3. Szerkezeti elemek méretezése 3.1. Szerkezeti elemek méretezési elvei Az EC3 szerint a teherbírási határállapotok ellenőrzése során az alábbi vizsgálatokat kell elvégezni: -
Keresztmetszeti ellenállások vizsgálata, ami az eddigi mérnöki szóhasználatban szilárdsági vizsgálatoknak neveztünk;
-
Szerkezeti elemek ellenállásának vizsgálata, ami magában foglalja a stabilitásvizsgálatok egy részét;
-
Valamint a lemezhorpadás ellenőrzése.
Szükséges ismeretek: -
Keresztmetszetek osztályozása (lásd szabvány [1] 5.5 pontja és [4] 4.2 pontja);
-
4. osztályú keresztmetszet kezelése, keresztmetszeti jellemzők számítása (lásd szabvány [1] 6.2.2.5 pontja és szabvány [2] 4.3 pontja valamint [4] 5.1 pontja és [5]).
3.2. Keresztmetszetek ellenállása 3.2.1. Központosan húzott keresztmetszetek Szükséges ismeretek: -
Keresztmetszeti méretek számítása, furatgyengítések (lásd szabvány [1] 6.2.2.2 pontja és [4] 5.1.1 pontja);
-
Központosan húzott rudak keresztmetszeti ellenállása (lásd szabvány [1] 6.2.3 pontja és [4] 5.1.2 pontja).
3.1. Példa Ellenőrizze a 3.1. ábrán látható 200-12 méretű, központosan húzott rudat N Ed = 450kN erőre! A lemezeket egyszer nyírt csavarozott kapcsolattal illesztjük (3.1. ábra). Alapanyag: S235
f u = 36,0 kN/cm 2
f y = 23,5 kN/cm 2
Csavarok: M24, 8.8 → d 0 = 26 mm A csavarkiosztás: 200-12
50
100
N Ed
45 65 65 45
NEd
220
NEd
3.1. ábra: A húzott rúd illesztése. 5
200
NEd
50
200-12
Központosan húzott keresztmetszet tervezési húzási ellenállása:
N t,Rd
A⋅ fy ⎛ ⎜ N pl,Rd = γM 0 ⎜ ⎜ = min ⎜ A ⋅f ⎜ N u,Rd = 0 ,9 ⋅ net u ⎜ γM 2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
Ahol: - N pl ,Rd : a teljes keresztmetszet képlékeny tervezési ellenállása. - N u ,Rd : a csavarlyukakkal gyengített szelvény törési tervezési ellenállása. N pl,Rd =
A⋅ fy γM 0
N u,Rd = 0 ,9 ⋅
=
20 ⋅ 1,2 ⋅ 23,5 = 564,0 kN 1,0
Anet ⋅ f u (20 − 2 ⋅ 2,6) ⋅ 1,2 ⋅ 36 = 460,3 kN = 0 ,9 ⋅ 1,25 γM 2
N t,Rd = N u,Rd = 460,3 kN ≥ N Ed = 450 kN → A rúd húzásra megfelel.
Az egyszer nyírt csavarozott kapcsolat ellenőrzését lásd 4.2.2 Húzott/nyomott elemek csavarozott kapcsolatai 4.1. Példa. 3.2. Példa
Határozzuk meg az egyik szárán kapcsolt L70.70.7 szögacél N t ,Rd tervezési húzási ellenállását! A kapcsolat kialakítását a 3.2. ábra mutatja. A = 9 ,4 cm 2
A rúd szelvénye: L70.70.7 Alapanyag: S275
f u = 43,0 kN/cm 2
f y = 27 ,5 kN/cm 2
Csavarok: M16, 8.8 → d 0 = 18 mm A csavarkiosztás: A szögacél bekötése esetén, a csavarok elhelyezésének szabályai a szabvány [3] 3.10.3 pontja alatt találhatók valamint a [4] 5.1.2 pontjában. L 70.70.7
N t,Rd 30 30
65
65
65
30
10
3.2. ábra: A húzott rúd bekötése.
6
e1 = 30 mm p1 = 65 mm
e2 = 30 mm
Egyik szárán kapcsolt szögacél tervezési húzási ellenállása:
N t,Rd
A⋅ fy ⎛ ⎜ N pl,Rd = γM 0 ⎜ ⎜ = min ⎜ A ⋅f ⎜ N u,Rd = β ⋅ net u ⎜ γM 2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
Ahol: - N pl ,Rd : a teljes keresztmetszet képlékeny tervezési ellenállása N pl,Rd =
A⋅ fy γM 0
=
9 ,4 ⋅ 27 ,5 = 258,5 kN 1,0
- N u ,Rd : a csavarlyukakkal gyengített szelvény törési tervezési ellenállása három vagy több csavar esetén: β = 0 ,3 + 0 ,08
p1 d0
β = 0,3 + 0,08
65 = 0,59 18
N u,Rd = 0 ,59 ⋅
Anet ⋅ f u (9,4 − 1,8 ⋅ 0,7 ) ⋅ 43 = 165,2 kN = 0 ,59 ⋅ 1,25 γM 2
de 0,5 ≤ β ≤ 0,7
N t,Rd = N u,Rd = 165,2 kN A csavarozott kapcsolat számítása a következő fejezetben található példák alapján történhet.
7
3.2.2. Központosan nyomott keresztmetszetek
Szükséges ismeretek: - A központosan nyomott keresztmetszet nyomási ellenállása (lásd szabvány [1] 6.2.4 pontja és [4] 5.1.3 pontja). 3.3 Példa
Határozzuk meg az alábbi hegesztett I szelvény N c ,Rd tervezési nyomási ellenállását! f y = 23,5 kN/cm 2
Alapanyag: S235
ε = 1,0
A szelvény geometriája: (3.9. ábra)
öv: 300-16 gerinc: 300-8 nyakvarrat: a = 4 mm kétoldali sarokvarrat
cf
z
b f = 300 mm
tf
t f = 16 mm hw = 300 mm t w = 8 mm a = 4 mm - sarokvarrat mérete a
y
cw
hw
y
tw z
bf
A = 120 cm 2
3.3. ábra: Szelvény geometria.
A nyomott keresztmetszet tervezési nyomási ellenállását a következő összefüggéssel számítjuk: 1., 2. és 3. keresztmetszeti osztályok esetén: N c ,Rd =
A⋅ fy
γM0
4. keresztmetszeti osztály esetén: N c ,Rd =
Aeff ⋅ f y
γM0
A keresztmetszet osztályozása:
Öv: cf =
bf
− 2 ⋅a −
t w 300 8 = − 2 ⋅ 4 − = 140 ,3 mm 2 2 2
2 c f 140 ,3 = = 8,77 < 9 ⋅ ε = 9 tf 16
tehát az öv 1.keresztmetszeti osztályú. 8
Gerinc: ( c w a gerinc varratok közötti magassága) c w = hw − 2 ⋅ 2 ⋅ a = 300 − 2 ⋅ 2 ⋅ 4 = 288,7 mm c w 288,7 = = 36 ,09 < 38 ⋅ ε = 38 tw 8
tehát a gerinc 2. keresztmetszeti osztályú. Tehát a keresztmetszet 2. keresztmetszeti osztályba sorolandó nyomásra, de tiszta nyomás esetén nincs különbség az 1-3 osztályok ellenállása között. A keresztmetszet tervezési nyomási ellenállása:
Az 1. keresztmetszeti osztályba sorolandó keresztmetszet tervezési nyomási ellenállás: N c,Rd =
A⋅ fy γM 0
=
120 ⋅ 23,5 = 2820,0 kN 1,0
3.4 Példa
Határozzuk meg a 3.4. ábrán látható szelvény keresztmetszeti tervezési ellenállását tiszta nyomásra! Alapanyag: S355
f y = 35,5 kN/cm 2
ε = 0,81 320-12 a = 4 mm
1100-8
320-12
3.4. ábra: Szelvény geometria. A keresztmetszet osztályozása:
Öv: cf =
bf
− 2 ⋅a −
t w 320 8 = − 2 ⋅ 4 − = 150,3 mm 2 2 2
2 c f 150,3 = = 12,53 > 14 ⋅ ε = 14 ⋅ 0,81 = 11,4 tf 12
tehát az öv 4.keresztmetszeti osztályú. Gerinc: c w = hw − 2 ⋅ 2 ⋅ a = 1100 − 2 ⋅ 2 ⋅ 4 = 1088,7 mm c w 1088,7 = = 136,1 > 42 ⋅ ε = 42 ⋅ 0,81 = 34,2 tw 8
tehát a gerinc is 4. keresztmetszeti osztályú. 9
A keresztmetszet tehát 4. keresztmetszeti osztályú, és mind az övben, mind a gerincben effektív szélességet kell számítani. Az övlemezek vizsgálata:
Szabad szélű elem, egyenletes feszültségeloszlással ψ = 1,0 → k σ = 0 ,43 (lásd szabvány [2] 4.4 pont 4.2 táblázat és [4] 5.1. táblázat). Övlemez karcsúsága: λp =
b /t
=
28,4ε ⋅ k σ
cf / tf 28,4ε ⋅ k σ
=
12 ,53 28,4 ⋅ 0 ,81 ⋅ 0 ,43
= 0 ,827
Effektív szélesség számítása szabad szélű elem esetén:
ρ=
λ p − 0,188 λ
2 p
=
0,827 − 0,188 = 0,934 0,827 2
beff = ρ ⋅ b = ρ ⋅ c f = 0 ,934 ⋅ 150 ,3 = 140 ,5 mm
Övek hatékony szélessége:
c f ,eff = 2 ⋅ beff + t w + 2 ⋅ a ⋅ 2 = 2 ⋅ 140,48 + 8 + 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = 300,3 mm A gerinclemez vizsgálata:
Belső elem, egyenletes feszültségeloszlással ψ = 1,0 → k σ = 4 (lásd szabvány [2] 4.4 pont 4.1 táblázat és [4] 5.1 táblázat). Gerinclemez karcsúsága: λp =
b /t 28,4ε ⋅ k σ
=
cw / t w 28,4ε ⋅ k σ
=
136 ,1 28,4 ⋅ 0 ,81 ⋅ 4
= 2 ,945
Effektív szélesség számítása belső elem esetén:
ρ=
λ p − 0 ,055 ⋅ (3 + ψ ) λ
2 p
=
2,945 − 0 ,055 ⋅ (3 + 1) = 0 ,314 2,945 2
beff = ρ ⋅ b = ρ ⋅ c w = 0 ,314 ⋅ 1088,7 = 342 ,1 mm
Gerinc hatékony szélességei alul és felül: c w ,eff =
beff 2
+a⋅ 2 =
342,1 + 4 ⋅ 2 = 176 ,7 mm 2
A hatékony keresztmetszet nyomási ellenállása: Aeff = 2 ⋅ c f ,eff ⋅ t f + 2 ⋅ c w ,eff ⋅ t w = 2 ⋅ 30 ,03 ⋅ 1,2 + 2 ⋅ 17 ,67 ⋅ 0 ,8 = 100 ,34 cm 2
N c ,Rd =
Aeff ⋅ f y γM0
=
100,34 ⋅ 35,5 = 3562 kN 1,0
10
171,05
171,05
176,7 176,7
300,3
3.5. ábra: Hatékony keresztmetszet.
