4.6 Složené soustavy • vznikají spojením jednotlivých konstrukčních prvků (tuhých těles, tuhých desek a/nebo bodů)
deska
deska
G
G
1 © Petr Kabele 2005-2013
• vazby: vnitřní - spojují jednotlivé prvky vnější - připojují soustavu k podkladu (základům, další konstrukci a.p.) vnitřní vazby
G
G
vnější vazby
2 © Petr Kabele 2005-2013
• rovinná soustava
- zatížení: rovinná soustava sil a - rovinné uspořádání vazeb
G
G
3 © Petr Kabele 2005-2013
• prostorová soustava - zatížení: prostorová soustava sil a/nebo - prostorové uspořádání vazeb
4 © Petr Kabele 2005-2013
• stupně volnosti soustavy m = součet počtů stupňů volnosti jednotlivých prvků bez vlivu vazeb r = součet počtů stupňů volnosti odebraných všemi vazbami sn = r - m stupeň statické neurčitosti soustavy • posouzení vnějšího podepření rovinná složená soustava má minimálně 3 stupně volnosti (min. 1 deska ... m = 3) prostorová složená soustava má minimálně 6 stupňů volnosti (min. 1 těleso ... m = 6) aby vnější vazby zamezily přemístění konstrukce, musí odebírat nejméně: 3 stupně volnosti rovinné soustavě (rext ≥ 3) 6 stupňů volnosti prostorové soustavě (rext ≥ 6) 5 © Petr Kabele 2005-2013
• statická/kinematická určitost soustavy Stupně volnosti *)
rovina [prostor]
sn = 0 (m = r) a rext ≥ 3[6] *) a není výjimkový případ sn > 0 (m < r) a rext ≥ 3[6] *) a není výjimkový případ sn < 0 (m > r) a/nebo rext < 3[6] *) a/nebo výjimkový případ
Podepření staticky
Podepření kinematicky
Pozn.
určité
určité
kce. vč. všech jejích částí pevně podepřena
neurčité
přeurčité
kce. vč. všech jejích částí pevně podepřena
přeurčité
neurčité
kce. nebo její část může samovolně změnit polohu
• výjimkový případ podepření: přestože počet vazeb je dostatečný k odebrání všech stupňů volnosti konstrukce (r ≥ m, rext ≥ 3 nebo rext ≥ 6) , jejich nevhodné uspořádání nezabraňuje skutečným či nekonečně malým posunům/pootočením konstrukce nebo její části
6
© Petr Kabele 2005-2013
Příklady: mI = 3 a
m = 2×3 = 6
I.
d rd = 1
ra = 2
mI = 3 a
rc = 2 c
I.
rc = 2 c
ra = 2
r = (2+1)+(2+1) = 6 vnější vnitřní
II. mII = 3 b sn = r – m = 0… staticky i kinematicky určitá kce. rb = 1
vnější podepření: rext = (2+1) = 3 ≥ 3 m = 2×3 = 6
r = (2+2) + 2 = 6 II. vnější vnitřní mII = 3 b sn = r – m = 0… staticky i kinematicky určitá kce. rb = 2 vnější podepření: rext = (2+2) = 4 ≥ 3 m = 2×3 = 6
mI = 3 a ra = 2
I.
rc = 2 c d rd = 1
II. mII = 3 b rb = 2
r = (2+2)+(2+1) = 7 vnější vnitřní sn = r – m = 1… 1x staticky neurčitá / 1x kinematicky přeurčitá kce. 7 vnější podepření: rext = (2+2) = 4 ≥ 3© Petr Kabele 2005-2013
rc = 2 I. c mI = 3 d rd = 1 re = 1
e a ra = 2
m = 2×3 = 6
II. mII = 3 r = (2+1)+(2+1+1) = 7 vnější vnitřní sn = r – m = 1… 1x staticky neurčitá / b 1x kinematicky přeurčitá kce. rb = 1 vnější podepření: rext = (2+1) = 3 ≥ 3
Všimněme si: tuhý celek - deska I.
c
II.
d e a ra = 2
b
Vnější vazby odebírají tuhé desce 3 stupně volnosti ... konstrukce je vně staticky určitá.
rb = 1 8 © Petr Kabele 2005-2013
mI = 3 a
I.
rc = 2 c
ra = 2
rc = 2 I. c mI = 3 d rd = 1 e a ra = 2
m = 2×3 = 6 r = (2+1) + (2) = 5 II. vnější vnitřní mII = 3 b sn = r – m = –1… 1x staticky přeurčitá / 1x kinematicky neurčitá kce. rb = 1 (přestože vnější podepření: rext = (2+1) = 3 ≥ 3)
m = 2×3 = 6 r = (2) + (2+1+1) = 6 II. mII = 3 vnější vnitřní sn = r – m = 0
re = 1 ALE vnější podepření: rext = 2 ≤ 3 ... kce. vně staticky přeurčitá, není zamezeno pootočení 9 © Petr Kabele 2005-2013
rc = 1 c mI = 3 I.
