3. Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Tóth Bence fizikus, 2. évfolyam
2005.03.04. péntek délelőtt beadva: 2005.03.11.
1
1.
A mérés első részében a megvastagított végű rúd (a D jelű) felharmonikusait keressük. A satuba fogott rúdra a tűt kb. másfél centiméterre tettem a befogástól, a mágnest egészen a másik végéhez, és elkezdtem felfele tekerni a frekvenciát.
Az első pont, ahol a feszültségmérő maximumot vett fel ν=(182,139±0,001)Hz -nél volt. Ez az érték és a hozzá tartozó hiba persze nem a konkrét maximum helyhez tartozó értékeké, hanem ahhoz a feszültséghez tartozó frekvenciáé, amelyet ránézésre maximumnak láttam. Magának a rezonanciafrekvenciának a beállításán kb. ±0,05Hz-es hiba van, és ha később majd sokkal pontosabb értéket írok, akkor is erre kell gondolni Feltettem, hogy ez az alapharmonikus. Beírtam ezt az értéket a következő felharmonikus elméleti helyét megjósoló képletbe i-re 1-et behelyettesítve, kijönnek számok. Ezek pontossága félrevezető, főleg mert annyira pontosan nem lehet soha meghatározni a maximumhelyet, hogy a számolt értékek hibáján belül legyenek a felharmonikusok, úgyhogy ez ennél a pontosságnál pusztán matematika lenne, ezért a beállítás pontosságát írtam be. ν 0i k i = ν 00 k 0
2
2
4,69409 ν01= *182,139=(1141,450±0,05)Hz jön ki. 1,87510 Ennek közelében meg is találtam az első felharmonikust: ν01=(1,14110±0,00001)kHz
-nél. Tehát jó volt a feltételezés, hogy az elsőnek talált érték az alapharmonikus. Kiszámoltam a többi felharmonikus lehetséges helyét: 2
7,85476 ν02= *182,139=(3196,097±0,05)Hz 1,87510 2
10,9955 ν03= *182,139=(6263,023±0,05)Hz 1,87510 A mért értékek: ν02=(3,14348±0,00002)kHz ν03=(6,28761±0,00002)kHz
A frekvenciák kétszeresénél nem találtam gerjesztést, tehát ezek azok voltak, amelyek a rúd sajátfrekvenciáit gerjesztik. Az értékek felénél kiszámoltam a feles gerjesztéseket. Itt már oda sem mertem írni a számolt értékek hibáit, hiszen analóg eszközzel és ilyen „durva” frekvenciaállításnál ezek nem határozhatók meg ennyire pontosan:
2
ν00’=91,070Hz ν01’=570,55Hz ν02’=1,57174kHz ν03’=3,143805kHz
A kimérésnél többnyire pontosan kijöttek az előre jelzett értékek: ν00’=(91,2576±0,0006)Hz ν01’=(570,546±0,004)Hz ν02’=(1,60699±0,00002)kHz ν03’=(3,04581±0,00004)kHz
Az eltérései a mért és a számított értékeknek, ahol i a rezonanciafrekvencia i' a rezonanciafrekvencia fele: i számolt(Hz) mért(Hz) 0’ 91,070
91,2576
1
1141,10
1141,450
1’ 570,55
570,546
2
3143,48
3196,097
2’ 1571,74
1606,99
3
6263,023
6287,61
3’ 3143,805
3045,81
(ki/k0)2
ν0i/ν00
6,266917
6,264995
eltérés 0,031%
17,547570 17,25868705 1,67% 34,385956 34,520943
0,39%
Tehát akármennyire „pontatlan” a beállítás, mindig 2%-on belül marad a hiba.
3
2.
A mérés második részében ugyanennek a rúdon az első felharmonikus körül az amplitúdó frekvenciafüggését mértem ki. Figyeltem a feszültséget és voltonként megnéztem a frekvenciát.
ν(Hz) 1124,5795 1131,5390 1133,8660 1135,3480 1136,4765 1137,3535 1137,7775 1138,0590 1138,4030 1138,7145 1139,0260 1139,2960 1139,6550 1139,9535 1140,4500 1141,0530 1141,6825 1142,1385 1142,4830 1142,8710 1143,1625 1143,4260 1143,7595 1144,0810 1144,4375 1144,7690 1145,6420 1146,7960 1148,2100 1150,6580 1158,6130
A(mV) 4 7 9 11 13 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 13 11 9 7 4
Itt azt a frekvenciaértéket írtam be megint, amit a multiméter mutatott. Mindig benne van a leolvasásból származó ±0,5mV-os hiba, de ezt ugye nem lehetett betenni a rezon.exe-be Ezeket aztán egész értékre kerekítettem és beírtam a rezon.exe-be, és néhány iterálás után a következő ábrát kaptam:
Amplitudó (mV) 30
25 ∗
∗
∗
∗
20 ∗ ∗
∗
15 ∗
∗
∗
∗
10 ∗
∗
∗
∗
5 ∗
∗
0 1120
1125
1130
1135
1140
1145
Frekvencia (Hz)
Az elméleti görbe paraméterei: Amax=24,66939Hz f0=1140,578Hz Df=5,757263Hz y0=-0,1267415mV Én a Df-re (5,70±0,05)Hz-et mértem geometriai módszerrel (vagyis az ábráról).
