1. fordul´ o feladatai 7-8. oszt´ aly ¨ 1. Ures c´edul´ akra neveket ´ırtunk, minden c´edul´ ara egyet. Egy c´edul´ara Ann´at, k´et c´edul´ara P´etert, h´arom c´edul´ ara Benc´et ´es n´egy c´edul´ ara Petr´ at. Ezut´ an az ¨ osszes c´edul´at egy u ¨res kalapba tessz¨ uk. Legkevesebb h´any c´edul´at kell a kalapb´ ol kih´ uzni ahhoz, hogy biztosan legyen k¨ ozt¨ uk 3 olyan, amin ugyanaz a n´ev szerepel? 2. Egy kocka ´elei hossz´ anak ¨ osszege 24cm. H´ any n´egyzetcentim´eter a kocka felsz´ıne? ¨ alma ´es hat narancs 20Ft-tal ker¨ 3. Ot ul t¨ obbe, mint hat alma ´es ¨ot narancs. H´any forinttal ker¨ ul t¨obbe egy narancs egy alm´ an´ al? 4. Melyik sz´ amjegyre v´egz˝ odik az ¨ osszes k´etjegy˝ u p´aratlan sz´am szorzata? 9-10. oszt´ aly 1. Ha egy 5cm sugar´ u k¨ or sugar´ at 1cm-rel cs¨ okkentj¨ uk, h´any sz´azal´ekkal cs¨okken a ter¨ ulete? 2. Egy r´eten pontosan 100 teh´en legel. Minden teh´en vagy feh´er, vagy tarka. Tudjuk, hogy van k¨oz¨ott¨ uk feh´er, ´es b´ armelyik kett˝ o k¨ oz¨ ul legal´ abb az egyik tarka. H´ any feh´er teh´en legel a r´eten? 3. Az A, E, K, M, T bet˝ ukb˝ ol (minden bet˝ ut egyszer felhaszn´alva) fel´ırjuk az ¨osszes (t¨obbs´eg´eben nem ´ertelmes) sz´ ot, majd ezeket ´ ab´ec´e sorrendbe szedj¨ uk. H´ anyadik helyen ´all ekkor a MATEK sz´o? 4. Egy Rubik koc´ at (27 darab kis kock´ ab´ ol ´ all´ o kocka) egy r¨ogz´ıtett k¨ uls˝o pontb´ol n´ezve legfeljebb h´any kis kock´ at l´ athatunk? 11-12. oszt´ aly 1. Egy szimmetrikus trap´ez ´ atl´ oi mer˝ olegesek egym´asra ´es 1:2 ar´anyban osztj´ak egym´ast. A trap´ez r¨ovidebbik alapja 1. Mekkora a ter¨ ulete? 2. Ha x +
1 1 = 2, akkor x6 + 6 = x x
3. H´ any eg´esz megold´ asa van az
x2 − x + 5 > 0 egyenl˝otlens´egnek? x2 + x + 1
4. A 100-n´ al nem nagyobb pozit´ıv eg´esz sz´ amok mindegyik´et megszorozzuk +1-gyel vagy -1-gyel, majd a szorzatokat o¨sszeadjuk. Melyik az a legkisebb pozit´ıv eg´esz sz´am, amelyiket megkaphatunk ilyen m´odon?
