TEST 3 1. U pacienta je podozření na jednu ze čtyř, navzájem se vylučujících nemocí. Pravděpodobnost výskytu těchto nemocí je 0,1, 0,2, 0,4 a 0,3. Laboratorní zkouška je v případě první nemoci pozitivní v 50 % případů, u druhé nemoci v 75 % případů, u třetí u 15 % případů a u čtvrté v 20 % případů. Výsledek zkoušky byl pozitiví. Vypočítejte jaká je pravděpodkobnost, že pacient trpí třetí nemocí. (3b) 2. Hodíme naráz dvěma kostkami. Náhodná veičina X udává součet ok padnutých na obou kostkách. Napište pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X, nakreslete graf distribuční funkce. (3b) 3. Doplňte znaménko nerovnosti x1 ≥ x2 , F (x1 ) . . . . . F (x2 ). (1b) 4. Ve třídě je 20 žáků. Mezi nimi je jeden Oldřich a Božena. Jména žáků napíšeme na lístky a vylosujeme dvě skupiny – v jedné skupine je 8 žáků, ve durhé skupině je 5 žáků. Jaká je pravděpodobnost, že Oldřich a Božena nebudou vylosováni? (2b) 5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b) 6. Podíl žárovek ve skladu od určitého výrobce je 40 %. Z těchto žárovek je 90 % první jakosti. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná žárovka je od tothto výrobce a zároven i první jakosti? (2b) 7. Vyberte ta tvrzení, která pro distribuční funkci platí vždy: (2b) P F (x) ≤ 1, F (x) ≤ 1, F (x) > 0, F (x) = 1
TEST 5 1. Veličina X má Poissonovo rozdělení s parametrem λ. Co udává pravděpodobnost 1 − e−λ ? (1b) 2. Házíme jednou mincí. Náhodná veličina X představuje počet hodů, při kterých padne líc až do hodu, při kterém líc nepadne. Pravděpodobnost padnutí líce je 0,6. Určete pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X, jestliže házíme čtyřikrát. Vykreslete její graf. (3b) 3. Co můžete říci o jevech, pro které platí: P (A1 ∪ A2 ) ≤ P (A1 ) + P (A2 ) (1b) 4. Jaké podmínky musí splňovat funkce, aby mohla být distribuční funkcí nějaké náhodné veličiny? (2b) 5. Z karetní hry o 32 kartách vytáhneme dvakrát po sobě jednu kartu, přičemž první kartu vrátíme zpět. Jaká je pravděpodobnost, že obě karty jsou stejné barvy? (2b) 6. Máme tři stejné urny. První urna obsahuje 1 bílou, 2 černé a 3 červené koule. Druhá urna obsahuje 2 bílé, 1 černou a 1 červenou kouli. Třetí urna obsahuje 4 bílé, 5 černých a 3 červené koule. Náhodně zvolíme urnu a z té náhodně vybereme (bez vracení) dvě koule. Ukázalo se, že jedna je bílá a jedna je červená. Je pravděpodobnější, že koule byly vybrány z 1. urny nebo ze 3. urny? O kolik? 7. Anketa obsahovala dvě otázky: Ano Ne Vypočítejte pravděpododbnost, že člověk, který na Ano 26 12 1. otázku odpověděl ano, odpověděl na druou otázku Ne 13 49 ne. (2b).
TEST 7 1. Náhodná veličina udává počet ok při hodu kostkou, která obsahuje čísla 2–7. Vypočítejte její rozptyl. (2b) ⇒ D2 (X) = 2,92 2. V dílně pracují dva stroje, z nichž první vyprodukoval 300 výrobků a durhý 500 výrobků. Každá stroj vyprodukoval několik zmetků – první 10 a druhý 15. Určete, že náhodně vybraný výrobek bude zmetek a byl vyroben na prvním stroji. (2b) 3. Test obsahuje 100 otázek. Předpokládejme, že zkoušený zná 20 správných odpovědí. Pokud zkoušený nezná odpověď, zatrhne náhodně kteroukoli ze čtyř možností. Jaká je pravděpodobnost, že při správné odpovědi zkušený jenom hádal? (3b) 4. Náhodná veličina udáva počet strojů bez poruchy mezi 4 stroji. Pravděpodobnost bezporuchového provozu je pro 1 stroj 0,6. Zapište distribuční funkci a nakreslete graf. (3b) 5. Napište jaký je vztah mezi podmíněnou pravděodobností P (A|H) a nepodmíněnou pravděpodobností P (A) pro závislé a nezávislé jevy. (1b) 6. Které charakteristiky se skrývají pod zápisy E[X − E(X)], E[X − E(X)]2 , E 2 [X − E(X)], E(X 2 ) − E 2 (X), D2 (X) + E 2 (X)? (2b) 7. Doplňte rovnici tak, aby platila: (1b) P (B) = P (B|A) · P (A) + . . . . . . . . . . . . . P (A) ⇒ P (B|A)