4
1150
1155
1160
Df-ből κ: ∆D f 0,05 = =0,00877 Df 5,70
κ=∆ν*π=Df*π=(18,1±0,2)Hz
A rúd adatai tolómérővel mérve: hosszúság: mind az öt mérésből 0,0999m jött ki. szélesség: kétszer 0,0150m, háromszor 0,0151m-t mértem, ezek átlaga 0,01506m. magasság: mind az ötször 0,0021m lett. A sűrűségre az irodalmi ρCu=8920kg/m3-t vettem. ∆ai=ai-a (m) (∆ai)2*10-9 (m2)
i ai(m) 1 2 3 4 5
0,0150 0,0151 0,0151 0,0151 0,0150
-0,00006 0,00004 0,00004 0,00004 -0,00006
3,6 1,6 1,6 1,6 3,6
ahol ai a rúd alapja az i-edik mérés szerint a =0,01506m 5
sa =
∑ (∆ a )
2
i
i =1
5*4
= 2,45*10-5m
a=(0,01506±0,00002)m
Az első felharmonikust többször megmértem a beállítási pontosság ellenőrzéséhez: i ν01i(kHz) ∆ν01i=ν01i- ν01(Hz)
(∆ν01i)2(Hz2)
1 1,141053
-0,03067
0,0009404
2 1,141103
0,01933
0,0003738
3 1,141095
0,01133
0,0001284
ahol ν01i az első felharmonikus az i-edik mérés szerint. ν01 =1141,084Hz 3
sν = 01
∑ (∆ ν
01i
i =1
3* 2
)2
=0,0155 Hz
5
Tehát az első felharmonikus viszonylag pontos helye: ν01=(1141,08±0,02)Hz
A Young-modulusz hibája: ∆E ∆ν ∆l ∆b 0,02 0,00005 0,00005 =2 +4 + 2 =2 +4 +2 =0,05015 E ν0 l b 1141,08 0,0799 0,0021 És a Young-modulusz:
ω i0 l 2 2 k E= i I
2
ν 10 * 2π * l 2 2 k1 ρq = I
=(3,3±0,2)*1010Pa
2
1141,084 * 2 π * 0,0799 2 4,69409 2 ρq = 1 0,01506 * 0,00313 12
Ez még éppen 5%-os hibahatáron belül van.
6
2
8920 * 0,00003163 =
3.
A mérés harmadik részében a 12. számú rúd alapharmonikusának függését a rezgő hossztól mértem ki. A rudat egyre beljebb (centiméterenként) toltam a satuba, míg a tű mindig a befogástól 1cm-re levő karcolaton volt.
A rúd adatai újra tolómérővel mérve: hosszúság: mind az öt mérésből 0,0999m jött ki a teljes hosszra, a befogásnál leolvasási hibán belül (±0,05mm) a mérendő hosszra állítottam. szélesség: háromszor 0,0150m, kétszer 0,0151m lett, ezek átlaga 0,01504m. magasság: mind az ötször 0,0031m -t mértem. tömeg: 0,012127kg
rúdhosszúság(m) alapfrekvencia(Hz) 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04
180,024 244,015 345,866 471,433 715,360
Az alapharmonikus 1/l2-es függése Gnuplottal ábrázolva: 800
f(x) "hossz.txt"
700
ν00 (Hz)
600
500
400
300
200
100 150
200
250
300
350
400
1/l2 (1/m2)
7
450
500
550
600
650
Az egyenes paraméterei hiba.exe-vel számolva: az egyenes meredeksége valamint tengelymetszete
m=1,12±0,03 b=16,0±12,6
∆E ∆m ∆b 0,03 10 =2 +2 =2 +2 =1,05 E m b 1,12 20
Innen a Young-modulusz: 4π 2 ρq 2 4π 2 m = 4 4,69409 4 k1 I
2700 * 0,0000466 1,122=(0,34±0,36)*109Pa 1 3 0,01504 * 0,0031 12 Ez rémes érték, de akárhogy próbálkoztam a mért pontok kiválasztásával, Gnuplot használatával, nem jött ki lényegesen jobb eredmény.
E=
8
