5
Informace o aspiračních úrovních kritérií Aspirační úroveň kritérií je minimální (maximální) hodnota, které musí
varianta pro dané maximalizační (minimalizační) kritérium dosáhnout, aby byla akceptovatelná. Existují tři základní metody jak se znalostmi aspiračních úrovní pracovat – konjunktivní metoda, disjunktivní metoda a metoda PRIAM.
5.1
Konjunktivní metoda
• Pro každé maximalizační kritérium je stanovena minimální hodnota, které musí varianta dosáhnout.
• Termín konjunktivní znamená, že varianta je akceptovatelná tehdy, když
splňuje zadané aspirační úrovně yj∗ pro všechna kritéria, tzn. varianta ai
je akceptovatelná, pokud yij ≥ yj∗ pro všechna j = 1, . . . , k. • Pro nízká yj∗ bude množina akceptovatelných variant obrovská, pro příliš vysoká yj∗ bude naopak množina akceptovatelných variant prázdná.
• Počet akceptovatelných variant (lépe řečeno poměr akceptovatelných variant) lze snadno ovlivňovat pomocí aspirační úrovně kritérií.
– Předpokládejme, že máme k vzájemně nezávislých a stejně důležitých kritérií. – Označme r podíl neakceptovatelných variant (kolik procent má z výběru vypadnout). – Symbolem q označme pravděpodobnost, že varianta je podle jednoho (libovolného – neboť jsou všechna stejně důležitá) kritéria akceptovatelná. – Potom pravděpodobnost, že varianta je akceptovatelná podle všech k kritérií je rovna q · q · . . . · q = q k (pravděpodobnost, že nastanou
současně dva nezávislé jevy, je rovna součinu jejich pravděpodobností). – Podle zákonů pravděpodobnosti varianta není (podle všech kritérií)
akceptovatelná s prvděpodobností 1 − q k . A tato pravděpodobnost musí být rovna podílu neakceptovatelných variant r.
1
– Platí tedy r = 1 − q k , odtud snadno určíme, že q =
√ k
1 − r.
• Ukažme si praktické využití této metody na příkladu s Upírem. Upír – konjunktivní metoda Předpokládejme, že hodnotíme potenciální oběti podle 9 kritérií, která jsme si představili v předchozích cvičeních. Předpokládejme nyní, že všech devět kritérií má stejnou váhu. Rozsáhlý seznam obsahuje 50 možných obětí a my potřebujeme výběr zúžit pouze na 10 z nich. Jak bychom měli nastavit aspirační úrovně kritérií? • Počet kritérií je tedy k = 9. • Dále zvažovat chceme 10 obětí z 50, 40 jich tedy potřebujeme vyloučit a poměr neakceptovatelných obětí tedy bude r =
40 50
=
4 5
= 0.8.
• Pravděpodobnost, že oběť bude akceptována podle q kritéria bude q jednoho √ k tedy podle odvozeného vztahu q = 1 − r = 9 1 − 45 = 9 15 = 0.8363. • Je tedy potřeba zvolit aspirační úroveň pro každé kritérium tak, aby 84% variant bylo podle daného kritéria akceptováno.
Co by se stalo, kdybychom rozhodovali jen na základě 5 kritérií? • k = 5. • r=
40 50
=
4 5
= 0.8. q √ • q = k 1−r = 5 1−
4 5
=
q 5
1 5
= 0.7248.
• Pro 5 kritérií je potřeba zvolit aspirační úroveň pro každé kritérium tak, aby 72,5% variant bylo podle daného kritéria akceptováno.
A jak bychom nastavili úrovně, kdybychom používali jen 3 kritéria, ale byli ochotni dále uvažovat o 15 lidech z 50? • k = 3. • r=
35 50
=
7 10
= 0.7. q √ k • q = 1−r = 3 1−
7 10
=
q 3
3 10
= 0.6694.
2
• Pro 3 kritéria a 15 uvažovaných z 50 je potřeba zvolit aspirační úroveň
pro každé kritérium tak, aby 67% variant bylo podle daného kritéria
akceptováno. Předpokládejme nyní, že máme 6 obětí, jejichž výsledky jsou zadány kriteriální maticí, ve které jsou všechna kritéria již převedena na maximalizační:
121 5 80 3 4 1 19 9 15
148 6 68 3 3 1 21 7 20 107 3 72 3 3 1 22 6 6 150 6 91 2 3 1 30 9 12 110 3 40 1 2 0 18 8 0 118 4 40 1 3 1 14 7 10
Rozhodli jste, že aspirační úrovně kritérií yj∗ = (130, 5, 60, 2, 3, 1, 20, 5, 12) nastavíte osobně. Určete množinu akceptovatelných variant. • Varianta první není akceptovatelná vzhledem k prvnímu kritériu (a také sedmému).
