Management rekreace a sportu
3. Reálná čísla
3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních čísel. Tyto množiny se zavádějí a značí takto: •
Množina čísel přirozených N = {1, 2, 3,…}.
•
Množina čísel celých Z = {0, 1, -1, 2, -2,…}.
•
Množina čísel racionálních Q je množina čísel, která lze vyjádřit ve tvaru zlomku p , q
kde q ∈ N, p∈ Z. Množinu čísel racionálních chápeme včetně obvyklých operací sčítání, odčítání, násobení a dělení; ty jsou známy jako pravidla pro počítání s racionálními čísly. Jinými slovy lze říci, že "množina Q je uzavřena vzhledem k operacím sčítání, odčítání, násobení a dělení (s výjimkou dělení nulou)." To znamená, že například součin dvou racionálních čísel je opět číslo racionální. V praktických úlohách, ručních i pomocí kalkulátorů, se používá většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům předcházejí, však s racionálními čísly nevystačíme. Například již jednoduchá rovnice x2 = 2 nemá řešení, které je racionální číslo. Proto se zavádějí čísla iracionální Q′′,
např. √2, π aj. •
Množina čísel reálných, značí se R, je sjednocením množin racionálních a iracionálních čísel; R = Q ∪ Q′′. K názorné ilustraci slouží zobrazení reálných čísel jako bodů na číselné ose (obr. 3.1). Říká se pak, že množina reálných čísel obsahuje čísla, která vyplňují číselnou (případně reálnou) osu. Tím se míní fakt, že každému reálnému číslu odpovídá jediný bod číselné osy a naopak každému bodu číselné osy odpovídá jediné reálné číslo. Jinak řečeno, na číselné ose nejsou žádná "prázdná místa", k jejichž "zaplnění" by bylo zapotřebí jiných čísel než reálných. Není obtížné si nyní uvědomit, že kdybychom na číselné ose zobrazili pouze všechna racionální čísla, nebyla by číselná osa vyplněna; zůstala by na ní prázdná místa, k jejichž zaplnění by byla zapotřebí právě všechna iracionální čísla.
1
Management rekreace a sportu
3. Reálná čísla
Poznámka: 1) Jestliže přiřadíme do množiny přirozených čísel 0, pak tuto množinu označíme N0. 2) Pro uvedené číselné množiny platí tyto inkluze: N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.
3) O přesnějším zavedení reálného čísla se dozvíme v souvislosti s vyjádřením reálného čísla ve tvaru nekonečného desetinného zlomku.
a …
−2
b −1
0
1
2
…
R
Obrázek 3.1 Zobrazení čísel na číselné ose
AXIOMY OPERACÍ Vlastnosti operací sčítání a násobení reálných čísel jsou dány těmito axiomy: A1 a + b = b + a; ab = ba (komutativita). A2 a + (b + c) = (a + b) + c; a(bc) = (ab)c (asociativita). A3 Existuje jediné řešení rovnice a + x = b; pro a ≠ 0 existuje jediné řešení rovnice ax = b. A4 a(b + c) = ab + ac (distributivita). Úmluva: Pro stručnost se v dalším textu slovem "číslo" rozumí číslo reálné (pokud nebude uvedeno jinak).
AXIOMY USPOŘÁDÁNÍ Vedle operací s čísly lze čísla porovnávat co do velikosti. Přesněji řečeno, čísla lze uspořádat. Uspořádání je dáno těmito axiomy:
U1 Pro každou dvojici čísel a, b platí právě jeden ze vztahů a > b, a = b, a < b. U2 Je-li a < b a b < c, pak a < c. U3 Je-li a < b, pak a + c < b + c pro libovolné číslo c. U4 Je-li a < b a c > 0, pak ac < bc.
Z axiomů U1 - U4 se odvodí další vlastnosti uspořádání, které jsou známy jako pravidla pro počítání s nerovnostmi. V obvyklém smyslu se užívá zápisu a ≤ b (tj. a je menší
nebo se rovná b) a zápisu pro složenou nerovnost a < b < c (tj. a < b a současně b < c),
2
Management rekreace a sportu
případně
s
použitím
3. Reálná čísla
symbolu
≤.
Užitím
nerovností
se
definují
různé
typy
intervalů otevřený (a, b), uzavřený 〈a, b〉, polouzavřený (a, b〉, případně 〈a, b), neomezený s krajním bodem a (−∞, a), případně (a, ∞), neomezený oboustranně (−∞, ∞), jak jsou běžně
používány. S uspořádáním souvisí zobrazení čísel jako bodů na číselné ose. Nerovnost a < b má pak názorný význam bod a leží nalevo od bodu b (obr. 3.1)
ABSOLUTNÍ HODNOTA Absolutní hodnota čísla a je číslo a = a 2 . Častěji se definice uvádí ve tvaru (e) dále
uvedených vlastností absolutní hodnoty, je nicméně ve shodě s geometrickou interpretací, totiž že absolutní hodnota čísla je rovna jeho vzdálenosti od počátku 0 číselné osy. Ztotožníme-li číselnou osu s osou x souřadnicového systému v rovině a použijeme-li vzorec pro vzdálenost bodů A = [a, 0], B = [0, 0] v rovině dostáváme
(a − 0 )2 + (0 − 0 )2
= a2 = a .
