3. Silové působení na hmotné objekty

SÍLA A MOMENT SÍLY

- 10 -

3. Silové působení na hmotné objekty 3.1 Síla a její posuvné účinky V této kapitole si popíšeme vlastnosti silových účinků působících na konstrukce a reálné mechanické soustavy. Zavedeme kvantitativní popis síly jako vektorové veličiny charakterizující míru interakce (vzájemného působení) mezi tělesy. Účinek síly na hmotný objekt přitom může být statický nebo dynamický. Při dynamickém působení se mění pohybový stav studovaného objektu tj. dochází ke změně rychlosti jednotlivých bodů tělesa. Jsou li vazby působící na těleso takového charakteru, že těleso může konat jen pohyb posuvný (trajektorie všech bodů tělesa jsou stejné, navzájem posunuté křivky), pak rychlosti všech bodů tělesa jsou stejné. Při silovém působení je pak změna rychlosti všech bodů orientována ve směru působící síly a vztah mezi působící silou a vyvolanou změnou pohybového stavu je vyjádřen pomocí 2. Newtonova zákona d ( mv ) F= , (3.1) dt kde F je výslednice všech sil působících na těleso.

Při statickém účinku sil na těleso podrobené vazbám umožňujícím jen posuvný pohyb nedochází ke změně rychlosti, protože všechny síly působící na objekt jsou v rovnováze a jejich účinek se vzájemně vyruší. Platí tedy vztah F =0 (3.2) 3.2 Rozdělení sil Pojem síly vznikl generalizací a abstrakcí subjektivního lidského pocitu tahu nebo tlaku. Příkladem může být působení lana na konzolu Jeho abstrakce je reprezentovaná vektorem (viz obr.3.1), který leží na přímce p (nositelce síly) a prochází bodem tělesa (působištěm). Vzájemné působení těles přitom nemusí být uskutečňováno přímým kontaktem těles, nýbrž i působením na dálku tj. silovým polem. (např. polem gravitačním). Jak je z názoru popř. z obr. 3.1 zřejmé, pro určení síly jako fyzikální veličiny je nutné zadat místo jejího působení (působiště), směr, smysl působení (orientaci) na určité přímce (nositelce) a konečně velikost síly tj. míru intenzity jejího působení. Síla má tedy charakter vektoru vázaného na bod a její účinky na těleso jsou jednoznačně popsány pomocí působiště, velikosti, směru působení a orientace.

Obr.3.1


- 11 -

Graficky sílu znázorňujeme pomocí orientované úsečky F , počátek této úsečky (v případě že se jedná o tahovou sílu) nebo konec této úsečky (v případě že se jedná o tlakovou sílu) umisťujeme do působiště. Měřící jednotkou pro vyjádření velikosti síly je [F]=[kg.m.s-2]= [N] (Newton). Při znázorňování síly v rovině používáme měřítka tj. délka úsečky vektoru síly v geometrických jednotkách (např.v cm) je úměrná velikosti síly ve fyzikálních jednotkách (např. v Newtonech), šipka přitom určuje smysl působení síly. Jestliže působiště sil je omezeno na malou plošku, jejíž velikost můžeme oproti ploše povrchu hmotného objektu zanedbat tj. můžeme ji se zanedbatelnou ztrátou přesnosti soustředit do bodu, pak takové síly budeme nazývat soustředěné (bodové, izolované, osamocené) síly. V případě, že působení sil není omezeno na bod, pak budeme hovořit o spojitém silovém působení (např. síly na kontaktu pneumatiky s vozovkou, síly v čepech, gravitační síly působící v prostoru tělesa apod.).

3.3 Otáčivé účinky síly V případě, že vazby působící na těleso jsou takového charakteru, že umožňují pouze pohyb rotační (např. ložiska), pak při silovém působení může docházet otáčení tělesem tj. tělesa jsou uváděna do rotačního pohybu (viz obr. 3.7). Při dynamickém silovém působení je pak změna pohybového stavu při rotačním pohybu určena vztahem d (ω ) M o = Io (3.3) dt kde M o je výsledný moment od všech působících sil na těleso vzhledem k ose rotace o, Io je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace o a ω je úhlová rychlost rotace.