• Varianta druhá splňuje všechny podmínky a je tedy akceptovatelná, stejně jako varianta čtvrtá.
• Třetí, pátá a šestá varianta nesplňují aspirační úrovně na první kritérium (a některá další).
• Bylo by ale možné postupně některé úrovně zvyšovat, až by nakonec zbyla v množině akceptovatelých variant jen jediná oběť.
• Kdybychom se rozhodli pro jinou volbu a aspirační úrovně nastavili např. yj∗ = (130, 5, 60, 3, 3, 1, 20, 5, 12), byla by jedinou akceptovatelnou (a tedy také kompromisní a optimální) variantou a2 . • V případě aspiračních úrovní yj∗ = (130, 5, 60, 2, 3, 1, 20, 8, 12) bude jedinou akceptovatelnou (a tedy také kompromisní a optimální) variantou a4 .
5.2
Disjunktivní metoda
• Pro každé maximalizační kritérium je opět stanovena minimální hodnota, které musí varianta dosáhnout.
3
• Termín disjunktivní znamená, že varianta je akceptovatelná tehdy, když
splňuje zadané aspirační úrovně yj∗ pro alespoň jedno kritérium, tzn. varianta ai je akceptovatelná, pokud existuje j = 1, . . . , k takové, že yij ≥ yj∗ .
• Počet akceptovatelných variant (lépe řečeno poměr akceptovatelných variant) lze opět snadno ovlivňovat pomocí aspirační úrovně kritérií.
– Předpokládejme, že máme k vzájemně nezávislých a stejně důležitých kritérií. – Označme r podíl neakceptovatelných variant (kolik procent má z výběru vypadnout). – Symbolem p označme pravděpodobnost, že varianta je podle jednoho (libovolného – neboť jsou všechna stejně důležitá) kritéria akceptovatelná. – Potom pravděpodobnost, že varianta není akceptovatelná podle jednoho kritéria je 1 − p. – Pravděpodobnost, že varianta není akceptovatelná podle žádného z k kritérií je rovna (1 − p) · (1 − p) · . . . · (1 − p) = (1 − p)k (prav-
děpodobnost, že nenastanou současně dva nezávislé jevy, je rovna
součinu pravděpodobností, že nenastane každý z nich). A tato pravděpodobnost musí být rovna podílu neakceptovatelných variant r. √ – Platí tedy r = (1 − p)k , odtud snadno určíme, že p = 1 − k r. • Předveďme si i tuto metodu na příkladu s Upírem. Upír – disjunktivní metoda Předpokládejme opět, že zvažujeme vhodnou oběť podle 9 stejně důležitých kritérií. V seznamu máme 50 osob a my potřebujeme k dalšímu zvážení připustit pouze 10 z nich. Jak bychom měli nastavit aspirační úrovně kritérií? • Počet kritérií je tedy k = 9. • Přijmout k dalšímu zvážení chceme 10 osob z 50, 40 jich tedy potřebujeme vyloučit a poměr neakceptovatelných osob tedy bude r =
40 50
=
4 5
= 0.8.
• Pravděpodobnost, že osoba bude akceptována podle q jednoho kritéria √ bude tedy podle odvozeného vztahu p = 1 − k r = 1 − 9 45 = 0.0245. 4
• Je tedy potřeba zvolit aspirační úroveň pro každé kritérium tak, aby 2.5% variant bylo podle daného kritéria akceptováno.
5.3
Metoda PRIAM
Metoda PRIAM je interaktivní procedura pro vícekriteriální rozhodování s diskrétní množinou p variant A = a1 , a2 , . . . , ap . Při použit této metody procházíme jakýmsi stromem (termín z teorie grafů) a uzly, kterými procházíme označujeme buď jako tentativní (ukazují cestu zpět k počátečnímu uzlu a v případě potřeby se k nim vracím) nebo jako imperativní (ty jsou nezajímavé a protože se k nim již nebudu vracet, zapomínám je). Označme symbolem fj (ai ) hodnotu j-tého kritéria pro i-tou variantu, tj. fj (ai ) = yij , a označme d počet akceptovatelných variant (tedy variant, pro (S)
(S)
které platí fj (ai ) ≥ yj , kde yj
jsou aspirační úrovně jednotlivých kritérií).