mII = 3 rd = 1 d
a ra = 2
II. b rb = 2
m = 2×3 = 6 r = (2+2) + (1+1) = 6 vnější vnitřní sn = r – m = 0 vnější podepření: rext = (2+2) = 4 ≥ 3
ALE nevhodné uspořádání vazeb nezamezuje přemístění kce. ... výjimkový případ podepření
10 © Petr Kabele 2005-2013
* další příklady výjimkových případů podepření rovinných složených soustav
11 © Petr Kabele 2005-2013
Př. 1: Načrtněte statické schéma zobrazené konstrukce a určete její stupeň statické neurčitosti. a) 2D b) 3D
(Letiště Marca Pola, Benátky)
12 © Petr Kabele 2005-2013
• metoda výpočtu reakcí: 1) konstrukci rozdělíme na jednotlivé prvky 2) účinky vazeb nahradíme neznámými reakcemi • vnější vazby
a
b
Ah Av
Bh Bv
Povšimněme si: každá vnější reakce se vyskytuje právě 1x.
13 © Petr Kabele 2005-2013
• vnitřní vazby: každá vnitřní vazba musí být v rovnováze, např. c
CIh CIv
CIv
CIIh
CIIh
CIIv
CIh CIIv -CIh+ CIIh=0 -CIv+ CIIv=0 Ch
Ch
Cv
Cv
Povšimněme si: každá vnitřní reakce se vyskytuje právě 2x, a to vždy s opačnou orientací.
14
© Petr Kabele 2005-2013
3) vypočítáme reakce tak, aby každá část konstrukce byla v rovnováze ⇔ soustava je v rovnováze jako celek • podmínky rovnováhy pro každý prvek zahrneme pouze zatížení a reakce působící na prvek • podmínky rovnováhy pro soustavu jako celek (vnější podmínky rovnováhy) zahrneme všechna zatížení kce. a vnější reakce nadbytečné podmínky (můžeme použít pro výpočet nebo pro kontrolu)
15 © Petr Kabele 2005-2013
4.6.1 Rovinné složené soustavy • vícenásobný kloub
16 © Petr Kabele 2005-2013
• vícenásobný kloub
pro výpočet reakcí působících na připojené pruty někdy zjednodušujeme
Pozor: nepřípustné pro detailní výpočet vazby (spoj. plechu, čepu ap.). 17 © Petr Kabele 2005-2013
* odebrané st. volnosti: r = 2 (n-1) (n připojených desek)
rII = 2 II
r = rI + rII = 4
III I
rI = 2
18 © Petr Kabele 2005-2013
II
* reakce AIIh AIIv III
AIIv
AIh AIIh
I
AIh
AIv nebo
AIv
II AIv AIIh
III
AIIh AIIv
AIh AIv
AIIv AIh
I
Výsledné celkové reakce působící na připojené desky vyjdou v obou případech stejně. Avšak pro detailní výpočet sil působících na vazby (spoj. plech, čep ap.) je nutno zavést reakce podle skutečného působení vazby! 19 © Petr Kabele 2005-2013
* pozor, rozdíl dvojnásobný kloub II
II
AIIv AIv
I
AIIh AIh AIIh
AIIv AIh
III
III
AIv I
jednoduchý kloub II
II I
Av Ah
Av Ah
I 20 © Petr Kabele 2005-2013
• dvě či více vazeb v jednom místě, např.:
21 © Petr Kabele 2005-2013
• dvě či více vazeb v jednom místě, např.: I
=
b II
a
Bv II
I
I b II
Bh
Ah Bh
a
II
a
I Bv
b
nebo
Bv nebo II
I Bh
Bv Bh
Ah Av
Av Výsledné celkové reakce působící na připojené desky i ve vnější vazbě vyjdou v obou případech stejně. Avšak pro detailní výpočet sil působících na vazby (spoj. plech, čep ap.) je nutno zavést reakce podle skutečného 22 působení vazby! © Petr Kabele 2005-2013
• zatížená vazba, např.: F I
vnější sílu F můžeme přiřadit desce I nebo II
II
Ah
F Ah
II
Av
Av
F I
nebo II
Av
Ah Ah Av
I
pozn.: podobně pro moment
Výsledné celkové síly působící na připojené desky vyjdou v obou případech stejně. Avšak pro detailní výpočet sil působících na vazby (spoj. plech, čep ap.) je nutno zavést reakce podle skutečného působení vazby!
23
© Petr Kabele 2005-2013
Př. 2: Vypočtěte vnitřní a vnější reakce rovinné konstrukce
M1= 7 kNm 2
F1= 10 kN F2= 5 kN
F3= 3 kN
3 4
4
(m)
24 © Petr Kabele 2005-2013
Posouzení statické určitosti m=3
r=4
m=3 m = 3×3 = 9 r = 3×1+2+4 = 9
m=3
m=r
r=1 r=1
r=2 nebo m=3
r=4
r=1 m=3 m = 4×3 = 12 r = 2×1+3×2+4 = 12
m=3 r=2
r=2
r=2 r=1 m=3 r=1
m=r 25 © Petr Kabele 2005-2013
Rozdělení na prvky a zavedení reakcí EIIv
F1= 10 kN
M1= 7 kNm
EIIh
EIh EIv EIv
I.