Při statickém působení je výsledný moment všech působících sil nulový a nedochází tedy ke změně hodnoty úhlové rychlosti. Platí tedy Mo = 0 (3.4)

0br. 3.2

3.3.1 Moment síly k bodu Pro schopnost síly otáčet tělesem se používá termín moment síly k bodu tělesa.Velikost točivého účinku přitom závisí jak na velikosti síly F, tak i na velikosti ramene p (viz obr.3.7).


- 12 -

Moment síly k bodu je pak vektor resp. kolem osy procházející kolmo na rovinu vytvořenou silou a polohovým vektorem jejího působiště. Předpokládejme že těleso je uloženo v bodě O, jehož poloha se nemění. Otáčivý účinek síly F s působištěm v bodě A k bodu O pak vyjadřujeme vektorem M O = rA x F (viz obr. 3.8). Moment síly k bodu je tedy vektor vázaný na bod O (k jinému vztažnému bodu je moment síly F jiný, proto používáme pro jeho označení vztažný bod O jako index), je kolmý na rovinu vytvořenou vektory rA a F a je orientovaný na tu stranu roviny, odkud se jeví otáčení v kladném smyslu (soustava vektorů rA , F , M O je pravotočivá). Směr vektoru M O určíme pomocí pravidla pravé ruky tak, že prsty ukazují směr otáčení a palec přitom ukazuje smysl orientace vektoru momentu – obr. 3.9. Při rovinných úlohách leží rameno síly i vektor síly v jedné rovině, kterou použijeme jako nákresnu. Moment síly pak označujeme kladně (+) pokud má tendenci otáčet těleso proti smyslu otáčení hodinových ručiček resp. záporným znaménkem (-) pokud má tendenci otáčet tělesem ve smyslu otáčení hodinových ručiček (tato dohoda odpovídá kladné resp. záporné orientaci vzhledem ke kartézské ose z vystupující z nákresny).

MO

Obr. 3.3

Obr. 3.4

Poznámka: Pro vektorový součin neplatí komutativní zákon tj. M O ≠ F x rA . Jak vyplývá z definice vektorového součinu, velikost MO=rAFsinϕ =F p=Ft rA, kde p=rA sin ϕ, Ft=Fsinϕ. Jsou-li vektory rA , F určeny souřadnicemi xA, yA, zA, Fx,, Fy,Fz pak moment M O je vyjádřen ve tvaru známém z vektorového počtu: i j k yA z A xAz A xA y A M O = xA yA z A = i −j +k = Fy Fz Fx Fy Fx Fz (3.5) Fx Fy Fz = ( y A Fz − z A Fy )i + ( z A Fx − x A Fz ) j + ( x A Fy − y A Fx )k


Obr. 3.5

- 13 -

Obr. 3.6

Výrazy v závorkách jsou souřadnicemi vektoru M O .

Z vlastností vektorového počtu přímo plynou dvě následující věty (tzv. Varignonovy).

M O = rA xF = rA x ( Fx + Fy + Fz ) = rA xFx + rA xFy + rA xFz ) ,

(3.6)

což můžeme slovy formulovat takto: Moment síly k bodu O je roven vektorovému součtu momentů od jejích složek. Tato věta se s výhodoupoužívá při numerických výpočtech hodnot momentů. Např. jestliže počítáme moment síly F k ose z, nepočítáme podle obr. 3.10 neboť neznáme vzdálenost p, ale výhodněji podle obr. 3.11. Obdobně, jestliže v bodě A působí soustava sil F1 ,.........,Fn , pak moment od této soustavy můžeme nahradit momentem od výslednice tj. platí M O = rA x Fv = rA x ∑ Fi = ∑ ( rA x Fi ) = ∑ M Oi ,