V metodě PRIAM pak mohou nastat tři různé situace:
• d ≥ 1 . . . rozhodovatel může měnit aspirační úrovně podle počtu akceptovatelných variant
• d = 1 . . . je dosaženo jediné akceptovatelné (nedominované) varianty • d = 0 . . . neexistuje žádná akceptovatelná varianta – V takovém případě je kompromisní varianta vybírána tak, aby minimalizovala vzdálenost od zadné aspirační úrovně, tedy aby minik P (S) 1 malizovala výraz |y − fj (ai )|, ai ∈ A, kde fj∗ , j = 1, . . . , k f∗ j j=1
j
jsou ideální kriteriální hodnoty. • Ukažme si metodu na příkladu Upíra. Upír – metoda PRIAM Mějme kriteriální matici s maximalizačními kritérii pro 10 potenciálních obětí (variant).
5
121 5 80 3 4 1 19 9 15
148 6 68 3 3 1 21 7 20 107 3 72 3 3 1 22 6 6 150 6 91 2 3 1 30 9 12 110 3 40 1 2 0 18 8 0 118 4 40 1 3 1 14 7 10 109 5 37 2 4 1 15 2 7 111 3 62 3 2 0 19 3 14 113 4 90 1 3 1 18 7 2 121 3 48 2 4 1 20 2 13
• Zvolme nyní první aspirační úrovně y (1) = (100, 2, 30, 1, 2, 0, 10, 2, 2). • d = počet variant, pro které platí f (ai ) ≥ y (1) = 9, jediná varianta, která tyto aspirační úrovně nesplňuje, je a5 .
• Neboť d ≥ 1, můžeme změnit aspirační úrovně. • Zvolme y (2) = (110, 4, 50, 2, 3, 1, 15, 5, 5). • d = 3, akceptovatelné jsou varianty a1 , a2 , a4 . • Opět zvýšíme aspirační úrovně y (3) = (120, 6, 75, 3, 3, 1, 20, 6, 10). • V tomto případě je d = 0 a neexistuje žádná akceptovatelná varianta.
Vrátíme se tedy do předchozího uzlu a mezi přípustnými variantami a1 , a2 , a4 hledáme tu, která je nejblíže k zadaným aspiračním úrovním.
• Potřebujeme nejdříve určit ideální variantu. Tu jsme se naučili určovat v předchozím cvičení. f ∗ = (150, 6, 100, 3, 4, 1, 30, 10, 20).
• Nyní pro každou variantu ai určíme hodnotu výrazu 1 1 |120 − 121| + 61 |6 − 5| + 100 |75 − 80| + 150 1 1 1 |20 − 19| + 10 |6 − 9| + 20 |10 − 15| = 1.057 30 1 1 a2 : 150 |120 − 148| + 61 |6 − 6| + 100 |75 − 68| + 1 1 1 |20 − 21| + 10 |6 − 7| + 20 |10 − 20| = 0.890 30 1 1 1 a4 : 150 |120 − 150| + 6 |6 − 6| + 100 |75 − 91| + 1 1 1 |20 − 30| + 10 |6 − 9| + 20 |10 − 12| = 1.427 30
a1 :
6
k P
j=1
(S) 1 |y − fj (ai )|. fj∗ j
1 |3 − 3| + 41 |3 − 4| + 11 |1 − 1| + 3 1 |3 − 3| + 41 |3 − 3| + 11 |1 − 1| + 3 1 |3 − 2| + 41 |3 − 3| + 11 |1 − 1| + 3
Jako kompromisní vybereme variantu, která má tento výraz minimální. V našem případě to bude varianta a2 . A co by se stalo, kdybychom zvolili místo aspiračních úrovní y (3) jiné aspirační úrovně y (4) = (120, 6, 75, 2, 3, 1, 20, 6, 10)? V takovém případě by d = 1 a existovala by tedy jediná akceptovatelná varianta a4 , kterou bychom prohlásili za optimální.
7
