45

INTEGRAL

Departemen Matematika FMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

1 / 45

Topik Bahasan 1

Pendahuluan

2

Anti-turunan

3

Luas di Bawah Kurva

4

Integral Tentu

5

Teorema Dasar Kalkulus

6

Integral Taktentu

7

Aturan Substitusi

8

Telaah Konsep


Kalkulus I

Bogor, 2012

2 / 45

Pendahuluan

Beberapa Terapan Integral

Peramalan jumlah populasi (penduduk, bakteri, dsb.) di masa yang akan datang. Penentuan ketinggian pesawat ulang-alik pada waktu tertentu. Penentuan konsumsi energi di Jakarta pada suatu hari.


Kalkulus I

Bogor, 2012

3 / 45

Anti-turunan

Anti-turunan

De…nisi Fungsi F disebut anti-turunan dari fungsi f pada interval I jika F0 (x) = f (x) untuk setiap x 2 I. Contoh (Anti-turunan) 1 2 3 4

f (x) = x3 ) F (x) = 14 x4

f (x) = x3 ) F (x) = 14 x4 + 5 f (x) = cos x ) F (x) = sin x

f (x) = cos x ) F (x) = sin x + C, C = konstanta


Kalkulus I

Bogor, 2012

4 / 45

Anti-turunan

Teorema (Anti-turunan Umum) Jika F anti-turunan dari f pada interval I, maka anti-turunan dari f yang paling umum adalah (1) F (x) + C dengan C konstanta sebarang.


Kalkulus I

Bogor, 2012

5 / 45

Anti-turunan

Formula Anti-turunan No.

Fungsi

Anti-turunan

1.

kf (x)

kF (x) + C

2.

f (x)

3.

xn , n 6=

4.

sin x

5.

cos x

sin x + C

6.

sec2 x

tan x + C

7.

csc2 x

8.

sec x tan x

9.

csc x cot x

k, C : konstanta,

F0

g (x) 1

F (x)

G (x) + C

xn+1 / (n + 1) + C cos x + C

cot x + C sec x + C csc x + C

(x ) = f (x ) , G0 (x ) = g (x )


Kalkulus I

Bogor, 2012

6 / 45

Luas di Bawah Kurva

Luas di Bawah Kurva Konsep integral dapat didekati dengan gagasan penentuan luas daerah bidang rata Bagaimana menentukan luas daerah bidang rata S yang dibatasi oleh: kurva y = f (x) 0, sumbu x, garis x = a, x = b ?


Kalkulus I

Bogor, 2012

7 / 45

Luas di Bawah Kurva

Ilustrasi Pendekatan Persegi Panjang untuk Menghitung Luas Ingin ditentukan luas daerah yang dibatasi kurva f (x) = x2 , sumbu-x, x = 0, x = 2 dengan pendekatan persegi panjang. DEMO Jumlah Riemann


Kalkulus I

Bogor, 2012

8 / 45

Luas di Bawah Kurva

Pendekatan Persegi Panjang untuk Menghitung Luas

Buat n persegi panjang dengan luas A1 , A2 , . . . , An , luas A dari daerah S didekati dengan penjumlahan luas n persegi panjang ! A A1 + A2 + + An = Rn , makin besar n, luas n persegi panjang makin mendekati luas A, luas A dide…nisikan sebagai penjumlahan takhingga banyak persegi panjang ! A = limn!∞ Rn = limn!∞ ∑ni=1 Ai .


Kalkulus I

Bogor, 2012

9 / 45

Luas di Bawah Kurva

Penghitungan Luas dengan Pendekatan Persegi Panjang Untuk menentukan luas daerah S yang dibatasi oleh: kurva kontinu y = f (x) 0, sumbu x, garis x = a, x = b, lakukan: Bagi interval [a, b] menjadi n interval bagian [a = x0 , x1 ] , [ x1 , x2 ] , . . . , [ xn 1 , xn = b ] dengan panjang yang sama, yakni ∆x = b n a , sehingga berlaku xi = a + i∆x, i = 1, 2, . . . , n. Pada setiap interval bagian [xi 1 , xi ] buat persegi panjang dengan lebar ∆x dan panjang f (xi ), sehingga luas Ai = f (xi ) ∆x. (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

10 / 45

Luas di Bawah Kurva

De…nisi Luas A dari daerah S yang dibatasi oleh kurva kontinu y = f (x) sumbu x, garis x = a, x = b adalah A = lim Rn n! ∞

= =

dengan ∆x = (b

0,

n

lim ∑ f (xi ) ∆x

n! ∞ i=1

lim [f (x1 ) ∆x + f (x2 ) ∆x +

n! ∞

(2)

+ f (xn ) ∆x]

a) /n, xi = a + i∆x, i = 1, 2, . . . , n.