11
3.2.3. Nyírt keresztmetszetek ellenállása
Szükséges ismeretek: - Keresztmetszetek nyírási ellenállása (lásd szabvány [1] 6.2.6 pontja és [4] 5.1.5 pontja). Mintaszámításokat lásd az 5. fejezetben, a tömör gerincű gerendatartók méretezése részben, 5.1, 5.2 és 5.4 példák részeként! 3.2.4. Hajlított keresztmetszetek ellenállása
Szükséges ismeretek: - Főtengely körül hajlított keresztmetszetek ellenállása (lásd szabvány [1] 6.2.5 pontja és [4] 5.1.4 pontja). 3.5 Példa
Határozzuk meg a 3.4 példában már szerepelt, a 3.4. ábrán látható, hegesztett szelvény keresztmetszeti ellenállását tiszta hajlításra! Alapanyag: S355
f y = 35,5 kN/cm 2
ε = 0,81
A keresztmetszet osztályozása:
Öv: Lsd. 3.4 példa: 4. keresztmetszeti osztályú. Gerinc: Mivel az öv 4. osztályú, a gerincet csak a hatékony nyomott öv méreteinek ismeretében sorolhatjuk be. A nyomott övlemez vizsgálata:
A számítás menete megegyezik a tiszta nyomás esetével (lásd 3.4 példa). Eszerint a nyomott öv hatékony szélessége: c f ,eff = 2 ⋅ beff + t w + 2 ⋅ a ⋅ 2 = 2 ⋅ 140,48 + 8 + 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = 300,3 mm A gerinclemez vizsgálata:
A gerinclemez vizsgálatát a számított hatékony felső öv és teljes méretben hatékony gerinc feltételezésével kezdjük. A besoroláshoz szükség van a gerinc megtámasztott alsó ( σ 2 ) és felső élénél ( σ 1 ) fellépő feszültségek arányára (3.6. ábra). A keresztmetszeti terület: A = (30,03 + 32) ⋅ 1,2 + 110 ⋅ 0,8 = 162,43 cm 2
12
A súlypont távolsága a felső öv belső élétől: z=
32 ⋅ 1,2 ⋅ (110 + 1,2 / 2 ) + 110 ⋅ 0 ,8 ⋅ 55 − 30 ⋅ 1,2 ⋅ 0 ,6 = 55,81 cm 162 ,43
A feszültségek aránya az ábra szerint: ψ=
σ2 z 2 53,62 =− = = −0 ,971 σ1 z1 55,24 300,3-12
z1 = 55,24 cm
z = 55,81 cm
σ1
z2 = 53,62 cm
1100-8
σ2
320-12
3.6. ábra: Feszültségeloszlás. c w = 1100 − 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = 1088,7 mm c w 1088,7 42 ⋅ ε 42 ⋅ 0 ,81 = = 136 ,1 > = = 97 ,72 tw 8 0 ,67 + 0 ,33 ⋅ ψ 0 ,67 − 0 ,33 ⋅ 0 ,971 tehát a gerinc is 4. keresztmetszeti osztályú.
Belső elem, változó feszültségeloszlással: [4] 5.1 táblázat).
(lásd szabvány [2] 4.4 pont 4.1 táblázat és
− 1 < ψ < 0 → k σ = 7 ,81 − 6 ,29 ⋅ ψ + 9,78 ⋅ ψ 2 = 7 ,81 + 6,29 ⋅ 0,971 + 0 ,9712 = 23,13 Gerinclemez karcsúsága: λp =
b /t 28,4ε ⋅ k σ
=
cw / t w 28,4ε ⋅ k σ
=
136 ,1 28,4 ⋅ 0 ,81 ⋅ 23,13
= 1,225
Effektív szélesség számítása belső elem esetén:
ρ=
λ p − 0 ,055( 3 + ψ ) λ
2 p
=
1,225 − 0,055 ⋅ ( 3 − 0 ,971 ) = 0,742 1,225 2
Hajlított keresztmetszetnél csak a gerinc nyomott szakaszán kell effektív szélességet számítani: beff = ρ ⋅ b = ρ ⋅ z1 = 0 ,742 ⋅ 552 ,4 = 410 mm
13
A felső öv melletti hatékony gerincrész:
zf = 0,4 ⋅ beff + a ⋅ 2 = 0,4 ⋅ 410 + 4 ⋅ 2 = 169,7 mm A gerinc hatékony alsó szakaszának hossza:
za = z 2 + 0,6 ⋅ beff + a ⋅ 2 = 536,2 + 0,6 ⋅ 410 + 4 ⋅ 2 = 787,9 mm Ellenőrzésképpen számítsuk ki a gerinc „kimaradó” szakaszának hosszát kétféleképpen:
zk = b ⋅ (1 − ρ ) = 552,4 ⋅ (1 − 0,742) = 142,4 mm
zk = 1100 − zf − za = 1100 − 169,7 − 787 ,9 = 142,4 mm A hatékony keresztmetszet hajlítási ellenállása: Aeff = (30 ,03 + 32) ⋅ 1,2 + (16 ,97 + 78,79) ⋅ 0 ,8 = 151,04 cm 2
zh =
− 30,03 ⋅1,2 ⋅ 0,6 + 110 ⋅ 0,8 ⋅ 55 − 14,24 ⋅ 0,8 ⋅ (16,97 + 14,24/ 2) + 32 ⋅ 1,2 ⋅110,6 = 58,2 cm 151,04
30,03 ⋅ 1,23 0,8 ⋅ 1103 0,8 ⋅ 14,243 + − − 0,8 ⋅ 14,24 ⋅ (16,97 + 14,24/ 2) 2 + 32 ⋅ 1,2 ⋅ 110,6 2 − 3 3 12 − 151,04 ⋅ 58,2 2 = 306 210 cm4 I eff =
M C,Rd =
306210 = 5155 cm 3 (58,2 + 1,2)
Weff ⋅ f y γM 0
=
5155 ⋅ 35,5 = 183000 kNcm = 1830 kNm 1,0 300,3-12 zf = 169,7
z max
=
1100-8
S
zk = za = 787,9 mm 142,4
I eff
zh = 582 mm
Weff =
320-12
3.7. ábra: Hatékony keresztmetszet.