(3.7)

což můžeme formulovat takto: Moment od výslednice soustavy sil se společným působištěm je roven vektorovému součtu momentů od jednotlivých sil. Poznámka : Moment M O je nulový, jestliže velikost F je nula nebo nositelka nF prochází vztažným bodem O. 3.3.2 Moment síly k ose Moment síly k bodu je vždy kolmý na rovinu obsahující rameno síly a vektor síly. V praxi však často potřebujeme znát i otáčivý účinek síly vzhledem k ose rotace p, která není kolmá na vektor působící síly. Předpokládejme, že těleso je uloženo v ose p. Pak se toto těleso (obr.3.12) působením síly F s působištěm v A může otáčet kolem osy p. Moment síly k libovolnému bodu B ležícím na p je určen vztahem M B = rBA x F . Z toho je zřejmé, že moment M B je závislý na poloze vztažného bodu B na ose p tj. otáčivý účinek síly F k ose p nemůže být tedy charakterizován momentem M B . Musíme tedy nalézt takovou složku M B ,


- 14 -

která bude pro všechny body B přímky p stejná. Jak vyplývá z obr. 3.12, násobíme-li M B skalárně jednotkovým vektorem e p , pak dostaneme M B .e p = rBA x F .e p = rA x F .e p − rOB x F .e p = rA x F .e p , neboť rOB x F .e p = O . Veličina M B .e p je tedy stejná pro všechny body B ležící na přímce p a je to souřadnice vektoru M B vzhledem k ose p. Proto moment síly F působící v bodě A vzhledem k ose p definujeme pomocí vztahu: M p = M p .e p , kde M p = M B .e p = rBA x F .e p , B ∈ p (3.8) Moment síly F je tedy vektor vázaný k přímce p a je roven průmětu momentu síly F vzhledem k libovolnému bodu B ∈ p do osy p. Vyjádříme-li jednotlivé vektory rA , F , e p souřadnicemi, pak z vektorového počtu je známo, že smíšený součin a pro velikost momentu Mp můžeme použít vztah

(

)

(

)

(

)

(

)

(

xA

yA

zA

M p = Fx

Fy

Fz

(

)

)

=

cos α p cos β p cos γ p

(3.9)

= Fx z A cos β p + Fy x A cos γ p + Fz y A cos α p − Fx y A cos γ p − Fy z A cos α p − Fz x A cos β p Počátek O kartézské soustavy souřadnic je bodem osy x. Podle předcházejícího tedy platí, že x-ová složka momentu M Ox je rovna momentu M x k ose x. Podobně O je bodem osy y a osy z tj. platí M Ox = M x ,M Oy = M y ,M Oz = M z (3.10) Moment síly F k počátku O je tedy roven součtu (vektorovému) momentů téže síly F ke třem osám kartézského souřadného systému tj. můžeme psát MO = M x + M y + M z (3.11) Uvažujme nyní dva zvláštní případy: a) Síla F je rovnoběžná s osou p, takže potom platí M p = rBA x F .e p = F x e p .rBA = 0 b) Nositelka síly F protíná osu p. Pak položíme-li vztažný bod B do společného průsečíku, je rBA rovnoběžná s F tj. rBA x F = 0 a tedy opět Mp=0. Platí tedy: Moment síly F k ose p je nulový když nositelka síly F je rovnoběžná s osou p nebo když osu p protíná.

(

)

(

)


- 15 -

rBA

rOB

x

Obr. 3.7

3.3. 3 Moment silové dvojice Zvláštním případem silové soustavy je soustava dvou sil stejně velkých ale opačně orientovaných sil. Takové soustavě říkáme silová dvojice (obr.3.13) Silová dvojice má zvláštní vlastnosti, které využíváme v každodenním životě- např. otvírání kohoutku, otáčení volantu apod. Uvažujme silovou soustavu tvořenou dvěma silami F1 a F2 , které jsou stejně velké tj. F1=F2= F a opačně orientované tj. eF1 = − eF2 . Pak platí: FV = F1 + F2 = F + ( − F ) = 0 Pro výsledný moment sil F1 , F2 k bodu O platí M O = M 1O + M 2O = r1 x F + r2 x ( − F ) = r x F Jeho velikost M=F1 r sinϕ=konst Z těchto rovnic vyplývá, že při působení dvou stejně velkých, opačně orientovaných sil je FV = O a M 0 = M A = M = konst

Obr. 3.8


- 16 -

Silová dvojice má tedy vzhledem k libovolnému bodu A stejný rotační účinek a nulový účinek posuvný. Vektor momentu silové dvojice je tedy vektor volný v prostoru, jeho velikost je rovna součinu jedné ze sil a kolmé vzdálenosti obou nositelek, jeho orientace je kolmá na rovinu určenou nositelkami obou sil a jeho smysl je určen pravidlem pravé ruky (viz obr. 3.14).

