4B Analýza neharmonických signálů

4B Analýza neharmonických signálů Cíl úlohy Úloha má doplnit teoretické znalosti získané v předmětu BEL1, zejména demonstrovat souvislost mezi časovým průběhem signálu a jeho spektrem. Ukázat možnost výpočtu odezvy přenosových článků na neharmonický vstupní signál. Ověřit vznik dalších složek spektra při průchodu signálu nelineárním obvodem. Úloha hlouběji objasňuje chování článků RC a CR při průchodu neharmonických periodických signálů, které bylo ukázáno v úloze 7A.

Úkol

Zobrazte spektrum harmonického signálu s nenulovou stejnosměrnou složkou (offsetem). Ověřte vliv nelineárního dvojbranu na spektrum přenášeného signálu. Změřte a výpočtem ověřte spektrum neharmonického signálu. Změřte a vypočtěte spektrum signálu po průchodu setrvačnými články CR a RC.

Teoretický úvod Harmonická analýza slouží k popisu signálů v kmitočtové oblasti. Fourierův teorém říká, že periodický signál f(t) libovolného tvaru lze rozložit na součet nekonečně mnoha harmonických složek (= sinusových signálů). ∞

f ( t ) = c0 + ∑ ( ck sin ( kω1t + ϕ k ) ) .

(129)

k =1

kde je k ............................ index označující pořadí složek, c0 ........................... stejnosměrná složka, nultá harmonická složka, ck ........................... amplituda k-té harmonické složky, ϕk .......................... fázový posuv k-té harmonické složky, ω1 = 2πf1 ............... kmitočet 1. harmonické složky, základní kmitočet. Vždy platí, že kmitočty harmonických složek jsou celistvými násobky (k je celé číslo) základního kmitočtu signálu f1. Kupříkladu trojúhelníkový signál o kmitočtu f1 = 1 Hz můžeme získat složením teoreticky nekonečně mnoha sinusovek o kmitočtech 1 Hz (1. harmonická), 2 Hz (2. harmonická), 3 Hz ... atd. Signál stejného průběhu o kmitočtu f1 = 15 Hz můžeme obdobně získat složením teoreticky nekonečně mnoha sinusovek o kmitočtech 15 Hz, 30 Hz, 45 Hz, 60 Hz .... atd. Každá z harmonických složek má jinou amplitudu, kterou můžeme zakreslit do grafu a získáme tak amplitudové spektrum, tedy závislost ck = f(k). Navíc má každá z těchto složek obecně jinou počáteční fázi, kterou můžeme rovněž zakreslit do grafu a získáme tak fázové spektrum, tedy závislost ϕk = f(k).

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

ck

ϕk 1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

5

10

15

20

25

k

0

0

5

10

15

20

25

k

obr. 42 Příklady amplitudových spekter: vlevo pro sinusový (harmonický) průběh, vpravo pro obdélníkový průběh – je zobrazeno pouze prvních 25. harmonických složek Spektrum sinusového signálu obsahuje jedinou složku – sebe sama (obr. 42 vlevo). Často používaný signál obdélníkového tvaru lze rozložit ve Fourierovu řadu f (t ) =

4U m

π

∞

⎛1 ⎞ ⎜ sin(kω1t ) ⎟ . k ⎝ ⎠ k =1,3,5...

∑

(130)

Jeho spektrum obsahuje jen liché harmonické složky, jejichž amplituda klesá s k-1, viz obr. 42 vpravo. Fázový posun všech harmonických složek obdélníkového signálu je nulový. Proces matematického rozkladu neharmonických signálů na spektrální složky se nazývá harmonická analýza a využívá se pro řešení obvodů s neharmonickými průběhy napětí či proudů. Pokud budeme chápat neharmonický průběh jako superpozici harmonických složek s kmitočty k·f1, lze snadněji pochopit chování takových obvodů. Příklad: při zkoumání přenosu napětí u1(t) neharmonického průběhu dvojbranem se známou přenosovou funkcí KU(ω) lze postupovat takto: vypočteme komplexní spektrum vstupního signálu U1(ω) a spektrum výstupního signálu U2(ω) pak získáme jednoduše U 2 (ω ) = K U (ω ) ⋅ U1 (ω ) .