Vlastnosti absolutní hodnoty : (a) a ≥ 0 . (b) a = − a . (c) a ≤ a . (d) − a ≤ a (e) Je-li a ≥ 0 , pak a = a ; je-li a < 0 , pak a = − a . (f) a + b ≤ a + b . (tzv. trojúhelníková nerovnost) (g) ab = a b ,
z z1 = 1 . z2 z2
HORNÍ A DOLNÍ MEZ, OMEZENÁ MNOŽINA Buď M ⊆ R. M je shora omezená, existuje-li takové číslo h, že pro každé x ∈ M platí x ≤ h; h je horní mez. M je zdola omezená, existuje-li takové číslo d, že pro každé x ∈ M platí
3
Management rekreace a sportu
3. Reálná čísla
d ≤ x; d je dolní mez. M je omezená, je-li omezená shora i zdola. Geometrický smysl je patrný z obr. 3.2 (tučně jsou vyznačeny body odpovídající číslům z M). Nerovnost x ≤ h vyjadřuje, že číslo h je "horní mez", za niž se prvky z M "nedostanou", nerovnost d ≤ x vyjadřuje, že číslo d je dolní mez, před niž se prvky z M "nedostanou". d
h 0
R
Obrázek 3.2 Omezená množina
Příklad: (a) Množina sudých čísel {2, 4, 6,…} } není shora omezená, neboť ať zvolíme jakkoliv velké číslo h, existuje vždy takové sudé číslo n, pro něž platí n > h. Tato množina je však zdola omezená, dolní mez může být například d = 0; je patrno, že dolních mezí existuje nekonečně mnoho, největší z nich (tzv. infimum) je 2. (b) Buď M množina čísel, která lze vyjádřit ve tvaru
omezená, neboť
5n + 3 , kde n je přirozené číslo. M je shora n+1
5n + 3 5n + 3 < ≤ 5 + 3 = 8 . Číslo 8 lze volit za horní mez. Vzniká otázka, zda horní n +1 n
mez 8 není zbytečně velká. Ukážeme, že ji lze zmenšit. Platí
5n + 3 2 = 5− < 5 . Odtud vyplývá, že n +1 n+1
za horní mez lze volit číslo 5. Menší číslo za horní mez volit nelze, neboť zvolíme-li libovolné číslo Z < 5, pak lze vždy najít no tak, že platí Z < 5 −
2 < 5 . Číslo 5 lze prohlásit za nejmenší horní mez no + 1
(tzv. supremum). M je zdola omezená, neboť platí dolní mez 1 nelze zvětšit. Platí
5n + 3 n + 1 > = 1 . Vzniká podobná otázka, zda n +1 n +1
5n + 3 2 = 5− ≥ 4 . Číslo 4 lze tedy volit za dolní mez. Větší číslo za n +1 n +1
dolní mez volit nelze, neboť pro n = 1 je
5n + 3 = 4 . Číslo 4 lze prohlásit za největší dolní mez n +1
(tzv.infimum). M je omezená.
Analogické úvahy jako v příkladu (b) jsou běžné v aplikacích například hledání co nepřesnějšího odhadu intervalu, ve kterém se nacházejí hodnoty sledované veličiny, odhad chyby při numerických výpočtech apod. Je přirozené hledat za horní mez číslo pokud možno nejmenší, za dolní mez číslo pokud možno největší. Největší dolní mez ze všech dolních mezí
4
Management rekreace a sportu
3. Reálná čísla
množiny M se nazývá infimum množiny M (značí se inf M), nejmenší horní mez ze všech horních mezí množiny M se nazývá supremum množiny M (značí se sup M).
