4.4.3
Další trigonometrické věty
Předpoklady: 4402 Věty, které objevíme v této hodině, mohou usnadnit některé výpočty, ale je možné se bez nich (na rozdíl od kosinové a sinové věty) obejít. Pedagogická poznámka: Následující dva příklady třída počítá najednou rozdělená do dvou skupin. Př. 1:
Urči obsah trojúhelníku ABC, jestliže platí: a) c = 14 ; b = 10,3 ; α = 60°57 ' , b) c = 14 ; b = 10,3 ; α = 119°3' . Nejdříve odvoď obecný vzorec a pak dosaď.
a)
b) C
C
b
b
A
c
Obsah trojúhelníka S =
B
A
c ⋅ vC ⇒ určíme 2
Obsah trojúhelníka S =
B
c ⋅ vC ⇒ určíme 2
výšku vC . C
výšku vC .
C
b
c
vC
vC
b
C0 c B A Z pravoúhlého trojúhelníka ACC0 : v sin (π − α ) = C ⇒ vC = b ⋅ sin ( π − α ) . b Dosadíme: c ⋅ vC c ⋅ b ⋅ sin (π − α ) 1 S= = = bc sin (π − α ) 2 2 2 Určíme obsah: 1 S = bc sin (π − α ) = 2 1 = ⋅10,3 ⋅14 ⋅ sin (180° − 119°3' ) = 63 2
B C0 c Z pravoúhlého trojúhelníka ACC0 : v sin α = C ⇒ vC = b ⋅ sin α . b Dosadíme: c ⋅ vC c ⋅ b ⋅ sin α 1 S= = = bc sin α 2 2 2 Určíme obsah: 1 1 S = bc sin α = ⋅10, 3 ⋅14 ⋅ sin 60°57 ' = 63 2 2 A
1
Máme podobné vzorce a stejné výsledky ⇒ asi to není náhoda. 60°57 '+ 119°3' = 180° ⇒ sin 60°57 ' = sin (180° − 119°3')
Navíc: sin (π − α ) = sin π cos α − cos π sin α = 0 ⋅ cos α − ( −1) sin α = sin α ⇒ 1 1 S = bc sin ( π − α ) = bc sin α ⇒ v obou případech jsme odvodili stejný vzorec 2 2 Vzorec platí pro všechny ostroúhlé i tupoúhlé trojúhelníky.
Př. 2:
Rozhodni, zda vzorec z předchozího příkladu platí i pro trojúhelník s pravým úhlem α.
C
b
A
c
B
bc . 2 1 1 1 bc Dosadíme: S = bc sin α = bc sin 90° = bc ⋅1 = . 2 2 2 2 Vztah platí i pro pravoúhlý trojúhelník. V pravoúhlém trojúhelníku platí vC = b ⇒ S =
1 Tedy pro každý trojúhelník platí vzorec S = bc sin α . 2
Př. 3:
Přepiš vzorec pro výpočet obsahu i po další kombinace stran a úhlů.
1 Vzorec S = bc sin α umožňuje určit obsah trojúhelníku pomocí dvou stran a úhlu mezi nimi 2 1 1 ⇒ další možnosti dvou stan a úhlu mezi nimi jsou S = ca sin β a S = ab sin γ . 2 2
Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α , β , γ a strany délky a, 1 1 1 b, c platí : S = ab sin γ = bc sin α = ca sin β . 2 2 2 Př. 4:
V trojúhelníku ABC je dáno: b = 6, 7 ; β = 38° ; γ = 73° . Urči jeho obsah.
Pokud chceme použít předchozí vzorec pro obsah trojúhelníka, musíme určit dvě strany a úhel mezi nimi. Snadno můžeme dopočíst stranu c (sinová věta): b c sin γ sin 73° = ⇒c= ⋅b = ⋅ 6, 7 = 10, 4 sin β sin γ sin β sin 38° Potřebujeme úhel mezi stranami b a c, tedy úhel α . 2
α + β + γ = 180° ⇒ α = 180° − ( β + γ ) = 180° − ( 38° + 73° ) = 69° 1 1 Dosazení: S = bc sin α = ⋅ 6, 7 ⋅10, 4 ⋅ sin 69° = 32,5 2 2 Obsah trojúhelníka ABC je 32,5.
Př. 5:
Je dán kvádr ABCDEFGH o délkách stran 2,3,4. Urči obsah trojúhelníku EBG.