14
3.2.5. Összetett igénybevétellel terhelt keresztmetszetek
Az összetett igénybevételeknek kitett keresztmetszetek vizsgálatára az EC3 ú.n. kölcsönhatási formulákat használ. Szükséges ismeretek: - Hajlítás és nyírás kölcsönhatásának vizsgálata (lásd szabvány [1] 6.2.8 és pontja [4] 5.1.7 pontja); - Hajlítás és normálerő együttes hatásának vizsgálata (lásd szabvány [1] 6.2.9 pontja és [4] 5.1.8 pontja); - Hajlítás, normálerő és nyírás kölcsönhatásának vizsgálata (lásd szabvány [1] 6.2.10 pontja és [4] 5.1.9 pontja). 3.6 Példa
Ellenőrizzük a 3.3 példában már szerepelt hegesztett szelvényt N Ed = 700 kN M y,Ed = 180 kNm hajlítónyomatékra, majd a két igénybevétel együttes hatására! f y = 23,5 kN/cm 2
Alapanyag: S235
ε = 1,0
A szelvény geometriája: (3.8. ábra)
öv: 300-16 gerinc: 300-8 nyakvarrat: a = 4 mm kétoldali sarokvarrat z
cf
b f = 300 mm
tf
t f = 16 mm hw = 300 mm t w = 8 mm a = 4 mm - sarokvarrat mérete
y
cw
hw
a
y
tw z
bf 3.8. ábra: Szelvény geometria. A számítás részleteinek mellőzése nélkül megadjuk a keresztmetszeti jellemzőket:
A = 120 cm 2 I y = 25786 cm 4 ; W y = 1553 cm 3 ; W pl , y = 1697 cm 3
A keresztmetszet osztályozása tiszta nyomásra:
Lásd 3.3 példa: a keresztmetszet 1. osztályba sorolandó nyomásra. A keresztmetszet osztályozása tiszta hajlításra:
Öv: Az öv osztályozása megegyezik a 3.3 példában szereplővel: 1. krm. osztályú
15
normálerőre,
Gerinc: Tiszta hajlítás esetén:
c w = hw − 2 ⋅ 2 ⋅ a = 300 − 2 ⋅ 2 ⋅ 4 = 288,7 mm c w 288,7 = = 36,09 < 72 ⋅ ε = 72 8 tw tehát a gerinc is 1. keresztmetszeti osztályú. Így a szelvény mind tiszta nyomásra, mind tiszta hajlításra 1. keresztmetszeti osztályba sorolandó. Ellenőrzés tiszta nyomásra:
A tervezési nyomási ellenállás a 3.3 példa alapján:
N c,Rd =
A⋅ fy γM 0
=
120 ⋅ 23,5 = 2820 ,0 kN 1,0
>
N Ed = 700 kN
a kihasználtság:
N Ed = 0, 25 N c , Rd A szelvény tiszta nyomásra megfelel. Ellenőrzés tiszta hajlításra:
1. keresztmetszeti osztály esetén a nyomatéki ellenállás:
M c,Rd = M pl , Rd =
W pl , y ⋅ f y γM 0
=
1697 ⋅ 23,5 = 398,8 kNm 1,0
>
M y , Ed = 180 kNm
M y , Ed
= 0, 45 M c , Rd A szelvény tiszta hajlításra megfelel. Nyomaték és normálerő kölcsönhatása:
I- és H-szelvény esetén, y-y tengely körüli nyomaték esetén akkor kell a normálerő hatását figyelembe venni, ha a következő feltételek valamelyike teljesül: N Ed > 0, 25 ⋅ N pl , Rd N Ed >
0,5 ⋅ hw ⋅ t w ⋅ f y
γM0
Esetünkben: 0, 25 ⋅ N pl , Rd = 0, 25 ⋅ 2820 = 705 kN 0,5 ⋅ hw ⋅ t w ⋅ f y
γM0
=
>
N Ed = 700 kN
0,5 ⋅ 30 ⋅ 8 ⋅ 23,5 = 282 kN 1,0
<
N Ed = 700 kN
A második feltétel alapján a normálerő hatását számításba kell venni.
16
Az interakciós formulához szükséges segédmennyiségek: n= a=
N Ed 700 = = 0, 248 N pl , Rd 2820 A − 2 ⋅bf ⋅t f A
=
120 − 2 ⋅ 30 ⋅ 1,6 = 0, 2 < 0,5 120
A módosított nyomatéki ellenállás: 1− n 1 − 0, 248 = 398,8 = 333 kNm 1 − 0,5 a 1 − 0,5 ⋅ 0, 2
M N , Rd = M pl , Rd Ellenőrzés:
⎛ M y , Ed ⎞ ⎜ ⎟ = 0 , 54 ⎜M ⎟ N , Rd ⎝ ⎠ Tehát a szelvény nyomás és hajlítás interakciójára is megfelel. M N , Rd = 333 kNm > M y , Ed = 180 kNm
3.7 Példa
Ellenőrizzük az alábbi hengerelt szelvényt N Ed = 500 kN normálerőre, M y,Ed = 140 kNm hajlítónyomatékra, V Ed = 300 kN nyíróerőre, majd vizsgáljuk meg ezek kölcsönhatását az összetett igénybevételi állapotban! f y = 27 ,5 kN/cm 2
Alapanyag: S275
ε = 0,924
Keresztmetszeti adatok: HEB 200 (táblázatból)
cf
z
t f = 15 mm
h = 200 mm
t w = 9 mm
r = 18 mm
tf y
y
cw
h
b = 200 mm
tw r
z
b
A = 78,1 cm 2
Avz = 24,83 cm 2
I y = 5696 cm 4
W y = 569,6 cm 3
W pl , y = 643 cm 3
3.9. ábra: Szelvény geometria. A keresztmetszet osztályozása tiszta nyomásra:
Öv: t b 200 9 −r− w = − 18 − = 77,5 mm 2 2 2 2 c f 77,5 = = 5,17 < 9 ⋅ ε = 8,32 tf 15
cf =
tehát az öv 1. keresztmetszeti osztályú.
17
Gerinc: c w = h − 2 ⋅ r − 2 ⋅ t f = 200 − 2 ⋅ 18 − 2 ⋅ 15 = 134 mm c w 134 = = 14,89 < 33 ⋅ ε = 30,5 tw 9 tehát a gerinc 1. keresztmetszeti osztályú. A keresztmetszet nyomásra 1. keresztmetszeti osztályba sorolandó. A keresztmetszet osztályozása tiszta hajlításra:
Öv: Az öv osztályozása megegyezik a tiszta nyomás esetével: 1. krm. osztályú Gerinc: Tiszta hajlítás esetén: cw = 14,89 < 72 ⋅ ε = 66,56 tw
tehát a gerinc is 1. keresztmetszeti osztályú. Így a szelvény mind tiszta nyomásra, mind tiszta hajlításra 1. keresztmetszeti osztályba sorolandó. Ellenőrzés tiszta nyomásra:
1. keresztmetszeti osztály esetén: N c,Rd = N pl , Rd =
A⋅ fy γM 0
=
78,1 ⋅ 27 ,5 = 2147 kN 1,0
>
N Ed = 500 kN
N Ed = 0, 23 N c , Rd A szelvény tiszta nyomásra megfelel. Ellenőrzés tiszta hajlításra:
1. keresztmetszeti osztály esetén a nyomatéki ellenállás: M c,Rd = M pl , Rd =
W pl , y ⋅ f y γM 0
=
643 ⋅ 27 ,5 = 176,7 kNm 1,0
>
M y , Ed = 140 kNm
M y , Ed
= 0,79 M c , Rd A szelvény tiszta hajlításra megfelel. Nyírási ellenőrzés:
Elsőként meg kell vizsgálni a nyírási lemezhorpadás lehetőségét: hw 170 72ε 72 ⋅ 0,924 = = 18,89 < = = 55,5 tw η 9 1, 2 tehát a nyírási horpadás nem mértékadó.
18
Így a nyírási ellenállás: Avz ⋅ f y
Vc,Rd = V pl , Rd =
3 ⋅ γM 0
=
24,83 ⋅ 27 ,5 = 394, 2 kN 3 ⋅ 1,0
>
VEd = 300 kN
VEd = 0,76 Vc , Rd A szelvény nyírásra megfelel. Nyomaték, normálerő és nyíróerő kölcsönhatása:
A nyíróerő és a nyomaték kölcsönhatását figyelembe kell venni, mert VEd = 0,76 > 0,5 V pl , Rd A redukciós tényező értéke: 2
2 ⎛ 2V ⎞ ⎛ 2 ⋅ 300 ⎞ ρ = ⎜⎜ Ed − 1⎟⎟ = ⎜ − 1⎟ = 0, 272 ⎝ 394, 2 ⎠ ⎝ V pl , Rd ⎠
A módosított nyomaték: M V , Rd
⎛ ρ ⋅ Avz2 ⎜ = ⎜ W pl , y − 4t w ⎝
⎞ fy ⎛ 0, 272 ⋅ 24,83 2 ⎟ = ⎜⎜ 643 − ⎟γ 4 ⋅ 0,9 ⎠ M0 ⎝
⎞ 27,5 ⎟⎟ = 163,87 kNm ⎠ 1,0
Megjegyezzük, hogy a fenti képletek csak kétszeresen szimmetrikus, 1. és 2. keresztmetszeti osztályú I-szelvény esetén érvényesek. I- és H-szelvény esetén, y-y tengely körüli nyomaték esetén akkor kell a normálerő hatását figyelembe venni, ha a következő feltételek valamelyike teljesül: N Ed > 0, 25 ⋅ N pl , Rd N Ed >
0,5 ⋅ hw ⋅ t w ⋅ f y
γM0
Esetünkben: 0, 25 ⋅ N pl , Rd = 0, 25 ⋅ 2147 = 537 kN 0,5 ⋅ hw ⋅ t w ⋅ f y
γM0
=
>
N Ed = 500 kN
0,5 ⋅ 17 ⋅ 9 ⋅ 27,5 = 210, 4 kN 1,0
<
N Ed = 500 kN
A második feltétel alapján a normálerő hatását számításba kell venni. Az interakciós formulához szükséges segédmennyiségek: n= a=
N Ed 500 = = 0, 233 N pl , Rd 2147 A − 2⋅b⋅tf A
=
78,1 − 2 ⋅ 20 ⋅ 1,5 = 0, 232 < 0,5 78,1
19
A módosított nyomatéki ellenállás (hangsúlyozzuk, hogy itt már a nyíróerő miatt redukált nyomatéki teherbírásból indulunk ki.): M NV , Rd = M V , Rd
1− n 1 − 0, 233 = 163,87 = 142, 2 kNm 1 − 0,5 a 1 − 0,5 ⋅ 0, 232
Ellenőrzés: ⎛ M y , Ed ⎞ ⎜ ⎟ = 0 , 98 ⎜M ⎟ NV , Rd ⎝ ⎠ Tehát a szelvény az összetett igénybevételre is megfelel. M NV , Rd = 142, 2 kNm > M y , Ed = 140 kNm
3.8 Példa
Ellenőrizzük a 3.4 és 3.5 példában szerepelt hegesztett szelvényt N Ed = 700 kN normálerőre, M Ed = 1300 kNm hajlítónyomatékra, majd együttes igénybevételekre! f y = 35,5 kN/cm 2
Alapanyag: S355
Ellenőrzés tiszta nyomásra: A keresztmetszet ellenállásának számítását a 3.4 példában találjuk. A szelvény tiszta nyomásra 4. osztályú, a hatékony keresztmetszetet a 3.10.b) ábra mutatja. 140,5
140,5 300,3-12 zf = 169,7 1100-8
176,7
171,05
S
zk = za = 787,9 mm 142,4
1100-8
zh = 582 mm
171,05
a = 4 mm
176,7
320-12
320-12 300,3
a) Keresztmetszet
b) Tiszta nyomásra hatékony szelvény
320-12
c) Hajlításra hatékony szelvény
3.10. ábra: Teljes és hatékony keresztmetszetek. A keresztmetszet ellenőrzése: N C,Rd = 3562 kN (lsd. 3.4 példa);
N Ed 700 = = 0,2 < 1,0 N C , Rd 3562
tehát megfelel!