NEKONEČNÉ DESETINNÉ ZLOMKY Pojem nekonečného desetinného zlomku (NDZ) souvisí s vyjádřením čísla v tzv. desetinném tvaru, jak se běžně užívá na střední škole. Například
13 = 4,333 … , 3
3 = 1,5000 … , 2
3 = 1,7320508 … . Výrazy na pravé straně mají tvar
a 0 , a1a 2 a3 … ,
(3.1)
kde ao je číslo celé a a1, a2, a3,… jsou čísla nabývající hodnot 0, 1,…, 9 hrající roli číslic za desetinnou čárkou. (3.1) je zkráceným zápisem "nekonečného" součtu
a0 +
a a1 a 2 + + 3 +…, 10 100 1000
(3.2)
který obsahuje zlomky mající ve jmenovateli rostoucí mocniny čísla 10. Proto se (3.1), případně (3.2) nazývá nekonečný desetinný zlomek a hovoří se o vyjádření čísla ve tvaru nekonečného desetinného zlomku. Platí důležité tvrzení: Každé reálné číslo lze vyjádřit nekonečným desetinným zlomkem a naopak, každý nekonečný desetinný zlomek vyjadřuje reálné číslo. Ze střední školy víme, že v případě, že reálné číslo je racionální, je příslušný skupina
nekonečný
desetinný
číslic perioda
zlomek
stále
periodický,
opakuje
tj.
od
(vyznačuje
se
určitého
indexu
pruhem),
se
například
309 = 0,31212 … = 0,312 . V případě, že reálné číslo je iracionální, je neperiodický, 990 tj. neexistuje žádná skupina číslic, která by se opakovala, například
200 = 14,142136 … .
Jak najdeme vyjádření reálného čísla ve tvaru nekonečného desetinného zlomku? Pro racionální čísla jej dostaneme jako výsledek prostého dělení ( 0 se vynechává):
5
Management rekreace a sportu
3. Reálná čísla
Příklad:
1 31 1 = 0,1666 … = 0,16 ; = 0,31000 … = 0,310 = 0,31 ; = 0,142857142857 … = 0, 142857 . 6 7 100
Často je zapotřebí naopak racionální číslo ve tvaru nekonečného desetinného zlomku vyjádřit jako podíl (zlomek). Pak lze užít postupu, jak je uvedeno v následujícím příkladu.
Příklad: (a) Vyjádříme 0, 45 jako zlomek. Platí a = 0, 45 , po vynásobení 100 je 100 a = 45, 45 , což lze přepsat jako 100 a = 45 + 0, 45 tedy 100 a = 45 + a , odtud 100 a − a = 45, 99a = 45 a nakonec a =
45 5 = . 99 11
(b) Vyjádříme 1, 3 jako zlomek. Platí a = 1, 3 , po vynásobení 10 je 10 a = 13, 3 , což lze přepsat jako
10a = 12 + 1, 3 , tedy 10 a = 12 + a , odtud 10 a − a = 12, 9a = 12 a nakonec a =
12 4 = . 9 3
(c) Vyjádříme 1,35 jako zlomek. Platí a = 1,35 , po vynásobení 10 je 10 a = 13, 5 , po opětovném vynásobení 10 máme 100 a = 135, 5 což lze přepsat jako 100a = 122 + 13, 5 , tedy 100 a = 122 + 10a , odtud 100 a − 10a = 122, 90a = 122 a nakonec a =
122 61 = . 90 45
(d) Vyjádříme 2,2135 jako zlomek. Platí a = 2,2135 , po vynásobení 100 je 100 a = 221, 35 , po opětovném vynásobení 100 máme 10000 a = 22135, 35 což lze přepsat jako 10000 a = 21914 + 221, 35 , tedy 10000 a = 21914 + 100a , odtud 10000 a − 100 a = 21914 a nakonec a =
21914 10957 = . 9900 4950
Pro iracionální čísla je třeba použít numerických metod. Tyto hodnoty jsou uvedeny v tabulkách, případně je lze získat použitím kalkulátoru. V některých případech (například u odmocnin) lze "ručním" způsobem najít výsledek na předem zadaný počet platných desetinných míst.
Příklad: Určíme přibližně
2 na 4 platná desetinná místa. Zřejmě pro
2 platí 1 < 2 < 2 , neboť 12 = 1, 22 = 4.
Dále uvažujeme čísla 1,1; 1,2;…; 1,9. Dostáváme 1,42 = 1,96, 1,52 = 2,25, tedy 1,4 < 2 < 1,5 . Analogicky uvažujeme 1,41; 1,42;…; 1,49. Platí 1,412 = 1,9881, 1,422 = 2,0164, tedy 1,41 < 2 < 1,42 (v této chvíli je
2 určena na jedno platné desetinné místo). Pokračujeme-li tímto způsobem dále, určíme na libovolný počet platných desetinných míst. Dostáváme:
1< 2 < 2 1,4 < 2 < 1,5
6
2
Management rekreace a sportu
3. Reálná čísla
1,41 < 2 < 1,42 1,414 < 2 < 1,415 1,4142 < 2 < 1,4143 1,41421 < 2 < 1,41422 ⋮ Z posledního vztahu vyplývá
2 = 1,4142 … při výpočtu jsme použili umocňování, které lze provádět
"ručně", případně užitím jednoduchého kalkulátoru se základními operacemi.