(131)

To lze chápat tak, že pro první harmonickou složku s kmitočtem ω1 má dvojbran přenos KU(ω1), 2. harmonická složka s kmitočtem ω2 je dvojbranem přenášena s přenosem KU(ω2) atd. Sečtením časových reprezentací harmonických složek U2(ω) lze následně získat časový průběh výstupního napětí u2(t). Princip ukážeme na příkladu obr. 43: Obdélníkový signál s kmitočtem 100 Hz má v souladu se (130) spektrální složky s kmitočtem 100, 300, 500, ... Hz. Pokud tento signál přivedeme na vstup dolní propustí s mezním kmitočtem 200 Hz, bude na výstupu sinusový signál 100 Hz. Na výstup totiž projde jen 1. harmonická složka, ostatní složky dolní propustí neprojdou. Pokud stejný signál přivedeme na vstup pásmové propusti s pásmem propustnosti 200 – 400 Hz, bude na jejím výstupu čistě sinusový signál s kmitočtem 300 Hz. Pásmovou propustí totiž v uvedeném příkladu projde pouze 3. harmonická složka. Obdobně lze uvažovat při návrhu potřebné šířky pásma zesilovačů – který musí přenést všechny požadované složky spektra zesilovaného neharmonického signálu, jinak dojde ke zkreslení jeho tvaru.


obr. 43 K vysvětlení harmonické analýzy

Domácí příprava

Do tab. 28 doplňte kmitočty fk harmonických složek signálu obdélníkového průběhu. Vypočtěte teoretické hodnoty napětí jeho harmonických složek pro k = 1, 3, 5, 7 a 9 podle vztahu ⎧ 4U m ⎪ U mk = ⎨ πk ⎪⎩ 0

pro k = 1,3,5...

,

(V)

(132)

pro k = 2, 4, 6...

který vychází ze (130). Fáze je nulová pro každou složku, ϕk = 0. V laboratorní úloze bude tento signál procházet článkem CR a RC, jejichž přenosové funkce byly uvedeny v úloze 7A. Doplňte do tabulky tab. 28 hodnoty komplexní funkce přenosu napětí KU (modulu a fáze přenosové funkce) pro kmitočty fk. Použijte vztahy (77), (78) pro CR a (73), (74) pro RC článek. Doplňte do tabulky teoretické hodnoty spektrálních složek výstupního napětí pro článek CR i RC. Vyjděte z komplexní rovnice (131); při výpočtech stačí jednoduše amplitudu příslušné harmonické složky násobit modulem komplexní přenosové funkce KU a k fázi příslušné složky přičíst fázi přenosové funkce.

Pracovní postup Měření se provádí opět pomocí modulárního systému RC 2000, který nyní slouží jako dvoukanálový osciloskop a spektrální analyzátor.


ANALOG INPUT + IN A - IN A + IN B - IN B

PC/RS232

ANALOG OUTPUT OUT

CHANNEL A

GND

CHANNEL B

MEASURE MODE OSCILLOSCOPE

A&DDU

GEN +IN A

+5V

C

+IN B

D

S VALUE

R

100.00Hz

CR

2.50V

GEN MODE

-IN B

GEN -IN A

SHIFT

+IN A

RC FUNCTION GENERATOR

+IN B

R

FUNC

C

-IN A

-IN B

GEN

obr. 44 Zapojení pracoviště RC 2000 pro analýzu neharmonických signálů

a)

Zapojte obvod s CR článkem podle obr. 44, spínač S rozpojen. Jako zdroj signálu bude použit přístroj Function generator, vstupní signál článku bude připojen ke vstupu A a výstupní signál ke vstupu B jednotky A&DDU.