Obr. 3.9

Obr. 3.10

Obr. 3.12

Obr. 3.11

Obr. 3.13


- 17 -

Vzhledem k tomu, že vektor momentu silové dvojice je vektor volný v prostoru, dvojicí lze 1) libovolně posouvat nebo otáčet v rovině (3.15) 2) libovolně posouvat do rovin navzájem rovnoběžných s rovinou dvojice sil (obr.3.16) 3) vykonat redukci dvojice (tj. nahradit jí jinou dvojicí) tak, aby platilo M=F1 p=F1´p´ (viz obr.3.17). Jestliže na těleso působí několik silových dvojic v navzájem rovnoběžných rovinách, můžeme je myšleně přemístit do bodu jedné roviny a algebraicky sčítat s ohledem na znaménka tj. M = ∑ M i . Jestliže silové dvojice působí v různoběžných rovinách, po přemístění do libovolného bodu prostoru je můžeme sčítat vektorově. Výsledný moment je M = M 1 + M 2 , přitom silová dvojice tohoto momentu leží v rovině kolmé na M (obr. 3.18). Působí-li na těleso n silových dvojic, pak všechny tyto dvojice můžeme nahradit v libovolném místě tělesa jejich momenty M 1 , M 2 ,… M n . Protože jde o vektory procházející jedním bodem, určíme výsledný moment jejich vektorovým součtem tj. MV = ∑ M i

Poznámka k označování: M B - moment síly F k bodu B M p - moment síly F k ose p M -moment silové dvojice ( F ,- F ) Při znázorňování silové dvojice v její rovině, tj. v rovině určené rovnoběžnými nositelkami, budeme užívat tuto symboliku (viz obr. 3.14a a 3.14b):

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔ (obr. 3.14a)

(obr. 3.14b)

⇔ ⇔


- 18 -

kde symbol ⇔ budeme dále používat pro ekvivalenci ať již z hlediska označování veličin tak i z hlediska mechanické ekvivalence. Poznámka 1: Pokud se bude dále vyskytovat název moment bez bližšího vymezení (nebude uváděn vztažný bod), bude se vždy jednat o moment silové dvojice. Poznámka2 : Samostatnou sílu nelze nahradit silovou dvojicí a samostatnou silovou dvojici nelze nahradit silou 3.3.4 Souvislost momentů síly Všechny dříve uvedené momenty mají stejnou fyzikální podstatu a stejný rozměr N.m. Rozdílná je však geometrická interpretace. V konečném výsledku otáčivý účinek vždy odpovídá působení silové dvojice. Souvislost mezi momentem síly k bodu, momentem k ose a momentem silové dvojice si ozřejmíme na příkladu dotahování matice klíčem (obr. 3.15). pɶ F1

F2 Obr. 3.15

Míra mechanického působení síly F k bodu O je dána velikostí síly a délkou ramene síly (kolmou vzdáleností p nositelky síly od osy otáčení). Co však způsobuje otáčení klíče? Vzhledem k nezbytné vůli potřebné k zasunutí klíče na matici dojde při působení síly F na klíč na okrajích matice k bodovým kontaktům v místech A a B tj. ke vzniku kontaktních sil F1 a F2 jak je naznačeno na obr. 3.15. Na matici tedy v místech A a B působí silová dvojice o točivosti Mk= F1 d. Utažení šroubu tedy způsobuje tato silová dvojice. Vezmeme-li momentovou podmínku vzhledem k bodu B, pak vidíme, že souvislost mezi velikostí sil F1 a velikostí zátěžné síly F je dána rovnicí Mk= F1 pd=F p. Jestliže se rameno síly F zvýší (např. prodloužením klíče pomocí trubky se rameno zvýší z hodnoty p na hodnotu pɶ ), pak je zřejmé, že při stejné velikosti síly F se zvýší i hodnota točivého účinku. Na matku tedy působí silová dvojice a ta je vektor volný v prostoru. Proto také při povolování matic na kole vozidla musíme začít s povolováním před vyheverováním vozidla (jinak se nám kolo protáčí v ose kola tj. v místě možného působení momentu silové dvojice Mk ). Při přenosu silových působení v technických zařízeních vzniká často moment silové dvojice mezi akční působící silou a silou reakční od rámu. Např. při otáčení volantu jednou rukou vzniká reakční síla v uložení hřídele řízení a způsobuje namáhání uložení. Zároveň vzniklá reakční síla vytváří s akční sílou působící na volant nežádoucí silovou dvojici která namáhá hřídel volantu. Dalším zdrojem namáhání hřídele volantu je od momentu silové dvojice vzniklých tečných složek reakcí mezi koly a vozovkou, který je na hřídel volantu přenesen přes čepy kol a převodku řízení.