V popsané konstrukci nekonečného desetinného zlomku lze použít místo čísla 10 i jiného přirozeného čísla. Fakticky jde o vyjádření čísla v jiné číselné soustavě. V době, kdy začínala éra počítačů a programy musely být psány v tzv. strojovém kódu, bylo zapotřebí čísla v obvyklé desítkové soustavě převádět pro účely zpracování počítačem do soustav jiných (zejména dvojkové, osmičkové, šestnáctkové), které bezprostředně odpovídaly způsobu zobrazení čísla v počítači. Tyto starosti nám dnes naštěstí odstranily programovací jazyky spolu s překladači.
Cílové znalosti
1. Základní charakterizace množin přirozených, celých, racionálních, iracionálních a reálných čísel. 2. Řešení rovnic a nerovnic s absolutními hodnotami. 3. Rozhodnout o omezenosti množiny. 4. Vyjádření čísla ve tvaru nekonečného desetinného zlomku.
7
Management rekreace a sportu
3. Reálná čísla
III. Reálná čísla_CVIČENÍ 1. Pro která x má smysl výraz:
a)
2 − 4x 3x − 6 . b) log . c) 3 5
1 5 − 2x
.
2. Řešte nerovnici:
a)
3 − 2x 5x + 2 2x − 1 x + 3 7x + 2 x +8> − x . b) + < − . 5 2 2 4 3 6
c) (x − 3) < x(x + 2 ) + 3 . 2
3. Která přirozená čísla vyhovují nerovnici:
a)
2x −1 3 − 2x 4 x − 3 3x − 4 2 x − 5 x −1 . b) . − < 3− < − 5 4 2 5 2 3
4. Která záporná čísla vyhovují nerovnici:
a)
2x − 1 x +1 x −1 4 x − 3 3x − 4 2 x − 5 . b) . − −3< < − 5 2 3 5 2 2
5. Dokažte, že pro x ≥ 0, y ≥ 0 platí
xy ≤
x+ y . 2
6. Pro která x nabývají zlomky kladných hodnot:
a)
2x − 3 2x − 1 . b) . 7 − 3x 3 + 2x
7. Která celá čísla vyhovují soustavě nerovnic 3x − 10 > 0 ,
8. Řešte nerovnici: a) x 2 + x − 6 ≥ 0 . b) 2 x 2 + 3x − 5 ≤ 0 .
8
16 x − 51 < 6 . 3
Management rekreace a sportu
3. Reálná čísla
9. Řešte rovnici: a) 2 x + 1 + 2 x − 1 = 3 . b) 2 x + 1 − 2 x + 1 = 2 x .
10. Určete dolní a horní mez zadané množiny M a rozhodněte zda je zdola, příp. shora, omezená, příp. omezená:
{
}
a) M = 3, 5 . b) M = (0, 10 . c) M = (− 1,1) . d) M = {− 1, − 2, − 3, …}. e) M = 2 − n ; n ∈ N .
1 5n + 3 f) M = 1 + ; n ∈ N . g) M = ; n ∈ N . n n +1
11. Vyjádřete nekonečný desetinný zlomek jako podíl: a)
0, 2 . b) 0, 35 . c) 3, 142 . d) 1,216 .
12. Určete
na
3
platná
desetinná
místa
s odmocninami:
a)
5 . b)
30 . c)
200 .
9
bez
použití
tabulek
nebo
kalkulátoru
Management rekreace a sportu
3. Reálná čísla
VÝSLEDKY CVIČENÍ
1 5 ; b) x > 2 ; c) x < . 2 2
1.
a) x ≤
2.
a) x < 4 ; b) x > −
3.
a) x ∈ {1, 2, 3 } ; b) x ∈ N .
4.
18 a) x ∈ − , 0 ; b) x ∈ (− 8, 0) . 13
6.
3 1 3 7 a) x ∈ , ; b) x ∈ − ∞, − ∪ , ∞ . 2 2 2 3
7.
x ∈ { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} .
8.
5 a) x ∈ (− ∞, − 3 ∪ 2, ∞ ) ; b) x ∈ − , 1 . 2
9.
3 a) x = ± ; b) x = 1 . 4
5 3 ; c) x > . 4 11
10. a) inf M = 3, sup M = 5 , M je omezená; b) inf M = 0, sup M = 10 , M je omezená; c) inf M = −1, sup M = 1 , M je omezená; d) sup M = −1 , M je shora omezená; e) inf M = 0, sup M =
1 , M je omezená; f) inf M = 1, sup M = 2 , M je omezená; 2
g) inf M = 4, sup M = 5 , M je omezená. 11. a) a = 12. a)
2 602 35 3139 ; b) a = ; c) a = ; d) a = . 99 999 9 495
5 = 2,236 ; b)
30 = 5,477 ; c)
30 = 14,142 .
10