Nakreslíme si kvádr, na označení v tomto případě nezáleží (strany trojúhelníka jsou stěnové úhlopříčky všech druhů obdélníků, které se na kvádru vyskytují). Zvolíme například toto: AB = 3 ; BC = 2 ; AE = 4 . H G E
F
D
C
A B Pomocí Pythagorovy věty určíme délky jednotlivých stran trojúhelníku EBG. • Strana EB (přepona v pravoúhlém trojúhelníku ABE):
EB = •
2
2
Strana BG (přepona v pravoúhlém trojúhelníku BCG):
BG = •
AB + AE = 32 + 42 = 5 . BC + CG = 22 + 42 = 2 5 . 2
2
Strana EG (přepona v pravoúhlém trojúhelníku EGH):
EG =
GH + EH = 32 + 22 = 13 . 2
2
Teď známe všechny strany v řešeném trojúhelníku: G E
B Pokud chceme použít vzorec musíme vypočíst jeden z úhlů (například β ) pomocí kosinové
BE + BG − EG 2
věty: cos β =
2
2
(
52 + 2 5
)
2
− 13
= 2 ⋅ BE ⋅ BG 2⋅5⋅ 2 5 Dosadíme do vzorce pro výpočet obsahu:
3
2
= 0, 7155 ⇒ β = 44°19 '
1 1 BE ⋅ BG ⋅ sin β = ⋅ 5 ⋅ 2 5 sin 44°19 ' = 7,8 2 2 Obsah trojúhelníka BEG je 7,8. S=
Př. 6:
Najdi v tabulkách vzorec, který by umožnil spočítat obsah trojúhelníku BEG (z předchozího příkladu) přímo z délek jeho stran bez určování velikosti vnitřního úhlu. Pomocí nalezeného vzorce obsah vypočti a porovnej výsledky.
Vzorec (Heronův) je v části se vzorci v kapitole o planimetrii a goniometrii na straně 35 a+b+c v tomto znění: S = s ( s − a )( s − b )( s − c ) , s = . 2 a + b + c 5 + 2 5 + 13 Určíme s: s = = ≐ 6,54 2 2
(
)(
)
S = s ( s − a )( s − b )( s − c ) = 6,54 ( 6,54 − 5 ) 6, 54 − 2 5 6,54 − 13 = 7,8 Oba postupy vedou ke stejnému výsledku. Kromě vzorců pro obsah trojúhelníka existují i vzorce po výčet poloměru kružnice opsané a kružnice vepsané.
Př. 7:
V trojúhelníku ABC známe: AB = 12 a γ = 66° . Urči poloměr kružnice trojúhelníku opsané.
Nakreslíme obrázek situace. Střed kružnice opsané leží na průsečíku os stran.
C
S r A
SAB c
B k
Poloměr kružnic opsané spočteme z trojúhelníku ASS AB . Je pravoúhlý a platí: AS = r ; c ; ∢ASS AB = γ (je polovinou ∢ASB , který je kvůli větě o obvodovém a středovém 2 úhlu dvojnásobkem úhlu γ ). c AS AB c c Platí sin γ = =2= ⇒r= . AS r 2r 2 sin γ AS AB =
Dosadíme: r =
c 12 = = 6, 6 2 sin γ 2 ⋅ sin 66°
4
Dodatek: Je dobré si uvědomit, že trojúhelník ABC není v předchozím příkladě zcela zadaný. Známe jen dvě velikosti, vrchol C by mohl ležet kdekoliv na delším oblouku AB kružnice k. Trojúhelník by pak sice vypadal jinak, ale poloměr kružnice opsané by se nezměnil. Př. 8:
Napiš další možné varianty vzorce odvozeného v předchozím příkladě.
Poloměr kružnice opsané jsme počítali z úhlu a protější strany, platí tedy a b c r= = = 2 sin α 2sin β 2sin γ
Př. 9:
Najdi v tabulkách další vzorce pro výpočet poloměrů kružnice opsané a vepsané.
Vzorce jsou v části se vzorci v kapitole o planimetrii a goniometrii na straně 35 v tomto znění: abc poloměr kružnice opsané : r = , 4S S a+b+c poloměr kružnice vepsané: ρ = , kde s = . s 2
Dodatek: Předchozí vzorce se někdy uvádějí ve tvarech: S =
abc , S = ρ s jako vzorce pro 4r
výpočet obsahu trojúhelníku.
Př. 10: Urči obvod trojúhelníku, který je vepsán do kružnice o poloměru 7 cm, jestliže jeho vnitřní úhly mají velikosti: α = 67° ; β = 81° . Na první pohled neřešitelné. Hledáme nějaký vztah mezi poloměrem kružnice opsané a a velikostí strany ⇒ r = ⇒ a = r ⋅ 2sin α . 2 sin α Podobně můžeme vyjádřit i ostatní strany: b = r ⋅ 2sin β ; c = r ⋅ 2 sin γ .
o = a + b + c = r ⋅ 2sin α + r ⋅ 2sin β + r ⋅ 2sin γ = 2r ( sin α + sin β + sin γ ) .
Určíme úhel γ : α + β + γ = 180° ⇒ γ = 180° − (α + β ) = 180° − ( 67° + 81° ) = 32° . Dosadíme: o = 2r ( sin α + sin β + sin γ ) = 2 ⋅ 7 ( sin 67° + sin 81° + sin 32° ) = 34,1 Trojúhelník má obvod 34,1 cm.
Př. 11: Petáková: strana 50/cvičení 96 strana 51/cvičení 100 strana 51/cvičení 105
Shrnutí:
5