- 19 -

3.4 Věty o silách a momentech Z axiomů mechaniky a z pravidel vektorového počtu vyplývají o silách a momentech důležité věty: V1 (Věta o posunutí síly)- Síla F je staticky ekvivalentní s každou silou stejné velikosti a smyslu ležící na nositelce nF. Jinými slovy- účinek síly na těleso se nezmění jestliže se působiště síly libovolně posune po nositelce. Síla je tedy vektor volný na přímce. V2 (věta o 2 silách)- dvě síly jsou v rovnováze tehdy a jen tehdy, jestliže leží na společné nositelce, jsou stejně velké a jsou opačně orientované. Jinými slovy - síla F je v rovnováze s každou silou stejné velikosti a opačného smyslu, obě síly však musí ležet na společné nositelce. Tyto 2 síly vytváří soustavu nulového vektoru. V3 (věta o 3 silách)- 3 síly jsou v rovnováze tehdy a jen tehdy jestliže se jejich nositelky protínají v jednom bodě, síly leží v jedné rovině (jsou komplanární) a součet dvou sil je stejně velký, ale opačně orientovaný než síla třetí V4 - K tělesu je možné přidat nebo ubrat rovnovážnou silovou soustavu aniž by se změnil jeho pohybový stav. V5 - Každou sílu můžeme jednoznačně rozložit v prostoru do 3 nekomplanárních směrů (směry přitom nemusí být na sebe kolmé). V rovině můžeme každou sílu rozložit do 2 různých směrů V6 (Varignonova věta 1) - Moment síly F vzhledem k libovolnému bodu je vektorovým součtem momentů od jejích složek k témuž bodu (platí i pro neortogonální složky). Např. v případě kartézské soustavy platí

(

)

M A = r x F = ( r x i ) Fx + ( r x j ) Fy + r x k Fz

V7 (Varignonova věta 2)- Moment výslednice centrální soustavy sil je roven vektorovému součtu momentů od jednotlivých sil M A = r x FV = r x ∑ Fi = ∑ M Ai

V8- Je-li moment síly k libovolnému bodu B roven MB, pak pro všechny body C přímky p, která je rovnoběžná s nositelkou síly F a prochází bodem B platí M B = MC V9 – Moment síly F k ose x je roven x-ové složce momentu síly F k libovolnému bodu B ležícím na x tj. platí M B = M x pro B ∈ x . Vzhledem k tomu, že počátek O kartézské

( )

x

soustavy je bodem ležícím na osách x, y, a z, platí pro něj MO = M x , MO = M y , MO = M z

( )

x

( )

y

( )

z

V10- Moment silové dvojice je vektor volný v prostoru V11- Moment silové dvojice M k libovolné ose p je roven průmětu vektoru momentu silové dvojice do směru osy


- 20 -

M p = M .e p

V12- Moment síly Mp vzhledem k přímce p je nulový jestliže nositelka F přímku protíná nebo je s ní rovnoběžná V13- 2 silové dvojice jsou v rovnováze tehdy a jen tehdy, jestliže jejich vektory jsou stejně velké, opačně orientované, a opačného smyslu (silové dvojice přitom nemusí ležet v rovnoběžných rovinách)

3. Silové působení na hmotné objekty

Recommend Documents