Rn = ∑ni=1 f (xi ) ∆x pada (2) disebut Jumlah Riemann.


Kalkulus I

Bogor, 2012

11 / 45

Luas di Bawah Kurva

Formula Notasi Sigma 1. 2. 3. 4. 5. 6.

n

∑c

=

cn

∑ c xi

=

c ∑ xi

i=1 n i=1 n

∑ xi

i=1 n

yi

= =

∑ i2

=

∑ i3

=

i=1 n i=1

i=1 n

∑ xi

i=1

∑i

i=1 n

n

n

∑ yi

i=1

(3)

n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6 n (n + 1) 2 2

c = konstanta. (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

12 / 45

Luas di Bawah Kurva

Contoh Gunakan pendekatan persegi panjang untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva f (x) = x2 , sumbu-x, x = 0, x = 2, dengan i) n = 4 ii) n = 10 iii) n ! ∞


Kalkulus I

Bogor, 2012

13 / 45

Integral Tentu

Integral Tentu Konsep Jumlah Riemann Rn = ∑ni=1 f (xi ) ∆x pada (2) dapat diperluas untuk daerah yang ada di bawah sumbu-x (S2 ). Jumlah Riemann pada S2 negatif karena f (xi ) < 0. Pada interval [a, b], lambang limit Jumlah Riemann dapat diganti dengan lambang integral tentu, Rb limn!∞ ∑ni=1 f (xi ) ∆x = a f (x) dx.


Kalkulus I

Bogor, 2012

14 / 45

Integral Tentu

Ilustrasi Integral Tentu


Kalkulus I

Bogor, 2012

15 / 45

Integral Tentu

De…nisi (Integral Tentu) Integral tentu fungsi f dari a ke b adalah Z b a

n

f (x) dx = lim ∑ f (ci ) ∆x

(4)

n! ∞ i=1

dengan ci 2 [xi 1 , xi ] , ∆x = (b a) /n, [xi ke-i dari [a, b] = [x0 , xn ] , i = 1, 2, . . . , n.

1 , xi ]

Titik sampel ci pada interval bagian [xi

adalah interval bagian

1 , xi ]

dapat berupa:

titik ujung kanan, ci = xi titik ujung kiri, ci = xi 1 titik tengah, ci = (xi 1 + xi ) /2

Syarat cukup agar f terintegralkan pada [a, b] adalah f kontinu pada [a, b] . (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

16 / 45

Integral Tentu

Dari Notasi Sigma ke Integral

Lambang R

Rb a

f (x) dx )

: integral ( bentuk "S" = sum) a, b : batas bawah,atas integral f (x) : integran (fungsi yang diintegralkan) dx : diintegralkan terhadap variabel x


Kalkulus I

Bogor, 2012

17 / 45

Integral Tentu

Ilustrasi Hasil Evaluasi Integral Tentu


Kalkulus I

Bogor, 2012

18 / 45

Integral Tentu

Hasil Evaluasi Integral Tentu Rb

f x dx, b a menghasilkan sebuah bilangan dengan salah satu dari a ( ) tiga kemungkinan berikut:

>0 seluruh daerah berada di atas sumbu-x luas daerah di atas sumbu-x > luas daerah di bawah sumbu-x

<0 seluruh daerah berada di bawah sumbu-x luas daerah di bawah sumbu-x > luas daerah di atas sumbu-x

=0 f (x) = 0 atau a = b luas daerah di bawah sumbu-x = luas daerah di atas sumbu-x


