0. T´ımto zp˚usobem, zmˇenou Qu , z´ısk´ame regul´atory s r˚uzn´ymi vlastnostmi, kter´e se budou mˇenit od regul´atoru PID, s ˇr´ıd´ıc´ım z´akonem LA aˇz po standardn´ı LQ regul´ator. Pozn. Synt´eza regul´atoru v tomto pˇr´ıpadˇe nev´ı, jak je generov´an sign´al u0 a proto ani nen´ı zajiˇstˇeno, zˇ e paraleln´ı kombinace obou regul´ator˚u zajist´ı stabilitu obvodu. Pˇres tento nedostatek je uveden´e ˇreˇsen´ı pro svou jednoduchost zaj´ımav´e. Zejm´ena v pˇr´ıpadˇe, zˇ e jako alternativn´ı regul´ator zvol´ıme pouze I regul´ator, povede uveden´e zapojen´ı k odstranˇen´ı trval´e regulaˇcn´ı odchylky pˇri skokov´e odezvˇe. 2.2
Modifikace kvadratick´eho krit´eria. V´ysˇe popsan´y nedostatek je vˇsak moˇzno odstranit v pˇr´ıpadˇe, zˇ e se podaˇr´ı nal´ezt takov´e kvadratick´e krit´erium, jehoˇz minimalizace vede na pˇredepsan´y ˇr´ıd´ıc´ı z´akon PID regul´atoru. Uk´azˇ eme si, jak toho m˚uzˇ eme dos´ahnout. Vyjdeme z toho, zˇ e synt´ezu regul´atoru vˇsak lze prov´est pro obecnˇejˇs´ı formu krit´eria. Bob´al et al. [1998, 2005] Ψ=
tX 0 +T
Q1 + Q2 + . . . Qn
(5)
t0 +1
kde z(k) = [u(k), x(k − 1)] a Qi = z(k)0 fi0 αfi z(k) fi je vektor parametr˚u a m´a dimenzi odpov´ıdaj´ıc´ı vektoru z(k). Vid´ıme, zˇ e kvadratick´a forma Qi m˚uzˇ e obsahovat tak zvan´y kˇr´ızˇ e´ v´y cˇ len, tedy penalizaci typu u(k)0 Qux x(k − 1) Pr´avˇe tento typ penalizace v kvadratick´em krit´eriu vyuˇzijeme pro n´asˇ c´ıl. Obvykle jsou penalizace u a x (resp. y) striktnˇe oddˇeleny. Dokonce se ukazuje, zˇ e pokud by se takov´y cˇ len (u0 Qux x) v krit´eriu objevil, lse se ho zbavit substituc´ı u=u ˜ + Q−1 u Qux x
(6)
R153 – 3
7th International Scientific – Technical Conference – PROCESS CONTROL 2006 June 13 – 16, 2006, Kouty nad Desnou, Czech Republic
Zde naopak budeme takov´y kˇr´ızˇ ov´y cˇ len uvaˇzovat a jeho v´ahu Qux vyuˇzijeme k imitaci chov´an´ı PID regul´atoru. Uvaˇzujme penalizaˇcn´ı matici ve tvaru: "
QA = α
1 LA L0A L0A LA
#
(7)
a krit´erium J=
tX 0 +T
αz(t)QA z(t)
(8)
t0 +1
Pak se d´a uk´azat, zˇ e jeho minimalizace vede na ˇr´ıd´ıc´ı z´akon u∗ (k) = LA x(k − 1). LA pˇredstavuje zvolen´y ˇr´ıd´ıc´ı z´akon. Pouˇzit´ım krit´eria J=
tX 0 +T
z˜(t)(Q + αQA )˜ z (t)
(9)
t0 +1
