Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Bentuk umum : ax² + bx + c = 0 x variabel; a,b,c konstanta ; a ≠ 0 Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan. Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara 1. Memfaktorkan ax² + bx + c = 0 → ax² + bx + c = 0 → a (x + p/a) (x + p/a) = 0 → x1 = - p/a dan x2 = - q/a dengan p.q = a.c dan p + q = b 2. Melengkapkan bentuk kuadrat persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi (x + p)² = q² → x + p = ± q x1 = q - p dan x2 = - q - p
3. Rumus ABC
ax² + bx + c = 0 → X1,2 = ( [-b ± √(b²-4ac)]/2a bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga sehingga X1,2 = (-b ± √D)/2a
Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan
1. D > 0 x1 = (-b+√D)/2a ; x2 = (-b-√D)/2a PK mempunyai dua akar nyata berbeda
2. D = 0 x1 = x2 = -b/2a
PK mempunyai dua akar nyata yang sama tt 3. D < 0 Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.
syarat akar nyata/ada/riil : D ≥ 0
Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akarakarnya. Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu: X1 = (-b+√ √D)/2a dan X2 = (-b-√ √D)/2a didapat hubungan X1 + X2 = -b/a
X1.X2 = c/a
Perluasan Untuk Akar-Akar Nyata
1. Kedua akar nyata berlawanan Maksudnya : X1 = -X2 syarat : D > 0 X1 + X2 = 0 → b = 0 Ket: X1 + X2 = 0 → -b/a = 0 → b = 0
2. Kedua akar nyata
berkebalikan
Maksudnya : X1 = 1/X2 syarat : D ≥ 0
X1 - X2 = √D/a
X1 . X2 = 1 → a = c Ket: X1 . X2 = 1 → c/a = 1 → a = c
3. Kedua akar nyata positif Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0 syarat : D ≥ 0 X1 + X2 > 0 X1 . X2 > 0
4. Kedua akar nyata negatif maksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0 syarat: D ≥ 0 X1 + X2 < 0 X1 . X2 > 0
5. Kedua akar nyata berlainan tanda Maksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0 syarat : D > 0 X1 . X2 < 0 Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti
6. Kedua akar rasional Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk √ syarat : D = bentuk kuadrat D = (0,1,4,9,16,25...) Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda √ , sehingga X1 dan X2 rasional
Bentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula. Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2) 1. X1² + X2²
= (X1 + X2)² - 2X1.X2 = (-b/a)² + 2(c/a)
2. X1³ + X2³
= (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2) = (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)
3. X14 + X24
= (X1²+X2²)² -(X1²X2²) = [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)² = [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²
4. X1²X2 + X1X2²
= X1X2(X1+X2) = c/a (-b/c)
5. 1/X1 + 1/X2
= (X1+X2)/X1+X2 = (-b/a)/(c/a) = -b/c
6. X1/X2 + X2/X1
= (X1²+X2²)/X1X2 = ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2
7. (X1-X2)²
= (X1+X2)² - 4X1X2 atau [√ √D/a]² = D/a²
8. X1² - X1²
= (X1+X2)(X1-X2) = (-b/a)(√ √D/a)
Bedakan Istilah Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)
dengan Kuadrat Jumlah (X1+X2)²
Menyusun Persamaan Kuadrat
KEDUA AKARNYA KUADRAT Andaikan akar-akarnya X1 dan X2 1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X - X1)(X - X2) = 0 2. Menggunakan sifat akar X² - (X1+X2)X + X1 . X2 = 0
KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI Andaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX²+bX+c=0 yang diketahui 1. Hubungan tidak beraturan [y1 = f(X1,X2) dan y2 = f(X1,X2)] Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru. Langkah: Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing merupakan fungsi dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2) dan (X1 . X2) didapat dari persamaan kuadrat yang diketahui. Persamaan Kuadrat baru : y² - (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0
2. Hubungan beraturan (hal khusus) Akar-akar baru p lebihnya (X1+p) dan (X2+p)
p kurangnya (X1-p) dan (X2-p)
Hubungan y=X+p → X = y-p
y=X-p
PK Baru a(y-p)² + b(y-p) + c =0
a(y+p)² + b(y+p) + c = 0
→X=y+p
p kali pX1 dan pX2
y = pX
→ X = y/p
kebalikannya 1/X1 dan 1/X2
kuadratnya X1² dan X2²
a(y/p)²+b(y/p)+c=0
y=1/X X= 1/y
a(y/p)² + b(1/y) + c = 0 atau cy²+by+a = 0
y = X² → X = √y
a(√y)² + b(√y) + c = 0 atau a²y + (2ay-b²)y + c² = 0
Sifat-Sifat
Antara dua bilangan a dan b terdapat hubungan :
a > b ; a = b atau a < b
1. a > b → a - b > 0 a=b→a-b=0 a
0
3. Ditambah/Dikurangi dengan bilangan yang sama a
{
a+c
4. 5. Dikali/Dibagi dengan bilangan positif yang sama
}
a0
→
{
ac < bc a/c < b/c
6. Tanda tetap
7. Dikali/dibagi dengan bilangan negatif yang sama
}
a
→
{
ad > bd a/d > b/d
8. 9. Pangkat Genap a>0;b>0 a
}
→
a² < b²
TANDA TETAP
}
→
a² > b²
TANDA BERUBAH
10. a<0;b<0 a
a
{
a³ < b³ → TANDA TETAP
a5 < b5 7
a
7
13. 14. Kebalikan a>0;b>0 a
}
→
1/a > 1/b
TANDA BERUBAH
TANDA BERUBAH
a<0;b<0 a
}
→
1/a > 1/b
TANDA BERUBAH
Garis Bilangan
Dipergunakan untuk mengetahui nilai (+/-) suatu fungsi pada interval tertentu. Batas pada garis bilangan didapat dari harga nol fungsi (angka yang menjadikan fungsi bernilai 0), sehingga fungsi bernilai nol pada batas tersebut, dan bernilai (+/-) pada interval lainnya. Untuk menentukan nilai (+/-) suatu fungsi dalam suatu interval, langkah pertama adalah mencari nilai nolnya sebagai batas interval pada garis bilangan, kemudian substitusi sembarang bilangan yang mewakili suatu interval. Untuk memudahkan mengetahui daerah (+/-) biasanya dicek angka 0 atau daerah yang diuji adalah daerah paling kanan (bilangan besar sekali) sehingga tanda (+/-) cukup dengan melihat hasil perkalian/pembagian tanda dari koefisien variabel. Bila hasil substitusi tersebut bernilai positif maka interval di mana bilangan itu berada adalah juga bernilai positif, bila hasil substitusi tersebut bernilai negatif maka interval di mana bilangan itu berada juga bernilai negatif.