Ellenőrzés tiszta hajlításra:
A keresztmetszet ellenállásának számítását a 3.5 példában találjuk. A szelvény tiszta hajlításra 4. osztályú, a hatékony keresztmetszet a 3.10.c) ábra szerinti.
20
A keresztmetszet ellenőrzése: M C,Rd = 1830 kNm (lsd. 3.5 példa);
M Ed 1300 = = 0,71 < 1,0 . tehát megfelel! M C , Rd 1830
Ellenőrzés egyidejű normálerőre és hajlításra:
A keresztmetszet tiszta nyomásra szimmetrikus maradt, tehát ez=0. A keresztmetszet ellenőrzése: N Ed M + N Ed ⋅ e z N M + N Ed ⋅ 0 700 1300 + Ed = Ed + Ed = + = 0,91 < 1,0 Aeff ⋅ f y / γ M 0 Weff ⋅ f y / γ M 0 N c ,Rd M c ,Rd 3562 1830 tehát megfelel! A keresztmetszet mindhárom esetben megfelel.
21
3.3. Szerkezeti elemek ellenállásának vizsgálata: stabilitási ellenállás 3.3.1. Vizsgálandó stabilitásvesztési módok
Az EC3 a nyomott lemezsávok horpadásának következményeit a keresztmetszetek besorolásával már tekintetbe veszi, így a szerkezeti elemek (stabilitási) ellenállásának vizsgálata során az alábbiakat kell ellenőrizni: -
Központosan nyomott rudak kihajlása
-
Hajlított gerendák kifordulása
-
Külpontosan nyomott rudak stabilitása (hajlítás, kihajlás és kifordulás kölcsönhatásai)
-
Nyírt, valamint keresztirányban terhelt lemezek horpadása
-
Nyírási lemezhorpadás kölcsönhatása más tönkremeneteli módokkal
3.3.2. Központosan nyomott rúd kihajlása
Szükséges ismeretek: - Központosan nyomott rúd síkbeli kihajlási ellenállása (lásd szabvány [1] 6.3.1 pontja és [4] 5.2.1 – 5.2.2 pontja); - Rácsos tartók nyomott rúdjainak kihajlási hosszai (lásd [4] 5.2.2 pontja).
3.9. Példa
Határozzuk meg, hogy mekkora központos erővel terhelhető az ábrán látható oszlop! Az oszlop geometriai adatait a 3.11. ábra és a befogási viszonyait a 3.12. ábra mutatja. f y = 23,5 kN/cm 2
Alapanyag: S235
λ1 = 93,9
Keresztmetszeti adatok:
öv: 250-14 gerinc: 300-8 nyakvarrat: a = 4 mm kétoldali sarokvarrat z
cf
y
y
cw
hw
tf
b f = 250 mm t f = 14 mm hw = 300 mm t w = 8 mm a = 4 mm - sarokvarrat mérete a
tw z
bf
3.11. ábra: Szelvény geometria.
22
4500
y
z 3.12. ábra: Kihajlási hosszak.
ν y = 2,0 (y tengely körüli kihajlás); ν z = 1,0 (z tengely körüli kihajlás) A nyomott rúd tervezési kihajlási ellenállását a következő összefüggéssel számítjuk (feltételezzük, hogy a keresztmetszet legalább 3. keresztmetszeti osztályú): N b ,Rd = χ ⋅
A⋅ fy γ M1
A keresztmetszet osztályozása:
Öv: cf =
bf
− 2 ⋅a −
t w 250 8,0 = − 2 ⋅4− = 115,3 mm 2 2 2
2 c f 115,3 = = 8,24 < 9 ⋅ ε = 9 tf 14
tehát az öv 1.keresztmetszeti osztályú. Gerinc: c w = hw − 2 ⋅ 2 ⋅ a = 300 − 2 ⋅ 2 ⋅ 4 = 288,7 mm c w 288,7 = = 36 ,09 < 38 ⋅ ε = 38 8 tw
tehát a gerinc 2. keresztmetszeti osztályú. Tehát a keresztmetszet 2. keresztmetszeti osztályú. A keresztmetszet adatai: A = 30 ⋅ 0 ,8 + 2 ⋅ 25 ⋅ 1,4 = 94 cm 2 2 1,4 ⎞ ⎞⎟ 30 3 ⋅ 0,8 ⎛⎜ 25 ⋅ 1,4 3 ⎛ + + 25 ⋅ 1,4 ⋅ ⎜15 + ⎟ ⋅ 2 = 19065,7 cm 4 Iy = ⎜ 12 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ 12
iy =
Iy A
=
19065,7 = 14,24 cm 94
23
Iz = iz =
30 ⋅ 0,8 3 25 3 ⋅ 1,4 + 2⋅ = 3647 ,1 cm 4 12 12 Iz 3647 ,1 = = 6 ,22 cm 94 A
A karcsúságok:
λy = λz =
νy ⋅l iy
=
2 ⋅ 450 = 63,20 14,24
ν z ⋅ l 1 ⋅ 450 = = 72 ,35 6 ,22 iz
A viszonyított karcsúságok:
λy = λz =
λy λ1
=
63,20 = 0,67 93,9
λ z 72 ,35 = = 0 ,77 93,9 λ1
A χ csökkentő tényező meghatározása: (táblázatból)
λ y = 0,67 → b kihajlási görbe
χ y = 0,8004
λ z = 0,77 → c kihajlási görbe
χ z = 0 ,6810
χ = χ z = 0 ,6810
A nyomott rúd tervezési kihajlási ellenállása:
N b,Rd = χ ⋅
A⋅ fy γ M1
= 0,6810 ⋅
94 ⋅ 23,5 = 1504,3 kN 1,0
3.10. Példa
Határozza meg a HE 300 A szelvényű központosan nyomott oszlop tervezési kihajlási ellenállását a szelvényt az optimális irányba forgatva, ha a rúd hossza 9000 mm, a befogási viszonyok: egyik síkban alul befogott, felül csuklós, eltolódás ellen megtámasztott, másik síkban alul és felül is csuklós, eltolódás ellen megtámasztott. Az oszlop geometriai adatait a 3.13. ábra, a befogási viszonyait a 3.14. ábra mutatja. Alapanyag: S235
f y = 23,5 kN/cm 2
λ 1 = 93,9
24
Keresztmetszeti adatok: HEA 300 (táblázatból)
cf
z
t f = 14 mm
h = 290 mm
t w = 8,5 mm
r = 27 mm
tf y
y
cw
h
b = 300 mm
tw
A = 113 cm 2 W y = 1260 cm 3
r
W pl = 1383 cm 3
I y = 18260 cm 4
z
b
i y = 12,7 cm
i z = 7 ,49 cm
9000
3.13. ábra: Szelvény geometria.
ν y = 1,0
ν z = 0 ,7
3.14. ábra: Kihajlási hosszak. A szelvény optimális irányba forgatása azt jelenti, hogy a szelvényt, a befogási viszonyokat figyelembe véve, úgy kell elhelyezni, hogy a tervezési kihajlási ellenállása minél nagyobb legyen. Könnyen belátható, hogy ez akkor teljesül, ha a szelvényt úgy forgatjuk, hogy ν y = 1,0 és ν z = 0 ,7 legyen. A keresztmetszet osztályozása:
Öv: t b 300 8,5 −r− w = − 27 − = 118,75 mm 2 2 2 2 c f 118,75 = = 8,48 < 9 ⋅ ε = 9 tf 14
cf =
tehát az öv 1. keresztmetszeti osztályú. Gerinc: c w = h − 2 ⋅ r − 2 ⋅ t f = 290 − 2 ⋅ 27 − 2 ⋅ 14,0 = 208 mm c w 208 = = 24,47 < 33 ⋅ ε = 33 8,5 tw tehát a gerinc 1. keresztmetszeti osztályú. Tehát a keresztmetszet 1. keresztmetszeti osztályba sorolandó.
25
A karcsúságok:
λy = λz =
νy ⋅l iy
=
1,0 ⋅ 900 = 70,87 12,7
ν z ⋅ l 0 ,7 ⋅ 900 = = 84 ,11 7 ,49 iz
A viszonyított karcsúságok:
λy = λz =
λy λ1
=
70,35 = 0,75 93,9
λ z 84 ,11 = = 0 ,90 93,9 λ1
A χ csökkentő tényező meghatározása: (táblázatból)
λ y = 0,75 → b kihajlási görbe
χ y = 0,7547
λ z = 0,90 → c kihajlási görbe
χ z = 0 ,5998
χ = χ z = 0 ,5998
A nyomott rúd tervezési kihajlási ellenállása:
N b,Rd = χ ⋅
A⋅ fy γ M1
= 0,5998 ⋅
113 ⋅ 23,5 = 1592,8 kN 1,0
Megjegyzés: Ha a szelvényt a másik irányba forgatjuk ( ν y = 0,7 és ν z = 1,0 ), akkor a karcsúságok a
következőképpen alakulnak: λy = λz =
νy ⋅l iy
=
0,7 ⋅ 900 = 49,61 12 ,7
ν z ⋅ l 1,0 ⋅ 900 = = 120 ,16 7 ,49 iz
A viszonyított karcsúságok pedig: λy = λz =
λy λ1
=
49,61 = 0,53 93,9
λ z 120 ,16 = = 1,28 93,9 λ1
Ebben az esetben a χ tényező értéke kisebbre adódik: χ = 0,3974 , így kisebb tervezési kihajlási ellenállást kapnánk.
