4.2.1
Goniometrické funkce ostrého úhlu
Předpoklady: 1107 Dnešní látku opakujeme už potřetí (poprvé na začátku matematiky, podruhé ve fyzice) ⇒ je to opravdu důležité. A b B c C B c a a B B c A c C b ⇒ a C B a c a b A a b C C b C b B
A c Všechny pravoúhlé trojúhelníky s úhlem α mají dva stejné úhly (α a 90° ) ⇒ mají stejný i třetí úhel (je to zbytek do 180° ) ⇒ mají stejný tvar ⇒ jsou si podobné ⇒ mají stejný poměr protilehlá a odpovídajících si stran ⇒ poměr = je stejné číslo u všech pravoúhlých přepona c trojúhelníků s úhlem α. Když si vybereme úhel α , tak už je jasné kolik vyjde v pravoúhlém trojúhelníku s tímto protilehlá a protilehlá a úhlem poměr = ⇒ poměr = je číslo jednoznačně určené přepona c přepona c protilehlá a velikostí úhlu α ⇒ poměr = můžeme považovat za hodnotu nějaké funkce přepona c vyrobenou z čísla α. protilehlá a Funkci nazveme sinus α ( sin α ) ⇒ y = = = sin α . přepona c
Za hodnotu funkce y = sin x pro x ∈ ( 0°;90° ) považuje hodnotu zlomku
a , c
kde a je velikost protilehlé odvěsny a c je velikost přepony v libovolném pravoúhlém trojúhelníku s úhlem x. Podobně můžeme využít i další poměry stran v pravoúhlém trojúhelníku s úhlem x: protilehlá a přilehlá b přilehlá b tg α = = cotg α = = cos x = = přilehlá b protilehlá a přepona c Vzorce pro goniometrické funkce:
1
sin α cos α
•
tgα =
•
tg α = ( cotg α )
•
sin 2 α + cos 2 α = 1
Proč? −1
Proč?
Proč?
a a sin α tgα = = c = b b cos α c sin α 1 1 −1 tg α = = = = ( cotg α ) cos α cos α cotg α sin α Pythagorova věta: a 2 + b 2 = c 2 / : c 2 a2 b2 + =1 c2 c2 2
2
a b + =1 c c sin 2 α + cos 2 α = 1 Jak určíme hodnoty výpočtem? Jde to pro vhodné úhly v trojúhelnících, kde známe délky stran. 1. rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník Ramena jsou stejné dlouhá.
a
b=a
45° Délka přepony pomocí Pythagorovy věty: c 2 = a 2 + b 2 = a 2 + a 2 = 2a 2
45°
a
c = 2a 2 = a 2
b=a
45°
45° c =a 2
Př. 1:
Urči pomocí rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku hodnoty goniometrických funkcí pro úhel x = 45° . protilehlá a = =1 přilehlá a
sin 45° =
protilehlá a 1 2 2 = = ⋅ = 2 přepona a 2 2 2
tg 45° =
cos 45° =
přilehlá a 1 2 2 = = ⋅ = přepona a 2 2 2 2
cotg 45° =
přilehlá a = =1 protilehlá a
2. rovnostranný trojúhelník Výška na libovolnou stranu rozdělí trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky s úhly 30° a 60° .
2
60°
C=a 30°
a
a 60°
⇒
B
60°
60°
A=
a
a 2
Délka delší odvěsny pomocí Pythagorovy věty: C 2 = A2 + B 2 ⇒ B 2 = C 2 − A2 2
a2 3 2 a B = a − = a2 − = a 4 4 2 3 2 3 3 B= a =a =a 4 4 2 2
Př. 2:
a
3 2
60° a 2
Urči pomocí poloviny rovnostranného trojúhelníku hodnoty goniometrických funkcí pro úhel x = 60° .
protilehlá = sin 60° = přepona
protilehlá tg 60° = = přilehlá
Př. 3:
30°
a
2
a
a
3 2 = 3 a 2
3 2 = 3 a 2
a přilehlá 2 1 = = cos 60° = přepona a 2
přilehlá cotg 60° = = protilehlá
a 2 a
3 2
1 3 3 ⋅ = 3 3 3
=
Urči pomocí poloviny rovnostranného trojúhelníku hodnoty goniometrických funkcí pro úhel x = 60° .