EIh F3= 3 kN
EIIh EIIv III.
Ah
F2= 5 kN
II.
D
Av
D C
B II. I.
e
III. d
a b
c 26 © Petr Kabele 2005-2013
Podmínky rovnováhy M1= 7 kNm
EIIh
EIh EIv EIv
I.
EIIv
F1= 10 kN EIh F3= 3 kN
Ah Av I: x : Ah + EIh = 0 … (1) ↓ z : F1 + Av + EIv = 0 … (2) ⌢ e : M 1 + 4 Av + 5 Ah = 0 … (3)
F2= 5 kN
II.
EIIh EIIv D
III. D B
C II: x : F2 − EIIh − D = 0 … (4) ↓ z : C − EIIv = 0 … (5) ⌢ e : − 5 D − 4C = 0 … (6)
III: x : − EIh + EIIh + D + F3 = 0 … (7) ↓ z : − EIv + EIIv + B = 0 … (8) ⌢ e : 2 F3 + 5 D = 0 … (9)
27 © Petr Kabele 2005-2013
Podmínky rovnováhy
I: x : Ah + EIh = 0 … (1) ↓ z : Av + EIv = −10 … (2) ⌢ e : 4 Av + 5 Ah = −7 … (3)
III:
II: x : − EIIh − D = −5 … (4) ↓ z : C − EIIv = 0 … (5) ⌢ e : − 5 D − 4C = 0 … (6)
x : − EIh + EIIh + D = −3 … (7) ↓ z : − EIv + EIIv + B = 0 … (8) ⌢ e : 5 D = −2 ⋅ 3 … (9)
28 © Petr Kabele 2005-2013
Řešení soustavy pomocí programu wxMaxima (wxmaxima.sourceforge.net, maxima.sourceforge.net)
© Petr Kabele 2005-2013
Podmínky rovnováhy M1= 7 kNm 2
F1= 10 kN F2= 5 kN
F3= 3 kN
3
Av
Ah 4
4 B
C
Vnější:
x : Ah + F2 + F3 = 0 … (10) ↓ z : Av + B + C + F1 = 0 … (11) ⌢ a : M 1 − 4 F1 − 5F2 − 3F3 − 4 B − 8C = 0 … (12)
30 © Petr Kabele 2005-2013
Vnější podmínky rovnováhy můžeme použít pro kontrolu výsledku:
© Petr Kabele 2005-2013
Výsledek:
M1= 7 kNm
8 18.25
I.
1.5
F1= 10 kN 18.25 6.2 8 F3= 3 kN
6.2 1.5 1.2
8 8.25
F2= 5 kN
II.
1.2 19.75
1.5 (kN)
32 © Petr Kabele 2005-2013
Praktická doporučení pro řešení složených soustav Výpočet reakcí staticky určité složené soustavy vede na řešení soustavy lineárních rovnic, jejichž počet odpovídá počtu stupňů volnosti konstrukce. Soustavu rovnic můžeme výrazně zjednodušit při dodržení následujících doporučení:
• V konstrukci se snažíme identifikovat nesené a nosné části. Při sestavování a výpočtu podmínek rovnováhy postupujeme od nesené části k nosné. • Při sestavování podmínek rovnováhy pro jednotlivé desky použijeme takové nezávislé podmínky (silové a/nebo momentové), ve kterých se vyskytne co nejméně neznámých reakcí. Toho je možno docílit zejména vhodnou volbou bodů pro podmínky momentové. • V některých případech může být výhodné využít pro řešení některých reakcí vnější podmínky rovnováhy, nebo podmínky rovnováhy pro část soustavy sestávající z dvou nebo více desek. • Viz příklady.
33
© Petr Kabele 2005-2013
34 © Petr Kabele 2005-2013
35 © Petr Kabele 2005-2013
(kN)
36 © Petr Kabele 2005-2013
Nesená část
37 © Petr Kabele 2005-2013
Nosná část (trojkloubový rám)
38 © Petr Kabele 2005-2013
(kN)
39 © Petr Kabele 2005-2013
Poděkování - Acknowledgment: Všechny použité fotografie pocházejí z Godden Structural Engineering Slide Library, National Information Service for Earthquake Engineering, University of California, Berkeley. All photographs belong to Godden Structural Engineering Slide Library and appear courtesy of National Information Service for Earthquake Engineering, University of California, Berkeley.
40 © Petr Kabele 2005-2013
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 1 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.
Datum poslední revize: 3.12.13 20:50
41 © Petr Kabele 2005-2013