26
3.11. Példa
Egy rácsos tartó hegesztett bekötésű nyomott rácsrúdjának hossza 2000 mm, a rácsrúd szelvénye 100x80x4 hidegen hajlított zárt szelvény. Ellenőrizze a rácsrudat 200 kN központos nyomóerőre, ha a rácsrúd szelvénye úgy áll, hogy a rövidebbik oldal párhuzamos a rácsos tartó síkjával (3.15. ábra)! f y = 23,5 kN/cm 2
Alapanyag: S235
λ 1 = 93,9
Rácsos tartó rácsrúdja esetén a kihajlási hosszak a következők (az általános szabály szerint): ν z = 0 ,9 a tartósíkban és ν y = 1,0 a tartósíkra merőleges kihajlás esetén. Keresztmetszeti adatok: 100x80x4 y
cf y
z
b
h
r
cw
z
rácsos tartó síkja
t
b = 100 mm h = 80 mm t = 4 mm r = 8 mm
i y = 3,71 cm i z = 3,12 cm A = 13,34 cm 2
3.15. ábra: Szelvény geometria. A keresztmetszet osztályozása:
Öv: c f = b − 2 ⋅ r − 2 ⋅ t = 100 − 2 ⋅ 8,0 − 2 ⋅ 4 ,0 = 76 mm cf t
76 = 19 < 33 ⋅ ε = 33 4
=
tehát az öv 1. keresztmetszeti osztályú. Gerinc: Könnyen belátható, hogy a gerinc 1. keresztmetszeti osztályú. Tehát a keresztmetszet is 1. keresztmetszeti osztályú. A karcsúságok:
λy = λz =
νy ⋅l iy
=
1,0 ⋅ 200 = 53,91 3,71
ν z ⋅ l 0 ,9 ⋅ 200 = = 57 ,69 3,12 iz
A viszonyított karcsúságok:
λy =
λy λ1
=
53,91 = 0,57 93,9
27
λ z 57 ,69 = = 0 ,61 93,9 λ1 A χ csökkentő tényező meghatározása: (táblázatból) λz =
λ y = 0,57 → c kihajlási görbe
χ y = 0,8030
λ z = 0,61 → c kihajlási görbe χ = χ z = 0,7794
χ z = 0 ,7794
A nyomott rúd tervezési kihajlási ellenállása: A⋅ fy 13,34 ⋅ 23,5 N b,Rd = χ ⋅ = 0,7794 ⋅ = 244 ,3 kN γ M1 1,0 Ellenőrzés:
N Ed = 200 kN < N b,Rd = 244,3 kN → Megfelel.
3.12. Példa
Egy rácsos tartó nyomott övén a csomóponti távolság 3000 mm, a csomópontok keresztirányban meg vannak támasztva. Határozza meg a nyomott övrúd tervezési kihajlási ellenállását, ha annak szelvénye 100x100x4 hidegen hajlított zárt szelvény! f y = 23,5 kN/cm 2
Alapanyag: S235
λ1 = 93,9
Zárt szelvényű rácsos tartó övrúdja esetén a kihajlási hosszak a következők: ν z = 0 ,9 a tartósíkban és ν y = 0,9 a tartósíkra merőleges kihajlás esetén. Keresztmetszeti adatok: 100x100x4 y
cf
h
cw
r
z
z
t
b = 100 mm h = 100 mm t = 4 mm r = 8 mm
i y = 3,89 cm y
b
i z = 3,89 cm A = 14 ,95 cm 2
3.16. ábra: Szelvény geometria. A keresztmetszet osztályozása: Öv/Gerinc: c f = b − 2 ⋅ r − 2 ⋅ t = 100 − 2 ⋅ 8 − 2 ⋅ 4 = 76 mm
cf t
=
76 = 19 < 33 ⋅ ε = 33 4
tehát az öv/gerinc 1. keresztmetszeti osztályú. Tehát a keresztmetszet is 1. keresztmetszeti osztályú. 28
A karcsúságok:
λ = λy = λz =
νy ⋅l iy
=
0 ,9 ⋅ 300 = 69 ,41 3,89
A viszonyított karcsúság:
λ=
λ 69,41 = = 0,74 λ1 93,9
A χ csökkentő tényező meghatározása: (táblázatból)
λ = 0,74 → c kihajlási görbe
χ = 0,6998
A nyomott rúd tervezési kihajlási ellenállása:
N b,Rd = χ ⋅
A⋅ fy γM 1
= 0,6998 ⋅
14,95 ⋅ 23,5 = 245,86 kN 1,0
29
3.3.3. Hajlított elemek kifordulása
Szükséges ismeretek: Az EC3 a kifordulási ellenállás meghatározására több módszert is kínál: - Általános módszer (lásd szabvány [1] 6.3.2 (6.3.2.2.) pontja és [4] 5.3.1 pontja); - Általános módszer, melegen hengerelt, illetve ekvivalens hegesztett szelvények (lásd szabvány [1] 6.3.2 (6.3.2.3.) pontja és [4] 5.3.2 pontja); - Egyszerűsített módszer (lásd szabvány [1] 6.3.2 (6.3.2.4.) pontja és [4] 5.3.4 pontja). 3.13 Példa
Ellenőrizzük kifordulásra az alábbi kéttámaszú gerendát! A tartó melegen hengerelt HEA 450 profilból készült, mindkét vége „villás” megtámasztású. f y = 23,5 kN/cm 2
Alapanyag: S235
A gerenda terhelését és igénybevételeit a 3.17. ábra mutatja, FEd = 200 kN , g k = 4,05 kN/m .
FEd
FEd gk
3,0
3,0
3,0
L=9m
218,22
6,07 206,07
641,00
206,07 6,07
[kN]
218,22
VEd
636,45
[kNm]
636,45
M Ed
3.17. ábra: A gerenda terhelése és igénybevételei. Keresztmetszeti adatok:
HEA 450 melegen hengerelt szelvény:
h h1
tf
z
y
y
tw r
z
b
h = 440 mm b = 300 mm
t f = 21 mm
t w = 11,5 mm r = 27 mm
A = 178 cm 2
I y = 63720 cm 4
W pl , y = 3220 cm 3
I z = 9470 cm 4
I t = 245 cm 4
I w = 4146000 cm 6
h1 = 344 mm
3.18. ábra: Szelvény geometria. 30
A keresztmetszet osztályozása hajlításra:
Öv: t 300 b 11,5 −r− w = − 27 − = 117 ,25 mm 2 2 2 2 c f 117 ,25 = = 5,58 < 9 ⋅ ε = 9 tf 21
cf =
tehát az öv 1. keresztmetszeti osztályú. Gerinc: c w = h − 2 ⋅ r − 2 ⋅ t f = 440 − 2 ⋅ 27 − 2 ⋅ 21 = 344 mm c w 344 = = 29,91 < 72 ⋅ ε = 72 t w 11,5 tehát a gerinc 1. keresztmetszeti osztályú. Mivel mindkét szelvényrész 1. keresztmetszeti osztályú, ezért maga a szelvény is az. Keresztmetszet ellenállásának ellenőrzése:
Hajlításra: M c ,Rd = M pl ,Rd =
W pl , y ⋅ f y γM0
=
3220 ⋅ 23,5 = 756,7 kNm 1,0
M Ed 641 = = 0,847 < 1 M c , Rd 756,7
→ Megfelel!
Nyírásra: Av = A − 2 ⋅ b ⋅ t f + (t w + 2 ⋅ r ) ⋅ t f = 178 − 2 ⋅ 30 ⋅ 2,1 + (1,15 + 2 ⋅ 2,7 ) ⋅ 2,1 = 65,76 cm 2 Av ⋅ Vc ,Rd =
fy
γM0
3
=
65,76 ⋅ 23,5 1,0 ⋅ 3
= 892 ,15 kN
VEd 218,225 = = 0,25 < 1 892,15 Vc , Rd
→ Megfelel!
Nyírás és hajlítás interakciójára: VEd = 0,25 < 0,5 Vc , Rd
→ nem kell vizsgálni!
31
a) A szerkezeti kialakítás szerint nincs közbülső megtámasztás, tehát a teljes támaszköz a kifordulási hossz. A kifordulási kritikus nyomaték: (közelítő képlettel, lásd pl. [4] 5.3.4 pontja) M cr
⎡ π2 ⋅ E ⋅ I z ⎢ ⎛ k ⎜ = C1 (k ⋅ l )2 ⎢ ⎜⎝ k w ⎣
2 ⎤ ⎞ I w (k ⋅ l )2 ⋅ G ⋅ I t 2 ⎥ ⎟⎟ ⋅ ( ) + + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ C z C z C z C z ( ) 2 g 3 j 2 g 3 j 2 ⎥ I π ⋅ E ⋅ Iz z ⎠ ⎦
ahol: l = 900 cm
k = k w = 1,0 (mindkét vég szabadon elfordul és torzul)
z g = +22,0 cm
(a teher a gerenda felső övén hat)
zj = 0
(kétszeresen szimmetrikus profil)
E = 21000
kN cm 2
G = 8077
kN cm 2
C1 = 1,046 ; C 2 = 0,43 ; C 3 = 1,12
Behelyettesítve: M cr = 1,046 ⋅
⎤ π 2 ⋅ 21000 ⋅ 9470 ⎡ 4146 ⋅ 10 3 900 2 ⋅ 8077 ⋅ 245 2 + 2 + (0,43 ⋅ 22) − 0 ,43 ⋅ 22⎥ ⎢ 2 9470 900 π ⋅ 21000 ⋅ 9470 ⎥⎦ ⎢⎣
M cr = 68941,5 kNcm = 689,42 kNm A gerenda kifordulási karcsúsága:
λ LT =
Wy ⋅ f y M cr
=
M c ,Rd M cr
=
756 ,7 = 1,098 689 ,42
A kifordulási csökkentő tényező (melegen hengerelt szelvény, tehát az „a” kihajlási görbe szerint) χ LT = 0,596
A gerenda kifordulási ellenállása:
M b ,Rd = χ LT ⋅
Wy ⋅ f y γ M1
= 0,596 ⋅
756 ,7 = 450 ,99 kNm 1,0
Gerenda ellenőrzése kifordulásra:
M Ed 641 = = 1,42 > 1 M b , Rd 450,99
→ Nem felel meg!
