12 évfolyam javítóvizsgára 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket ! 4 2 2 a) 9k + 6k l + l = 2 b) 3ay + 27ay + 54a = c) k − l = 2 2 d) b − 6bc + 9c 2 2 e) 4x + 4xy + y 4
2
2
f) 4b − 9a
4
2) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a legegyszerűbb alakra! a) b)
( 4x ( 2x
2
− 5xy + 3y 2 ) − ( 5x 2 − xy − 4y 2 ) + ( − x 2 − 2xy − y 2 ) =
2
− 5xy + 3y 2 − 2 ) ⋅ ( 3x 2 − 2xy ) =
3) Egyszerűsítsd a következő törtet!
b2 − 9 a) b 2 − 6b + 9 x 2 − 25 b) x 2 − 10x + 25
4) Végezd el a kijelölt műveleteket! a) b) c) d) e)
c2 + d2 c+d − = 2 2 c −d 2c − 2d 7a − 3 8 − 3a + 2 = 2 2a + 6a a − 9 a 2 + ab ab + b 2 ÷ = a b 2ab − a 2 6b + 3a ⋅ = 4b 2 − a 2 a (3a − 2ab 3 )2 =
(
3
)
2 2
f) 2a + 2ab = 5) Oldd meg a következő egyenletrendszereket!
a +3 b−2 − =2 2 3 a −1 b + 1 a) + =4 4 3
a +3 b−5 1 − = 2 3 6 b) a +3 b−5 1 − = 5 2 10
6) Oldd meg a következő egyenlőtlenséget!
x 2 − 2x − 24 ≥ 0 7) Oldd meg a következő egyenleteket!
7 x + 4 3x + 2 + = x + 1 2x − 2 x 2 − 1 6 1 + =3 b) x2 − 1 x − 1
a)
8) Az iskolában 75 tanuló jár egy évfolyamra. 16-an tanulnak angolul, franciául és németül is, 24-en angolul és németül, 30-an angolul és franciául, és 22-en franciául és németül. 7 olyan tanuló van, aki csak angolul tanul, 5 csak franciául és 10 csak németül. a) Összesen hányan tanulnak angolul? b) Hányan vannak, aki tanulnak angolul és franciául, de nem tanulnak németül? c) Hányan vannak, akik egy nyelvet sem tanulnak az évfolyamon? 9) Add meg a következő intervallumokat, ábrázold is számegyenesen őket! ]0;6]∩[-1;3[ ]3,5;4[∪[2;6] ]-4;7] \]1;8] 10) Milyen számjegyek írhatók *helyébe úgy, hogy a 111*2 osztható legyen a) 12-vel, b) 9-cel? 11) Ha egy x szám 9-cel osztva 2-t ad maradékul, és egy y szám 9-cel osztva 5-t ad maradékul, akkor mekkora a maradéka 2x+3y-nak 9-cel osztva? 12) Hány darab osztója van a 10800-nak? 13) Határozd meg a (3857;6061)-t és a [3857;6061]-t! 3 14) Egy téglalap szélessége m, a hosszúsága ennek az ötszöröse. Mekkora a téglalap területe, és a 20 kerülete? 15) Milyen számjegyek írhatók *helyébe úgy, hogy a 123*52 osztható legyen a) 4-gyel, b) 9-cel? 5 5 16) Egy téglalap szélessége m, a területe m2. Mekkora a téglalap kerülete? 3 4
17) Egy tanuló iskolai kirándulásra a szüleitől pénzt kapott. Ha a kirándulás minden napján, kivéve az utolsót, 150 forintot költött volna, akkor az utolsó napra 100 forintja maradt volna. Ezért minden nap csak 100 forintot költött, és így az utolsó napra 350 forintja maradt. Hány napig tartott a kirándulás? 18) Egy 6750 kg-os farakásban 200 db (fenyőfa vagy tölgyfa) gerenda van. Egy fenyőfa gerenda tömege 30 kg, a tölgyfáé 45 kg. Hány fenyőfa és hány tölgyfa gerenda van a farakásban? 19) Két rekeszben összesen 90 kg alma van. Mennyi alma van az egyes rekeszekben, ha tudjuk, hogy az első rekesz almáinak 25%-a a második rekesz almáinak 20%-a? 20) Egy kereskedő 50 kg szőlőt vett 800 forintért. A szőlőt szétválogatta, és egyik részét 15%-os haszonnal, másik részét 5%-os veszteséggel adta el, így 56 forint haszonra tett szert. Hány kg szőlőt adott el nyereséggel és hány kg-ot veszteséggel? 21) Egy 8 tagú társaság egy turistaházban szállt meg. 3 nappal később egy 6 tagú társaság csatlakozott hozzájuk, és még 7 napot töltöttek együtt. Közös számlájuk 7540 forintot tett ki. Mibe került egy fő egy napi szállása?