a protilehlá 2 1 = = sin 30° = přepona a 2
protilehlá tg 30° = = přilehlá
přilehlá cos 30° = = přepona
a 2
1 3 3 = ⋅ = 3 3 3 3 a 2
a
3 2 = 3 2 a
přilehlá = cotg 30° = protilehlá
a
3 2 = 3 a 2
Přepíšeme hodnoty do tabulky. Hodnoty funkcí pro 0° a 90° neurčíme pomocí pravoúhlého trojúhelníka (žádný takový neexistuje), ale dodefinujeme si je jako čísla, ke kterým se hodnoty funkce blíží, když se x blíží 0° nebo 90° .
Hodnoty goniometrických funkcí pro základní úhly: Úhel [°] 0 30 45 60 90
3
sin ( x )
0
cos ( x )
1
tg ( x )
0
cotg ( x ) Jak si tabulku zapamatovat? B c a
A
b
C
1 2 3 2 3 3 3
2 2 2 2
3 2 1 2
1
3
1
3 3
30
45
60
sin ( x )
0 2 4 1= 2
1 2 3 2 3 3
2 2 2 2
3 2 1 2
1
3
3
1
3 3
cotg ( x )
0
a ⇒ s rostoucím úhlem α se hodnota sin x zvětšuje c b cos x = ⇒ s rostoucím úhlem α se hodnota cos x c zmenšuje
0
tg ( x )
0
sin x =
Úhel [°]
cos ( x )
1
0=
0
90 4 2 0 0= 2
1=
0
Všechny hodnoty funkcí sin x a cos x můžeme zapsat ve stejném tvaru • •
Př. 4:
číslo . 2
Pro sin x dosazujeme postupně 0 až 4 (hodnoty rostou). Pro cos x dosazujeme postupně 4 až 0 (hodnoty klesají). Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem γ a s úhlem α = 30° má velikost přepony c = 4 cm . Urči jeho ostatní strany a úhly.
Pro β platí: β = 180° − γ − α = 180° − 90° − 30° = 60° . a Pro stranu a: sin α = ⇒ a = sin α ⋅ c = sin 30° ⋅ 4 = 2 cm . c b Pro stranu b: cos α = ⇒ b = cos α ⋅ c = cos 30° ⋅ 4 = 3, 46 cm . c
Př. 5:
Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem γ a s úhlem α = 40° má velikost odvěsny a = 9 cm . Urči jeho ostatní strany a úhly.
Pro β platí: β = 180° − γ − α = 180° − 90° − 40° = 50° .
4
a a 9 ⇒c= = = 14, 00 cm . c sin α sin 40° 9 a a Pro stranu b: tg α = ⇒ b = = = 10, 73cm . b tg α tg 40° Pro stranu c: sin α =
Pedagogická poznámka: Studentům je dobré připomenout zásadu, podle které se snažíme počítat přímo ze zadaných hodnot. Pro většinu z nich je u předchozího příkladu přirozenější vypočítat přeponu a stranu b počítat z ní. Př. 6:
Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem β a s úhlem α = 25° má velikost odvěsny a = 10 cm . Urči jeho ostatní strany a úhly.
Pravým úhlem v trojúhelníku je β ⇒ goniometrické funkce musíme používat ve tvaru protilehlá a (platí vždy) ne ve tvaru sin α = (platí pouze u trojúhelníků s pravým sin α = přepona c úhlem γ ). Pro γ platí: γ = 180° − α − β = 180° − 25° − 90° = 65° . a a 10 Pro stranu b: sin α = ⇒ b = = = 23, 66 cm . b sin α sin 25° a a 10 Pro stranu c: tg α = ⇒ c = = = 21, 45 cm . c tg α tg 25°
Shrnutí: Velikost úhlu v pravoúhlém trojúhelníku přímo popisuje jeho tvar poměrem stran. protilehlá Tyto poměry zavádíme jako goniometrické funkce sin x = , přepona přilehlá protilehlá přilehlá , tg α = , cotg α = . cos x = přilehlá protilehlá přepona
5
