24

Interval Estimation Tjipto Juwono, Ph.D.

May 20, 2015

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

1 / 24

Outline 1

Pendahuluan

2

Pengertian Confidence Interval

3

Menghitung t

4

Menyusun Confidence Interval

5

Contoh

6

TUGAS

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

2 / 24

Pendahuluan

Outline

1

Pendahuluan

2


3

Menghitung t

4


5

Contoh

6

TUGAS

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

3 / 24

Pendahuluan

Point Estimator Perhatikan MPC pada persamaan regresi Yˆi = βˆ1 + βˆ2 Xi = 2.3121 + 0.5231Xi

(1)

Estimasi βˆ2 = 0.5231 pada persamaan (1) merupakan satu angka saja. Tidak ada angka lain. Karena itu disebut sebagai Point Estimator Estimasi βˆ2 merupakan satu estimasi tunggal dari β2 yang tidak diketahui. Estimasi tunggal tersebut diperoleh dari satu set sampling, dan kemungkinan besar harganya berbeda dengan harga yang sesungguhnya (β2 ), walaupun mean dari sampling berulang diekspektasi mempunyai harga yang sama dengan harga sesungguhnya. TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

4 / 24


Outline

1

Pendahuluan

2


3

Menghitung t

4


5

Contoh

6

TUGAS

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

5 / 24


Definisi Confidence Interval Confidence Interval Pr(βˆ2 − δ ≤ β2 ≤ βˆ2 + δ) = 1 − α

(2)

Pr(βˆ2 − δ ≤ β2 ≤ βˆ2 + δ) → Probabilitas bahwa interval tersebut memuat β2 . PERHATIKAN! Probabilitas di atas bukanlah probabilitas bahwa β2 berada di antara (βˆ2 − δ) dan (βˆ2 + δ)! α → level of significance Bagaimana cara menghitung δ ? → Kita perlu menghitung t terlebih dahulu.

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

6 / 24


Contoh Confidence Interval Contoh Level of significance α = 0.05 (5%) Confidence interval: 1 − α = 0.95 (95%) Pr(−2.3 ≤ β2 ≤ 5.1) Probabilitas yang dinyatakan dengan confidence interval bukanlah probabilitas β2 berada pada interval tersebut. Jadi jika anda membayangkan grafik di kiri ini, maka anda keliru. Grafik ini merupakan gambaran yang keliru tentang arti dari confidence interval. TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

7 / 24


Menuliskan Confidence Interval Kita bisa menuliskan interval ini sebagai berikut: (βˆ2 − δ) ≤ β2 ≤ (βˆ2 + δ), atau βˆ2 ± δ

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

8 / 24

Menghitung t

Outline

1

Pendahuluan

2


3

Menghitung t

4


5

Contoh

6

TUGAS

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

9 / 24

Menghitung t

Cara Menghitung Z Definisi Z Z=

Estimator − Parameter Standard Error of Estimator

Z = =

TJ (SU)

βˆ2 − β2 se(βˆ2 ) (βˆ2 − β2 )

pP

¯ 2 (Xi − X)

(3)

σ

Interval Estimation

May 2015

10 / 24

Menghitung t

Pengertian Z Ingat: Yi = β1 + β2 Xi + ui . Di sini, ui terdistribusi secara normal. Akibatnya, βˆ1 , βˆ2 juga terdistribusi secara normal. Sehingga Z pada Pers. (3) merupakan variabel normal standard. Dengan demikian, kita dapat membuat pernyataan probabilistik tentang β2 asalkan variance populasi σ 2 yang sebenarnya diketahui. Jika µ dan σ 2 diketahui maka luas di bawah grafik normal di antara µ ± σ adalah sekitar 68%. Luasan µ ± 2σ adalah sekitar 95% Luasan µ ± 3σ adalah sekitar 99.7% Tetapi σ 2 biasanya tidak diketahui. Dalam prakteknya, σ 2 digantikan oleh estimator σ ˆ 2 . Karena itu Z digantikan oleh t.

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

11 / 24

Menghitung t

Cara Menghitung t Definisi t t=

Estimator − Parameter Estimated Standard Error of Estimator

t = =

βˆ2 − β2 estimated se(βˆ2 ) pP ¯ 2 (Xi − X) (βˆ2 − β2 )

(4)

σ ˆ

variabel t yang didefinisikan di Pers. (4) mengikuti distribusi-t dengan df = n − 2.

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

12 / 24

Menghitung t

Mengapa Z diganti t? Z diganti t Z → t σ → σ ˆ

TJ (SU)

Interval Estimation

(5)

May 2015

13 / 24


Outline

1

Pendahuluan

2


3

Menghitung t

4


5

Contoh

6

TUGAS

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

14 / 24


Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t Pr(−tα/2 ≤ t ≤ tα/2 ) = 1 − α

(6)

t diperoleh dari Pers. (4), sedangkan tα/2 diperoleh dari distribusi-t dengan level of significance α/2 dan df = n − 2. ±tα/2 disebut nilai kritis t pada level of significance α/2.