22) Egy gépkocsira összesen 3840 kg téglát raktak fel. Az egyik fajtájú tégla tömege darabonként 4,75 kg, a másiké 1,70 kg. Hány téglát tettek fel a kocsira fajtánként, ha összesen 1046 tégla volt a kocsin? 23) Egy 15 cm sugarú körben egy 10 cm hosszú ívhez mekkora középponti és kerületi szög tartozik? 24) Egy kör kerületi szöge
7 π . Mekkora középponti szög tartozik hozzá? 12
25) A háromszög oldalai 3cm, 6cm, 8cm. Mekkora a „b” oldalhoz tartozó magasság, s háromszögbe írható kör sugara? 26) Egy kör két átmérője 105o –os szögben metszik egymást. Mekkora a kisebbik ívhez tartozó kerületi szög? 27) Egy kör átmérője 45o-os szögben metszik egymást. A keletkező nagyobbik ívhez mekkora kerületi szög tartozik? 28) Egy 10 cm sugarú körben, egy 15 cm hosszú ívhez mekkora középponti és kerületi szög tartozik? 29) Egy kör középponti szöge 5/9π. Hány fokos kerületi szög tartozik hozzá? 30) Egy trapéz párhuzamos oldalai 2 egység és 6 egység, a szárak 4 egység és 5 egység hosszúak. Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai? 31) Oldd meg a következő egyenleteket! a) b)
x 3x 5x 2x − + = 2− 12 4 6 3 x + 3 2 x + 1 3x − 1 5 x − 3 − + − =1 2 3 4 8
32) Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket! a) 2 x − 4 − ( x + 3) > −8 4 3x b) 0,6 x + ≥ 1 + 5 5 15 3 x c) 1 − 0,75 x < − 8 4 33) Oldd meg a következő egyenleteket! a)
6 x 2 + 8 x − 8 − 3x − 2 = 0
b) x 2 + 2 x − 14 = x − 2 34) Oldd meg a következő egyenletrendszereket! x 2 − y 2 = 81 a) x − y =1 b)
x 2 + y 2 = 16
x+ y+4=0 35) Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket! x−3 a) ≥0 2 x − 8 x + 16 x−4 b) ≥0 6 − 5x − x 2 36) Határozd meg a p paraméter értékét úgy, hogy a következő egyenletnek két megoldása legyen! x 2 − (5 + p )x + 4 = 0
37) Határozd meg a q paraméter értékét úgy, hogy a következő egyenletnek az egyik gyöke -0,1 legyen! qx 2 − 19 x − 2 = 0 38) A következő adatokat ismerjük: -10, -10, -9, -9, -9, -7, -6, -5, -3, -3, -1, -1, 0, 3. Állapítsuk meg az adatsor átlagát, móduszát és mediánját! 39) Az elmúlt néhány napban megmértük a reggeli hőmérsékletet, és a következő eredményeket kaptuk: 8, -7, -10, -4, -2, -8, -8, -7, -3, -5, -4, 3, 2, -9, 1, 4, 4. Mennyi volt a reggeli átlagos hőmérséklet, mennyi a módusz és a medián? 40) Egy 14 fős társaságban megkérdeztük, hogy kinek hány testvére van. A következő válaszokat kaptuk: 0,2,2,4,3,1,1,0,1,2,3,0. Találd ki a további két ember testvéreinek számát, ha tudjuk, hogy az adatsor átlaga 1,5, a módusza pedig 1! Készíts oszlop és kördiagramot a testvérek számából! 