kde Q je jak´akoli penalizaˇcn´ı matice takov´a aby (2) d´aval rozumnˇe naladˇen´y PID regul´aror. Potom zmˇenou hodnoty α z ∞ k 0 0 m˚uzˇ eme nastavovat LQ regul´ator plynule ta, aby mˇenil chov´an´ı od pevnn´eho, pˇredem nastaven´eho regul´atoru LA , aˇz po poˇzadovan´e chv´an´ı LQ regul´atoru. u(t) = u(t−1)+kI (w(t−1)−y(t−1))+kP (y(t−1)−y(t−2)+kD (y(t−1)−2y(t−2)+y(t−3))(10) Pozn. Pokud pouˇzijeme krit´erium (9) a ˇr´ıd´ıc´ı z´akon LA nebude stabilizuj´ıc´ı, bude ˇr´ızen´ı LQ regul´atoru vˇzdy stabilizuj´ıc´ı i pro velik´e hodnoty α. V takov´em pˇr´ıpadˇe ale nebude imitov´ano chov´an´ı ˇr´ızen´ı LA . Pokud je vˇsak LA stabilizuj´ıc´ı, bude LQ regul´ator pro velk´e α tento ˇr´ıd´ıc´ı z´akon imitovat. 2.3
Promˇenn´a penalizace Adaptivn´ı LQ regul´ator prov´ad´ı synt´ezu znova v kaˇzd´e periodˇe vzorkov´an´ı. To je moˇzn´e vyuˇz´ıt ke zmˇenˇe vlastnost´ı regul´atoru podle okamˇzit´ych podm´ınek regulaˇcn´ıho procesu. vzhledem k tomu ,ˇze pˇrirozen´a robustnost diskretn´ıho LQ regul´atoru z´avis´ı na penalizac´ıch Bob´al et al. [1998], je moˇzn´e volit na poˇca´ tku adaptaˇcn´ıho procesu jin´e penalizace (zejm´ena je vhodn´e pouˇz´ıt velkou penalizci Qu ) neˇz pozdˇeji, kdy doˇslo k upˇresnˇen´ı modelu. V porovn´an´ı s pˇredchoz´ımi opatˇren´ımi je vˇsak tento pˇr´ıstup m´enˇe u´ cˇ inn´y. ˇ IKLADY ´ 3 PR Realizace modifikovan´eho krit´eria (9) je velmi jednoduch´a a to zejm´ena v odmocninov´ych algoritmech LQ synt´ezy popsan´ych v Bob´al et al. [1998, 2005] Typick´e chov´an´ı takov´eho regul´atoru si uk´azˇ eme na nˇekolika jednoduch´ych pˇr´ıkladech. Uvaˇzujme jednoduchou soustavu 2. ˇra´ du s pˇrenosem .0047.0044z −1 , 1 − 1.81z −1 + .82z −2 kterou pouˇzijeme v simulaˇcn´ım schematu na obr.1 na obr.2 vid´ıme regulaˇcn´ı pr˚ubˇeh s pevn´ym PI regul´atorem s pˇrenosem F (z −1 ) =
R(z −1 ) =
(11)
10z −1 − 9.5z −2 1 − z −1
Na obr.3 je vidˇet standardn´ı bˇeh s adaptivn´ım LQ regul´atorem. Jsou vidˇet typick´e z´akmity na poˇca´ tku procesu, zp˚usoben´e nedostateˇcnou znalost´ı modelu. Na obr.4 je vidˇet p˚ubˇeh regulaˇcn´ıho pochodu pˇripˇrechodu od PI k LQ a na obr.5 je zachycen pr˚ubˇeh filtrovan´eho kvadr´atu chybu predikce, kter´ym byl pˇrestaven´ı LQ regul´atory realizov´ano.