Kalkulus I

Bogor, 2012

19 / 45

Integral Tentu

Soal (Konsep Integral Tentu) 1

2

3

4

Gunakan de…nisi integral tentu (dengan titik ujung kanan) untuk R2 2 4 2 2 menghitung 0 x2 x dx, jawab: lim + 2+ = n! ∞ 3 3n n 3 Gunakan de…nisi integral tentu untuk menunjukkan bahwa Rb b2 a 2 x dx = . a 2 Hitung integral berikut dengan menafsirkannya sebagai bentuk luas. p R2 a) 0 1 + 4 x2 dx, jawab: 2 + π R2 b) 2 (1 jxj) dx, jawab: 0 Ungkapkan limit berikut dalam bentuk integral tentu. 12 22 n2 a) lim + + + n!∞ n3 n3 n3 1 1 1 1 b) lim + + + n! ∞ n 1 + (1/n)2 1 + (2/n)2 1 + (n/n)2


Kalkulus I

Bogor, 2012

20 / 45

Integral Tentu

Sifat-sifat Integral Tentu Ilustrasi Geometris


Kalkulus I

Bogor, 2012

21 / 45

Integral Tentu

Sifat-sifat Integral Tentu Sifat Umum

1 2 3 4 5 6

Ra

Rb f x dx = f x dx b ( ) a ( ) Ra f x dx = 0 a ( ) Rb c dx = c (b a) a Rb Rb c f (x) dx = c a f (x) dx a Rb Rb Rb f x g (x)] dx = a f (x) dx g (x) dx a [ ( ) a Rb Rc Rc f x dx + b f (x) dx = a f (x) dx a ( )


Kalkulus I

Bogor, 2012

22 / 45

Integral Tentu

Soal (Sifat Integral I) R2 R0 1 Diketahui f x dx = 4 dan 2 (g (x) f (x)) dx = 5. Gunakan 0 ( ) sifat-sifat integral untuk menghitung: R0 R2 a) 2 (2f (x) 3) dx b) 0 g (x) dx, jawab: a. 2 b. 1 2

R1 R4 f (t) dt = 2, 0 f (t) dt = 0 R3 f t dt. jawab: 9 1 ( )


6, dan

Kalkulus I

R4 3

f (t) dt = 1. Hitung

Bogor, 2012

23 / 45

Integral Tentu

Ilustrasi Geometris Sifat Pembandingan Integral


Kalkulus I

Bogor, 2012

24 / 45

Integral Tentu

Sifat-sifat Integral Tentu Sifat Pembandingan

0, x 2 [a, b], maka

Rb

1

Jika f (x)

f (x) dx 0 Rb g (x) , x 2 [a, b], maka a f (x) dx

2

Jika f (x)

3

Jika m f (x) M, x 2 [a, b], maka Rb m (b a) f x dx M (b a) a ( )


a

Kalkulus I

Rb a

g (x) dx

Bogor, 2012

25 / 45

Integral Tentu

Soal Gunakan sifat pembandingan integral untuk memeriksa kebenaran pertidaksamaan berikut tanpa menghitung integral. p R1 p 1 2 1 + x2 dx 2 2 1 R2 1 2 1/2 dx 1 1 x R3p Rb 1 3 3 x4 + 1 dx > 26/3 (diketahui: a x2 dx = b a3 ) 1 3


Kalkulus I

Bogor, 2012

26 / 45


Teorema Dasar Kalkulus Pengantar

Kalkulus diferensial muncul dari permasalahan garis singgung. Kalkulus integral muncul dari permasalahan luas daerah: perhitungan rumit seperti limit Jumlah Riemann. Sepintas, keduanya tampak tidak berkaitan. Newton dan Leibniz menemukan bahwa keduanya saling terkait. Konsep yang mengaitkan kalkulus integral dengan kalkulus diferensial: Teorema Dasar Kalkulus (TDK). Dengan TDK, perhitungan integral dan aplikasinya menjadi jauh lebih mudah karena merupakan kebalikan dari proses turunan. (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

27 / 45


Ilustrasi Geometris TDK-1


Kalkulus I

Bogor, 2012

28 / 45


Teorema (Teorema Dasar Kalkulus 1)

Rx Jika f kontinu pada [a, b], maka F (x) = a f (t) dt kontinu pada [a, b], terturunkan pada (a, b), dan turunannya adalah f (x) ; F0 (x ) =


d dx

Rx a

(5)

f (t) dt = f (x)

Kalkulus I

Bogor, 2012

29 / 45


Soal (TDK-1) Tentukan: Z d x 1 1 dt, dx 0 1 + t2 Z 2 d x 2 sin t dt, petunjuk: u = x2 , jawab: 2x sin x2 dx 0 Z d g2 (x) 3 f (t) dt, jawab: f (g2 (x)) g20 (x) f (g1 (x)) g10 (x) dx g1 (x) Z x p f (t) dt = 2 x, 4 fungsi f dan konstanta a yang memenuhi 6 + 2 t a x > 0, jawab: f (x) = x3/2 , a = 9.