41) Egy derékszögű háromszög két befogója 9 és 12 cm. Mekkora az átfogó, kerület, a terület és mekkorák a szögek? 42) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 9 cm, a vele szemközti szöge 30o . Mekkora az átfogó, kerület, a terület és mekkorák a szögek? 43) Egy derékszögű háromszög átfogója 15 m, az egyik szöge 30 fok. Mekkorák a befogók, kerület, a terület és mekkorák a szögek? 44) Egy egyenlőszárú hármszög alapja 5 cm, a szárai 7 cm-esek. Mekkorák a szögei, mekkora a magassága és a területe? 45) Egy derékszögű trapéz rövidebb alapja 10 cm, hosszabb alapja 15 cm. A derékszögnél levő szára megegyezik a rövidebb alappal. Mekkora a másik szár és mekkora szöget zár be az alappal? 46) Hányféleképpen állítható sorba 3 fiú és négy leány,ha a fiúk mindenképpen egymás mellett akarnak állni? 47) Hány hatjegyű szám képezhető a 0;0;2;2;3;6 számjegyekből? 48) A színházba egy 5 fős baráti társaság jegyei egymás mellé szólnak. Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé? Hányféleképpen ülhetnek le akkor, ha András és Bori mindenképp egymás mellett szeretne ülni? 49) Egy lifthez 5 ember érkezik, de egyszerre csak 3 ember fér be. Hányféleképpen választhatjuk ki az első menet utasait? 50) 20 ember közül 3 fős bizottságot választanak, ahol van elnök, alelnök és titkár. Hányféleképpen tehető ez meg? 51) Az 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből hány négyjegyű páros szám készíthető? 52) Az A,A,A,B,B betűkből hány 5 betűs (nem feltétlenül értelmes) szó készíthető? 53) Egy úszóversenyen 8-an indulnak. Hányféleképpen alakulhat az első 3 dobogós sorrendje? 54) Írd fel x hatványaként! 1
a)
5
x2 3 x ⋅ x 2 ⋅ x −
x b)
3 5
1 5
2
4 3
⋅ x −3 4 3
−
x ⋅x ⋅x −
−
1 6
2 5
x ⋅3 x2 55) Végez el a kijelölt műveleteket! a) 2 −3 4 + 4 8 ⋅ 2 =
(
)
2
1 − 32 b) x + x 2 =
56) Oldd meg a következő egyenleteket! 2 − 1 4 3 x −1 a) ⋅ 4 =8 3 8 x
−1
b) 2 x − 2 + 8 3 − 4 0, 5 x − 2 = 10 c) 3 x + 2 ⋅ 2 x − 2 ⋅ 36 x + 18 = 0 i) 10 x + 10 x −1 = 0,11 ii) 4 x − 9 ⋅ 2 x + 8 = 0 d) lg(x + 1) + lg( x − 1) = lg 8 + lg( x − 2) lg (6 − 2 x ) e) lg ( x + 1) = 2 f) 2 lg( x − 4) − lg 4 = lg(2 x − 11) g)
lg (3 x − 5) =2 lg (2 x − 3)
57) Számítsd ki a következő kifejezés pontos értékét! 1 a) log 3 45 + log 3 20 − log 3 30 + log 3 6 − log 3 2 2 58) Mennyi a következő kifejezések pontos értéke? a) log232=?
b) log3 3 9 = ?
c) log 1 25 = ?
d)
51+ log
25 9
=?
5
e) 16
−
3 4
=?
1 f) 27
1 − 3
=?