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

15 / 24


Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t

"

Pr −tα/2

βˆ2 − β2 ≤ ≤ tα/2 se(βˆ2 )

#

= 1−α

i h Pr βˆ2 − tα/2 se(βˆ2 ) ≤ β2 ≤ βˆ2 + tα/2 se(βˆ2 ) = 1 − α

(7)

Pers. (7) merupakan 100(1 − α) percent confidence interval untuk β2 , yang dapat dituliskan: βˆ2 ± tα/2 se(βˆ2 ) (8)

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

16 / 24


Menyusun Confidence interval dengan menggunakan t untuk β1

"

Pr −tα/2

βˆ1 − β1 ≤ ≤ tα/2 se(βˆ1 )

#

= 1−α

i h Pr βˆ1 − tα/2 se(βˆ1 ) ≤ β2 ≤ βˆ1 + tα/2 se(βˆ1 ) = 1 − α

(9)

Pers. (9) merupakan 100(1 − α) percent confidence interval untuk β1 , yang dapat dituliskan: βˆ1 ± tα/2 se(βˆ1 ) (10)

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

17 / 24

Contoh

Outline

1

Pendahuluan

2


3

Menghitung t

4


5

Contoh

6

TUGAS

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

18 / 24

Contoh

CONTOH

Table 1:

X 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 TJ (SU)

Y 70 65 90 95 110 115 120 140 155 150

Data fiktif weekly family income X dan weekly family expenditure Y . Buat analisa regresi, dan plot hasilnya. Jelaskan plot tersebut dengan menggunakan teori Keynes Susunlah 95% confidence interval untuk data pada Tabel 1 di samping.

Interval Estimation

May 2015

19 / 24

Contoh

Daftar Rumus se(βˆ2 ) = pP

se(βˆ1 ) =

"s

σ ˆ=

s

σ ˆ

r=

¯ 2 (X − X) # P 2 X P ˆ ¯ 2 σ n (X − X)

P

P

¯ (X − X)(Y − Y¯ ) (n − 1)sx sy sy βˆ2 = r sx

¯ βˆ1 = Y¯ − βˆ2 X

(Y − Yˆ )2 n−2

"

Pr −tα/2

βˆ2 − β2 ≤ ≤ tα/2 se(βˆ2 )

#

= 1−α

i h Pr βˆ2 − tα/2 se(βˆ2 ) ≤ β2 ≤ βˆ2 + tα/2 se(βˆ2 ) = 1 − α TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

20 / 24

Contoh

y

Contoh

160 140 120 100 80 60 40 20 0 0

50

100

150 x

200

250

300

Menurut Keynes, orang menaikkan konsumsinya jika pendapatannya bertambah, namun pertambahan konsumsi lebih kecil daripada pertambahan pendapatan. Marginal propensity to consume (MPC) lebih besar dari nol, tetapi lebih kecil dari satu; 0 < β2 < 1. βˆ2 = 0.5091

Yˆ = 24.4545 + 0.5091X TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

21 / 24

Contoh

Contoh βˆ2 = 0.5091 βˆ1 = 24.4545 se(βˆ2 )= 0.0357 se(βˆ1 )= 6.4138 r = 0.9808, r2 = 0.9621 tcritical = 2.3059 tcritical × se(βˆ2 )=2.3059 × 0.0357 = 0.0824 tcritical × se(βˆ1 )=2.3059 × 6.4138 = 14.7903 βˆ2 ± tα/2 se(βˆ2 ) = 0.5091 ± 0.0824 0.4267 ≤ β2 ≤ 0.5915 βˆ1 ± tα/2 se(βˆ1 ) = 24.4545 ± 14.7903 9.6642 ≤ β1 ≤ 39.2448 TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

22 / 24

TUGAS

Outline

1

Pendahuluan

2


3

Menghitung t

4


5

Contoh

6

TUGAS

TJ (SU)

Interval Estimation

May 2015

23 / 24

TUGAS No. 1: Download data INPUT1.xls dari http://blog.complexminds.net. (a) Buat analisa regresi lengkap, dan buat plotnya pada Excel. (b) Susun 95% confidence interval No. 2 (Pertanyaan sama seperti no 1, bandingkan hasilnya dengan no 1): X 7.00 17.00 23.00 34.00 44.00 55.00 70.00 79.00 89.00 98.00

Y 49.6889 109.4747 73.4039 182.4335 191.9322 210.9488 257.3999 261.5319 281.8802 376.9975

24

Recommend Documents