Cara Menentukan Penyelesaian Beberapa Garis Bilangan Andaikan a < b
Ambil yang paling kiri Ambil yang paling kanan Ambil yang berada diantaranya contoh :
1. UNTUK BATAS TUNGGAL f(x) = (x - a) (x - b) f(x) < 0 untuk a < x < b f(x) > 0 untuk x < a atau x > b
HAL KHUSUS Bila koefisien x² adalah (+), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut:
(+)
|
(-)
|
(+)
Bila koefisien x² adalah (-), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut :
(-)
|
(+)
|
(-)
2. UNTUK BATAS RANGKAP f(x) = (x - a)² (x - b)
(-)
||
a
f(x) < 0 untuk x < b ; x
|
f(x) = (x - a) (x - b)²
(+)
(-)
b
≠a
f(x) > 0 untuk x > b
|
a
||
(+) b
f(x) < 0 untuk x < a
f(x) untuk x > a ; x ≠ b
Ket : bila melewati batas tunggal (rangkap ganjil) maka tanda pada interval berikutnya berubah, bila melewati batas rangkap genap maka tanda pada interval berikutnya tetap.
Jenis-Jenis Pertidaksamaan
A. PERTIDAKSAMAAN LINIER (PANGKAT SATU)
Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x. Penyelesaian: Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta. Contoh : 2x - 3 > 5 → 2x > 5 + 3 ijgeiirjirijrigir j 2x > 8 gehghhejehh2x > 2
gambar
B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR) Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar. Penyelesaian: •
Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang. (Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau sebaliknya).
•
Kuadratkan kedua ruasnya. (tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).
•
Selesaikan pertidaksamaannya ................. (1) syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (≥ 0)...(2) (pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)
•
Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.
Contoh: 1. √(x-2) < 2 → kuadratkan x-2<4 x<6 → syarat : x-2≥0 x≥2
2≤x<6
2. √(-x + 3) - √(2x + 1) > 0 seimbangkan √(-x+3) > √(2x+1) → kuadratkan -x + 3 > 2x + 1 3x < 2 x < 2/3 → syarat : -x + 3 ≥ 0 → x ≤ 3 dan
2x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1/2
-1/2 ≤ x < 2/3
C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (PANGKAT DUA) Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya : ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a
≠ 0.
Penyelesaian: • • • • • •
Jadikan ruas kanan = 0 Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran) Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier. Tetapkan nilai-nilai nolnya Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan (bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +, bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
contoh: x² + x - 2 > 0 (x + 2) (x - 1) > 0
x < -2 atau x > 1
D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x. Penyelesaian: •
Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0 (ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
• •
Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan. Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan ≠ 0
contoh :
-8 ≤ x <1 (2x + 7)/(x - 1) ≤ 1 (2x + 7)/(x - 1) - 1 ≤ 0 (2x + 7)/(x - 1) - (x - 1)/(x - 1) ≤ 0 → (x + 8)/(x - 1) ≤ 0 syarat : penyebut (x-1) ≠ 0 x≠1
E. PERTIDAKSAMAAN DERAJAT TINGGI (Derajat > 3) Penyelesaian: •
Terlebih dahulu usahakan disederhanakan. Bila ada bentuk kuadrat yang definit (selalu) bernilai positif ( D < 0 ; a > 0) langsung dapat dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap. Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif ( D < 0 ; a < 0) dapat dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.
•
Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Dengan catatan, tanda pada garis bilangan akan berubah jika melewati harga nol yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda akan tetap jika melewati harga nol yang rangkap genap.
contoh:
1. (x - 1/2) (x² - 3x - 4) (x² - 6x + 9) < 0 (x -1/2) (x - 4) (x - 1) (x - 3)² < 0
x < 1 atau 1/2 < x < 3 atau 3 < x < 4
2. (3x² + x + 2)/(x² + 4x - 12) > 0 Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena: D = (1)² - 4(3)(2) = -23 dan a = 3 D < 0 dan a > 0 Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi
(+)/(X² + 4X - 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X - 2) > 0
X < -6 atau X > 2 F. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK Yaitu pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Batasan : |x| = x jika x > 0 0 jika x = 0 -x jika x < 0
keterangan : |x| ≥ 0
masalah : menghilangkan tanda mutlak. Penyelesaian: Untuk a > 0
x< a ↔ -a < x < a
x
> a ↔ x < -a atau x > a
x
= a ↔ x = ±a
secara umum: menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas atau |x| < a → x² < a² → x² - a² < 0 → (x-a)(x+a) < 0 → -a < x < a |x| > a → x² > a² → x² - a² > 0 → (x-a)(x+a) > 0 → x<-a atau x>a keterangan: |x| < -a TM |x| > -a ∀x |a/b| < c ↔ |a| < c|b|