TEST 9 1. V první nádobě je 15 lístků, ze kterých je deset bílých. V druhé nádobě je 25 lístků, ze kterých je 5 býlých. Z nádoby jsme vytáhli dva bílé lístky. Jaká je pravděpdobnost, že byly vytaženy z první nádoby? (3b) 2. K osevu byly vybrány dvě odrůdy pšenice, a to 20 % první odrůdy a 80 % druhé odrůdy. Pravděpodobnost, že ze zrna vyroste klas, je pro první odrůdu 0,95 a pro druhou odrůdu 0,98. (a) Jaká je pravděpodobnost, že z náhodně vybraného zrna vyroste klas? (b) Jaká je pravděpodobnost, že je to zrno z první pšenice. 3. V provozvně se za den vyrobí 50 výrobků. Pravděpodobnost vyrobení vadného výrobku je 0,01. Po kolika dnech bude pravděpodobnost, že byl vyroben alejspoň jeden vadný výrobek rovna minimálně 0,9. (2b) 4. Náhodný pokus spočívá v současném hodu 10 kostkami. Náhodná veličina X udává kolikrát spadlo sudé číslo. Najděte její distribuční funkci a nakreslete graf. (3b) 5. Jevy A, B, C jsou vzájemně nezávislé. Všechny mají stejnou pravděpodobnost 0,8. Vypočítejte pravděpodobnost, že při jednom náhodném pokusu nastanou všechny tři jevy a sučasně pravděpodobnost, že nenastane ani jeden jev. (2b) 6. Platí Y = a + bX. Veličina X má charakteristiky E(X), D2 (X). Napište E(Y ), D(Y ). (1b) 7. Může platit P (A ∩ B) = P (A ∪ B)? Pokud ano, napište kdy. (1b)
TEST 11 1. Dělostřelec má 8 nábojů. Střílí na cíl tak dlouho dokud netrefí a nebo dokud mu nedojdou náboje. Najděte střední hodnotu a směrodatnou odchylku počtu vystřílených nábojů pokud pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je 0,6. (3b) 2. Dlouhodobým pozorováním se zjistilo, že pravděpodobnost slunečného počasí prvního července je v jistém rekreačním středisku 15 . Jaký je 17 nejpravděpodobnější počet slunečných prvních červenců v tomto středisku v nejbližších padesáti letech? (1b) 3. Určitý den jsou ke zkoušce přihlášeni 4 posluchači. Každý z nich si náhodně vytáhne jednu z 20 otázek, mezi nimiž je 8 obtížných a 12 poměrně lehkých. Jaká je pravděpodobnost, že obtížnou otázku si vybere pouze první ze 4 posluchačů (vybraná otázka se vždy odkládá). (3b) 4. V krabici je 100 různobarevných kuliček, z toho 20 červených, 10 bílých a 70 zelených. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná kulička nebude zelená? (2b) 5. Čemu je roven součet
P
x·
x
• ničemu co by dávalo smysl
n x
!
· px · (1 − p)n−x •1
(2b)
• np
• D2 (X)
6. Tvrdím, že D2 (X) + E 2 (X) je smysluplná charakteristika. Je to pravda? Pokud ano, napište, co je to za charakteristiku. (1b) ⇒ Ano – je to vyjádření rozptylu E(X 2 ) = D2 (X) + E 2 (X) (?) 7. Semena rostlin určitého durhu jsou znečištěna malým množstvím plevele. Je známo, že na jedné jednotce plochy vyrostou v průměru 4 rostliny plevele. Vypočítejte pravděpodobnost, že na jedné jednotce plochy vyroste aspoň 5, ale nejvýše 7 rostlin plevele. (2b)
TEST 14 1. Nábytkářská firma vyrobila 50 křesel, z toho je 8 křesel druhé jakosti a 2 křesla třetí jakosti. Náhodně vybereme 5 křesel, jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude jedno křeslo třetí jakosti a jedno křeslo druhé jakosti? (2b) ⇒ 0,0746 2. Studenti medicíny určují nesprávnou diagnózu u 20 % případů, z toho 8 % v důsledku nedostatečných znalostí. Jaká je pravděpododobnost, že náhodně vybraný student určí nesprávnou diagnózu, ale ne z neznalosti? (3b) ⇒ P (A ∩ B) = 0, 184 3. Předpokládejme, že počasí libovolného dne je nezávislé na počasí předcházejících dní a že pravděpodobnost, že určitého dne bude pršet, je pro všechny dny rovna 0,6. Napište jak vypadá pravděpodobnostní funkce. Jaká je pravděpodobnost, že během týden bude alejspoň jdenou pršet? (3b) ⇒
7 x
· 0, 6x · 0 = 0, 988