Kalkulus I

Bogor, 2012

30 / 45


Teorema Dasar Kalkulus 2 Konsep

Rx Dari TDK-1: G (x) = a f (t) dt ) G0 (x) = f (x) (G anti-turunan f ). Ra Catat bahwa G (a) = a f (t) dt = 0. Misalkan F anti-turunan lain dari f , maka F (x) = G (x) + C F (b)

Jadi

F (a) = [G (b) + C]

[G (a) + C]

= G (b) G (a) = G (b) Rb Rb = a f (t) dt = a f (x) dx Rb a

f (x) dx = F (b)

F (a)

dengan F merupakan anti-turunan f atau F0 (x) = f (x) .


Kalkulus I

Bogor, 2012

31 / 45


Teorema (Teorema Dasar Kalkulus 2) Jika f kontinu pada [a, b] dan F sebarang anti-turunan f pada [a, b], maka

Rb a

f (x) dx = F (x) jba = F (b)

(6)

F (a)

TDK-2 memberi cara yang mudah dalam mengevaluasi integral tentu, jauh lebih mudah dibandingkan menggunakan limit Jumlah Riemann. Berdasarkan TDK-2, untuk mengevaluasi integral tentu f pada [a, b]: tentukan anti-turunan F dari f , evaluasi F (b) F (a) .


Kalkulus I

Bogor, 2012

32 / 45


Soal Tentukan: R π/2 1 2 3 4

cos x dx, jawab: 1 p 3 4 2 x + x2 dx, jawab: 10

0

R4 1

R2

1

x jxj dx, jawab: 7/3

Z d x

dx

0

x sin t dt, jawab: x sin x


cos x + 1

Kalkulus I

Bogor, 2012

33 / 45

Integral Taktentu

Integral Taktentu

De…nisi (Integral Taktentu) Misalkan F adalah anti-turunan f . Integral taktentu f (x) terhadap x adalah R (7) f (x) dx = F (x) + C Hasil integral tentu (persamaan 4) berupa suatu bilangan, hasil integral taktentu berupa fungsi. Integral taktentu adalah lambang lain antiturunan.


Kalkulus I

Bogor, 2012

34 / 45

Integral Taktentu

Formula Integral Taktentu

1 2 3 4 5 6 7 8 9

R R R R R R R R R

kf (x) dx = k

R

f (x) dx R g (x)) dx = f (x) dx

(f (x) xn dx = xn+1 / (n + 1) + C, n 6= sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C sec2 x dx = tan x + C csc2 x dx = cot x + C sec x tan x dx = sec x + C csc x cot x dx = csc x + C


R

Kalkulus I

g (x) dx

1

Bogor, 2012

35 / 45

Aturan Substitusi

Aturan Substitusi Aturan substitusi digunakan pada kasus: sulit menentukan anti-turunan integran secara langsung, tetapi bagian tertentu integran dapat dimisalkan dengan variabel baru sehingga lebih mudah dicari anti-turunannya.

Contoh Ingin ditentukan

R p 2 2x + 3 dx

Solusi O Misalkan u = 2x + 3 ) du/dx = 2 ) du = 2dx ) Rp R p 2 2x + 3dx = udu

= 23 u3/2 + C =


2 3

(2x + 3)3/2 + C Kalkulus I

Bogor, 2012

36 / 45

Aturan Substitusi

R p ? 2 2x + 3dx = p Jika u = g (x) = 2x + 3, g0 (x) = 2 = du/dx, f (u) = u, maka berlaku R p R 2 2x + 3dx = f (g (x)) g0 (x) dx R = f (u) du


Kalkulus I

Bogor, 2012

37 / 45

Aturan Substitusi

Teorema (Aturan Substitusi) Jika u = g (x) adalah fungsi terturunkan dan f kontinu pada Wg , maka