2. fordul´ o feladatai 7-8. oszt´ aly 1. Mennyi ideig van a l´ at´ ohat´ ar felett a Hold, ha 19 ´ora 24 perckor kelt fel ´es 7 ´ora 29 perckor nyugszik? 2. A legkisebb pozit´ıv sz´ am: 3. Egy ¨ otszintes h´ azat h´ anyf´elek´eppen tudunk kifesteni, ha minden szintet vagy feh´erre, vagy s´arg´ara fest¨ unk, de k´et feh´er szint nem ker¨ ulhet egym´ as f¨ ol´e? 4. A 22010 kifejez´es utols´ o sz´ amjegye: 9-10. oszt´ aly 1. Az x3 − 6x2 + px − 6 = 0 egyenlet egyik gy¨ oke 3. Mennyi a p ´ert´eke? 2. H´ any olyan k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o h´ aromsz¨ og van, amelynek minden oldala eg´esz hossz´ us´ag´ u ´es nincs 4 egys´egn´el hosszabb oldala? 3. Milyen val´ os sz´ amokra teljes¨ ul az x2 > x3 egyenl˝otlens´eg? 4. Egy kocka n´eh´ any lapj´ at befestett¨ uk, majd a kock´at egybev´ag´o kis kock´akra daraboltuk. A kis kock´ak k¨oz¨ ul pontosan 27 olyan akadt, amelynek egyetlen festett lapja sem volt. Az eredeti kocka h´any lapj´at festett¨ uk be? 11-12. oszt´ aly 1. A legel˝ o sz´el´en hossz´ u egyenes ker´ıt´es van. A ker´ıt´est˝ol 6m-re lev˝o f´ahoz kik¨ot¨ unk egy kecsk´et 12m hossz´ u k¨ ot´ellel. Pontosan h´ any m2 ter¨ uletr˝ ol tudja lelegelni a f¨ uvet a kecske? 2. Legyen a 2x3 + 17x2 − 5, 5x = 0 egyenlet gy¨ okeinek ¨osszege p, szorzata q. Mennyi p − q ´ert´eke? 3. H´ any eg´esz megold´ asa van a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝ otlens´egnek?
√
3−x−
√
x+1>
1 2
4. D´ ori edz´ese k´es˝ on ´er v´eget, ez´ert ´edesapja el szokott menni ´erte aut´oval. Egy alkalommal az edz´es hamarabb ´ert v´eget, D´ ori elindult haza gyalog. Negyed´ ora m´ ulva tal´alkozott az ´erte j¨ov˝o apj´aval, besz´allt az aut´oba s ´ıgy a szok´ asos id˝ opontn´ al 10 perccel el˝ obb ´ert haza. H´ any perccel hamarabb ´ert v´eget az edz´es a szok´asosn´al?
3. fordul´ o feladatai 7-8. oszt´ aly 1. Egy t´ızjegy˝ u sz´ am sz´ amjegyeinek ¨ osszege 9. Mennyi a sz´amjegyek szorzata? 2. Laci b´ acsi kertj´eben van egy t´eglalap alak´ u vir´ ag´agy´as. Elhat´arozta, hogy a vir´ag´agy´as hossz´at ´es sz´eless´eg´et is megn¨ oveli 10%-kal. H´ any sz´ azal´ekkal n˝ o meg a vir´ ag´ agy´ as ter¨ ulete? 3. N´egy kis kock´ ab´ ol az oldallapok ¨ osszeilleszt´es´evel testeket hozunk l´etre. Az ´abr´an egy ilyen l´athat´o. H´any k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o test k´esz´ıthet˝ o ezzel a m´ odszerrel?
4. Legfeljebb h´ any r´eszre oszthat´ o fel a s´ık 4 darab t´eglalappal, amelyek oldalai p´arhuzamos helyzet˝ uek? 9-10. oszt´ aly 1. H´ any jegy˝ u az a legkisebb pozit´ıv eg´esz sz´ am, amelyben a sz´amjegyek ¨osszege 2010? 2. Rajzoljunk az ABC der´eksz¨ og˝ u h´ aromsz¨ og AC befog´oja f¨ol´e kifel´e n´egyzetet, k¨oz´eppontja legyen P ; a BC befog´ oja f¨ ol´e kifel´e szab´ alyos h´ aromsz¨ oget, k¨ oz´eppontja legyen Q. Mekkora sz¨oget z´ar be az AP ´es AC felez˝opontjain ´atmen˝ o egyenes a BQ ´es BC felez˝ opontjain ´ atmen˝ o egyenessel? 3. K´et pozit´ıv sz´ am ¨ osszege 180%-a a nagyobb sz´amnak. A kisebb sz´am h´any sz´azal´ek´aval nagyobb az ¨osszeg a kisebb sz´ amn´ al? 4. Egy pap´ırlapra fel´ırtunk 7 pozit´ıv eg´esz sz´ amot. Ezut´an minden lehets´eges m´odon kiv´alasztottunk k¨oz¨ ul¨ uk kett˝ ot, ´es o¨sszeszoroztuk a kiv´ alasztott k´et sz´ amot. A szorz´asok ut´an kapott 21 sz´am k¨oz¨ott 10 p´aratlan sz´am volt. H´ any p´ aros sz´ amot ´ırtunk fel eredetileg a pap´ırlapra? 11-12. oszt´ aly 1. H´ any pozit´ıv eg´esz sz´ amp´ ar megol´ed´ asa van az x2 − y 2 = 2010 egyenletnek? 2. H´ any oldal´ u az a soksz¨ og, amelyben az ´ atl´ ok sz´am´at kapjuk, ha az oldalak sz´am´ahoz hozz´aadjuk azt a sz´ amot, amely megmutatja, hogy a sz¨ ogek ¨ osszege h´ any der´eksz¨og? 3. Egy csal´ adban k´et gyerek van, legal´ abb az egyik fi´ u. Mekkora az es´elye annak, hogy a fiatalabb gyerek l´any? 4. Legfeljebb h´ any k¨ oz¨ os pontja lehet k´et hatsz¨ og ker¨ ulet´enek, ha nincs a k´et ker¨ uletnek k¨oz¨os szakasza?