A tartó közbenső oldalirányú megtámasztás nélkül nem felel meg kifordulásra!
32
b) Oldjuk meg a feladatot úgy, hogy a támaszköz harmadában (a koncentrált erők átadási pontjaiban) oldalirányban a 3.19. ábra szerinti hatékony megtámasztásokkal látjuk el:
300 300 300
3.19. ábra: Gerenda oldalirányú megtámasztása. A középső mezőben a két megtámasztás közötti tartószakasz kifordulását kell ellenőrizni. A felhasznált képlet (Mcr) az előző pont szerinti, a tényezők értékei:
l = 300 cm
k = k w = 1,0 (a szomszédos tartórészek nem vehetők befogásnak!!)
ψ ≅ 1,0 → C1 = 1,0 ; C 2 = 0 ; C 3 = 1,0 A kifordulási kritikus nyomaték:
M cr =
π 2 ⋅ 21000 ⋅ 9470 ⎡ 4146 ⋅ 10 3 300 2 ⋅ 8077 ⋅ 245 ⎤ + 2 ⎥ = 5013,8 kNm ⎢ 9470 300 2 π ⋅ 21000 ⋅ 9470 ⎥⎦ ⎢⎣
A gerendaszakasz karcsúsága:
λ LT =
756,7 = 0,39 5013,8
az „a” kihajlási görbéből: χ LT = 0,9554
A megtámasztott gerenda kifordulási ellenállása:
M b ,Rd = χ LT ⋅
Wy ⋅ f y γ M1
= 0,9554 ⋅
756,7 = 722,95 kNm 1,0
Gerenda ellenőrzése kifordulásra:
A kifordulási ellenállást összehasonlítva a tartószakaszon fellépő legnagyobb nyomatékkal. M Ed 641 = = 0,887 < 1 M b , Rd 722,95
→ megfelelő!
A gerenda oldalirányú megtámasztásokkal (szélráccsal ellátott merevítőrendszerrel) kifordulásra megfelelő.
33
c) Ellenőrizzük a tartó kifordulását a megtámasztott kifordulásvizsgálati eljárással (övmerevségvizsgálattal)!
kialakításban
egyszerűsített
A melegen hengerelt profil nyomott övrészét a lekerekítések elhanyagolásával két téglalappal helyettesítjük (megjegyzendő, hogy ez az elhanyagolás a biztonság kárára van, mert így az i f , z kisebb értékre adódik!). A nyomott övrész keresztmetszeti jellemzői (3.20. ábra):
66,3 21
300 z
A fz = 30 ⋅ 2,1 + 6,8 ⋅ 1,15 = 70,82 cm 2
I fz
11,5
440 − 2 ⋅ 21 = 66,3 6
30 3 1,15 3 = 2,1 ⋅ + 6,8 ⋅ = 4725,9 cm 4 12 12 I fz
i f ,z =
A fz
=
4725,9 = 8,17 cm 70,82
3.20. ábra: A nyomott övrész geometriája. A nyomott öv viszonyított karcsúsága:
λf =
k c ⋅ Lc 1,0 ⋅ 300 = = 0,39 i fz ⋅ λ 1 8,17 ⋅ 93,9
ahol: λ 1 = 93,9
(S235 anyag)
k c = 1,0 Lc = 300 cm (oldalirányú megtámasztások távolsága) Mivel λ c 0 = 0,5 λ f < λ c0 ⋅
M c ,Rd M y ,Ed
= 0 ,5 ⋅
756,7 = 0,59 641
→ a gerenda kifordulási vizsgálat nélkül is megfelelő!
Ha mégis elvégezzük a vizsgálatot, akkor a gerenda kifordulási ellenállása az övmerevségvizsgálat során a következők szerint számítható: M b ,Rd = k fl ⋅ χ ⋅ M cr ,d = 1,10 ⋅ 0,9026 ⋅ 756,7 = 751,29 kNm ahol k fl = 1,10 χ = 0,9026
λ f függvényében „c” kihajlási görbe
M Ed 641 = = 0,853 < 1 → MEGFELEL! M b , Rd 751,29 Tehát a gerenda az egyszerűsített kifordulásvizsgálat alapján kifordulásra megfelelő. 34
3.3.4. Nyírt lemezek horpadása
Szükséges ismeretek: - Nyírási horpadás ellenőrzése (lásd szabvány [2] 5.2 pontja és [4] 5.5.1 pontja); - Keresztbordák méretezése (lásd szabvány [2] 9.3.3 pontja és [4] 5.5.1 pontja). 3.14 Példa
Ellenőrizzük az alábbi hegesztett szelvényből készült gerenda támasz melletti első mezőjében (a) a gerinclemezt nyírási horpadásra! (b) Vizsgáljuk meg a merevítőbordákat is! A nyíróerő VEd = 1050 kN , a tartó anyaga S355-ös minőségű acél. Alapanyag: S355
η = 1,2
ε = 0,81
300-20
b = 1200 mm
a = 5 mm
1200-10
300-20 a = 2500 mm
3.21. ábra: A szelvény keresztmetszete és a gerinclemez-mező méretei. a) A gerinclemez ellenőrzése nyírási horpadásra: A vizsgált mező nyírási horpadási tényezője: α = a b = 2500 1200 = 2 ,08 > 1
ezért k = 5,34 + 4 / α 2 = 5,34 + 4 / 2 ,08 2 = 6 ,262 τ
A horpadási ellenőrzést el kell végezni, mivel merevített gerinclemez esetén hw 1200 31 31 = = 120 > ⋅ ε ⋅ k τ = ⋅ 0 ,81 ⋅ 6 ,262 = 52 ,23 η 1,2 10 tw
A gerinclemez horpadási karcsúsága:
λw =
hw 37 ,4 ⋅ t w ⋅ ε ⋅ k τ
=
120 37 ,4 ⋅ 1,0 ⋅ 0,81 ⋅ 6 ,262
= 1,587
A gerinclemez nyírási horpadási ellenállásának számításakor az övek hozzájárulását elhanyagoljuk, csak a gerinclemez hozzájárulását vesszük tekintetbe. 35
A χ w nyírási horpadási csökkentő tényező:
Mivel a tartóvégen csak nem merev véglezárás van, és λ w > 0,83 / η = 0,692 0,83 = 0,522 λ w 1,587 A gerinclemez ellenállása nyírási horpadással szemben:
χw =
0,83
=
Vb , Rd = Vbw, Rd =
χ w ⋅ f yw ⋅ hw ⋅ t w 3 ⋅ γ M1
=
0,522 ⋅ 35,5 ⋅ 120 ⋅ 1,0 3 ⋅ 1,0
= 1211,50 kN
A gerinclemez ellenőrzése nyírási horpadásra:
A gerinclemez nyírási horpadással szemben kellő biztonsággal rendelkezik, mivel
VEd 1050 = = 0,867 < 1,0 Vb , Rd 1211,5 b) A merevítő bordák ellenőrzése A gerenda gerincén mindkét oldalon 50-12 mm-es keresztirányú merevítő bordák találhatók a 3.22. ábra szerint.
50
10
50
15·ε· t = 15 ·0,81 ·12 = 146 mm 146 146
12
3.22. ábra: A merevítőbordák szelvénye. A merevítőbordák szükséges merevsége:
A mező méreteinek aránya:
a 2500 = = 2,08 > 2 hw 1200 tehát
I St ≥ 0,75 ⋅ hw ⋅ t w3 = 0,75 ⋅ 120 ⋅ 1,0 3 = 90 cm 4 A bordák inerciája a gerinclemez középvonalára számítva:
I St =
1,2 ⋅ 113 = 133,1 cm 4 12
> 90 cm 4 → MEGFELEL!
A keresztirányú merevítőbordák a merevségi feltételnek megfelelnek. A bordákból valamint a gerinclemeznek a bordákhoz két oldalról csatlakozó 15 ⋅ ε ⋅ t hosszúságú szakaszaiból álló, a 3.22. ábrán látható szelvény kihajlását is ellenőrizni kellene – ettől azonban most eltekintünk.