R

Rb a

f (g (x)) g0 (x) dx =

f (g (x)) g0 (x) dx =


Kalkulus I

R

f (u) du

R g(b) g(a)

f (u) du

Bogor, 2012

38 / 45

Aturan Substitusi

Integral Fungsi Simetri Ilustrasi Geometris


Kalkulus I

Bogor, 2012

39 / 45

Aturan Substitusi

Integral Fungsi Simetri

Dengan menggunakan aturan substitusi, dapat ditunjukkan 1

Jika f fungsi genap, maka

Ra 2

f x dx = 2 a ( )

R0

f x dx = 2 a ( )

Ra 0

f (x) dx

(8)

Jika f fungsi ganjil, maka

Ra


a

(9)

f (x) dx = 0

Kalkulus I

Bogor, 2012

40 / 45

Aturan Substitusi

Soal (Aturan Substitusi) Evaluasi integral (1 1

2

Z

x sin x2 dx, jawab:

Z 2 p

x 2

1

3

Z 1 0

4

5 6

0

1 2

cos x2 + C

x dx, jawab: 14/15

p p x3 x2 + 1 dx, jawab: 2/15 2+1

Z π/2 2 x sin x Z

5) berikut:

dx, jawab: 0

6 π/2 1 + x 1 p x 1 x4 dx,

jawab: π/8

Gunakan aturan substitusi untuk menunjukkan a b

Jika f genap, maka Jika f ganjil, maka


Z a

Z aa a

f (x) dx = 2

Z a 0

f (x) dx.

f (x) dx = 0. Kalkulus I

Bogor, 2012

41 / 45

Aturan Substitusi

Ekspresi Integral Taktentu Tidak Khas

Soal

R Tunjukkan bahwa sin x cos x dx menghasilkan ekspresi berbeda dengan substitusi i) u = sin x, ii) u = cos x, iii) u = 2x berdasarkan kesamaan sin 2x = 2 sin x cos x ) Hal tersebut menunjukkan bahwa fungsi yang dihasilkan dari integral taktentu dapat memiliki ekspresi/bentuk yang berbeda.


Kalkulus I

Bogor, 2012

42 / 45

Telaah Konsep

Telaah Konsep I Kuis Benar-Salah

1

2 3 4 5

6 7 8

Jika f dan g kontinu pada [a, b], maka Rb Rb Rb f x g x dx = a f (x) dx g (x) dx . a ( ) ( ) a Rb Rb Jika f kontinu pada [a, b], maka a xf (x) dx = x a f (x) dx. Rb Jika a f (x) dx = 0, maka f (x) = 0, x 2 [a, b] . Rb Jika a [f (x)]2 dx = 0, maka f (x) = 0, x 2 [a, b] . Jika f kontinu pada qR [a, b] dan f (x) Rbp b f (x) dx = f x dx a a ( ) Jika f (x)

g (x) pada [a, b], maka

Jika f (x)

0, maka

Rb a

jf (x)j dx

Rb

g (x) pada [a, b], maka a f (x) dx Rx Jika a > x dan F (x) = a f (t) dt, maka F0 (x) =


Kalkulus I

Rb

g x dx. a j ( )j Rb g (x) dx . a

f (x) .

Bogor, 2012

43 / 45

Telaah Konsep

Telaah Konsep II Kuis Benar-Salah 9 10

11

12

13

14

15

Jika F0 (x) = G0 (x) , x 2 [a, b], maka F (b)

F (a) = G (b)

G (a) .

Jika F (x) adalah anti-turunan dari f (x), maka F (2x) adalah anti-turunan dari f (2x) . Z 1 sin x x3 2x7 + dx = 0. 1 + x2 1 Z 11 Z

11 3

1

d dx

ax2 + bx + c dx = 2

cos2 x dx =

Z x2

Z 1 5

Z 11 0

cos2 x dx +

ax2 + c dx. Z 3 5

cos2 x dx.

1 1 dt = . 2 1 + x4 1 1+t Z 2 n 2i cos x dx. lim ∑ cos = n! ∞ i=1 n 0


Kalkulus I

Bogor, 2012

44 / 45

Telaah Konsep

Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB) Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


Kalkulus I

Bogor, 2012

45 / 45

45

Recommend Documents