4. fordul´ o feladatai 7-8. oszt´ aly 1. A 2010-ben a sz´ amjegyek ¨ osszege 3, a sz´ amjegyek szorzata pedig 0. H´any ilyen n´egyjegy˝ u pozit´ıv eg´esz sz´am van? 2. Egy sakkt´ abl´ an a bal als´ o sarokban ´ all´ o b´ abuval a jobb fels˝o sarokba vezet˝o legr¨ovidebb utak mindegyik´en pontosan egyszer ment¨ unk v´egig u ´gy, hogy a b´ abu mindig a sakkt´abla valamelyik sz´el´evel p´arhuzamosan haladt. H´any olyan mez˝ o van a sakkt´ abl´ an, amelyiken pontosan egyszer haladtunk ´at? 3. Ha a:b=4:3, c:d=3:2 ´es d:b=1:6, akkor mennyi az a:c ar´any? 4. Egy t´eglatestet mindegyik lapj´ ara t¨ ukr¨ ozt¨ unk. H´anyszorosa az ´ıgy kapott test felsz´ıne a t´eglatest felsz´ın´enek? 9-10. oszt´ aly 1. Egy h´ aromsz¨ og egyik sz¨ oge a m´ asik k´et sz¨ og ¨ osszeg´enek k´etszerese. K´et sz¨og´enek ar´anya 2:3. Mekkora a legkisebb sz¨ oge? 2. A baromfiudvaron nyulak ´es ty´ ukok szaladg´ alnak. Pista megsz´amolva a fejeket ´es a l´abakat azt tal´alta, hogy a fejek sz´ ama a l´ abak sz´ am´ anak 40%-a. Az ´ allatok h´ any %-a ny´ ul? 3. Ha 10817-et ´es 11841-et elosztjuk ugyanazzal a h´aromjegy˝ u sz´ammal, akkor mindk´etszer ugyanazt a marad´ekot kapjuk. Mennyi ez a marad´ek? 4. H´ anyszor fordul el˝ o az 1-es sz´ amjegy az N = 9 + 99 + 999 + 9999 + · · · + 999 . . . 9 sz´am t´ızes sz´amrendszerbeli alakj´ aban, ahol az utols´ o sz´ am 2010 darab 9-esb˝ ol ´ all? 11-12. oszt´ aly 1. Egy egyfordul´ os r¨ oplabdakup´ an - ahol b´ armely k´et csapat pontosan egyszer j´atszik egym´assal - 30 lej´atszott m´erk˝ oz´es ut´ an m´eg minden csapatnak h´ arom m´erk˝ oz´ese volt h´atra. H´any csapat szerepelt a kup´an? 2. Egy egyenl˝ o sz´ ar´ u h´ aromsz¨ og be´ırt k¨ ore a sz´ arakat az alaphoz k¨ozelebbi harmadol´opontjukban ´erinti. H´any %-a a be´ırt k¨ or ter¨ ulete a h´ aromsz¨ og ter¨ ulet´enek? 3. Marcsi beledobott egy kos´ arba valah´ any piros ´es k´ek labd´at, amelyeknek legal´abb 90%-a piros. Jen˝o tal´alomra kivett 50 goly´ ot, k¨ oz¨ ott¨ uk 49 piros volt. N´ andi megn´ezte a kos´arban maradt labd´akat, ´es meg´allap´ıtotta, hogy azok 7/8 r´esze piros. Legfeljebb h´ any labda lehetett a kos´ arban? 4. H´ any 0-ra nem v´egz˝ odhet semmilyen n eset´en sem az n! (n faktori´alis)?