g)
5log 3+log 2 = ? 5
5
59) Egy háromszög leghosszabb oldala 13 cm és a vele szemközti szög 83°-os. A háromszög legkisebb szöge 26°-os. Határozd meg a háromszög hiányzó oldalainak hosszát! 60) Egy hegyesszögű háromszög egyik szöge 70°-os, a vele szemközti oldal 23,5 cm hosszú. A háromszög egy másik oldalának hossza 10 cm. Mekkora a hiányzó oldal hossza és a szögek nagysága? 61) Egy háromszög egyik szöge 50°-os, a vele szemközti oldal 23,5 cm hosszú. A háromszög egy másik oldalának hossza 27 cm. Mekkora a hiányzó oldal hossza és a szögek nagysága? 62) Egy háromszögben a = 55 mm, b = 7 cm és α = 52°30’. Mekkorák az ismeretlenszögek és a harmadik oldal? 63) Írd fel a (6;-3) ponton átmenő és a P(-1; 4), Q(2; 5) pontokat összekötő egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét! 64) Írd fel a (6;-3) ponton átmenő és a P(-1; 4), Q(2; 5)pontokat összekötő egyenesre merőleges egyenes egyenletét! 65) Határozd meg a következő egyenletekkel megadott körök középpontjának koordinátáit és sugarát! a. x2 + y2 - 6x + 10y - 2 = 0 b. x2 + y2 + 3x - 7y = 14, 5 c. x2 + y2 - 12x - 12y = 25
66) Számítsd ki az ( x − 1) + ( y + 2 ) = 16 egyenletű kör és az y = x − 7 egyenletű egyenes metszéspontjának koordinátáit! 2
2
67) Milyen hosszúságú húrt vág ki az y = 2 x + 1 egyenletű egyenesből az ( x − 1) + ( y + 2 ) = 25 ? 2
2
68) Az ( x − 5 ) + ( y − 12 ) = 169 egyenletű körhöz az P(10; 24) pontjában érintőt húzunk. Írja fel az érintő egyenletét! 2
2
69) Az ( x − 4 )2 + ( y − 3)2 = 16 egyenletű körnek van-e olyan pontja, mely egyenlő távolságra van a (–3; 2) és (1; 0) koordinátájú pontoktól? 70) Egy számtani sorozat első eleme -4, a differenciája 5. Állapítsuk meg a sorozat 20. tagját, és az első 20 tag összegét! 71) Egy számtani sorozat 5. tagja 25, 12. tagja pedig 95. Mennyi a sorozat első 15 tagjának összege? 72) Egy színházi nézőtéren 560-an férnek el. A 10. sorban 45-en, és minden sorban 2-vel többen, mint az előtte levőben. Hány sor van a színházban? 73) Egy számtani sorozat első tagja 7, a differenciája -4. Mennyi az sorozat 100. eleme? 74) Egy számtani sorozat első tagja -1, a differenciája 7,5. Mennyi az első 100 tag összege? 75) Egy számtani sorozat tizedik tagja 56, a 15. tagja 101. Mekkora a sorzat 2. tagja? 76) Egy számtani sorozat hetedik tagja -6, a 10. tagja -27. Mennyi az első 10 tag összege? 77) Egy mértani sorozat első tagja 7, a hányadosa -3. Mennyi az sorozat 7. eleme? 78) Egy mértani sorozat első tagja -1, a hányadosa 2,5. Mennyi az első 10 tag összege? 79) Egy mértani sorozat hatodik tagja 100, a 8. tagja 400. Mekkora a sorzat 2. tagja? 80) Egy mértani sorozat harmadik tagja 80, a negyedik tagja -120. Mennyi az első 10 tag összege? 81) Bankba helyezünk 50.000 Ft-ot évi 6,5 %-os kamatos kamatra. Mennyi pénzünk lesz 5 év múlva, ha közben a kamat nem változik, mi pedig nem nyúlunk a pénzhez? 82) Egy érdekes könyvből első nap 16 oldalt olvasunk el, majd minden további napon 1,5-szer annyit, mint az előző nap. Hány oldalas a könyv, ha 5 nap alatt elolvassuk? 83) Egy dolgozónak minden évben 4 %-kal emelik a fizetését. Mennyit kereshetett pályakezdőként, ha 10 éves munkaviszony után 180.000 Ft a fizetése? 84) Egy baktériumtenyészetben minden nap megduplázódik a baktériumok száma. Kezdetben volt 1 baktérium. Hány nap múlva lesz 256 baktérium a tenyészetben?1 85) Egy kocka éleit 4 cm-rel megnöveljük, akkor felszíne 480 cm 2 -rel nő. Mekkora az eredeti kocka térfogata? 86) Mekkora szöget zár be a kocka két testátlója. Mekkora szöget zár be a testátló és a lapátló, ha a kocka éle „ a „ ? 87) Határozzuk meg a kocka élét, lapátlóját, felszínét és térfogatát, ha az átlósíkjának a területe 141,4 cm 2 ! 88) Egy téglatest éleinek aránya 3: 4: 5. Térfogata 300 cm 3 . Milyen hosszúak az élek? 89) Egy téglatest éleinek aránya 3 : 4 : 5, testátlójának hossza 20 cm. Mekkorák az élek? Mekkora szöget zár be a testátló a téglatest leghosszabb és legrövidebb élével? 90) Egy téglatest térfogata 36cm3 , testátlójának hossza 7 cm , egyik élének a hossza 6cm. Mekkora a téglatest felszíne ? 91) Ha egy téglatest egyik élét 6 cm-rel, a másikat 4 cm-rel meghosszabbítjuk, akkor olyan kockát kapunk, amelynek a térfogata 2059,2 cm3 - rel nagyobb az eredetinél. Mekkora a kocka éle? 92) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 10 cm hosszú, palástjának területe ötszöröse az alaplap területének. Mekkora a hasáb térfogata, felszíne ? 93) Egy forrás óránként 82 hl vizet ad. A forrásvizet henger alakú tartályba vezetik. Milyen magasságig telik meg a tartály 4 óra alatt, ha a tartály átmérője 7,5 méter ? 94) Egy szabályos nyolcszög alapú egyenes hasáb alapéle 3,4 cm, oldaléle 8,02 cm . Mekkora a térfogata ?