b) Po spuštění systému RC 2000 zvolte z Výběru programů nabídku Oscilloscope. Pomocí kláves nastavte tyto parametry: rozsah zobrazení kanálu A i B na ±5 V (Gain pomocí tlačítek cd), průměrování vypnuto (Average: off), rozsah časové osy: 0 - 10 ms (Time pomocí tlačítek W X). Zvolte zobrazování spektra tlačítkem Harmonic. Měřítko ponechejte lineární (Scale: Lin). Pomocí Type: Ampl/Phase je možné volit zobrazení amplitudového nebo fázového spektra. Tlačítkem Cursor zapněte zobrazování naměřených hodnot. c)

Na přístroji Function generator stiskněte tlačítko Init. Kmitočet ponechte 100 Hz, amplitudu výstupního napětí nastavte na 2,50 V a stejnosměrnou složku (offset) na 2,00 V (tlačítky Ampl, Offs a UV v bloku SHIFT generátoru).

d) Stiskem virtuálního tlačítka Run (okno osciloskopu) spusťte měření. Zobrazí se harmonické napětí z generátoru – žlutá křivka a napětí po průchodu CR článkem – modrá křivka. Zároveň se zobrazí jejich spektrum. Protože jde o harmonické průběhy, je ve spektru jediná harmonická (k = 1). Stejnosměrná složka


napětí se zobrazuje jako nultá harmonická (k = 0). Všimněte si, že výstupní signál CR článku nemá nultou harmonickou (CR článek je filtr typu horní propust a nepropouští stejnosměrnou složku). e)

Přepínačem S na přípravku CR připojte do obvodu diodu D, představující nelineární prvek. Všimněte si, že dojde k výrazné změně ve spektru výstupního napětí – objeví se harmonické složky, které nejsou ve vstupním napětí. To je důkazem, že na rozdíl od lineárních obvodů v nelineárních obvodech dochází ke vzniku dalších harmonických složek.

f)

Diodu D z obvodu odpojte. Na generátoru přepněte (tlačítkem v sekci FUNC) časový průběh na obdélníkový (tedy neharmonický). Pozorujte časový průběh vstupního a výstupního napětí článku. Všimněte si, že obdélníkový signál obsahuje pouze liché harmonické složky (k = 1, 3, ...).

g) Stiskem tlačítka Single zastavte naměřené průběhy. Pomocí tlačítek W X) v sekci měřených hodnot v horní části okna lze přepínat mezi jednotlivými harmonickými. Postupným přepínáním zjistěte a zapište do tab. 28 složky spektra (modul se zobrazuje jako X[V], fáze jako ϕ[º]) pro vstupní (žlutá barva) i výstupní (modrá barva) průběh napětí. Stačí měřit 0. a všechny liché složky, sudé složky jsou pro obdélníkový průběh nulové. h) Zapněte editaci popisů (Legend: Edit), přepište název okna na BEL2-analýza neharm. průběhů, namísto Jméno uveďte svá příjmení. Editaci ukončete (Legend: End). i)

Příkazem Print otevřete dialog tisku. Můžete vložit poznámky k měření (Edit notes). Poté stiskem tlačítka Print vytiskněte zobrazené grafy. V dialogovém okně zvolte virtuální tiskárnu FinePrint, ve vlastnostech tiskárny nastavte orientaci stránky na šířku (Orientation: Landscape). Tisk proběhne pouze na obrazovku programu FinePrint. Pro získání dvou kopií tisk opakujte. V programu FinePrint nastavte počet tisknutých stránek 2 na jeden list (Layout: 2 up). Takto připravený soubor obsahující 2 kopie na jednom listě nad sebou vytiskněte na síťové tiskárně (tlačítko Print&Close).

j)

Namísto CR článku zapojte RC článek. Nastavení programu neměňte. Opakujte postup podle bodů g) až i) a zapisujte do tab. 28 složky výstupního signálu. Všimněte si, že RC článek (filtr typu dolní propust) stejnoměrnou složku na rozdíl o CR článku propouští.

k) Zvolte tlačítkem Math matematickou analýzu signálu. V sekci Channel vyberte žluté tlačítko A; zobrazí se spektrum a časový průběh změřeného obdélníkového napětí ze vstupu A. Všechna tlačítka v sekci Harmonic components musí být nezamáčknutá. l)

V sekci Harmonic components zvolte 0. harmonickou – zobrazí se stejnosměrná složka průběhu. Poté přidejte 1. harmonickou – zobrazí se základní harmonická složka a zároveň bílou křivkou celkový průběh (součet 0.+1. harmonické složky). Postupně přidávejte další harmonické složky a sledujte, jak se takto skládaný průběh začíná tvarem přibližovat původnímu.

m) Ukončete program (tlačítkem Exit).