5. fordul´ o feladatai 7-8. oszt´ aly 1. Egy rakt´ arban k´et azonos m´eret˝ u hord´ oban olaj van. Az egyik tele van, a m´asik pontosan f´elig. T¨omeg¨ uk 86 kg, illetve 53 kg. H´ any kilogrammal nehezebb k´et teli hord´o egy u ¨resn´el? ´ am, Boldizs´ 2. Ad´ ar, D´ avid ´es Marci egy s¨ ot´et, sz˝ uk alag´ uton szeretn´enek ´atjutni. Ehhez rendelkez´es¨ ukre ´all egy l´ amp´ as. ´ am 1, Boldizs´ A t´ avot Ad´ ar 2, D´ avid 4, Marci pedig 5 perc alatt k´epes megtenni. Mivel a s¨ot´etben f´elnek, ez´ert l´ amp´ as n´elk¨ ul nem k¨ ozlekedhetnek, ´es a sz˝ uk alag´ utban egyszerre legfeljebb ketten f´ernek el. Legkevesebb h´any perc alatt juthatnak ´ at mindannyian? 3. Kinga ¨ otjegy˝ u palindrom sz´ amokat ´ırt a f¨ uzet´ebe (azaz olyan sz´amokat, amelyek el¨olr˝ol ´es h´atulr´ol olvasva is ugyanannyit ´ernek, mint p´eld´ aul a 12321). S´ ara megk´erdezte t˝ole, vajon melyik a legkisebb palindrom sz´am, amelyik nagyobb 25973n´ al. Mennyi a keresett palindrom sz´ amban a sz´amjegyek ¨osszege? 4. Ad´el olyan pozit´ıv eg´esz sz´ amokat gy˝ ujt¨ ott a f¨ uzet´ebe, amelyeknek minden sz´amjegye k¨ ul¨onb¨oz˝o, ´es a sz´ amjegyek szorzata 72. Legfeljebb h´ any k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sz´ amot ´ırhatott le? 9-10. oszt´ aly
1. 2. Egy t´eglatest egy cs´ ucs´ ab´ ol kiindul´ o h´ arom ´el´enek ¨osszege 29, a test´atl´o hossza 13. Mennyi a test felsz´ıne? 3. Az x, y eg´esz sz´ amokr´ ol tudjuk, hogy 3x + 4y = 47, ´es hogy x > y > 0. H´any ilyen x, y sz´amp´ar van? 4. H´ any megold´ asa van a k¨ ovetkez˝ o egyenletnek? ||x + 2| − 3| = 1 11-12. oszt´ aly 1. Egy 2 ´es egy 3 egys´eg sugar´ u k¨ or k´ıv¨ ulr˝ ol ´erinti egym´ast. H´any olyan 5 egys´eg sugar´ u g¨omb l´etezik, amelyik mindkett˝ ot ´erinti? 2. Mennyi x + y, ha 2x2 + y 2 + 4 = 4x + 2xy ? 3. Mennyi az f (0), ha f (x + 1) + 3f (−x) = 2x + 1 ? 4. Ha egy k´etjegy˝ u sz´ amhoz hozz´ aadjuk a ford´ıtottj´at, azaz a sz´amjegyei felcser´el´es´evel kapott sz´amot, 77-et kapunk. Ha viszont az eredeti sz´ amot elosztjuk a ford´ıtottj´ aval, mind a h´anyados, mind a marad´ek 2 lesz. Milyen sz´amjegy ´ all az eredeti sz´ amban a t´ızesek hely´en?