95) Egy egyenes hasáb valamennyi éle egyenlő hosszú. Az alaplap 5cm oldalú 60o-os szögű rombusz. Mekkora a felszíne és térfogata ? 96) Egy 6m magas vasúti töltés felül 8 m széles. Keresztmetszete olyan húrtrapéz, melynek szárai 7,3m hosszúak. Hány m 3 földmunkát kíván egy 50 m hosszú szakasz? 97) Egy henger alakú torta alapkörének sugara 15 cm, magassága 7cm. A tortából egy 30o -os középponti szögű tortaszeletet vágunk. Mekkora a kivágott tortaszelet térfogata ? 98) Egy fekvő forgáshenger alakú kazán belső átmérője 140 cm, hossza 300 cm. Mennyi víz van benne, ha a vízállás mutató szerint a víz magassága
2 - részéig tölti meg ? 3
99) Egy hengeres kémcső köbcentiméterekre van beosztva. Két szomszédos beosztás távolsága 1,5. Mekkora a kémcső belső átmérője ? 100) Egy forgáshenger magassága az alapkör sugarának háromszorosa. A henger palástjának felszíne 150cm2 . Számítsuk ki a henger térfogatát! 101) Egy forgáskúp nyílásszöge 60 o, magassága 10 cm. Mekkora a kiterített palástjának a középponti szöge és területe? 102) Egy üvegpohár alja 6 cm, a teteje 8 cm átmérőjű kör. Mennyi folyadék tölthető a pohárba? Hány deciliter víz van a pohárban, ha a víz 5 cm magasan áll benne? 103) Egy szimmetrikus trapéz alapjai 6 cm és 10 cm , szárai 4cm hosszúak . A trapézt megforgatjuk a hosszabbik alapja körül. Mekkora a keletkezett test felszíne és térfogata? 104) Egy négyoldalú szabályos gúla alapéle 10,4 cm, oldaléle 17,6 cm. Határozzuk meg a gúla térfogatát és felszínét! 105) Egy szabályos tetraéder élhossza 8 cm. Mekkora a magassága, köré írt, illetve a beírt gömb sugara ? 106) Egy 10 cm átmérőjű tömör viaszgolyóból 5 egyforma gyertyát szeretnénk formálni úgy, hogy a hengerek magassága 1, 5- szer akkora legyen, mint az átmérője. Mekkora legyen a gyertya sugara? ( a kanóc térfogata elhanyagolható ) 107) Egy egyenes körkúp alapjának sugara 24 cm, magassága 36 cm. Ebből a kúpból az alaplapjával párhuzamos síkkal egy 12 cm magasságú csonka kúpot vágunk le. Mekkora a csonka kúp felszíne? 108) Egy kocka alakú fadarabból kifaragunk egy lehető legnagyobb sugarú gömböt. A fadarab hány százaléka lesz a hulladék? Mekkora a gömb térfogata, ha a gömbbe írt egyenes körkúp alapkörének sugara 12 cm, alkotója pedig 32 cm ? 109) Add meg a következő függvények értékkészletét, szélsőértékét, és annak helyét! a) f ( x ) = x 2 − 4x + 9
g ( x ) = − x 2 − 6x − 4 c) h(x) = x − 5 − 6 2 110) Az x a x függvény grafikonját eltoltuk a v ( 3; −2 ) vektorral. Add meg az így kapott
b)
grafikonhoz tartozó hozzárendelési szabályt!