R153 – 4
7th International Scientific – Technical Conference – PROCESS CONTROL 2006 June 13 – 16, 2006, Kouty nad Desnou, Czech Republic
.5 Gain4
Band−Limited White Noise
.02
yout
z2−1.81z+.819
To Workspace
Discrete Transfer Fcn2
1 Constant
Mux
0.0047z2 +.0043z z2−1.81z+.819 Switch
Sum2
Mux
Scope
Discrete Transfer Fcn Scope1
LQ adaptive controller
10z−1 −9.8z−2 1−z−1
necessary to define sampling per. To in the workspace
Signal generator
Sum3
Discrete Filter
Controller
uout
1
MATLAB Function
To Workspace1
1−0.8z−1
MATLAB Fcn
Scope2
Discrete Filter1
Mux 1.826
Mux1
Slider Gain
Obr´azek 1 – Simulaˇcn´ı schema
PID controller 1
output,noise
0.5 0 −0.5 −1 −1.5
0
2
4
6
8
10 time
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
10
5
0
−5
−10
Obr´azek 2 – Pr˚ubˇehy kompenzace poruchy s PI regul´atorem
R153 – 5
7th International Scientific – Technical Conference – PROCESS CONTROL 2006 June 13 – 16, 2006, Kouty nad Desnou, Czech Republic
LQ controller 5
output,noise
4 3 2 1 0 −1 −2
0
2
4
6
8
10 time
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
10
input
5
0
−5
−10
Obr´azek 3 – Pr˚ubˇehy kompenzace poruchy s LQ regul´atorem
PID−> LQ 1
output,noise
0.5 0 −0.5 −1 −1.5
0
2
4
6
8
10 time
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
10
5
0
−5
−10
Obr´azek 4 – Pr˚ubˇehy kompenzace poruchy s pˇrestavovan´ym LQ regul´atorem
R153 – 6
7th International Scientific – Technical Conference – PROCESS CONTROL 2006 June 13 – 16, 2006, Kouty nad Desnou, Czech Republic
18000
16000
squared prediction error
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
50
100
150
200
time
Obr´azek 5 – Pr˚ubˇehy kvadr´atu chyby predikce
R153 – 7
250
7th International Scientific – Technical Conference – PROCESS CONTROL 2006 June 13 – 16, 2006, Kouty nad Desnou, Czech Republic
´ ER ˇ ZAV Pr´ace se zab´yv´a problematikou, jak zajistit spolehlivou cˇ innost adaptivn´ıho LQ regul´atoru. Jednoduchou modifikac´ı kvadratick´eho krit´eria lze z´ıskat moˇznost ladit plynule vlastnosti LQ regul´atoru tak, zˇ e regul´ator imituje chov´an´ı pˇredem pevnˇe nastaven´eho PID regul´atoru ale je moˇzno ho ruˇcnˇe nebo automaticky plynule pˇreladit na vlastnosti standardn´ıho LQ. 4
ACKNOWLEDGMENTS ˇ e republiky grantem 102/05/0271. Tato pr´ace byla podporov´ana Grantovou agenturou Cesk´ Reference ¨ ˇ ´ V.; BOHM, ´ CEK, BOBAL, J.; MACHA J.; FESSL, J. 2005. Digital Self-tuning Controllers. London: Springer. ¨ ´ V.; BOHM, BOBAL, J.; PROKOP, R.; FESSL, J. 1998. Practick´e aspekty samoˇcinnˇe se nastavuj´ıc´ıch ˇ a republika: Publikaˇcn´ı oddˇelen´ı VUT Brno. regul´atoru. Brno, Cesk´ ¨ BOHM, J. 1988. The set point control and offset compensation in the discrete LQ adaptive control. Problems of Control and Information Theory, 17, 3, 33–46. HJALMARSSON, H.; M.GEVERS; DE BUYNE, F. 1996. Model-based control design, closed-loop identification gives better performance. Automatica, 32, 1659–1673. ´ R. 1987. Restricted exponential forgetting in real-time identification. Automatica, 23, 5, KULHAVY, 589–600. ´ R.; ZARROP, M. B. 1993. On general concept of forgetting. International Journal of KULHAVY, Control, 58, 4, 905–924. SCHRAMA, R. 1992. Accurate identification for control: the necessity of an iterative scheme. IEEE Trans. Autom. Control, AC-37, 991–994. ZANG, Z.; BITMEAD, R.; M.GEVERS 1995. Iterative weighted least-squares identification and weighted lqg control design. Automatica, 31, 1577–1594.
R153 – 8