36
3.3.5. Külpontosan nyomott rudak ellenállásának vizsgálata
Szükséges ismeretek: - Külpontosan nyomott rudak stabilitási ellenállása (lásd szabvány [1] 6.3.3 pontja és [4] 5.4 pontja). 3.15 Példa
Ellenőrizzük az alábbi ábrán látható tartót kihajlásra, kifordulásra és azok interakciójára! A tartó szelvénye megegyezik a 3.6 példában szerepelt hegesztett szelvénnyel. f y = 23,5 kN/cm 2
Alapanyag: S235
ε = 1,0
λ1 = 93,9
A tartó geometriája: (3.23. ábra)
Ltot y
z NEd My,Ed
y L
My,Ed z
NEd
L
My,Ed
My,Ed
NEd Ltot
NEd L
L
3.23. ábra: Tartó geometria. A tartó teljes hossza Ltot = 10 m , az oldalirányú megtámasztások távolsága L = 5 m . A szelvény geometriája: (3.24. ábra) z
cf
b f = 300 mm
tf
t f = 16 mm hw = 300 mm t w = 8 mm a = 4 mm - sarokvarrat mérete
y
cw
hw
a
y
tw z
bf 3.24. ábra: Szelvény geometria. 37
A keresztmetszeti jellemzők:
A = 120 cm 2 I y = 25786 cm 4 ; W y = 1553 cm 3 ; I z = 7201 cm 4 ; W z = 480 cm 3 ; Iw =
It =
I z ⋅ (h − t f 4
)
2
i y = 146,6 mm; i z = 77,5 mm;
W pl , y = 1697 cm 3
W pl , z = 725 cm 3
7201 ⋅ (30 + 2 ⋅ 1,6 − 1,6 ) = 1797727,5 cm 6 4 2
=
(
)
1 1 bi t i3 = 2 ⋅ 30 ⋅ 1,6 3 + 30 ⋅ 0,8 3 = 87,0 cm 4 ∑ 3 3
A mértékadó igénybevételek: N Ed = 700 kN ; M y . Ed = 180 kNm A keresztmetszet osztályozása:
Lásd 3.6 példa: a keresztmetszet 1. osztályba sorolandó mind tiszta nyomásra, mind tiszta hajlításra. A keresztmetszet ellenállásának ellenőrzése:
A keresztmetszet ellenállásait a 3.6 példában számítottuk. Ellenőrzés tiszta nyomásra:
N c,Rd = N pl , Rd = 2820 ,0 kN
>
N Ed = 700 kN , megfelel.
Ellenőrzés tiszta hajlításra:
M c,Rd = M pl , Rd = 398,8 kNm
>
M y , Ed = 180 kNm , megfelel.
Ellenőrzés nyomás és hajlítás interakciójára:
M N , Rd = 333 kNm > M y , Ed = 180 kNm , megfelel. A tartó kihajlási vizsgálata
A kihajlási hosszak a két irányban:
l y = Ltot = 1000 cm l z = L = 500 cm A rúdkarcsúságok és a viszonyított rúdkarcsúságok:
λy =
ly iy
=
1000 = 68, 22 14,66
λy =
λ y 68, 22 = = 0,726 λ1 93,9
lz λ 500 64,54 = = 64,54 = 0,687 λz = z = i z 7,75 λ1 93,9 Hegesztett I-szelvény és t f ≤ 40 mm esetén:
λz =
- az y-y tengely körüli kihajlás esetén a b kihajlási görbét, - míg a z-z tengely körüli kihajlás esetén a c kihajlási görbét kell használni.
38
Ez alapján táblázatból a kihajlási csökkentő tényezők:
χ y = 0,769 és χ z = 0,733 . Látható, hogy a z tengely körüli kihajlás a mértékadó. Innen a nyomott rúd tervezési kihajlási ellenállása:
A⋅ fy
N b , Rd = χ z
γ M1
= 0,733 ⋅
120 ⋅ 23,5 = 2065,8 kN > 1,0
N Ed = 700 kN , → tehát kihajlásra megfelel.
A tartó kifordulási vizsgálata
Az oldalirányú megtámasztások távolsága l = L = 500 cm . A kifordulási kritikus nyomaték képlete: M cr
⎡ π2 ⋅ E ⋅ I z ⎢ ⎛ k ⎜ = C1 (k ⋅ l )2 ⎢ ⎜⎝ k w ⎣
2 ⎤ ⎞ I w (k ⋅ l )2 ⋅ G ⋅ I t 2 ⎟⎟ ⋅ + + (C 2 ⋅ z g − C 3 ⋅ z j ) − (C 2 ⋅ z g − C 3 ⋅ z j )⎥ 2 ⎥ I E I π ⋅ ⋅ z ⎠ z ⎦
ahol:
l = 500 cm
k = k w = 1,0 (mindkét vég szabadon elfordul és torzul)
z g = 0 cm
(a teher a szelvény súlypontjában)
zj = 0
(kétszeresen szimmetrikus profil)
ψ =1
(a vizsgált szakasz két végén a nyomaték értéke megegyezik)
E = 21000
kN cm 2
G = 8077
kN cm 2
C1 = 1,0 ; C 2 = 0 ; C 3 = 1,0
Behelyettesítve:
M cr = 1,0 ⋅ M y , Ed M cr
=
π 2 ⋅ 21000 ⋅ 7201 ⎡ 1797727,5 500 2
⎢ ⎣⎢
7201
+
500 2 ⋅ 8077 ⋅ 87 ⎤ ⎥ = 1144,3 kNm π 2 ⋅ 21000 ⋅ 7201 ⎦⎥
180 = 0,157 > 0,04 , tehát vizsgálni kell a kifordulást. 1144,3
A kifordulási viszonyított karcsúság:
λ LT =
W pl , y f y M cr
=
1697 ⋅ 23,5 = 0,59 > 0, 2 , tehát vizsgálni kell a kifordulást. 114430
Hegesztett I-szelvény és h / b f = 33, 2 / 30 = 1,107 ≤ 2 esetén a c kihajlási görbét kell alkalmazni. Táblázatból a csökkentő tényező:
χ LT = 0,791 Innen a tartó kifordulási ellenállása:
M b , Rd = χ LT
W pl , y f y
γ M1
= 0,791 ⋅
1697 ⋅ 23,5 = 315,5 kNm > M y , Ed = 180 kNm , megfelel. 1,0 39
A kihasználtság:
M y , Ed M b , Rd
=
180 = 0,57 315,5
A kihajlás és kifordulás interakciója
A következő feltételeknek kell eleget tenni:
M y , Ed + ΔM y , Ed N Ed + k yy ≤1 N Rk M y , Rk
χy
γ M1
χ LT
γ M1 + ΔM y , Ed
M y , Ed N Ed + k zy N Rk M y , Rk
χz
γ M1
χ LT
≤1
γ M1
A szelvény ellenállásainak karakterisztikus értéke 1. keresztmetszeti osztály esetén:
N Rk = f y A = 23,5 ⋅ 120 = 2820 kN M y , Rk = f yW pl , y = 23,5 ⋅ 1697 = 398,8 kNm 1-3. keresztmetszeti osztály esetén a nyomatéknövekmény zérus:
ΔM y , Ed = 0 kNm Az interakciós tényezők meghatározására alkalmazzuk az [1] szabvány „B” függelékében megadott eljárást (vagy lásd [4] 5.4.1 pontban)! Közvetlenül nem terhelt tartó esetében a tényezők a következőképpen alakulnak:
ψ = 1 (a vizsgált szakasz két végén a nyomaték értéke megegyezik) C my = C mLt = 0,6 + 0, 4ψ = 0,6 + 0, 4 = 1,0 > 0, 4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ N Ed N Ed ⎟ ≤ C my ⎜ 1 + 0,8 ⎟ k yy = C my ⎜ 1 + (λ y − 0, 2 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ N N / / χ γ χ γ 1 1 y Rk M y Rk M ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 700 ⎛ ⎞ k yy = 1,0⎜1 + (0,726 − 0, 2 ) ⎟ = 1,17 0,769 ⋅ 2820 / 1,0 ⎠ ⎝ Ha λ z ≥ 0, 4 , akkor: ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ N Ed N Ed 0,1λ z 0,1 k zy = ⎢1 − ⎥ ⎥ ≥ ⎢1 − ⎣ (C mLt − 0, 25 ) χ z N Rk / γ M 1 ⎦ ⎣ (C mLt − 0, 25 ) χ z N Rk / γ M 1 ⎦ ⎡ ⎤ 0,1 ⋅ 0,687 700 k zy = ⎢1 − ⎥ = 0,969 ⎣ (1,0 − 0, 25 ) 0,733 ⋅ 2820 / 1,0 ⎦ Az interakciós ellenőrzések pedig:
M y , Ed + ΔM y , Ed N Ed + k yy = N Rk M y , Rk
χy
γ M1
χ LT
γ M1 + ΔM y , Ed
M y , Ed N Ed + k zy N Rk M y , Rk
χz
γ M1
χ LT
=
γ M1
700 180 + 1,17 ⋅ = 0,991 ≤ 1 2820 398,8 0,769 ⋅ 0,791 ⋅ 1,0 1,0 700 180 + 0,969 ⋅ = 0,892 ≤ 1 2820 398,8 0,733 ⋅ 0,791 ⋅ 1,0 1,0
tehát az interakcióra is megfelel. 40
3.16 Példa
Ellenőrizzük az alábbi ábrán látható falváztartót kihajlásra, kifordulásra és azok interakciójára! A tartó szelvénye megegyezik a 3.7 példában szerepelt hengerelt szelvénnyel. A tartóra az ábra szerinti q Ed = 6 kN/m megoszló és normálirányú FEd = 450 kN koncentrált erő hat.
ε = 0,924
f y = 27 ,5 kN/cm 2
Alapanyag: S275
λ1 = 86,82
A tartó geometriája és mértékadó igénybevételei: (3.25. ábra)
FEd y
FEd
FEd
z y
L
L
qEd
qEd
L
z
y
y
z
z
FEd 3.25. ábra: Tartó geometria. A tartó teljes hossza L = 7 m , oldalirányú megtámasztás csak a tartóvégeken van. Az igénybevételek eloszlását mutatja a 3.26. ábra.