Zpracování tab. 28 Analýza signálu obdélníkového průběhu

Harmonické složky Umk

Um0 V

fk

(Hz)

pro CR

KU(2πfk) Vypočteno

U2

Vypočteno

Um3 º

V

100

Um5 º

V

300

Um7 º

V

500

Um9 º

V

700

º 900

2,00

3,18

0

1,06

0

0,637

0

0,455

0

0,354

0

2,00

3,18

-0,1

1,06

-0,2

0,64

-0,4

0,45

-0,5

0,35

-0,7

(77),(78)

0

0,300

72,6

0,686

46,7

0,844

32,5

0,910

24,5

0,943

19,5

(131)

0

0,945

72,6

0,728

46,7

0,537

32,5

0,414

24,5

0,333

19,5

0

0,98

72,9

0,74

47,7

0,55

34,5

0,42

27,4

0,34

22,7

(73),(74)

1,00

0,954

-17,4

0,728

-43,3

0,537

-57,5

0,414

-65,5

0,333

-70,5

(131)

2,00

3,04

-17,4

0,772

-43,3

0,342

-57,5

0,188

-65,5

0,118

-70,5

2,00

3,04

-17,4

0,74

-42,8

0,34

-57,7

0,19

-64,4

0,12

-71,2

Naměřeno

KU(2πfk) pro RC

(132)

Naměřeno

U2

V

0

Vypočteno

U1

Um1

Naměřeno

Poznámka: Um = 2,50 V , U0 = 2,00 V , f1 = 100 Hz, R = 5 kΩ , C = 100 nF Závěr

Porovnejte naměřené a vypočtené hodnoty spektrálních složek napětí obdélníkového průběhu a signálu po průchodu články CR a RC. Uveďte možné příčiny případných rozdílů. Vypočtené hodnoty spektrálních složek obdélníkového signálu jsou prakticky totožné s experimentálně zjištěnými, malý rozdíl (např. ve fázi odlišné mírně od 0) je způsoben měřicím přístrojem. Rozdíly u hodnot týkajících se výstupních napětí CR a RC článků jsou kromě toho způsobeny i nepřesnou hodnotou časové konstanty článku danou tolerancí součástek R a C. Zamyslete se nad vztahem (130) a uveďte, jaké kmitočtové pásmo (fmin až fmax) musí přenášet zesilovač, chceme-li jím zesilovat obdélníkový signál s kmitočtem 1 kHz a rozhodneme-li se zanedbat harmonické složky s amplitudou menší než 1% z amplitudy signálu. ∞

4U m ⎛1 ⎞ . ⎜ sin(kω1t ) ⎟ lze odvodit, že amplituda k-té (liché) harmonické složky je πk k ⎠ k =1,3,5... ⎝ 4U m U m = ⇒ k = 127,32 . Podmínku splňuje Z toho lze najít takové k, pro které ;je amplituda 1% z Um, tedy πk 100 až 128. harmonická (s amplitudou 0,995 % 1. harmonické), zesilovač musí tedy přenášet kmitočtové pásmo až do 127. harmonické, tedy minimálně do 127 kHz.

Ze vztahu f ( t ) =

4U m

π

∑

Stručné shrnutí Na příkladu signálu obdélníkového průběhu byla ukázána souvislost mezi časovým průběhem signálu a jeho spektrem. Experimentálně byl potvrzen vznik dalších složek spektra při průchodu signálu nelineárním obvodem. Dále byla ukázána možnost výpočtu odezvy přenosových článků na neharmonický vstupní signál pomocí přenosové funkce a diskutována problematika šířky pásma zesilovačů pro neharmonické signály.


4B Analýza neharmonických signálů

Recommend Documents