4. Určitou prodejnu navštíví v průměru 20 zákazníků za hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že během 6 minut navštíví prodejnu alejspoň jeden zákazník? (2b) ⇒ λ=2 P (X ≥ 1) = 0, 86 5. Doplněk k distribuční funkci 1−F (x) se nazývá funkce rizika. Vyjádřete tuto fukci jako pravděpodobnost. (1b) ⇒ P (X ≥ x) 6. Jsou dány tyto pravděpodobnosti: P (A ∩ B) = 0, 25 P (A ∩ B) = 0, 22 P (A ∩ B) = 0, 38 a P (A ∩ B) = 0, 15. Vypočtěte P (A|B). (2b) ⇒ 0,625 7. Označte co platí: (1b) • −∞ ≤ F (x) ≤ ∞ • F (x) ≥ 0 • −1 ≤ F (x) ≤ 1 • nic není správně ⇒ nic není správně
TEST 15 1. Máme 16 láhví s minerálkou. Víme, že v 10 lahvích je Hanácká a v 6 je Ondrášovka. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 4 náhodně vybranými lahvemi jsou dvě od každé značky? (2b) ⇒ 0,371 (?) 2. Do určitého průzkumu mají být zahrnuti pouze pracovníci s vysokoškolským vzděláním nebo pracovníci s více než desetiletou praxí v oboru. Máme informaci, že v podniku, kde má být průzkum prováděn, pracuje celkem 5 % pracovníků s vysokoškolským vzděláním a 14 % pracovníků s více než desetiletou praxí a 3 %pracovníků, kteří splňují obě kritéria. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný pracovník bude zahrnut do průzkumu? (3b) ⇒ 0,16 (?) 3. Pravděpodobnost, že spotřeba elektrické energie ve všední den určitého období přesáhne stanovenou normu je 0,3. V kolika dnech z týdne bude nejpravděpodobněji překročena spotřeba? (1b) ⇒ xˆ=2 4. Pravděpodobnost, že žárovka vydrží svítit 1 200 hodin je 0,8. Na chodbě je 5 žárovek. Jaká je pravděpodobnost, že po 1 200 hodinách svítí aspoň jedna žárovka? (2b) ⇒ 0,99968 5. Pro jevy A, B platí P (A|B) = P (B). O jevech můžeme říci: (1b) • nic zvláštního • tento případ nastat nemůže • jevy jsou nezávislé • něco jiného – . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Čerpací stanice obslouží v průměru 72 automobilů za hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že se během příštích 5 minut obslouží alejspoň 7 automobilů? (2b) 7. Ve výrobě pracuje 6 strojů. Náhodná veličina udává počet fungujících strojů. Pravděpodobnost, že u daného stroje dojde k poruše je 0,75. Napište distribučí funkci a nakreslete grafy. (3b)
PŘÍKLADY 1. Náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti f (x) = ln x, x ∈ (1, e). Čemu se rovná střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny X? 2. Vypočtěte 35% kvantil pro náhodnou veličinu s hustotou f (x) = 4x x ∈ (0, 21 ). 3. Najděte konstantu c tak, aby funkce ( 2 cx (1 − x) pro 0 ≤ x ≤ 1 f (x) = byla hustota pravděpodob0 jinak nosti náhodné veličiny X. Najděte její distribuční funkci, určete E(X), D(X) a vypočítejte pravděpodobnost, že veličina x se bude realizovat v intervalu h0, 2; 0, 8i. 4. Hustota ( pravděpodobnosit náhodné veličiny X je x−a pro x ∈ h1; 2i f (x) = 0 jinak Určete konstantu a, E(X), D(X), P (X ≥ 2, 1), P (0, 5 ≤ X ≤ 1, 5) a nakreslete grafy hustoty a distribuční funkce. 5. Náhodné veličiny X, Y jsou chyby, které vznikají na vstupním zařízení. Jejich střední hodnoty a rozptyly jsou E(X) = −2, E(Y ) = 4, D2 (X) = 4, D2 (Y ) = 9. Koeficient korelace těchto chyb je R(X, Y ) = −0, 5. Chyba na výstupu zařízení souvisí s chybami na vstupu funkční závislostí Z = 3X 2 − 2XY + Z 2 − 3. Najděte střední hodnotu chyby na výstupu. 6. Při kontrole odběru plynu se zjišťuje na ukazateli plynoměru pouze celé m3 a desetinná místa se neuvažují. K určitému dni je stav plynoměru 10 340 m3 a po šesti měsících stav 10 942 m3 . Skutečná spotřeba plynu za šest měsíců s přihlédnutím na desetinná místa je veličina mající rovnoměrné rozdělení v intervalu (601;603). Jaká je pravděpodobnost, že skutečná spotřeba plynu je o více než . . . spotřeba odečtená?
LATEX 2ε