41
qEd
y
FEd
y
L
NEd [kN]
450
450
21
VEd [kN]
21
My,Ed [kNm]
36,75
3.26. ábra: Igénybevételek eloszlása. A mértékadó igénybevételek: - maximális normálerő és nyomaték, egyidejű nyíróerő:
N Ed = 450 kN ;
M y . Ed = 36,75 kNm;
VEd = 0 kN
- maximális nyíróerő:
V Ed = 21 kN ;
N Ed = 450 kN ;
M y . Ed = 0 kNm
Keresztmetszeti adatok: HEB 200 (táblázatból)
cf
z
t f = 15 mm
h = 200 mm
t w = 9 mm
r = 18 mm
tf y
y
cw
h
b = 200 mm
tw r
z
b
A = 78,1 cm 2
Avz = 24,83 cm 2
I y = 5696 cm 4
I z = 2003 cm 4
I w = 171130 cm 6
W y = 569,6 cm 3
W z = 200,3 cm 3
I t = 59, 28 cm 4
i y = 8,54 cm
i z = 5,07 cm
W pl , y = 643 cm 3
W pl , z = 305,8 cm 3
3.27. ábra: Szelvény geometria. A keresztmetszet osztályozása:
Lásd 3.7 példa: a keresztmetszet 1. osztályba sorolandó mind tiszta nyomásra, mind tiszta hajlításra.
42
A keresztmetszeti ellenállások ellenőrzése:
A keresztmetszet ellenállásait a 3.7 példában számítottuk. Ellenőrzés nyomásra:
N c,Rd = N pl , Rd = 2147 kN
>
N Ed = 450 kN , megfelel.
Ellenőrzés hajlításra (középső keresztmetszetben):
M c,Rd = M pl , Rd = 176,7 kNm
>
M y , Ed = 36,75 kNm , megfelel.
Ellenőrzés nyírásra (támasznál): Nyírási horpadással nem kell számolni, így
Vc,Rd = V pl , Rd = 394, 2 kN
>
VEd = 21 kN , megfelel.
Ellenőrzés nyomás, hajlítás és nyírás interakciójára:
VEd < 0,5 , tehát nyíróerő miatti redukciót sehol sem kell Vc , Rd alkalmazni. A továbbiakban elegendő a középső – mértékadó – keresztmetszetet vizsgálni hajlítás és nyomás interakciójára: A tartó minden keresztmetszetére
0, 25 ⋅ N pl , Rd = 0, 25 ⋅ 2147 = 537 kN 0,5 ⋅ hw ⋅ t w ⋅ f y
γM0 n= a=
=
>
N Ed = 450 kN
0,5 ⋅ 17 ⋅ 9 ⋅ 27,5 = 210, 4 kN 1,0
<
N Ed = 450 kN
N Ed 450 = = 0, 21 N pl , Rd 2147 A − 2⋅b⋅t f A
M N , Rd = M pl , Rd
=
78,1 − 2 ⋅ 20 ⋅ 1,5 = 0, 232 < 0,5 78,1
1− n 1 − 0, 21 = 176,7 = 158,0 kNm 1 − 0,5 a 1 − 0,5 ⋅ 0, 232
M N , Rd = 158,0 kNm > M y , Ed = 36,75 kNm , megfelel. A tartó kihajlási vizsgálata
A kihajlási hosszak a két irányban:
l y = l z = L = 700 cm A rúdkarcsúságok és a viszonyított rúdkarcsúságok:
λy = λz =
ly iy
=
700 = 81,97 8,54
lz 700 = = 138,07 i z 5,07
λy =
λ y 81,97 = = 0,944 λ1 86,82
λz =
λ z 138,07 = = 1,59 λ1 86,82
Hengerelt I-szelvénynél h / b f ≤ 1, 2 és t f ≤ 100 mm esetén: - az y-y tengely körüli kihajlás esetén a b kihajlási görbét, - míg a z-z tengely körüli kihajlás esetén a c kihajlási görbét kell használni. 43
Ez alapján táblázatból a kihajlási csökkentő tényezők:
χ y = 0,633 és χ z = 0, 287 . Látható, hogy a z tengely körüli kihajlás a mértékadó. Innen a nyomott rúd tervezési kihajlási ellenállása:
N b , Rd = χ z
A⋅ fy
= 0, 287 ⋅
γ M1
78,1 ⋅ 27,5 = 616, 2 kN > 1,0
N Ed = 450 kN , tehát kihajlásra
megfelel. A tartó kifordulási vizsgálata
Az oldalirányú megtámasztások távolsága l = L = 700 cm . A kifordulási kritikus nyomaték képlete: M cr
⎡ π2 ⋅ E ⋅ I z ⎢ ⎛ k ⎜ = C1 (k ⋅ l )2 ⎢ ⎜⎝ k w ⎣
2 ⎤ ⎞ I w (k ⋅ l )2 ⋅ G ⋅ I t 2 ⎟⎟ ⋅ + + (C 2 ⋅ z g − C 3 ⋅ z j ) − (C 2 ⋅ z g − C 3 ⋅ z j )⎥ 2 ⎥ I E I π ⋅ ⋅ z ⎠ z ⎦
ahol:
k = k w = 1,0
(mindkét vég szabadon elfordul és torzul)
z g = h / 2 = +10 cm
(a teher a felső övön hat)
zj = 0
(kétszeresen szimmetrikus profil)
E = 21000
kN cm 2
G = 8077
kN cm 2
C1 = 1,132 ; C 2 = 0, 459 ; C 3 = 0,525
Behelyettesítve:
M cr = 1,132 ⋅
π 2 ⋅ 21000 ⋅ 2003 ⎡ 171130 700 2
⎢ ⎢⎣
2003
+
⎤ 700 2 ⋅ 8077 ⋅ 59, 28 2 + (0, 459 ⋅ 10 ) − 0, 459 ⋅ 10 ⎥ = 2 π ⋅ 21000 ⋅ 2003 ⎥⎦
= 204,5 kNm
M y , Ed M cr
=
36,75 = 0,18 > 0,04 , tehát vizsgálni kell a kifordulást. 204,5
A kifordulási viszonyított karcsúság:
λ LT =
W pl , y f y M cr
=
643 ⋅ 27,5 = 0,929 > 0, 2 , tehát vizsgálni kell a kifordulást. 20450
Hengerelt I-szelvény és h / b f = 20 / 20 = 1,0 ≤ 2 esetén az a kihajlási görbét kell alkalmazni. Táblázatból a csökkentő tényező:
χ LT = 0,714 Innen a tartó kifordulási ellenállása:
M b , Rd = χ LT
W pl , y f y
γ M1
= 0,714 ⋅
643 ⋅ 27,5 = 126, 2 kNm > M y , Ed = 36,75 kNm , megfelel. 1,0 44
A kihasználtság:
M y , Ed M b , Rd
=
36,75 = 0, 29 126, 2
A kihajlás és kifordulás interakciója
A szelvény ellenállásainak karakterisztikus értéke 1. keresztmetszeti osztály esetén:
N Rk = f y A = 27,5 ⋅ 78,1 = 2147 kN M y , Rk = f yW pl , y = 27,5 ⋅ 643 = 176,7 kNm 1-3. keresztmetszeti osztály esetén a nyomatéknövekmény zérus:
ΔM y , Ed = 0 kNm Az interakciós tényezők meghatározására alkalmazzuk az [1] „B” függelékében megadott eljárást! Közvetlenül terhelt tartó esetében a tényezők a következőképpen alakulnak (B függelék B3 táblázat, vagy lásd [4] 5.4.1 pontban):
M h = 0 kNm;
M s = M y , Ed = 36,75 kNm (a vizsgált szakasz végén és közepén a
nyomatékok értéke)
ψ = 1 (a vizsgált szakasz két végén a nyomaték értéke megegyezik = 0) αh =
Mh 0 = = 0 (a vizsgált szakasz két végén a nyomaték értéke megegyezik = 0) M s 36,75
C my = C mLt = 0,95 + 0,05α h = 0,95 > 0, 4 (megoszló teher és a fenti tényezők esetén) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ N Ed N Ed ⎟ ⎟ ≤ C my ⎜ 1 + 0,8 k yy = C my ⎜ 1 + (λ y − 0, 2 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ N N / / χ γ χ γ y Rk M1 ⎠ y Rk M1 ⎠ ⎝ ⎝ 450 ⎛ ⎞ k yy = 0,95⎜1 + (0,944 − 0, 2 ) ⎟ = 1,184 0,633 ⋅ 2147 / 1,0 ⎠ ⎝ Ha λ z ≥ 0, 4 , akkor: ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ N Ed N Ed 0,1λ z 0,1 k zy = ⎢1 − ⎥ ⎥ ≥ ⎢1 − ⎣ (C mLt − 0, 25 ) χ z N Rk / γ M 1 ⎦ ⎣ (C mLt − 0, 25 ) χ z N Rk / γ M 1 ⎦ ⎤ ⎡ 0,1 ⋅ 1,59 700 k zy = ⎢1 − ⎥ = 0,896 ⎣ (0,95 − 0, 25 ) 0, 287 ⋅ 2147 / 1,0 ⎦ Az interakciós ellenőrzések pedig:
M y , Ed + ΔM y , Ed N Ed + k yy = N Rk M y , Rk
χy
γ M1
χ LT
γ M1 + ΔM y , Ed
M y , Ed N Ed + k zy N Rk M y , Rk
χz
γ M1
χ LT
=
γ M1
450 36,75 + 1,184 ⋅ = 0,676 ≤ 1 2147 176,7 0,633 ⋅ 0,714 ⋅ 1,0 1,0 450 36,75 + 0,896 ⋅ = 0,991 ≤ 1 2147 176,7 0, 287 ⋅ 0,714 ⋅ 1,0 1,0
tehát az interakcióra is megfelel.
45
