3. Srážky molekul, střední volná dráha •
Srážky jedné molekuly s ostatními molekulami stejného druhu za jednotku času zA = frekvence srážek
Zjednodušená představa: - molekuly jsou koule o průměru d - tzv. efektivní srážkový průměr, - srážka = jakýkoliv dotyk molekul,
d
- pouze vybraná molekula se pohybuje, ostatní jsou v klidu.
Za jednotku času urazí molekula průměrnou dráhu v a narazí do
v
všech molekul, které budou ve válci o poloměru d a výšce v . zA = πd 2v
N V
[ zA ] = s −1
Zpřesnění: všechny molekuly jsou v pohybu. Střední aritmetickou rychlost je třeba nahradit vzájemnou střední rychlostí . Vzájemná střední rychlost dvou rozdílných částic A a B v AB : vA
Částice se srážejí pod různými úhly z intervalu 0-180°, v průměru můžeme
. v AB
vB
uvažovat úhel 90°. Pro střední vzájemnou rychlost pak platí:
v AB = v A 2 + v B 2 v AB =
8kT ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟ . + π ⎝ mA mB ⎟⎠
Nadefinujeme-li tzv. redukovanou hmotnost µ dvou srazivších se částic A a B vztahem
1
µ
=
1 1 + mA mB
,
dostaneme pro jejich střední vzájemnou rychlost vztah formálně shodný se vztahem pro střední aritmetickou rychlost jedné částice
58
v AB =
8kT
πµ
,
který se pro případ srážky dvou stejných částic A zjednoduší
v AA =
8kT πmA
2
v AA = v 2 . Pro počet srážek jedné molekuly s ostatními molekulami stejného druhu za jednotku času pak dostaneme
z A = πd 2v 2
•
Vzájemné srážky všech molekul stejného druhu za jednotku času v jednotce objemu zAA
zAA = zAA =
•
N . V
1N zA [ zAA ] = m − 3 s −1 2V 2 2 ⎛N⎞ πd v ⎜ ⎟ 2 ⎝V ⎠
2
.
Vzájemné srážky molekul A s molekulami B za jednotku času v jednotce objemu zAB
z AB =
NA zA V
,
kde zA představuje počet srážek jedné molekuly A s ostatními molekulami B, ke kterým dojde za jednotku času
NA NB 2 πd ABv AB V V d + dB d AB = A . 2
zAB =
59
•
Střední volná dráha l
= průměrná dráha, kterou částice uletí mezi dvěma srážkami
l=
l=
v zA
1 N 2 πd 2 V
.
⇓ o
Střední volná dráha je nepřímo úměrná počtu částic v jednotce objemu – tedy tlaku plynu.
o
Střední volná dráha nezávisí na teplotě.
60
4. Transportní jevy Jako transportní jev se označuje jev, při kterém se v plynu transportuje (přenáší z jednoho místa na druhé) určitá molekulová vlastnost (energie, hybnost, látka). Konkrétně u plynů přichází v úvahu tři transportní jevy: •
Difúze = přenos látky z místa o vyšší koncentraci do místa o nižší koncentraci.
•
Tepelná vodivost = přenos energie z místa o vyšší teplotě do místa o nižší teplotě.
•
Viskozita = přenos hybnosti z místa o vyšší rychlosti do místa o nižší rychlosti.
Rychlost přenosu dané veličiny se vyjadřuje pomocí tzv. toku veličiny X J(X), který je definován jako množství této veličiny, která projde jednotkou plochy za jednotku času J (X ) =
1 dX . S dt
Z experimentálních pozorování víme, že tok dané veličiny je přímo úměrný příslušnému gradientu a probíhá proti tomuto gradientu. Př. Tok v kladném směru osy je kladný.
X
Veličina „teče“ v kladném směru osy z, ale její gradient je záporný J (X ) ∝ −
dX dz
z Pro jednotlivé transportní jevy byly experimentálně nalezeny tyto vztahy: •
difúze - 1. Fickův zákon J (látka ) = − D
•
dc dz
D - difúzní koeficient,
tepelná vodivost - Fourierova rovnice
J (energie) = −λ
dT dz
λ – koeficient tepelné vodivosti,
61
•
viskozita - Newtonův zákon laminárního toku J ( x - ová složka hybnosti) = −η
dv x dz
η - viskozitní koeficient
Viskozita
Viskozitní (brzdná ) síla vzniká jako důsledek pohybu plynu.
z
Budeme uvažovat případ, kdy se plyn pohybuje laminárně ve směru osy x podél pevné stěny. Laminární tok si lze představit tak, že se po sobě posouvají vrstvičky plynu. Vrstva přiléhající ke stěně se nepohybuje, rychlost následujících vrstev se
x
lineárně zvyšuje ve směru osy z. Molekuly plynu přeskakují mezi jednotlivými vrstvami a přitom přenáší do cílové vrstvy svoji hybnost (x-ovou složku), kterou měli v původní vrstvě. Vzdálenost mezi vrstvami lze ztotožnit se střední volnou dráhou, neboť hybnost molekul se mění při srážkách.
mv x
Do místa zo umístíme „okénko“ o jednotkové ploše a budeme počítat, kolik
(mv x )z +l
molekul s jakou hybností přeskočí do
o
(mv x )z
l o
d(mv x ) dz
tohoto okénka za jednotku času.
l
(mv x )z −l o
zo − l zo
zo + l
z
Do vrstvy v místě zo přeskakují jednak molekuly z nižší vrstvy - v místě z o − l , jednak z vyšší vrstvy v místě z o + l . Hybnosti v těchto vrstvách si můžeme vyjádřit pomocí hybnosti ve vrstvě zo a gradientu hybnosti. Vzhledem k lineární závislosti mvx je tento gradient konstantní (je roven směrnici dané přímky). Platí:
62
(mv x )z +l = (mv x )z o
o
(mv x )z −l = (mv x )z o
o
d(mv x ) dz d(mv x ) −l . dz +l
Pro tok x-ové složky hybnosti v kladném směru osy z platí
G 1N ⎡ d(mv x ) ⎤ v ⎢(mv x )zo − l J= 4V ⎣ d z ⎥⎦ v záporném směru osy z platí H d(mv x ) ⎤ 1N ⎡ J =− v ⎢(mv x )zo + l 4V ⎣ d z ⎥⎦ a tedy pro výsledný tok x-ové složky hybnosti dostaneme G H dv 1N J =J +J =− v lm x 2V dz ⇓
.
Tok hybnosti je úměrný gradientu rychlosti. Porovnáním s Newtonovou empirickou rovnicí dostaneme výraz pro viskozitní koeficient η
η=
1N 1 v l m = ρv l 2V 2
a po úpravě
1 2
η= m
1
πd
2
8kT 2 πm
.
⇓
o
η nezávisí na počtu částic v jednotce objemu, tedy na tlaku resp. hustotě plynu.
o
Se zvyšující se teplotou η vzrůstá.
63
